第一篇：中考語文專項——句子_段落_題目分別在文中的作用(含答案解析)

中考轉專項訓練——句子，段落，題目在文中的作用（附答案）

一·段 落 的 作 用：

1·開頭段：

統攝全篇，提綱挈領，領起下文，引出懸念，開門見山，渲染氣氛，奠定基調，或為后文做鋪墊、埋下伏筆。2·過渡段：

承上啟下（或啟下），引出下文。3·結尾段：

總結全文，呼應前文或題目，深化、升華主旨，卒章顯志，言有盡而意無窮，回味深長，承接上文欲揚先抑的手法，畫龍點睛，與首段相照應使結構嚴謹，含蓄深刻，啟發聯想，象征、暗示、點名或揭示。4·環境描寫的作用：

①是否交代了故事發生的時間地點，設置了背景，②是否渲染了氣氛，為后面內容做鋪墊 ③是否奠定基調，④是否烘托了人物的心情，表現人物性格 ⑤是否烘托了人物形象，⑥是否推動情節的發展。5·引用或文學性強的語段：

創造文化氛圍或……行文章法思路開闊，再結合文章語境分析。6·寫景的語段：

①交代作品的時代背景，烘托、渲染……氣氛，②為下文埋下伏筆，表現人物……的心情，③暗示社會環境，④結合具體語境：設置了……的背景，烘托形象，⑤深化主題，與開頭形成照應，⑥使文章形象、生動、細膩，⑦使讀者有身臨其境之感，增強文章感染力。7·其他語段：

呼應上文，形成對比，補充說明等等。

二·句 子 的 作 用：

1·中心句：

點明中心、揭示主旨。畫龍點睛。2·點睛句：

點明全文中心，統領全文；句子含義深刻，耐人尋味，讀后能給人以啟迪。3·情感句：

抒發強烈內在情感，直抒胸臆。4·矛盾句：

從字面上看自相矛盾，但作者卻寄寓了深刻的用意。揭示深刻內涵，表達深刻見解。

三·題 目 的 作 用：

1·記敘文題目點明了地點：

如《錢塘江觀潮》,還交代了主要事件是觀潮,全文緊緊圍繞題目的限制范圍展開敘述。

2·題目有的交代主要內容：如魯迅的《阿長與〈山海經〉》； 3·有的揭示(或暗示)主旨：如《長在巖石下面的小花》；《董存瑞舍身炸暗堡》舍身一詞就高度贊揚了董存瑞為了革命事業壯烈犧牲的大無畏的英雄氣概

4·有的點明線索：如魯迅的《從百草園到三味書屋》； 5·有的交代描寫對象：如老舍的《濟南的冬天》； 6·有的交代故事發生環境：如孫犁的《蘆花蕩》； 7·有的設置懸念：如《城市給了我們什么》等。8·議論文題目往往揭示(暗示)論題或論點。

9·說明文的題目往往交代說明對象或對象的特點。注：分析題目作用，要把握文章中心，聯系主要內容，考慮題目的來源，擬題的依據，題目的內涵，深層意義，考慮題目所用的手法，分析題目的比喻義、雙關義、象征義等等，此外，還要考慮題目的句式結構，綜合各種信息、分析具體情況，再做全面表述。

如：易水之濱，高漸離擊筑，悲涼的旋律中，荊軻告別燕太子丹，踏上刺秦的不歸路，他身后的蘆花，一定在蕭蕭寒風中輕腸，烏江之畔，四面楚歌，西楚霸王柔腸寸斷，在“虞兮虞兮奈若何”的哀嘆聲中，虞姬揮動長劍，裙袂飄飄，作最后的生命之舞。在她倒下的地方，白霧茫茫，一片縞素，那是一岸的蘆花在為這悲愴的訣別飄雪飛霜。汩羅江邊，披發行吟的屈原，掩涕嘆息，仰天長問。臣專權，楚王昏庸。居廟堂，不能為民解難；謫鄉野，不能為民解難。生命的大寂寞郁結于心，奔突于胸，使詩人縱身大江，蕩起的漣漪是蘆葦悲鳴的淚滴，在濕濕的夜色中流淌。青青的葦葉包裹起后人的崇敬和思念，投入歷史的長河，成為端午節最深沉的紀念。（選自張馳《心中的蘆葦》）“蘆花”在該段中起到了哪些作用？（分條作答）答案為：（1）是串連事件的線索。（2）渲染了悲涼的氣氛。（3）蘆花見證、記錄、蘊涵著歷史的痛苦和滄桑。（4）表達了同情或崇敬的感情。

例文一 村路怎能不彎呢

①村路怎能不彎呢？

②好的地方，都讓人家、河流、田地占住了，留給路的，實在太少了。

③路從不計較這些，很知足，知足常樂。天天，撿著這些人腳跡、牛腳跡、狗腳跡吃著，小日子過得滋潤著。尤其是在冬天，有人穿著布鞋，剛剛從家里烤火出來，留下一行人腳跡，還是暖乎乎的。夏天的牛腳跡又肥又大，聞一聞，還帶著青草的味兒，還帶著蘑菇的味兒。狗腳跡一長串，小小的，就像我家屋檐下，掛著的一長串板栗，不著急吃，待其風干，又是另外一種風味了。偶爾，還會有一兩只野豬、狗獾之類的，偷偷地下山來，留下一朵朵野梅花樣的腳跡，更是難得一嘗的野味了。這村路，還真不羨慕那些大馬路呢，窄一點有什么關系呢？彎一點有什么關系呢？ ④其實，路何嘗又不想寬一點、直一點？

⑤路從我家里延伸出來，走不到十幾米，迎面就是二哥家的一堵墻壁。你總不能叫路穿過那堵墻而去，于是，路只得拐一個彎了。路又走了五六十米，翠花曾婆家的房子，正橫在路當中。路有什么辦法？只好又拐了一個彎，從翠花曾婆家門前過去，翠花曾婆人真好，碰上一棵樹，也能說上半天話。不管張

三、李四，還是王二麻子，從她家門前經過，只要她在家，看見了，都要邀請人家進屋坐坐，喝一碗茶。那些遠道而來的賣窯貨的、販樹的，經常在她家歇腳。你們這些人啊，都是沾了路的光了！路這個彎也拐得值了！路再往前走，又碰上了春伢家的豬圈。照理說，這又臟又臭的豬圈，應該讓一讓路吧。路不想說這些，更不想去和豬圈爭，彎就彎點吧。

⑥路七拐八彎，總算出了村子。村外就是田畈，一塊塊田，未免也太霸道了一點，總想多占些地盤，你用手推我一下，我用屁股擠你一下。本來應該是一條直路，硬是讓它們擠彎了，擠窄了。我想，路一定也被擠痛了，不過它不會說而已。我說你們這些田呀，不要再擠了，讓路從這里經過吧。沒有這條路，牛怎么來耕田？稻子成熟了，人怎么來收割？路彎過了田地，遇到了河流，沒有橋，在河里放幾個跳石，人踩著跳石過去，這是秋冬。倘若到了梅雨天，過不了幾天，發一場洪水，淹沒了那幾個跳石，路還得去彎，從上游的一座石橋上穿過去。又遇到了人家的萊園，你也總不能叫路穿過人家的菜園而去，把人家好端端的萊園，弄成路這邊一半，路那邊一半，再彎一彎吧。前面，路又遇到了誰家的祖墳？更不能去打攪祖老人家的睡眠呀。路悄悄地，彎了個大彎，多少個彎都彎了，不在乎這一個彎。

⑦“山重水復疑無路，柳暗花明又一村?！甭返缴角埃坪鯖]有地方可去了，真有些讓人懷疑，是不是走錯了。路和你開玩笑呢，走過去，拐一個彎，嗬，在山沖里，又是一個大村子，屋檐連著屋檐，炊煙纏著炊煙，一條小河繞屋流過，河畔有三兩垂柳，五六月季，十七八鵝。20.（2分）第①段在全文中起什么作用？

21.（2分）本文主要運用了什么修辭手法？請選擇一處進行賞析。

22.（2分）讀第⑤⑥段，我家門前的路彎過了哪些地方？請按順序摘錄。如：墻壁、、、、、、。

23.（3分）品讀第⑦段，體會詩句“山重水復疑無路，柳暗花明又一村。”在文中有何作用？

答案20.（2分）開門見山點題貫穿全文的線索總領全文引起讀者的思考和閱讀興趣（答出一點即可）

21.（2分）運用了擬人手法，如“路不想說這些，更不想去和豬圈爭，彎就彎點吧?！北憩F了村路與世無爭、豁達寬容的性格特征。（可以選其他例句，賞析有理即可）22.（2分）房子、豬圈、田地、河流、菜園、祖墳。

23.（3分）引用詩句呈現出了更加美好的意境，進入了更新的境界，深化了文章主題。領起下文，增添文采。（言及一點，意思相近即可）

例文二 你的眼淚，我的成人禮

①開學三天后，我如愿當上了班長。我在高中時一直做班長，有經驗，所以充滿自信。

②我希望一個班級能有好的團隊精神和面貌。當天下午，我走上講臺對大家說：“打擾各位同學幾分鐘，為了方便大家聯系，我決定在班里開通飛信?！?/p>

③“什么是飛信啊？”前排，一個短頭發的女生問。

④“就是綜合通信服務啊，可以實現互聯網和手機間的無縫通信服務……通俗點說吧，就是可以群體使用的短信息，免費的，就像QQ群，我們班先建立起自己的飛信群?！?/p>

⑤短頭發的女生吐吐舌頭，有點不好意思，然后半開玩笑地說：“我從小縣城來的，消息不靈通?！焙枚嗤瑢W笑起來。我也笑了笑說：“如果大家都明白了的話，把手機號報給我……” ⑥我的話還沒說完，聽到有個男生問：“必須要用手機嗎？”

⑦“當然，不用手機怎么發短信？”我不解地向后看去，問話的，是個皮膚微黑的男生，瘦瘦的，但是眼睛很亮，唇角微微上揚，有點倔強的表情。但是我沒想到那個男生忽然站起來說：“我沒有手機?！?⑧“去買一個啊。”我不假思索地脫口而出。

⑨“我是從農村來的，家里窮，家里還有奶奶和妹妹，母親身體不好，一家人的生活都靠父親在城里做建筑工。我上大學的學費是父親借來的，在大學里怎么生活下去，還要靠我自己，所以對不起，雖然我熱愛我們的班級，但是班里的飛信群，我不能參加?！闭f完，那個男生朝外走去。

⑩我愣住了，而此刻，全班同學，也都鴉雀無聲。那個高高瘦瘦的男生，穿著普通的藍色運動裝，白球鞋，街邊小攤的廉價物品，做工粗糙……而裹在這樣劣質運動裝里的背影，卻依然挺拔。卻依然挺拔。

（11）許久，我站在那里，感覺心里有一種從未有過的慚愧、自責，甚至有一種失效。

（12）第二天，我在教室里掛了一塊黑板，我說：“以后有什么消息，我會寫在黑板上通知大家，請大家留意！”然后，走到教室后面，走到那個拒絕了我并敢于承認貧窮的男生面前，什么都沒有說，只是彎下身，深深地鞠了一躬。（13）教室的某個角落，發出了孤單的掌聲，很快，掌聲多了起來，連成了片。（14）我抬起頭的時候，那個高高的倔強的男生清亮的眼睛里，盈滿了淚水。

（15）這一天，是我18歲生日，雖然我收到了許多貴重的禮物，但是我知道，這眼淚，才是生活送給我的真正的成人禮。

（作者：寧子 有刪改）

25.(2分）通讀全文，理清“我”的心理變化脈絡，在空白處填上恰當的詞語。（）→（）→自責、失敗→真誠、成熟

26.(2分）第⑩段劃線句子運用了什么描寫方法？表現了人物怎樣的性格特征？ 27.(2分）第（13）段運用了側面描寫，你認為在這里有什么作用？

28.(3分）你怎樣理解“這眼淚，才是生活送給我的真正的成人禮?！边@句話？ 29.(3分）如果小說第（11）段改成“許久，我站在那里，感覺心里有一種從未有過的不屑、恥辱，甚至有一種憤恨。”請你為小說改寫一個結尾（簡述即可）。答案25.（2分）自信、優越感（或驕傲）

26.（2分）主要運用了外貌描寫（或肖像描寫），表現了男生雖家境貧困，但性格倔強、自尊、不卑不亢。（意思相近即可）

27.（2分）描寫同學們的掌聲渲染了氣氛，襯托了人物形象，是對“我”的一種贊賞。（抓住渲染、襯托、贊賞，其中一點即可）28.（3分）點明主題，男生感動的眼淚，讓“我”明白了尊重別人，就會獲得別人的尊重。男生感動的淚水，讓“我”學會了成熟、理智地處理事情，突然覺得自己長大了。（言及一點，意思相近即可）

29.（3分）示例1：“我”堅持使用了飛信，只有那個農村男生沒有參加，我們漸漸地也疏遠了他。

示例2：開學的第一件事就草草收場，同學們不欣賞“我”的傲慢，“我”的威信也大打折扣。（結尾設計合情合理即可）

那年大雪

肖建國

那年雪好大，鵝毛片片飛。

梁子回來了。穿著皮夾克，披著黃大衣，足蹬大馬靴，威武得像個軍官。梁子在城里做生意，沒幾年的光景就發了，是我們這一帶窮山溝的名人。狗兒、海子和我的母親提前幾天就托人給梁子捎了話，希望他這次回來，能把我們帶出去，跟著他見見世面，掙不掙錢無關緊要。

梁子見到我，先一愣，后大笑，拍著我剛剃的光頭說：“好小子，哥就需要你這樣的人?！?/p>

海子也在院內。海子手里牽著一只小綿羊，雪白的毛，彎彎的角，很溫順地低著頭。狗兒說：“梁子哥，中午咱們殺羊吃。”

圍觀的人都齊聲叫好，落雪的小院兒頓時沸騰起來。說到殺羊，在咱村里真是少見。我們地處漢江河畔，水美草肥，家家養羊，可自家很少吃，大都賣給羊販子。要想很利索地殺死一只羊，還真是件棘手的事。

為了表現自己，海子先動起了手。他把羊往樹上一拴，從灶房拿出一把菜刀就向羊奔來。海子向左，羊角向左，海子向右，羊角向右。幾個來回后，小綿羊奮力一擊，反把海子掀了個仰八叉，引來大伙兒一陣哄笑。

“山子上。”梁子點了我的名，我的臉就莫名其妙地發燒起來。我靠近小綿羊，小綿羊“咩咩”地叫了兩聲。它可是認識我的，同在一個村里生活，它吃草我吃飯，抬頭不見低頭見。前天我還扯過紅薯藤給它吃呢。

我瞅它不備，彎下腰，伸出右臂，一下子摟著了小綿羊的頭，準備朝小綿羊的咽喉切下。這時，我看到了小綿羊的眼睛里有了淚，晶瑩剔透，順著眼角流了下來。霎時，我心里一緊，“撲通”一聲，手里的刀和羊一起落到了地上。

最后，梁子出手了。梁子笑瞇瞇地罵我們都是笨蛋。這羊表面上看起來很溫柔，其實骨子里倔犟著呢。梁子從屋里取出一棵大白菜。綠的葉，白的幫，極鮮嫩。梁子將白菜遞到小綿羊的嘴邊，小綿羊幾經折騰，瞪著驚恐的雙眼，不聞，不吃。

“別怕，別怕，我不會殺你的?！绷鹤訕泛呛堑囟紫聛?，像對一位老朋友那么親熱。小綿羊看看梁子手里沒有刀，眼神稍稍松懈了一下。梁子以手為梳，給小綿羊搔起癢癢來，那動作極溫順。小綿羊可能被感動了，飽含在眼眶的一窩淚水，扯成線流了下來。

小綿羊開始吃起白菜，并將身軀靠近了梁子。大伙兒也以為梁子不再殺羊了，打著哈哈準備離去。就在這時，只見梁子猛地一咬牙，飛快從袖簡里抽出一柄匕首來，從小綿羊的頸部扎了進去，手腕一翻，利刃直搗頸骨，然后順勢向下一劃拉……小綿羊和我們還沒明白怎么回事，只見一股鮮血噴涌而出，羊的氣管已被生生切斷。小綿羊撲倒在地，一雙翻白的眼睛瞪著梁子，嘴里還噙著一片白菜。

圍觀的人們也是一陣驚叫。梁子站起來，擦了擦帶血的匕首，自得地說，準備剝皮起鍋了。

那一晚的羊肉，我至今回憶不起是個什么味道。

第二天，雪依然下，大地一片耀眼的白。梁子走了，是一個人。蒼茫的雪地上留下了一串孤獨的腳窩。

(選自《第四屆小小說金麻雀獎獲獎作品》，有改動)7．請你用幾句話概述這篇小小說的故事情節。(3分)答：

8．結合上下文，品味下列句子中的加點詞語，指出其表達效果。(4分)(1)圍觀的人都齊聲叫好，落雪的小院兒頓時沸騰起來。

答：

(2梁子猛地一咬牙，飛快從袖簡里抽出一柄匕首來，從小綿羊的頸部扎了進去，手腕一翻，利刃直搗頸骨，然后順勢向下一劃拉……

答：

9．文中寫到梁子點“我”名時，為什么“我的臉就莫名其妙地發燒起來”?(4分)答：

10．閱讀小說的最后一段，請你聯系全文，說說這樣結尾有何作用。(6分)答: 7.梁子回來了→梁子和我們一起殺羊→梁子孤獨地離開村子。8.(1)“沸騰”一詞，運用比喻和夸張的修辭手法，形象生動地寫出圍觀者的興奮和當時場面的熱鬧。(2)運用動作描寫，寫出梁子殺羊時動作之快，下手之狠。

9.自己從來沒有殺過羊，有些緊張；預感自己不能完成殺羊任務，有些害羞；面對朝夕相處的小綿羊，有些不忍。10.示例：這樣結尾交待了故事的結局，起到前后呼應的作用；運用環境描寫，以雪的白、純潔映襯“梁子”靈魂的黑暗、兇殘；含蓄地揭示了小說的主題：以欺詐、兇殘、偽善獲得的成功必遭人們唾棄。

第二篇：「中考數學」證明題：真題專項突破沖刺提分60題（含答案解析）

【中考數學】證明題：精選真題專項打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共60小題）

1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．

（1）如圖1，連接BD，AF，則BD　　　　　　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF．

3．（2015?鎮江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延伸OA，OC到點E，F，使AE=CF，依次連接B，F，D，E各點．

（1）求證：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，則當∠EBA=　　　　　　°時，四邊形BFDE是正方形．

4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G連接DG．

（1）求證：四邊形DEFG為菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，連接DE，EB．

（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）已知圖中暗影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．

6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB．

（1）求證：∠ABC=∠EDC；

（2）求證：△ABC≌△EDC．

7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若PD=，AC=8，求圖中暗影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長．

8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=

時，四邊形BFCE是菱形．

9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）求證：四邊形BFDE為矩形．

11．（2015?咸寧）已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根；

（2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．

12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．

（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，連結AD，求⊙O的半徑和AD的長．

13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．

（1）求證：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．

14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．

（1）求證：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．

15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD．

求證：AD=CE．

16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．

17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分別在邊CD、AB上．

（1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．

18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P．求證：

（1）AC?PD=AP?BC；

（2）PE=PD．

19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．

（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；

（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．

21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延伸線于點E．

（1）求證：BD+2DE=BM．

（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=　　　　　?。?/p>

22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫?。O兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結果保留π）．

23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，連接DE．

（1）求證：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．

24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2．

求證：四邊形ABCD是矩形．

25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．

（1）當AB=2時，求△GEC的面積；

（2）求證：AE=EF．

26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形．

27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接OC，如果OC恰好弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．

28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點．

（1）求證：PN與⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．

29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．

30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；

（2）求證：直線BF是⊙O的切線；

（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結論．

31．（2015?內江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O．

（1）求證：△ABD≌△BEC；

（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．

32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求證：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．

33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD．

（1）求證：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（到0.01）

34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE．

（1）求證：∠A=∠AEB；

（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．

35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為

A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的地位，拼成四邊形AFF′D．

①求證：四邊形AFF′D是菱形．

②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長．

37．（2015?梅州）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①以A為圓心，AB長為半徑畫??；

②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；

③連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD．

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長．

38．（2015?龍巖）如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求證：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的長．

39．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE．

（1）求證：AB=AC；

（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．

40．（2015?遼陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延伸線于點F．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的長．

41．（2015?連云港）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E．

（1）求證；∠EDB=∠EBD；

（2）判斷AF與DB能否平行，并闡明理由．

42．（2015?萊蕪）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．

（1）判斷四邊形ACGD的外形，并闡明理由．

（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．

43．（2015?酒泉）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延伸線與BC的延伸線交于點F，連結CE，DF．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①當AE=　　　　　　cm時，四邊形CEDF是矩形；

②當AE=　　　　　　cm時，四邊形CEDF是菱形．

（直接寫出答案，不需求闡明理由）

44．（2015?荊門）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延伸線上一點，且∠ODB=∠AEC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求證：CE2=EH?EA；

（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．

45．（2015?吉林）如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==??R=lR．經過觀察，我們發現S扇形=lR類似于S三角形=×底×高．

類比扇形，我們探求扇環（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環被扇形截得的一部分交作扇環）的面積公式及其運用．

（1）設扇環的面積為S扇環，的長為l1，的長為l2，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代數式表示S扇環，并證明；

（2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積，面積是多少？

46．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′．

（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ能否成立？請闡明理由．

47．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延伸線于點P．

（1）求證：∠BCP=∠BAN

（2）求證：=．

48．（2015?湖北）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．

（1）求證：BE=CF；

（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．

49．（2015?葫蘆島）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延伸線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？

50．（2015?呼倫貝爾）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結論．

51．（2015?呼倫貝爾）如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延伸線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半徑．

52．（2015?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的長（結果保留根號）．

53．（2015?賀州）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8．

（1）求證：AF=EF；

（2）求證：BF平分∠ABD．

54．（2015?河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延伸BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO．

（1）求證：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，則四邊形AOPD的面積為　　　　　?。?/p>

②連接OD，當∠PBA的度數為　　　　　　時，四邊形BPDO是菱形．

55．（2015?桂林）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點．

（1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形；

（2）對角線AC分別與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM．

56．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延伸線相交于點M，連接AC，CM．

（1）若AB=4，求的長；（結果保留π）

（2）求證：四邊形ABMC是菱形．

57．（2015?甘南州）如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．

（1）求證：CF=CH；

（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論．

58．（2015?東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延伸EF交邊BC于點G，連接AG．

（1）求證：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的長．

59．（2015?大慶）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，P為BD上一點，∠APB=∠BAD．

（1）證明：AB=CD；

（2）證明：DP?BD=AD?BC；

（2）證明：BD2=AB2+AD?BC．

60．（2015?赤峰）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求證：PB是的切線．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑．

2015年全國中考數學證明題60例

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共60小題）

1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

考點：

菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據AAS證△AFE≌△DBE；

（2）利用①中全等三角形的對應邊相等得到AF=BD．已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結論；

（3）由直角三角形ABC與菱形有相反的高，根據等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結論．

解答：

（1）證明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．

∵DB=DC，∴AF=CD．

∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，∴AD=DC=BC，∴四邊形ADCF是菱形；

（3）解：設菱形DC邊上的高為h，∴RT△ABC斜邊BC邊上的高也為h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面積為：DC?h=×=10．

點評：

本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的運用，菱形的面積計算，次要考查先生的推理能力．

2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．

（1）如圖1，連接BD，AF，則BD　=　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF．

考點：

全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；平移的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據等腰三角形的性質，可得∠ABC與∠ACB的關系，根據平移的性質，可得AC與DF的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得答案；

（2）根據類似三角形的判定與性質，可得GM與HN的關系，BM與FN的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得答案．

解答：

（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．

由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．

在△ABF和△DFB中，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案為：BD=AF；

（2）證明：如圖：

MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．

在△BMH和△FNG中，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了平移的性質，類似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質．

3．（2015?鎮江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延伸OA，OC到點E，F，使AE=CF，依次連接B，F，D，E各點．

（1）求證：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，則當∠EBA=　20　°時，四邊形BFDE是正方形．

考點：

菱形的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由題意易證∠BAE=∠BCF，又由于BA=BC，AE=CF，于是可證△BAE≌△BCF；

（2）由已知可得四邊形BFDE對角線互相垂直平分，只需∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．

解答：

（1）證明：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE與△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；

（2）∵四邊形BFDE對角線互相垂直平分，∴只需∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．

故答案為：20．

點評：

本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的判定．本題關鍵是根據SAS證明△BAE≌△BCF．

4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G連接DG．

（1）求證：四邊形DEFG為菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

考點：

翻折變換（折疊成績）；勾股定理；菱形的判定與性質；矩形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據折疊的性質，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易證FG=FE，故由四邊相等證明四邊形DEFG為菱形；

（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，從而求出的值．

解答：

（1）證明：由折疊的性質可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四邊形DEFG為菱形；

（2）解：設DE=x，根據折疊的性質，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．

點評：

本題次要考查了折疊的性質、菱形的判定以及勾股定理，熟知折疊的性質和菱形的判定方法是解答此題的關鍵．

5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，連接DE，EB．

（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）已知圖中暗影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．

考點：

切線的性質；平行四邊形的判定；扇形面積的計算．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由∠BOD=60°E為的中點，得到，于是得到DE∥BC，根據CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可證得四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）連接OE，由（1）知，得到∠BOE=120°，根據扇形的面積公式列方程即可得到結論．

解答：

解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E為的中點，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）連接OE，由（1）知，∴∠BOE=120°，∵暗影部分面積為6π，∴=6π，∴r=6．

點評：

本題考查了切線的性質，平行四邊形的判定，扇形的面積公式，垂徑定理，證明是解題的關鍵．

6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB．

（1）求證：∠ABC=∠EDC；

（2）求證：△ABC≌△EDC．

考點：

全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據四邊形的內角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根據鄰補角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，從而求出∠B=∠CDE；

（2）根據“邊角邊”證明即可．

解答：

（1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）連接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS）．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，根據四邊形的內角和定理以及鄰補角的定義，利用同角的補角相等求出夾角相等是證明三角形全等的關鍵，也是本題的難點．

7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若PD=，AC=8，求圖中暗影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長．

考點：

切線的判定；扇形面積的計算．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結論；

（2）證明△ADP∽△PDA，得到成比例線段求出BC的長，根據S陰=S⊙O﹣S△ABC求出答案；

（3）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案．

解答：

（1）證明：如圖1，連接OC，∵PA切⊙O于點A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）得PA，PC都為圓的切線，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD?DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由題意知OD為△的中位線，∴BC=6，OD=6，AB=10．

∴S陰=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；

（3）解：如圖2，連接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵點E是的中點，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB?cos45°=5，∴EM==4，則CE=CM+EM=7．

點評：

本題考查的是切線的判定和性質、扇形面積的計算和類似三角形的判定和性質，靈活運用切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑和切線的判定是解題的關鍵．

8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=　4

時，四邊形BFCE是菱形．

考點：

平行四邊形的判定；菱形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易證得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，根據菱形的性質即可得到結果．

解答：

（1）證明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF

∴EC∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴當BE=4

時，四邊形BFCE是菱形，故答案為：4．

點評：

此題考查了類似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，留意數形思想的運用，留意掌握輔助線的作法．

9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

考點：

平行四邊形的判定與性質；等腰三角形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據矩形的對邊相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．

解答：

（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC與△FED中，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是邊CD的中點，∴CE=DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）①BC=BD=3時，由勾股定理得，AB===2，所以，四邊形BDFC的面積=3×2=6；

②BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四邊形BDFC的面積=3×=3；

③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時不成立；

綜上所述，四邊形BDFC的面積是6或3．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，（1）確定出全等三角形是解題的關鍵，（2）難點在于分情況討論．

10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）求證：四邊形BFDE為矩形．

考點：

矩形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由DE與AB垂直，BF與CD垂直，得到一對直角相等，再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC，對角相等，利用AAS即可的值；

（2）由平行四邊形的對邊平行得到DC與AB平行，得到∠CDE為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形即可的值．

解答：

證明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS）；

（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，則四邊形BFDE為矩形．

點評：

此題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的性質，純熟掌握矩形的判定方法是解本題的關鍵．

11．（2015?咸寧）已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根；

（2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．

考點：

根的判別式；解一元二次方程-公式法．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）求出方程根的判別式，利用配方法進行變形，根據平方的非負性證明即可；

（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，根據題意求出m的值．

解答：

（1）證明：△=（m+2）2﹣8m

=m2﹣4m+4

=（m﹣2）2，∵不論m為何值時，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程總有實數根；

（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有兩個不相等的正整數根，∴m=1或2，m=2不合題意，∴m=1．

點評：

本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的運用，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△＞0?方程有兩個不相等的實數根；△=0?方程有兩個相等的實數根；△＜0?方程沒有實數根是解題的關鍵．

12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．

（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，連結AD，求⊙O的半徑和AD的長．

考點：

切線的性質；菱形的判定與性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形；

（2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，進而求出AD．

解答：

（1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED．

∵BC與⊙O相切于一點D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE=AO=0D，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵OA=OD，∴四邊形AODE是菱形．

（2）解：設⊙O的半徑為r．

∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．

∴，即10r=6（10﹣r）．

解得r=，∴⊙O的半徑為．

如圖2，連接OD、DF．

∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC?AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．

點評：

本題考查了切線的性質、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、菱形的判定和性質以及類似三角形的判定和性質，是一個綜合題，難度中等．純熟掌握相關圖形的性質及判定是解本題的關鍵．

13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．

（1）求證：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）先根據EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根據∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結論；

（2）由勾股定理求出BP的長，根據EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再根據銳角三角函數的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根據EQ=EF﹣QF即可得出結論．

解答：

（1）證明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB與Rt△HFE中，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；

（2）解：由勾股定理得，BP===4．

∵EF是BP的垂直平分線，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ?tan∠FBQ=BQ?tan∠ABP=2×=．

