最新人教版數學必修4教學設計

教學準備

教學目標

一、知識與技能

（1）理解并掌握弧度制的定義；

（2）領會弧度制定義的合理性；

（3）掌握并運用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式；

（4）熟練地進行角度制與弧度制的換算；

（5）角的集合與實數集之間建立的一一對應關系。

（6）使學生通過弧度制的學習，理解并認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統一的，而不是孤立、割裂的關系。

二、過程與方法

創設情境，引入弧度制度量角的大小，通過探究理解并掌握弧度制的定義，領會定義的合理性。根據弧度制的定義推導并運用弧長公式和扇形面積公式。以具體的實例學習角度制與弧度制的互化，能正確使用計算器。

三、情態與價值

通過本節的學習，使同學們掌握另一種度量角的單位制———弧度制，理解并認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統一的，而不是孤立、割裂的關系。角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與實數集之間建立了一一對應關系：即每一個角都有唯一的一個實數（即這個角的弧度數）與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角（即弧度數等于這個實數的角）與它對應，為下一節學習三角函數做好準備。

教學重難點

重點：理解并掌握弧度制定義；熟練地進行角度制與弧度制地互化換算；弧度制的運用。

難點：理解弧度制定義，弧度制的運用。

教學工具

投影儀等

教學過程

一、創設情境，引入新課

師：有人問：?？诘饺齺営卸噙h時，有人回答約250公里，但也有人回答約160英里，請問那一種回答是正確的？（已知1英里=1.6公里）

顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會有不同的數值呢？那是因為所采用的度量制不同，一個是公里制，一個是英里制。他們的長度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里。

在角度的度量里面，也有類似的情況，一個是角度制，我們已經不再陌生，另外一個就是我們這節課要研究的角的另外一種度量制———弧度制。

二、講解新課

1、角度制規定：將一個圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制與角度制之間如何換算？請看課本，自行解決上述問題。

2、弧度制的定義

長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）。

（師生共同活動）探究：如圖，半徑為的圓的圓心與原點重合，角的終邊與軸的正半軸重合，交圓于點，終邊與圓交于點。請完成表格。

我們知道，角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如—π，—2π等等，一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0，角的正負主要由角的旋轉方向來決定。

角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立了一一對應關系：即每一個角都有唯一的一個實數（即這個角的弧度數）與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角（即弧度數等于這個實數的角）與它對應。

四、課堂小結

度數與弧度數的換算也可借助“計算器”《中學數學用表》進行；在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦應確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數的集合之間建立一種一一對應的關系。

五、作業布置

作業：習題1.1 A組第7，8，9題。

課后小結

度數與弧度數的換算也可借助“計算器”《中學數學用表》進行；在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦應確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數的集合之間建立一種一一對應的關系。

課后習題

作業：習題1.1 A組第7，8，9題。

板書

數學（A版）必修4教學經驗交流

浙江省臺州市教育局教研室 李昌官

問題一：課改后教材發生了很大的變化，您覺得應該從哪些方面理解教材、把握教材？

答：這個問題比較大．我覺得應該從以下三方面理解教材、把握教材、吃透教材，進而超越教材．

一、把握好課標和教材要求的變化，領會其精神實質

課標和教材要求明顯降低的，如任意角的三角函數、同角三角函數的基本關系、三角恒等變換等，教師要理解課標和教材“削枝強干，精簡內容”的意圖，教學時沒有必要把教材中已經去掉的，如余切正割余割函數、已知三角函數值求角、精簡掉的誘導公式等再撿回來．半角公式、積化和差、和差化積公式，教材是以例題的形式，作為三角恒等變換的典型素材出現的，目的是提高學生的三角變換能力和三角運算能力，教學時沒有必要要求學生能夠應用這些公式解決問題．許多教師覺得《三角函數》和《三角恒等變換》教學課時不夠，我看主要是拔高了教學要求造成的．教學時要防止原來的教學習慣和粗制濫造的教學輔助用書對教學的不良影響，避免人為地增加學生的負擔．對課標和教材明確要求加強的，要切實落到實處．如通過“講背景、講應用”強化數學與現實的聯系，提升學生的數學應用能力；通過每章導語，闡明知識的來源與價值，明確學習的重點與問題，激發學生的學習興趣；通過每章小結，突出了知識的本質、結構及其相互關系，強化學生的回顧與反思意識，幫助學生形成良好的知識結構．

