第一篇：第三十八講 推理與證明

第三十八講 推理與證明

（二）【學習目標】

1、結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法

和綜合法的思考過程、特點。

2、結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考

過程、特點。

【知識要點】閱讀教材（必修1）P42～P45，P80～P83，P111～P113完成下列填空

1、直接證明

2、間接證明

反證法：假設原命題（即在原命題的條件下，結論不成立），經過正確的推理，最后得出。因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法。

【基礎檢測】完成教材（必修1）P42～P45，P80～P83，P111～P113完成習題

1.分析法是從要證的結論出發,尋求使它成立的（）A.充分條件B.C.充要條件D.2.若a＞b＞0,則下列不等式中總成立的是（）

A.a+＞b+C.a+

1b

1a

B.D.bb?1＞aa?12a?ba

?a?2bb

11＞b+

ba

3.要證明+＜2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是

（）

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

24.用反證法證明命題：若整系數一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理數根，那么a、b、c中至少有一個是偶數時，下列假設中正確的是（）

A.假設a、b、c都是偶數B.假設a、b、c都不是偶數

C.假設a、b、c至多有一個偶數D.假設a、b、c至多有兩個偶數 5.設a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時大于零”的()

A.充分而不必要條件B.C.充D.【例題分析】

a2b2c

2例

1、設a,b,c＞0,證明：??≥a+b+c.bca

例

2、已知a＞0,求證： a2?

1a

2-2≥a+

-2.a

例

3、已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于.251??1?例

4、已知a＞0,b＞0,且a+b=1,試用分析法證明不等式?.?a???b??≥

?

a??b?

【方法總結】 【基礎訓練】

1.用反證法證明“如果a＞b,那么a＞b”假設內容應是

（）A.3a?3b

C.3a?3且3a

?

3??1a2?b

2?，則p,q的大小關系2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc,q=logc?

??2?a?b?

B.?

D.3a?3b 或3a?3

是（）

A.p＞q

B.p＜q

C.p=qD.p≥

q

3.設S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a,b∈S，對于有序元素對(a,b),在S中

有唯一確定的元素a*b與之對應）.若對任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A.（a*b）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=a C.b*(b*b)=bD.(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值，則（）A.△A1B1C1和△A2B2C

B.△A1B1C1和△A2B2CC.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2CD.△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C

5.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命題正確的是（填序號）

.6.對于任意實數a,b定義運算a*b=(a+1)(b+1)-1,給出以下結論： ①對于任意實數a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②對于任意實數a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③對于任意實數a,有a*0=a,則以上結論正確的是.(寫出你認為正確的結論的所有序號)

7、已知a,b,c為正實數,a+b+c=1.求證：（1）a+b+c≥;(2)3a?2+ 3b?2+c?2≤6.8、已知函數y=a+

x

2x?2

(a＞1).x?

1（1）證明：函數f(x)在（-1,+∞)上為增函數；（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.9、已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數列{bn}是等比數列；（2）設cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數列{cn}是等差數列；

（3）求數列{an}的通項公式及前n項和公式.

第二篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、（2007?廣東）設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點環形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個維修點某種配件各50件．在使用前發現需將A，B，C，D四個維修點的這批配件分別調整為40，45，54，61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調整，最少的調動件次（n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規則為：明文a，b，c，d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數字為（）

8、（2006?遼寧）設⊕是R上的一個運算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數集對加法、減法、乘法和除法（除數不等于零）四則運算都封閉的是（）A、自然數集 B、整數集 C、有理數集 D、無理數集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個實數對（a，b）和（c，d），規定：（a，b）=（c，d），當且僅當a=c，b=d；運算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當n≥1時，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角形”，有，則運用歸納推理得到第11 行第2個數（從左往右數）為（）A、B、C、D、14、根據給出的數塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續自然數按規律排成右表，根據規律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗得出拋硬幣出現正面的概率為0.5；（2）函數f（x）=x2-|x|為偶函數；

（3）科學家通過研究老鷹的眼睛發明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數叫做三角形數，因為這些數對應的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規律，第五個等式應為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規律，第n個等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第三篇：推理與證明