由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．

點評：

本題考查的是正方形的性質，熟知正方形的性質及全等三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．

14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．

（1）求證：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．

考點：

類似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；圓周角定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連結AE，如圖，根據圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性質即可得到BE=CE；

（2）連結DE，如圖，證明△BED∽△BAC，然后利用類似比可計算出AB的長，從而得到AC的長．

解答：

（1）證明：連結AE，如圖，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；

（2）連結DE，如圖，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．

點評：

本題考查了類似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形類似時，應留意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋覓類似三角形的普通方法是經過作平行線構造類似三角形．也考查了角平分線的性質和圓周角定理．

15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD．

求證：AD=CE．

考點：

全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

作DG∥BC交AC于G，先證明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再證明△ADG是等邊三角形，得出AD=GD，即可得出結論．

解答：

證明：作DG∥BC交AC于G，如圖所示：

則∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等邊三角形，∴AD=GD，∴AD=CE．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質；純熟掌握等邊三角形的判定與性質，并能進行推理論證是處理成績的關鍵．

16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據同角的余角相等可得到∠3=∠5，條件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可證得結論．

解答：

解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．

點評：

本題次要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分別在邊CD、AB上．

（1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．

考點：

矩形的性質；平行四邊形的判定；菱形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先根據矩形的性質可得AB平行且等于CD，然后根據DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可證明四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）根據四邊形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后設DE=x，表示出AE，CE的長度，根據相等求出x的值，繼而可求得菱形的邊長及周長．

解答：

解；（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）∵四邊形AFCE是菱形，∴AE=CE，設DE=x，則AE=，CE=8﹣x，則=8﹣x，解得：x=，則菱形的邊長為：8﹣=，周長為：4×=25，故菱形AFCE的周長為25．

點評：

本題考查了矩形的性質和菱形的性質，解答本題的關鍵是則矩形對邊平行且相等的性質以及菱形四條邊相等的性質．

18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P．求證：

（1）AC?PD=AP?BC；

（2）PE=PD．

考點：

切線的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先根據AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再根據DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據此判斷出PE=PD即可．

（2）首先根據△AEP∽△ABC，判斷出；然后根據PE=PD，可得，據此判斷出AC?PD=AP?BC即可．

解答：

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC?PD=AP?BC．

點評：

（1）此題次要考查了切線的性質和運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①圓的切線垂直于切點的半徑．②圓心且垂直于切線的直線必切點．③切點且垂直于切線的直線必圓心．

（2）此題還考查了類似三角形的判定和性質的運用，要純熟掌握．

19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

考點：

全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）延伸DE交AB于點G，連接AD．構建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），則由該全等三角形的對應邊相等證得結論；

（2）設AC與FD交于點O．利用（1）中全等三角形的對應角相等，等角的補角相等以及三角形內角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．

解答：

證明：（1）延伸DE交AB于點G，連接AD．

∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC．

∵點E是AC的中點，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．

∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．

又BF=BC，∴BF=DE．

∴在△AED與△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；

（2）設AC與FD交于點O．

∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

點評：

本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．

20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．

（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；

（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．

考點：

切線的判定與性質；弧長的計算；作圖—基本作圖．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據角平分線的性質證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線；

（2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可．

解答：

解：（1）作圖如右圖，連接OA，過O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切線；

（2）∵PA、PC是⊙O的切線，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=

∴OA=

∴==．

點評：

本題考查了尺規作圖、切線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、銳角三角函數以及弧長的計算，求出圓心角和半徑長是處理成績的關鍵．

21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延伸線于點E．

（1）求證：BD+2DE=BM．

（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=　　．

考點：

類似三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，首先證明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到結論；

（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長．

解答：

（1）證明：過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形

∴BP=BM

∴BD+2DE=BM．

（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴

設正方形邊長為a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2

∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．

故答案為：．

點評：

本題次要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、類似三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合運用，運用三角形類似求出正方形的邊長是處理第2小題的關鍵．

22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧．設兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結果保留π）．

考點：

全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；弧長的計算．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據題意得出BD=CD=BC，由SSS證明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；

（2）由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=65°，由等邊三角形的性質得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定義求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根據弧長公式求出、的長度，即可得出結果．

解答：

（1）證明：根據題意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；

（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC為等邊三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的長度=的長度==；

∴、的長度之和為+=．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、弧長的計算；純熟掌握全等三角形和等邊三角形的判定與性質，并能進行推理計算是處理成績的關鍵．

23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，連接DE．

（1）求證：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．

考點：

類似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由平行四邊形的性質得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，根據平行四邊形的判定即可得到結論；

（2）根據等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結論．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD

∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE=CD?DE．

點評：

本題考查了類似三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，熟記定理是解題的關鍵．

24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2．

求證：四邊形ABCD是矩形．

考點：

矩形的判定；函數圖象上點的坐標特征．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定該四邊形為平行四邊形，然后根據△ABE的面積得到整個四邊形的面積和AD的長，根據平行四邊形的面積計算方法得當DA⊥AB即可判定矩形．

解答：

證明：作EF⊥AB于點F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B兩點縱坐標相反，∴AB∥CD∥x軸，∴m﹣2=4，m=6，將B（6，n）代入直線y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面積是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四邊形ABCD是矩形．

點評：

本題考查了矩形的判定，解題的關鍵是了解有一個角是直角的平行四邊形是矩形，難度不大．

25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．

（1）當AB=2時，求△GEC的面積；

（2）求證：AE=EF．

考點：

全等三角形的判定與性質；正方形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先根據△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，從而求得GC=即可求得S△GEC；

（2）取AB的中點H，連接EH，根據已知及正方形的性質利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；

解答：

解：（1）∵AB=BC=2，點E為BC的中點，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=?EC?CG=×1×=；

（2）證明：取AB的中點H，連接EH；

∵ABCD是正方形，AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°

∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；

點評：

此題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質，解（2）題的關鍵是取AB的中點H，得出AH=EC，再根據全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．

26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形．

考點：

菱形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先根據平行四邊形的判定方法，判斷出四邊形ADCE是平行四邊形；然后判斷出AE=CE，即可判斷出四邊形ADCE是菱形，據此解答即可．

解答：

證明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形．

點評：

此題次要考查了菱形的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．

27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接OC，如果OC恰好弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．

考點：

切線的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由AB為⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可證得BC是⊙O的切線；

（2）根據點O是AB的中點，點E時BD的中點可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結論．

解答：

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；

（2）∵點O是AB的中點，點E時BD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．

點評：

本題考查的是切線的判定，熟知半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關鍵．

28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點．

（1）求證：PN與⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．

考點：

切線的判定與性質；弧長的計算．版權一切

專題：

計算題；證明題．

分析：

（1）連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，利用AAS得到三角形PEO與三角形PFO全等，利用全等三角形對應邊相等得到=OE，即可確定出PN與圓O相切；

（2）在直角三角形POE中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE的長，∠EOB度數，利用弧長公式即可求出劣弧的長．

解答：

（1）證明：連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，∵PM與圓O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，則PN與圓O相切；

（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，則的長l==．

點評：

此題考查了切線的判定與性質，弧長公式，純熟掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．

29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．

考點：

切線的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據切線的性質，可得∠MAP=90°，根據直角三角形的性質，可得∠P+M=90°，根據余角的性質，可得∠M+∠MOB=90°，根據直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據切線的判定，可得答案；

（2）根據類似三角形的判定與性質，可得==，根據解方程組，可得答案．

解答：

（1）證明：∵PA切⊙O于點A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．

∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB直徑的外端點，∴PB是⊙O的切線；

（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，=

①，=

②

聯立①②得，解得，當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2．

點評：

本題考查了切線的判定與性質，（1）利用了切線的判定與性質，直角三角形的判定與性質，余角的性質；（2）利用了類似三角形的判定與性質，解方程組．

30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；

（2）求證：直線BF是⊙O的切線；

（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結論．

考點：

圓的綜合題．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據垂徑定理求得PC，連接OC，根據勾股定理求得即可；

（2）求得△PBC∽△BFA，根據類似三角形對應角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可證得結論；

（3）經過證得AE=BF，AE∥BF，從而證得四邊形AEBF是平行四邊形．

解答：

（1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，連接OC，設⊙O的半徑為r，則PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．

（2）證明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直線BF是⊙O的切線；

（3）四邊形AEBF是平行四邊形；

理由：解：如圖2所示：∵CD⊥AB，垂足為P，∴當點P與點O重合時，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切線，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位線，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位線，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形．

點評：

本題考查了切線的判定，勾股定理的運用，三角形類似的判定和性質，三角形的中位線的性質，平行四邊形的判定等，純熟掌握性質定理是解題的關鍵．

31．（2015?內江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O．

（1）求證：△ABD≌△BEC；

（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．

考點：

矩形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據平行四邊形的判定與性質得到四邊形BECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角形全等即可；

（2）欲證明四邊形BECD是矩形，只需推知BC=ED．

解答：

證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，則BE∥CD．

又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD=EC．

∴在△ABD與△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SSS）；

（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四邊形BECD為矩形．

點評：

本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，平行線的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點的綜合運用，難度較大．

32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求證：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．

考點：

平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，利用ASA即可得證；

（2）過D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EB=2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到EB=DF，等量代換即可得證．

解答：

證明：（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（ASA）；

（2）作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴FD=EB，∴DA=DF．

點評：

此題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及含30度直角三角形的性質，純熟掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．

33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD．

（1）求證：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（到0.01）

考點：

切線的性質；解直角三角形．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD，利用切線的性質和直徑的性質轉化為角的關系進行證明即可；

（2）根據三角函數進行計算即可．

解答：

證明：（1）連接OD，如圖，∵CD與半圓O相切于點D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；

（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半徑為．

點評：

此題考查切線的性質，關鍵是根據切線的性質和直徑的性質轉化為角的關系進行分析．

34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE．

（1）求證：∠A=∠AEB；

（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．

考點：

圓內接四邊形的性質；等邊三角形的判定與性質；圓周角定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據圓內接四邊形的性質可得∠A+∠BCD=180°，根據鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD=180°，進而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進而可得∠A=∠AEB；

（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB=60°，再根據∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；

（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形．

點評：

此題次要考查了等邊三角形的判定和性質，以及圓內接四邊形的性質，關鍵是掌握圓內接四邊形對角互補．

35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

考點：

全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；

（2）由全等三角形的性質得AF=BC，由等腰三角形的性質“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結論．

解答：

證明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B

在△AEF與△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）；

（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．

點評：

本題次要考查了全等三角形性質與判定，等腰三角形的性質，運用等腰三角形的性質是解答此題的關鍵．

36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為　C

A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的地位，拼成四邊形AFF′D．

①求證：四邊形AFF′D是菱形．

②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長．

考點：

圖形的剪拼；平行四邊形的性質；菱形的判定與性質；矩形的判定；平移的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據矩形的判定，可得答案；

（2）①根據菱形的判定，可得答案；

②根據勾股定理，可得答案．

解答：

解：（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為矩形，故選：C；

（2）①證明：∵紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，∴AE=3．

如圖2：，∵△AEF，將它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四邊形AFF′D是平行四邊形．

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF===5，∴AF=AD=5，∴四邊形AFF′D是菱形；

②連接AF′，DF，如圖3：

在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF===，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′===3．

點評：

本題考查了圖形的剪拼，利用了矩形的判定，菱形的判定，勾股定理．

37．（2015?梅州）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①以A為圓心，AB長為半徑畫??；

②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；

③連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD．

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長．

考點：

全等三角形的判定與性質；作圖—復雜作圖．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用SSS定理證得結論；

（2）設BE=x，利用角的三角函數易得AE的長，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的長．

解答：

（1）證明：在△ABC與△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）解：設BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°?x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=45°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．

點評：

本題次要考查了全等三角形的判定及性質，角的三角函數，利用方程思想，綜合運用全等三角形的性質和判定定理是解答此題的關鍵．

38．（2015?龍巖）如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求證：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的長．

考點：

矩形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據矩形的性質和已知條件可證明△AEF≌△DCE，可證得AE=DC；

（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的長．

解答：

（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC；

（2）解：由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，在矩形ABCD中，AB=CD=，在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，∴BE=2．

點評：

本題次要考查矩形的性質和全等三角形的判定和性質，在（1）中證得三角形全等是解題的關鍵，在（2）中留意勾股定理的運用．

39．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE．

（1）求證：AB=AC；

（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．

考點：

切線的性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據弦切角定理和圓周角定理證明∠ABC=∠ACB，得到答案；

（2）作AF⊥CD于F，證明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根據△ABH≌△ACF，得到答案．

解答：

證明：（1）∵AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．

點評：

本題考查的是切線的性質和平行四邊形的性質以及全等三角形的判定和性質，運用性質證明相關的三角形全等是解題的關鍵，留意圓周角定理和圓內接四邊形的性質的運用．

40．（2015?遼陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延伸線于點F．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的長．

考點：

切線的判定；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先判斷出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根據DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判斷出直線FG是⊙O的切線．

（2）首先根據類似三角形判定的方法，判斷出△ODF∽△AGF，再根據cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．

解答：

（1）證明：如圖1，連接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODG=∠DGC，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥FG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線FG是⊙O的切線．

（2）解：如圖2，∵AB=AC=10，AB是⊙O的直徑，∴OA=OD=10÷2=5，由（1），可得

OD⊥FG，OD∥AC，∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中，∴△ODF∽△AGF，∴，∵cosA=，∴cos∠DOF=，∴=，∴AF=AO+OF=5，∴，解得AG=7，∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，即CG的長是3．

點評：

（1）此題次要考查了切線的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確切線的判定定理：半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

（2）此題還考查了三角形類似的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形類似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形類似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形類似．

41．（2015?連云港）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E．

（1）求證；∠EDB=∠EBD；

（2）判斷AF與DB能否平行，并闡明理由．

考點：

翻折變換（折疊成績）；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由折疊和平行線的性質易證∠EDB=∠EBD；

（2）AF∥DB；首先證明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根據三角形內角和與等式性質可證明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD．

解答：

解：（1）由折疊可知：∠CDB=∠EDB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD；

（2）AF∥DB；

∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折疊可知：DC=DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB．

點評：

本題次要考查了折疊變換、平行四邊形的性質、等腰三角形的性質的綜合運用，運用三角形內角和定理和等式性質得出內錯角相等是處理成績的關鍵．

42．（2015?萊蕪）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．

（1）判斷四邊形ACGD的外形，并闡明理由．

（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．

考點：

全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行四邊形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用等腰直角三角形的性質易得BD=2BC，由于G為BD的中點，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四邊形ACGD為平行四邊形；

（2）利用全等三角形的判定證得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性質得BE=CD；首先證得四邊形ABCE為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出結論．

解答：

（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G為BD的中點，∴BG=BD=BC，∴△CBG為等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四邊形ACGD為平行四邊形；

（2）證明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC與△BAE中，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴CE=AB=AD，在△BCE與△CAD中，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．

點評：

本題次要考查了等腰直角三角形的性質，平行四邊形和全等三角形的判定及性質定理，綜合運用各種定理是解答此題的關鍵．

43．（2015?酒泉）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延伸線與BC的延伸線交于點F，連結CE，DF．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①當AE=　3.5　cm時，四邊形CEDF是矩形；

②當AE=　2　cm時，四邊形CEDF是菱形．

（直接寫出答案，不需求闡明理由）

考點：

平行四邊形的判定與性質；菱形的判定；矩形的判定．版權一切

專題：

證明題；動點型．

分析：

（1）證△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根據平行四邊形的判定推出即可；

（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根據矩形的判定推出即可；

②求出△CDE是等邊三角形，推出CE=DE，根據菱形的判定推出即可．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，∵G是CD的中點，∴CG=DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG（ASA）

∴FG=EG，∵CG=DG，∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①解：當AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形，理由是：過A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是矩形，故答案為：3.5；

②當AE=2時，四邊形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CE=DE，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是菱形，故答案為：2．

點評：

本題考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，矩形的判定，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的運用，留意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

44．（2015?荊門）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延伸線上一點，且∠ODB=∠AEC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求證：CE2=EH?EA；

（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．

考點：

圓的綜合題．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；

（2）連接AC，由垂徑定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例，即可得出結論；

（3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數求出BE，再根據勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的結論求出EH，然后根據勾股定理求出BH即可．

解答：

（1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切線；

（2）證明：連接AC，如圖1所示：

∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH?EA；

（3）解：連接BE，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB?sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH?EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．

點評：

本題是圓的綜合標題，考查了切線的判定、圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理、勾股定理、三角函數、類似三角形的判定與性質等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需求經過作輔助線證明三角形類似和運用三角函數、勾股定理才能得出結果．

45．（2015?吉林）如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==??R=lR．經過觀察，我們發現S扇形=lR類似于S三角形=×底×高．

類比扇形，我們探求扇環（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環被扇形截得的一部分交作扇環）的面積公式及其運用．

（1）設扇環的面積為S扇環，的長為l1，的長為l2，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代數式表示S扇環，并證明；

（2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積，面積是多少？

考點：

圓的綜合題．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據扇形公式之間的關系，已知條件推出結果即可；

（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的結果，化成頂點式，即可得出答案．

解答：

（1）S扇環=（l1﹣l2）h，證明：設大扇形半徑為R，小扇形半徑為r，圓心角度數為n，則由l=，得R=，r=

所以圖中扇環的面積S=×l1×R﹣×l2×r

=l1?﹣l2?

=（l12﹣l22）

=（l1+l2）（l1﹣l2）

=??（R﹣r）（l1﹣l2）

=（l1﹣l2）（R﹣r）

=（l1+l2）h，故猜想正確．

（2）解：根據題意得：l1+l2=40﹣2h，則S扇環=（l1+l2）h

=（40﹣2h）h

=﹣h2+20h

=﹣（h﹣10）2+100

∵﹣1＜0，∴開口向下，有值，當h=10時，值是100，即線段AD的長h為10m時，花園的面積，面積是100m2．

點評：

本題次要考查了扇形面積公式，弧長公式，二次函數的頂點式的運用，能猜想出正確結論是解此題的關鍵，有一定的難度．

46．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′．

（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ能否成立？請闡明理由．

考點：

類似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）①由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，證出OC′=OD′，由SAS證明△AOC′≌△BOD′，得出對應邊相等即可；

②由全等三角形的性質得出∠OAC′=∠OBD′，又由對頂角相等和三角形內角和定理得出∠BEA=90°，即可得出結論；

（2）由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行線得出比例式，得出，證明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由對頂角相等和三角形內角和定理即可得出∠AEB=θ．

解答：

（1）證明：①∵△OCD旋轉到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D為OA、OB的中點，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；

②延伸AC′交BD′于E，交BO于F，如圖1所示：

∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；

（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如圖2所示：

∵△OCD旋轉到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．

點評：

本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、類似三角形的判定與性質；純熟掌握旋轉的性質，并能進行推理論證是處理成績的關鍵．

47．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延伸線于點P．

（1）求證：∠BCP=∠BAN

（2）求證：=．

考點：

切線的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由AC為⊙O直徑，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根據PC是⊙O的切線，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到結論．

（2）由等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，根據圓內接四邊形的性質得到∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，即可得到結論．

解答：

（1）證明：∵AC為⊙O直徑，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切線，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴．

點評：

本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，類似三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質，解此題的關鍵是純熟掌握定理．

48．（2015?湖北）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．

（1）求證：BE=CF；

（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．

考點：

旋轉的性質；勾股定理；菱形的性質．版權一切

專題：

計算題；證明題．

分析：

（1）先由旋轉的性質得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據旋轉的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，然后根據旋轉的性質得到BE=CD；

（2）由菱形的性質得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據等腰三角形的性質得∠AEB=∠ABE，根據平行線得性質得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．

解答：

（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，∴BE=CF；

（2）解：∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．

點評：

本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉的距離相等；對應點與旋轉所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質．

49．（2015?葫蘆島）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延伸線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？

考點：

切線的判定與性質；勾股定理；解直角三角形．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M，證明OM等于圓的半徑OD即可；

（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，則四邊形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函數求得OM和BM的長，則BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，則BF即可求解．

解答：

解：（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O與AC相切于點D．

∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠DAO=∠NAO，∴OM=OD．

∴AB與⊙O相切；

（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF．

∵O是BC的中點，∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60du6，∴OM=OB?sin60°=，BM=OB?cos60°=1．

∵BE⊥AB，∴四邊形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM=．

∵OF=OM=，由勾股定理得NF=．

∴BF=BN+NF=+．

點評：

本題考查了切線的性質與判定，以及等邊三角形的性質，正確作出輔助線構造矩形是處理本題的關鍵．

50．（2015?呼倫貝爾）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結論．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，可證得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；

（2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據菱形的判定可以得到四邊形是菱形．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分別為邊AB、CD的中點，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是菱形，理由如下：

解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，連接EF，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，∴DF∥AE，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形．

點評：

本題次要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中點是解題的關鍵．

51．（2015?呼倫貝爾）如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延伸線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半徑．

考點：

切線的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；

（2）延伸AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，根據AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，證△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可．

解答：

證明：（1）如圖1，連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；

（2）如圖2，延伸AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直徑，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．

∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為．

點評：

本題考查了等腰三角形的性質和判定，類似三角形的性質和判定，切線的性質，勾股定理，直線與圓的地位關系等知識點的運用，次要培養先生運用性質進行推理和計算的能力．本題綜合性比較強，有一定的難度．

52．（2015?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的長（結果保留根號）．

考點：

切線的判定；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠，推出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據切線判定推出即可；

（2）首先求得線段AO的長，然后證△AOE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可．

解答：

（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC=∠OCF，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥CD，∵OC為半徑，∴CD是⊙O的切線．

（2）∵OE⊥AC，∴AE=AC=cm，在Rt△AOE中，AO===4cm，由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，∴△AOE∽△ACD，∴，即，∴DC=cm．

點評：

本題考查了類似三角形的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，平行線性質和判定，等腰三角形性質，切線的判定的運用，次要考查先生的推理能力．

53．（2015?賀州）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8．

（1）求證：AF=EF；

（2）求證：BF平分∠ABD．

考點：

翻折變換（折疊成績）；全等三角形的判定與性質；矩形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）先根據翻折變換的性質得出ED=CD，∠E=∠C，故ED=AB，∠E=∠A．由AAS定理得出△ABF≌△EDF，故可得出結論；

（2）在Rt△BCD中根據sin∠CBD==可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，由直角三角形的性質可知∠ABF=90°﹣30°×2=30°，所以∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD．

解答：

（1）證明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，∵△BED是△BCD翻折而成，∴ED=CD，∠E=∠C，∴ED=AB，∠E=∠A．

在△ABF與△EDF中，∵，∴△ABF≌△EDF（AAS），∴AF=EF；

（2）在Rt△BCD中，∵DC=DE=4，DB=8，∴sin∠CBD==，∴∠CBD=30°，∴∠EBD=∠CBD=30°，∴∠ABF=90°﹣30°×2=30°，∴∠ABF=∠DBF，∴BF平分∠ABD．

點評：

本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．

54．（2015?河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延伸BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO．

（1）求證：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，則四邊形AOPD的面積為　4　；

②連接OD，當∠PBA的度數為　60°　時，四邊形BPDO是菱形．

考點：

菱形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據中位線的性質得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可證△CDP≌△POB；

（2）①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有面積，依此即可求解；

②根據有一組對應邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BPDO是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，以及等邊三角形的判定和性質即可求解．

解答：

（1）證明：∵PC=PB，D是AC的中點，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP與△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）；

（2）解：①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有面積，（4÷2）×（4÷2）

=2×2

=4；

②如圖：

∵DP∥AB，DP=BO，∴四邊形BPDO是平行四邊形，∵四邊形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等邊三角形，∴∠PBA的度數為60°．

故答案為：4；60°．

點評：

考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質，中位線的性質，解題的關鍵是SAS證明△CDP≌△POB．

55．（2015?桂林）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點．

（1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形；

（2）對角線AC分別與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM．

考點：

平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據平行四邊形的性質：平行四邊的對邊相等，可得AB∥CD，AB=CD；根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；

（2）根據平行四邊的性質：平行四邊形的對邊相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根據全等三角形的判定，可得答案．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．

∵E、F分別是AB、CD的中點，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四邊形EBFD為平行四邊形；

（2）證明：∵四邊形EBFD為平行四邊形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN與△CDM中，∴△ABN≌△CDM

（ASA）．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定與性質，利用了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定，根據條件選擇適當的判定方法是解題關鍵．

56．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延伸線相交于點M，連接AC，CM．

（1）若AB=4，求的長；（結果保留π）

（2）求證：四邊形ABMC是菱形．

考點：

切線的性質；菱形的判定；弧長的計算．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OB，由E為OD中點，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，進而求出∠AOE與∠AOB的度數，設OA=x，利用勾股定理求出x的值，確定出圓的半徑，利用弧長公式即可求出的長；

（2）由問得到∠BAM=∠BMA，利用等角對等邊得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM與三角形OBM全等，利用全等三角形對應邊相等得到CM=BM，等量代換得到CM=AB，再利用全等三角形對應角相等及等量代換得到一對內錯角相等，進而確定出CM與AB平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABMC為平行四邊形，由鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

解答：

（1）解：∵OA=OB，E為AB的中點，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E為OD中點，∴OE=OD=OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，設OA=x，則OE=x，AE=x，∵AB=4，∴AB=2AE=x=4，解得：x=4，則的長l==；

（2）證明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM為圓O的切線，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四邊形ABMC為菱形．

點評：

此題考查了切線的性質，菱形的判斷，全等三角形的判定與性質，以及弧長公式，純熟掌握切線的性質是解本題的關鍵．

57．（2015?甘南州）如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．

（1）求證：CF=CH；

（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論．

考點：

菱形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；

（2）根據△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形．

解答：

（1）證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．

在△BCF和△ECH中，∴△BCF≌△ECH（ASA），∴CF=CH（全等三角形的對應邊相等）；

（2）解：四邊形ACDM是菱形．

證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．

∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四邊形ACDM是平行四邊形（兩組對角相等的四邊形是平行四邊形），∵AC=CD，∴四邊形ACDM是菱形．

點評：

菱形的判別方法是闡明一個四邊形為菱形的理論根據，常用三種方法：

①定義；

②四邊相等；

③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需求根據已知條件來確定．

58．（2015?東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延伸EF交邊BC于點G，連接AG．

（1）求證：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的長．

考點：

翻折變換（折疊成績）；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用翻折變換對應邊關系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；

（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，進而求出BG即可；

解答：

解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，設BG=FG=x，則GC=6﹣x，∵E為CD的中點，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2．

點評：

此題次要考查了勾股定理的綜合運用以及翻折變換的性質，根據翻折變換的性質得出對應線段相等是解題關鍵．

59．（2015?大慶）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，P為BD上一點，∠APB=∠BAD．

（1）證明：AB=CD；

（2）證明：DP?BD=AD?BC；

（2）證明：BD2=AB2+AD?BC．

考點：

類似三角形的判定與性質；圓周角定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用平行線的性質圓周角定理得出=，進而得出答案；

（2）首先得出△ADP∽△DBC，進而利用類似三角形的性質得出答案；

（3）利用類似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，進而求出AB2=DB?PB，再利用（2）中所求得出答案．

解答：

證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴=，∴AB=BC；

（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，∴∠BCD=∠APD，又∵∠ADB=∠CBD，∴△ADP∽△DBC，∴=，∴DP?BD=AD?BC；

（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，∴△ABP∽△DBA，∴=，∴AB2=DB?PB，∴AB2+AD?BC=DB?PB+AD?BC

∵由（2）得：DP?BD=AD?BC，∴AB2+AD?BC=DB?PB+DP?BD=DB（PB+DP）=DB2，即BD2=AB2+AD?BC．

點評：

此題次要考查了類似三角形的判定與性質以及圓周角定理，純熟運用類似三角形的判定與性質是解題關鍵．

60．（2015?赤峰）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求證：PB是的切線．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑．

考點：

切線的判定與性質．版權一切

專題：

計算題；證明題．

分析：

（1）由已知角相等，及對頂角相等得到三角形DOE與三角形POB類似，利用類似三角形對應角相等得到∠OBP為直角，即可得證；

（2）在直角三角形PBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PD的長，由切線長定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的長，在直角三角形OCD中，設OC=r，則有OD=8﹣r，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑．

解答：

（1）證明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB為圓的半徑，∴PB為圓O的切線；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根據勾股定理得：PD==10，∵PD與PB都為圓的切線，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，設OC=r，則有DO=8﹣r，根據勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，則圓的半徑為3．

點評：

此題考查了切線的判定與性質，勾股定理，純熟掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．

第三篇：「中考數學」圓：真題專項突破沖刺提分60題（含答案解析）

【中考數學】圓：精選真題專項打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?長沙）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．

（1）求證：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

2．（2014?永州）如圖，點A是⊙O上一點，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于點D，作AC⊥OB，垂足為M，并交⊙O于點C，連接BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）過點B作BP⊥OB，交OA的延伸線于點P，連接PD，求sin∠BPD的值．

3．（2014?無錫）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數；

（2）若AB=4，AC=3，求DE的長．

4．（2014?威海）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線．

（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：CD=HF．

5．（2014?天水）如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延伸線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判斷直線CD和⊙O的地位關系，并闡明理由．

（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．

6．（2014?天津）已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．

（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；

（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

7．（2014?綏化）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1=∠BCD．

（1）求證：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．

8．（2014?沈陽）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，OD∥BC交⊙O于點D，交AC于點E，連接AD，BD，CD．

（1）求證：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

9．（2014?廈門）已知A，B，C，D是⊙O上的四個點．

（1）如圖1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；

（2）如圖2，若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑．

10．（2014?三明）已知AB是半圓O的直徑，點C是半圓O上的動點，點D是線段AB延伸線上的動點，在運動過程中，保持CD=OA．

（1）當直線CD與半圓O相切時（如圖①），求∠ODC的度數；

（2）當直線CD與半圓O相交時（如圖②），設另一交點為E，連接AE，若AE∥OC，①AE與OD的大小有什么關系？為什么？

②求∠ODC的度數．

11．（2014?黔東北州）如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延伸線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的暗影部分的面積．（結果保留π）

