第一篇：9分離富集習題及其答案

第9章 分析化學中的分離與富集方法

思考題答案

1.分析化學中，為何要進行分離富集？如何評價分離效果？

答：將被測組分從復雜體系中分離出來后測定；把對測定有干擾的組分分離除去；將性質相近的組分相互分開；把微量或痕量的待測組分通過分離達到富集的目的，提高測定靈敏度。用回收率（回收因子）和分離率（分離因子）評價分離效果。

2.某水樣溶液中含有Fe3+、Al3+、Ca2+、Mn2+、Mg2+、Cr3+、Zn2+和Cu2+等離子，加入NH4Cl和氨水后，哪些離子以什么形式存在于沉淀中？哪些離子以什么形式存在于溶液中？如果加入NaOH溶液呢？

答：加入NH4Cl-NH3緩沖液，pH在8-9間，因此溶液中有Ca2+，Mg2+,，Cu(NH3)42-、Zn(NH3)42+等離子和少量Mn2+，而沉淀中有Fe(OH)3，Al(OH)3和Cr(OH)3和少量Mn(OH)2沉淀。試液中Fe3+，A13+，Cr3+可以與Ca2+，Mg2+，Cu2+和Zn2+等離子完全分開，而Mn2+分離不完全。

3.相對于無機共沉淀劑，有機共沉淀劑有何優點？其進行共沉淀分離有哪些方式？

答：與無機共沉淀劑相比，有機共沉淀劑可經灼燒而除去，被測組分則被留在殘渣中，用適當的溶劑溶解后即可測定；有機共沉淀劑的相對分子質量較大，體積也大，有利于微量組分的共沉淀；與金屬離子生成的難溶性化合物表面吸附少，沉淀完全，沉淀較純凈，選擇性高，分離效果好。

進行共沉淀分離的方式：利用膠體的凝聚作用進行共沉淀；利用形成離子締合物進行共沉淀；利用惰性共沉淀劑。

4.試說明分配系數和分配比的物理意義，兩者有何關系？分配比與萃取率有何聯系？如何提高萃取率？

答：分配系數：是溶質在兩相中型體相同組分的濃度比（嚴格說應為活度比）。而分配比：是溶質在兩相中的總濃度之比。在給定的溫度下，KD是一個常數。但D除了與KD有關外，還與溶液酸度、溶質濃度等因素有關，它是一個條件常數。

D與KD的關系：D?cHA,ocHA,w?[HA]o?HA,o[HA]w?HA,w?KD?HA,o?HA,w

D與E的關系：E?D?100%

D?VW/VO提高萃取效率方法：增加有機溶劑量；增加分配比；少量多次萃取。5.何謂相似相溶原理？它在液-液萃取和液相色譜中有何作用？

答：“相似相溶”原則：極性物質易溶于極性溶劑中，非極性物質易溶于非極性溶劑中，堿性物質易溶于酸性溶劑中，酸性物質易溶于堿性溶劑。6.液-液萃取中產生乳濁液的原因是什么？破乳的方法有哪些？

答：因振蕩過于激烈，使一相在另一相中高度分散，形成乳濁液；或反應中形成某種微溶化合物，既不溶于水，也不溶于有機相，以致在界面上出現沉淀，形成乳濁液。一般通過采用增大萃取劑用量，加入電解質，改變溶液酸度，振蕩不過于激烈等措施，使相應的乳濁液消失。

7.用離子交換法分離兩種酸（pKa分別為3和4）的混合試樣，問：應選用何種類型的的離子交換樹脂？哪一種酸先被洗脫？

答：用陰離子交換樹脂，pKa為4的酸先被洗脫。對強酸型陽離子交換樹脂交換柱，請預測下列離子用H+洗脫的順序。①Th4+，Na+，Ca2+，Al3+；②Li+，Na+，K+，Cs+。

答：①Na+>Ca2+>Al3+>Th4+

②Li+> Na+>K+>Cs+

9.離子交換樹脂按活性功能基團分類有哪些類型？其交換能力與溶液pH有何關系？什么是離子交換樹脂的交聯度和交換容量？

答：陽離子交換樹脂：強酸型（—SO3H），弱酸型（—COOH、—OH，pH越高，交換能力越大）。陰離子交換樹脂：強堿型（季銨基）、弱堿型（伯胺基等），pH越低，交換能力越大）。交換容量是指每克干樹脂能交換離子的物質的量（mmol），其大小取決于樹脂網的結構上活性基團的數目。交聯劑在樹脂單體總量中所占質量分數稱為交聯度。

10.如用BaSO4重量分析法測定SO42-時，大量Fe3+會產生共沉淀，如何消除Fe3+干擾？如用BaSO4重量分析法測定Ba2+時，大量PO43-會干擾，又如何消除？

答：測定SO42-時，Fe3+會產生共沉淀，可通過H+型強酸性陽離子交換樹脂，交換除去Fe3+。測定Ba2+時，PO43-有干擾，可通過Cl-型強堿性陰離子交換樹脂，交換除去PO43-。11.樣品在薄層色譜中展開，5 cm處有一斑點，則10 cm處的斑點是哪一個？

①Rf加倍； ②Rf加倍不變；③樣品移行距離加倍；④樣品移行距離增加，但小于2倍；⑤樣品移行距離增加，但大于2倍。答：①③

12.已知某混合試樣A、B、C三組分的分配系數分別為400、450、500，則三組分在液相色譜上的Rf值的大小順序如何？ 答：Rf(A)< Rf(B)< Rf(C)

習題及其答案

1.在HCl介質中，用乙醚萃取Ga離子時，分配比D=18，若萃取Ga時Vw = Vo，則Ga的萃取率E為多少 ?

