最新人教版數(shù)學(xué)必修4教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)準(zhǔn)備

教學(xué)目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

（1）理解并掌握弧度制的定義；

（2）領(lǐng)會(huì)弧度制定義的合理性；

（3）掌握并運(yùn)用弧度制表示的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式；

（4）熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的換算；

（5）角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（6）使學(xué)生通過(guò)弧度制的學(xué)習(xí)，理解并認(rèn)識(shí)到角度制與弧度制都是對(duì)角度量的方法，二者是辨證統(tǒng)一的，而不是孤立、割裂的關(guān)系。

二、過(guò)程與方法

創(chuàng)設(shè)情境，引入弧度制度量角的大小，通過(guò)探究理解并掌握弧度制的定義，領(lǐng)會(huì)定義的合理性。根據(jù)弧度制的定義推導(dǎo)并運(yùn)用弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式。以具體的實(shí)例學(xué)習(xí)角度制與弧度制的互化，能正確使用計(jì)算器。

三、情態(tài)與價(jià)值

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們掌握另一種度量角的單位制———弧度制，理解并認(rèn)識(shí)到角度制與弧度制都是對(duì)角度量的方法，二者是辨證統(tǒng)一的，而不是孤立、割裂的關(guān)系。角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：即每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng)，為下一節(jié)學(xué)習(xí)三角函數(shù)做好準(zhǔn)備。

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解并掌握弧度制定義；熟練地進(jìn)行角度制與弧度制地互化換算；弧度制的運(yùn)用。

難點(diǎn)：理解弧度制定義，弧度制的運(yùn)用。

教學(xué)工具

投影儀等

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

師：有人問(wèn)：海口到三亞有多遠(yuǎn)時(shí)，有人回答約250公里，但也有人回答約160英里，請(qǐng)問(wèn)那一種回答是正確的？（已知1英里=1.6公里）

顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會(huì)有不同的數(shù)值呢？那是因?yàn)樗捎玫亩攘恐撇煌粋€(gè)是公里制，一個(gè)是英里制。他們的長(zhǎng)度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里。

在角度的度量里面，也有類似的情況，一個(gè)是角度制，我們已經(jīng)不再陌生，另外一個(gè)就是我們這節(jié)課要研究的角的另外一種度量制———弧度制。

二、講解新課

1、角度制規(guī)定：將一個(gè)圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等。

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制與角度制之間如何換算？請(qǐng)看課本，自行解決上述問(wèn)題。

2、弧度制的定義

長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫(xiě)）。

（師生共同活動(dòng)）探究：如圖，半徑為的圓的圓心與原點(diǎn)重合，角的終邊與軸的正半軸重合，交圓于點(diǎn)，終邊與圓交于點(diǎn)。請(qǐng)完成表格。

我們知道，角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如—π，—2π等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定。

角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：即每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng)。

四、課堂小結(jié)

度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計(jì)算器”《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》進(jìn)行；在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無(wú)論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

五、作業(yè)布置

作業(yè)：習(xí)題1.1 A組第7，8，9題。

課后小結(jié)

度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計(jì)算器”《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》進(jìn)行；在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無(wú)論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

課后習(xí)題

作業(yè)：習(xí)題1.1 A組第7，8，9題。

板書(shū)

數(shù)學(xué)（A版）必修4教學(xué)經(jīng)驗(yàn)交流

浙江省臺(tái)州市教育局教研室 李昌官

問(wèn)題一：課改后教材發(fā)生了很大的變化，您覺(jué)得應(yīng)該從哪些方面理解教材、把握教材？

答：這個(gè)問(wèn)題比較大．我覺(jué)得應(yīng)該從以下三方面理解教材、把握教材、吃透教材，進(jìn)而超越教材．

一、把握好課標(biāo)和教材要求的變化，領(lǐng)會(huì)其精神實(shí)質(zhì)

課標(biāo)和教材要求明顯降低的，如任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角恒等變換等，教師要理解課標(biāo)和教材“削枝強(qiáng)干，精簡(jiǎn)內(nèi)容”的意圖，教學(xué)時(shí)沒(méi)有必要把教材中已經(jīng)去掉的，如余切正割余割函數(shù)、已知三角函數(shù)值求角、精簡(jiǎn)掉的誘導(dǎo)公式等再撿回來(lái)．半角公式、積化和差、和差化積公式，教材是以例題的形式，作為三角恒等變換的典型素材出現(xiàn)的，目的是提高學(xué)生的三角變換能力和三角運(yùn)算能力，教學(xué)時(shí)沒(méi)有必要要求學(xué)生能夠應(yīng)用這些公式解決問(wèn)題．許多教師覺(jué)得《三角函數(shù)》和《三角恒等變換》教學(xué)課時(shí)不夠，我看主要是拔高了教學(xué)要求造成的．教學(xué)時(shí)要防止原來(lái)的教學(xué)習(xí)慣和粗制濫造的教學(xué)輔助用書(shū)對(duì)教學(xué)的不良影響，避免人為地增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)．對(duì)課標(biāo)和教材明確要求加強(qiáng)的，要切實(shí)落到實(shí)處．如通過(guò)“講背景、講應(yīng)用”強(qiáng)化數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；通過(guò)每章導(dǎo)語(yǔ)，闡明知識(shí)的來(lái)源與價(jià)值，明確學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過(guò)每章小結(jié)，突出了知識(shí)的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系，強(qiáng)化學(xué)生的回顧與反思意識(shí)，幫助學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