12．（2014?南通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD恰好圓心O，連接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直徑；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度數．

13．（2014?臨沂）如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

14．（2014?聊城）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，過點A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延伸線交于點P．連接PC并延伸與AB的延伸線交于點F．

（1）求證：PC是半⊙O的切線；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求線段BF的長．

15．（2014?遼陽）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延伸線上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

16．（2014?涼山州）已知：如圖，P是⊙O外一點，過點P引圓的切線PC（C為切點）和割線PAB，分別交⊙O于A、B，連接AC，BC．

（1）求證：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的結論，已知PA=3，PB=5，求PC的長．

17．（2014?涼山州）如圖所示，正方形網格中，△ABC為格點三角形（即三角形的頂點都在格點上）．

（1）把△ABC沿BA方向平移后，點A移到點A1，在網格中畫出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉90°，在網格中畫出旋轉后的△A1B2C2；

（3）如果網格中小正方形的邊長為1，求點B（1）、（2）變換的路徑總長．

18．（2014?吉林）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心，OA為半徑的圓交AB于點D，延伸AO交⊙O于點E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列成績：

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BC=3，CD=4，求平行四邊形OABC的面積．

19．（2014?黃岡）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．

（1）求證：EB=EC；

（2）若以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的外形，并闡明理由．

20．（2014?湖州）已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D（如圖）．

（1）求證：AC=BD；

（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長．

21．（2014?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度數；

（2）過點O作OF⊥AC于點F，延伸FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長．

22．（2014?福州）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，點D為BA延伸線上的一點，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓．

（1）求BC的長；

（2）求⊙O的半徑．

23．（2014?佛山）如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．

24．（2014?濱州）如圖，點D在⊙O的直徑AB的延伸線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圖中暗影部分的面積．

25．（2014?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，⊙O的切線BD交AC的延伸線于點D，E是OB的中點，CE的延伸線交切線BD于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．

（1）求證：AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的長．

26．（2013?營口）在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的三個頂點都在格點上．（每個小方格的頂點叫格點）

（1）畫出△ABC向下平移3個單位后的△A1B1C1；

（2）畫出△ABC繞點O順時針旋轉90°后的△A2B2C2，并求點A旋轉到A2所的路線長．

27．（2013?烏魯木齊）如圖．點A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點E，過點O作OF⊥BC于F，求證：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

28．（2013?溫州）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延伸BC至點D，使DC=CB，延伸DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．

（1）求證：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長．

29．（2013?深圳）如圖所示，該小組發現8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑．

30．（2013?邵陽）如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，現計劃安裝玻璃，請幫工程師求出所在圓O的半徑r．

31．（2013?廈門）（1）甲市共有三個郊縣，各郊縣的人數及人均耕地面積如表所示：

郊縣

人數/萬

人均耕地面積/公頃

A

0.15

B

0.20

C

0.18

求甲市郊縣一切人口的人均耕地面積（到0.01公頃）；

（2）先化簡下式，再求值：，其中，；

（3）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點，延伸DC，AB相交于點E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．

32．（2013?黔東北州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求證：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．

33．（2013?梅州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延伸線于點F，設DA=2．

（1）求線段EC的長；

（2）求圖中暗影部分的面積．

34．（2013?涼山州）在同一平面直角坐標系中有5個點：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．

（1）畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點D與⊙P的地位關系；

（2）若直線l點D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判斷直線l與⊙P的地位關系．

35．（2013?巴中）若⊙O1和⊙O2的圓心距為4，兩圓半徑分別為r1、r2，且r1、r2是方程組的解，求r1、r2的值，并判斷兩圓的地位關系．

36．（2012?岳陽）如圖所示，在⊙O中，=，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與AB交于點F，連接BC．

（1）求證：AC2=AB?AF；

（2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中暗影部分面積．

37．（2012?宜賓）如圖，⊙O1、⊙O2相交于P、Q兩點，其中⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2=．過點Q作CD⊥PQ，分別交⊙O1和⊙O2于點C、D，連接CP、DP，過點Q任作不斷線AB交⊙O1和⊙O2于點A、B，連接AP、BP、AC、DB，且AC與DB的延伸線交于點E．

（1）求證：；

（2）若PQ=2，試求∠E度數．

38．（2012?武漢）在銳角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；

（2）如圖2，點I為三角形ABC的內心，BA=BC，求AI的長．

39．（2012?無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都中止運動．設點P運動的工夫為ts．

（1）當P異于A、C時，請闡明PQ∥BC；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

40．（2012?臺州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求證：△ABD≌△CBE；

（2）如圖2，當點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的外形，并證明你的結論．

41．（2012?日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．

（Ⅰ）探求新知

如圖①，⊙O是△ABC的內切圓，與三邊分別相切于點E、F、G．

（1）求證：內切圓的半徑r1=1；

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）結論運用

（1）如圖②，若半徑為r2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2的值；

（2）如圖③，若半徑為rn的n個等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均與AB相切，求rn的值．

42．（2012?泉州）已知：A、B、C三點不在同不斷線上．

（1）若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上，i）如圖①，當∠A=45°，R=1時，求∠BOC的度數和BC的長；

ii）如圖②，當∠A為銳角時，求證：sinA=；

（2）若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖③，當∠MAN=60°，BC=2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為P，試探求在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離能否保持不變？請闡明理由．

43．（2012?南昌）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．

（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時，求O′A的長度；

②如圖2，當折疊后的圓心為O時，求的長度；

③如圖3，當弦AB=2時，求圓心O到弦AB的距離；

（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．

①如圖4，當AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點O到弦AB、CD的距離之和為d，求d的值；

②如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點M為AB的中點，點N為CD的中點，試探求四邊形OMPN的外形，并證明你的結論．

44．（2012?荊州）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點A與B相距8m，罐底點到地面CD距離為1m．設油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（暗影部分）的面積．（參考數據：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結果保留整數）

45．（2012?呼倫貝爾）如圖，線段AB與⊙O相切于點C，連接OA，OB，OB交⊙O于點D，已知OA=OB=6，AB=6．

（1）求⊙O的半徑；

（2）求圖中暗影部分的面積．

46．（2012?桂林）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1⊙O2的圓心，依次連接A、O1、B、O2．

（1）求證：四邊形AO1BO2是菱形；

（2）過直徑AC的端點C作⊙O1的切線CE交AB的延伸線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE=2O2D；

（3）在（2）的條件下，若△AO2D的面積為1，求△BO2D的面積．

47．（2014?萊蕪）如圖1，在⊙O中，E是的中點，C為⊙O上的一動點（C與E在AB異側），連接EC交AB于點F，EB=（r是⊙O的半徑）．

（1）D為AB延伸線上一點，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切；

（2）求EF?EC的值；

（3）如圖2，當F是AB的四等分點時，求EC的值．

48．（2012?崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一點，OP=24cm，以r為半徑作⊙P．

（1）若r=12cm，試判斷⊙P與OB地位關系；

（2）若⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件．

49．（2012?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點A、B、C．

（1）求點D沿三條弧運動到點G所的路線長；

（2）判斷直線GB與DF的地位關系，并闡明理由．

50．（2011?資陽）如圖，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點．

（1）連接AB、AD、AF，求證：AB+AF=AD；

（2）若P是圓周上異于已知六等分點的動點，連接PB、PD、PF，寫出這三條線段長度的數量關系（不必闡明理由）．

51．（2011?宜昌）如圖，某商標是由邊長均為2的正三角形、正方形、正六邊形的金屬薄片鑲嵌而成的鑲嵌圖案．

（1）求這個鑲嵌圖案中一個正三角形的面積；

（2）如果在這個鑲嵌圖案中隨機確定一個點O，那么點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率為多少？（結果保留二位小數）

52．（2011?盤錦）如圖，風車的支桿OE垂直于桌面，風車O到桌面的距離OE為25cm，小小風車在風吹動下繞著O不停地轉動，轉動過程中，葉片端點A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm．

（1）風車在轉動過程中，當∠AOE=45°時，求點A到桌面的距離（結果保留根號）．

（2）在風車轉動一周的過程中，求點A絕對于桌面的高度不超過20cm所的路徑長（結果保留π）．

53．（2011?南通）比較正五邊形與正六邊形，可以發現它們的相反點和不同點．例如：

它們的一個相反點：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等．

它們的一個不同點：正五邊形不是對稱圖形，正六邊形是對稱圖形．

請你再寫出它們的兩個相反點和不同點：

相反點：

①　　　　　　；

②　　　　　?。?/p>

不同點：

①　　　　　　；

②　　　　　?。?/p>

54．（2014?云南）已知如圖平面直角坐標系中，點O是坐標原點，矩形ABCO是頂點坐標分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點D在y軸上，且點D的坐標為（0，﹣5），點P是直線AC上的一動點．

（1）當點P運動到線段AC的中點時，求直線DP的解析式（關系式）；

（2）當點P沿直線AC挪動時，過點D、P的直線與x軸交于點M．問在x軸的正半軸上能否存在使△DOM與△ABC類似的點M？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請闡明理由；

（3）當點P沿直線AC挪動時，以點P為圓心、R（R＞0）為半徑長畫圓．得到的圓稱為動圓P．若設動圓P的半徑長為，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F．請探求在動圓P中能否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請闡明理由．

55．（2011?綿陽）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切．

（1）求證：OB⊥OC；

（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1與半⊙O外切，并與BC、CD相切，求⊙O1的面積．

56．（2014?貴港）如圖，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點P是大半圓O上一點，PA與小半圓M交于點C，過點C作CD⊥OP于點D．

（1）求證：CD是小半圓M的切線；

（2）若AB=8，點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），設PD=x，CD2=y．

①求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

②當y=3時，求P，M兩點之間的距離．

57．（2011?杭州）在平面上，七個邊長為1的等邊三角形，分別用①至⑦表示（如圖）．從④⑤⑥⑦組成的圖形中，取出一個三角形，使剩下的圖形平移，與①②③組成的圖形拼成一個正六邊形

（1）你取出的是哪個三角形？寫出平移的方向和平移的距離；

（2）將取出的三角形任意放置在拼成的正六邊形所在平面，問：正六邊形沒有被三角形蓋住的面積能否等于？請闡明理由．

58．（2011?東莞）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為（﹣4，0），⊙P的半徑為2，將⊙P沿x軸向右平移4個單位長度得⊙P1

（1）畫出⊙P1，并直接判斷⊙P與⊙P1的地位關系；

（2）設⊙P1與x軸正半軸，y軸正半軸的交點分別為A、B．求劣弧與弦AB圍成的圖形的面積（結果保留π）

59．（2011?大慶）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AC邊長為4，BC邊長為3，它的內切圓為⊙0，⊙0與邊AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，延伸C0交斜邊AB于點G．

（1）求⊙0的半徑長；

（2）求線段DG的長．

60．（2014?河南）（1）成績發現

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同不斷線上，連接BE．

填空：

①∠AEB的度數為　　　　　?。?/p>

②線段AD，BE之間的數量關系為　　　　　?。?/p>

（2）拓展探求

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同不斷線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并闡明理由．

（3）處理成績

如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

中考數學提分沖刺真題精析：圓

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?長沙）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．

（1）求證：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

考點：

切線的性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接OD，可以證得DE⊥OD，然后證明OD∥AC即可證明DE⊥AC；

（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE與CE的比值即可．

解答：

（1）證明：連接OD，∵D是BC的中點，OA=OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；

（2）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE

在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△DAE，∴，設tan∠ACB=x，CE=a，則DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=或．

（可以看出△ABC分別為銳角、鈍角三角形兩種情況）

點評：

本題次要考查了切線的性質的綜合運用，解答本題的關鍵在于如何利用三角形類似求出線段DE與CE的比值．

2．（2014?永州）如圖，點A是⊙O上一點，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于點D，作AC⊥OB，垂足為M，并交⊙O于點C，連接BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）過點B作BP⊥OB，交OA的延伸線于點P，連接PD，求sin∠BPD的值．

考點：

切線的判定；全等三角形的判定與性質；勾股定理；垂徑定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連結OC，根據垂徑定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判斷OB為線段AC的垂直平分線，所以BA=BC，然后利用“SSS”證明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，則∠OCB=90°，于是可根據切線的判定定理得BC是⊙O的切線；

（2）在Rt△OAB中，根據勾股定理計算出OB=2，根據含30度的直角三角形三邊的關系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=OB=2；在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=1，根據勾股定理計算出PD=，然后利用正弦的定義求sin∠BPD的值．

解答：

（1）證明：連結OC，如圖，∵AC⊥OB，∴AM=CM，∴OB為線段AC的垂直平分線，∴BA=BC，在△OAB和△OCB中，∴△OAB≌△OCB（SSS），∴∠OAB=∠OCB，∵OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∴∠OCB=90°，∴OC⊥BC，故BC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，∴OB==2，∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，∵PB⊥OB，∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，在Rt△PBO中，OB=2，∴PB=OB=2，在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，∴PD==，∴sin∠BPD===．

點評：

本題考查了切線的判定定理：半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、勾股定理和全等三角形的判定與性質．

3．（2014?無錫）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數；

（2）若AB=4，AC=3，求DE的長．

考點：

圓周角定理；平行線的性質；三角形中位線定理．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）根據圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠CAB的度數即可求得，在等腰△AOD中，根據等邊對等角求得∠DAO的度數，則∠CAD即可求得；

（2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得．

解答：

解：（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．

∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°

∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；

（2）在直角△ABC中，BC===．

∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．

又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．

點評：

本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理，正確證明OE是△ABC的中位線是關鍵．

4．（2014?威海）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線．

（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：CD=HF．

考點：

切線的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；

（2）連結DE，先根據AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF．

解答：

證明：（1）如圖1，連接OE．

∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圓O的直徑．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切線；

（2）如圖2，連結DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE與△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．

點評：

本題次要考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．

5．（2014?天水）如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延伸線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判斷直線CD和⊙O的地位關系，并闡明理由．

（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．

考點：

切線的判定與性質．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）連接OD，根據圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）根據勾股定理求出DC，根據切線長定理求出DE=EB，根據勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：

解：（1）直線CD和⊙O的地位關系是相切，理由是：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，∴直線CD是⊙O的切線，即直線CD和⊙O的地位關系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半徑是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，設DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，則（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6．

點評：

本題考查了切線的性質和判定，勾股定理，切線長定理，圓周角定理，等腰三角形的性質和判定的運用，標題比較典型，綜合性比較強，難度適中．

6．（2014?天津）已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．

（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；

（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

考點：

圓周角定理；等邊三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理異樣得到BD=CD=5；

（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5．

解答：

解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，∴∠CAB=∠BDC=90°．

∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．

∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．

在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；

（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．

∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．

又∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴BD=OB=OD．

∵⊙O的直徑為10，則OB=5，∴BD=5．

點評：

本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質．此題利用了圓的定義、有一內角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．

7．（2014?綏化）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，∠1=∠BCD．

（1）求證：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．

考點：

圓周角定理；平行線的判定與性質；垂徑定理；解直角三角形．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）根據圓周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根據平行線的判定推出即可；

（2）根據垂徑定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．

解答：

（1）證明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；

（2）解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴=，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD=，即=，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直徑是5．

點評：

本題考查了圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，平行線的判定的運用，次要考查先生的推理能力．

8．（2014?沈陽）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，OD∥BC交⊙O于點D，交AC于點E，連接AD，BD，CD．

（1）求證：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

考點：

圓周角定理；勾股定理；圓心角、弧、弦的關系；解直角三角形．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）由AB為直徑，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂徑定理證得，=，繼而證得結論；

（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的長，繼而求得DE，AE的長，則可求得tan∠DAE，然后由圓周角定理，證得∠DBC=∠DAE，則可求得答案．

解答：

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；

（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA?cos∠AOE=OA?cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．

點評：

此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，留意掌握數形思想的運用．

9．（2014?廈門）已知A，B，C，D是⊙O上的四個點．

（1）如圖1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；

（2）如圖2，若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑．

考點：

垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）根據題意不難證明四邊形ABCD是正方形，結論可以得到證明；

（2）連結DO，延伸交圓O于F，連結CF、BF．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，則BF∥AC，根據平行弦所夾的弧相等，得弧CF=弧AB，則CF=AB．根據勾股定理即可求解．

解答：

解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直徑，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；

（2）連結DO，延伸交圓O于F，連結CF、BF．

∵DF是直徑，∴∠DCF=∠DBF=90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∴CF=AB．

根據勾股定理，得

CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，∴DF=，∴OD=，即⊙O的半徑為．

點評：

此題綜合運用了圓周角定理的推論、垂徑定理的推論、等弧對等弦以及勾股定理．學會作輔助線是解題的關鍵．

10．（2014?三明）已知AB是半圓O的直徑，點C是半圓O上的動點，點D是線段AB延伸線上的動點，在運動過程中，保持CD=OA．

（1）當直線CD與半圓O相切時（如圖①），求∠ODC的度數；

（2）當直線CD與半圓O相交時（如圖②），設另一交點為E，連接AE，若AE∥OC，①AE與OD的大小有什么關系？為什么？

②求∠ODC的度數．

考點：

直線與圓的地位關系；平行線的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接OC，由于CD是⊙O的切線，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．

（2）連接OE，①證明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；

②利用等腰三角形及平行線的性質，可求得∠ODC的度數．

解答：

解：（1）如圖①，連接OC，∵OC=OA，CD=OA，∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；

（2）如圖②，連接OE．

∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AE∥OC，∴∠2=∠3．

設∠ODC=∠1=x，則∠2=∠3=∠4=x．

∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x．

①AE=OD．理由如下：

在△AOE與△OCD中，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE=OD．

②∠6=∠1+∠2=2x．

∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．

∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°．

∴∠ODC=36°．

點評：

本題考查了切線性質，全等三角形，等腰三角形的性質以及平行線的性質等，作出輔助線是解題的關鍵．

11．（2014?黔東北州）如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延伸線于點A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的暗影部分的面積．（結果保留π）

考點：

切線的判定；扇形面積的計算．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接OC，根據圓周角定理求出∠COA，根據三角形內角和定理求出∠OCA，根據切線的判定推出即可；

（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案．

解答：

（1）證明：連接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B=∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=BD=，∵sin∠COD=，∴OD=2，在Rt△ACO中，tan∠COA=，∴AC=2，∴S暗影=×2×2﹣=2﹣．

點評：

本題考查了平行線的性質，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點的綜合運用，標題比較好，難度適中．

12．（2014?南通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD恰好圓心O，連接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直徑；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度數．

考點：

垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）先根據CD=16，BE=4，得出OE的長，進而得出OB的長，進而得出結論；

（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，直角三角形可以求得結果；

解答：

解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，設OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直徑是20．

（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．

點評：

本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的??；

13．（2014?臨沂）如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

考點：

切線的判定；等腰三角形的性質；三角形中位線定理；圓周角定理．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）首先連接OD，CD，由以BC為直徑的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，繼而可證得結論；

（2）首先根據三角函數的性質，求得BD，DE，AE的長，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面積，繼而求得答案．

解答：

（1）證明：連接OD，CD，∵BC為⊙O直徑，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D點在⊙O上，∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=BC=2，BD=BC?cos30°=2，∴AD=BD=2，AB=2BD=4，∴S△ABC=AB?CD=×4×2=4，∵DE⊥AC，∴DE=AD=×2=，AE=AD?cos30°=3，∴S△ODE=OD?DE=×2×=，S△ADE=AE?DE=××3=，∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=，∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4﹣﹣﹣=．

點評：

此題考查了切線的判定、三角形中位線的性質、等腰三角形的性質、圓周角定理以及三角函數等知識．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意掌握數形思想的運用．

14．（2014?聊城）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，過點A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延伸線交于點P．連接PC并延伸與AB的延伸線交于點F．

（1）求證：PC是半⊙O的切線；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求線段BF的長．

考點：

切線的判定與性質；解直角三角形．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應角相等，以及切線的性質定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可證得；

（2）根據切線的性質定理可知OC⊥PE，然后經過解直角三角函數，求得OF的值，再減去圓的半徑即可．

解答：

（1）證明：連接OC，∵OD⊥AC，OD圓心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP

∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP=90°．

∴∠OCP=90°，即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切線，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF===10，∴BF=OF﹣OB=5．

點評：

本題考查了切線的性質定理以及判定定理，以及直角三角形三角函數的運用，證明圓的切線的成績常用的思緒是根據切線的判定定理轉化成證明垂直的成績．

15．（2014?遼陽）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延伸線上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

考點：

切線的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；類似三角形的判定與性質；解直角三角形．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．

（2）利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段的長即可．

解答：

（1）證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．

∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑，∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：過點C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴

∴BF==

點評：

本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求先生掌握常見的解題方法，并能圖形選擇簡單的方法解題．

16．（2014?涼山州）已知：如圖，P是⊙O外一點，過點P引圓的切線PC（C為切點）和割線PAB，分別交⊙O于A、B，連接AC，BC．

（1）求證：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的結論，已知PA=3，PB=5，求PC的長．

考點：

切線的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連結OC，OA，先根據等腰三角形的性質得出∠ACO=∠，再由PC是⊙O的切線，C為切點得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根據三角形內角和定理可知∠ACO+∠+∠AOC=180°，由圓周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根據∠PCA+∠ACO=90°即可得出結論；

（2）先根據類似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由類似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

解答：

（1）證明：連結OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠，∵PC是⊙O的切線，C為切點，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；

（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA?PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．

點評：

本題考查的是切線的性質，根據題意作出輔助線，構造出圓心角是解答此題的關鍵．

17．（2014?涼山州）如圖所示，正方形網格中，△ABC為格點三角形（即三角形的頂點都在格點上）．

（1）把△ABC沿BA方向平移后，點A移到點A1，在網格中畫出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉90°，在網格中畫出旋轉后的△A1B2C2；

（3）如果網格中小正方形的邊長為1，求點B（1）、（2）變換的路徑總長．

考點：

弧長的計算；作圖-平移變換；作圖-旋轉變換．版權一切

專題：

作圖題；網格型．

分析：

（1）利用平移的性質畫圖，即對應點都挪動相反的距離；

（2）利用旋轉的性質畫圖，對應點都旋轉相反的角度；

（3）利用弧長公式求點B（1）、（2）變換的路徑總長．

解答：

解：（1）連接AA1，然后從C點作AA1的平行線且AA1=CC1．

同理找到點B．

（2）畫圖如下：

（3）B（1）、（2）變換的路徑如圖紅色部分所示：，弧B1B2的長=，故點B所走的路徑總長=．

點評：

本題次要考查了平移變換、旋轉變換的相關知識，做這類題時，理解平移旋轉的性質是關鍵．

18．（2014?吉林）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O為圓心，OA為半徑的圓交AB于點D，延伸AO交⊙O于點E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列成績：

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BC=3，CD=4，求平行四邊形OABC的面積．

考點：

切線的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD，求出∠EOC=∠DOC，根據SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）根據全等三角形的性質求出CE=CD=4，根據平行四邊形性質求出OA=3，根據平行四邊形的面積公式求出即可．

解答：

（1）證明：連接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中

∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA=BC=3，∴平行四邊形OABC的面積S=OA×CE=3×4=12．

點評：

本題考查了全等三角形的性質和判定，切線的判定，平行四邊形的性質的運用，解此題的關鍵是推出△EOC≌△DOC．

19．（2014?黃岡）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．

（1）求證：EB=EC；

（2）若以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的外形，并闡明理由．

考點：

切線的性質；正方形的性質；圓周角定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD，根據圓周角定理得出∠ACB=90°，再由BC是⊙O的切線得出∠BCA=90°，由DE是⊙O的切線，得出ED=EC，∠ODE=90°，故可得出∠EDB=∠EBD，由此可得出結論．

（2）當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，則△DEB是等腰直角三角形，據此即可判斷．

解答：

（1）證明：連接OD，∵AC是直徑，∠ACB=90°，∴BC是⊙O的切線，∠BCA=90°．

又∵DE是⊙O的切線，∴ED=EC，∠ODE=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，又∵∠OAD+∠DBE=90°，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=EB，∴EB=EC．

（2）解：當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，則∠DEB=90°，又∵ED=EB，∴△DEB是等腰直角三角形，則∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．

點評：

本題考查了切線的性質以及切線長定理、圓周角定理，解題的關鍵是連接OD得垂直，構造出等腰三角形，利用“等角的余角相等解答．

20．（2014?湖州）已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D（如圖）．

（1）求證：AC=BD；

（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長．

考點：

垂徑定理；勾股定理．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）過O作OE⊥AB，根據垂徑定理得到AE=BE，CE=DE，從而得到AC=BD；

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，再根據勾股定理求出CE及AE的長，根據AC=AE﹣CE即可得出結論．

解答：

（1）證明：過O作OE⊥AB于點E，則CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；

（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．

點評：

本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．

21．（2014?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度數；

（2）過點O作OF⊥AC于點F，延伸FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長．

考點：

三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）首先得出△AEB≌△DEC，進而得出△EBC為等邊三角形，即可得出答案；

（2）由已知得出EF，BC的長，進而得出CM，BM的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出AB的長．

解答：

（1）證明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC為等邊三角形，∴∠ACB=60°；

（2）解：作BM⊥AC于點M，∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC為等邊三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．

點評：

此題次要考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質和勾股定理以及銳角三角函數關系等知識，得出CM，BM的長是解題關鍵．

22．（2014?福州）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，點D為BA延伸線上的一點，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓．

（1）求BC的長；

（2）求⊙O的半徑．

考點：

三角形的外接圓與外心；圓周角定理；解直角三角形．版權一切

分析：

（1）根據題意得出AE的長，進而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=，求出EC的長即可；

（2）首先得出AC的長，再利用圓周角定理得出∠D=∠M=60°，進而求出AM的長，即可得出答案．

解答：

解：（1）過點A作AE⊥BC，垂足為E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵si=，∴AE=ABsi=3sin45°=3×=3，∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；

（2）連接AO并延伸到⊙O上一點M，連接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半徑為2．

點評：

此題次要考查了解直角三角形以及銳角三角函數關系運用，根據題意正確構造直角三角形是解題關鍵．

23．（2014?佛山）如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．

考點：

垂徑定理；勾股定理．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

過點O作OE⊥AB于點E，連接OB，由垂徑定理可知AE=BE=AB，再根據勾股定理求出OE的長，由此可得出結論．

解答：

解：過點O作OE⊥AB于點E，連接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直徑為10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂線段最短，半徑最長，∴3cm≤OP≤5cm．

點評：

本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．

24．（2014?濱州）如圖，點D在⊙O的直徑AB的延伸線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圖中暗影部分的面積．

考點：

扇形面積的計算；等腰三角形的性質；切線的判定；角的三角函數值．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）連接OC．只需證明∠OCD=90°．根據等腰三角形的性質即可證明；

（2）暗影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積．

解答：

（1）證明：連接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC=．

在Rt△OCD中，∵，∴．

∴．

∴圖中暗影部分的面積為：．

點評：

此題綜合考查了等腰三角形的性質、切線的判定方法、扇形的面積計算方法．

25．（2014?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，⊙O的切線BD交AC的延伸線于點D，E是OB的中點，CE的延伸線交切線BD于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．

（1）求證：AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的長．

考點：

切線的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

分析：

（1）連接OC，由C是的中點，AB是⊙O的直徑，則CO⊥AB，再由BD是⊙O的切線，得BD⊥AB，從而得出OC∥BD，即可證明AC=CD；

（2）根據點E是OB的中點，得OE=BE，可證明△COE≌△FBE（ASA），則BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直徑，得BH⊥AF，可證明△ABF∽△BHF，即可得出BH的長．

解答：

（1）證明：連接OC，∵C是的中點，AB是⊙O的直徑，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA=OB，∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中點，∴OE=BE，在△COE和△FBE中，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF=CO，∵OB=2，∴BF=2，∴AF==2，∵AB是直徑，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴=，∴AB?BF=AF?BH，∴BH===．

點評：

本題考查了切線的性質以及全等三角形的判定和性質、勾股定理，是中檔題，難度不大．

26．（2013?營口）在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的三個頂點都在格點上．（每個小方格的頂點叫格點）

（1）畫出△ABC向下平移3個單位后的△A1B1C1；

（2）畫出△ABC繞點O順時針旋轉90°后的△A2B2C2，并求點A旋轉到A2所的路線長．

考點：

弧長的計算；作圖-平移變換；作圖-旋轉變換．版權一切

專題：

網格型．

分析：

（1）根據平移的規律找到出平移后的對應點的坐標，依次連接即可；

（2）根據旋轉的性質找出旋轉后各個對應點的坐標，依次連接即可．點A旋轉到A2所的路線是半徑為OA，圓心角是90度的扇形的弧長．

解答：

解：（1）畫出△A1B1C1；

（2）畫出△A2B2C2

連接OA，OA2，點A旋轉到A2所的路線長為．

點評：

本題考查的是平移變換與旋轉變換作圖．

作平移圖形時，找關鍵點的對應點也是關鍵的一步．平移作圖的普通步驟為：①確定平移的方向和距離，先確定一組對應點；②確定圖形中的關鍵點；③利用組對應點和平移的性質確定圖中一切關鍵點的對應點；④按原圖形順序依次連接對應點，所得到的圖形即為平移后的圖形．

作旋轉后的圖形的根據是旋轉的性質，基本作法是①先確定圖形的關鍵點；②利用旋轉性質作出關鍵點的對應點；③按原圖形中的方式依次連接對應點．要留意旋轉，旋轉方向和角度．

27．（2013?烏魯木齊）如圖．點A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點E，過點O作OF⊥BC于F，求證：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

考點：

圓周角定理；垂徑定理；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OB，根據圓周角定理可得∠BAE=∠BOC，根據垂徑定理可得∠COF=∠BOC，再根據垂直的定義可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根據兩角對應相等，兩三角形類似證明即可；

（2）根據類似三角形對應邊成比例可得=，再根據圓周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE類似，根據類似三角形對應邊成比例可得=，從而得到=，再根據垂徑定理BC=2FC，代入整理即可得證．