另外，教材設置了大量的“思考”與“探究”，是為了更好地引導學生思考，并達到“看過問題三百個，不會解題也會問”的目的．教學時也要注意加強對學生問題意識和質疑意識的培養．

教材設置的“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與發現”“信息技術應用”等欄目，表明了教材關注學生學習興趣和數學素養的提高，注重為不同的學生提供不同的發展空間．教師不僅要充分地認識到這一點，并且要使這些材料成為溝通數學課內與課外、教師教與學生學的橋梁．

二、搞清楚教材的知識結構，把握好教學的著重點

1． 把握知識形成與發展的思維主線和知識結構． 如第一章《三角函數》的知識形成與發展的主線為

第二章《平面向量》的知識形成與發展的思維主線和知識結構為

這其實是我們研究三角問題與向量問題的一個大“三步曲”．小而言之，它與用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”相一致；大而言之，它與我們學習和研究數學的整個“三步曲”相一致．或者說，數學教學要關注兩方面的問題：一是數學與現實的關系問題，即數學知識源于哪里、來自何處，又用于哪里、去向何處；二是數學內部的問題，即如何從數學內部建構相關知識，為解決現實問題提供足夠的、有效的工具．如從數學角度研究向量，需要解決下列問題：

除了以章為單位的，我們也應該搞清楚以節為單位的知識形成與發展的思維主線．如教材《正弦函數、余弦函數的圖象》中明確指出：“遇到一個新的函數，非常自然的是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有什么特殊點，并借助圖象研究它的性質．”這段話指明了研究函數的一般思路與方法，也指明了知識發展的主線．

2．準確地把握教學的著重點

許多教師教學時把大量的時間花在一些細枝末節、一招一式的東西上，放在講解例題和做習題上，給人以“輕重倒置”“本末倒置”之感．就當前課堂教學而言，一要教學重心前移，如弧度制、任意角的三角函數、平面向量基本定理、兩角和與差的三角公式等，要切實研究如何加強概念形成與定理發現過程的教學，因為數學概念和定理法則所蘊含的數學思想方法和思維方法更加豐富，是學生思維的“磨刀石”．二要加強核心知識教學．如第一章《三角函數》要突出如何用三角函數描述、刻畫圓和現實生活中的周期變化；第二章《平面向量》的著重點要放在向量問題與幾何問題如何相互轉化和利用向量解決幾何問題與物理問題上；第三章《三角恒等變換》要突出變換的思想與方法，而切忌搞人為技巧化的難題和過分強調細枝末節的內容．

3．完整、準確、深刻地理解知識，把握知識的本質

(1)完整地理解知識．如要把零角、零向量、零向量與任一向量平行、分別看作任意角、向量、向量平行概念、向量加法運算法則的有機組成部分來處理．這樣會既有助于學生全面、深刻地理解數學知識，也可以有效地避免學生解題時出現思維漏洞．

(2)準確地理解知識．如許多教師對為什么用單位圓上點的坐標來定義三角函數很困惑，其實這是由三角函數的本質、單位圓的功能決定的．首先，三角函數是刻畫周期現象的數學模型，而“周期現象”最典型、最簡單的實例就是勻速圓周運動；其次，這種定義方式使正余弦函數從自變量(角的弧度數)到函數值(單位圓上點的橫、縱坐標)之間的對應關系更加簡單、明了，而且反映本質；第三，高中角的概念與初中不同，它不僅是轉出來的，并且是用單位圓的半徑來度量的；第四，單位圓定義使數與形內在的統一性、和諧性體現得更加明顯、更加充分．單位圓上點的縱坐標、橫坐標就是相應三角函數線的數量；第五，強化單位圓的工具價值，為后面研究同角三角函數的基本關系、誘導公式、三角函數的圖象、兩角差余弦公式等提供了方便．當然，用單位定義三角函數也會有不足，如與學生的原有認知基礎距離較大，有時使用不方便．教學時可以同時向學生介紹坐標比值定義和單位圓定義．這樣，一方面使這兩種定義優勢互補，另一方面也有助于學生更好地理解三角函數的概念．

