第一篇：1-3高等數學同濟大學第六版本
習題1?
31? 根據函數極限的定義證明?
(1)lim(3x?1)?8?
x?3
(2)lim(5x?2)?12?
x?
25? 證明函數f(x)?|x|當x?0時極限為零?
證明 因為
|f(x)?0|?||x|?0|?|x|?|x?0|?
所以要使|f(x)?0|??? 只須|x|???
因為對???0? ????? 使當0?|x?0|??? 時有
|f(x)?0|?||x|?0|???
所以lim|x|?0?x?0
所以極限limf(x)存在?x?0
所以極限lim?(x)不存在?x?0
7? 證明? 若x???及x???時? 函數f(x)的極限都存在且都等于A? 則x??limf(x)?A?
證明 因為limf(x)?A? limf(x)?A? 所以??>0?x???x???
?X1?0? 使當x??X1時? 有|f(x)?A|?? ?
?X2?0? 使當x?X2時? 有|f(x)?A|?? ?
取X?max{X1? X2}? 則當|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ? 即limf(x)?A?x??
8? 根據極限的定義證明? 函數f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等?
證明 先證明必要性? 設f(x)?A(x?x0)? 則??>0? ???0? 使當0<|x?x0|
因此當x0?? |f(x)?A| 這說明f(x)當x?x0時左右極限都存在并且都等于A ? 再證明充分性? 設f(x0?0)?f(x0?0)?A? 則??>0? ??1>0? 使當x0??1 ??2>0? 使當x0 取??min{?1? ?2}? 則當0<|x?x0| | f(x)?A| 即f(x)?A(x?x0)? 9? 試給出x??時函數極限的局部有界性的定理? 并加以證明? 解 x??時函數極限的局部有界性的定理? 如果f(x)當x??時的極限存在? 則存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M? 證明 設f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|? 這就是說存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|? 高等數學（同濟大學教材第五版）復習提 綱 第一章 函數與極限 ：正確理解、熟練掌握本章內容，求各類函數的極限，尤其是未定式與冪指函數求極限 第二章 導數與微分 ：正確理解、熟練掌握本章內容，各類函數的求導與微分的基本計算 第三章 微分中值定理與導數的應用 ：熟練掌握本章的實際應用，研究函數的性態，證明相關不等式 第四章 不定積分：正確理解概念，會多種積分方法，尤其要用湊微分以及一些需用一定技巧的函數類型 第五章 定積分 ：正確理解概念，會多種積分方法，有變限函數參與的各種運算 第六章 定積分的應用：掌握定積分的實際應用 第七章 空間解析幾何和向量代數 ：熟練掌握本章的實際應用 高等數學（1）期末復習要求 第一章 函數、極限與連續 函數概念 理解函數概念，了解分段函數，熟練掌握函數的定義域和函數值的求法。2．函數的性質 知道函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判斷函數奇偶性的方法。 3．初等函數 了解復合函數、初等函數的概念；掌握六類基本初等函數的主要性質和圖形。 4．建立函數關系 會列簡單應用問題的函數關系式。5．極限：數列極限、函數極限 知道數列極限、函數極限的概念。6．極限四則運算 掌握用極限的四則運算法則求極限.7．無窮小量與無窮大量 了解無窮小量的概念、無窮小量與無窮大量之間的關系，無窮小量的性質。8．兩個重要極限 了解兩個重要極限，會用兩個重要極 限求函數極限。9．函數的連續性 了解函數連續性的定義、函數間斷點的概念； 會求函數的連續區間和間斷點，并判別函數間斷點的類型； 知道初等函數的連續性，知道閉區間上的連續函數的幾個性質 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章 導數與微分 1．導數概念：導數定義、導數幾何意義、函數連續與可導的關系、高階導數。 理解導數概念； 了解導數的幾何意義，會求曲線的切線和法線方程；知道可導與連續的關系，會求高階導數概念。