另外，教材設(shè)置了大量的“思考”與“探究”，是為了更好地引導(dǎo)學(xué)生思考，并達(dá)到“看過(guò)問(wèn)題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問(wèn)”的目的．教學(xué)時(shí)也要注意加強(qiáng)對(duì)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)和質(zhì)疑意識(shí)的培養(yǎng)．

教材設(shè)置的“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)應(yīng)用”等欄目，表明了教材關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，注重為不同的學(xué)生提供不同的發(fā)展空間．教師不僅要充分地認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，并且要使這些材料成為溝通數(shù)學(xué)課內(nèi)與課外、教師教與學(xué)生學(xué)的橋梁．

二、搞清楚教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握好教學(xué)的著重點(diǎn)

1． 把握知識(shí)形成與發(fā)展的思維主線和知識(shí)結(jié)構(gòu)． 如第一章《三角函數(shù)》的知識(shí)形成與發(fā)展的主線為

第二章《平面向量》的知識(shí)形成與發(fā)展的思維主線和知識(shí)結(jié)構(gòu)為

這其實(shí)是我們研究三角問(wèn)題與向量問(wèn)題的一個(gè)大“三步曲”．小而言之，它與用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”相一致；大而言之，它與我們學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的整個(gè)“三步曲”相一致．或者說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注兩方面的問(wèn)題：一是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系問(wèn)題，即數(shù)學(xué)知識(shí)源于哪里、來(lái)自何處，又用于哪里、去向何處；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題，即如何從數(shù)學(xué)內(nèi)部建構(gòu)相關(guān)知識(shí)，為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供足夠的、有效的工具．如從數(shù)學(xué)角度研究向量，需要解決下列問(wèn)題：

除了以章為單位的，我們也應(yīng)該搞清楚以節(jié)為單位的知識(shí)形成與發(fā)展的思維主線．如教材《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》中明確指出：“遇到一個(gè)新的函數(shù)，非常自然的是畫(huà)出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有什么特殊點(diǎn)，并借助圖象研究它的性質(zhì)．”這段話指明了研究函數(shù)的一般思路與方法，也指明了知識(shí)發(fā)展的主線．

2．準(zhǔn)確地把握教學(xué)的著重點(diǎn)

許多教師教學(xué)時(shí)把大量的時(shí)間花在一些細(xì)枝末節(jié)、一招一式的東西上，放在講解例題和做習(xí)題上，給人以“輕重倒置”“本末倒置”之感．就當(dāng)前課堂教學(xué)而言，一要教學(xué)重心前移，如弧度制、任意角的三角函數(shù)、平面向量基本定理、兩角和與差的三角公式等，要切實(shí)研究如何加強(qiáng)概念形成與定理發(fā)現(xiàn)過(guò)程的教學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念和定理法則所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和思維方法更加豐富，是學(xué)生思維的“磨刀石”．二要加強(qiáng)核心知識(shí)教學(xué)．如第一章《三角函數(shù)》要突出如何用三角函數(shù)描述、刻畫(huà)圓和現(xiàn)實(shí)生活中的周期變化；第二章《平面向量》的著重點(diǎn)要放在向量問(wèn)題與幾何問(wèn)題如何相互轉(zhuǎn)化和利用向量解決幾何問(wèn)題與物理問(wèn)題上；第三章《三角恒等變換》要突出變換的思想與方法，而切忌搞人為技巧化的難題和過(guò)分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容．

3．完整、準(zhǔn)確、深刻地理解知識(shí)，把握知識(shí)的本質(zhì)

(1)完整地理解知識(shí)．如要把零角、零向量、零向量與任一向量平行、分別看作任意角、向量、向量平行概念、向量加法運(yùn)算法則的有機(jī)組成部分來(lái)處理．這樣會(huì)既有助于學(xué)生全面、深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以有效地避免學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)思維漏洞．

(2)準(zhǔn)確地理解知識(shí)．如許多教師對(duì)為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義三角函數(shù)很困惑，其實(shí)這是由三角函數(shù)的本質(zhì)、單位圓的功能決定的．首先，三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，而“周期現(xiàn)象”最典型、最簡(jiǎn)單的實(shí)例就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)；其次，這種定義方式使正余弦函數(shù)從自變量(角的弧度數(shù))到函數(shù)值(單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo))之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更加簡(jiǎn)單、明了，而且反映本質(zhì)；第三，高中角的概念與初中不同，它不僅是轉(zhuǎn)出來(lái)的，并且是用單位圓的半徑來(lái)度量的；第四，單位圓定義使數(shù)與形內(nèi)在的統(tǒng)一性、和諧性體現(xiàn)得更加明顯、更加充分．單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)就是相應(yīng)三角函數(shù)線的數(shù)量；第五，強(qiáng)化單位圓的工具價(jià)值，為后面研究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象、兩角差余弦公式等提供了方便．當(dāng)然，用單位定義三角函數(shù)也會(huì)有不足，如與學(xué)生的原有認(rèn)知基礎(chǔ)距離較大，有時(shí)使用不方便．教學(xué)時(shí)可以同時(shí)向?qū)W生介紹坐標(biāo)比值定義和單位圓定義．這樣，一方面使這兩種定義優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，另一方面也有助于學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念．