(3)深刻地理解知識．如平面向量基本定理，我們不僅要理解定理本身，而且要通過這個定理認識到事物由基本要素構成的；認識到分解與綜合是解決問題的常用方法；認識到平面向量基本定理與平行向量之間的關系定理、空間向量基本定理在本質與思維方法都是一致的，是一維空間、二維空間、三維空間的維數在代數表達式中的體現．要高度重視理解教材旁邊的框圖，并通過這些框圖更好地理解知識．如“你能說說在直角坐標系內討論角的好處嗎？”“單位圓中的三角函數線是數形結合的有效工具，借助它，不但可以畫出準確的三角函數圖象，還可以討論三角函數的性質．”“考察三角函數的性質，就是要研究這類函數具有的共同特點．”“因為有了運算，向量的力量無限，如果不能進行運算，向量只是示意方向的路標．”“思維的有序性和表達的條理性是三角變換的基本要求．”“‘倍’是描述兩個數量之間關系的，2是的二倍，4是2的二倍，的二倍，這里蘊含著換元思想．”

問題二：提升課堂教學的有效性是一個永恒的主題，在課改的背景下我們應該怎樣評價和衡量課堂教學有效性的？

答：我覺得應該從以下四個方面衡量課堂教學的有效性：

第一，課堂教學對多少學生有效．如果全班50個學生中，基礎好的10個學生教師不教他就已經知道，基礎差的10個學生教師教后他還不知道，那么這節課就只有對中間的60%的學生有效．

第二，課堂教學對學生的哪些方面有效．我們要看到有相當多的課堂教學在知識與技能方面是有效的，在過程與方法方面是低效的，在情感態度與價值觀方面是負效的．

第三，課堂教學對學生多大程度上有效．對每個學生個體來說，課堂45分鐘他真正有效利用的時間有多少．高效的課堂教學應關注和提高每個學生的有效學習時間．

第四，課堂教學對學生多長時間內有效．我們應該有今天的課堂教學能為學生的明天和后天留下什么的意識．

因此，對課堂教學的有效性，我們不僅應該有全面衡量的意識，也應該有從定性與定量兩方面衡量的意識．就當前課堂教學而言，我們要特別關注數學教學品質問題．我認為，數學教學的品質由低到高可分為如下四個層次：一是數學知識技能教學層次，重在解決是什么、怎樣做的問題；二是數學思想方法教學層次，重在解決用怎樣的思想與方法做的問題；三是數學思維教學層次，重在解決怎樣想到這樣做、為什么要這樣做的問題；四是數學精神與文化教學層次，重在促進學生心智、個性、觀念、精神等和諧協調地發展．正視數學教學的品質問題，對提高數學教學效益、推進數學學科素質教育大有裨益．

以《平面向量基本定理》為例，采用“一個定理+三項注意”的模式，重點放在學生接受平面向量的基本定理和例題、習題的模仿與訓練上，是一個層次；告訴學生平面向量基本定理蘊含著分解、轉化思想，重點放在定理的得出和證明的方法上是另一層次；理解平面向量基底的作用與意義，師生共同探討為什么要研究這個問題，怎樣研究這個問題，搞清楚其中思維的自然性與合理性則是更高的一個層次；如果學生能由平面向量基本定理體會到“事物是相互聯系、相互轉化的”“事情是由一定的基本要素構成的，可以用構成它的基本要素來表示”“研究事物可轉化為對它的基本要素的研究”，有助于養成理性地、有條理地思考和探究問題的習慣，那就更理想．