解答：

證明：（1）如圖，連接OB，則∠BAE=∠BOC，∵OF⊥BC，∴∠COF=∠BOC，∴∠BAE=∠COF，又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠OFC=∠AEB=90°，∴△AEB∽△OFC；

（2）∵△AEB∽△OFC，∴=，由圓周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∴=，∴=，∵OF⊥BC，∴BC=2FC，∴AD=?FO=2FO，即AD=2FO．

點評：

本題考查了圓周角定理，垂徑定理，類似三角形的判定與性質，熟記兩個定理并精確識圖找出相等的角從而得到三角形類似是解題的關鍵．

28．（2013?溫州）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延伸BC至點D，使DC=CB，延伸DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．

（1）求證：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長．

考點：

圓周角定理；等腰三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

分析：

（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據線段垂直平分線的性質，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；

（2）首先設BC=x，則AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的長，繼而求得CE的長．

解答：

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；

（2）解：設BC=x，則AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．

點評：

此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度適中，留意掌握方程思想與數形思想的運用．

29．（2013?深圳）如圖所示，該小組發現8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑．

考點：

垂徑定理的運用；勾股定理；類似三角形的運用．版權一切

分析：

根據已知得出旗桿高度，進而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半徑即可．

解答：

解：∵小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，∴8米高旗桿DE的影子為：12m，∵測得EG的長為3米，HF的長為1米，∴GH=12﹣3﹣1=8（m），∴GM=MH=4m．

如圖，設小橋的圓心為O，連接OM、OG．

設小橋所在圓的半徑為r，∵MN=2m，∴OM=（r﹣2）m．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

∴OG2=OM2+42，∴r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5，答：小橋所在圓的半徑為5m．

點評：

此題次要考查了垂徑定理以及勾股定理的運用，根據已知得出關于r的等式是解題關鍵．

30．（2013?邵陽）如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，現計劃安裝玻璃，請幫工程師求出所在圓O的半徑r．

考點：

垂徑定理的運用；勾股定理．版權一切

分析：

根據垂徑定理可得AF=AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式進行計算即可得解．

解答：

解：∵弓形的跨度AB=3m，EF為弓形的高，∴OE⊥AB，∴AF=AB=m，∵所在圓O的半徑為r，弓形的高EF=1m，∴AO=r，OF=r﹣1，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=（）2+（r﹣1）2，解得r=（m）．

答：所在圓O的半徑為m．

點評：

本題考查了垂徑定理的運用，勾股定理的運用，此類標題通常采用把半弦，弦心距，半徑三者放到同一個直角三角形中，利用勾股定理解答．

31．（2013?廈門）（1）甲市共有三個郊縣，各郊縣的人數及人均耕地面積如表所示：

郊縣

人數/萬

人均耕地面積/公頃

A

0.15

B

0.20

C

0.18

求甲市郊縣一切人口的人均耕地面積（到0.01公頃）；

（2）先化簡下式，再求值：，其中，；

（3）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點，延伸DC，AB相交于點E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．

考點：

圓周角定理；分式的化簡求值；等腰三角形的判定；加權平均數．版權一切

分析：

（1）求出總面積和總人口，再相除即可；

（2）先算加法，再化成最簡分式，再代入求出即可；

（3）求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE．

解答：

解：（1）甲市郊縣一切人口的人均耕地面積是≈0.17（公頃）；

（2）原式=

=

=x﹣y，當x=+1，y=2﹣2時，原式=+1﹣（2﹣2）

=3﹣；

（3）證明：∵A、D、C、B四點共圓，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．

點評：

本題考查了分式求值，四點共圓，等腰三角形的性質和判定，求平均數等知識點的運用，次要考查先生的推理和計算能力．

32．（2013?黔東北州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求證：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．

考點：

圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系；銳角三角函數的定義．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）要證明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根據=可以確定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；

（2）根據題意可知∠P=∠CAB，則sin∠CAB=，即=，所以可以求得圓的直徑．

解答：

（1）證明：∵∠C=∠P

又∵∠1=∠C

∴∠1=∠P

∴CB∥PD；

（2）解：連接AC

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直徑為5．

點評：

本題考查的是垂徑定理和平行線、圓周角性質，解題時細心是解答好本題的關鍵．

33．（2013?梅州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延伸線于點F，設DA=2．

（1）求線段EC的長；

（2）求圖中暗影部分的面積．

考點：

扇形面積的計算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性質．版權一切

分析：

（1）根據扇形的性質得出AB=AE=4，進而利用勾股定理得出DE的長，即可得出答案；

（2）利用銳角三角函數關系得出∠DEA=30°，進而求出圖中暗影部分的面積為：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．

解答：

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；

（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴圖中暗影部分的面積為：

S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB

=﹣×2×2﹣

=﹣2．

點評：

此題次要考查了扇形的面積計算以及勾股定理和銳角三角函數關系等知識，根據已知得出DE的長是解題關鍵．

34．（2013?涼山州）在同一平面直角坐標系中有5個點：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．

（1）畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點D與⊙P的地位關系；

（2）若直線l點D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判斷直線l與⊙P的地位關系．

考點：

直線與圓的地位關系；點與圓的地位關系；作圖—復雜作圖．版權一切

專題：

壓軸題；探求型．

分析：

（1）在直角坐標系內描出各點，畫出△ABC的外接圓，并指出點D與⊙P的地位關系即可；

（2）連接PE，用待定系數法求出直線PD與PE的地位關系即可．

解答：

解：（1）如圖所示：

△ABC外接圓的圓心為（﹣1，0），點D在⊙P上；

（2）方法一：連接PD，設過點P、D的直線解析式為y=kx+b，∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），∴，解得，∴此直線的解析式為y=2x+2；

設過點D、E的直線解析式為y=ax+c，∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），∴，解得，∴此直線的解析式為y=﹣x﹣3，∵2×（﹣）=﹣1，∴PD⊥DE，∵點D在⊙P上，∴直線l與⊙P相切．

方法二：連接PE，PD，∵直線

l過點

D（﹣2，﹣2），E

（0，﹣3），∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5，．．

∴PE2=PD2+DE2．

∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°．

∴PD⊥DE．

∵點D在⊙P上，∴直線l與⊙P相切．

點評：

本題考查的是直線與圓的地位關系，根據題意畫出圖形，利用數形求解是解答此題的關鍵．

35．（2013?巴中）若⊙O1和⊙O2的圓心距為4，兩圓半徑分別為r1、r2，且r1、r2是方程組的解，求r1、r2的值，并判斷兩圓的地位關系．

考點：

圓與圓的地位關系；解二元方程組．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

首先由r1、r2是方程組的解，解此方程組即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圓心距為4，根據兩圓地位關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系得出兩圓地位關系．

解答：

解：∵，①×3﹣②得：11r2=11，解得：r2=1，把r2=1代入①得：r1=4；

∴，∵⊙O1和⊙O2的圓心距為4，∴兩圓的地位關系為相交．

點評：

此題考查了圓與圓的地位關系與方程組的解法．留意掌握兩圓地位關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系是解此題的關鍵．

36．（2012?岳陽）如圖所示，在⊙O中，=，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與AB交于點F，連接BC．

（1）求證：AC2=AB?AF；

（2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中暗影部分面積．

考點：

扇形面積的計算；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）由=，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形類似可得出△ACF與△ABC類似，根據類似得比例可得證；

（2）連接OA，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，由∠B為60°，求出∠AOC為120°，過O作OE垂直于AC，垂足為點E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出∠AOE為60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用銳角三角函數定義求出OE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長，進而求出AC的長，由扇形AOC的面積﹣△AOC的面積表示出暗影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出暗影部分的面積．

解答：

（1）證明：∵=，∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴=，即AC2=AB?AF；

（2）解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點E，如圖所示：

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，在Rt△AOE中，OA=2cm，∴OE=OAcos60°=1cm，∴AE==cm，∴AC=2AE=2cm，則S暗影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=（﹣）cm2．

點評：

此題考查了扇形面積的求法，涉及的知識有：類似三角形的判定與性質，弧、圓心角及弦之間的關系，等腰三角形的性質，勾股定理，以及銳角三角函數定義，純熟掌握性質及定理是解本題的關鍵．

37．（2012?宜賓）如圖，⊙O1、⊙O2相交于P、Q兩點，其中⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2=．過點Q作CD⊥PQ，分別交⊙O1和⊙O2于點C、D，連接CP、DP，過點Q任作不斷線AB交⊙O1和⊙O2于點A、B，連接AP、BP、AC、DB，且AC與DB的延伸線交于點E．

（1）求證：；

（2）若PQ=2，試求∠E度數．

考點：

相交兩圓的性質；三角形內角和定理；圓周角定理；類似三角形的判定與性質；解直角三角形．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）求出PC、PD，證△PAB∽△PCD，推出=，代入求出即可；

（2）求出cos∠CPQ=，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根據三角形的內角和定理求出即可．

解答：

（1）證明：∵⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2=，∴PC=4，PD=2，∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°，∴PC、PD分別是⊙O1、⊙O2的直徑，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，∴△PAB∽△PCD，∴===，即=．

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2（已知），∴cos∠CPQ=，∴∠CPQ=60°，∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，∴sin∠PDQ=，∴∠PDQ=45°，∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，又∵CD⊥PQ，∴∠PQD=90°，∴PD是⊙O2的直徑，∴∠PBD=90°，∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，答：∠E的度數是75°．

點評：

本題考查了類似三角形的性質和判定，相切兩圓的性質，三角形的內角和定理，解直角三角形，圓周角定理等知識點的運用，次要培養先生運用性質進行推理的能力，標題綜合性比較強，是一道比較好的標題．

38．（2012?武漢）在銳角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；

（2）如圖2，點I為三角形ABC的內心，BA=BC，求AI的長．

考點：

三角形的內切圓與內心；三角形的面積；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．版權一切

專題：

計算題；壓軸題．

分析：

（1）作DB垂直于BC，連DC，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根據sinA的值求出即可；

（2）連接IC、BI，且延伸BI交AC于F，過I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根據sinA求出BF/AB，求出AC，根據三角形的面積公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．

解答：

（1）解：作DB垂直于BC，連DC，∵∠DBC=90°，∴DC為直徑．

∵∠A=∠D，BC=5，sinA=，∴sinD==，∴CD=，答：三角形ABC外接圓的直徑是．

（2）解：連接IC、BI，且延伸BI交AC于F，過點I作IG⊥BC于點G，過I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=5，I為△ABC內心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sinA==，∴BF=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=3，∵BA=BC，I是內心，即BF是∠ABC的角平分線，∴AC=2AF=6，∵I是△ABC內心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，設IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面積之和等于△ABC的面積，∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=，在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．

答：AI的長是．

點評：

本題考查了三角形的面積公式，三角形的內切圓和內心，勾股定理，等腰三角形的性質，圓周角定理等知識點的運用，次要考查先生運用性質進行推理和計算的能力，標題綜合性比較強，有一定的難度．

39．（2012?無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都中止運動．設點P運動的工夫為ts．

（1）當P異于A、C時，請闡明PQ∥BC；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

考點：

直線與圓的地位關系；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質；切線的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）連接BD交AC于O，構建直角三角形AOB．利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質推知△PAQ∽△CAB；然后根據“類似三角形的對應角相等”證得∠APQ=∠ACB；根據平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結論；

（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，構建Rt△CPM，在Rt△CPM利用角的三角函數值求得PM=PC=，然后根據PM=PQ=AQ=t列出關于t的方程，經過解方程即可求得t的值；

如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，根據等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質以及（2）中求得t的值來確定此時t的取值范圍；

如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，據此等量關系列出關于t的方程，經過解方程求得t的值．

解答：

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，又∵∠DAB=60°（已知），∴∠BAC=∠BCA=30°；

如圖1，連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC，∴OB=AB=1（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），∴OA=（cm），AC=2OA=2（cm），運動ts后，∴

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ=∠ACB（類似三角形的對應角相等），∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）

（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，則PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=

由PM=PQ=AQ=t，即=t

解得t=4﹣6，此時⊙P與邊BC有一個公共點；

如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB為等邊三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1

∴時，⊙P與邊BC有2個公共點．

如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．

∴當1＜t≤3﹣時，⊙P與邊BC有一個公共點，當點P運動到點C，即t=2時，⊙P過點B，此時，⊙P與邊BC有一個公共點，∴當t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；

當4﹣6＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點．

點評：

本題綜合考查了菱形的性質、直線與圓的地位關系以及類似三角形的判定等性質．解答（2）題時，根據⊙P的運動過程來確定t的值，以防漏解．

40．（2012?臺州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求證：△ABD≌△CBE；

（2）如圖2，當點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的外形，并證明你的結論．

考點：

三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

幾何綜合題；探求型．

分析：

（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根據SAS定理可知△ABD≌△CBE；

（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根據點D是△ABC外接圓圓心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判斷出BD=BE=CE=CD，故可得出四邊形BDCE是菱形．

解答：

（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD與△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE（SAS）

（2）解：四邊形BDCE是菱形．證明如下：

同（1）可證△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵點D是△ABC外接圓圓心，∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四邊形BDCE是菱形．

點評：

本題考查的是三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定與性質及菱形的判定定理，先根據題意判斷出△ABD≌△CBE是解答此題的關鍵．

41．（2012?日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．

（Ⅰ）探求新知

如圖①，⊙O是△ABC的內切圓，與三邊分別相切于點E、F、G．

（1）求證：內切圓的半徑r1=1；

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）結論運用

（1）如圖②，若半徑為r2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2的值；

（2）如圖③，若半徑為rn的n個等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均與AB相切，求rn的值．

考點：

相切兩圓的性質；三角形的內切圓與內心；解直角三角形．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（Ⅰ）（1）根據切線的性質以及正方形的判定得出四邊形CEOF是正方形，進而得出CE=CF=r1，再利用切線長定理求出即可；

（2）在Rt△AOG中，根據r1=1，AG=3﹣r1=2，求出tan∠OAG的值即可；

（Ⅱ）（1）由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，進而得出AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2，即可求出r2=；

（2）根據（1）中所求可以得出AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，得到2rn+2rn+…+3rn=5，求出即可．

解答：

（Ⅰ）（1）證明：在圖①中，連接OE，OF，OA．

∵⊙O是△ABC的內切圓，與三邊分別相切于點E、F、G．

∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，∴四邊形CEOF是矩形，又∵EO=OF，∴四邊形CEOF是正方形，CE=CF=r1．

又∵AG=AE=3﹣r1，BG=BF=4﹣r1，AG+BG=5，∴（3﹣r1）+（4﹣r1）=5．

即r1=1．

（2）解：連接OG，在Rt△AOG中，∵r1=1，AG=3﹣r1=2，tan∠OAG==；

（Ⅱ）（1）解：連接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于點D、O2E⊥AB交于點E，AO1、BO2分別平分∠CAB、∠ABC．

由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2．

∵AD+DE+BE=5，r2=；

（2）解：如圖③，連接O1A、O，作O1D⊥AB交于點D、O2E⊥AB交于點E、…、OnM⊥AB交于點M．

則AO1、BOn分別平分∠CAB、∠ABC．

tan∠O1AD=，tan∠OM=，AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，又∵AD+DE+…+MB=5，2rn+2rn+…+3rn=5，（2n+3）rn=5，rn=．

點評：

此題次要考查了切線長定理以及銳角三角函數關系以及相切兩圓的性質，根據已知得出tan∠O1AD=，tan∠O2BE==是解題關鍵．

42．（2012?泉州）已知：A、B、C三點不在同不斷線上．

（1）若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上，i）如圖①，當∠A=45°，R=1時，求∠BOC的度數和BC的長；

ii）如圖②，當∠A為銳角時，求證：sinA=；

（2）若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖③，當∠MAN=60°，BC=2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為P，試探求在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離能否保持不變？請闡明理由．

考點：

三角形的外接圓與外心；圓周角定理；解直角三角形．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）i）根據圓周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的長；

ii）作直徑CE，則∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE=，得出即可；

（2）首先證明點A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°=，得出AP==（定值）．

解答：

解：（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，∵OB=OC=1，∴BC=，注：也可延伸BO或過O點作BC的垂線構造直角三角形求得BC．

ii）證法一：如圖②，連接EB，作直徑CE，則∠E=∠A，CE=2R，∴∠EBC=90°

∴sinA=sinE=，證法二：如圖③．連接OB、OC，作OH⊥BC于點H，則∠A=∠BOC=∠BOH，BH=BC

∴sinA=sin∠BOH===，（2）如圖④，連接AP，取AP的中點K，連接BK、CK，在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK，同理得：BK=AK=PK，∴CK=BK=AK=PK，∴點A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°=

∴AP==（定值），故在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離不變．

點評：

此題次要考查了圓周角定理以及解直角三角形和四點共圓等知識，根據已知得出點A、B、P、C都在⊙K上以及sin60°=是解題關鍵．

43．（2012?南昌）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．

（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時，求O′A的長度；

②如圖2，當折疊后的圓心為O時，求的長度；

③如圖3，當弦AB=2時，求圓心O到弦AB的距離；

（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．

①如圖4，當AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點O到弦AB、CD的距離之和為d，求d的值；

②如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點M為AB的中點，點N為CD的中點，試探求四邊形OMPN的外形，并證明你的結論．

考點：

相切兩圓的性質；等邊三角形的判定與性質；平行四邊形的判定；垂徑定理；弧長的計算；翻折變換（折疊成績）；解直角三角形．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長度；

②如圖2，過點O作OE⊥AB交⊙O于點E，連接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據弧長公式計算即可；

③如圖3，連接O′A、O′B，過點O′作O′E⊥AB于點E，可得△AO′B為等邊三角形，根據三角函數的知識可求折疊后求所在圓的圓心O′到弦AB的距離；

（2）①如圖4，與所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交于于點E，交于點F，根據折疊的性質，可求點O到AB、CD的距離之和；

②根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得證．

解答：

解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2；

②當圓O時，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A、OA、O′B，OB，OO′

∵△OO′A△OO′B為等邊三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°

∴==；

③如圖3所示，連接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB為等邊三角形，過點O作OE⊥AB于點E，∴OE=OA?sin60°=．

（2）①如圖4，當折疊后的與所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交AB于點H、交于點E，交CD于點G、交于點F，即點E、H、P、O、G、F在直徑EF上，∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD，根據折疊的性質，可知PH=PE，PG=PF，又∵EF=4，∴點O到AB、CD的距離之和d為：

d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，②如圖5，當AB與CD不平行時，四邊形PNOM是平行四邊形．證明如下：

設折疊后的所在圓的圓心為O′，折疊后的所在圓的圓心為O″，∵點O′與點O關于AB對稱，點O″與點O關于CD對稱，∴O′M=OM，ON=O″N，∴點M為的OO′中點，點N為OO″的中點

∵折疊后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過切點P，∵折疊后的與所在圓與⊙O是等圓，∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，同理：PN=OM，∴四邊形OMPN是平行四邊形．

點評：

綜合考查了相切兩圓的性質，等邊三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長的計算，翻折變換（折疊成績），解直角三角形，綜合性較強，難度較大．

44．（2012?荊州）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點A與B相距8m，罐底點到地面CD距離為1m．設油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（暗影部分）的面積．（參考數據：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結果保留整數）

考點：

垂徑定理的運用；勾股定理；等腰梯形的性質；解直角三角形的運用．版權一切

分析：

連接AO、BO．過點A作AE⊥DC于點E，過點O作ON⊥DC于點N，ON交⊙O于點M，交AB于點F，則OF⊥AB，先根據垂徑定理求出AF的值，再在Rt△AOF中利用銳角三角函數的定義求出∠AOB的度數，由勾股定理求出OF的長，根據四邊形ABCD是等腰梯形求出AE的長，再由S陰=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）即可得出結論．

解答：

解：如圖，連接AO、BO．過點A作AE⊥DC于點E，過點O作ON⊥DC于點N，ON交⊙O于點M，交AB于點F．則OF⊥AB．

∵OA=OB=5m，AB=8m，OM是半徑，OM⊥AB，∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°，∴∠AOF=53°，則∠AOB=106°，∵OF==3（m），由題意得：MN=1m，∴FN=OM﹣OF+MN=3（m），∵四邊形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．

在Rt△ADE中，tan56°==，∴DE=2m，DC=12m．

∴S陰=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）=（8+12）×3﹣（π×52﹣×8×3）≈20（m2）．

答：U型槽的橫截面積約為20m2．

點評：

本題考查的是垂徑定理的運用及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理進行求解是解答此題的關鍵．

45．（2012?呼倫貝爾）如圖，線段AB與⊙O相切于點C，連接OA，OB，OB交⊙O于點D，已知OA=OB=6，AB=6．

（1）求⊙O的半徑；

（2）求圖中暗影部分的面積．

考點：

扇形面積的計算；勾股定理；切線的性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）線段AB與⊙O相切于點C，則可以連接OC，得到OC⊥AB，則OC是等腰三角形OAB底邊上的高線，根據三線合一定理，得到AC=3，在直角△OAC中根據勾股定理得到半徑OC的長；

（2）圖中暗影部分的面積等于△OAB的面積與扇形OCD的面積的差的一半．

解答：

解：（1）連接OC，則OC⊥AB．（1分）

∵OA=OB，∴AC=BC=AB=×6=3．（2分）

在Rt△AOC中，OC==3，∴⊙O的半徑為3；（4分）

（2）∵OC=，∴∠B=30°，∠COD=60°（5分）

∴扇形OCD的面積為S扇形OCD==π，（7分）

∴暗影部分的面積為S暗影=SRt△OBC﹣S扇形OCD=OC?CB﹣π=﹣π．（8分）

點評：

本題次要考查了圓的切線的性質定理，切線垂直于過切點的半徑，并且留意，不規則圖形的面積可以轉化為一些規則圖形的面積的和或差．

46．（2012?桂林）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1⊙O2的圓心，依次連接A、O1、B、O2．

（1）求證：四邊形AO1BO2是菱形；

（2）過直徑AC的端點C作⊙O1的切線CE交AB的延伸線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE=2O2D；

（3）在（2）的條件下，若△AO2D的面積為1，求△BO2D的面積．

考點：

相交兩圓的性質；菱形的判定；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）根據⊙O1與⊙O2是等圓，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四條邊都相等的四邊形是菱形可判定出結論；

（2）根據已知得出△ACE∽△AO2D，進而得出，即可得出答案；

（3）首先證明△ACD∽△BO2D，得出，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面積關系得出答案即可．

解答：

證明：（1）∵⊙O1與⊙O2是等圓，∴AO1=O1B=BO2=O2A，∴四邊形AO1BO2是菱形；

（2）∵四邊形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB，∵CE是⊙O1的切線，AC是⊙O1的直徑，∴∠ACE=∠AO2C=90°，∴△ACE∽△AO2D，即CE=2DO2；

（3）∵四邊形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2

∴△ACD∽△BO2D，∴，∴AD=2BD，∵，∴，點評：

此題次要考查了類似三角形的判定與性質以及三角形面積關系和菱形判定等知識，純熟利用類似三角形的判定得出△ACE∽△AO2D是解題關鍵．

47．（2014?萊蕪）如圖1，在⊙O中，E是的中點，C為⊙O上的一動點（C與E在AB異側），連接EC交AB于點F，EB=（r是⊙O的半徑）．

（1）D為AB延伸線上一點，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切；

（2）求EF?EC的值；

（3）如圖2，當F是AB的四等分點時，求EC的值．

考點：

圓的綜合題；勾股定理的運用；垂徑定理；圓周角定理；切線的判定；類似三角形的運用．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，由E是的中點，根據垂徑定理的推論得到OE⊥AB，則∠HEF+∠HFE=90°，由對頂相等得∠HFE=∠CFD，則∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根據切線的判定定理得直線DC與⊙O相切；

（2）由=，根據圓周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判斷△EBF∽△ECB，利用類似比得到EF?EC=BE2=（r）2=r2；

（3）如圖2，連接OA，由=得AE=BE=r，設OH=x，則HE=r﹣x，根據勾股定理，在Rt△OAH中有AH2+x2=r2；在Rt△EAH中由AH2+（r﹣x）2=（r）2，利用等式的性質得x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，則HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，根據勾股定理計算出AH=，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分點，所以HF=AH=，于是在Rt△EFH中可計算出EF=r，然后利用（2）中的結論可計算出EC．

解答：

（1）證明：連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，∵E是的中點，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，∴∠HEF+∠HFE=90°，而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，而OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，∴直線DC與⊙O相切；

（2）解：連接BC，∵E是的中點，∴=，∴∠ABE=∠BCE，而∠FEB=∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF：BE=BE：EC，∴EF?EC=BE2=（r）2=r2；

（3）解：如圖2，連接OA，∵=，∴AE=BE=r，設OH=x，則HE=r﹣x，在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2，∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，∴HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，AH===，∵OE⊥AB，∴AH=BH，而F是AB的四等分點，∴HF=AH=，在Rt△EFH中，EF===r，∵EF?EC=r2，∴r?EC=r2，∴EC=r．

點評：

本題考查了圓的綜合題：純熟掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理；會利用勾股定理進行幾何計算，利用類似三角形的知識處理有關線段等積的成績．

48．（2012?崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一點，OP=24cm，以r為半徑作⊙P．

（1）若r=12cm，試判斷⊙P與OB地位關系；

（2）若⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件．

考點：

直線與圓的地位關系．版權一切

分析：

（1）過點P作PC⊥OB，垂足為C根據含30度角的直角三角形性質求出PC，得出PC=r，則得出⊙P與OB地位關系是相切；

（2）根據相切時半徑=12，再根據當r＜d時相離，即可求出答案．

解答：

解：過點P作PC⊥OB，垂足為C，則∠OCP=90°．

∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．

（1）當r=12cm時，r=PC，∴⊙P與OB相切，即⊙P與OB地位關系是相切．

（2）當⊙P與OB相離時，r＜PC，∴r需滿足的條件是：0cm＜r＜12cm．

點評：

本題考查了直線與圓的地位關系和含30度角的直角三角形性質，留意：已知圓的半徑r，圓心到直線l的距離為d，①當d＞r時，直線l與圓相離，②當d=r時，直線l與圓相切，③當d＜r時，直線l與圓相交．

49．（2012?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點A、B、C．

（1）求點D沿三條弧運動到點G所的路線長；

（2）判斷直線GB與DF的地位關系，并闡明理由．

考點：

弧長的計算；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．版權一切

分析：

（1）根據弧長的計算公式，代入運算即可．

（2）先證明△FCD≌△GCB，得出∠G=∠F，從而利用等量代換可得出∠GHD=90°，即GB⊥DF．

解答：

解：（1）根據弧長公式得所求路線長為：++=3π．

（2）GB⊥DF．

理由如下：

在△FCD和△GCB中，∵，∴△FCD≌△GCB（SAS），∴∠G=∠F，∵∠F+∠FDC=90°，∴∠G+∠FDC=90°，∴∠GHD=90°，∴GB⊥DF．

點評：

本題考查了弧長的計算、全等三角形的判定與性質，正方形的性質，解答本題的關鍵是純熟各個知識點，將所學知識融會貫通，難度普通．

50．（2011?資陽）如圖，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點．

（1）連接AB、AD、AF，求證：AB+AF=AD；

（2）若P是圓周上異于已知六等分點的動點，連接PB、PD、PF，寫出這三條線段長度的數量關系（不必闡明理由）．

考點：

圓心角、弧、弦的關系；等邊三角形的判定與性質．版權一切

專題：

動點型．

分析：

（1）連接OB、OF，得到等邊△AOB、△AOF，據此并演的性質，即可推理出AB=AF=AO=OD，從而得到AB+AF=AD；

（2）由于AD是⊙O的直徑，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點，故點B與點F，點C與點E均關于AD對稱，故分點P在不同的地位﹣﹣﹣在上、在上、在上三種情況討論．

解答：

解：（1）連接OB、OF．

∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點，∴AD是⊙O的直徑，且∠AOB=∠AOF=60°，∴△AOB、△AOF是等邊三角形．

∴AB=AF=AO=OD，∴AB+AF=AD．

（2）當P在上時，PB+PF=PD；

當P在上時，PB+PD=PF；

當P在上時，PD+PF=PB．

點評：

本題考查了圓心角、弧、弦的關系及等邊三角形的判定與性質，要留意標題中的隱含條件﹣﹣﹣半徑相等及分類討論思想的運用．

51．（2011?宜昌）如圖，某商標是由邊長均為2的正三角形、正方形、正六邊形的金屬薄片鑲嵌而成的鑲嵌圖案．

（1）求這個鑲嵌圖案中一個正三角形的面積；

（2）如果在這個鑲嵌圖案中隨機確定一個點O，那么點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率為多少？（結果保留二位小數）

考點：

正多邊形和圓；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；平面鑲嵌（密鋪）；幾何概率．版權一切

專題：

計算題．

分析：

（1）過A作AD⊥BC于D，根據等邊△ABC，得到BD=BC，由勾股定理求出AD=，根據△ABC的面積是BC?AD代入即可求出答案；

（2）由圖形得到由10個正三角形，11個正方形，2個正六邊形，分別求出三個圖形的面積，即可求出點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率．

解答：

解：（1）過A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等邊三角形，BC=2，∴BD=CD=BC=1，在△BDA中由勾股定理得：AD===，∴△ABC的面積是BC?AD=×2×=，答：這個鑲嵌圖案中一個正三角形的面積是．

（2）由圖形可知：由10個正三角形，11個正方形，2個正六邊形，正方形的面積是2×2=4，連接OA、OB，∵圖形是正六邊形，∴△OAB是等邊三角形，且邊長是2，即等邊三角形的面積是，∴正六邊形的面積是6×=6，∴點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率是≈0.54，答：點O落在鑲嵌圖案中的正方形區域的概率約為0.54．

點評：

本題次要考查對正多邊形與圓，等邊三角形的性質和判定，幾何概率，勾股定理，平面鑲嵌等知識點的理解和掌握，能根據性質進行計算是解此題的關鍵．

52．（2011?盤錦）如圖，風車的支桿OE垂直于桌面，風車O到桌面的距離OE為25cm，小小風車在風吹動下繞著O不停地轉動，轉動過程中，葉片端點A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm．