E?D18?100%??100%?94.7%

D?VW/V018?12．有100 mL含有I2 10 mg的水溶液，用90 mL CCl4分別按照下列情況進行萃?。?1)全量一次萃?。?2)分三次萃取。求萃取率各為多少？結果說明了什么？（D＝85）解：（1）m1?m0VW100?10??0.13mg

DVo?VW85?90?100 E??98.7%m0?m110?0.13?100％??100％m010（2）m3?m0(E?100V水)3?5.4?10?4mg)3?10?(85?30?100DV有?V水m0?m110?5.4?10?4?100％??100％?99.99%m010少量多次萃取，但萃取次數不易過多。

3.含有OsO4的50.0 mL水溶液，欲用CHCl3進行萃取，要求萃取率達到99.8％以上。若每次使用的CHCl3的體積為10.0 mL，則至少需要萃取多少次？（D＝19.1）解：E?m0?m1?100%?99.8% m0∴m1<0.002 m0?50???????0.002 ??19.1?10?50??nnm1?VW??m0??DVo?VWn?4

故至少應萃取4次才能達到題設要求

4.計算相比為0.75、1.5和4時，分配比D分別等于0.1、1.0、10和50時的萃取率，并以E為縱坐標，lgD為橫坐標，根據此圖，歸納出相比和分配比對溶質萃取率的影響規律。解：(1)

D0.1VW??11.76% ?0.75 D=0.1時，E?D?VW/V00.1?0.75VO同理：D=1.0 時，E=57.14% D=10 時，E=93.02% D=50 時，E=98.52%(2)VW?1.5 D=0.1時，E=6.25% VO同理：D=1.0 時，E=40% D=10 時，E=86.96% D=50 時，E=97.09%(3)VW?4 D=0.1時，E=2.44% VO同理：D=1.0 時，E=20% D=10 時，E=71.43% D=50 時，E=92.59% 1008060E40200-1012相比：0.75相比：1.5相比：4lgD

相比一定時，D增大，E增大；D相同時，相比增大，E減小。

5．從水溶液中萃取銅離子和鈷離子，假定相比為1：3，單次萃取后，實測兩相中金屬離子濃度為[Cu]o=32.4 g ?L-1，[Cu]w=0.21 g ?L-1，[Co]o=0.075 g ?L-1，[Co]w=0.47 g ?L-1，試分別計算這兩種金屬離子的分配比、萃取率和分離系數，并判斷此兩種金屬離子是否被定量分離。解：對Cu2+：D=Co32.4==154.3 Cw0.21E?D?100%?D?VW/V0D1D?3?100%?99.79%

對Co2+：D=0.075=0.16 0..47E=32.65% βCu2+ /Co2+=DCu2?=964<104 DCo2?故：兩種金屬離子不能被定量分離。

6.稱取某R4N+OH-型陰離子交換樹脂2.00 g，置于錐型瓶中，加入0.2000 mol ?L-1 HCl-1 100 mL 浸泡一晝夜。用移液管吸取25.00 mL, 以甲基紅為指示劑，用0.1000 mol ?L-1 NaOH溶液滴定，消耗20.00 mL。計算此陰離子交換樹脂的交換容量。解：

交換容量=CHClVHCl?CNaOHVNaOH?2.010025?0.2000?100?0.1000?20?4=6 mol ?g-1

2.07.用8-羥基喹啉氯仿溶液于pH=7.0時，從水溶液中萃取La3+。已知它在兩相中的分配比D=43，今取含La3+的水溶液（1 mg ?mL-1）20.0 mL，計算用萃取液10.0 mL 一次萃取和用同量萃取液分兩次萃取的萃取率。

解：已知

m0=20.0mg，Vw=20.0mL，Vo=10.0mL，D=43 用10.0mL萃取液一次萃取時：

m1?m0VW20?20??0..89mg

DVo?VW43?10?20E?m0?m1?100%=95.55% m0每次用5.0mL萃取液連續萃取兩次時：

20??=0.14mg m1?20???43?10?20??E?20?0.14?100%=99.30% 2028.某一弱酸的HA的Ka=2×10-5，它在某種有機溶劑中的分配系數為30.0，當水溶液的（1）pH=1；（2）pH=6時，分配比各為多少？用等體積的有機溶劑萃取，萃取效率各為多少？ 解：(1)pH =1 時，δHA,0 =1 δHA,W?H?≈1 =K??H???a?HA,WD=KD?KD?30.0 ?HA,OE=D?100%=96.77% D?1(2)(1)pH =6 時，δHA,0 =1 δHA,W=?H?=0.048 K??H???aD=KD0.048=1.44 1E=59.02% 9.今有兩種性質相似的組分A和B。用紙色譜分離時，它們的比移值分別為0.50和0.68。欲使分離后兩斑點中心間的距離為2 cm，濾紙條應取用多長? 解：

a??0.50?l?b?a=0.18 ??l?bRf?B???0.68?l?Rf?A??又b-a=2cm ∴ l> 11.1cm 濾紙條至少為12cm。

10.稱取0.5000g氫型陽離子交換樹脂，裝入交換柱中，用NaCl溶液沖洗，至流出液使甲基橙呈橙色為止。收集全部洗出液，用甲基橙作指示劑，以0.1000 mol?L-1 NaOH標準溶液滴定，用去24.51 mL，計算樹脂的交換容量。

解：用去NaOH溶液的物質的量等于被交換到樹脂上Na+的物質的量，也等于樹脂上被交換下來的H+的物質的量。

交換容量?CNaOH?VNaOHG?0.1000?24.51?4.902(mmol/g)0.5000

第二篇：分析化學中常用的分離和富集方法教案

第8章 分析化學中常用的分離和富集方法

教學目的：學習各種常用分離和富集方法的原理、特點及應用，掌握復雜體系的分離與分析；分離法的選擇、無機和有機成分的分離與分析。

教學重點：掌握各種常用分離和富集方法的原理、特點及應用。教學難點：萃取分離的基本原理、實驗方法和有關計算。

8.1 概述

干擾組分指樣品中原有雜質（溶解）或加入試劑引入的雜質，當雜質量少時可加掩蔽劑消除干擾，量大或無合適掩蔽劑時可采用分離的方法。分離完全的含義：（1）干擾組分少到不干擾；（2）被測組分損失可忽略不計。完全與否用回收率表示