問題三：合理的教學設計是保證課堂教學效益的關鍵，請問您覺得教師在教學設計時要注意什么？

答：我覺得當前教學設計要注意兩個優化：一是教學目標的優化；二是教學設計思維方式的優化．

就教學目標而言，當前普遍存在照搬課標和教材目標的盲目性，只顧知識目標而忽視思維與情感目標的片面性，目標寫在紙上而與具體教學設計相脫節的模糊性，忽視學生個體差異而全班甚至全校一刀切的單一性等問題．相應地，我覺得制定教學目標需要大處著眼，小處著手，在準確把握知識的本質和內在聯系、準確把握學生原有認知結構的基礎上，做到以下“五個性”：

1．全面性．即數學教學要以學生知識、思維、情感等全面和諧發展為目標，不能只顧知識教學而忽視智慧教學、情感教學，數學教學一定要有讓學生通過數學學習而變得更聰明、更理性、更樂于學習的意識．

2．整體性．正如空間一個點具有三維坐標一樣，知識與技能、思維與方法、情感態度與價值觀是數學教學不同的三個側面，是一個統一的、“你中有我、我中有你”的整體，既要根據實際有所側重，又要防止把知識、技能、思維、情感人為地割裂．

3．明確性．要切切實實明了這節課學生要掌握什么、掌握到什么程度，增強教學目標對教學設計的指導性，對學生達標與否的評判功能．

4．差異性．教師心中不僅要有一般性、抽象的學生，也要有具體的、鮮活的個體學生，教學目標不可一刀切，而應因人而異．前段時間看到一份材料，中國人在澳大利亞的一個只有20多個學生的班級里聽課，教師為不同的學生準備了6份自覺提綱，由此可見他們是如何滿足不同學生的不同需求．

5．適切性．課標和教材對教學具有很好的指導性，但全國統一的課程標準不可能為每個具體的學生“量身定做”，因此制定具體教學目標時，不僅要基于課標和教材，更要基于學生的實際．

以《兩角差的余弦公式》為例，“全面性”就是要求避免機械地呈現、講解公式及其證明過程，而要高度關注其中所蘊含的思想方法和思維方法，幫助學生養成追根究底的習慣和意識；“整體性”就是要求在公式發現過程和證明過程的探究中加深對公式的理解，同時發展思維，增強思考和探究的樂趣；“明確性”就是要求基礎好的學生對公式的整個探索過程有一個比較透徹的理解，能利用公式熟練解決課后的相應練習和習題；“差異性”就是允許部分學生對公式發現和證明的思想方法理解不到位，甚至不理解；“適切性”就是根據不同學校學生的實際可以有不同的教學要求，學生基礎差的學?？梢院喕降牟孪肱c發現過程、證明思路的探究過程，而改為在特殊值驗證的基礎上直接呈現公式和公式的證明思路、方法，然后說明其合理性．

就教學設計的思維方式而言，我覺得突出以下三點：

一要突出大背景、大問題，做到孫維剛先生所說的“見樹木更見森林，見森林才見樹木”．教學時首先要向學生介紹本章的全貌．這方面教材的章頭語為我們提供了很好的幫助．如教材第二章《平面向量》的章頭語指出：“向量是近代數學中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可以轉化為向量的加(減)法、數乘向量、數量積運算(運算律)，從而把圖形的性質轉化為向量的運算體系．”這段話闡明了向量的背景、地位、作用、作用的途徑與方式，為本章學習指明了方向．

又如教材第三章《三角恒等變換》的章頭語指出：“變換是數學的重要工具．??三角變換是只變其形不變其質的，它揭示了某些外形不同但實質相同的三角函數式之間的內在聯系．??三角變換包括變換的對象，變換的目標，以及變換的依據和方法等要素．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式就是三角變換的基本依據．通過這些公式的探求，以及利用這些公式進行三角變換，我們將在怎樣預測變換的目標，怎樣選擇變換公式，怎樣設計變換的途徑等方面作出思考，這些都將幫助我們進一步提高推理能力和運算能力”．這段話指明了三角變換的背景、性質、內涵、依據、思路與目的．

