第一篇：2 用解析法求解初等平面幾何問題

用解析法求解初等平面幾何問題

在初等幾何的教學中, 常常遇到不同類型的證明題, 一般情況下, 用初等幾何有關定義、定理處理比較方便, 但有些題目卻要添加輔助線, 發掘隱含條件等高技巧的特殊處理措施, 初學者解題時常遇到困難.如果采用解析法, 有些問題思路反而清晰簡單, 具有獨特的優點.以下將常見的不同類型證明題的思路加以羅列, 于讀者共同研究分析.平面上建立直角坐標系后, 點與有序實數對(a,b)建立了一一對應關系, 直線和圓分別對應與某確定的二元方程.這樣, 就可以將幾何問題轉化為代數問題.將代數問題解決而得到幾何問題的證明, 這就是解析法的證明方法.平面解析幾何是借助平面坐標系, 利用代數方法來研究平面圖形性質的一門學科.通過建立平面坐標系,平面內的點均可用坐標表示出來, 從而平面圖形的性質可以表示為圖形上點的坐標之間的關系, 特別是代數關系, 以此實現幾何問題與代數問題的相互轉化.下面通過兩個例題來分析解析法的基本思想方法和解題過程.例8 證明：三角形的三條高交于一點[3].已知AD, EF, CF分別是?ABC的三邊上的高, 求證：AD, BE, CF相交于一點.證明 如圖4所示, 以BC邊為x軸, BC邊

上的高AD為y軸建立直角坐標系.不防設A,B, C三點的坐標分別為A(0a,), B(b,0), C(c,0).根

據斜率公式得, KAB??ba, KCA??, KBC?0,ac

又根據兩直線垂直的充要條件及直線點斜式方程, 容易求出三條高所在的直線方程分別為

AD:x?0, BE:cx?ay?bc?0, CF:bx?ay?bc?0.這三個方程顯然有公共解, x?0, y??

交與一點.bc, 從而證明了三角形的三條高相a

例9 一個面積為32cm2的平面凸四邊形中, 兩條對邊與一條對角線的長度之和為16cm試確定另一個對角線的所有可能的長度[3].解 如圖5, 建立直角坐標系, 并設平面凸四邊形的4個頂點的坐標分別為 A(?a,0), B(b,?b?), C(c,0), D(0,d).根據已知條件有

11SABCD?c?a）d?(c?a)b??32, 2

2|AB|?

|CD|?|AC|?

(a?c)?16.即有

（(d?b?)?64?(1)?c?a）?2222(2)??(a?b)?b?c?d?16?(a?c)

2(3)根據圖5可知

b??d?由(1),(2),(3)得(a?c)[16?(a?c)]?64,即[(c?a)?8]?0, 所以c?a?8.且上述不等式只能取等號, 于是得

b??d?8, c?0, a?b?0.由此可知, a?8,b??8.所以, 另一條對角線BD的長度為2Y X

圖5 |BD

|?

?cm).從上述兩題的解題過程不難看出, 其解

法的關鍵在于通過建立坐標系, 把原來的幾何問題轉化成了代數(計算)問題.也就是借助于坐標系, 在點曲線與數組(方程)之間建立起對應關系,以次來實現幾

何問題代數化.解析法證明初等幾何問題一般步驟[4]：

(1)恰當地選擇坐標系, 使題中某些點的坐標、直線和圓的方程呈較簡單的形式.(2)根據題目要求, 求出有關點的坐標、直線或圓的方程.(3)從已知條件出發, 以求證的結論為目標, 通過運算、推理出要證的結果.在運用解析法證明初等幾何問題時, 必須熟練掌握并善于使用在直角坐標下的有關公式, 定理和方程.如兩點間的距離公式、定比分點公式, 直線的斜率公式, 兩直線夾角公式, 兩直線平行、垂直的充要條件, 直線和圓的各種類型的方程, 圓的切線方程等.以下分類型加以闡述：

2.1 等線段與等角的問題

證明線段的相等或不等, 線段的和差倍分及定值問題, 常用的方法是選定坐標后,再利用兩點距離公式, 點到直線的距離等知識來進行運算.例10 如圖6, 以Rt?ABC的一條直角邊