回收率＝分離后測得的量?100％

原始含量對回收率的要求隨組分含量的不同而不同：

含量（質量分數）

回收率

1％以上

>99.9％

0.01－1％

>99%

0.01%以下

90－95％

常用的分離方法：沉淀、揮發和蒸餾、液－液萃取、離子交換、色譜等。8.1.1沉淀分離法

1.常量組分的分離（自己看書：5分鐘）（1）利用生成氫氧化物

a.NaOH法

＋b.NH3法（NH4存在）

c.有機堿法

六次（亞）甲基四胺

pH＝5-6 d.ZnO懸浮液法

pH＝6（2）硫化物沉淀（3）有機沉淀劑

2.痕量組分的共沉淀分離和富集（1）無機共沉淀分離和富集

＋a.利用表面吸附進行共沉淀

CuS可將0.02ug的Hg2從1L溶液中沉淀出 b.利用生成混晶

（2）有機共沉淀劑 灼燒時共沉淀劑易除去，吸附作用小，選擇性高，相對分子質量大，體積也大，分離效果好。a.利用膠體的凝聚作用進行共沉淀：辛可寧，丹寧，動物膠b.利用形成離子締合物進行共沉淀：甲基紫，孔雀綠，品紅，亞甲基藍c.利用“固體萃取劑”進行共沉淀。8.1.2揮發和蒸餾分離法

揮發法：選擇性高

As的氫化物，Si的氟化物，As、Sb、Sn、Ge的氯化物

＋蒸餾法：N－NH4－NH3?（酸吸收）

利用沸點不同，進行有機物的分離和提純。

8.2 液－液萃取分離法

8.2.1萃取分離法的基本原理

萃取：把某組分從一個液相（水相）轉移到互不相溶的另一個液相（有機相）的過程。反萃?。河袡C相?水相 ?優點：1.萃取分離法設備簡單；2.操作快速；3.分離效果好；

?缺點：1.費時，工作量較大；2.萃取溶劑常是易揮發、易燃和有毒的物質。1．萃取過程的本質

親水性：易溶于水而難溶于有機溶劑的性質。金屬離子在水中形成水合離子，具有親水性，常見親水基團有：-OH，-SO3H，-NH2，NH。疏水性：難溶于水而易溶于有機溶劑的性質。常見疏水基團有：烷基，鹵代烷基，芳香基萃取過程的本質就是將物質由親水性轉化為疏水性的過程。2．分配系數和分配比

一定溫度下，溶質A在水相和有機相達平衡，A(水)A（有機）

KD?A?有??A?水――分配定律

KD－分配系數，只與溫度有關。

分配定律適用條件：(1).稀溶液，可用濃度代替活度；

(2).溶質在兩相中均以單一的相同形式存在，沒有其他副反應。

c有c水＝D

D－分配比。

（1）當D>1時，說明溶質進入有機相的量比留在水中的量多。在兩相中以單一形式存在，溶液較稀時，KD＝D。

（2）配比并不是常數，與溶液的酸度、溶質的濃度等因素有關。3．萃取百分率：表示萃取的完全程度

E?E和D的關系 被萃取物質在有機相中的總量?100%

被萃取物質的總量coVoDD??100%等體積萃取，E??100%（1）當coVo?cwVwD?Vw/VoD?1 E?分配比不高時，可采用多次連續萃取的方法來提高萃取率。2.當D=1時，萃取一次的萃取百分率為50%；若要求萃取率大于90%，則D必須大于9；

?設Vw（ml）溶液內含有被萃取物m0（g），用Vo（ml）溶劑萃取一次，水相中剩余被萃取物m1（g），則進入有機相的質量是（m0-m1）（g），此時分配比為D?故：m1?m0?Vw

DVo?Vwnco?m0?m1?/Vo? cwm1/Vw??Vw?若用Vo（ml）溶劑萃取n次，水相中剩余被萃取物為mn（g）：mn?m0??

DV?V????ow??8.2.2重要的萃取體系

1.螯合物萃取體系 2.離子締合物萃取體系 3.溶劑化合物萃取體系 4.簡單分子萃取體系

8.2.3萃取條件的選擇（I）萃取平衡

? 金屬離子Mn+與螯合劑HR作用生成螯合物MRn被有機溶劑所萃取，設HR易溶于有機相而難溶于水相，則萃取平衡表示： n++（M）W + n（HR）O=====（MRn）O + n（H）W

平衡常數稱為萃取平衡常數Kex：

+n [MRn] O ? [H] W Kex = —————————（8-8）

n+n [M]W ? [HR] O

n [MRn] O Kex?[HR] O

D = ———— = —————（8-9）

n++n [M]W [H] W

由式(8—9)可見，金屬離子的分配比決定于Kex，螯合劑濃度及溶液的酸度。（II）萃取條件的選擇主要考慮以下幾點： a．螯合劑的選擇 b．溶液的酸度 c.萃取溶劑的選擇 d．干擾離子的消除 a．螯合劑的選擇