（1）風車在轉動過程中，當∠AOE=45°時，求點A到桌面的距離（結果保留根號）．

（2）在風車轉動一周的過程中，求點A絕對于桌面的高度不超過20cm所的路徑長（結果保留π）．

考點：

弧長的計算；勾股定理；銳角三角函數的定義；角的三角函數值．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）作A1F⊥MN于點F，A1G⊥OE于點G，在Rt△A1OG中，利用三角函數可求得OG，從而得出點A到桌面的距離A1F；

（2）作A2H⊥MN于H，則A2H=20．作A2D⊥OE于點D，則DE=A2H．在Rt△A2OD中，由角的三角函數得∠A2OD=60°，由圓的軸對稱性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．從而得出點A所的路徑長．

解答：

解：（1）如圖（1），點A運動到點A1的地位時∠AOE=45°．

作A1F⊥MN于點F，A1G⊥OE于點G，∴A1F=GE．

在Rt△A1OG中，∵∠A1OG=45°，OA1=10，∴OG=OA1?cos45°=10×=5．

∵OE=25，∴GE=OE﹣OG=25﹣5．

∴A1F=GE=25﹣5．

答：點A到桌面的距離是（25﹣5）厘米．

（2）如圖（2），點A在旋轉過程中運動到點A2、A3的地位時，點A到桌面的距離等于20厘米．

作A2H⊥MN于H，則A2H=20．作A2D⊥OE于點D，∴DE=A2H．

∵OE=25，∴OD=OE﹣DE=25﹣20=5．

在Rt△A2OD中，∵OA2=10，∴cos∠A2OD===．

∴∠A2OD=60°．

由圓的軸對稱性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．

∴點A所的路徑長為=．

答：點A所的路徑長為厘米．

點評：

本題考查了弧長的計算、勾股定理、角的三角函數值以及銳角三角函數的定義，綜合性較強難度偏大．

53．（2011?南通）比較正五邊形與正六邊形，可以發現它們的相反點和不同點．例如：

它們的一個相反點：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等．

它們的一個不同點：正五邊形不是對稱圖形，正六邊形是對稱圖形．

請你再寫出它們的兩個相反點和不同點：

相反點：

①　都是軸對稱圖形??；

②　都有外接圓和內切圓?。?/p>

不同點：

①　內角和不同　；

②　對角線的條數不同?。?/p>

考點：

正多邊形和圓．版權一切

專題：

計算題．

分析：

此題要了解正多邊形的有關性質：正多邊形的各邊相等，正多邊形的各個角相等，一切的正多邊形都是軸對稱圖形，偶數邊的正多邊形又是對稱圖形．根據正多邊形的性質進行分析它們的相反和不同之處．

解答：

解：相反點不同點

①都有相等的邊．①邊數不同；

②都有相等的內角．②內角的度數不同；

③都有外接圓和內切圓．③內角和不同；

④都是軸對稱圖形．④對角線條數不同；

⑤對稱軸都交于一點．⑤對稱軸條數不同．

點評：

本題考查了正多邊形和圓的知識，一個是奇數邊的正多邊形，一個是偶數邊的正多邊形．此題的答案不，只需抓住正多邊形的性質進行回答均可．

54．（2014?云南）已知如圖平面直角坐標系中，點O是坐標原點，矩形ABCO是頂點坐標分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點D在y軸上，且點D的坐標為（0，﹣5），點P是直線AC上的一動點．

（1）當點P運動到線段AC的中點時，求直線DP的解析式（關系式）；

（2）當點P沿直線AC挪動時，過點D、P的直線與x軸交于點M．問在x軸的正半軸上能否存在使△DOM與△ABC類似的點M？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請闡明理由；

（3）當點P沿直線AC挪動時，以點P為圓心、R（R＞0）為半徑長畫圓．得到的圓稱為動圓P．若設動圓P的半徑長為，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F．請探求在動圓P中能否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請闡明理由．

考點：

圓的綜合題；待定系數法求函數解析式；垂線段最短；勾股定理；切線長定理；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

綜合題；壓軸題；存在型；分類討論．

分析：

（1）只需先求出AC中點P的坐標，然后用待定系數法即可求出直線DP的解析式．

（2）由于△DOM與△ABC類似，對應關系不確定，可分兩種情況進行討論，利用三角形類似求出OM的長，即可求出點M的坐標．

（3）易證S△PED=S△PFD．從而有S四邊形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：當DP⊥AC時，DP最短，此時DE也最短，對應的四邊形DEPF的面積最小．借助于三角形類似，即可求出DP⊥AC時DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．

解答：

解：（1）過點P作PH∥OA，交OC于點H，如圖1所示．

∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．

∴==．

∵點P是AC中點，∴CP=CA．

∴HP=OA，CH=CO．

∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．

∴HP=，CH=2．

∴OH=2．

∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．

∴點P的坐標為（，2）．

設直線DP的解析式為y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上，∴

∴

∴直線DP的解析式為y=x﹣5．

（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．

∵點B坐標為（3，4），點D的坐標為（0，﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．

∴=．

∴OM=．

∵點M在x軸的正半軸上，∴點M的坐標為（，0）

②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．

∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．

∴OM=．

∵點M在x軸的正半軸上，∴點M的坐標為（，0）．

綜上所述：若△DOM與△CBA類似，則點M的坐標為（，0）或（，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．

∴PE=PF=AC=．

∵DE、DF都與⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．

∴S△PED=S△PFD．

∴S四邊形DEPF=2S△PED

=2×PE?DE

=PE?DE

=DE．

∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．

=DP2﹣．

根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：

當DP⊥AC時，DP最短，此時DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最?。?/p>

∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．

∴∠AOC=∠DPC．

∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．

∴=．

∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．

∴DP=．

∴DE2=DP2﹣

=（）2﹣

=．

∴DE=，∴S四邊形DEPF=DE

=．

∴四邊形DEPF面積的最小值為．

點評：

本題考查了類似三角形的判定與性質、用待定系數法求直線的解析式、切線長定理、勾股定理、垂線段最短等知識，考查了分類討論的思想．將求DE的最小值轉化為求DP的最小值是處理第3小題的關鍵．另外，要留意“△DOM與△ABC類似”與“△DOM∽△ABC“之間的區別．

55．（2011?綿陽）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切．

（1）求證：OB⊥OC；

（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1與半⊙O外切，并與BC、CD相切，求⊙O1的面積．

考點：

相切兩圓的性質；直角梯形．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）證明兩個銳角的和等于90°即可；

（2）求得⊙O1的半徑后代入圓的面積公式求得其面積即可．

解答：

（1）證明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切，∴AB，BC，CD均與半圓O相切，∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．

又∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．

∴2∠CBO+2∠BCO=180°，于是∠CBO+∠BCO=90°，∴∠BOC=180°﹣（∠CBO+∠BCO）=180°﹣90°=90°，即OB⊥OC．

（2）解：設CD切⊙O1于點M，連接O1M，則O1M⊥CD．

設⊙O1的半徑為r．

∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，∴∠O1CM=30°．

在Rt△O1CM中，CO1=2r，O1M=r．

在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．

∵⊙O1與半圓O外切，∴OO1=6+r，于是，由OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，解得r=2，因此⊙O1的面積為4π．

點評：

本題考查了相切兩圓的性質及直角梯形的性質，解題的關鍵是根據相切兩圓半徑只間的關系確定兩圓心之間的距離．

56．（2014?貴港）如圖，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點P是大半圓O上一點，PA與小半圓M交于點C，過點C作CD⊥OP于點D．

（1）求證：CD是小半圓M的切線；

（2）若AB=8，點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），設PD=x，CD2=y．

①求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

②當y=3時，求P，M兩點之間的距離．

考點：

圓的綜合題；平行線的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；切線的判定；類似三角形的判定與性質；角的三角函數值．版權一切

專題：

代數幾何綜合題．

分析：

（1）連接CO、CM，只需證到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需證到CM∥OP，只需證到CM是△AOP的中位線即可．

（2）①易證△ODC∽△CDP，從而得到CD2=DP?OD，進而得到y與x之間的函數關系式．由于當點P與點A重合時x=0，當點P與點B重合時x=4，點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），因此自變量x的取值范圍為0＜x＜4．

②當y=3時，得到﹣x2+4x=3，求出x．根據x的值可求出CD、PD的值，從而求出∠CPD，運用勾股定理等知識就可求出P，M兩點之間的距離．

解答：

解：（1）連接CO、CM，如圖1所示．

∵AO是小半圓M的直徑，∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，∴AC=PC．

∵AM=OM，∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°即CD⊥CM．

∵CD半徑CM的外端C，且CD⊥CM，∴直線CD是小半圓M的切線．

（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴．

∴CD2=DP?OD．

∵PD=x，CD2=y，OP=AB=4，∴y=x（4﹣x）=﹣x2+4x．

當點P與點A重合時，x=0；當點P與點B重合時，x=4；

∵點P在大半圓O上運動（點P不與A，B兩點重合），∴0＜x＜4．

∴y與x之間的函數關系式為y=﹣x2+4x，自變量x的取值范圍是0＜x＜4．

②當y=3時，﹣x2+4x=3．

解得：x1=1，x2=3．

Ⅰ．當x=1時，如圖2所示．

在Rt△CDP中，∵PD=1，CD=．

∴tan∠CPD==，∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，∴△OAP是等邊三角形．

∵AM=OM，∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2．

Ⅱ．當x=3時，如圖3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

過點P作PH⊥AB，垂足為H，連接PM，如圖3所示．

∵sin∠POH===，∴PH=2．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，∵MH=4，PH=2，∴PM=

=

=2．

綜上所述：當y=3時，P，M兩點之間的距離為2或2．

點評：

本題考查了切線的判定、平行線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、類似三角形的判定與性質、角的三角函數值、勾股定理等知識，綜合性比較強．

57．（2011?杭州）在平面上，七個邊長為1的等邊三角形，分別用①至⑦表示（如圖）．從④⑤⑥⑦組成的圖形中，取出一個三角形，使剩下的圖形平移，與①②③組成的圖形拼成一個正六邊形

（1）你取出的是哪個三角形？寫出平移的方向和平移的距離；

（2）將取出的三角形任意放置在拼成的正六邊形所在平面，問：正六邊形沒有被三角形蓋住的面積能否等于？請闡明理由．

考點：

正多邊形和圓；等邊三角形的性質；平移的性質．版權一切

專題：

計算題．

分析：

（1）取出⑦，觀察圖象，根據圖象進行平移即可；

（2）可以做到．先求出每個等邊三角形的面積，得到正六邊形的面積為，根據﹣覆蓋住正六邊形即可．

解答：

解：（1）取出⑦，向上平移1個單位；

答：取出的是三角形⑦，平移的方向向上平移，平移的距離是1個單位．

（2）可以做到．

理由是：∵每個等邊三角形的面積是，∴正六邊形的面積為，而0＜S6﹣＜，∴0＜﹣＜S1，∴只需用⑦的面積覆蓋住正六邊形就能做到．

點評：

本題次要考查對正多邊形與圓，等邊三角形的性質，平移的性質等知識點的理解和掌握，能根據題意進行計算是解此題的關鍵．

58．（2011?東莞）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為（﹣4，0），⊙P的半徑為2，將⊙P沿x軸向右平移4個單位長度得⊙P1

（1）畫出⊙P1，并直接判斷⊙P與⊙P1的地位關系；

（2）設⊙P1與x軸正半軸，y軸正半軸的交點分別為A、B．求劣弧與弦AB圍成的圖形的面積（結果保留π）

考點：

圓與圓的地位關系；坐標與圖形性質；扇形面積的計算．版權一切

分析：

（1）根據題意作圖即可求得答案，留意圓的半徑為2；

（2）首先根據題意求得扇形BP1A與△BP1A的面積，再作差即可求得劣弧與弦AB圍成的圖形的面積．

解答：

解：（1）如圖：

∴⊙P與⊙P1的地位關系是外切；

（2）如圖：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，∴S扇形BP1A=，=π，S△AP1B=×2×2=2，∴劣弧與弦AB圍成的圖形的面積為：π﹣2．

點評：

此題考查了圓與圓的地位關系以及扇形面積的求解方法．標題難度不大，解題的關鍵是留意數形思想的運用．

59．（2011?大慶）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AC邊長為4，BC邊長為3，它的內切圓為⊙0，⊙0與邊AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，延伸C0交斜邊AB于點G．

（1）求⊙0的半徑長；

（2）求線段DG的長．

考點：

三角形的內切圓與內心；勾股定理；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

計算題；壓軸題．

分析：

（1）由勾股定理求AB，設⊙O的半徑為r，則r=（AC+BC﹣AB）求解；

（2）過G作GP⊥AC，垂足為P，根據CG平分直角∠ACB可知△PCG為等腰直角三角形，設PG=PC=x，則CG=x，由（1）可知CO=r=，由Rt△AGP∽Rt△ABC，利用類似比求x，由OG=CG﹣CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．

解答：

解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5，∴⊙O的半徑r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；

（2）過G作GP⊥AC，垂足為P，設GP=x，由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，∴GP=PC=x，∵Rt△AGP∽Rt△ABC，∴=，解得x=，即GP=，CG=，∴OG=CG﹣CO=﹣=，在Rt△ODG中，DG==．

點評：

本題考查了三角形的內切圓與內心，類似三角形的判定與性質，勾股定理的運用．關鍵是根據直角三角形的內心的性質作輔助線，運用三角形類似及勾股定理解題．

60．（2014?河南）（1）成績發現

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同不斷線上，連接BE．

填空：

①∠AEB的度數為　60°??；

②線段AD，BE之間的數量關系為　AD=BE?。?/p>

（2）拓展探求

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同不斷線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并闡明理由．

（3）處理成績

如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

考點：

圓的綜合題；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質；圓周角定理．版權一切

專題：

綜合題；壓軸題；探求型．

分析：

（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同不斷線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接上去需對兩個地位分別進行討論．然后，添加適當的輔助線，借助于（2）中的結論即可處理成績．

解答：

解：（1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵點A，D，E在同不斷線上，∴∠ADC=120°．

∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

故答案為：60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．

故答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點A，D，E在同不斷線上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）∵PD=1，∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．

∵∠BPD=90°，∴點P在以BD為直徑的圓上．

∴點P是這兩圓的交點．

①當點P在如圖3①所示地位時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．

∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵A、P、D、B四點共圓，∴∠APB=∠ADB=45°．

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結論可得：BP=2AH+PD．

∴=2AH+1．

∴AH=．

②當點P在如圖3②所示地位時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交PB的延伸線于點E，如圖3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD．

∴=2AH﹣1．

∴AH=．

綜上所述：點A到BP的距離為或．

點評：

本題考查了等邊三角形的性質、正方形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質等知識，考查了運用已有的知識和處理成績的能力，是表現新課程理念的一道好題．而經過添加適當的輔助線從而能用（2）中的結論處理成績是處理第（3）的關鍵．

第四篇：「中考數學」四邊形：真題專項突破沖刺提分60題（含答案解析）

【中考數學】四邊形：精選真題專項打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?遵義）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延伸EF交AD的延伸線于G，當FG=1時，求AD的長．

2．（2014?鎮江）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點O，點E在AO上，且OE=OC．

（1）求證：∠1=∠2；

（2）連結BE、DE，判斷四邊形BCDE的外形，并闡明理由．

3．（2014?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC=2CD．

（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；

（2）求證：BD=MN．

4．（2014?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作一條直線分別交DA、BC的延伸線于點E、F，連接BE、DF．

（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

5．（2014?雅安）如圖：在?ABCD中，AC為其對角線，過點D作AC的平行線與BC的延伸線交于E．

（1）求證：△ABC≌△DCE；

（2）若AC=BC，求證：四邊形ACED為菱形．

6．（2014?宿遷）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．動點P從點B開始沿折線BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度運動到點A．設點P運動的工夫為t（s），△PAB面積為S（cm2）．

（1）當t=2時，求S的值；

（2）當點P在邊DA上運動時，求S關于t的函數表達式；

（3）當S=12時，求t的值．

7．（2014?）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；

②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；

③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．

（1）求證：△AED≌△CFD；

（2）求證：四邊形AECF是菱形．

8．（2014?襄陽）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延伸線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG．

（1）求證：EF∥CG；

（2）求點C，點A在旋轉過程中構成的，與線段CG所圍成的暗影部分的面積．

9．（2014?湘西州）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊BC和AD上，且BE=DF．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）求證：AE=CF．

10．（2014?濰坊）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF，交點為G．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延伸FP到BA的延伸線于點Q，求sin∠BQP的值；

（3）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，當正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．

11．（2014?泰州）如圖，BD是△ABC的角平分線，點E，F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．

（1）求證：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積．

12．（2014?臺州）如圖1是某公交汽車擋風玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2．雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB=CD且AD=BC，這樣能使雨刷EF在運動時，一直垂直于玻璃窗下沿BC，請證明這一結論．

13．（2014?遂寧）已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是CD中點，連結OE．過點C作CF∥BD交線段OE的延伸線于點F，連結DF．求證：

（1）△ODE≌△FCE；

（2）四邊形ODFC是菱形．

14．（2014?隨州）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．

（1）求證：△ABM≌△DCM；

（2）填空：當AB：AD=　　　　　　時，四邊形MENF是正方形．

15．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

16．（2014?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點，且AE=BF．求證：CE=DF．

17．（2014?攀枝花）如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點O為坐標原點，且A（2，﹣3），C（0，2）．

（1）求過點B的雙曲線的解析式；

（2）若將等腰梯形OABC向右平移5個單位，問平移后的點C能否落在（1）中的雙曲線上？并簡述理由．

18．（2014?寧德）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是BC的中點，連接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求證：四邊形AECD是矩形．

19．（2014?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：CE=AD；

（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么四邊形？闡明你的理由；

（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請闡明你的理由．

20．（2014?梅州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延伸線上一點，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF；

（2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

21．（2014?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點所得四邊形EFGH叫中點四邊形．

（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點四邊形EFGH一定是　　　　　?。?/p>

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．梯形

（2）若四邊形ABCD的面積為S1，中點四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數量關系是S1=　　　　　　S2；

（3）在四邊形ABCD中，沿中點四邊形EFGH的其中三邊剪開，可得三個小三角形，將這三個小三角形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個平行四邊形，請畫出一種拼接表示圖，并寫出對應全等的三角形．

22．（2014?涼山州）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）試闡明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

23．（2014?連云港）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED為菱形；

（2）連接AE、BE，AE與BE相等嗎？請闡明理由．

24．（2014?樂山）如圖，在△ABC中，AB=AC，四邊形ADEF是菱形，求證：BE=CE．

25．（2014?樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點E．若AD=1，AB=2，求CE的長．

26．（2014?黃石）如圖，A、B是圓O上的兩點，∠AOB=120°，C是的中點．

（1）求證：AB平分∠OAC；

（2）延伸OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長．

27．（2014?葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D（不與點B重合）在BC上，點E是AB的中點，過點A作AF∥BC交DE延伸線于點F，連接AD，BF．

（1）求證：△AEF≌△BED．

（2）若BD=CD，求證：四邊形AFBD是矩形．

28．（2014?賀州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線BD上的點，∠1=∠2．

（1）求證：BE=DF；

（2）求證：AF∥CE．

29．（2014?菏澤）已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．

（1）若正方形的邊長為a，求BM?DN的值．

（2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的外形，并證明你的結論．

30．（2014?桂林）在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點O作直線EF分別交線段AD、BC于點E、F．

（1）根據題意，畫出圖形，并標上正確的字母；

（2）求證：DE=BF．

31．（2014?貴陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別為AB，AC邊上的中點，連接DE，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，連接AF，AC．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四邊形ABCF的周長．

32．（2014?貴港）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．

（1）求證：DF=AE；

（2）當AB=2時，求BE2的值．

33．（2014?甘孜州）如圖，在?ABCD中，E，F分別為BC，AB中點，連接FC，AE，且AE與FC交于點G，AE的延伸線與DC的延伸線交于點N．

（1）求證：△ABE≌△NCE；

（2）若AB=3n，FB=GE，試用含n的式子表示線段AN的長．

34．（2014?撫順）如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上的點，且BE=BA，以點A為圓心、AD長為半徑作⊙A交AB于點M，過點B作⊙A的切線BF，切點為F．

（1）請判斷直線BE與⊙A的地位關系，并闡明理由；

（2）如果AB=10，BC=5，求圖中暗影部分的面積．

35．（2014?崇左）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BD，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，依次連接各邊中點得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是矩形．

36．（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

37．（2014?包頭）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，點E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的長．（留意：本題中的計算過程和結果均保留根號）

38．（2014?安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

39．（2013?株洲）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

40．（2013?云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．

（1）求證：四邊形ADBE是矩形；

（2）求矩形ADBE的面積．

41．（2013?宜昌）如圖，點E，F分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF．

（1）請你判斷所畫四邊形的外形，并闡明理由；

（2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長．

42．（2013?無錫）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結論構造命題．

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例；

（2）寫出按題意構成的一切命題中的假命題，并舉出反例加以闡明．（命題請寫成“如果…，那么…．”的方式）

43．（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延伸到點E，使OE=OD，連接AE，BE．

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并闡明理由．

44．（2013?深圳）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC與BD交于點O，延伸BC到E，使得CE=AD，連接DE．

（1）求證：BD=DE．

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的長．

45．（2013?上海）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，CF∥AB交DE的延伸線于點F．

（1）求證：DE=EF；

（2）連結CD，過點D作DC的垂線交CF的延伸線于點G，求證：∠B=∠A+∠DGC．

46．（2013?欽州）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求證：梯形ABCD是等腰梯形．

47．（2013?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1）求證：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．

48．（2013?南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求證：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的長．

49．（2013?黃岡）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．

50．（2013?防城港）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延伸線與BC的延伸線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．

（1）求證：四邊形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．

51．（2013?鄂爾多斯）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．

（1）求證：AF=DE；

（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長．

52．（2013?朝陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，過點A作AE∥DC交BC于點E．

（1）求證：四邊形AECD是菱形．

（2）在（1）的條件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以點A為圓心，AE的長為半徑畫弧交BE于點F，連接AF，在圖中，用尺規補齊圖形（僅保留作圖痕跡），并證明點F是BE的中點．

53．（2013?鞍山）如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求證：

（1）△AFD≌△CEB；

（2）四邊形ABCD是平行四邊形．

54．（2012?鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC．

（1）求證：DE=EC；

（2）若AD=BC，試判斷四邊形ABED的外形，并闡明理由．

55．（2012?襄陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）當AB與AC具有什么地位關系時，四邊形AECD是菱形？請闡明理由，并求出此時菱形AECD的面積．

56．（2012?湘西州）如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD=5cm，OD=3cm；

過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E．

（1）求OC的長；

（2）求證：四邊形OBEC為矩形；

（3）求矩形OBEC的面積．

57．（2012?蘇州）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延伸線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．

（1）求證：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度數．

58．（2012?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．

（1）求證：DE=DF；

（2）當∠A=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，并證明你的結論．

59．（2012?鄂爾多斯）已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延伸線于點E，且AE=AC，連AG．

（1）求證：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的長．

60．（2012?濱州）我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似的，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別是AB，CD的中點，那么EF就是梯形ABCD的中位線．經過觀察、測量，猜想EF和AD、BC有怎樣的地位和數量關系？并證明你的結論．

中考數學提分沖刺真題精析：四邊形

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?遵義）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延伸EF交AD的延伸線于G，當FG=1時，求AD的長．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．版權一切

分析：

（1）經過證明△ODF與△OBE全等即可求得．

（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，由于EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG與△DFG都是等腰直角三角形，從而求得DG的長和EF=2，然后平行線分線段成比例定理即可求得．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF與△OBE中

∴△ODF≌△OBE（AAS）

∴BO=DO；

（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）

∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==，∵AB∥CD，∴=，即=，∴AD=2，點評：

本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，平行線的性質以及平行線分行段定理．

2．（2014?鎮江）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點O，點E在AO上，且OE=OC．

（1）求證：∠1=∠2；

（2）連結BE、DE，判斷四邊形BCDE的外形，并闡明理由．

考點：

菱形的判定；線段垂直平分線的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）證明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的對應角相等證得結論；

（2）首先判定四邊形BCDE是平行四邊形，然后利用對角線垂直的平行四邊形是菱形判定菱形即可．

解答：

（1）證明：∵在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠1=∠2；

（2）四邊形BCDE是菱形；

證明：∵∠1=∠2，CD=BC，∴AC垂直平分BD，∵OE=OC，∴四邊形DEBC是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形DEBC是菱形．

點評：

本題考查了菱形的判定及線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是了解菱形的判定方法，難度不大．

3．（2014?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC=2CD．

（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；

（2）求證：BD=MN．

考點：

平行四邊形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據平行四邊形的性質，可得AD與BC的關系，根據MD與NC的關系，可得證明結論；

（2）根據根據等邊三角形的判定與性質，可得∠DNC的度數，根據三角形外角的性質，可得∠DBC的度數，根據正切函數，可得答案．

解答：

證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M、N分別是AD、BC的中點，∴MD=NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四邊形；

（2）如圖：連接ND，∵MNCD是平行四邊形，∴MN=DC．

∵N是BC的中點，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等邊三角形．

∴ND=NC，∠DNC=60°．

∵∠DNC是△BND的外角，∴∠D+∠NDB=∠DNC，∵DN=NC=，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，∴∠BDC=90°．

∵tan，∴DB=DC=MN．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定與性質，利用了一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，等邊三角形的判定與性質，正切函數．

4．（2014?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作一條直線分別交DA、BC的延伸線于點E、F，連接BE、DF．

（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

考點：

菱形的性質；平行四邊形的判定．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=OF，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）設OM=x，根據∠MBO的正切值表示出BM，再根據△AOM和△OBM類似，利用類似三角形對應邊成比例求出AM，然后根據△AEM和△BFM類似，利用類似三角形對應邊成比例求解即可．

解答：

（1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴∠AEO=∠CFO，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）解：設OM=x，∵EF⊥AB，tan∠MBO=，∴BM=2x，又∵AC⊥BD，∴∠AOM=∠OBM，∴△AOM∽△OBM，∴=，∴AM==x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM：FM=AM：BM=x：2x=1：4．

點評：

本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，類似三角形的判定與性質，銳角三角函數的定義，難點在于（2）兩次求出三角形類似．

5．（2014?雅安）如圖：在?ABCD中，AC為其對角線，過點D作AC的平行線與BC的延伸線交于E．

（1）求證：△ABC≌△DCE；

（2）若AC=BC，求證：四邊形ACED為菱形．

考點：

菱形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用AAS判定兩三角形全等即可；

（2）首先證得四邊形ACED為平行四邊形，然后證得AC=AD，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC

∴∠2=∠E，在△ABC與△DCE中，∴△ABC≌△DCE；

（2）∵平行四邊形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED為平行四邊形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四邊形ACED為菱形．

點評：

本題考查了菱形的判定等知識，解題的關鍵是純熟掌握菱形的判定定理，難度不大．

6．（2014?宿遷）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．動點P從點B開始沿折線BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度運動到點A．設點P運動的工夫為t（s），△PAB面積為S（cm2）．

（1）當t=2時，求S的值；

（2）當點P在邊DA上運動時，求S關于t的函數表達式；

（3）當S=12時，求t的值．

考點：

直角梯形；動點成績的函數圖象．版權一切

專題：

幾何綜合題；動點型．

分析：

（1）當t=2時，可求出P運動的路程即BP的長，再根據三角形的面積公式計算即可；

（2）當點P在DA上運動時，過D作DH⊥AB，P′M⊥AB，求出P′M的值即為△PAB中AB邊上的高，再利用三角形的面積公式計算即可；

（3）當S=12時，則P在BC或AD上運動，利用（1）和（2）中的面積和高的關系求出此時的t即可，解答：

解：（1）∵動點P以1cm/s的速度運動，∴當t=2時，BP=2cm，∴S的值=AB?BP=×8×2=8cm2；

（2）過D作DH⊥AB，過P′作P′M⊥AB，∴P′M∥DH，∴△AP′M∽△ADH，∴，∵AB=8cm，CD=5cm，∴AH=AB﹣DC=3cm，∵BC=4cm，∴AD==5cm，又∵A′P=14﹣t，∴，∴P′M=，∴S=AB?P′M=，即S關于t的函數表達式S=；

（3）由題意可知當P在CD上運動時，S=AB×BC=×8×4=16cm2，所以當S=12時，P在BC或AD上，當P在BC上時，12=×8?t，解得：t=3；

當P在AD上時，12=，解得：t=．

∴當S=12時，t的值為3或．

點評：

本題考查了直角梯形的性質、類似三角形的判定和性質以及勾股定理的運用和三角形面積公式的運用，標題的綜合性較強，難度中等，對于動點成績特別要留意的是分類討論數學思想的運用．

7．（2014?）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；

②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；

③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．

（1）求證：△AED≌△CFD；

（2）求證：四邊形AECF是菱形．

考點：

菱形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AD=CD，然后根據CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；

（2）根據全等得到AE=CF，然后根據EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，FC=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形．

解答：

解：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB

∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，在△AED與△CFD中，∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∵EF為線段AC的垂直平分線，∴EC=EA，FC=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四邊形AECF為菱形．

點評：

本題考查了菱形的判定、全等的判定與性質及基本作圖，解題的關鍵是了解經過作圖能得到直線的垂直平分線．

8．（2014?襄陽）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延伸線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG．

（1）求證：EF∥CG；

（2）求點C，點A在旋轉過程中構成的，與線段CG所圍成的暗影部分的面積．

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；扇形面積的計算．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據正方形的性質可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據旋轉變化只改變圖形的地位不改變圖形的外形可得△ABF和△CBE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據內錯角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據平行四邊形的對邊平行證明；

（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據平行四邊形的性質可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF，再根據S暗影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計算即可得解．