2．導數運算 熟記導數基本公式，熟練掌握導數的四則運算法則、復合函數的求導的鏈式法則。 掌握隱函數的求一階導及二階導。會求參數表示的函數的一階導及二階導 會用對數求導法：解決冪指函數的求導及連乘連除的顯函數的求導。 3．微分 理解微分概念(微分用 dy＝y'dx 定義)。 熟記微分的基本公式，熟練掌握微分的四則運算法則。 知道一階微分形式的不變性。 第三章 導數的應用 1.中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 的敘述。 了解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結論，會用拉格朗日定理證明簡單的不等式。 ? 2.洛必塔法則：求“0”、“”型未定0?式極限。 ? 掌握用洛比塔法則求“0”、“”型不0? 定式極限。3.函數的單調性與極值：函數的單調性判別法，函數極值及其求法。 了解駐點、極值點、極值等概念。了解可導函數極值存在的必要條件。知道極值點與駐點的區別與聯系。 掌握用一階導數求函數單調區間、極值與極值點（包括判別）的方法。 掌握判定極值點的第一充分條件和第二充分條件 4．曲線的凹凸 了解曲線的凹凸、拐點等概念。 會用二階導數求曲線凹凸區間（包括判別），會求曲線的拐點。 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。 5.最大值、最小值問題 掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。 第四章 不定積分 1．不定積分概念 理解原函數與不定積分概念，了解不定積分的性質、不定積分與導數(微分)的關系。 2．不定積分求法 熟記積分基本公式，熟練掌握第一換元積分法和分部積分法。 掌握第二換元積分法（a?x,x?a類型）。 會求較簡單的有理分式函數（分母為二次多項式）的積分。 第五章 定積分及其求法 1.定積分概念 了解定積分定義、幾何意義、定積分的性質。 2． 原函數存在定理 了解原函數存在定理，知道變限函數的定義，會求變限函數的導數。3．定積分的計算 熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式，并熟練地用它計算定積分。 掌握定積分的換元積分法和分部積 2222 分法。 4．廣義積分。 了解廣義積分收斂性概念，會計算簡單的廣義積分。5.定積分的應用 會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積(直角坐標系和極坐標)，繞坐標軸旋轉生成的旋轉體體積與平行截面面積已知的立體體積，平面曲線的弧長（參數方程與極坐標方程） 高等數學（同濟大學教材第五版）復習 提綱 第一章 函數與極限 ：正確理解、熟練掌握本章內容，求各類函數的極限，尤其是未定式與冪指函數求極限 第二章 導數與微分 ：正確理解、熟練掌握本章內容，各類函數的求導與微分的基本計算 第三章 微分中值定理與導數的應用 ：熟練掌握本章的實際應用，研究函數的性態，證明相關不等式 第四章 不定積分：正確理解概念，會多種積分方法，尤其要用湊微分以及一些需用一定技巧的函數類型 第五章 定積分 ：正確理解概念，會多種積分方法，有變限函數參與的各種運算 第六章 定積分的應用：掌握定積分的實際應用 第七章 空間解析幾何和向量代數 ：熟練掌握本章的實際應用 ·1· 高等數學（1）期末復習要求 第一章函數、極限與連續 函數概念 理解函數概念，了解分段函數，熟練掌握函數的定義域和函數值的求法。 2．函數的性質 知道函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判斷函數奇偶性的方法。 3．初等函數 了解復合函數、初等函數的概念；掌握六類基本初等函數的主要性質和圖形。 4．建立函數關系 會列簡單應用問題的函數關系式。 5．極限：數列極限、函數極限知道數列極限、函數極限的概念。 6．極限四則運算 掌握用極限的四則運算法則求極限.7．無窮小量與無窮大量 了解無窮小量的概念、無窮小量與無窮大量之間的關系，無窮小量的性質。 8．兩個重要極限 了解兩個重要極限，會用兩個重要極限求函數極限。 9．函數的連續性 了解函數連續性的定義、函數間斷點的概念； 會求函數的連續區間和間斷點，并判別函數間斷點的類型； 知道初等函數的連續性，知道閉區間上的連續函數的幾個性質 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章導數與微分 1．