? ? ? 螯合劑與金屬離子生成的螯合物越穩定，即Kex越大，萃取效率就越高； 螯合劑含疏水基團越多，親水基團越少，[HR] O越大，萃取效率就越高。螯合劑濃度

nb．溶液的酸度

? 溶液的酸度越低，則D值越大，就越有利于萃取。

? 當溶液的酸度太低時，金屬離子可能發生水解，或引起其他干擾反應，對萃取反而不利。? 結論：必須正確控制萃取時溶液的酸度。

? 示例：用二苯基卡巴硫腙—CCl4萃取金屬離子，都要求在一定酸度條件下才能萃取完全。

2+2-萃取Zn時，適宜pH為6.5一l0，溶液的pH太低：難于生成螯合物 pH太高：形成Zn02。

c.萃取溶劑的選擇 ? 原則：

（1）金屬螯合物在溶劑中應有較大的溶解度。通常根據螯合物的結構，選擇結構相似的溶劑。

（2）萃取溶劑的密度與水溶液的密度差別要大，粘度要小（3）萃取溶劑最好無毒、無特殊氣味、揮發性小。? 例如：

含烷基的螯合物用鹵代烷烴(如CCl4，CHCl3)作萃取溶劑 含芳香基的螯合物用芳香烴(如苯、甲苯等)作萃取溶劑 d．干擾離子的消除

（a）控制酸度： 控制適當的酸度，有時可選擇性地萃取一種離子，或連續萃取幾種離子

2+3+2+2+ 示例：在含Hg，Bi，Pb，Cd溶液中，控制酸度用二苯硫腙—CCl4萃取不同金屬離子。

3（b）使用掩蔽劑： 當控制酸度不能消除干擾時，可采用掩蔽方法。

+2+ 示例：用二苯硫腙—CCl4萃取Ag時，若控制pH為2，并加入EDTA，則除了Hg，Au(III)外，許多金屬離子都不被萃取。

8.2.4萃取分離技術 1.萃取方式

在實驗室中進行萃取分離主要有以下三種方式。

a．單級萃取 又稱間歇萃取法：通常用60一125mL的梨形分液漏斗進行萃取，萃取一般在幾分種內可達到平衡，分析多采用這種方式。

b．多級萃取 又稱錯流萃?。簩⑺喙潭?，多次用新鮮的有機相進行萃取，提高分離效果。c．連續萃?。?使溶劑得到循環使用，用于待分離組分的分配比不高的情況。這種萃取方式常用于植物中有效成分的提取及中藥成分的提取研究。

? 萃取時間，一般從30s到數分鐘不等。

2.分層

? 萃取后應讓溶液靜置數分鐘，待其分層，然后將兩相分開。? 注意：在兩相的交界處，有時會出現一層乳濁液

產生原因：因振蕩過于激烈或反應中形成某種微溶化合物

消除方法：增大萃取劑用量、加入電解質、改變溶液酸度、振蕩不過于激烈 3.洗滌

? 所謂洗滌：就是將分配比較小的其它干擾組分從有機相中除去。

? 洗滌方法：洗滌液的基本組成與試液相同，但不含試樣。將分出的有機相與洗滌液一起振蕩。

? 注意：此法使待測組分有一些損失，故適用于待測組分的分配比較大的條件下，且一般洗滌1—2次。4.反萃取

? 反萃?。浩茐谋惠臀锏氖杷院?，將被萃物從有機相再轉入水相，然后再進行測定。? 反萃取液：酸度一定（與原試液不同），或加入一些其它試劑的水溶液。

? 選擇性反萃取：采用不同的反萃液，可以分別反萃有機相中不同待測組分．提高了萃取分離的選擇性。

8.3 離子交換分離法

利用離子交換樹脂與溶液中的離子發生交換反應而進行分離的方法。此法可用于：（1）分離（2）富集微量物質（3）除去雜質，高純物質的制備（去離子水）8.3.1離子交換劑的種類和性質

離子交換樹脂是一種高分子聚合物。1．種類：

陽離子交換樹脂：a.強酸型：活性基團-SO3H，在酸性、中性和堿性溶液中都能使用。國產#732樹脂。

b。弱酸型：活性基團-COOH，-OH，在中性、堿性中使用。國產#724 陰離子交換樹脂：a.強堿型：活性基團為季胺基[-N(CH3)3Cl]，在酸性、中性和堿性溶液中都能使用。國產#717

b.弱堿型：活性基團為伯、仲、叔胺基，在中性和酸性中使用。國產#707螯合樹脂：含有特殊的活性基團，可與某些金屬離子形成螯合物。－N(CH2COOH)2,國產#401 大孔樹脂：氧化還原樹脂：萃淋樹脂：纖維交換劑：

2．結構：離子交換樹脂為具有網狀結構的高分子聚合物。例如，常用的聚苯乙烯磺酸型陽離子交換樹脂，就是以苯乙烯和二乙烯苯聚合后經磺化制得的聚合物。

3．交聯度：指樹脂中含交聯劑（二乙烯苯）的質量分數。是樹脂的重要性質之一。

交聯度?。壕W眼大，對水膨脹性好，交換速度快，選擇性差，機械性能差。

交聯度大：網眼小，對水膨脹性差，交換速度慢，選擇性好，機械性能高。樹脂的交聯度一般以4－14％為宜。4.交換容量：指每克干樹脂所能交換的一價離子的物質的量(mmol)。是樹脂性質的另一指標。

它決定于樹脂網狀結構內所含活性基團的數目。一般樹脂的交換容量為3-6mmol/g。8.3.3離子交換分離操作 1.樹脂的處理和裝柱

先浸泡在水中－溶脹后－鹽酸浸泡－洗至中性

2．交換：以一定速度由上向下經柱交換，“交界層”下移，幾種離子中親和力大的在上層，每種離子集中在柱的某以區域。

3.洗脫：洗脫(淋洗)就是將交換到樹脂上的離子，用洗脫劑(或淋洗劑)置換下來的過程，是交換過程的逆過程。

4．樹脂再生：

8.3.4離子交換分離法的應用 1.水的凈化

2.微量組分的富集 3.陰陽離子的分離 4.相同電荷離子的分離

8.4 液相色譜分離法

何為色譜法？

其利用物質在兩相中的分配系數（由物理化學性質：溶解度、蒸汽壓、吸附能力、離子交換能力、親和能力及分子大小等決定）的微小差異進行分離。當互不相溶的兩相做相對運動時，被測物質在兩相之間進行連續多次分配，這樣原來微小的分配差異被不斷放大，從而使各組分得到分離。8.4.1 紙上色譜分離法 1．方法原理