解答：

（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC繞點B逆時針旋轉90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=CE，AF=FG，∴EC=FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中點，∴BF=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四邊形的性質，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S暗影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×（1+2）×1﹣，=﹣．

點評：

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉變換的性質，勾股定理的運用，扇形的面積計算，綜合題，但難度不大，熟記各性質并精確識圖是解題的關鍵．

9．（2014?湘西州）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊BC和AD上，且BE=DF．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）求證：AE=CF．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據平行四邊形的性質得出AB=CD，∠B=∠D，根據SAS證出△ABE≌△CDF；

（2）根據全等三角形的對應邊相等即可證得．

解答：

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．

點評：

本題次要考查對平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能根據性質證出△ABE≌△CDF是證此題的關鍵．

10．（2014?濰坊）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF，交點為G．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延伸FP到BA的延伸線于點Q，求sin∠BQP的值；

（3）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，當正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．

考點：

四邊形綜合題．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）運用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°求證；

（2）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系求出QF=QB，解出BP，QP求解；

（3）先求出正方形的邊長，再根據面積比等于類似邊長比的平方，求得S△AGN=，再利用S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解．

解答：

（1）證明：如圖1，∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF=BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF．

（2）解：如圖2，根據題意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°

∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k

在Rt△BPQ中，設QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin∠BQP===．

（3）解：∵正方形ABCD的面積為4，∴邊長為2，∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，∴AN=AB=2，∵∠AHM=90°，∴GN∥HM，∴=，∴=，∴S△AGN=，∴S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=，∴四邊形GHMN的面積是．

點評：

本題次要考查了四邊形的綜合題，處理的關鍵是明確三角形翻轉后邊的大小不變，找準對應邊，角的關系求解．

11．（2014?泰州）如圖，BD是△ABC的角平分線，點E，F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．

（1）求證：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積．

考點：

平行四邊形的判定與性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）由DE∥AB，EF∥AC，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分線，易得△BDE是等腰三角形，即可證得結論；

（2）首先過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，易求得DG與DE的長，繼而求得答案．

解答：

（1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；

（2）解：過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四邊形ADEF的面積為：DE?DG=6．

點評：

此題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意掌握數形思想的運用．

12．（2014?臺州）如圖1是某公交汽車擋風玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2．雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB=CD且AD=BC，這樣能使雨刷EF在運動時，一直垂直于玻璃窗下沿BC，請證明這一結論．

考點：

平行四邊形的判定與性質．版權一切

專題：

運用題．

分析：

首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據平行四邊形的性質即可判斷．

解答：

證明：∵AB=CD、AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定與性質，正確理解平行四邊形的判定方法是關鍵．

13．（2014?遂寧）已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是CD中點，連結OE．過點C作CF∥BD交線段OE的延伸線于點F，連結DF．求證：

（1）△ODE≌△FCE；

（2）四邊形ODFC是菱形．

考點：

矩形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ODE=∠FCE，根據線段中點的定義可得CE=DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；

（2）根據全等三角形對應邊相等可得OD=FC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

解答：

證明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中點，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四邊形ODFC是平行四邊形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形ODFC是菱形．

點評：

本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定，熟記各性質與平行四邊形和菱形的判定方法是解題的關鍵．

14．（2014?隨州）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．

（1）求證：△ABM≌△DCM；

（2）填空：當AB：AD=　1：2　時，四邊形MENF是正方形．

考點：

矩形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定；正方形的判定．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）根據矩形性質得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根據全等三角形的判定推出即可；

（2）求出四邊形MENF是平行四邊形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根據正方形的判定推出即可．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵M為AD的中點，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四邊形MENF是平行四邊形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四邊形MENF是正方形，即當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，故答案為：1：2．

點評：

本題考查了矩形的性質和判定，平行四邊形的判定，正方形的判定，全等三角形的性質和判定，三角形的中位線的運用，次要考查先生運用定理進行推理的能力，標題比較好，難度適中．

15．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

考點：

平行四邊形的判定；線段垂直平分線的性質；勾股定理．版權一切

分析：

（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，由于BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．

（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據勾股定理即可求得．

解答：

（1）證明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，在△ADB與△CDB中，∴△ADB≌△CDB（SSS）

∴∠BCD=∠BAD，∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD，∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，∴?ABDF是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，設BE=x，則DE=5﹣x，∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x=，∴=，∴AC=2AE=．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質以及勾股定理的運用．

16．（2014?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點，且AE=BF．求證：CE=DF．

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據正方形的性質可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“邊角邊”證明△BCE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．

解答：

證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴CE=DF．

點評：

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵．

17．（2014?攀枝花）如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點O為坐標原點，且A（2，﹣3），C（0，2）．

（1）求過點B的雙曲線的解析式；

（2）若將等腰梯形OABC向右平移5個單位，問平移后的點C能否落在（1）中的雙曲線上？并簡述理由．

考點：

等腰梯形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征；待定系數法求反比例函數解析式；坐標與圖形變化-平移．版權一切

專題：

數形；待定系數法．

分析：

（1）過點C作CD⊥AB于D，根據等腰梯形的性質和點A的坐標求出CD、BD，然后求出點B的坐標，設雙曲線的解析式為y=（k≠0），然后利用待定系數法求反比例函數解析式解答；

（2）根據向右平移橫坐標加求出平移后的點C的坐標，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征判斷．

解答：

解：（1）如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A（2，﹣3），∴CD=2，BD=3，∵C（0，2），∴點B的坐標為（2，5），設雙曲線的解析式為y=（k≠0），則=5，解得k=10，∴雙曲線的解析式為y=；

（2）平移后的點C落在（1）中的雙曲線上．

理由如下：點C（0，2）向右平移5個單位后的坐標為（5，2），當x=5時，y==2，∴平移后的點C落在（1）中的雙曲線上．

點評：

本題考查了等腰梯形的性質，待定系數法求反比例函數解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化﹣平移，純熟掌握等腰梯形的性質并求出點B的坐標是解題的關鍵．

18．（2014?寧德）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是BC的中點，連接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求證：四邊形AECD是矩形．

考點：

矩形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

先判斷四邊形AECD為平行四邊形，然后由∠AEC=90°即可判斷出四邊形AECD是矩形．

解答：

證明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形．

∴AD=BE．

∵點E是BC的中點，∴EC=BE=AD．

∴四邊形AECD是平行四邊形．

∵AB=AC，點E是BC的中點，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．

∴?AECD是矩形．

點評：

本題考查了梯形和矩形的判定，難度適中，解題關鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定定理．

19．（2014?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：CE=AD；

（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么四邊形？闡明你的理由；

（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請闡明你的理由．

考點：

正方形的判定；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；

（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；

（3）求出∠CDB=90°，再根據正方形的判定推出即可．

解答：

（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE=AD；

（2）解：四邊形BECD是菱形，理由是：∵D為AB中點，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB=90°，D為AB中點，∴CD=BD，∴四邊形BECD是菱形；

（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：

解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D為BA中點，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四邊形BECD是菱形，∴四邊形BECD是正方形，即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．

點評：

本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，直角三角形的性質的運用，次要考查先生運用定理進行推理的能力．

20．（2014?梅州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延伸線上一點，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF；

（2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF．

（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又由于DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．

解答：

（1）證明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）解：GE=BE+GD成立．

理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=GF．

∴GE=DF+GD=BE+GD．

點評：

本題次要考查證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了經過全等找出和GE相等的線段，從而證出關系是不是成立．

21．（2014?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點所得四邊形EFGH叫中點四邊形．

（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點四邊形EFGH一定是　B??；

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．梯形

（2）若四邊形ABCD的面積為S1，中點四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數量關系是S1=　2　S2；

（3）在四邊形ABCD中，沿中點四邊形EFGH的其中三邊剪開，可得三個小三角形，將這三個小三角形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個平行四邊形，請畫出一種拼接表示圖，并寫出對應全等的三角形．

考點：

中點四邊形；作圖—運用與設計作圖．版權一切

專題：

探求型．

分析：

（1）連接AC、BD．先根據三角形中位線的性質得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由菱形的對角線互相垂直，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；

（2）由E為AB中點，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM類似，△AEN與△ABM類似，利用面積之比等于類似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個四邊形面積之和即為四個三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半；

（3）利用中點四邊形的性質得出拼接方法，進而得出全等三角形．

解答：

解：（1）如圖1，連接AC、BD．

∵E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴?EFGH是矩形；

故選：B．

（2）如圖2，設AC與EH、FG分別交于點N、P，BD與EF、HG分別交于點K、Q，∵E是AB的中點，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴=，S△AEN=S△EBK，∴=，同理可得=，=，=，∴=，∴四邊形ABCD的面積為S1，中點四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數量關系是S1=2S2；

（3）如圖3，四邊形NEHM是平行四邊形；

△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．

點評：

此題次要考查了中點四邊形以及類似三角形的判定與性質和矩形的判定以及菱形的性質等知識，利用三角形中位線的性質得出是解題關鍵．

22．（2014?涼山州）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）試闡明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

考點：

平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由于△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF；

（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．

解答：

證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF

∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．

點評：

此題是首先利用等邊三角形的性質證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質和等邊三角形的性質證明平行四邊形．

23．（2014?連云港）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED為菱形；

（2）連接AE、BE，AE與BE相等嗎？請闡明理由．

考點：

矩形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）首先利用平行四邊形的判定得出四邊形DOCE是平行四邊形，進而利用矩形的性質得出DO=CO，即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性質以及矩形的性質得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，進而利用全等三角形的判定得出．

解答：

（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形DOCE是平行四邊形，∵矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∴OC=AC=BD=OD，∴四邊形OCED為菱形；

（2）解：AE=BE．

理由：∵四邊形OCED為菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE=BE．

點評：

此題次要考查了矩形的性質以及菱形的判定和全等三角形的判定與性質等知識，純熟掌握矩形的性質進而得出對應線段關系是解題關鍵．

24．（2014?樂山）如圖，在△ABC中，AB=AC，四邊形ADEF是菱形，求證：BE=CE．

考點：

菱形的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據四邊形ADEF是菱形，得DE=EF，AB∥EF，DE∥AC可證明△DBE≌△FCE，即可得出BE=CE．

解答：

證明：∵四邊形ADEF是菱形，∴DE=EF，AB∥EF，DE∥AC，∴∠C=∠BED，∠B=∠CEF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BED=∠CEF，在△DBE和△FCE中，∴△DBE≌△FCE，∴BE=CE．

點評：

本題考查了菱形的性質以及全等三角形的判定和性質，是基礎題，比較簡單．

25．（2014?樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點E．若AD=1，AB=2，求CE的長．

考點：

矩形的判定與性質；含30度角的直角三角形；銳角三角函數的定義．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

過點A作AH⊥BC于H，利用銳角三角函數關系得出BH的長，進而得出BC的長，再根據含30°角的直角三角形的性質即可得出CE的長．

解答：

解：過點A作AH⊥BC于H，則AD=HC=1，在△ABH中，∠B=30°，AB=2，∴cos30°=，即BH=ABcos30°=2×=3，∴BC=BH+HC=4，∵CE⊥AB，∴CE=BC=2．

點評：

此題次要考查了銳角三角函數關系運用以及直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半等知識，得出BH的長是解題關鍵．

26．（2014?黃石）如圖，A、B是圓O上的兩點，∠AOB=120°，C是的中點．

（1）求證：AB平分∠OAC；

（2）延伸OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長．

考點：

菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）求出等邊三角形AOC和等邊△OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；

（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．

解答：

（1）證明：連接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中點，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等邊三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四邊形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；

（2）解：連接OC，∵△OAC是等邊三角形，OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．

點評：

本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，勾股定理，等邊三角形的性質和判定的運用，次要考查先生運用定理進行推理和計算的能力，標題比較典型，難度適中．

27．（2014?葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D（不與點B重合）在BC上，點E是AB的中點，過點A作AF∥BC交DE延伸線于點F，連接AD，BF．

（1）求證：△AEF≌△BED．

（2）若BD=CD，求證：四邊形AFBD是矩形．

考點：

矩形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）AAS或ASA證全等；

（2）根據對角線互相平分的證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據等腰三角形三線合一證明∠ADB=90°，進而根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形得證．

解答：

證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E為AB的中點，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，∴△AEF≌△BED（ASA）；

（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四邊形AFBD是矩形．

點評：

本題考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性質，能夠了解矩形的判定定理是解答本題的關鍵，難度不大．

28．（2014?賀州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線BD上的點，∠1=∠2．

（1）求證：BE=DF；

（2）求證：AF∥CE．

考點：

平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用平行四邊形的性質得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，進而利用全等三角形的判定得出即可；

（2）利用全等三角形的性質得出AE=CF，進而得出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出答案．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；

（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE．

點評：

此題次要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出△ABE≌△CDF是解題關鍵．

29．（2014?菏澤）已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．

（1）若正方形的邊長為a，求BM?DN的值．

（2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的外形，并證明你的結論．

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理的逆定理；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據角平分線的定義求出∠CBM=∠CDN=45°，再求出∠ABM=∠ADN=135°，然后根據正方形的每一個角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和∠BAM+∠AMB=45°，從而得到∠NAD=∠AMB，再求出△ABM和△NDA類似，利用類似三角形對應邊成比例列式求解即可；

（2）過點A作AF⊥AN并截取AF=AN，連接BF、FM，根據同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△ADN全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，再求出∠FAM=∠MAN=45°，然后利用“邊角邊”證明△AFM和△ANM全等，根據全等三角形對應邊相等可得FM=NM，再求出△FBM是直角三角形，然后利用勾股定理判斷即可．

解答：

解：（1）∵BM、DN分別平分正方形的兩個外角，∴∠CBM=∠CDN=45°，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，∴∠NAD=∠AMB，在△ABM和△NDA中，∴△ABM∽△NDA，∴=，∴BM?DN=AB?AD=a2；

（2）以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形．

證明如下：如圖，過點A作AF⊥AN并截取AF=AN，連接BF、FM，∵∠1+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，∴∠1=∠3，在△ABF和△ADN中，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，在△AFM和△ANM中，∴△AFM≌△ANM（SAS），∴FM=NM，∴∠FBP=180°﹣∠FBA=180°﹣135°=45°，∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°，∴△FBM是直角三角形，∵FB=DN，FM=MN，∴以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形．

點評：

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理逆定理，類似三角形的判定與性質，難點在于（2）作輔助線構造出全等三角形和直角三角形．

30．（2014?桂林）在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點O作直線EF分別交線段AD、BC于點E、F．

（1）根據題意，畫出圖形，并標上正確的字母；

（2）求證：DE=BF．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；作圖—復雜作圖．版權一切

專題：

作圖題；證明題．

分析：

（1）根據題意直接畫圖即可；

（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OB=OD，繼而可利用ASA，判定△DOE≌△BOF，繼而證得DE=BF．

解答：

（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠OBF，在△DOE和△BOF中，∴DOE≌△BOF（ASA），∴DE=BF．

點評：

此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度不大，留意掌握數形思想的運用．

31．（2014?貴陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別為AB，AC邊上的中點，連接DE，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，連接AF，AC．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四邊形ABCF的周長．

考點：

菱形的判定與性質；旋轉的性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據旋轉可得AE=CE，DE=EF，可判定四邊形ADCF是平行四邊形，然后證明DF⊥AC，可得四邊形ADCF是菱形；

（2）首先利用勾股定理可得AB長，再根據中點定義可得AD=5，根據菱形的性質可得AF=FC=AD=5，進而可得答案．

解答：

（1）證明：∵將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵D、E分別為AB，AC邊上的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴DF⊥AC，∴四邊形ADCF是菱形；

（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10，∵D是AB邊上的中點，∴AD=5，∵四邊形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5，∴四邊形ABCF的周長為8+10+5+5=28．

點評：

此題次要考查了菱形的判定與性質，關鍵是掌握菱形四邊相等，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

32．（2014?貴港）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．

（1）求證：DF=AE；

（2）當AB=2時，求BE2的值．

考點：

正方形的性質；角平分線的性質；勾股定理．版權一切

分析：

（1）連接CF，根據“HL”證明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=EF，根據正方形的對角線平分一組對角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得AE=EF，然后等量代換即可得證；

（2）根據正方形的對角線等于邊長的倍求出AC，然后求出AE，過點E作EH⊥AB于H，判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：

（1）證明：如圖，連接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF=EF，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠EAF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，∴AC=AB=2，∵CE=CD，∴AE=2﹣2，過點E作EH⊥AB于H，則△AEH是等腰直角三角形，∴EH=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，∴BH=2﹣（2﹣）=，在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4．

點評：

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的運用，作輔助線構造出全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．

33．（2014?甘孜州）如圖，在?ABCD中，E，F分別為BC，AB中點，連接FC，AE，且AE與FC交于點G，AE的延伸線與DC的延伸線交于點N．

（1）求證：△ABE≌△NCE；

（2）若AB=3n，FB=GE，試用含n的式子表示線段AN的長．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據平行四邊形的性質可得AB∥CN，由此可知∠B=∠ECN，再根據全等三角形的判定方法ASA即可證明△ABE≌△NCE；

（2）由于AB∥CN，所以△AFG∽△CNG，利用類似三角形的性質和已知條件即可得到含n的式子表示線段AN的長．

解答：

（1）證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CN，∴∠B=∠ECN，∵E是BC中點，∴BE=CE，在△ABE和△NCE中，∴△ABE≌△NCE（ASA）．

（2）∵AB∥CN，∴△AFG∽△CNG，∴AF：CN=AG：GN，∵AB=CN，∴AF：AB=AG：GN，∵AB=3n，F為AB中點

∴FB=GE，∴GE=n，∴=，解得AE=3n，∴AG=2n，GE=n，EN=3n，∴AN=AG+GE+EN=2n+n+3n=6n．

點評：

本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質以及類似三角形的平和性質，標題的綜合性較強，難度中等．

34．（2014?撫順）如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上的點，且BE=BA，以點A為圓心、AD長為半徑作⊙A交AB于點M，過點B作⊙A的切線BF，切點為F．

（1）請判斷直線BE與⊙A的地位關系，并闡明理由；

（2）如果AB=10，BC=5，求圖中暗影部分的面積．

考點：

矩形的性質；切線的判定與性質；扇形面積的計算．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）直線BE與⊙A的地位關系是相切，連接AE，過A作AH⊥BE，過E作EG⊥AB，再證明AH=AD即可；

（2）連接AF，則圖中暗影部分的面積=直角三角形ABF的面積﹣扇形MAF的面積．

解答：

解：（1）直線BE與⊙A的地位關系是相切，理由如下：連接AE，過A作AH⊥BE，過E作EG⊥AB，則四邊形ADEG是矩形．

∵S△ABE=BE?AH=AB?EG，AB=BE，∴AH=EG，∵四邊形ADEG是矩形，∴AD=EG，∴AH=AD，∴BE是圓的切線；

（2）連接AF，∵BF是⊙A的切線，∴∠BFA=90°

∵BC=5，∴AF=5，∵AB=10，∴∠ABF=30°，∴∠BAF=60°，∴BF=AF=5，∴圖中暗影部分的面積=直角三角形ABF的面積﹣扇形MAF的面積=×5×5﹣=．

點評：

本題考查了矩形的性質、切線的判定和性質、三角形和扇形面積公式的運用以及角的銳角三角函數值，標題的綜合性較強，難度不小，解題的關鍵是正確做出輔助線．

35．（2014?崇左）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BD，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，依次連接各邊中點得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是矩形．

考點：

中點四邊形；三角形中位線定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，然后利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．

解答：

證明：∵點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，∴EF=AC，GH=AC，∴EF=GH，同理EH=FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

又∵對角線AC、BD互相垂直，∴EF與FG垂直．

∴四邊形EFGH是矩形．

點評：

本題考查了中點四邊形的知識，解題的關鍵是靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形的判斷進行證明，是一道綜合題．

36．（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

考點：

菱形的判定；平行四邊形的性質；解直角三角形．版權一切

分析：

（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形和角平分線的性質可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根據四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH=，DH=5，然后利用銳角三角函數的定義求解即可．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分線，∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．

點評：

本題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質，解題的關鍵是牢記菱形的幾個判定定理，難度不大．

37．（2014?包頭）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，點E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的長．（留意：本題中的計算過程和結果均保留根號）

考點：

梯形；勾股定理．版權一切

專題：

計算題．

分析：

過點D作DF⊥BC，根據∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的長，由于AD=1，所以BC=2+1，根據∠AEB=60°，可得BE，進而得出CE的長．

解答：

解：過點D作DF⊥BC，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴四邊形ABFD為矩形，∵∠BCD=45°，∴DF=CF，∵AB=2，∴DF=CF=2，∴由勾股定理得CD=2；

∵AD=1，∴BF=1，∴BC=2+1，∵∠AEB=60°，∴tan60°=，∴=，∴BE=2，∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．

點評：

本題考查了梯形的計算以及勾股定理，是基礎知識要純熟掌握．

38．（2014?安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

考點：

矩形的判定；角平分線的性質；等腰三角形的性質；正方形的判定．版權一切

專題：

證明題；開放型．

分析：

（1）根據矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形．

（2）根據正方形的判定，我們可以假設當AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的結論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．

解答：

（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四邊形ADCE為矩形．

（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形．

∴當∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

點評：

本題是以開放型試題，次要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質，及角平分線的性質等知識點的綜合運用．

39．（2013?株洲）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

考點：

菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．版權一切

分析：

（1）根據菱形的對角線互相平分可得AO=CO，對邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內錯角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；

（2）根據菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°，∴∠AEF=180°﹣∠DAO﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，∵菱形的邊長為2，∠DAO=30°，∴OD=AD=×2=1，∴AO===，∴AE=CF=×=，∵菱形的邊長為2，∠BAD=60°，∴高EF=2×=，在Rt△CEF中，CE===．

點評：

本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理的運用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關鍵，也是難點．

40．（2013?云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．

（1）求證：四邊形ADBE是矩形；

（2）求矩形ADBE的面積．

考點：

矩形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質．版權一切

分析：

（1）利用三線合一定理可以證得∠ADB=90°，根據矩形的定義即可證得；

（2）利用勾股定理求得BD的長，然后利用矩形的面積公式即可求解．

解答：

解：（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四邊形ADBE是平行四邊形．

∴平行四邊形ADBE是矩形；

（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中線，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S矩形ADBE=BD?AD=3×4=12．

點評：

本題考查了三線合一定理以及矩形的判定，理解三線合一定理是關鍵．

41．（2013?宜昌）如圖，點E，F分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF．

（1）請你判斷所畫四邊形的外形，并闡明理由；

（2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長．

考點：

菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．版權一切

分析：

（1）由AE=AF=ED=DF，根據四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；

（2）首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長．

解答：

解：（1）菱形．

理由：∵根據題意得：AE=AF=ED=DF，∴四邊形AEDF是菱形；

（2）連接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等邊三角形，∴EF=AE=8厘米．

點評：

此題考查了菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題比較簡單，留意掌握輔助線的作法，留意數形思想的運用．

42．（2013?無錫）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結論構造命題．

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例；

（2）寫出按題意構成的一切命題中的假命題，并舉出反例加以闡明．（命題請寫成“如果…，那么…．”的方式）

考點：

平行四邊形的判定；命題與定理．版權一切

分析：

（1）根據平行得出全等三角形，即可求出OB=OD，根據平行四邊形的判定推出即可；

（2）根據等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可．

解答：

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題，證明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）根據①③作為條件構成的命題是假命題，即如果有一組對邊平行，另一組對邊相等，那么四邊形是平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形；

根據②③作為條件構成的命題是假命題，即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形是平行四邊形，如圖，根據已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定，類似三角形的性質和判定，等腰梯形的判定等知識點的運用，次要考查先生的推理能力和辨析能力，標題比較好，但是一道比較容易出錯的標題．

43．（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延伸到點E，使OE=OD，連接AE，BE．

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并闡明理由．

考點：

矩形的判定；正方形的判定．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質得出∠ADB=90°，即可得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可．

解答：

（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延伸到點E，使OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四邊形AEBD是矩形；

（2）當∠BAC=90°時，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．

點評：

此題次要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質等知識，純熟掌握正方形和矩形的判定是解題關鍵．

44．（2013?深圳）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC與BD交于點O，延伸BC到E，使得CE=AD，連接DE．

（1）求證：BD=DE．

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的長．

考點：

等腰梯形的性質；勾股定理；等腰直角三角形；平行四邊形的判定與性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

分析：

（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四邊形ACED是平行四邊形，即可證得AC=DE，又由等腰梯形的性質，可得AC=BD，即可證得結論；

（2）首先過點D作DF⊥BC于點F，可證得△BDE是等腰直角三角形，由SABCD=16，可求得BD的長，繼而求得答案．

解答：

（1）證明：∵AD∥BC，CE=AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC=DE，∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∴BD=DE．

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴CE=AD=3，AC∥DE，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，∵BD=DE，∴S△BDE=BD?DE=BD2=BE?DF=（BC+CE）?DF=（BC+AD）?DF=S梯形ABCD=16，∴BD=4，∴BE=BD=8，∴DF=BF=EF=BE=4，∴CF=EF﹣CE=1，∴由勾股定理得AB=CD==．

點評：

此題考查了等腰三角形的性質、等腰直角三角形的性質與判定、平行四邊形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意數形思想的運用．

45．（2013?上海）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，CF∥AB交DE的延伸線于點F．

（1）求證：DE=EF；

（2）連結CD，過點D作DC的垂線交CF的延伸線于點G，求證：∠B=∠A+∠DGC．

考點：

菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．版權一切

分析：

（1）首先證明四邊形DBCF為平行四邊形，可得DF=BC，再證明DE=BC，進而得到EF=CB，即可證出DE=EF；

（2）首先畫出圖形，首先根據平行線的性質可得∠ADG=∠G，再證明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．

解答：

證明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四邊形DBCF為平行四邊形，∴DF=BC，∵D為邊AB的中點，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；

（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D為邊AB的中點，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．

點評：

此題次要考查了平行四邊形的判定與性質，以及直角三角形的性質，關鍵是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．

46．（2013?欽州）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求證：梯形ABCD是等腰梯形．

考點：

等腰梯形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

由AB∥DE，∠DEC=∠C，易證得∠B=∠C，又由同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形，即可證得結論．

解答：

證明：∵AB∥DE，∴∠DEC=∠B，∵∠DEC=∠C，∴∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形．

點評：

此題考查了等腰梯形的判定．此題比較簡單，留意掌握同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形定理的運用，留意數形思想的運用．

47．（2013?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1）求證：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．

考點：

正方形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質即可得到：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．

解答：

證明：（1）∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°

∴PM=MD，∴四邊形MPND是正方形．

點評：

本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、矩形的判定和性質以及正方形的判定，解題的關鍵是熟記各種幾何圖形的性質和判定．

48．（2013?南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求證：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的長．

考點：

等腰梯形的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據有兩角對應相等的三角形類似，即可證得：△APB∽△PEC；

（2）首先過點A作AF∥CD交BC于點F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據類似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：

（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°，∵∠APC=∠B+∠BAP，即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∵∠APE=∠B，∴∠BAP=∠EPC，∴△APB∽△PEC；

（2）解：過點A作AF∥CD交BC于點F，∵AD∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠AFB=∠C=∠B=60°，∴△ABF為等邊三角形，∴CF=AD=3，AB=BF=7﹣3=4，∵△APB∽△PEC，∴，設BP=x，則PC=7﹣x，∵EC=3，AB=4，∴，解得：x1=3，x2=4，經檢驗：x1=3，x2=4是原分式方程的解，∴BP的長為：3或4．

點評：

此題考查了等腰梯形的性質、類似三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意數形思想與方程思想的運用．

49．（2013?黃岡）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．

考點：

菱形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據菱形的對角線互相平分可得OD=OB，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=OB，然后根據等邊對等角求出∠OHB=∠OBH，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根據等角的余角相等證明即可．

解答：

證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=BD=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．

點評：

本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，以及等角的余角相等，熟記各性質并理清圖中角度的關系是解題的關鍵．

50．（2013?防城港）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延伸線與BC的延伸線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．

（1）求證：四邊形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．

考點：

直角梯形；矩形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）根據軸對稱的性質可得AD=DF，DE⊥AF，然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出∠DAF=∠EDF=45°，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BGE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據矩形的判定證明即可；

（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據梯形的面積求出CD的長，再根據等腰直角三角形的性質求出DN，即可得解．

解答：

（1）證明：∵點A、F關于BD對稱，∴AD=DF，DE⊥AF，又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴∠DAF=∠EDF=45°，∵AD∥BC，∴∠G=∠GAD=45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∵M，N分別是BG，DF的中點，∴EM⊥BC，EN⊥CD，又∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD，∴四邊形EMCN是矩形；

（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=CD，∴S梯形ABCD=（AD+BC）?CD=（2+CD）?CD=，即CD2+2CD﹣15=0，解得CD=3，CD=﹣5（舍去），∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2，∵N是DF的中點，∴EN=DN=DF=×2=1，∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1．

點評：

本題考查了直角梯形的性質，軸對稱的性質，矩形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，純熟掌握軸對稱的性質判斷出相關的等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．

51．（2013?鄂爾多斯）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．

（1）求證：AF=DE；

（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長．

考點：

等腰梯形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．版權一切

專題：

探求型．

分析：

（1）根據等腰梯形的性質和等邊三角形的性質以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可；

（2）如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長．

解答：

（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，∴△AED≌△DFA（SAS），∴AF=DE；

（2）解：如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，則有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB=BH=AH，同理：CD=CK=KD，∵S梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD==，而S△ABE=S△DCF=a2，∴=2×a2，∴BC=a．

點評：

本題綜合性的考查了等腰梯形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定、全等三角形的性質以及等于直角三角形的性質和梯形、三角形的面積公式，屬于中檔標題．

52．（2013?朝陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，過點A作AE∥DC交BC于點E．

（1）求證：四邊形AECD是菱形．

（2）在（1）的條件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以點A為圓心，AE的長為半徑畫弧交BE于點F，連接AF，在圖中，用尺規補齊圖形（僅保留作圖痕跡），并證明點F是BE的中點．