(3)深刻地理解知識(shí)．如平面向量基本定理，我們不僅要理解定理本身，而且要通過(guò)這個(gè)定理認(rèn)識(shí)到事物由基本要素構(gòu)成的；認(rèn)識(shí)到分解與綜合是解決問(wèn)題的常用方法；認(rèn)識(shí)到平面向量基本定理與平行向量之間的關(guān)系定理、空間向量基本定理在本質(zhì)與思維方法都是一致的，是一維空間、二維空間、三維空間的維數(shù)在代數(shù)表達(dá)式中的體現(xiàn)．要高度重視理解教材旁邊的框圖，并通過(guò)這些框圖更好地理解知識(shí)．如“你能說(shuō)說(shuō)在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處嗎？”“單位圓中的三角函數(shù)線是數(shù)形結(jié)合的有效工具，借助它，不但可以畫(huà)出準(zhǔn)確的三角函數(shù)圖象，還可以討論三角函數(shù)的性質(zhì)．”“考察三角函數(shù)的性質(zhì)，就是要研究這類函數(shù)具有的共同特點(diǎn)．”“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無(wú)限，如果不能進(jìn)行運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)．”“思維的有序性和表達(dá)的條理性是三角變換的基本要求．”“‘倍’是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的，2是的二倍，4是2的二倍，的二倍，這里蘊(yùn)含著換元思想．”

問(wèn)題二：提升課堂教學(xué)的有效性是一個(gè)永恒的主題，在課改的背景下我們應(yīng)該怎樣評(píng)價(jià)和衡量課堂教學(xué)有效性的？

答：我覺(jué)得應(yīng)該從以下四個(gè)方面衡量課堂教學(xué)的有效性：

第一，課堂教學(xué)對(duì)多少學(xué)生有效．如果全班50個(gè)學(xué)生中，基礎(chǔ)好的10個(gè)學(xué)生教師不教他就已經(jīng)知道，基礎(chǔ)差的10個(gè)學(xué)生教師教后他還不知道，那么這節(jié)課就只有對(duì)中間的60%的學(xué)生有效．

第二，課堂教學(xué)對(duì)學(xué)生的哪些方面有效．我們要看到有相當(dāng)多的課堂教學(xué)在知識(shí)與技能方面是有效的，在過(guò)程與方法方面是低效的，在情感態(tài)度與價(jià)值觀方面是負(fù)效的．

第三，課堂教學(xué)對(duì)學(xué)生多大程度上有效．對(duì)每個(gè)學(xué)生個(gè)體來(lái)說(shuō)，課堂45分鐘他真正有效利用的時(shí)間有多少．高效的課堂教學(xué)應(yīng)關(guān)注和提高每個(gè)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)時(shí)間．

第四，課堂教學(xué)對(duì)學(xué)生多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)有效．我們應(yīng)該有今天的課堂教學(xué)能為學(xué)生的明天和后天留下什么的意識(shí)．

因此，對(duì)課堂教學(xué)的有效性，我們不僅應(yīng)該有全面衡量的意識(shí)，也應(yīng)該有從定性與定量?jī)煞矫婧饬康囊庾R(shí)．就當(dāng)前課堂教學(xué)而言，我們要特別關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì)問(wèn)題．我認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì)由低到高可分為如下四個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)知識(shí)技能教學(xué)層次，重在解決是什么、怎樣做的問(wèn)題；二是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)層次，重在解決用怎樣的思想與方法做的問(wèn)題；三是數(shù)學(xué)思維教學(xué)層次，重在解決怎樣想到這樣做、為什么要這樣做的問(wèn)題；四是數(shù)學(xué)精神與文化教學(xué)層次，重在促進(jìn)學(xué)生心智、個(gè)性、觀念、精神等和諧協(xié)調(diào)地發(fā)展．正視數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì)問(wèn)題，對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)效益、推進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科素質(zhì)教育大有裨益．

以《平面向量基本定理》為例，采用“一個(gè)定理+三項(xiàng)注意”的模式，重點(diǎn)放在學(xué)生接受平面向量的基本定理和例題、習(xí)題的模仿與訓(xùn)練上，是一個(gè)層次；告訴學(xué)生平面向量基本定理蘊(yùn)含著分解、轉(zhuǎn)化思想，重點(diǎn)放在定理的得出和證明的方法上是另一層次；理解平面向量基底的作用與意義，師生共同探討為什么要研究這個(gè)問(wèn)題，怎樣研究這個(gè)問(wèn)題，搞清楚其中思維的自然性與合理性則是更高的一個(gè)層次；如果學(xué)生能由平面向量基本定理體會(huì)到“事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的”“事情是由一定的基本要素構(gòu)成的，可以用構(gòu)成它的基本要素來(lái)表示”“研究事物可轉(zhuǎn)化為對(duì)它的基本要素的研究”，有助于養(yǎng)成理性地、有條理地思考和探究問(wèn)題的習(xí)慣，那就更理想．

問(wèn)題三：合理的教學(xué)設(shè)計(jì)是保證課堂教學(xué)效益的關(guān)鍵，請(qǐng)問(wèn)您覺(jué)得教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要注意什么？

答：我覺(jué)得當(dāng)前教學(xué)設(shè)計(jì)要注意兩個(gè)優(yōu)化：一是教學(xué)目標(biāo)的優(yōu)化；二是教學(xué)設(shè)計(jì)思維方式的優(yōu)化．