? ? ? ? ? 原理：紙上色譜分離法是根據不同物質在固定相和流動相間的分配比不同而進行分離的。固定相：濾紙——利用紙上吸著的水分(一般的紙吸著約等于自身質量20％的水分)流動相：有機溶劑 簡單裝置如圖8—5所示

操作：點樣、展開、干燥、顯色得到如圖8 — 6所示的色譜圖、測定（定性和定量）

展開方式

? 上行法：展開速度慢、容易達到平衡，分離效果好 ? 下行法：展開速度快、適用于易分離的組分分離

? 雙向法：使用兩種展開劑、90度展開、適用于難分離的混合物的分離 2．比移值

? 比移值〔R)：R＝a／b ff a為斑點中心到原點的距離cm b為溶劑前沿到原點的距離cm（1）Rf值最大等于1，最小等于零。（2）Rf值是衡量各組分的分離情況的數值（3）Rf值相差越大，分離效果越好（4）使用Rf值定性 3.應用

（1）甘氨酸、丙氨酸和谷氨酸混合氨基酸的分離

展開劑：正丁醇：冰醋酸：水＝4：1：2 顯色：三茚酮

（3）萄糖、麥芽糖和木糖混合糖類的分離

展開劑：正丁醇：冰醋酸：水＝4：1：5 顯色：用硝酸銀氨溶液噴灑，即出現Ag的褐色斑點。

定性：由Rf值可判斷是哪種糖；葡萄糖的Rf為0.16，麥芽糖的Rf為0.11．木糖的Rf是0.28。

8.4.2薄層色譜分離法 1.方法原理

原理： 薄層色譜分離法是將固定相吸附劑均勻地涂在玻璃上制成薄層板，試樣中的各組分在固定相和作為展開劑的流動相之間不斷地發生溶解、吸附、再溶解、再吸附的分配過程。不同物質上升的距離不一樣而形成相互分開的斑點從而達到分離。操作方法：同紙上色譜法 展開方法： 1.固定相：

（1）硅膠：微酸性極性固定相，適用于酸性、中性物質分離（可以制備成酸度不同或堿性硅膠擴大使用范圍）

（2）氧化鋁：堿性極性固定相，適用于堿性、中性物質分離（可以制備成中性或酸性氧化鋁擴大使用范圍）

（3）聚酰胺：含有酰胺基極性固定相，適用于酚類、醇類化合物的分離（4）纖維素：含有羥基的極性固定相，適用于分離親水性物質

? 根據制備方法不同，吸附劑又可以分為不同的活性，如：硅膠和氧化鋁可以分為五級 2.展開劑：

（4）展開劑對被分離物質有一定的解吸能力和溶解度。（5）極性比被分離物質略小。吸附劑和展開劑的一般選擇原則是：

? 非極性組分的分離選用活性強的吸附劑，用非極性展開劑；極性組分的分離，選用活性弱的吸附劑，用極性展開劑。實際工作中要經過多次實驗來確定。

8.5 氣浮分離法

8.5.1方法原理 何謂氣浮分離法：

? 采用某種方式，向水中通入大量微小氣泡，在一定條件下使呈表面活性的待分離物質吸附或粘附于上升的氣泡表面而浮升到液面，從而使某組分得以分離的方法，稱氣浮分離 6 法或氣泡吸附分離法。（浮選分離或泡沫浮選）。

? 分離和富集痕量物質的一種有效方法。

一.方法原理

? 原理：表面活性劑在水溶液中易被吸附到氣泡的氣—液界面上。表面活性劑極性的—端向著水相，非極性的一端向著氣相(如圖8—9)，含有待分離的離子、分子的水溶液中的表面活性劑的極性端與水相中的離子或其極性分子通過物理(如靜電引力)或化學（如配位反應）作用連接在一起。當通入氣泡時，表面活性劑就將這些物質連在一起定向排列在氣—液界面，被氣泡帶到液面，形成泡沫層，從而達到分離的目的。二.分離的類型 1．離子氣浮分離法

? 在含有待分離離子(或配離子)的溶液中．加入帶相反電荷的某種表面活性劑，使之形成疏水性物質。通入氣泡流，表面活性劑就在氣—液界面上定向排列。同時表面活性劑極性的一端與待分離的離子連結在一起而被氣泡帶至液面。2．沉淀氣浮分離法

? 在含有待分離離子的溶液中，加入一種沉淀劑(無機或有機沉淀劑)使之生成沉淀，再加入表面活性劑并通入氮氣或空氣，使表面活性劑與沉淀一起被氣泡帶至液面。3．溶劑氣浮分離法

在水溶液上覆蓋一層與水不相混溶的有機溶劑，當采取某種方式使水中產生大量微小氣泡后，已顯表面活性的待分離組分就會被吸附和粘附在這些正在上升的氣泡表面。溶入有機相或懸浮于兩相界面形成第三相．從而達到分離溶液中某種組分的目的。三.影響氣浮分離效率的主要因素 a．溶液的酸度 b．表面活性劑濃度 c．離子強度

d．形成絡合物或沉淀的性質 e．其他因素 一般要求氣泡直徑在0.1一0.5mm之間，氣泡流速為l一2mL/cm?mm為宜。氣體通常用氮氣或空氣 四.應用

? 特點：

氣浮分離法富集速度快，比沉淀或共沉淀分離快得多，富集倍數大，操作簡便。

? 應用：環境治理、痕量組分的富集等。沉淀氣俘分離法已成功地用于給水凈化和工業規模的廢水處理等。離子氣浮分離法和溶劑氣浮分離法目前在分析化學上應用較多。如用于環境監測中富集。