推理與證明

學生推理與證明的建立，是一個漫長的過程，這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學語時候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學，教材里也有簡單的說理，小學教材里有簡單地說理題，意在培養學生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內容比較少，也就是教材中的直觀幾何內容。很快便轉向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學生寫清楚為什么。在學習這一部分內容的時候，好多學生在后面的括號里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學走路的過程，一個小孩剛開始學走路的時候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會脫離工具自己走。學習證明的過程亦如此，起先在括號里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點的，步驟比較多的。

隨著社會的進步，中學教材加強了解析幾何、向量幾何，傳統的歐式幾何受到沖擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉變換、對稱變換，投影等內容。老師們對內容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強了推理能力的培養，體現了逐步發展的過程，把變換放到中學，加強了中學和大學教材的統一，但一個不爭的事實是，對演繹推理確實弱了。

關于開展課題學習的實踐與認識

新課程教材編排了課題學習這部分內容，對授課的老師，還是學生的學習都是一個全新的內容，怎樣上好這部分內容，對老師、對學生而言，都是一個創新的機會。至于課題學習的評價方式，到現在為止，大多數省份還是一個空白，考不考?怎樣考?學習它吧，學習的東西不能在試卷上體現出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學習吧，課本上安排了這部分內容。還有一部分老師覺得，課題學習是對某一個問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學生不知掌握到什么程度。

經過幾年的實踐與這次培訓的認識，我覺得課題學習是“實踐與綜合應用”在新課課程中的主要呈現形式，是一種區別于傳統的、全新的，具有挑戰性的學習，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學生提供更多的實踐與探索的機會。

2.讓學生通過對有挑戰性和綜合性問題的解決，經歷數學化的過程。

3.讓學生獲得研究問題地方法和經驗，使學生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發展。

4.讓學生體驗數學知識的內在聯系，以及解決問題的成功喜悅，增進學生學習數學的信心。

5.使數學學習活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學習首先提出一個主問題(問題是一個載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識。在這個過程中，多關注知識的價值，淡化數學術語，讓學生充分經歷數學化的過程，激發學生參與的熱情，使其體會到學習數學的樂趣，始終以學生為主體，明白課題學習是為學習服務的。

第四篇：推理與證明

推理與證明

1． 蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個

圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)

表示第n幅圖的蜂巢總數.則f(4)=___37

__;f(n)=_3n2?3n?

1__________.2．下面是按照一定規律畫出的一列“樹型”圖：

設第n個圖有an個樹枝，則an?1與an(n≥2)之間的關系是．

答案：an?1?2an?

2若平面內有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(即不相交于一點),則這n條直線將平面分成了幾部分。

3．類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內兩個不共線的向量，那么對于平面內任一向量a，有且只有一對實數?1,?2，使得a??1e1??2e2”，寫出空間向量基本定理是．

如果e1,e2,e3是空間三個不共面的向量，那么對于空間內任一向量a，有且只有一對實數

????????

?1,?2,?3，使得a??1e1??2e2??3e

34．寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數的步驟是： 大前提． 小前提結論

滿足f(?x)??f(x)的函數是奇函數，大前提

f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x)，小前提

所以f(x)?x3?sinx是奇函數．結論5． 已知f(n)?1? 答案：

12?

1k

?

???

1n

(n?N)，用數學歸納法證明f(2)?

?

n

n2

時，f(2k?1)?f(2k)

等于．

?

12?2

k

???

k?1

6lg1

.5?3a?

b?clg12?1?a?2b

7．用數學歸納法證明1+2+3+?

+n2=

n

?

n2，則當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加

上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

8?

?m，n成立的條件不

等式．

當m?n?20

9．在數列?an?中，a1?2，an?1?

答案：an?10．

26n?

5an3an?1

(n?N)，可以猜測數列通項an的表達式為?

．

若三角形內切圓的半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積等于S?

r(a?b?c)，根據類比推理的方法，若一個四面體的內切球的半徑為R，四個面的面積分別是

V?． S1，S2，S，S，則四面體的體積3

4答案：R(S1?S2?S3?S4)

11．已知f(x)?ax?

x?2x?1

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數根.假設x0是f(x)?0的負數根，則x0?0且x0??1且ax??

?0?a

x0

x0?2x0?1，?1?0??

x0?2x0?1

解得?1，12

這與x0?0矛盾，故方程f(x)?0?x0?2，沒有負數根.12．已知命題：“若數列?an?是等比數列，且an?