二要突出大思路、大框架，如《任意角》部分重在解決兩方面的問題：一是怎樣有效地刻畫和研究日常生活和工作中存在的各種各樣的角，把生活問題和現實問題數學化，包括引入正角、負角；二是怎樣從數學內部深入地研究角及其它們之間的關系，包括引入零角、象限角、終邊相同的角等概念．又如研究函數

圖象，其大思路、大框架是“化整為零，各個擊破，再積零為整”，因為“天下難事作于易，天下大事作于細”．事實上，每節課都應盡可能在搞清楚“需要研究什么問題和應該用怎樣的方法研究這些問題”的基礎上進行教學，這樣對學生認識和把握教材的知識結構，優化學生的思維品質，提升他們的探索能力和自主建構知識的能力非常有好處，也是讓課堂教學成為“教師指導下學生自主探究知識、建構知識”過程的有效途徑．

三要做到“三個自然地合理地”，即要引導學生自然地合理地提出問題、自然地合理地解決問題、自然地合理地拓展問題．

要突出提出問題的自然性與合理性．由于提出問題是解決問題的邏輯前提，并且提出問題對學生的思維品質和主動性有更高的要求，因此完整的數學學習應包括學“問”與學“答”兩方面．教師應創設問題產生的情境，引導學生從解決現實問題和數學知識邏輯發展的需要中提出問題．如對兩角和與差的余弦公式，既可以由觀察誘導公式提出，也可以由如何求sin75°=?cos15°=?等提出，也可以由函數的圖象可以由函數的圖象通過平移得到進而猜想它們的表達式也有內在的聯系，也可以由現實中相應的問題提出．

要突出解決問題思維的自然性與合理性．世界上不存在“沒有為什么的事物”，我們要站在系統的、結構的高度，從事物的產生源頭和構成要素出發，尋找解決問題的思路與方法．如函數是三角函數的上位概念，而定義域、值域、對應關系是函數的三個要素，因此三角函數的概念從銳角推廣到任意角后，我們自然應考慮其定義域、值域、對應關系發生了怎樣的變化．三角函數表達式由函數名稱、角及其結構三方面共同決定，因此三角恒等變換自然要從函數名稱的變換、角的變換、結構特征的變換來尋找變換的思路與方法；向量具有數與形兩方面的特征，我們自然應該從數與形兩方面思考向量問題．

要突出拓展問題的必要性與必然性．如建立任意角概念后，自然要研究角的“分類”和表示法；建立任意角的三角函數概念后，自然要研究三角函數的性質、圖象及其應用；建立向量概念后，自然要研究向量相關概念、向量表示法、向量之間的關系、向量運算及其運算律等．

這里，我想和大家一起重溫一下本套教材的《主編寄語》：“在這套教科書中出現的數學內容，是在人類長期的實踐中經過千錘百煉的數學精華和基礎，其中的數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的．如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其他概念的聯系，你就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味．”這段話不僅闡明了數學是自然的，而且指導我們如何從它的背景、它的形成過程、它的應用、它與其他概念的聯系等方面入手搞清楚為什么是自然的．

問題四：您多次說過，當前數學教學最欠缺的是能力與思維教學，但真正做到、做好這一點很難，請問您在這方面有什么建議？

答：做到、做好這一點的確很難，這里既有教師的因素，也有學生的因素．但我認為，只要我們有能力教學和思維教學的意識，并持之以恒、不斷地尋找能力和思維教學的途徑與方式，那我們的學生一定會變得更加聰明、更加善于思考、更加喜歡數學學習．為了有效地加強能力與思維教學，我覺得要做到以下三點：