8.6 其它分離富集方法

8.6.1 固相微萃取分離法

固相微萃取分離法屬于非溶劑型萃取法。其中直接固相微萃取分離法是將涂有高分子固相液膜的石英纖維直接插入試祥溶液或氣樣中，對待分離物質進行萃取，經過一定時間在固相涂層和水溶液兩相中達到分配平衡．即可取出進行色譜分析。

1.壓桿 2．筒體 3．壓桿卡持螺釘 4.Z形槽 5.簡體視窗 6．調節針頭長度的定位器 7.拉伸彈簧 8.密封隔膜 9．注射針管 10.纖維聯結管 11．熔融石英纖維

8.6.2 超臨界流體萃取分離法

1.超臨界流體是介于氣液之間的一種既非氣態又非液態的物態．它只能在物質的溫度和壓力超過臨界點時才能存在。

2.超臨界流體的密度較大，與液體相仿．所以它與溶質分子的作用力很強，像大多數液體一樣，很容易溶解其他物質。另一方面，它的粘度較小，接近于氣體，所以傳質速率很高；加上表面張力小，容易滲透固體顆粒，并保持較大的流速，可使萃取過程在高效、快速又經濟的條件下完成。3.二氧化碳與氨

8.6.3 液膜萃取分離法

由浸透了與水互不相溶的有機溶劑的多孔聚四氟乙烯薄膜把水溶液分隔成兩相—萃取相與被萃取相；其中與流動的試樣水溶液系統相連的相為被萃取相，靜止不動的相為萃取相。試樣水溶液的離子流入被萃取相與其中加入的某些試劑形成中性分子(處于活化態)。這種中性分子通過擴散溶人吸附在多孔聚四氟乙烯上的有機液膜中，再進一步擴散進入萃取相，一旦進入萃取相，中性分子受萃取相中化學條件的影響又分解為離子(處于非活化態)而無法再返回液膜中去。其結果使被萃取相中的物質——離子通過液膜進入萃取相中。8.6.4 毛細管電泳分離法

電泳分離是依據在電場中溶質不同的遷移速率。毛細管電泳分離法是在充有合流動電解質的毛細管兩端施加高電壓，利用電位梯度及離子淌度的差別，實現流體中組分的電泳分離。對于給定的離子和介質，淌度是該離子的特征常數，是由該離子所受的電場力與其通過介質時所受的摩擦力的平衡所決定的 8.6.5 微波萃取分離法

微波萃取分離法是利用微波能強化溶劑萃取的效率，使固體或半固體試樣中的某些有機物成分與基體有效地分離，并能保持分析對象的原本化合物狀態。微波萃取分離法包括試樣粉碎、與溶劑混合、微波輻射、分離萃取等步驟，萃取過程一般在特定的密閉容器中進行。微波萃取分離法具有快速、節能、節省溶劑、污染小、儀器設備簡單廉價，并可同時處理多份試樣等優點，所以應用很廣。

本章作業

P305 4 P306 9 , 10 , 12 ,15

第三篇：分離變量法習題

第十章習題解答 求解混合問題

?utt?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?0??

?u(0,t)?0,u(l,t)?0，其中?(x)??v0?0?u(x,0)?0,u(x,0)??(x)?t?0?x?c??c???x?c?? c???x?l解：用分離變量法：設混合問題的非零解函數為u(x,t)?X(x)T(t)，則，utt(x,t)?X(x)T??(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)

代入混合問題中的微分方程可得：

X(x)T??(t)?aX??(x)T(t)?0?2X??(x)X(x)?aT??(t)T(t)2???

由初始條件可得：u(0,t)?X(0)T(t)?u(l,t)?X(l)T(t)?0?X(0)?X(l)?0由此可得，X(x)為如下常微分方程邊值問題的非零解：

?X??(x)??X(x)?0?X(0)?0,X(l)?0(0?x?l)

?

若λ<0，則此定解問題的微分方程的通解為 X(x)?c1exp(?x)?c2exp(??x)，代入邊值條件后可得c1?c2?0?X(x)?0，不符合要求。若λ=0，則此定解問題的微分方程的通解為

X(x)?c1?c2x，代入邊值條件后仍可得c1?c2?0?X(x)?0，不符合要求。若λ>0，則此定解問題的微分方程的通解為 X(x)?c1cos代入邊界條件后可得： X(0)?c1cos?0?c2sin?0?c1?0?X(x)?c2sin?x，2?x?c2sin?x，X(l)?c2sin?l?0,X(x)?0?sinn?xl?n???l?0,???n???，?l?所以可取 X(x)?Xn(x)?sin

(n?1,2,?)由T(t)所滿足的方程可得：

T??(t)?a2?2T(t)?0?T(t)?Tn(t)?ancosn?atln?atl?bnsinn?atl，所以，原混合問題的微分方程的滿足邊界條件的分離變量形式解為 u(x,t)?un(x,t)?Xn(x)Tn(t)?(ancos???bnsinn?atl)sinn?xl，設原混合問題的解函數為 u(x,t)??n?1(ancosn?atl?bnsinn?atl)sinn?xl，??則由初始條件可得：0?u(x,0)??n?1ansinn?xl?an?0(n?1,2,?)

?? ut(x,t)??n?1n?albncosn?atlsinn?xln?xl，?? ?(x)?ut(x,0)??n?1n?atlbnsin?bn??n?a2l0?(x)sinn?xldx，bn??n?a2c??c??v0sinn?xldx?2v0ln?a??22(cosn?(c??)ln?xl?cosn?(c??)l)（*）所以，原混合問題的解為 u(x,t)?2 求解混合問題

?bn?1nsinn?atlsin，其中的bn由（*）給出。

?utt?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?