導數概念：導數定義、導數幾何意義、函數連續與可導的關系、高階導數。 理解導數概念； 了解導數的幾何意義，會求曲線的切線和法線方程；知道可導與連續的關系，會求高階導數概念。 2．導數運算 熟記導數基本公式，熟練掌握導數的四則運算法則、復合函數的求導的鏈式法則。 掌握隱函數的求一階導及二階導。會求參數表示的函數的一階導及二階導 會用對數求導法：解決冪指函數的求導及連乘連除的顯函數的求導。 3．微分 理解微分概念(微分用 dy＝y'dx 定義)。 熟記微分的基本公式，熟練掌握微分的四則運算法則。 知道一階微分形式的不變性。 第三章 導數的應用 1.中值定理：羅爾定理、拉格朗日 中值定理、柯西中值定理的敘述。 了解羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結論，會用拉格朗日定理證 明簡單的不等式。 ?2.洛必塔法則：求“0”、“”型未0? 定式極限。 ?掌握用洛比塔法則求“0”、“”型0? 不定式極限。 3.函數的單調性與極值：函數的單調性判別法，函數極值及其求法。了解駐點、極值點、極值等概念。了解可導函數極值存在的必要條件。知道極值點與駐點的區別與聯系。掌握用一階導數求函數單調區間、極值與極值點（包括判別）的方法。掌握判定極值點的第一充分條件和第二充分條件 4．曲線的凹凸 了解曲線的凹凸、拐點等概念。會用二階導數求曲線凹凸區間（包 括判別），會求曲線的拐點。 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。 5.最大值、最小值問題 掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。 第四章不定積分 1．不定積分概念 理解原函數與不定積分概念，了解不定積分的性質、不定積分與導數(微分)的關系。 2．不定積分求法 熟記積分基本公式，熟練掌握第一換元積分法和分部積分法。掌握第二換元積分法（a?x,x?a類型）。 會求較簡單的有理分式函數（分母為二次多項式）的積分。222 2第五章定積分及其求法 1.定積分概念 了解定積分定義、幾何意義、定積分的性質。 2． 原函數存在定理 了解原函數存在定理，知道變限函數的定義，會求變限函數的導數。 3．定積分的計算 熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式，并熟練地用它計算定積分。 掌握定積分的換元積分法和分部積分法。 4．廣義積分。 了解廣義積分收斂性概念，會計算簡單的廣義積分。 5.定積分的應用 會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積(直角坐標系和極坐標)，繞坐標軸旋轉生成的旋轉體體積與平行截面面積已知的立體體積，平面曲線的弧長（參數方程與極坐標方程） 習題1?2 1? 觀察一般項xn如下的數列{xn}的變化趨勢? 寫出它們的極限? (1)xn?1?n2 1?0?解 當n??時? xn?1?0? limn??2n2n (2)xn?(?1)n1? n 解 當n??時? xn?(?1)n1?0? lim(?1)n1?0? n??nn (3)xn?2?1? n2 1)?2?解 當n??時? xn?2?1?2? lim(2?n??n2n2 (4)xn?n?1?n?1 解 當n??時? xn?n?1?1?2?0? limn?1?1? n??n?1n?1n?1 (5)xn?n(?1)n? 解 當n??時? xn?n(?1)n沒有極限? cos? 問limx?? 求出N? 使當n?N時? x與2? 設數列{xn}的一般項xn?nn??nn 其極限之差的絕對值小于正數? ? 當? ?0?001時? 求出數N?解 limxn?0? n?? ||co?1? ?? ?0? 要使|x?0|?? ? 只要1??? 也就是n?1? 取|xn?0|? nnnnN?[1?則?n?N? 有|xn?0|?? ? 當? ?0?001時? N?[1]?1000? ? 3? 根據數列極限的定義證明? (1)lim1?0? n??n2 1??? 只須n2?1? 即n?1?分析 要使|1?0|?nn11?0?證明 因為???0? ?N?[]? 當n?N時? 有|1? 所以?0|??limn??n2n2(2)lim3n?1?3? n??2n?12 分析 要使|3n?1?3|?1?1??? 