一、積極挖掘知識所蘊含的數學思想方法，切實加強數學方法論教學

如《三角函數》章的數學輔助工具是直角坐標系、單位圓和三角函數線，主要思維方法是歸納、類比，主要數學思想方法是數形結合、分類討論、函數思想、分解轉化．教學時要注意通過單位圓、三角函數線這兩個數與形結合的典范，揭示形象、直觀的幾何與精確、抽象的代數之間的內在聯系與統一，幫助學生形成“以數論形”與“以形論數”的思維習慣．

《平面向量》章最重要的思想方法，一是把現實問題數學化，舍棄力、位移、速度、加速度等的物理背景，抽象出這些量的共同特征──“既有大小又有方向”，進而建立向量的概念；二是數學問題現實化，向量加法運算、減法運算、數乘運算、數量積應遵循怎樣的法則等問題，都應該從向量形成與產生的源頭即相應的現實背景中尋找啟發；三是牢牢把握向量所具有的數與形兩方面的特征，善于從數與形兩方面思考問題；四是突出類比與轉化，包括向量及其運算與數及其運算的類比、向量之間的分解與轉化、向量問題與幾何問題和物理問題之間的轉化．

二、積極挖掘知識發展所蘊含的思維方法，切實加強思維方法論教學

數學探索應該在一定的數學思想方法和思維方法指導下進行，應該讓學生在搞清楚探究和解決問題主導思想的前提下再研究、解決細節問題，盲目地“摸著石頭過河”“走一步算一步”，那是很危險的．

要強化歸納、類比等思維方法．如2.1.1節《向量的物理背景與概念》教材中明確指出：“回顧學習數的概念，我們可以從一枝筆、一棵樹、一本書??中抽象出只有大小的數量“1”．類似地，我們可以對力、位移??這些既有大小又有方向的量進行抽象形成一種新的量．”這段話包含著兩層意思：一是向量的概念是通過對現實問題的歸納、概括、抽象得到的．二是向量具有數的特征，學習和研究向量應注意與學習數進行類比，從運算法則和運算律兩方面進行研究．

要幫助學生養成良好的思維習慣和方法．引導學生遇事多問幾個“為什么”和“怎樣想到”：如為什么要引入任意角、象限角的概念，為什么先推導兩角差的余弦公式而不是兩角和的正弦公式；怎么想到利用單位圓來定義三角函數和引入向量的坐標運算．要培養學生追根究底的意識和習慣．現在學生的創新思維、創新意識不足的根源在于教學重接受與模仿．我們一定要讓學生認識到，數學學習就是一個不斷提出問題、不斷解決問題、不斷拓展問題的過程；要時刻注意對所學的知識進行歸納、類比、特殊化、推廣．如由正弦、余弦函數的周期性，想到一般的周期函數；由的周期為，想到“如果函數的周期是T，那么函數的周期是”是否成立．要善于從簡單的事例中提取、發現深刻的思維方法：如通過研究、與的圖象之間的關系來研究與的圖象之間的關系，就蘊含著從特殊到一般、從簡單到復雜、分類討論、數形結合等思想方法．

要引導學生從事物產生的“源頭”、構成要素及其相互聯系中尋找思維的切入點．如向量形成與產生的“源頭”是位移、力、速度等，那么研究向量加法及其運算律，就應該從位移、力、速度等合成中尋找啟發和幫助．教學時，應先提出研究向量加法的問題，再來看位移、力、速度是如何合成的，而不是反過來．又如函數個“要素”決定的，因此研究、、的圖象自然地要研究A、圖象會發生怎樣的變化．

是由A、三

發生變化時，三、充分利用思維難點，而不是回避思維難點

高品質的數學教學不但要引導學生提出接近研究水平的問題，而且還要啟發學生用接近研究水平的方式解決問題．由于思維難點往往與思維方式的突破緊密聯系在一起，因此它是學生思維的“磨刀石”，是會生“金蛋的母雞”，教學時要在思維難點上多花時間，盡力突破．