考點：

梯形；等邊三角形的判定與性質；菱形的判定；作圖—復雜作圖．版權一切

分析：

（1）由AD∥BC，AE∥DC，可證得四邊形AECD是平行四邊形，又由AD=CD，即可證得四邊形AECD是菱形．

（2）由∠B=30°，AE⊥AB，AE=AF，易得△AEF是等邊三角形，繼而證得△ABF是等腰三角形，則可證得BF=AF=EF，即可得點F是BE的中點．

解答：

證明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AD=CD，∴四邊形AECD是菱形．

（2）補齊圖形：

證明：∵∠B=30°，AE⊥AB，∴∠AEB=60°，∵AE=AF，∴△AEF是等邊三角形，∴AF=EF，∠EAF=60°，∴∠BAF=90°﹣∠EAF=30°，∴∠BAF=∠B，∴AF=BF，∴BF=EF，即點F是BE的中點．

點評：

此題考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，留意掌握數形思想的運用．

53．（2013?鞍山）如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求證：

（1）△AFD≌△CEB；

（2）四邊形ABCD是平行四邊形．

考點：

平行四邊形的判定；全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用兩邊和它們的夾角對應相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理容易證明△AFD≌△CEB．

（2）由△AFD≌△CEB，容易證明AD=BC且AD∥BC，可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

解答：

證明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．

又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．

點評：

此題次要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四邊形的判定，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

54．（2012?鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC．

（1）求證：DE=EC；

（2）若AD=BC，試判斷四邊形ABED的外形，并闡明理由．

考點：

梯形；直角三角形的性質；菱形的判定．版權一切

分析：

（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角對等邊，即可證得DE=EC；

（2）易證得AD=BE，AD∥BC，即可得四邊形ABED是平行四邊形，又由BE=DE，即可得四邊形ABED是菱形．

解答：

（1）證明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，∴∠EDC=∠BDC﹣∠BDE=90°﹣∠BDE，又∵∠C=90°﹣∠DBC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；

（2）若AD=BC，則四邊形ABED是菱形．

證明：∵∠BDE=∠DBC．

∴BE=DE，∵DE=EC，∴DE=BE=EC=BC，∵AD=BC，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵BE=DE，∴?ABED是菱形．

點評：

此題考查了梯形的性質、等腰三角形的判定與性質以及菱形的判定．此題綜合性較強，難度適中，留意數形思想的運用．

55．（2012?襄陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）當AB與AC具有什么地位關系時，四邊形AECD是菱形？請闡明理由，并求出此時菱形AECD的面積．

考點：

等腰梯形的判定；全等三角形的判定與性質；菱形的判定與性質．版權一切

分析：

（1）由AD∥BC，由平行線的性質，可證得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性質，可得∠EAD=∠EDA，則可得∠DEC=∠AEB，繼而證得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；

（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易證得四邊形AECD是菱形；過A作AG⊥BE于點G，易得△ABE是等邊三角形，即可求得答案AG的長，繼而求得菱形AECD的面積．

解答：

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）當AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形．

證明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形．

∴ABED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴平行四邊形AECD是菱形．

過A作AG⊥BE于點G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC?AG=2×=2．

點評：

此題考查了等腰梯形的判定、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質以及菱形的判定與性質．此題綜合性較強，難度適中，留意數形思想的運用．

56．（2012?湘西州）如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD=5cm，OD=3cm；

過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E．

（1）求OC的長；

（2）求證：四邊形OBEC為矩形；

（3）求矩形OBEC的面積．

考點：

矩形的判定與性質；菱形的性質．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；

（2）利用矩形的定義即可證明；

（3）利用矩形的面積公式即可直接求解．

解答：

解：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴直角△OCD中，OC===4cm；

（2）∵CE∥DB，BE∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形，又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，∴平行四邊形OBEC為矩形；

（3）∵OB=0D，∴S矩形OBEC=OB?OC=4×3=12（cm2）．

點評：

本題考查了菱形的性質以及矩形的判定，理解菱形的對角線的關系是關鍵．

57．（2012?蘇州）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延伸線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．

（1）求證：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度數．

考點：

梯形；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）先根據題意得出∠ABE=∠CDA，然后題意條件利用SAS可判斷三角形的全等；

（2）根據題意可分別求出∠AEC及∠ACE的度數，在△AEC中利用三角形的內角和定理即可得出答案．

解答：

（1）證明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，∴∠ABE=∠CDA

在△ABE和△CDA中，∴△ABE≌△CDA．

（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，∴∠AEB=∠ACE，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°．

點評：

此題考查了梯形、全等三角形的判定及性質，解答本題的關鍵是根據梯形及題意條件得出一些線段之間的關系，留意所學知識的融會貫通．

58．（2012?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．

（1）求證：DE=DF；

（2）當∠A=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，并證明你的結論．

考點：

正方形的判定；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）利用“HL”證明Rt△BDF≌Rt△CDE，即可得到DE=DF；

（2）由已知可證明它是矩形，由于有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正方形．

解答：

（1）證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE=DF；

（2）答：四邊形AFDE是正方形．

證明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四邊形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四邊形AFDE是正方形．

點評：

此題次要考查先生對全等三角形的判定和性質及正方形的判定方法的掌握情況．

59．（2012?鄂爾多斯）已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延伸線于點E，且AE=AC，連AG．

（1）求證：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的長．

考點：

直角梯形；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）由直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC，AE=AC，根據AAS易證得△ABC≌△AFE，根據全等三角形的對應邊相等，即可得AB=AF，繼而可得FC=BE；

（2）利用等腰三角形的三線合一定理可得AF=AC=AE，進而求得一些角是30°，次要利用AD長，直角三角形勾股定理來求解即可求得答案．

解答：

（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，∴∠ABC=∠AFE．

∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．

∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．

∴AG=CG，∠E=30°．

∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．

點評：

本題考查直角梯形、等腰三角形的性質、全等三角形的性質與判定．此題知識點多，綜合性強．打破此題的關鍵在于問證得△ABC≌△AFE，第二問利用等腰△ADC的性質得AF=AC=AE．從而得出∠E=30°，留意數形思想的運用．

60．（2012?濱州）我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似的，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別是AB，CD的中點，那么EF就是梯形ABCD的中位線．經過觀察、測量，猜想EF和AD、BC有怎樣的地位和數量關系？并證明你的結論．

考點：

梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理．版權一切

專題：

探求型．

分析：

連接AF并延伸交BC于點G，則△ADF≌△GCF，可以證得EF是△ABG的中位線，利用三角形的中位線定理即可證得．

解答：

解：結論為：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下：

連接AF并延伸交BC于點G．

∵AD∥BC，∴∠DAF=∠G，在△ADF和△GCF中，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AF=FG，AD=CG．

又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF=BG，即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．

點評：

本題猜想并且證明了梯形的中位線定理，經過輔助線轉化成三角形的中位線的成績．

第五篇：「中考數學」三角形：真題專項突破沖刺提分60題（含答案解析）

【中考數學】三角形：精選真題專項打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?重慶）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC．

（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME．

求證：①ME⊥BC；②DE=DN．

2．（2014?張家界）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．

（1）證明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；

（3）請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．

3．（2014?湘潭）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖點C在AB的延伸線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作不斷線（在山的旁邊），與L相交于D點，經測量∠ABD=135°，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（≈1.414，到1米）

4．（2014?西寧）課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖．

（1）求證：△ADC≌△CEB；

（2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）．

5．（2014?溫州）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延伸線于點F．

（1）求∠F的度數；

（2）若CD=2，求DF的長．

6．（2014?溫州）勾股定理奧秘而美好，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，上面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．

證明：連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a．

∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）

∴b2+ab=c2+a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

請參照上述證法，利用圖2完成上面的證明．

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．

求證：a2+b2=c2

證明：連結

∵S五邊形ACBED=

又∵S五邊形ACBED=

∴

∴a2+b2=c2．

7．（2014?）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．請殘缺闡明為何△ABC與△DEC全等的理由．

8．（2014?遂寧）如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：

sin2A1+sin2B1=　　　　　　；sin2A2+sin2B2=　　　　　??；sin2A3+sin2B3=　　　　　　．

（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　　　　　?。?/p>

（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想．

（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．

9．（2014?邵陽）如圖，已知點A、F、E、C在同不斷線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．

（1）從圖中任找兩組全等三角形；

（2）從（1）中任選一組進行證明．

10．（2014?南京）【成績提出】

學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研討．

【初步考慮】

我們不妨將成績用符號言語表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探求．

【深入探求】

種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．

（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．

（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．

11．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連結MN，與AC、BC分別交于點D、E，連結AE，則：

（1）∠ADE=　　　　　　°；

（2）AE　　　　　　EC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）當AB=3，AC=5時，△ABE的周長=　　　　　　．

12．（2014?錦州）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連結EF交CD于點M，連接AM．

（1）求證：EF=AC．

（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數量關系．

13．（2014?吉林）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．

14．（2014?黃石）小明聽說“武黃城際列車”曾經開通，便設計了如下成績：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，如今可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B．設AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．請你協助小明處理以下成績：

（1）求A、C之間的距離；（參考數據=4.6）

（2）若客車的平均速度是60km/h，市內的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短工夫到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車？請闡明理由．（不計候車工夫）

15．（2014?衡陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．

求證：△BED≌△CFD．

16．（2014?菏澤）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求線段DE的長．

（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．

17．（2014?菏澤）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延伸交AB的延伸線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若=，求cos∠ABC的值．

18．（2014?德州）成績背景：

如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探求圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．

小王同窗探求此成績的方法是，延伸FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是　　　　　　；

探求延伸：

如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論能否仍然成立，并闡明理由；

實踐運用：

如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮的距離相等，接到舉動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

19．（2013?淄博）如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．

20．（2013?云南）如圖，點B在AE上，點D在AC上，AB=AD．請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個）．

（1）你添加的條件是　　　　　　．

（2）添加條件后，請闡明△ABC≌△ADE的理由．

21．（2013?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的長；

（2）求△ADB的面積．

22．（2013?仙桃）如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點M，BC與ED，AD分別交于點F，N．請寫出圖中兩對全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對加以證明．

23．（2013?天水）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的長和四邊形ABCD的面積．

24．（2013?隨州）如圖，點F、B、E、C在同不斷線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明．

提供的三個條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

25．（2013?寧德）如圖，點D、A、C在同不斷線上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求證：△ABC≌△CDE．

26．（2013?荊州）如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，連結BE．請找出一對全等三角形，并闡明理由．

27．（2013?杭州）（1）先求解下列兩題：

①如圖①，點B，D在射線AM上，點C，E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數；

②如圖②，在直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B，C的橫坐標都是3，且BC=2，點D在AC上，且橫坐標為1，若反比例函數的圖象點B，D，求k的值．

（2）解題后，你發現以上兩小題有什么共同點？請簡單地寫出．

28．（2013?貴陽）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數式a2+b2和c2的大小關系，探求△ABC的外形（按角分類）．

（1）當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為　　　　　　三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為　　　　　　三角形．

（2）猜想，當a2+b2　　　　　　c2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2　　　　　　c2時，△ABC為鈍角三角形．

（3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的外形，并求出對應的c的取值范圍．

29．（2013?佛山）課本指出：公認的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需求經過推理的方法證明．

（1）敘說三角形全等的判定方法中的推論AAS；

（2）證明推論AAS．

要求：敘說推論用文字表達；用圖形中的符號表達已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明根據．

30．（2013?防城港）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求證：△ABC≌△AED．

31．（2013?鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓最少20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數數就知道了！”小明說：“有本事，你不用數也能明白！”小華想了想說：“沒成績！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數據如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四點在同不斷線上）問：

（1）樓高多少米？

（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請闡明理由．（參考數據：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

32．（2013?郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）證明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之間的數量關系；

（3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數關系式．x為何值時，S有值？并求出S的值．

33．（2013?朝陽）某段河流的兩岸是平行的，數學興味小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：

①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一顆樹A；

②沿河岸直走20步有一樹C，繼續前行20步到達D處；

③從D處沿河岸垂直的方向行走，當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處中止行走；

④測得DE的長就是河寬AB．

請你證明他們做法的正確性．

34．（2013?包頭）如圖，一根長6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′．

（1）求OB的長；

（2）當AA′=1米時，求BB′的長．

35．（2012?遵義）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延伸線上一點，與點P同時以相反的速度由B向CB延伸線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；

（2）當運動過程中線段ED的長能否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請闡明理由．

36．（2012?珠海）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．

（1）用尺規作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）設DN與AM交于點F，判斷△ADF的外形．（只寫結果）

37．（2012?棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求證：AB=BC；

（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE=AE+CD．

38．（2012?益陽）如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求證：AB=AC．

39．（2012?湘潭）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點與C點重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F．

（1）猜想AC與BD的地位關系，并證明你的結論；

（2）求線段BD的長．

40．（2012?梧州）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD延伸線上的一點，且CE=CD．

求證：∠B=∠E．

41．（2012?紹興）聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．

定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．

舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心．

運用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數．

探求：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探求PA的長．

42．（2012?南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角．

（1）已知∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角，①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=　　　　　　°；

②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數；

（2）已知O2是⊙O1外一點，以O2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點，∠APB是⊙O1上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探求∠APB與∠MAN、∠A之間的數量關系．

43．（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：

如圖①，連接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．

∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如圖②，P為BC延伸線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=　　　　　?。cP到AB邊的距離PE=　　　　　　．

44．（2012?黃岡）

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于點E，垂足為點D，連接BE，則∠EBC的度數為　　　　　　．

45．（2012?淮安）如圖，△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度數．

46．（2012?河池）如圖，在10×10的正方形網格中，△ABC的頂點和線段EF的端點都在邊長為1的小正方形的頂點上．

（1）填空：tanA=，AC=（結果保留根號）；

（2）請你在圖中找出一點D（僅一個點即可），連接DE、DF，使以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，并加以證明．

47．（2012?撫順）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點D是直線BC上的一個動點，連接AD，并以AD為邊在AD的右側作等邊△ADE．

（1）如圖①，當點E恰好在線段BC上時，請判斷線段DE和BE的數量關系，并圖①證明你的結論；

（2）當點E不在直線BC上時，連接BE，其它條件不變，（1）中結論能否成立？若成立，請圖②給予證明；若不成立，請直接寫出新的結論；

（3）若AC=3，點D在直線BC上挪動的過程中，能否存在以A、C、D、E為頂點的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長度；如果不存在，請闡明理由．

48．（2012?鄂州）小明是一位善于考慮的先生，在數學課上，他將一副直角三角板如圖地位擺放，A、B、D在同不斷線上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，試求BD的長．

49．（2012?大慶）已知等邊△ABC的邊長為3個單位，若點P由A出發，以每秒1個單位的速度在三角形的邊上沿A→B→C→A方向運動，次回到點A處中止運動，設AP=S，用t表示運動工夫．

（1）當點P由B到C運動的過程中，用t表示S；

（2）當t取何值時，S等于（求出一切的t值）；

（3）根據（2）中t的取值，直接寫出在哪些時段AP？

50．（2012?常州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF．求證：AE=AF．

51．（2011?株洲）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．

（1）求∠ECD的度數；

（2）若CE=5，求BC長．

52．（2011?棗莊）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：

（1）畫線段AD∥BC且使AD=BC，連接CD；

（2）線段AC的長為，CD的長為，AD的長為　　　　　?。?/p>

（3）△ACD為　　　　　　三角形，四邊形ABCD的面積為　　　　　??；

（4）若E為BC中點，則tan∠CAE的值是　　　　　?。?/p>

53．（2011?隨州）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF長．

54．（2011?沈陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度數；

（2）求證：DC=AB．

55．（2011?青海）認真閱讀上面關于三角形內外角平分線所夾角的探求片段，完成所提出的成績．

探求1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，經過分析發現∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探求2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請闡明理由．

探求3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明）

結論：　　　　　?。?/p>

56．（2011?寧波）閱讀上面的情景對話，然后解答成績：

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE=AD，CB=CE．

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．

57．（2011?牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長．

58．（2011?梅州）如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．

（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP=　　　　　　；（直接寫結果）

（2）連接AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小能否會隨點P的挪動面變化？請闡明理由；

（3）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小能否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

59．（2011?連云港）某課題研討小組就圖形面積成績進行專題研討，他們發現如下結論：

（1）有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；

（2）有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；

…

現請你繼續對上面成績進行探求，探求過程可直接運用上述結論．（S表示面積）

成績1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC．經探求知=S△ABC，請證明．

成績2：若有另一塊三角形紙板，可將其與成績1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1，Q2三等分邊DC．請探求與S四邊形ABCD之間的數量關系．

成績3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求．

成績4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1，S2，S3，S4．請直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個等式．

60．（2011?樂山）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數．

中考數學提分沖刺真題精析：三角形

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?重慶）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC．

（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME．

求證：①ME⊥BC；②DE=DN．

考點：

全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；等腰直角三角形．版權一切

專題：

證明題；幾何綜合題．

分析：

（1）根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；

（2）①過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求解即可；

②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根據等角對等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．

解答：

證明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；

（2）①如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；

②由題意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質并作輔助線構造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關鍵，難點在于一問根據角的度數得到相等的角．

2．（2014?張家界）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．

（1）證明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；

（3）請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．

考點：

全等三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題；開放型．

分析：

（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF．

（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，由于OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據勾股定理全等AB長，進而求得四邊形的面積．

（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

解答：

（1）證明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是軸對稱圖形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四邊形ABCD的周長=4AB=4×2=8．

（3）當EB⊥CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．

點評：

此題次要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．

3．（2014?湘潭）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖點C在AB的延伸線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作不斷線（在山的旁邊），與L相交于D點，經測量∠ABD=135°，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（≈1.414，到1米）

考點：

勾股定理的運用．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米進行計算即可．

解答：

解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400≈566（米），答：直線L上距離D點566米的C處開挖．

點評：

此題次要考查了勾股定理的運用，在運用勾股定理處理實踐成績時勾股定理與方程的是處理實踐成績常用的方法，關鍵是從題中籠統出勾股定理這一數學模型，畫出精確的表示圖．領會數形的思想的運用．

4．（2014?西寧）課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖．

（1）求證：△ADC≌△CEB；

（2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小（每塊磚的厚度相等）．

考點：

全等三角形的運用；勾股定理的運用．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）根據題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可．

（2）由題意得：AD=4a，BE=3a，根據全等可得DC=BE=3a，根據勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．

解答：

（1）證明：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）解：由題意得：

∵一塊墻磚的厚度為a，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴（4a）2+（3a）2=252，∵a＞0，解得a=5，答：砌墻磚塊的厚度a為5cm．

點評：

此題次要考查了全等三角形的運用，以及勾股定理的運用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．

5．（2014?溫州）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延伸線于點F．

（1）求∠F的度數；

（2）若CD=2，求DF的長．

考點：

等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）根據平行線的性質可得∠EDC=∠B=60°，根據三角形內角和定理即可求解；

（2）易證△EDC是等邊三角形，再根據直角三角形的性質即可求解．

解答：

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形．

∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．

點評：

本題考查了等邊三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．

6．（2014?溫州）勾股定理奧秘而美好，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，上面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．

證明：連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a．

∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）

∴b2+ab=c2+a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

請參照上述證法，利用圖2完成上面的證明．

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．

求證：a2+b2=c2

證明：連結　BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，∵S五邊形ACBED=　S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五邊形ACBED=　S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴　ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．

考點：

勾股定理的證明．版權一切

專題：

推理填

空

題．

分析：

首先連結BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，表示出S五邊形ACBED，進而得出答案．

解答：

證明：連結BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．

點評：

此題次要考查了勾股定理得證明，表示出五邊形面積是解題關鍵．

7．（2014?）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．請殘缺闡明為何△ABC與△DEC全等的理由．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據∠BCE=∠ACD=90°，可得∠3=∠5，又根據∠BAE=∠1+∠2=90°，∠2+∠D=90°，可得∠1=∠D，繼而根據AAS可判定△ABC≌△DEC．

解答：

解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．

點評：

本題考查了全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

8．（2014?遂寧）如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：

sin2A1+sin2B1=　1　；sin2A2+sin2B2=　1??；sin2A3+sin2B3=　1?。?/p>

（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　1?。?/p>

（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想．

（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．

考點：

勾股定理；互余兩角三角函數的關系；解直角三角形．版權一切

專題：

幾何綜合題；規律型．

分析：

（1）由前面的結論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用銳角三角函數的定義得出sinA=，si=，則sin2A+sin2B=，再根據勾股定理得到a2+b2=c2，從而證明sin2A+sin2B=1；

（3）利用關系式sin2A+sin2B=1，已知條件sinA=，進行求解．

解答：

解：（1）由圖可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；

sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；

sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．

觀察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．

（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．

∵sinA=，si=，∴sin2A+sin2B=，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=1．

（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴si==．

點評：

本題考查了在直角三角形中互余兩角三角函數的關系，勾股定理，銳角三角函數的定義，比較簡單．

9．（2014?邵陽）如圖，已知點A、F、E、C在同不斷線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．

（1）從圖中任找兩組全等三角形；

（2）從（1）中任選一組進行證明．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據標題所給條件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；

（2）根據AB∥CD可得∠1=∠2，根據AF=CE可得AE=FC，然后再證明△ABE≌△CDF即可．

解答：

解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；

（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．

點評：

此題次要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

10．（2014?南京）【成績提出】

學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研討．

【初步考慮】

我們不妨將成績用符號言語表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探求．

【深入探求】

種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．

（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據　HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．

（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若　∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．

考點：

全等三角形的判定與性質；作圖—運用與設計作圖．版權一切

專題：

壓軸題；探求型．

分析：

（1）根據直角三角形全等的方法“HL”證明；

（2）過點C作CG⊥AB交AB的延伸線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延伸線于H，根據等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；

（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；

（4）根據三種情況結論，∠B不小于∠A即可．

解答：

（1）解：HL；

（2）證明：如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延伸線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延伸線于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：如圖，△DEF和△ABC不全等；

（4）解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．

故答案為：（1）HL；（4）∠B≥∠A．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，運用與設計作圖，純熟掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，閱讀量較大，審題要認真細心．

11．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連結MN，與AC、BC分別交于點D、E，連結AE，則：

（1）∠ADE=　90　°；

（2）AE　=　EC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）當AB=3，AC=5時，△ABE的周長=　7?。?/p>

考點：

線段垂直平分線的性質；勾股定理的運用．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，故可得出結論；

（2）根據線段垂直平分線的性質即可得出結論；

（3）先根據勾股定理求出BC的長，進而可得出結論．

解答：

解：（1）∵由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，∴∠ADE=90°．

故答案為：90°；

（2）∵MN是線段AC的垂直平分線，∴AE=EC．

故答案為：=；

（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵AE=CE，∴△ABE的周長=AB+BC=3+4=7．

故答案為：7．

點評：

本題考查的是線段垂直平分線的性質以及勾股定理的運用，熟知線段垂直平分線的性質是解答此題的關鍵．

12．（2014?錦州）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連結EF交CD于點M，連接AM．

（1）求證：EF=AC．

（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數量關系．

考點：

直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質；等腰直角三角形．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得CE⊥BD，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=AC；

（2）判斷出△AEC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EF垂直平分AC，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代換即可得解．

解答：

（1）證明：∵CD=CB，點E為BD的中點，∴CE⊥BD，∵點F為AC的中點，∴EF=AC；

（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵點F為AC的中點，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM，∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM．

點評：

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形的性質等腰直角三角形的判定與性質，難點在于（2）判斷出EF垂直平分AC．

13．（2014?吉林）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根據全等的條件可得出結論．

解答：

證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC（SAS）．

點評：

本題考查了全等三角形的判定，判斷三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判斷兩個直角三角形全等的方法HL．

14．（2014?黃石）小明聽說“武黃城際列車”曾經開通，便設計了如下成績：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，如今可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B．設AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．請你協助小明處理以下成績：

（1）求A、C之間的距離；（參考數據=4.6）

（2）若客車的平均速度是60km/h，市內的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短工夫到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車？請闡明理由．（不計候車工夫）

考點：

勾股定理的運用．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）過點C作AB的垂線，交AB的延伸線于E點，利用勾股定理求得AC的長即可；

（2）分別求得乘車工夫，然后比較即可得到答案．

解答：

解：（1）過點C作AB的垂線，交AB的延伸線于E點，∵∠ABC=120°，BC=20，∴BE=10，在△ACE中，∵AC2=8100+300，∴；

（2）乘客車需工夫（小時）；

乘列車需工夫（小時）；

∴選擇城際列車．

點評：

本題考查了勾股定理的運用，解題的關鍵是正確的構造直角三角形．

15．（2014?衡陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．

求證：△BED≌△CFD．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先根據AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．

解答：

證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS）．

點評：

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

16．（2014?菏澤）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求線段DE的長．

（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．

考點：

等腰三角形的判定與性質；分式的化簡求值；平行線的性質；直角三角形斜邊上的中線．版權一切

分析：

（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可．

（2）化簡當前，用全體思想代入即可得到答案．

解答：

解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．

（2）原式=

=

∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，原式=

點評：

本題考查了平行線的性質，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的運用，關鍵是求出DE=BE=AE．學會用全體思想解答有關成績是我們學習的關鍵．

17．（2014?菏澤）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延伸交AB的延伸線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若=，求cos∠ABC的值．

考點：

勾股定理；切線的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）如圖，連接OC．欲證DE是⊙O的切線，只需證得OC⊥DE；

（2）由=，可設CE=2k（k＞0），則DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．則tan∠E==．所以在Rt△OCE中，tan∠E==．

在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．

解答：

（1）證明：如圖，連接OC．

∵AD是過點A的切線，AB是⊙O的直徑，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．

∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵OC=OB，∴∠2=∠4．

∴∠1=∠3．

在△COD和△AOD中，∴△COD≌△AOD（SAS）

∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于點C．

∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；

（2）解：由=，可設CE=2k（k＞0），則DE=3k，∴AD=DC=k．

∴在Rt△DAE中，AE==2k．

∴tan∠E==．

∵在Rt△OCE中，tan∠E==．

∴=，∴OC=OA=．

∴在Rt△AOD中，OD==k，∴cos∠ABC=cos∠AOD==．

點評：

本題考查了切線的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．

18．（2014?德州）成績背景：

如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探求圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．

小王同窗探求此成績的方法是，延伸FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是　EF=BE+DF??；

探求延伸：

如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論能否仍然成立，并闡明理由；

實踐運用：

如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮的距離相等，接到舉動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

考點：

全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

壓軸題；探求型．

分析：

成績背景：根據全等三角形對應邊相等解答；

探求延伸：延伸FD到G，使DG=BE，連接AG，根據同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可；

實踐運用：連接EF，延伸AE、BF相交于點C，然后求出∠EAF=∠AOB，判斷出符合探求延伸的條件，再根據探求延伸的結論解答即可．

解答：

解：成績背景：EF=BE+DF；

探求延伸：EF=BE+DF仍然成立．

證明如下：如圖，延伸FD到G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；

實踐運用：如圖，連接EF，延伸AE、BF相交于點C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探求延伸中的條件，∴結論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，讀懂成績背景的求解思緒，作輔助線構造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關鍵，也是本題的難點．

19．（2013?淄博）如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．

考點：

等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據AD∥BC，可求證∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代換可求證∠ABD=∠ADB，然后即可得出結論．

解答：

證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．

點評：

此題次要考查先生對等腰三角形的判定與性質和平行線性質的理解和掌握，此題很簡單，屬于基礎題．

20．（2013?云南）如圖，點B在AE上，點D在AC上，AB=AD．請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個）．

（1）你添加的條件是　∠C=∠E?。?/p>

（2）添加條件后，請闡明△ABC≌△ADE的理由．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

開放型．

分析：

（1）可以根據全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件；

（2）根據全等三角形的判定方法證明即可．

解答：

解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，綜上所述，可以添加的條件為∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；

故答案為：∠C=∠E；

（2）選∠C=∠E為條件．

理由如下：在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．

點評：

本題次要考查了全等三角形的判定，開放型標題，根據不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的條件也不相反．

21．（2013?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的長；

（2）求△ADB的面積．

考點：

角平分線的性質；勾股定理．版權一切

分析：

（1）根據角平分線性質得出CD=DE，代入求出即可；

（2）利用勾股定理求出AB的長，然后計算△ADB的面積．

解答：

解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面積為S△ADB=AB?DE=×10×3=15．

點評：

本題考查了角平分線性質和勾股定理的運用，留意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

22．（2013?仙桃）如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點M，BC與ED，AD分別交于點F，N．請寫出圖中兩對全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對加以證明．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

分析：

找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫出來，選擇一組證明即可．

解答：

解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．

選擇△AEM≌△ACN，理由如下：

∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，∴∠EAM=∠CAN，∵在△AEM和△ACN中，∴△AEM≌△ACN（ASA）．

點評：

本題考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性質；判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

23．（2013?天水）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的長和四邊形ABCD的面積．

考點：

勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權一切

分析：

利用等腰直角三角形的性質得出EH=DH=1，進而得出再利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出CD的長，求出AC，AB的長即可得出四邊形ABCD的面積．

解答：

解：過點D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四邊形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．

點評：

此題次要考查了解直角三角形和三角形面積求法，根據已知構造直角三角形進而得出直角邊的長度是解題關鍵．

24．（2013?隨州）如圖，點F、B、E、C在同不斷線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明．

提供的三個條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

分析：

由BF=CE可得EF=CB，再有條件∠ABC=∠DEF不能證明△ABC≌△DEF；可以加上條件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF．

解答：

解：不能；

選擇條件：①AB=DE；

∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS）．

點評：

此題次要考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

25．（2013?寧德）如圖，點D、A、C在同不斷線上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求證：△ABC≌△CDE．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先根據AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上條件AB=CD，∠B=∠D可利用ASA定理證明三角形全等．

解答：

證明：∵AB∥CE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（ASA）．

點評：

此題次要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

26．（2013?荊州）如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，連結BE．請找出一對全等三角形，并闡明理由．

