第一篇：數學解題方法談：復數與平行四邊形家族

復數與平行四邊形家族

菱形、矩形等特殊的平面四邊圖形與某些復數式之間存在某種聯系，復數的幾何意義架起了“形”與“數”相互轉化的橋梁．下面略舉幾例，以供參考． 友情提示：若復數z?a?

bi，則z?

一、復數式與矩形

例1 復數z1，z2滿足z1z2?0z1?z2?z1?z2，證明：證明：設復數z1，z2在復平面上對應的點為Z1，Z2，由z1?z2?z1?z

2z1z2

稱為z的模，它在復數中有廣泛的應用．

z

122

z2

?0．

????????????????????

知，以OZ1，OZ2為鄰邊的平行四邊形為矩形，OZ1⊥OZ2，可設

z1z

2?ki(k?R，k?0)，所以

?ki??k?0．

222

例2 已知復數z1，z2滿足z1?1z2?1，且z1?z2?4，求

z1z2

與z1?z2的值．

解：設復數z1，z2在復平面上對應的點為Z1，Z2，由

于z1

1)?7?1)?4故，?z2

?z1?2，2

??????????

故以OZ1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形，??????????z

從而OZ1⊥

OZ2，則1??

z2

14?3i；z1?z2?z1?z2?4．

??

例3 已知復數z1，z2滿足z1?z2?

1，且z1?z2?

z1?z2?

證明：設復數z1，z2在復平面上對應的點為Z1，Z2，由條件知z1?z2?1?

??????????

以OZ1，2，OZ2

為鄰邊的平行四邊形為正方形，而z1?z2在復平面上對應的向量為正方形的一條對角線，所

以

z1?z2?

點評：復數與向量的對應關系賦予了復數的幾何意義．復數加法幾何意義的運用是本題考查的重點．

二、復數式與菱形

例4

已知z1，z2?Cz1?z2?1z1?z2?

z1?z2．

??????????

解：設復數z1，z2，z1?z2在復平面上對應的點分別為Z1，Z2，Z，由z1?z2?1知，以OZ1，OZ2為

鄰邊的平行四邊形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得

z1

cos?OZ1Z?

?z

2?z?1z

2z1z2

?

?

??

12，??OZ1Z?120，??Z1OZ2?60，因此，△OZ1Z2是正三角形．

?z1?z2

?????

?Z1Z2?1．

點評：本題通過復數模的幾何意義的應用來判斷四邊形的形狀，并且應用到了余弦定理，使得問題解決的很巧妙，其中例1～例4均可用z1?z2例5 求使

z?az?a

222

?z1?z2

?2(z1

?z2)處理．

(a?0)為純虛數的充要條件．

解：∵

z?az?a

是純虛數，∴可設

z?az?a

222

??i(??R，??0)，將其改寫為

z1?z2z1?z2

??i(??R，??0)．

??????????

設復數z，a在復平面上對應的點為Z1，Z2，以OZ1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴z?a，?z?a，考慮到z??a時，z?az?a

222

?0；

z??aiz?a

222

z?a

無意義，故使

z?az?a

222

且z??a，z??a(a?0)為純虛數的充要條件是z?a，i，即z是模為a的虛數（非純虛數）．

點評：復數的加減法符合平行四邊形法則，是復數與平行四邊形家族聯姻的前提．深入抓住復數加減法的幾何意義的本質，可使我們求解復數問題的思路更加廣闊，方法也更加靈活．

第二篇：數學經典解題方法

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬于R，a≠0)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。

6、構造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。

第三篇：一般數學解題方法

初中數學解題方法之我見

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程根的判別，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程（組），解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以討論二次方程根的符號，解對稱方程組，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。

第四篇：數學證明題解題方法

數學證明題解題方法

第一步：結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯系結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題(1)是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1-x在上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

第三步：逆推。從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需借助導數符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

第五篇：初中數學解題方法

初中數學選擇題解題方法與技巧

胡橋一中許鎖林

初中數學選擇題解題方法

胡橋一中許鎖林

對于選擇題，關鍵是速度與正確率，所占的時間不能太長，否則會影響后面的解題。提高速度與正確率，方法至關重要。方法用得恰當，事半功倍，希望大家靈活運用。做選擇題的主要方法有：直接法、特值法、代入法（或者叫驗證法）、排除法、數形結合法、極限法、估值法等。

（一）直接法：

有些選擇題是由計算題、應用題、證明題、判斷題改編而成的．這類題型可直接從題設的條件出發，利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則通過準確的運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確的結論，從而確定選擇支的方法叫直接法．這種解法最常用，解答中也要注意結合選項特點靈活做題，注意題目的隱含條件，爭取少算．這樣既節約了時間，又提高了命中率。9001500?例：方程的解為（）x?300x

ABCD

解：直接計算，同時除以300，再算的x=750。

（二）特值法：

用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設普遍條件，得出特殊結論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法結合運用，達到少計算的目的，從而提高速度。

例：如圖，在直角坐標系中，直線l對應的函數表達式是（）

A.y?x?1B.y?x?1C.y??x?1 D.y??x?

1解：看圖得，斜率k>0,排除CD，再在AB中選，取特值

x=0,則y=-1,結果選A。

（三）代人法：

通過對試題的觀察、分析、確定，將各選擇支逐個代入題干中，進行驗證、或適當選取特殊值進行檢驗、或采取其他驗證手段，以判斷選擇支正誤的方法．

例3．（2007年安徽）若對任意x∈R,不等式圍是（）

（A）<－1（B）||≤1（C）||<1（D）≥1 解：

化為化為，顯然恒成立，由此排除答案A、D，也顯然恒成立，故排除C，所以選B；

恒成立，則實數的取值范

此解法也可以稱之為特值法。

（四）排除法：

從題設條件出發，運用定理、性質、公式推演，根據“四選一”的指令，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷。它與特例法（特值法）、圖解法等結合使用是解選擇題的常用方法。

例：直線y?kx?b經過A(0,2)和B(3,0)兩點,那么這個一次函數關系式是()

2A.y?2x?3B.y??x?2C.y?3x?2D.y?x?1

3解：當x=0時，y=2,可以排除AD，當x=3時，y=0,直接選A。

（五）數形結合法：

據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷.有的選擇題可通過命題條件的函數關系或幾何意義，作出函數的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質，綜合圖象的特征，得出結論．

（2007年江西）若0＜x＜，則下列命題中正確的是（）

A．sin x＜ B．sin x＞ C．sin x＜ D．sin x＞

與解：sin x

等三角函數會在九下學。在同一直角坐標系中分別作出的圖象，便可觀察選D

（六）極限法：

從有限到無限，從近似到精確，從量變到質變.應用極限思想解決某些問題，可以避開抽象、復雜的運算，降低解題難度，優化解題過程。它是在選擇題中避免“小題大做”的有效途徑．它根據題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，計算簡便，迅速找到答案． 例：對于任意的銳角

（A）

（C），下列不等關系式中正確的是（）（B）（D），時

排除 解：（九年級下學期學）當當，時

排除選D.（七）估值法：

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程.因此可以猜測、合情推理、估算而獲得.這樣往往可以減少運算量，當然自然加強了思維的層次.例：如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）

（A）（B）5（C）6（D）

解：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2，∴VF－ABCD

＝*底面積*高

=·32·2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.