就教學(xué)目標(biāo)而言，當(dāng)前普遍存在照搬課標(biāo)和教材目標(biāo)的盲目性，只顧知識(shí)目標(biāo)而忽視思維與情感目標(biāo)的片面性，目標(biāo)寫(xiě)在紙上而與具體教學(xué)設(shè)計(jì)相脫節(jié)的模糊性，忽視學(xué)生個(gè)體差異而全班甚至全校一刀切的單一性等問(wèn)題．相應(yīng)地，我覺(jué)得制定教學(xué)目標(biāo)需要大處著眼，小處著手，在準(zhǔn)確把握知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系、準(zhǔn)確把握學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，做到以下“五個(gè)性”：

1．全面性．即數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生知識(shí)、思維、情感等全面和諧發(fā)展為目標(biāo)，不能只顧知識(shí)教學(xué)而忽視智慧教學(xué)、情感教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)一定要有讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而變得更聰明、更理性、更樂(lè)于學(xué)習(xí)的意識(shí)．

2．整體性．正如空間一個(gè)點(diǎn)具有三維坐標(biāo)一樣，知識(shí)與技能、思維與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀是數(shù)學(xué)教學(xué)不同的三個(gè)側(cè)面，是一個(gè)統(tǒng)一的、“你中有我、我中有你”的整體，既要根據(jù)實(shí)際有所側(cè)重，又要防止把知識(shí)、技能、思維、情感人為地割裂．

3．明確性．要切切實(shí)實(shí)明了這節(jié)課學(xué)生要掌握什么、掌握到什么程度，增強(qiáng)教學(xué)目標(biāo)對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)性，對(duì)學(xué)生達(dá)標(biāo)與否的評(píng)判功能．

4．差異性．教師心中不僅要有一般性、抽象的學(xué)生，也要有具體的、鮮活的個(gè)體學(xué)生，教學(xué)目標(biāo)不可一刀切，而應(yīng)因人而異．前段時(shí)間看到一份材料，中國(guó)人在澳大利亞的一個(gè)只有20多個(gè)學(xué)生的班級(jí)里聽(tīng)課，教師為不同的學(xué)生準(zhǔn)備了6份自覺(jué)提綱，由此可見(jiàn)他們是如何滿足不同學(xué)生的不同需求．

5．適切性．課標(biāo)和教材對(duì)教學(xué)具有很好的指導(dǎo)性，但全國(guó)統(tǒng)一的課程標(biāo)準(zhǔn)不可能為每個(gè)具體的學(xué)生“量身定做”，因此制定具體教學(xué)目標(biāo)時(shí)，不僅要基于課標(biāo)和教材，更要基于學(xué)生的實(shí)際．

以《兩角差的余弦公式》為例，“全面性”就是要求避免機(jī)械地呈現(xiàn)、講解公式及其證明過(guò)程，而要高度關(guān)注其中所蘊(yùn)含的思想方法和思維方法，幫助學(xué)生養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣和意識(shí)；“整體性”就是要求在公式發(fā)現(xiàn)過(guò)程和證明過(guò)程的探究中加深對(duì)公式的理解，同時(shí)發(fā)展思維，增強(qiáng)思考和探究的樂(lè)趣；“明確性”就是要求基礎(chǔ)好的學(xué)生對(duì)公式的整個(gè)探索過(guò)程有一個(gè)比較透徹的理解，能利用公式熟練解決課后的相應(yīng)練習(xí)和習(xí)題；“差異性”就是允許部分學(xué)生對(duì)公式發(fā)現(xiàn)和證明的思想方法理解不到位，甚至不理解；“適切性”就是根據(jù)不同學(xué)校學(xué)生的實(shí)際可以有不同的教學(xué)要求，學(xué)生基礎(chǔ)差的學(xué)校可以簡(jiǎn)化公式的猜想與發(fā)現(xiàn)過(guò)程、證明思路的探究過(guò)程，而改為在特殊值驗(yàn)證的基礎(chǔ)上直接呈現(xiàn)公式和公式的證明思路、方法，然后說(shuō)明其合理性．

就教學(xué)設(shè)計(jì)的思維方式而言，我覺(jué)得突出以下三點(diǎn)：

一要突出大背景、大問(wèn)題，做到孫維剛先生所說(shuō)的“見(jiàn)樹(shù)木更見(jiàn)森林，見(jiàn)森林才見(jiàn)樹(shù)木”．教學(xué)時(shí)首先要向?qū)W生介紹本章的全貌．這方面教材的章頭語(yǔ)為我們提供了很好的幫助．如教材第二章《平面向量》的章頭語(yǔ)指出：“向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問(wèn)題的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可以轉(zhuǎn)化為向量的加(減)法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算(運(yùn)算律)，從而把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系．”這段話闡明了向量的背景、地位、作用、作用的途徑與方式，為本章學(xué)習(xí)指明了方向．

又如教材第三章《三角恒等變換》的章頭語(yǔ)指出：“變換是數(shù)學(xué)的重要工具．??三角變換是只變其形不變其質(zhì)的，它揭示了某些外形不同但實(shí)質(zhì)相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系．??三角變換包括變換的對(duì)象，變換的目標(biāo)，以及變換的依據(jù)和方法等要素．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式就是三角變換的基本依據(jù)．通過(guò)這些公式的探求，以及利用這些公式進(jìn)行三角變換，我們將在怎樣預(yù)測(cè)變換的目標(biāo)，怎樣選擇變換公式，怎樣設(shè)計(jì)變換的途徑等方面作出思考，這些都將幫助我們進(jìn)一步提高推理能力和運(yùn)算能力”．這段話指明了三角變換的背景、性質(zhì)、內(nèi)涵、依據(jù)、思路與目的．