作直徑作圓O, 此圓與斜邊AC交于D,過D引圓O的切線交BC于E.求證：BE=CE[4].分析 以B為坐標原點, BA所在直線為

圖6 X軸, 建立直角坐標系, 設A（2a,0）, B(0,0),C(0,b), E(0,y0), 則圓O和直線AC的方程可

求, 由AC交圓O可求得出D點的坐標, 再由BE=ED, 可求得E為BC的中點.利用直線斜率公式, 兩直線平行、垂直條件及兩直線夾角公式, 可證明一些與角的度量有關的題目.處理的方法一般較簡單, 只需在選定坐標系以后, 求出有關點的坐標或方程, 進行一些斜率和角度的計算即可

.例11 如圖7, 在?ABC中, AD⊥BD于D, 且CD=AB+BD, 求證∠ABC=2∠ACB[4].簡證 以BC, DA所在直線為坐標, 建立直角坐標系, 設A(0,a), B(-b,0), D(0,0), 則AB=a2?b2由CD=AB+BD得出C點坐標(b?a2?b2,0)

故tan∠ABC=kAB?a b2a

ab?a2?b2tan2∠ACB==, ab1?()b?a2?b

2又∠ABC及∠ACB均為銳角,所以∠ABC=2∠ACB.2.2 三點共線與三線共點和共點圓的問題

證三點共線, 常用的方法有：(ⅰ)先建立過兩點的直線方程, 再驗證第三點也適合這個方程;(ⅱ)若能證得kAB?kBC, 則A, B, C三點共線;(ⅲ)點Ai(Xi,Yi)(i=1, 2, 3)共線的充要條件為

x

1x2

x3y1y2?0.y3證明三線共點, 常用的方法有：ⅰ)利用定比分點公式, 分別求出三條線上某分點坐標, 若求得相同, 因直角坐標平面上的點和坐標一一對應, 故三線共點;ⅱ)三條互不平行直線li:Aix?Biy?Ci?0(i?1, 2, 3)若

A1

A2

A3B1B2B3C1C2=0, C

3則l1, l2, l3相交于一點.解析法證諸點共圓, 可先求出有關各點坐標, 再利用兩點間距離公式證這點

到某一定點的距離相等;也可先建立過三點的圓的方程, 再證其余點適合圓的方程.例12 如圖8, 正方形ABCD的邊長等于a, 在邊BC上取線段BE=a3在邊DC的延長線上取CF等于a2, 試證：直線AE和BF的交點M與A、B、C、D共圓.分析 以AD, AB為坐標軸, 引進直角坐標系,因A、B、C、D各點坐標為已知, 故可求出E, F兩X

點的坐標然后求出直線AE, BF的方程, 它們的交點M坐標由此可求出, 最后把點M的坐標代入正方形ABCD的外接圓方程, 即可得證.從以上的例子可看出, 解析法證明的優點在于解決幾何問題時有一個比較固定的思考步驟, 思路較明顯.由一系列的運算與推理即可得到證明的結果.所以, 有些類型的初等幾何問題, 用解析法證明較為簡便.

第二篇：解析法證明平面幾何經典問題--舉例

五、用解析法證明平面幾何問題----極度精彩！充分展現數學之美感！何妨一試？

例

1、設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引兩條直線分別交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1圖）（例2圖）

例

2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

【部分題目解答】

例

1、(難度相當于高考壓軸題)

如圖，以MN為x軸，A為原點，AO為Y軸建立坐標系，設圓的方程為：x2?(y-a)2?r2,設直線AB的方程為：y?mx,直線AD的方程為：y?nx,點B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；則B、C222x?(y-a)?r,消去y得：（1?m2)x2-2amx?a2-r2?{y?mx2ama2-r

2由韋達定理知：x1?x2?2;x1x2?2,m?1m?12ana2-r2

同理得：x3?x4?2;x3x4?2, n?1n?1直線CD方程為：y-y2?y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q點橫坐標：xQ?