如為什么要引入弧度制？如何引入弧度制？因為每種單位制都有其優點和缺點，不同的單位制能帶來不同的方便．角度制中，角的60進位制與其三角函數值的10進制存在著明顯的不協調； sin30°=0.5中，左端的30°是用弧長來度量的，以1°為單位，而右端的0.5可以看作正弦線的長，它是以半徑為單位的．這正如如果有人給出一張桌子的尺寸：長是1.2米，寬是2.5英尺，我們會覺得不自然、不方便一樣．另外，把圓周分成360等份，具有偶然性和主觀性．這就促使我們思考，有沒有更客觀、更合理的度量角的方式，聯想到，即無論圓周長是多少都只能分成2個半徑單位，因此以長度等于半徑長的弧所對的圓心角規定為1(弧度)是科學的、合理的．教學時，要牢牢抓住從角度制到弧度制的過渡與銜接的本質是如何更科學、更合理地等分圓周．

又如任意角三角函數概念的難點在于如何突破借助直角三角形定義三角函數的思維局限，由銳角三角函數概念中直角三角形邊的比，轉化平面直角坐標系中坐標的比．考慮到任意角的三角函數是在銳角三角函數的基礎上學習的，因此任意角三角函數的定義自然應在銳角三角函數定義中尋找啟發．仔細考察初中的銳角三角函數定義，不難發現：雖然銳角三角函數是借助直角三角形來定義的，它的函數值大小卻是由角的大小確定的，即無論把銳角放在放到怎樣的三角形中或不放在三角形中，都不改變其函數值的大?。@就啟發我們，直角三角形只是定義銳角三角函數的載體與工具，而不是銳角三角函數所固有的本質屬性．既然如此，那完全可能用新的載體與工具來定義銳角三角函數．由直角三角形聯想到平面直角坐標系和上節課在直角坐標系中討論角，可以比較自然地想到把銳角放到直角坐標系中．這樣就會發現：可以借助角終邊上點的坐標來定義三角函數，并且這個新的定義與前面借助直角三角形的邊來定義本質上是一樣的．只不過，當在直角坐標系中銳角的終邊上任取一個點P(x，y)，再作出直角三角形時，x、y有雙重含義．即從幾何角度看，它們表示直角三角形的邊長；從代數角度看，它們表示點P的橫坐標和縱坐標．

四、基于感性，發展理性

教學要從具體經驗入手，但不能止于具體經驗，而要逐步向抽象和普遍發展．教材中許多問題的處理，都是遵循從特殊到一般的原則進行，這既有利于降低思維的難度，也可以通過具體的例子為一般性的原理提供生動直觀、有血有肉的事例．但數學是嚴謹的、理性的，數學的價值在于發展學生的思維能力．因此我們要在學生獲得感性認識的基礎上，幫助和促進他們形成理性認識．如研究三角函數的性質，我們既要注意通過觀察具體的、特殊的三角函數的圖象得出，也要注意回歸到三角函數定義和三角表達式這一源頭來說明或論證三角函數的性質，把“以形論數”與“以數論形”有機地結合起來．對函數象與函數

圖圖象的關系問題，也要注意從代數表達式這一源頭來說明問題，而不能止于觀察、歸納，而應該有理性的思考和更嚴謹的依據．

總之，數學思想方法、思維方法教學要重在與知識教學相結合，并且要引導學生善于及時歸納、體會、感悟知識探究與發展過程中所蘊含的數學思想方法與思維方法．

問題五：改進學生的學習方式是本次課程改革的重要內容，您能否結合實際談談如何改進學生的學習方式？

答：當前學生學習存在的問題比教師教學存在的問題更多、更大，這也預示著學生的學習有著很大的改進和提高的空間．就學生的數學課堂學習而言，我覺得要注意以下四點：

1．讓學生帶著問題主動思考，而不是被動地跟著教師走．教材十分強調問題性，我理解包含著三層意思：一是要注意引導學生自然地提出問題，幫助學生養成“凡事問個為什么”的習慣；二是要用問題來引導和促進學生學習，讓學生的學習變得更主動、更生動、更富有探索性和趣味性；三是用問題來拓展學生的思維深度和廣度，溝通知識間的內在聯系．