二要突出大思路、大框架，如《任意角》部分重在解決兩方面的問(wèn)題：一是怎樣有效地刻畫(huà)和研究日常生活和工作中存在的各種各樣的角，把生活問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，包括引入正角、負(fù)角；二是怎樣從數(shù)學(xué)內(nèi)部深入地研究角及其它們之間的關(guān)系，包括引入零角、象限角、終邊相同的角等概念．又如研究函數(shù)

圖象，其大思路、大框架是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”，因?yàn)椤疤煜码y事作于易，天下大事作于細(xì)”．事實(shí)上，每節(jié)課都應(yīng)盡可能在搞清楚“需要研究什么問(wèn)題和應(yīng)該用怎樣的方法研究這些問(wèn)題”的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，這樣對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)和把握教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提升他們的探索能力和自主建構(gòu)知識(shí)的能力非常有好處，也是讓課堂教學(xué)成為“教師指導(dǎo)下學(xué)生自主探究知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)”過(guò)程的有效途徑．

三要做到“三個(gè)自然地合理地”，即要引導(dǎo)學(xué)生自然地合理地提出問(wèn)題、自然地合理地解決問(wèn)題、自然地合理地拓展問(wèn)題．

要突出提出問(wèn)題的自然性與合理性．由于提出問(wèn)題是解決問(wèn)題的邏輯前提，并且提出問(wèn)題對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)和主動(dòng)性有更高的要求，因此完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)包括學(xué)“問(wèn)”與學(xué)“答”兩方面．教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題產(chǎn)生的情境，引導(dǎo)學(xué)生從解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯發(fā)展的需要中提出問(wèn)題．如對(duì)兩角和與差的余弦公式，既可以由觀察誘導(dǎo)公式提出，也可以由如何求sin75°=?cos15°=?等提出，也可以由函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象通過(guò)平移得到進(jìn)而猜想它們的表達(dá)式也有內(nèi)在的聯(lián)系，也可以由現(xiàn)實(shí)中相應(yīng)的問(wèn)題提出．

要突出解決問(wèn)題思維的自然性與合理性．世界上不存在“沒(méi)有為什么的事物”，我們要站在系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)的高度，從事物的產(chǎn)生源頭和構(gòu)成要素出發(fā)，尋找解決問(wèn)題的思路與方法．如函數(shù)是三角函數(shù)的上位概念，而定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的三個(gè)要素，因此三角函數(shù)的概念從銳角推廣到任意角后，我們自然應(yīng)考慮其定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系發(fā)生了怎樣的變化．三角函數(shù)表達(dá)式由函數(shù)名稱、角及其結(jié)構(gòu)三方面共同決定，因此三角恒等變換自然要從函數(shù)名稱的變換、角的變換、結(jié)構(gòu)特征的變換來(lái)尋找變換的思路與方法；向量具有數(shù)與形兩方面的特征，我們自然應(yīng)該從數(shù)與形兩方面思考向量問(wèn)題．

要突出拓展問(wèn)題的必要性與必然性．如建立任意角概念后，自然要研究角的“分類”和表示法；建立任意角的三角函數(shù)概念后，自然要研究三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象及其應(yīng)用；建立向量概念后，自然要研究向量相關(guān)概念、向量表示法、向量之間的關(guān)系、向量運(yùn)算及其運(yùn)算律等．

這里，我想和大家一起重溫一下本套教材的《主編寄語(yǔ)》：“在這套教科書(shū)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，是在人類長(zhǎng)期的實(shí)踐中經(jīng)過(guò)千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的．如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過(guò)程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味．”這段話不僅闡明了數(shù)學(xué)是自然的，而且指導(dǎo)我們?nèi)绾螐乃谋尘啊⑺男纬蛇^(guò)程、它的應(yīng)用、它與其他概念的聯(lián)系等方面入手搞清楚為什么是自然的．

問(wèn)題四：您多次說(shuō)過(guò)，當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)最欠缺的是能力與思維教學(xué)，但真正做到、做好這一點(diǎn)很難，請(qǐng)問(wèn)您在這方面有什么建議？

答：做到、做好這一點(diǎn)的確很難，這里既有教師的因素，也有學(xué)生的因素．但我認(rèn)為，只要我們有能力教學(xué)和思維教學(xué)的意識(shí)，并持之以恒、不斷地尋找能力和思維教學(xué)的途徑與方式，那我們的學(xué)生一定會(huì)變得更加聰明、更加善于思考、更加喜歡數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．為了有效地加強(qiáng)能力與思維教學(xué)，我覺(jué)得要做到以下三點(diǎn)：

一、積極挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)方法論教學(xué)

如《三角函數(shù)》章的數(shù)學(xué)輔助工具是直角坐標(biāo)系、單位圓和三角函數(shù)線，主要思維方法是歸納、類比，主要數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)思想、分解轉(zhuǎn)化．教學(xué)時(shí)要注意通過(guò)單位圓、三角函數(shù)線這兩個(gè)數(shù)與形結(jié)合的典范，揭示形象、直觀的幾何與精確、抽象的代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系與統(tǒng)一，幫助學(xué)生形成“以數(shù)論形”與“以形論數(shù)”的思維習(xí)慣．