只須1??? 即n?1?2n?122(2n?1)4n44n 證明 因為???0? ?N?[1]? 當n?N時? 有|3n?1?3|??? 所以lim3n?1?3?n??2n?122n?12422(3)lim?a?1?n??n 2222222an?an?a?naa分析 要使|?1|?????? 只須n??22?nnn(n?a?n)n 22a2]n?aN?[證明 因為???0? ?? 當?n?N時? 有|?1|??? 所以n 22?alim?1?n??n (4)lim0.?999 ? ? ? 9?1? ????n??n個 1?? ? 即1?分析 要使|0?99 ? ? ? 9?1|?1? 只須??n?1?lg?10n?110n?1 證明 因為???0? ?N?[1?lg1]? 當?n?N時? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以? ????n??? n個 n??lim0.999 ? ? ? 9?1?4? limun?a? 證明lim|un|?|a|? 并舉例說明? 如果數列{|xn|}有極限? 但數列n?? {xn}未必有極限? 證明 因為limun?a? 所以???0? ?N?N? 當n?N時? 有|un?a|??? 從而 n?? ||un|?|a||?|un?a|?? ? 這就證明了lim|un|?|a|?n?? 數列{|xn|}有極限? 但數列{xn}未必有極限? 例如lim|(?1)n|?1? 但lim(?1)n不n??n??存在? 5? 設數列{xn}有界? 又limyn?0? 證明? limxnyn?0?n??n?? 證明 因為數列{xn}有界? 所以存在M? 使?n?Z? 有|xn|?M?又limyn?0? 所以???0? ?N?N? 當n?N時? 有|yn|??? 從而當n?N時? 有 n??M |xnyn?0|?|xnyn|?M|yn|?M?????M 所以limxnyn?0? n?? 6? 對于數列{xn}? 若x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)?證明? xn?a(n??)? 證明 因為x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 所以???0??K1? 當2k?1?2K1?1時? 有| x2k?1?a|?? ??K2? 當2k?2K2時? 有|x2k?a|?? ?取N?max{2K1?1? 2K2}? 只要n?N? 就有|xn?a|?? ?因此xn?a(n??)? x 1x?1?f(0)1.解：limf(x)?limsin?limx?0x?0x5x?0?5 551所以a? 5 x3?3x?23x2?313(x?1)(x?1)2.解：因lim 取k=2 ?lim?limx?1x?1k(x?1)k?1(x?1)kkx?1(x?1)k?13(x?1)(x?1)3?lim??2?3 x?12(x?1) 211113.解：y'?f'(lnx)?，y''?f''(lnx)2?f'(lnx)2?2[f''(lnx)?f'(lnx)] xxxx 1y'?0 4.解：兩邊對x求導：1?y'?21?ysin 1y21y'(1?)?1?y'?1?y'??1 2221?y1?yy 2yy'21所以：y''??4??3(2?1)yyy 5.由lim(ax?1)?0及題設，可推出limln[1?x?0x?0f(x)f(x)]?0?lim?0, x?0sinxsinx f(x) ?limf(x)?1limf(x)?A 所以：原式?limxx?0elna?1x?0x?xlnalnax?0x2 f(x)所以lim2?Alna x?0x ?ax2?lnx1?26.解：由已知條件可知應滿足：?1，解得：x?e ?2ax?x?1所以a? 2e ex?b17.解因lim存在，并且lim(x?a)(x?1)?0，所以必有lim(ex?b)?0，x?1x?1x?1(x?a)(x?1) 所以b=e。 ex?ee(ex?1?1)x?1原式=lim ?lim?elimx?1(x?a)(x?1)x?1(x?a)(x?1)x?1(x?a)(x?1)1若a?1e?elim??? x?1x?a1?a 所以：b?e,a? 1－1－ 成都理工大學2012—2013學年 第一學期《高等數學》中期考試試卷答案 一、填空題（每小題4分，共60分） ?1.f(x)?? 