同理得P點橫坐標：xP?x1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要證明AP?AQ，只需證明：xQ?-xP3223?-1441, y2-y3y4-y1

即證明：（x3y2-x2y3）（?y4-y1）?（-x1y4-x4y1）（?y2-y3）

將上式整理得：y3y4(x1?x2)?y1y2(x3?x4)?x1y2y4?x2y1y3?x3y2y4?x4y1y3

注意到：y1?mx1,y2?mx2;y3?nx3,y4?nx4，代入整理得：

左邊?m2x1x2(x3?x4)?n2x3x4(x1?x2),右邊?mn[x1x2(x3?x4)?x3x4(x1?x2)] 把上述韋達定理的結論代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(m?n)2a-r左邊?m?2?2?n?2?2? 22m?1n?1n?1m?1(m?1)(n?1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(m?n)右邊?mn(2???)?m?1n2?1n2?1m2?1(m2?1)(n2?1)

可見：左邊=右邊，故xQ?-xP，即AP?AQ.證畢！

【此題充分體現：化歸思想、設而不求思想方法、數形結合方法、以及分析計算的能力】 標系.例

2、分析：如右圖，建立坐

總體思路：設點A、B、C、D坐標后，求出直線AD、從而求出兩個角度的正切值，證明這兩個角度問題的關鍵是：如何設點C、D而C、D兩點是相互獨立運動的，故把點C、D設AD=BC= r，則C點可以看作是以B為圓心，r上的動點，類似看待D點，故，設

C(a?rcosθ,rsinθ)、D(-a?rcos?,rsin?), 從而得N(cosθ?cos?sinθ?sin?,)22

易得：kBC?tan?,kAD?tan?【此處充分展現了圓的,參數方程的美妙之處】kMN?

sinθ?sin?????tan;cosθ?cos?2

第三篇：2.3 用公式法求解一元二次方程教學設計

第二章

一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程

（一）一、學生知識狀況分析

學生的知識技能基礎：學生通過前幾節課的學習，認識了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已經能夠熟練地將一元二次方程化成它們的一般形式；在上一節課的基礎上，大部分學生能夠利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分認知較慢、運算不扎實的同學不能夠熟練使用配方法解一元二次方程.學生活動經驗基礎：學生已經具備利用配方法解一元二次方程的經驗；學生通過《規律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函數的圖像》中一次函數增減性的總結等章節的學習，已經逐漸形成對于一些規律性的問題，用公式加以歸納總結的數學建模意識，并且已經具備本節課所需要的推理技能和邏輯思維能力.二、教學任務分析

公式法實際上是配方法的一般化和程式化，然后再利用總結出來的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯實上節課的配方法，在此基礎上再進行一般規律性的探求——推導求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引導學生自主的探索，正確地導出一元二次方程的求根公式是本節課的重點、難點之一；正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高學生的綜合運算能力是本節課的另一個重點和難點。

為此，本節課的教學目標是：

①在教師的指導下，學生能夠正確的導出一元二次方程的求根公式，并在探求過程中培養學生的數學建模意識和合情推理能力。

②能夠根據方程的系數，判斷出方程的根的情況，在此過程中，培養學生觀察和總結的能力.③通過正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學生的綜合運算能力。④通過在探求公式過程中同學間的交流、使用公式過程中的小技巧的交流，進一步發展學生合作交流的意識和能力

三、教學過程分析

本課時分為以下五個教學環節：第一環節：回憶鞏固；第二環節：探究新知；第三環節：鞏固新知；第四環節：收獲與感悟；第五環節：布置作業。

第一環節；回憶鞏固

活動內容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同學在練習本上運算,可找位同學上黑板演算 ②由學生總結用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數:2

x2?73x??022

x2? 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

77493x?()2???024162

即:

725(x?)2??0416725(x?)2?416

兩邊開平方取“±” 得：

x?75??44 75?44

x?1 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=2

第二題： 3x2+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數:3

x2?21x??033

x2? 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

2113x?()2???03392

即:

125(x?)2??0318

125(x?)2??318

∵

?25?018

∴原方程無解

活動目的：

（1）進一步夯實用配方法解方程的一般步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數范圍內都有解。

（3）教師還可以根據上節課作業情況，選學生出錯多的題目糾錯、練習.活動的實際效果：

通過對舊知識的回顧，學生再次經歷了配方法解方程的全過程，由于是舊知識，學生容易做出正確答案，并獲得成功的喜悅，調動了學生的學習熱情，喚醒學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎。

第二環節 探究新知

（1）活動1：自主推導求根公式。

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)學生在演算紙上自主推導、并針對自己推導過程中預見的問題在小范圍內自由研討。最后由師生共同歸納、總結，得出求根公式.解：兩邊都除以一次項系數:a x2?bx?caa?0

問：為什么可以兩邊都除以一次項系數:a 答：因為a≠0 3 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

bbbc2x?2ax?(2a)?24a2?a?0即:

b2b2?4ac(x?)??0a4a2b2b2?4ac(x?)?a4a2 問：現在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0

24a2 學生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴當b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac

x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現什么問題？ 答：方程無解

如果b2-4ac=0呢？答;方程有兩個相等的實數根。活動目的：

學生能否自主推導出來并不重要，重要的是由學生親身經歷公式的推導過程，只有經歷了這一過程，他們才能發現問題、汲取教訓、總結經驗，形成自己的認識.在集體交流的時候，才能有感而發。

活動的實際效果：

學生的主要問題通常出現在這樣的幾個地方：

4（1）

中?b2?c運算的符號出現錯誤和通分出現錯誤 bb2b2cx?x?()?2??04a2aa2a4aa2（2）不能主動意識到只有當b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方（3）兩邊開平方，忽略取“±”。

大部分學生需要在教師的幫助下，才能完善公式的推導。（2）活動2：歸納總結公式法定義和根的判別式。第三環節：鞏固新知 活動內容：

１、判斷下列方程是否有解：（學生口答）

(1)2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 學生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷出根的情況。

問第（3）題的判斷，與第一環節中的第（2）題對比，哪種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學生口述，教師板書第（1）題，第（4）題

例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×

3=25>0 ∴

?b?b?4acx?2a7?257?5??2?242

寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環節中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？

例：解方程 9x2+6x+1=0 確定a,b,c的值 解：a=9, b=6, c=1 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0 5

?b?b2?4acx?2a?6?0? ∴ 2?9?6?0?181??3（剩下的題目教師根據時間情況選擇使用，個別學生上黑板做題，其他同學在座位上練習）

３、課本隨堂練習1、2.活動目的：通過讓學生或口述交流或上黑板解方程，公示學生的思維過程，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用所學知識的程度。

活動實際效果：教師引導學生分析，學生口答、板書，筆答，對比，評價，總結．大部分學生能夠正確、熟練的用公式法解方程。第四環節：收獲與感悟

活動內容： 提出問題：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、如何判斷一元二次方程根的情況？

3、用公式法解方程應注意的問題是什么？

4、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學生在四人小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發言。

活動目的：鼓勵學生回顧本節課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中。

活動實際效果：學生通過回顧本節課的學習，感受到公式推導的全過程，發展了邏輯思維能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的過程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的沒有根，通過解方程，進一步提高了學生的運算能力。

第五環節：布置作業

用公式法解下列方程（教師可根據實際情況選用）

1、課本47頁1,2題。

2、程解應用題

（1）已知長方形城門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么,門的高和寬各是多少?（2）一張桌子長4米,寬2米,臺布的面積是桌面面積的2倍,鋪在桌子上時,各邊下垂的長度相同,求臺布的長和寬

四、教學反思

1、要創造性的使用教材

教材只是為教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據學生的實際情況進行適當調整。本節課教師就根據學生實際情況，調整了配方時的個別過程，使之與后續知識學習相一致，添加了例題和練習題。

2、要為學生的終身學習奠基

這節課不能夠僅僅讓學生背公式、套公式解方程，而應讓學生初步建立對一些規律性的問題加以歸納、總結的數學建模意識，親身體會公式推導的全過程，提高學生推理技能和邏輯思維能力；進一步發展學生合作交流的意識和能力．幫助學生形成積極主動的求知態度.7