《平面向量》章最重要的思想方法，一是把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，舍棄力、位移、速度、加速度等的物理背景，抽象出這些量的共同特征──“既有大小又有方向”，進(jìn)而建立向量的概念；二是數(shù)學(xué)問(wèn)題現(xiàn)實(shí)化，向量加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積應(yīng)遵循怎樣的法則等問(wèn)題，都應(yīng)該從向量形成與產(chǎn)生的源頭即相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)背景中尋找啟發(fā)；三是牢牢把握向量所具有的數(shù)與形兩方面的特征，善于從數(shù)與形兩方面思考問(wèn)題；四是突出類比與轉(zhuǎn)化，包括向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算的類比、向量之間的分解與轉(zhuǎn)化、向量問(wèn)題與幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化．

二、積極挖掘知識(shí)發(fā)展所蘊(yùn)含的思維方法，切實(shí)加強(qiáng)思維方法論教學(xué)

數(shù)學(xué)探索應(yīng)該在一定的數(shù)學(xué)思想方法和思維方法指導(dǎo)下進(jìn)行，應(yīng)該讓學(xué)生在搞清楚探究和解決問(wèn)題主導(dǎo)思想的前提下再研究、解決細(xì)節(jié)問(wèn)題，盲目地“摸著石頭過(guò)河”“走一步算一步”，那是很危險(xiǎn)的．

要強(qiáng)化歸納、類比等思維方法．如2.1.1節(jié)《向量的物理背景與概念》教材中明確指出：“回顧學(xué)習(xí)數(shù)的概念，我們可以從一枝筆、一棵樹(shù)、一本書(shū)??中抽象出只有大小的數(shù)量“1”．類似地，我們可以對(duì)力、位移??這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象形成一種新的量．”這段話包含著兩層意思：一是向量的概念是通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的歸納、概括、抽象得到的．二是向量具有數(shù)的特征，學(xué)習(xí)和研究向量應(yīng)注意與學(xué)習(xí)數(shù)進(jìn)行類比，從運(yùn)算法則和運(yùn)算律兩方面進(jìn)行研究．

要幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和方法．引導(dǎo)學(xué)生遇事多問(wèn)幾個(gè)“為什么”和“怎樣想到”：如為什么要引入任意角、象限角的概念，為什么先推導(dǎo)兩角差的余弦公式而不是兩角和的正弦公式；怎么想到利用單位圓來(lái)定義三角函數(shù)和引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算．要培養(yǎng)學(xué)生追根究底的意識(shí)和習(xí)慣．現(xiàn)在學(xué)生的創(chuàng)新思維、創(chuàng)新意識(shí)不足的根源在于教學(xué)重接受與模仿．我們一定要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一個(gè)不斷提出問(wèn)題、不斷解決問(wèn)題、不斷拓展問(wèn)題的過(guò)程；要時(shí)刻注意對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行歸納、類比、特殊化、推廣．如由正弦、余弦函數(shù)的周期性，想到一般的周期函數(shù)；由的周期為，想到“如果函數(shù)的周期是T，那么函數(shù)的周期是”是否成立．要善于從簡(jiǎn)單的事例中提取、發(fā)現(xiàn)深刻的思維方法：如通過(guò)研究、與的圖象之間的關(guān)系來(lái)研究與的圖象之間的關(guān)系，就蘊(yùn)含著從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法．

要引導(dǎo)學(xué)生從事物產(chǎn)生的“源頭”、構(gòu)成要素及其相互聯(lián)系中尋找思維的切入點(diǎn)．如向量形成與產(chǎn)生的“源頭”是位移、力、速度等，那么研究向量加法及其運(yùn)算律，就應(yīng)該從位移、力、速度等合成中尋找啟發(fā)和幫助．教學(xué)時(shí)，應(yīng)先提出研究向量加法的問(wèn)題，再來(lái)看位移、力、速度是如何合成的，而不是反過(guò)來(lái)．又如函數(shù)個(gè)“要素”決定的，因此研究、、的圖象自然地要研究A、圖象會(huì)發(fā)生怎樣的變化．

是由A、三

發(fā)生變化時(shí)，三、充分利用思維難點(diǎn)，而不是回避思維難點(diǎn)

高品質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)不但要引導(dǎo)學(xué)生提出接近研究水平的問(wèn)題，而且還要啟發(fā)學(xué)生用接近研究水平的方式解決問(wèn)題．由于思維難點(diǎn)往往與思維方式的突破緊密聯(lián)系在一起，因此它是學(xué)生思維的“磨刀石”，是會(huì)生“金蛋的母雞”，教學(xué)時(shí)要在思維難點(diǎn)上多花時(shí)間，盡力突破．

如為什么要引入弧度制？如何引入弧度制？因?yàn)槊糠N單位制都有其優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，不同的單位制能帶來(lái)不同的方便．角度制中，角的60進(jìn)位制與其三角函數(shù)值的10進(jìn)制存在著明顯的不協(xié)調(diào)； sin30°=0.5中，左端的30°是用弧長(zhǎng)來(lái)度量的，以1°為單位，而右端的0.5可以看作正弦線的長(zhǎng)，它是以半徑為單位的．這正如如果有人給出一張桌子的尺寸：長(zhǎng)是1.2米，寬是2.5英尺，我們會(huì)覺(jué)得不自然、不方便一樣．另外，把圓周分成360等份，具有偶然性和主觀性．這就促使我們思考，有沒(méi)有更客觀、更合理的度量角的方式，聯(lián)想到，即無(wú)論圓周長(zhǎng)是多少都只能分成2個(gè)半徑單位，因此以長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角規(guī)定為1(弧度)是科學(xué)的、合理的．教學(xué)時(shí)，要牢牢抓住從角度制到弧度制的過(guò)渡與銜接的本質(zhì)是如何更科學(xué)、更合理地等分圓周．