1?sinxx?0若使f(x)在(??,??)上連續，則：a= 1?x 5?ax?0。 2.當x?1時，x3?3x?2是x?1的階無窮小。 3.設函數f(u)二階可導，且y?f(lnx)，則y''=1 x 2[f''(lnx)?f'(lnx)]。 4.設方程x?y?arctayn?確定了y是x函數y?f(x)，則d2y dx 2= ?21 y3(y 2?1)。ln(1? f(x) 5.設lim) x?0 ?A(a?0,a?1，A為常數)，則limf(x)ax?1 x?0x2=Alna。 6.若拋物線y?ax2與曲線y?lnx相切，則a=12e。 7.曲線y?(x?1)的拐點坐標是(?15,。 8.曲線y?1 x ?ln(1?ex)的漸近線有y?0,x?0,y?x。 9.設f(x)的導數在x?a處連續，又lim f'(x) x?ax?a ??1，則x?a是f(x)的－1－ 11n ?) n??nn2 ex?esinx 11.極限lim。 x?0x?sinx x3?ax2?x? 4?l，則常數a=4，l=10。12.設lim x??1x?1 ?x?ln(1?t2)d2y1?t2 13.求參數方程?所確定的函數y的二階導數：2=。 4tdxy?t?arctant? 10.極限lim(1? b 14.拋物線y?ax2?bx?c，當x=時，曲率最大。 ? 111?2?x?0x?0?2xsin?cos?xsin 15.設f(x)??，則f'(x)= ?。xxx ??0x?0?0 二、解答題（每題8分，共40分） ?x 16.設F(x)?limt2[f(x?)?f(x)]sin，其中f(x)二階可導，試求F'(x)。 t??tt ?xf(x?)?f(x)sin ?x? 解：F(x)?lim? t??x tt?xf(x?)?fx()sn ??xlili t??t??x tt ??xf?(x) ?(x?)?x?f(x)F?(x)??f ex?b 17.設f(x)?，x?1是可去間斷點，確定a,b的取值。 (x?a)(x?1)ex?b 解因lim存在，并且lim(x?a)(x?1)?0，所以必有lim(ex?b)?0，x?1x?1x?1(x?a)(x?1) 所以b=e。原式 －2－ ex?ee(ex?1?1)x?1 =lim ?lim?elimx?1(x?a)(x?1)x?1(x?a)(x?1)x?1(x?a)(x?1) 1若a?1e ?elim??? x?1x?a1?a 所以：b?e,a?1 1? 18.證明：當x?0時，arctanx??。 x21? 證明：令F(x)?arctanx??，則 x2 F?(x)???0，因此F(x)單調遞減。故 1?x2x2 1? F(x)?F(??)?limF(x)?0，即arctanx???0 x???x21? 亦即arctanx?? x2 19.設f(x)在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f(0)?1，f(1)?0，f(?) 則在（0，1）內至少存在一點?，使得：f'(?)??。 ? 證： 設F?x??xf?x?，則F?x?在?0,1?上連續，在?0,1?內可導且F?0??F?1??0 由羅爾定理：至少存在一點???0,1?，使得F?????0，即： f???F????????x??f?x?xx?? f????????f? ?? ?f??? 0，亦即：? f??? ? 20.已知在[0,a]上，|f''(x)|?M，且f(x)在(0,a)內取到最大值，試證：|f'(0)|?|f'(a)|?Ma。 證：因f(x)在(0,a)內取得最大值，不妨設為c，又f?(c)存在，由費馬定理：f?(c)?0對f?(x)在[0,c]，[c,a]上分別使用拉格朗日中值定理： f?(c)?f?(0)?f??(?1)c(0??1?c)f?(a)?f?(c)?f??(?2)(a?c)(c??2?a)于是： f?(0)?f??(?1)C?MC?? ? ?f?(0)?f?(a)?MC?M(a?c)?Ma f?(a)?f??(?2)(a?c)?M(a?c)?? －3－第二篇：高等數學(同濟大學教材第五版)復習提綱
第三篇：高等數學(同濟大學教材第五版)復習提綱
第四篇：同濟大學第六版高等數學課后答案1-2
第五篇：《高等數學》第六版 上冊(同濟大學出版社) 課件PPT
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