第四篇：2.3 用公式法求解一元二次方程教學設計

第二章

一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程

丹東市鳳城市四門子九年一貫制學校

徐曉丹

一.教材

本節是北師大版九年級上冊第二章一元二次方程中第3節《用公式法求解一元二次方程》。本章是一元一次方程和二元一次方程的深入和發展，也是以后學習方程及函數等數學知識的基礎。“一元二次方程的解法”是初中數學“方程”中的一個重要內容，特別是對于系數不特殊的一元二次方程，學習用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的重要內容。通過本節課的學習，使學生明確公式法是解一元二次方程的通法，應該根據題目選擇合適的方法解決問題。

二.學情分析

本節課的學習至關重要，為了完成教學計劃，讓學生更好的掌握握知識，應了解學生和學生對知識掌握情況。這要求我們教師必須從學生的認知結構和心理特征出發，他們有強烈的好奇心和求知欲，而方程對學生來說是比較難的，配方法又是剛剛學完，并不熟練，應著手讓學生練習配方法并掌握公式法解一元二次方程相關知識。

三.教學目標

為了更好的完成教學計劃，我制定以下教學目標

1.知識與技能：理解一元二次方程求根公式的推導過程，熟練用

公式法解一元二次方程。

2.過程與方法：通過求根公式的推導進一步使學生熟練掌握配方法。培養學生數學推導的嚴密性和邏輯性。

3.情感態度與價值觀：培養學生尋求簡便方法的探索精神和創新意識。培養學生快速準確的計算能力。

四.重難點

基于配方法的不熟練，本節課應該以配方法為基礎，熟練運用公式法及判別式相關知識，重難點為：

重點：掌握用公式法解一元二次方程一般步驟，正確、熟練用公式法解一元二次方程。

難點：理解求根公式的推導和判別式與根的情況的關系。

五.教法、學法

確定了重難點，本節課借助多媒體輔助教學，采用引導發現式自主探究和交流討論相結合的方法，發揮教師的主導作用，體現學生主體地位。利用學生已有的知識，啟發誘導學生深入思考問題，多交流，主動參與到活動中。

學生對配方法還不是很熟練，讓學生用配方法解練習題，回顧配方法再解一般形式。學生用分析討論和分類歸納的方法提出問題并嘗試解決問題，使思維能力得到提升。

六.教學過程

本節課設計以下六個環節：

復習引入—講授新課—例題講解—鞏固練習—課堂小結—布置

作業

第一環節：復習引入

活動內容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2?3?7x(2)3x2?2x?1?0 全班同學在練習本上運算,可找位同學上黑板演算②由學生總結用配方法解方程的一般方法: 第一題：2x2?3?7x

解：將方程化成一般形式: 2x2?7x?3?0

兩邊都除以一次項系數:2

x2?732x?2?0

配方:加上再減去一次項系數一半的平方

x2?72x?(74934)2?16?2?0 即:(x?7254)2?16?0

(x?7254)2?16

兩邊開平方取“±” 得：

x?754??4

x?74?54

寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2

第二題：3x2?2x?1?0

解：兩邊都除以一次項系數:3

1=2

21x2?x??033

配方:加上再減去一次項系數一半的平方

2113x2?x?()2???0

3392即: 125(x?)2??0

3181225(x?)??318 25??018∵

∴原方程無解 活動目的：

（1）進一步夯實用配方法解方程的一般步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數范圍內都有解。

（3）教師還可以根據上節課作業情況，選學生出錯多的題目糾錯、練習.第二環節：講授新課

（1）活動1：自主推導求根公式。

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)學生在演算紙上自主推導、并針對自己推導過程中預見的問題在小范圍內自由研討。最后由師生共同歸納、總結，得出求根公式.解：兩邊都除以一次項系數:a

bc2x?x??0

aa 問：為什么可以兩邊都除以一次項系數:a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

bb2b2cx?x?()?2??0 a2a4aa2即:(x?b)a2b2?4ac??0 4a2b2b2?4ac(x?)?2a4a 問：現在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b 問：什么情況下 b22?4ac ?024a?4ac ?024a 學生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0