考點：

全等三角形的判定；等腰直角三角形．版權一切

分析：

分析

根據等角的余角相等可得出∠ACD=∠BCE，CA=CB，CD=CE，可證明△ACD≌△BCE．

解答：

解：△ACD≌△BCE．

證明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE．

∵△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CA=CB，CD=CE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是掌握三角形全等的判定定理．

27．（2013?杭州）（1）先求解下列兩題：

①如圖①，點B，D在射線AM上，點C，E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數；

②如圖②，在直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B，C的橫坐標都是3，且BC=2，點D在AC上，且橫坐標為1，若反比例函數的圖象點B，D，求k的值．

（2）解題后，你發現以上兩小題有什么共同點？請簡單地寫出．

考點：

等腰三角形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）①根據等邊對等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，計算即可求解；

②先根據反比例函數圖象上的點的坐標特征表示出點B的坐標，再表示出點C的坐標，然后根據AC∥x軸可得點C、D的縱坐標相反，從而表示出點D的坐標，再代入反比例函數解析式進行計算即可得解．

（2）從數學思想上考慮解答．

解答：

解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根據三角形的外角性質，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；

②∵點B在反比例函數y=圖象上，點B，C的橫坐標都是3，∴點B（3，），∵BC=2，∴點C（3，+2），∵AC∥x軸，點D在AC上，且橫坐標為1，∴D（1，+2），∵點D也在反比例函數圖象上，∴+2=k，解得，k=3；

（2）用已知的量經過關系去表達未知的量，運用轉換的思想和方法．（開放題）

點評：

本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，以及反比例函數圖象上點的坐標特征，是基礎題．

28．（2013?貴陽）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數式a2+b2和c2的大小關系，探求△ABC的外形（按角分類）．

（1）當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為　銳角　三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為　鈍角　三角形．

（2）猜想，當a2+b2?。尽2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2　＜　c2時，△ABC為鈍角三角形．

（3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的外形，并求出對應的c的取值范圍．

考點：

勾股定理的逆定理；勾股定理．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可；

（2）根據（1）中的計算作出判斷即可；

（3）根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解．

解答：

解：（1）兩直角邊分別為6、8時，斜邊==10，∴△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形；

當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形；

故答案為：銳角；鈍角；

（2）當a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形；

當a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形；

故答案為：＞；＜；

（3）∵c為最長邊，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴當4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形；

②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴當c=2時，這個三角形是直角三角形；

③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴當2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形．

點評：

本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂標題信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數量關系是解題的關鍵．

29．（2013?佛山）課本指出：公認的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需求經過推理的方法證明．

（1）敘說三角形全等的判定方法中的推論AAS；

（2）證明推論AAS．

要求：敘說推論用文字表達；用圖形中的符號表達已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明根據．

考點：

全等三角形的判定；命題與定理．版權一切

分析：

（1）兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．

（2）根據三角形內角和定理和全等三角形的判斷定理ASA來證明．

解答：

解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等．

（2）已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．

求證：△ABC≌△DEF．

證明：如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代換）．

又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內角和定理），∴∠B=∠E．

∵在△ABC與△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．

點評：

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

30．（2013?防城港）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求證：△ABC≌△AED．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先根據∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上條件AB=AE，∠C=∠D可證明△ABC≌△AED．

解答：

證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（AAS）．

點評：

此題次要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

31．（2013?鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓最少20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數數就知道了！”小明說：“有本事，你不用數也能明白！”小華想了想說：“沒成績！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數據如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四點在同不斷線上）問：

（1）樓高多少米？

（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請闡明理由．（參考數據：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

考點：

勾股定理的運用．版權一切

專題：

運用題．

分析：

（1）設樓高為x，則CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據AC+CD+BD=150，求出x的值即可；

（2）根據（1）求出的樓高x，然后求出20層樓的高度，比較x和20層樓高的大小即可判斷誰的觀點正確．

解答：

解：（1）設樓高為x米，則CF=DE=x米，∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，∴AC=x米，BD=x米，∴x+x=150﹣10，解得x==70（﹣1）（米），∴樓高70（﹣1）米．

（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，∴我支持小華的觀點，這樓不到20層．

點評：

本題考查了勾股定理的運用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用方程思想求解，難度普通．

32．（2013?郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）證明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之間的數量關系；

（3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數關系式．x為何值時，S有值？并求出S的值．

考點：

等腰三角形的判定與性質；二次函數的最值；解直角三角形．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）根據等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；

（2）根據等腰三角形三線合一的性質求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長，再根據結果整理可得EM+FN=BH；

（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S與x的關系式，然后利用二次函數的最值成績解答．

解答：

（1）證明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM?tanC=?k=，同理：FN=AN?tanA=?k=4k﹣，由于BH=AH?tanA=×8?k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；

（3）解：當k=4時，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x?2x=x2，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，當x=4時，S有值32．

點評：

本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數，二次函數的最值成績，表示出各三角形的高線是解題的關鍵，也是本題的難點．

33．（2013?朝陽）某段河流的兩岸是平行的，數學興味小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：

①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一顆樹A；

②沿河岸直走20步有一樹C，繼續前行20步到達D處；

③從D處沿河岸垂直的方向行走，當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處中止行走；

④測得DE的長就是河寬AB．

請你證明他們做法的正確性．

考點：

全等三角形的運用．版權一切

分析：

將標題中的實踐成績轉化為數學成績，然后利用全等三角形的判定方法證得兩個三角形全等即可闡明其做法的正確性．

解答：

證明：如圖，由做法知：

在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）

∴AB=ED

即他們的做法是正確的．

點評：

本題考查了全等三角形的運用，解題的關鍵是將實踐成績轉化為數學成績．

34．（2013?包頭）如圖，一根長6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′．

（1）求OB的長；

（2）當AA′=1米時，求BB′的長．

考點：

勾股定理的運用；解直角三角形的運用．版權一切

分析：

（1）由已知數據解直角三角形AOB即可；

（2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據勾股定理求出OB′的長即可．

解答：

解：（1）根據題意可知：AB=6，∠ABO=60°，∠AOB=90°，在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=，∴OB=ABcos∠ABO=6cos60°=3米，∴OB的長為3米；

（2）根據題意可知A′B′=AB=6米，在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=，∴OA=ABsin∠ABO=6sin60°=9米，∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米，∴OA′=8米，在Rt△A′OB′中，OB′=2米，∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米．

點評：

本題考查了勾股定理的運用和角的銳角三角函數，是中考常見題型．

35．（2012?遵義）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延伸線上一點，與點P同時以相反的速度由B向CB延伸線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；

（2）當運動過程中線段ED的長能否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請闡明理由．

考點：

等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切

專題：

壓軸題；動點型．

分析：

（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；

（2）作QF⊥AB，交直線AB的延伸線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相反，可知AP=BQ，再根據全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．

解答：

解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，設AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；

（2）當點P、Q同時運動且速度相反時，線段DE的長度不會改變．理由如下：

作QF⊥AB，交直線AB的延伸線于點F，連接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵點P、Q速度相反，∴AP=BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四邊形PEQF是平行四邊形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE=3，∴點P、Q同時運動且速度相反時，線段DE的長度不會改變．

點評：

本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，根據題意作出輔助線構造出全等三角形是解答此題的關鍵．

36．（2012?珠海）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．

（1）用尺規作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）設DN與AM交于點F，判斷△ADF的外形．（只寫結果）

考點：

等腰三角形的判定與性質；作圖—基本作圖．版權一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）以D為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AD于G，交DC于H，分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫弧，兩弧交于N，作射線DN，交AM于F．

（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．

解答：

解：（1）如圖所示：

（2）△ADF的外形是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．

點評：

本題考查了作圖﹣基本作圖，等腰三角形的性質和判定的運用，次要培養先生的動手操作能力和推理能力，標題比較典型，難度也適中．

37．（2012?棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求證：AB=BC；

（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE=AE+CD．

考點：

勾股定理；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，進而得出AB=BC；

（2）首先證明CDEF是矩形，再根據△BAE≌△CBF，得出AE=BF，進而證明結論．

解答：

證明：（1）連接AC．

∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2．

∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2．

∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB=BC．

（2）過C作CF⊥BE于F．

∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四邊形CDEF是矩形．

∴CD=EF．

∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴在△BAE與△CBF中

∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）

∴AE=BF．

∴BE=BF+EF=AE+CD．

點評：

此題次要考查了勾股定理的運用以及三角形的全等證明，根據已知得出四邊形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是處理成績的關鍵．

38．（2012?益陽）如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求證：AB=AC．

考點：

等腰三角形的判定與性質；平行線的性質；等腰三角形的判定．版權一切

專題：

證明題；壓軸題．

分析：

根據角平分線的定義可得∠1=∠2，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠B，兩直線平行，內錯角相等可得∠2=∠C，從而得到∠B=∠C，然后根據等角對等邊即可得證．

解答：

證明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2，∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．

點評：

本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．

39．（2012?湘潭）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點與C點重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F．

（1）猜想AC與BD的地位關系，并證明你的結論；

（2）求線段BD的長．

考點：

等邊三角形的性質；勾股定理；平移的性質．版權一切

專題：

探求型．

分析：

（1）由平移的性質可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出結論；

（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的長．

解答：

解：（1）AC⊥BD．

∵△DCE由△ABC平移而成，∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，∴DE=BE，∴BD⊥DE，又∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC，∵△ABC是等邊三角形，∴BF是邊AC的中線，∴BD⊥AC，BD與AC互相垂直平分；

（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，∴△BED是直角三角形，∵BE=6，DE=3，∴BD===3．

點評：

本題考查的是等邊三角形的性質及平移的性質，熟知圖形平移后的圖形與原圖形全等的性質是解答此題的關鍵．

40．（2012?梧州）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD延伸線上的一點，且CE=CD．

求證：∠B=∠E．

考點：

等腰三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．版權一切

專題：

證明題；壓軸題．

分析：

先根據等腰梯形的性質得出∠B+∠ADC=180°，再根據兩角互補的性質得出∠B=∠CDE，再根據CE=CD即可得出∠CDE=∠E，進而得出結論．

解答：

證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠B=∠CDE，∵CE=CD，∴△CDE是等腰三角形，∴∠CDE=∠E，∴∠B=∠E．

點評：

本題考查的是等腰三角形的判定與性質及等腰梯形的性質，熟知等腰梯形的兩底角相等是解答此題的關鍵．

41．（2012?紹興）聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．

定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．

舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心．

運用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數．

探求：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探求PA的長．

考點：

線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；勾股定理．版權一切

專題：

新定義．

分析：

運用：連接PA、PB，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質求出PD與AB的關系，然后判斷出只要情況③是合適的，再根據等腰直角三角形的性質求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數；

探求：先根據勾股定理求出AC的長度，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據三角形的性質計算即可得解．

解答：

運用：解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；

探求：解：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，設PA=x，則x2+32=（4﹣x）2，∴x=，即PA=，②若PA=PC，則PA=2，③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．

故PA=2或．

點評：

本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，讀懂題意，弄清楚準外心的定義是解題的關鍵，根據準外心的定義，要留意分三種情況進行討論．

42．（2012?南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角．

（1）已知∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角，①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=　90　°；

②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數；

（2）已知O2是⊙O1外一點，以O2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點，∠APB是⊙O1上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探求∠APB與∠MAN、∠A之間的數量關系．

考點：

勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；點與圓的地位關系；圓與圓的地位關系．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）①根據直徑所對的圓周角等于90°即可求解；

②根據勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分點P在優弧上；點P在劣弧上兩種情況討論求解；

（2）根據點P在⊙O1上的地位分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠A之間的數量關系．

解答：

解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=90．

②如圖，連接AB、OA、OB．

在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．

∴∠AOB=90°．

當點P在優弧上時，∠APB=∠AOB=45°；

當點P在劣弧上時，∠AP′B=（360°﹣∠AOB）=135°

（2）根據點P在⊙O1上的地位分為以下四種情況．

種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖①

∵∠MAN=∠APB+∠A，∴∠APB=∠MAN﹣∠A；

第二種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖②．

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠A），∴∠APB=∠MAN+∠A﹣180°；

第三種情況：點P在⊙O2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖③．

∵∠APB+∠A+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠A，第四種情況：點P在⊙O2內，如圖④，∠APB=∠MAN+∠A．

點評：

綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點與圓的地位關系，本題難度較大，留意分類思想的運用．

43．（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：

如圖①，連接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．

∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如圖②，P為BC延伸線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=　7　．點P到AB邊的距離PE=　4或10?。?/p>

考點：

等腰三角形的性質；三角形的面積．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接AP．先根據三角形的面積公式分別表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；

（2）先根據直角三角形的性質得出AC=2CH，再由△ABC的面積為49，求出CH=7，由于CH＞PF，則可分兩種情況進行討論：①P為底邊BC上一點，運用結論PE+PF=CH；②P為BC延伸線上的點時，運用結論PE=PF+CH．

解答：

解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．

∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．

分兩種情況：

①P為底邊BC上一點，如圖①．

∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；

②P為BC延伸線上的點時，如圖②．

∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．

故答案為：7；4或10．

點評：

本題考查了等腰三角形的性質與三角形的面積，難度適中，運用面積證明可使成績簡便，（2）中分情況討論是解題的關鍵．

44．（2012?黃岡）

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于點E，垂足為點D，連接BE，則∠EBC的度數為　36°　．

考點：

線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．版權一切

分析：

由DE是AB的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質，即可得AE=BE，則可求得∠ABE的度數，又由AB=AC，根據等邊對等角與三角形內角和定理，即可求得∠ABC的度數，繼而求得答案．

解答：

解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C==72°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=72°﹣36°=36°．

故答案為：36°．

點評：

此題考查了線段垂直平分線的性質與等腰三角形的性質．此題比較簡單，留意數形思想的運用．

45．（2012?淮安）如圖，△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度數．

考點：

含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權一切

分析：

首先在直角三角形BDC中，利用BD的長和∠BDC=45°求得線段BC的長，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度數即可；

解答：

解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=10，∴BC=BD?sin∠BDC=10×=10

∵∠C=90°AB=20

∴sin∠A===，∴∠A=30°．

點評：

本題考查了等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的知識，屬于基礎題，比較簡單．

46．（2012?河池）如圖，在10×10的正方形網格中，△ABC的頂點和線段EF的端點都在邊長為1的小正方形的頂點上．

（1）填空：tanA=，AC=　2（結果保留根號）；

（2）請你在圖中找出一點D（僅一個點即可），連接DE、DF，使以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，并加以證明．

考點：

勾股定理；全等三角形的判定；銳角三角函數的定義．版權一切

專題：

網格型．

分析：

（1）延伸AB，過C作延伸線的垂線CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的長，利用銳角三角函數定義求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；

（2）圖中找出一點D，連接DE、DF，△ABC≌△EFD，如圖所示，理由為：在直角三角形FDM中，由FM與MD的長，利用勾股定理求出FD的長，同理求出BC的長，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．

解答：

解：（1）延伸AB，過C作CG⊥AB，交延伸線于點G，在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，根據勾股定理得：AC==2，tanA==；

（2）圖中找出一點D，連接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右圖所示，證明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，根據勾股定理得：ED==2，在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，根據勾股定理得：FD==2，同理在Rt△BCG中，根據勾股定理得：BC=2，在△ABC和△EFD中，∵，∴△ABC≌△EFD（SSS）．

故答案為：（1）；2

點評：

此題考查了勾股定理，銳角三角函數定義，以及全等三角形的判定，純熟掌握勾股定理是解本題的關鍵．

47．（2012?撫順）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點D是直線BC上的一個動點，連接AD，并以AD為邊在AD的右側作等邊△ADE．

（1）如圖①，當點E恰好在線段BC上時，請判斷線段DE和BE的數量關系，并圖①證明你的結論；

（2）當點E不在直線BC上時，連接BE，其它條件不變，（1）中結論能否成立？若成立，請圖②給予證明；若不成立，請直接寫出新的結論；

（3）若AC=3，點D在直線BC上挪動的過程中，能否存在以A、C、D、E為頂點的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長度；如果不存在，請闡明理由．

考點：

等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；梯形．版權一切

分析：

（1）利用等邊三角形的性質以及等腰三角形的判定解答即可；

（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F，證得△ADC≌△AEF，直角三角形中30度的角所對的直角邊是斜邊的一半處理成績；

（3）從A、C、D、E為頂點的梯形的性質入手，逐漸找出處理成績的．

解答：

解：（1）DE=BE．

理由如下：

∵△ADE為等邊三角形，∴AD=DE=AE，∠AED=60°．

∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，∴∠EAB=60°﹣30°=30°，∴∠ABC=∠EAB，∴EB=AE，∴EB=DE；

（2）如圖，過點E作EF⊥AB，垂足為F，在△ABC中，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∴∠DAE=∠CAB，∴∠DAE﹣∠CAE=∠BAC﹣∠CAE，則∠CAD=∠EAF．

又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，∴△ADC≌△AEF，∴AC=AF．

在△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=AB，∴AF=BF，∴EA=EB，∴DE=EB；

（3）如圖，∵四邊形ACDE是梯形，∠ACD=90°，∴∠CAE=90°．

∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，又∵在正三角形ADE中，∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．

在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，由勾股定理可得CD=．

同理可得：若點D與點B重合，AC平行DE，此時CD=3，綜上所述：若AE∥CD，CD=；若點D與點B重合，此時CD=3．

點評：

此題綜合考查等邊三角形的性質，三角形全等的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，梯形的性質等知識點．

48．（2012?鄂州）小明是一位善于考慮的先生，在數學課上，他將一副直角三角板如圖地位擺放，A、B、D在同不斷線上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，試求BD的長．

考點：

勾股定理；平行線的性質；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權一切

分析：

過點F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和平行線的性質以及等腰直角三角形的性質即可求出BD的長．

解答：

解：過點F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．

點評：

本題考查了勾股定理的運用、平行線的性質以及等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是作垂直構造直角三角形，利用勾股定理求出DM的長．

49．（2012?大慶）已知等邊△ABC的邊長為3個單位，若點P由A出發，以每秒1個單位的速度在三角形的邊上沿A→B→C→A方向運動，次回到點A處中止運動，設AP=S，用t表示運動工夫．

（1）當點P由B到C運動的過程中，用t表示S；

（2）當t取何值時，S等于（求出一切的t值）；

（3）根據（2）中t的取值，直接寫出在哪些時段AP？

考點：

等邊三角形的性質；一元二次方程的運用；勾股定理．版權一切

專題：

代數幾何綜合題；動點型．

分析：

（1）用t表示出PB的長，利用余弦定理即可表示出AP的長；

（2）令S等與，建立關于t的方程，解答即可；

（3）利用（2）中所求，即可得出AP時t的取值．

解答：

解：（1）∵AB=3，BP=t﹣3；

∴AP2=32+（t﹣3）2﹣2×3?（t﹣3）?cos60°

=9+9﹣6t+t2﹣6（t﹣3）×

=18﹣6t+t2+9﹣3t

=t2﹣9t+27，∴S=．

（2）當t在BC上時，∵S=，∴t2﹣9t+27=7，解得t1=4，t2=5；

當p在AB上時，t=；

當p在CA上時，t=9﹣．

當點P在BC上時，由（2）∵S=開口向上，與S=交點橫坐標為t1=4，t2=5；

綜上所述：t=4或t=5或或9﹣；

（3）根據（2）可知：0≤t＜；4＜t＜5；9﹣＜t≤9；

這三個工夫段內S＜．

點評：

本題考查了等邊三角形的性質、余弦定理、一元二次方程與二次函數之間的關系，難度較大，會解一元二次方程是解題的關鍵．

50．（2012?常州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF．求證：AE=AF．

考點：

線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題；壓軸題．

分析：

方法一：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據AE=CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結論．

方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進而得到AC垂直平分EF，再根據線段垂直平分線的性質可得AE=AF．

解答：

證明：連接CE，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE與△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AE=CE，∴四邊形AFCE是菱形，∴AE=AF．

另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．

點評：

本題考查的是線段垂直平分線的性質及菱形的判定定理，根據題意作出輔助線，構造出平行四邊形是解答此題的關鍵．

51．（2011?株洲）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．

（1）求∠ECD的度數；

（2）若CE=5，求BC長．

考點：

線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．版權一切

專題：

計算題；幾何圖形成績．

分析：

（1）ED是AC的垂直平分線，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；

（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；

解答：

解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．

答：（1）∠ECD的度數是36°；

（2）BC長是5．

點評：

本題考查了等腰三角形、線段垂直平分線的性質，應熟記其性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．

52．（2011?棗莊）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：

（1）畫線段AD∥BC且使AD=BC，連接CD；

（2）線段AC的長為　2，CD的長為，AD的長為　5　；

（3）△ACD為　直角　三角形，四邊形ABCD的面積為　10?。?/p>

（4）若E為BC中點，則tan∠CAE的值是　　．

考點：

勾股定理；勾股定理的逆定理；作圖—基本作圖；銳角三角函數的定義．版權一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）根據題意，畫出AD∥BC且使AD=BC，連接CD；

（2）在網格中利用直角三角形，先求AC2，CD2，AD2的值，再求出AC的長，CD的長，AD的長；

（3）利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形，再求出四邊形ABCD的面積；

（4）把成績轉化到Rt△ACF中，利用三角函數的定義解題．

解答：

解：（1）如圖；

（2）由圖象可知AC2=22+42=20，CD2=12+22=5，AD2=32+42=25，∴AC=2，CD=，AD=5；

故答案為：2，5；

（3）∵AD2=CD2+AC2，∴△ACD是直角三角形．

四邊形ABCD的面積為2×（2×÷2）=10；

故答案為：直角，10；

（4）由圖象可知CF=2，AF=4，∴tan∠CAE==．

故答案為：．

點評：

本題考查了勾股定理及其逆定理的運用，銳角三角函數的定義，關鍵是運用網格表示線段的長度．

53．（2011?隨州）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF長．

考點：

勾股定理；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

首先連接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，從而得出BE=FC=3，那么AB=7，則BC=7，BF=4，再根據勾股定理求出EF的長．

解答：

解：連接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，∴BD⊥AC（三線合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB與△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，則BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．

答：EF的長為5．

點評：

此題考查的知識點是勾股定理及全等三角形的判定，關鍵是由已知先證三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的長．

54．（2011?沈陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度數；

（2）求證：DC=AB．

考點：

等腰三角形的性質．版權一切

專題：

計算題．

分析：

（1）由AB=AC，根據等腰三角形的兩底角相等得到∠B=∠C=30°，再根據三角形的內角和定理可計算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，則∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；

（2）根據三角形外角性質得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根據等腰三角形的判定可得DC=AC，這樣即可得到結論．

解答：

（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；

（2）證明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB．

點評：

本題考查了等腰三角形的性質和判定定理：等腰三角形的兩底角相等；有兩個角相等的三角形為等腰三角形．也考查了三角形的內角和定理．

55．（2011?青海）認真閱讀上面關于三角形內外角平分線所夾角的探求片段，完成所提出的成績．

探求1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，經過分析發現∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探求2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請闡明理由．

探求3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明）

結論：　∠BOC=90°﹣∠A　．

考點：

三角形的外角性質；三角形內角和定理．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）根據提供的信息，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠O與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠A的關系；

（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：

解：（1）探求2結論：∠BOC=∠A，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；

（2）探求3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），結論∠BOC=90°﹣∠A．

點評：

本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵，讀懂標題提供的信息，然后利用提供信息的思緒也很重要．

56．（2011?寧波）閱讀上面的情景對話，然后解答成績：

（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE=AD，CB=CE．

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．

考點：

勾股定理；等邊三角形的性質；圓周角定理．版權一切

專題：

壓軸題；新定義．

分析：

（1）根據“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質，求證即可；

（2）根據勾股定理與奇異三角形的性質，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；

（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質即可證得；

②利用（2）中的結論，分別從AC：AE：CE=1：：與AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得結果．

解答：

解：（1）設等邊三角形的一邊為a，則a2+a2=2a2，∴符合奇異三角形”的定義．

∴是真命題；

（2）∵∠C=90°，則a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=a，c=a，∴a：b：c=1：：；

（3）∵①AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵點D是半圓的中點，∴=，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇異三角形；

②由①可得△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2=2AE2，當△ACE是直角三角形時，由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，當AC：AE：CE=1：：時，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°；

當AC：AE：CE=：：1時，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．

∴∠AOC的度數為60°或120°．

點評：

此題考查了新定義的知識，勾股定理以及圓的性質，三角函數等知識．解題的關鍵是理解題意，抓住數形思想的運用．

57．（2011?牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長．

考點：

勾股定理的逆定理；全等三角形的判定與性質．版權一切

分析：

根據題意中的△ABD為等腰直角三角形，顯然應分為三種情況：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙構造輔助線，出現全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性質和勾股定理進行求解．

解答：

解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°．

分三種情況：

如圖（1），過點D作DE⊥CB，垂足為點E．

∵DE⊥CB（已知）

∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定義），∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形兩銳角互余），∵△ABD為等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定義），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定義），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB與△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已證），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形對應邊相等），∴CE=6（等量代換）

根據勾股定理得：CD=2；

如圖（2），過點D作DE⊥CA，垂足為點E．

∵BC⊥CA（已知）

∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定義）

∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形兩銳角互余）

∵△ABD為等腰直角三角形（已知）

∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定義）

∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定義）

∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）

在△ACB與△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已證）∠CAB=∠EDA（已證）

AB=DA（已證）

∴△ACB≌△DEA（AAS）

∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形對應邊相等）

∴CE=6（等量代換）

根據勾股定理得：CD=2；

如圖（3），過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．

∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，則ED=AF，由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，則四邊形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4，設DF=x，則BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF﹣DF=4﹣x，則2+x=4﹣x，解得：x=1，故EC=DE=3，則CD=3．

點評：

此題綜合考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理．

58．（2011?梅州）如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．

（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP=　a??；（直接寫結果）

（2）連接AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小能否會隨點P的挪動面變化？請闡明理由；

（3）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小能否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

考點：

等邊三角形的性質；三角形內角和定理；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）設AP的長是x，然后利用x表示出兩個三角形的面積的和，利用二次函數的性質即可求得x的值；

（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據三角形的外角的性質即可求解；

（3）旋轉的過程中，（2）中得兩個三角形的全等關系不變，因此角度不會變化．

解答：

解：（1）設AP的長是x，則BP=2a﹣x，∴S△APC+S△PBD=x?x+（2a﹣x）?（2a﹣x）

=x2﹣ax+a2，當x=﹣=﹣=a時△APC與△PBD的面積之和取最小值，故答案為：a；

（2）α的大小不會隨點P的挪動而變化，理由：∵△APC是等邊三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等邊三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°；

（3）此時α的大小不會發生改變，一直等于60°．

理由：∵△APC是等邊三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等邊三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°．

點評：

本題考查了旋轉的性質，以及全等三角形的判定與性質，正確證明兩個三角形全等是解題的關鍵．

59．（2011?連云港）某課題研討小組就圖形面積成績進行專題研討，他們發現如下結論：

（1）有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；

（2）有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；

…

現請你繼續對上面成績進行探求，探求過程可直接運用上述結論．（S表示面積）

成績1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC．經探求知=S△ABC，請證明．

成績2：若有另一塊三角形紙板，可將其與成績1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1，Q2三等分邊DC．請探求與S四邊形ABCD之間的數量關系．

成績3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求．

成績4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1，S2，S3，S4．請直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個等式．

考點：

三角形的面積．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

成績1，圖1中，連接P1R2，R2B，由三角形中線的性質得S△AP1R1=S△P1R1R2，S△P1R2P2=S△P2R2B，再由R1，R2為AC的三等分點，得S△BCR2=S△ABR2，根據圖形的面積關系，得S△ABC與S四邊形P1P2R2R1的數量關系，證明結論；

成績2，圖2中，連接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中線性質，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2，S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，由Q1，P2為CD，AB的三等分點可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，得出S△ADQ1+S△BCP2與S四邊形AQ1CP2的關系，再根據圖形的面積關系，得S四邊形ABCD與S四邊形P1Q1Q2P2的等量關系；

成績3，圖3中，依次設四邊形的面積為S1，S2，S3，S4，S5，由成績2的結論可推出2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用換元法求S1+S2+S3+S4+S5與S3的數量關系，已知S四邊形ABCD=1，可求S四邊形P2Q2Q3P3；

成績4，圖4中，由成績2的結論可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，兩式相加得S1，S2，S3，S4的等量關系．

解答：

解：成績1，證明：

如圖1，連接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1為中線，∴S△AP1R1=S△P1R1R2，同理S△P1R2P2=S△P2R2B，∴S△P1R1R2+S△P1R2P2=S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1，由R1，R2為AC的三等分點可知，S△BCR2=S△ABR2，∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1+2S四邊形P1P2R2R1=3S四邊形P1P2R2R1，∴S四邊形P1P2R2R1=S△ABC；

成績2，S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2．

理由：如圖2，連接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1為中線，∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2=S四邊形AQ1CP2=S四邊形P1Q1Q2P2，由Q1，P2為CD，AB的三等分點可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，∴S△ADQ1+S△BCP2=（S△AQ1C+S△AP2C）=S四邊形AQ1CP2，∴S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四邊形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四邊形P1Q1Q2P2，即S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2；

成績3，解：

如圖3，由成績2的結論可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加得，S2+S4=S1+S5，∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3，即S四邊形P2Q2Q3P3=S四邊形ABCD=；

成績4，如圖4，關系式為：S2+S3=S1+S4．

點評：

本題考查了三角形面積成績．關鍵是利用三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個三角形的性質進行推理．

60．（2011?樂山）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數．

考點：

線段垂直平分線的性質；三角形內角和定理；角平分線的性質．版權一切

專題：

計算題．

分析：

根據DE垂直平分AB，求證∠DAE=∠B，再利用角平分線的性質和三角形內角和定理，即可求得∠B的度數．

解答：

解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B），∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B）=∠B，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．

答：若DE垂直平分AB，∠B的度數為30°．

點評：

此題本題考查的知識點為線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，三角形內角和定理等知識點，比較簡單，合適先生的訓練．