2．避免“聽多思少”“做多悟少”現象，加強學生的學習感悟．現在課堂教學還存在著十分明顯的接受學習時間與發現學習時間比例失調的問題，學生聽多悟少的問題，學生只會把書讀厚而不會把書讀薄的問題．孔子曰：學而不思則罔．學生只接受，而不消化、不整理，嚴重地影響和降低了學習的效益，因此課堂教學要為學生的獨立思考和自我感悟留出時間和空間．要鼓勵和幫助學生及時梳理所學知識，理清知識形成與發展的思維主線，了解知識間的相互聯系，努力形成良好的知識結構．這方面，教材每章小結中的“本章知識結構”和“回顧與思考”都為我們提供了很好的素材．我們要積極借助這些素材讓學生把書讀“薄”．

3．幫助學生樹立“能跑則跑，能飛則飛”意識，切實減少課堂上放慢學習、等待學習等現象，避免學生自己學習探索20分鐘能解決的問題跟著教師學卻用了45分鐘．如同角三角函數的基本關系、誘導公式等內容，對優秀學生，教師完全可以放開讓他們自己探究、發現，并獨立完成教材上的例題和習題．

4．強化學生學習方法和學習效率意識，向學習方法、學習興趣、學習效率要質量．要強化學生的數學方法論和數學思維論意識，引導他們關注提出問題、解決問題思維的合理性，從而促進有效的、積極的遷移；對所學例題、習題，要善于從知識、方法、思維、注意點等角度進行剖析，進而使無限多的高中數學題目能通過運用有限的知識、方法、策略加以解決．

問題六：教材是教學的重要材料和依據，但又有一些與學生實際不相吻合的地方，請問我們該如何處理教材與教學的關系？

答：首先，我們要認真仔細閱讀教材，深刻地理解教材的編寫意圖、知識結構與知識本質．這一點前面已經講得比較多，這里不再重復．

第二，要增強用教材教而不是教教材的意識，教師可在認真思考的基礎上，基于課標，根據自己的教學風格和學生的實際對教材進行再調整、再開發．如《函數的圖象》教學，有些教師習慣先分別探索把

對函數

圖象的影響，再圖象的變化，我覺得也中2個量或3個量結合在一起探討函數是可行的．《平面向量的實際背景與基本概念》教學，可以把零向量、向量的模、單位向量等概念往前移到《向量的物理背景與概念》部分，作為向量概念的一個有機組成部分和自然延伸加以處理；而把平行向量的概念可以往后移到《相等向量與共線向量》部分，使它們之間的聯系更加緊密．

第三，可以根據學生的實際，慎重地對教材的習題甚至例題進行調整或改編．《三角函數模型的簡單應用》《平面向量應用舉例》《簡單的三角恒等變換》這三節教材中都有偏難或過難的例題和習題．這些例題和習題，我覺得可以根據學生的接受能力加以恰當的調整甚至放棄，也可以根據不同學生的實際作選學或選做處理．因為學生是教學的最大出發點和著力點．

問題七：加強數學與現實的聯系、強化數學的應用價值是新課程的一個重要理念，請問教學時該如何處理數學與現實、數學與應用的關系？

答：教材提出的“講背景，講數學，講應用”已經為這個問題的解決提供了很好的指導原則，具體教學要基于數學“源于現實，高于現實，用于現實”的思路加以處理．但在具體操作時要注意，“源于現實”并不等于每節課都要從實際問題引入，因為大量的數學問題是數學知識內部邏輯發展所必然提出的；“高于現實”是指把現實問題數學化，去掉現實問題中“形”與“量”以外的非數學本質的屬性，如向量概念就沒有考慮力的三要素中的作用點；“用于現實”是指要體現數學的應用價值，并通過數學應用來強化數學學習，但要量力而行，不搞“唯用至上”．