又如任意角三角函數(shù)概念的難點(diǎn)在于如何突破借助直角三角形定義三角函數(shù)的思維局限，由銳角三角函數(shù)概念中直角三角形邊的比，轉(zhuǎn)化平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的比．考慮到任意角的三角函數(shù)是在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，因此任意角三角函數(shù)的定義自然應(yīng)在銳角三角函數(shù)定義中尋找啟發(fā)．仔細(xì)考察初中的銳角三角函數(shù)定義，不難發(fā)現(xiàn)：雖然銳角三角函數(shù)是借助直角三角形來(lái)定義的，它的函數(shù)值大小卻是由角的大小確定的，即無(wú)論把銳角放在放到怎樣的三角形中或不放在三角形中，都不改變其函數(shù)值的大小．這就啟發(fā)我們，直角三角形只是定義銳角三角函數(shù)的載體與工具，而不是銳角三角函數(shù)所固有的本質(zhì)屬性．既然如此，那完全可能用新的載體與工具來(lái)定義銳角三角函數(shù)．由直角三角形聯(lián)想到平面直角坐標(biāo)系和上節(jié)課在直角坐標(biāo)系中討論角，可以比較自然地想到把銳角放到直角坐標(biāo)系中．這樣就會(huì)發(fā)現(xiàn)：可以借助角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義三角函數(shù)，并且這個(gè)新的定義與前面借助直角三角形的邊來(lái)定義本質(zhì)上是一樣的．只不過(guò)，當(dāng)在直角坐標(biāo)系中銳角的終邊上任取一個(gè)點(diǎn)P(x，y)，再作出直角三角形時(shí)，x、y有雙重含義．即從幾何角度看，它們表示直角三角形的邊長(zhǎng)；從代數(shù)角度看，它們表示點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．

四、基于感性，發(fā)展理性

教學(xué)要從具體經(jīng)驗(yàn)入手，但不能止于具體經(jīng)驗(yàn)，而要逐步向抽象和普遍發(fā)展．教材中許多問(wèn)題的處理，都是遵循從特殊到一般的原則進(jìn)行，這既有利于降低思維的難度，也可以通過(guò)具體的例子為一般性的原理提供生動(dòng)直觀、有血有肉的事例．但數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒗硇缘模瑪?shù)學(xué)的價(jià)值在于發(fā)展學(xué)生的思維能力．因此我們要在學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，幫助和促進(jìn)他們形成理性認(rèn)識(shí)．如研究三角函數(shù)的性質(zhì)，我們既要注意通過(guò)觀察具體的、特殊的三角函數(shù)的圖象得出，也要注意回歸到三角函數(shù)定義和三角表達(dá)式這一源頭來(lái)說(shuō)明或論證三角函數(shù)的性質(zhì)，把“以形論數(shù)”與“以數(shù)論形”有機(jī)地結(jié)合起來(lái)．對(duì)函數(shù)象與函數(shù)

圖圖象的關(guān)系問(wèn)題，也要注意從代數(shù)表達(dá)式這一源頭來(lái)說(shuō)明問(wèn)題，而不能止于觀察、歸納，而應(yīng)該有理性的思考和更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊罁?jù)．

總之，數(shù)學(xué)思想方法、思維方法教學(xué)要重在與知識(shí)教學(xué)相結(jié)合，并且要引導(dǎo)學(xué)生善于及時(shí)歸納、體會(huì)、感悟知識(shí)探究與發(fā)展過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與思維方法．

問(wèn)題五：改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式是本次課程改革的重要內(nèi)容，您能否結(jié)合實(shí)際談?wù)勅绾胃倪M(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式？

答：當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)存在的問(wèn)題比教師教學(xué)存在的問(wèn)題更多、更大，這也預(yù)示著學(xué)生的學(xué)習(xí)有著很大的改進(jìn)和提高的空間．就學(xué)生的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)而言，我覺(jué)得要注意以下四點(diǎn)：

1．讓學(xué)生帶著問(wèn)題主動(dòng)思考，而不是被動(dòng)地跟著教師走．教材十分強(qiáng)調(diào)問(wèn)題性，我理解包含著三層意思：一是要注意引導(dǎo)學(xué)生自然地提出問(wèn)題，幫助學(xué)生養(yǎng)成“凡事問(wèn)個(gè)為什么”的習(xí)慣；二是要用問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更主動(dòng)、更生動(dòng)、更富有探索性和趣味性；三是用問(wèn)題來(lái)拓展學(xué)生的思維深度和廣度，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系．