0，則數列bn?

n?N)

?

也是等

比數列”．類比這一性質，你能得到關于等差數列的一個什么性質？并證明你的結論．

解：類比等比數列的性質，可以得到等差數列的一個性質是：若數列?an?是等差數列，則數列bn?

a1?a2???an

n

也是等差數列．

n(n?1)d

2n

?a1?

d2(n?1)

證明如下：

設等差數列?an?的公差為d，則bn?所以數列?bn?是以a1為首項，13．用數學歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立．

（1）當n?1時，由以上可知等式成立；

（2）假設當n?k時，等式成立，即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當n?k?1時，1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

a1?a2???an

n

na1??，d2

為公差的等差數列．

n?

n

對一切正整數n

k?

k，22222222

222222

k?(2k?1)·

k(k?1)

?

(k?1)?

(k?1)

．

由（1）（2）知，等式結一切正整數 都成立．

14．用數學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.2×1+11+2

(1)當n=1時，4+3=91能被13整除.(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, ∴當n=k+1時也成立.由（1）（2）知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.15．用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數，不等式（1+

2n?12

13）（1+）?（1+

112n?1）＞

均成立.43

（1）當n=2時，左邊=1+=；右邊=

.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設n=k(k≥2,且k∈N*)時不等式成立，即（1+）（1+）?（1+

12k?1）＞

2k?12

12k?1

.12(k?1)?1

]

則當n=k+1時，（1+）（1+）?（1+＞

2k?12）＞[1?

4k

2k?1

·

2k?22k?1

=

2k?222k?1

=

4k

?8k?4

＞

?8k?3

=

2k?3

=

2(k?1)?1

.22k?122k?122k?1

∴當n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數n,不等式都成立.16。試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相

等時，均有：an+cn＞2bn.設a、b、c為等比數列，a=∴a+c=

n

n

bq,c=bq(q＞0且q≠1),bq

nn

+bnqn=bn（1q

n

+qn)＞2bn.a

n

(2)設a、b、c為等差數列，則2b=a+c猜想下面用數學歸納法證明：

①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴②設n=k時成立，即則當n=k+1時，＞

?c

2n

＞（a?c2)n(n≥2且n∈N*)

a

?c2

?（a?c2)

a

k

?c2

k?

1k

?(?1

4a?c2),k

a

k?1

?c2

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

a?c2

(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

(ak+ck)(a+c)＞()k·（a?c2)=（a?c2)k+1

17．平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓把平面分成n?n?2個部分。

證明：（1）當n?1時，一個圓把平面分成兩個區域，而12?1?2?2，命題成立．

（2）假設n=k（k≥1）時，命題成立，即k個圓把平面分成k?k?2個區域．

當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區域分成了兩部分，因此增加了2k個區域，共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個區域． ∴n=k+1時，命題也成立．

由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．

18．如圖（1），在三角形ABC中，AB?AC，若AD?BC，則AB2?BD·BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，則有什么結論？命題是否是真命題．

解：命題是：三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影

為M，則有S△?S△BCM·S△BCD是一個真命題． ABC證明如下：

在圖（2）中，連結DM，并延長交BC于E，連結AE，則有DE?BC． 因為AD?面ABC，所以AD?AE． 又AM?DE，所以AE2?EM·ED． 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD． ?2??2??2?

19． 已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數列{bn}是等比數列；（2）設cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數列{cn}是等差數列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知，數列{bn}是公比為2的等比數列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.34

將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數列{cn}是公差為的等差數列，它的首項c1=

a12

=，故cn=n-(n=1,2,?).131

第五篇：推理與證明

“推理與證明”是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。“推理與證明”是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。推理與證明貫穿于數學的整個體系，它的學習是新課標教材的一個亮點，是對以前所學知識與方法的總結、歸納，并對后繼學習起到引領的作用。

學生將通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯系與差異；體會數學證明的特點，了解數學證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數學歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，養成言之有理、論證有據的習慣。

《新標準》要求學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例。”也就是要求學生在獲得數學結論時要經歷合情推理到演繹推理的過程。合情推理的實質是“發現---猜想---證明”，因而關注合情推理能力的培養實際上就是希望教師能夠重視數學知識的產生和發展過程，發展學生的探究和創新精神。