要使b2?4ac ?024a只要 b2-4ac≥0即可

∴當b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得：

2bb?4ac

x???a4a2bb2?4ac x???a2abb2?4ac x???a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現什么問題？ 答：方程無解

如果b2-4ac=0呢？答;方程有兩個相等的實數根。活動目的：

學生能否自主推導出來并不重要，重要的是由學生親身經歷公式的推導過程，只有經歷了這一過程，他們才能發現問題、汲取教訓、總結經驗，形成自己的認識.在集體交流的時候，才能有感而發。（2）活動2：歸納總結公式法定義和根的判別式。第三環節：例題講解 活動內容：

１、判斷下列方程是否有解：（學生口答）

(1)2x2+3=7x（2）x2-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0

學生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷出根的情況。問第（3）題的判斷，與第一環節中的第（2）題對比，哪種方法更簡捷？

２、上述方程如果有解，求出方程的解 學生口述，教師板書第（1）題，第（4）題 例：解方程 2x2+3=7x 解：先將方程化成一般形式 2x2-7x+3=0 確定a，b，c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根

∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴ x??b?b2?4ac2a

?7?252?2?7?54寫出方程的根，即

x1=3,x2=-1

2問：與第一環節中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？例：解方程 9x2+6x+1=0 確定a，b，c的值 解：a=9, b=6, c=1 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0 7

?b?b2?4acx?2a?6?0? ∴2?9?6?0?181??3

（剩下的題目教師根據時間情況選擇使用，個別學生上黑板做題，其他同學在座位上練習）

３、課本隨堂練習1、2.活動目的：通過讓學生或口述交流或上黑板解方程，公示學生的思維過程，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用所學知識的程度。第四環節：鞏固練習

活動內容：x2?x?6?0，8y(2y?5)??25

活動目的：在這個環節我遵循鞏固與發展相結合的原則，引導學生做練習題，在學生做練習時進行巡看，及時掌握學生做題情況，以便進行有針對的評價。讓學生以小組為單位進行比賽，看哪組又快又準。在提高做題速度的同時，學生之間相互交流查缺補漏。

第五環節：課堂小結 活動內容： 提出問題：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、如何判斷一元二次方程根的情況？

3、用公式法解方程應注意的問題是什么？

4、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學生在四人小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發言。活動目的：鼓勵學生回顧本節課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中。第六環節：布置作業

用公式法解下列方程（教師可根據實際情況選用）

1、課本47頁1,2題。

2、程解應用題

（1）已知長方形城門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么,門的高和寬各是多少?（2）一張桌子長4米,寬2米,臺布的面積是桌面面積的2倍,鋪在桌子上時,各邊下垂的長度相同,求臺布的長和寬

七、教學反思

1、要創造性的使用教材

教材只是為教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據學生的實際情況進行適當調整。本節課教師就根據學生實際情況，調整了配方時的個別過程，使之與后續知識學習相一致，添加了例題和練習題。

2、要為學生的終身學習奠基

這節課不能夠僅僅讓學生背公式、套公式解方程，而應讓學生初

步建立對一些規律性的問題加以歸納、總結的數學建模意識，親身體會公式推導的全過程，提高學生推理技能和邏輯思維能力；進一步發展學生合作交流的意識和能力．幫助學生形成積極主動的求知態度.10

第五篇：2.3+用公式法求解一元二次方程教學設計

第二章

一元二次方程

2．3用公式法求解一元二次方程

（一）一、學生知識狀況分析

學生的知識技能基礎：學生通過前幾節課的學習，認識了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已經能夠熟練地將一元二次方程化成它們的一般形式；在上一節課的基礎上，大部分學生能夠利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分認知較慢、運算不扎實的同學不能夠熟練使用配方法解一元二次方程.學生活動經驗基礎：學生已經具備利用配方法解一元二次方程的經驗；學生通過《規律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函數的圖像》中一次函數增減性的總結等章節的學習，已經逐漸形成對于一些規律性的問題，用公式加以歸納總結的數學建模意識，并且已經具備本節課所需要的推理技能和邏輯思維能力.教學重點：一元二次方程求根公式的推導及應用 教學難點：一元二次方程求根公式的推導過程