2．避免“聽(tīng)多思少”“做多悟少”現(xiàn)象，加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)感悟．現(xiàn)在課堂教學(xué)還存在著十分明顯的接受學(xué)習(xí)時(shí)間與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)時(shí)間比例失調(diào)的問(wèn)題，學(xué)生聽(tīng)多悟少的問(wèn)題，學(xué)生只會(huì)把書(shū)讀厚而不會(huì)把書(shū)讀薄的問(wèn)題．孔子曰：學(xué)而不思則罔．學(xué)生只接受，而不消化、不整理，嚴(yán)重地影響和降低了學(xué)習(xí)的效益，因此課堂教學(xué)要為學(xué)生的獨(dú)立思考和自我感悟留出時(shí)間和空間．要鼓勵(lì)和幫助學(xué)生及時(shí)梳理所學(xué)知識(shí)，理清知識(shí)形成與發(fā)展的思維主線，了解知識(shí)間的相互聯(lián)系，努力形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．這方面，教材每章小結(jié)中的“本章知識(shí)結(jié)構(gòu)”和“回顧與思考”都為我們提供了很好的素材．我們要積極借助這些素材讓學(xué)生把書(shū)讀“薄”．

3．幫助學(xué)生樹(shù)立“能跑則跑，能飛則飛”意識(shí)，切實(shí)減少課堂上放慢學(xué)習(xí)、等待學(xué)習(xí)等現(xiàn)象，避免學(xué)生自己學(xué)習(xí)探索20分鐘能解決的問(wèn)題跟著教師學(xué)卻用了45分鐘．如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式等內(nèi)容，對(duì)優(yōu)秀學(xué)生，教師完全可以放開(kāi)讓他們自己探究、發(fā)現(xiàn)，并獨(dú)立完成教材上的例題和習(xí)題．

4．強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)效率意識(shí)，向?qū)W習(xí)方法、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)效率要質(zhì)量．要強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)方法論和數(shù)學(xué)思維論意識(shí)，引導(dǎo)他們關(guān)注提出問(wèn)題、解決問(wèn)題思維的合理性，從而促進(jìn)有效的、積極的遷移；對(duì)所學(xué)例題、習(xí)題，要善于從知識(shí)、方法、思維、注意點(diǎn)等角度進(jìn)行剖析，進(jìn)而使無(wú)限多的高中數(shù)學(xué)題目能通過(guò)運(yùn)用有限的知識(shí)、方法、策略加以解決．

問(wèn)題六：教材是教學(xué)的重要材料和依據(jù)，但又有一些與學(xué)生實(shí)際不相吻合的地方，請(qǐng)問(wèn)我們?cè)撊绾翁幚斫滩呐c教學(xué)的關(guān)系？

答：首先，我們要認(rèn)真仔細(xì)閱讀教材，深刻地理解教材的編寫(xiě)意圖、知識(shí)結(jié)構(gòu)與知識(shí)本質(zhì)．這一點(diǎn)前面已經(jīng)講得比較多，這里不再重復(fù)．

第二，要增強(qiáng)用教材教而不是教教材的意識(shí)，教師可在認(rèn)真思考的基礎(chǔ)上，基于課標(biāo)，根據(jù)自己的教學(xué)風(fēng)格和學(xué)生的實(shí)際對(duì)教材進(jìn)行再調(diào)整、再開(kāi)發(fā)．如《函數(shù)的圖象》教學(xué)，有些教師習(xí)慣先分別探索把

對(duì)函數(shù)

圖象的影響，再圖象的變化，我覺(jué)得也中2個(gè)量或3個(gè)量結(jié)合在一起探討函數(shù)是可行的．《平面向量的實(shí)際背景與基本概念》教學(xué)，可以把零向量、向量的模、單位向量等概念往前移到《向量的物理背景與概念》部分，作為向量概念的一個(gè)有機(jī)組成部分和自然延伸加以處理；而把平行向量的概念可以往后移到《相等向量與共線向量》部分，使它們之間的聯(lián)系更加緊密．

第三，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，慎重地對(duì)教材的習(xí)題甚至例題進(jìn)行調(diào)整或改編．《三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用》《平面向量應(yīng)用舉例》《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》這三節(jié)教材中都有偏難或過(guò)難的例題和習(xí)題．這些例題和習(xí)題，我覺(jué)得可以根據(jù)學(xué)生的接受能力加以恰當(dāng)?shù)恼{(diào)整甚至放棄，也可以根據(jù)不同學(xué)生的實(shí)際作選學(xué)或選做處理．因?yàn)閷W(xué)生是教學(xué)的最大出發(fā)點(diǎn)和著力點(diǎn)．

問(wèn)題七：加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系、強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值是新課程的一個(gè)重要理念，請(qǐng)問(wèn)教學(xué)時(shí)該如何處理數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用的關(guān)系？

答：教材提出的“講背景，講數(shù)學(xué)，講應(yīng)用”已經(jīng)為這個(gè)問(wèn)題的解決提供了很好的指導(dǎo)原則，具體教學(xué)要基于數(shù)學(xué)“源于現(xiàn)實(shí)，高于現(xiàn)實(shí)，用于現(xiàn)實(shí)”的思路加以處理．但在具體操作時(shí)要注意，“源于現(xiàn)實(shí)”并不等于每節(jié)課都要從實(shí)際問(wèn)題引入，因?yàn)榇罅康臄?shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部邏輯發(fā)展所必然提出的；“高于現(xiàn)實(shí)”是指把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，去掉現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中“形”與“量”以外的非數(shù)學(xué)本質(zhì)的屬性，如向量概念就沒(méi)有考慮力的三要素中的作用點(diǎn)；“用于現(xiàn)實(shí)”是指要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用來(lái)強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但要量力而行，不搞“唯用至上”．