?u(0,t)?E,u(l,t)?0

?u(x,0)?0,u(x,0)?0(E為常數）t?解：由于邊界條件非齊次，需作函數變換如下：設

v(x,t)?u(x,t)?El(l?x)?u(x,t)?v(x,t)?El(l?x)，則

vxx(x,t)?uxx(x,t),vt(x,t)?ut(x,t),vtt(x,t)?utt(x,t)，2vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?auxx(x,t)?0，v(0,t)?u(0,t)?

v(x,0)?u(x,0)?ElEl(l?0)?u(0,t)?E?0,v(l,t)?u(l,t)?0?0，(l?x)??El(l?x),vt(x,0)?ut(x,0)?0，所以，u(x,t)是原混合問題的解的充要條件是：v(x,t)是如下混合問題的解：

?2?vtt(x,t)?avxx(x,t)?0(0?x?l,?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?Ev(x,0)??(l?x),vt(x,t)?0?l?t?0)

（*）

用分離變量法求解此定解問題，由分離變量法的標準步驟可得：

??

v(x,t)??n?1(Ancosn?atl?Bnsinn?atl)sinn?xl，代入初始條件可得：，Bn?0，An???2l?lEl0(l?x)sinn?xldx?2En?(n?1,2,?)

所以，v(x,t)???n?12En?cosn?atlElsinn?xl，??原混合問題的解函數為u(x,t)?3 求解下列阻尼波動問題的解：

(l?x)??n?12En?cosn?atlsinn?xl

?utt?2hut?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0

?u(x,0)??(x),u(x,0)??(x)t?其中，h為正常數，且h?a?2l。

解：使用分離變量法，設原定解問題的微分方程有如下分離變量形式非零解函數滿足邊界條件：

u(x,t)?X(x)T(t)

則容易算得：uxx(x,t)?X??(x)T(t),ut(x,t)?X(x)T?(t),utt(x,t)?X(x)T??(t)，代入方程后化簡可得：

T??(t)?2hT?(t)aT(t)2?X??(x)X(x)???

0?u(0,t)?X(0)T(t)?X(0)?0，0?ux(l,t)?X?(l)T(t)?X?(l)?0，T??(t)?2hT?(t)??aT(t)?0

?X??(x)??X(x)?0

?，?X(0)?0,X(l)?0?2由X(x)的非零性可得??0，此時，X(x)?c1cos?x?c2sin?x，X(0)?c1cos0?c2sin0?c1?0?X(x)?c2sin?x，取c2?1得：X(x)?sin?2n?1??l?0????n????

?2l?22?x,X?(l)??cos?2n?1?將?代入T(t)所滿足的方程可得：T??(t)?2hT?(t)???a?T(t)?0

?l?

?2?2n?1??2h????a??0????n??h??2l?2?(2n?1)?a?h???

2l??222

h??a2l?(2n?1)?a2l??n??h??(2n?1)?a?2???hi2l??(n?1,2,?)

從而有：

T(t)?Tn(t)?e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)，??2n?1??a???2l22其中

?n???h?(n?1,2,?)，（1）

設原混合問題的解函數為：

??

u(x,t)??n?1e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)sin(2n?1)?2lx，??

?(x)?u(x,0)?l?n?1Ansinl(2n?1)?2lx，(2n?1)?xl(1?cosdx?，?0?022l2l22l(2n?1)?xdx(n?1,2,?)

（2）所以

An???(x)sin0l2l而

sin2(2n?1)?xdx?1??ut(x,t)??n?1e?ht((?hAn??nBn)cos?nt?(hBn??nAn)sin?nt))sin(2n?1)?x2l

??

?(x)?ut(x,0)?1?n?1(?hAn??nBn)sin(2n?1)?x2l，Bn??n(hAn?2l?l0?(x)sin(2n?1)?x2ldx)。

（3）

??所以，原混合問題的解是u(x,t)??n?1e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)sin(2n?1)?2lx，其中的 ?n,An,Bn分別由（1）式、（2）式、（3）式給出。

4 求解混合問題

??uxx?LCutt?(LG?RC)ut?GRu?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?GEu(x,0)?E,u(x,0)??t?C?(0?x?l,t?0)

其中L、C、G、R為常數，且LG=RC。（提示：作函數變換u(x,t)?exp(?Rt/L)v(x,t)）

解：記a2?1LC,b?GC?RL，混合問題的微分方程兩邊同除LC，方程可化為

a2uxx(x,t)?utt(x,t)?2but(x,t)?b2u(x,t)，a?22?x(u(x,t)exp(bt))???t22(u(x,t)exp(bt))，設v(x,t)?u(x,t)exp(bt)，則有

a2vxx(x,t)?vtt(x,t)，而且，vx(x,t)?ux(x,t)exp(bt),()?0,所以

v(0,t)?u(0,t)expbtvt(x,t)?ut(x,t)exp(bt)?bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)?ux(l,t)expbt()?0，vt(x,0)?ut(x,0)?bu(x,0)?0，(?0)?u(x,0)?E, v(x,0)?u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合問題的解函數，則v(x,t)是如下混合問題的解函數：

?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,vx(x,t)?0?v(x,0)?E,v(x,t)?0t?(0?x?l,t?0)

用分離變量法求解此混合問題，設方程的分離變量解形式的滿足邊界條件的非零解為 v(x,t)?X(x)T(t)，則

vx(x,t)?X?(x)T(t)，vxx(x,t)?X??(x)T(t),vxx(x,t)?X??(x)T(t), X??(x)X(x)?T??(t)aT(t)2???

由齊次邊界條件可得，X(x)為如下定解問題的解：

?X??(x)??X(x)?0?X(x)?c1cos?x?c2sin?x，??X(0)?0,X(l)?0?