二、教學任務分析

公式法實際上是配方法的一般化和程式化，然后再利用總結出來的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯實上節課的配方法，在此基礎上再進行一般規律性的探求——推導求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引導學生自主的探索，正確地導出一元二次方程的求根公式是本節課的重點、難點之一；正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高學生的綜合運算能力是本節課的另一個重點和難點。

為此，本節課的教學目標是：

①在教師的指導下，學生能夠正確的導出一元二次方程的求根公式，并在探求過程中培養學生的數學建模意識和合情推理能力。

②能夠根據方程的系數，判斷出方程的根的情況，在此過程中，培養學生觀察和總結的能力.③通過正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學生的綜合運算能力。④通過在探求公式過程中同學間的交流、使用公式過程中的小技巧的交流，進一步發展學生合作交流的意識和能力

三、教學過程分析

本課時分為以下五個教學環節：第一環節：回憶鞏固；第二環節：探究新知；第三環節：鞏固新知；第四環節：收獲與感悟；第五環節：布置作業。

第一環節；回憶鞏固

活動內容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同學在練習本上運算,可找位同學上黑板演算 ②由學生總結用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數:2

x2?73x??022

x2? 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

77493x?()2???024162

即:

725(x?)2??0416725(x?)2?416

兩邊開平方取“±” 得：

x?75??44 75?44

x?1 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=2

第二題： 3x2+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數:3

x2?21x??033

x2? 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

2113x?()2???03392

即:

125(x?)2??0318

125(x?)2??318

∵

?25?018

∴原方程無解

第二環節 探究新知

（1）活動1：自主推導求根公式。

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)學生在演算紙上自主推導、并針對自己推導過程中預見的問題在小范圍內自由研討。最后由師生共同歸納、總結，得出求根公式.解：兩邊都除以一次項系數:a x2?bx?caa?0

問：為什么可以兩邊都除以一次項系數:a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

bbbc2x?2ax?(2a)?24a2?a?0即:

b2b2?4ac(x?)??0a4a2b2b2?4ac(x?)?a4a2 問：現在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0

24a2 學生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2 3 只要 b2-4ac≥0即可

∴當b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現什么問題？ 答：方程無解

如果b2-4ac=0呢？答;方程有兩個相等的實數根。第三環節：鞏固新知 活動內容：

１、判斷下列方程是否有解：（學生口答）

(1)2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 學生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷出根的情況。

問第（3）題的判斷，與第一環節中的第（2）題對比，哪種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學生口述，教師板書第（1）題，第（4）題

例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×

3=25>0 ∴

?b?b?4acx?2a7?257?5??2?242

寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環節中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？

例：解方程 9x2+6x+1=0 確定a,b,c的值 解：a=9, b=6, c=1 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=62-4×9×1=0

?b?b2?4acx?2a?6?0? ∴ 2?9?6?0?181??3（剩下的題目教師根據時間情況選擇使用，個別學生上黑板做題，其他同學在座位上練習）

３、課本隨堂練習1、2.第四環節：收獲與感悟

活動內容： 提出問題：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、如何判斷一元二次方程根的情況？

3、用公式法解方程應注意的問題是什么？

4、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學生在四人小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發言。第五環節：布置作業

用公式法解下列方程（教師可根據實際情況選用）

1、課本47頁1,2題。

2、程解應用題

（1）已知長方形城門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么,門的高和寬各是多少?（2）一張桌子長4米,寬2米,臺布的面積是桌面面積的2倍,鋪在桌子上時,各邊下垂的長度相同,求臺布的長和寬

四、教學反思

1、要創造性的使用教材

教材只是為教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據學生的實際情況進行適當調整。本節課教師就根據學生實際情況，調整了配方時的個別過程，使之與后續知識學習相一致，添加了例題和練習題。

2、要為學生的終身學習奠基

這節課不能夠僅僅讓學生背公式、套公式解方程，而應讓學生初步建立對一些規律性的問題加以歸納、總結的數學建模意識，親身體會公式推導的全過程，提高學生推理技能和邏輯思維能力；進一步發展學生合作交流的意識和能力．幫助學生形成積極主動的求知態度.6