第一篇：如何證明四點共圓（定稿）

如何證明四點共圓

證明四點共圓的基本方法

證明四點共圓有下述一些基本方法：

方法

1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓。

方法

2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）

方法

3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓。方法

4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（根據相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓。（根據托勒密定理的逆定理）

方法

5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點，即可肯定這四點共圓． 上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明． 判定與性質：

圓內接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的內對角。

如四邊形ABCD內接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所對的圓周角相等）。

角CBE=角ADE（外角等于內對角）

△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（切割線定理，割線定理，相交弦定理統稱圓冪定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

弦切角定理

方法6

同斜邊的兩個RT三角形的四個頂點共圓，其斜邊為圓的直徑。

如何判定四點共圓

1、圓的內接四邊形的兩對角和是180度，反之，如果四邊形的兩對角和是180，那么四點共圓。

2、在圓里，同弦角相等。設A、B、C、D四點在圓上，明顯，AB弦所對的角∠ACB=∠ADB。反之，如果∠ACB=∠ADB，那四點共圓。常用的就是這兩個

第二篇：證明四點共圓

方法1

從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓． 方法2 方法3

方法4 同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．（割線定理的逆定理）方法5

證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點，可肯定這四點共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明

第三篇：四點共圓證明方法

：四點共圓的證明方法有以下五種，本例用的是第二種 方法1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓． 方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）方法3把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓． 方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據托勒密定理的逆定理)方法5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點，即可肯定這四點共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

第四篇：四點共圓的證明

證明四點共圓有下述一些基本方法：

方法1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．

方法2 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）

方法3 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

方法4 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據托勒密定理的逆定理)

方法5 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這六種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質：

圓內接四邊形的對角和為π,并且任何一個外角都等于它的內對角。

如四邊形ABCD內接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π。

角CBE=角ADC（外角等于內對角）△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）（切割線定理，割線定理，相交弦定理統稱圓冪定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

證明四點共圓基本方法：

方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．

方法2 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

四點共圓的判定是以四點共圓的性質的基礎上進行證明的。四點共圓的性質：（1）同弧所對的圓周角相等（2）圓內接四邊形的對角互補

（3）圓內接四邊形的外角等于內對角

以上性質可以根據圓周角等于它所對弧的度數的一半進行證明。

四點共圓的判定定理：

方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．（可以說成：若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那末這二點和線段二端點四點共圓）

方法2 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

（可以說成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內對角。那末這四點共圓）

我們 可都可以用數學中的一種方法；反證法開進行證明。

現就“若平面上四點連成四邊形的對角互補。那末這四點共圓”證明如下（其它畫個證明圖如后）已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π

求證：四邊形ABCD內接于一個圓（A，B，C，D四點共圓）

證明：用反證法

過A，B，D作圓O，假設C不在圓O上，剛C在圓外或圓內，若C在圓外，設BC交圓O于C’，連結DC’，根據圓內接四邊形的性質得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C

這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內。

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。

第五篇：證明四點共圓有下述一些基本方法

證明四點共圓有下述一些基本方法

證明四點共圓有下述一些基本方法：

方法1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．

方法2 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）

方法3 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

方法4 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據托勒密定理的逆定理)

方法5 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這六種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質：

圓內接四邊形的對角和為180度,并且任何一個外角都等于它的內對角。

如四邊形ABCD內接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=180度，B+D=180度，角ABC=角ADC（同弧所對的圓周角相等）。

角CBE=角D（外角等于內對角）

△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（切割線定理，割線定理，相交弦定理統稱圓冪定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）