X(0)?0?c1?0，取c2?1得X(x)?sin?x，X?(l)?T??(t)aT(t)2?(2n?1)???cos?l?0????n???2l????n?T(t)?Tn(t)?Ancos(2n?1)?x2l2(n?1,2,?)，(2n?1)?at2l

(2n?1)?at2l?Bnsin，X(x)?Xn(x)?sin??(n?1,2,?)，設

v(x,t)??n?1(Ancos(2n?1)?at2ll?Bnsin(2n?1)?at2l)sin(2n?1)?x2l

代入初始條件可得：An???2l?0v(x,0)sin(2n?1)?x2ldx?4E(2n?1)?,Bn?0，所以

v(x,t)??(2n?1)?n?1??4Ecos(2n?1)?at2lsin(2n?1)?x2l

所以，原題目所給的混合問題的解函數為：

u(x,t)?exp(?bt)?n?14E(2n?1)?cos(2n?1)?at2lsin(2n?1)?x2l。用固有函數法求解

?utt?a2uxx?g(const),?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t?(0?x?l,t?0)

解：用分離變量法：設原混合問題的微分方程對應的齊次方程有如下分離變量形式的非零解函數：u(x,t)?X(x)T(t)，利用分離變量法的標準步驟可求得： ?(2n?1)??

???n???,2l??2X(x)?Xn(x)?sin(2n?1)?x2l(n?1,2,?)

將f(x,t)?g展開成Xn(x)的廣義Fourier級數如下：

fn(t)?2l?l0f(x,t)Xn(x)dx?2l?l0gsin(2n?1)?x2ldx?4g(2n?1)?，?T??(t)?a2?nT(t)?fn(t)16gl(2n?1)?at?T(t)?T(t)?(1?cos)?n3322l(2n?1)?a?T(0)?0,T?(0)?02[注：方程T??(t)?a?T(t)?fn(t)的通解為

Tn(t)?Ancos

(2n?1)?at2l?Bnsin(2n?1)?at2l?16gl(2n?1)?a332，代入初始條件即可得此處的結果。] 所以，題目所給的混合問題的解函數為

??u(x,t)??Tn(t)Xn(x)?n?1?(2n?1)16gl3?a32(1?cos(2n?1)?at2lt?0))sin(2n?1)?x2l。

?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0?6．求解混合問題?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?u(const)0?(0?x?l,。

解：用分離變量法：設混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數：u(x,t)?X(x)T(t)，則

ut(x,t)?X(x)T?(t),ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)，代入方程后化簡再由邊界條件可得：

T?(t)aT(t)2?X??(x)X(x)????T?(t)?a?T(t)?0,22X??(x)?aX(x)?0

u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0,ux(l,t)?X?(l)T(t)?0?X?(l)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的非零解函數：

?X??(x)??X(x)?0?X(0)?0,X?(l)?0

2?(0?x?l)

?(2n?1)??解之得 ???n???,2l??X(x)?Xn(x)?sin(2n?1)?x2l(n?1,2,?)，2?(2n?1)?a?

T?(t)??na2T(t)?0?T(t)?Tn(t)?Anexp?(??t)。

2l????設原問題的解函數為

u(x,t)??n?1(2n?1)?x?(2n?1)?a?，Anexp?(??t)sin2l2l????2由初始條件可得：

u0?u(x,0)??An?1nsin(2n?1)?x2l4u0，由此可得：

An?2l?l0u0sin(2n?1)?x2ldx?(2n?1)?2(n?1,2,?)，??所以，u(x,t)??n?1(2n?1)?x?(2n?1)?a? exp?(?t)sin?(2n?1)?2l2l??4u0 7 ?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0(0?x?l,?7．求解混合問題?u(0,t)?0,ux(l,t)??u(l,t)?0?u(x,0)??(x)?t?0)

解：用分離變量法：設混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數：u(x,t)?X(x)T(t)，則

ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t),ut(x,t)?X(x)T?(t)，代入方程后化簡，并由邊界條件可得：

T?(t)??a2T(t)?0,X??(x)??X(x)?0，u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0，ux(l,t)??u(l,t)?(X?(l)??X(l))T(t)?0?X?(l)??X(l)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的解函數：

?X??(x)??X(x)?0(0?x?l)

?

?X(0)?0,X(l)??X(l)?0?由u(x,t)是非零解可得：??0?X(x)?c1cos

X(0)?0?c1?0?X(x)?sin?x?x?c2sin?x

(letc2?1)，X?(l)??X(l)?設

tan?l?????cos?l??sin?l?0?tan?l??(n?1,2,?)，則???n??n

2??

????n?0所以，X(x)?Xn(x)?sin?nx，22((a?n)t)

T?(t)?(a?n)T(t)?0?T(t)?Tn(t)?Anexp?(n?1,2,?)，??設原混合問題的解函數為

u(x,t)??An?1nexp(?(a?n)t)sin?nx，2利用?Xn(x)?的正交性可求得 An???(x)sin?0lnxdx(n?1,2,?)。

?[注]：可以證明：?Xn(x)?具有正交性。

l0sin?nxdx2 8 ?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0?8．求解混合問題?u(0,t)??,u(l,t)???u(x,0)?u0?(0?x?l,t?0)，其中，?,?,u0為常數。

解：作函數變換 v(x,t)?u(x,t)?(??則

ut(x,t)?vt(x,t),???lx)?u(x,t)?v(x,t)?(?????l x)，uxx(x,t)?vxx(x,t)，u(0,t)??,u(l,t)???v(0,t)?0,v(l,t)?0，u(x,0)?u0?v(x,0)?u0?(?????lx)

所以，u(x,t)是原混合問題的解的充要條件是v(x,t)是如下混合問題的解： ?2?vt(x,t)?avxx(x,t)?0(0?x?l,?（*）

?v(0,t)?0,v(l,t)?0????v(x,0)?u?(??x)0?l?t?0)

用分離變量法求解（*），由分離變量法的標準步驟可得：

X(x)?Xn(x)?sin??n?xl,?n?a?T(t)?Tn(t)?Anexp?(??t)，?l???2

v(x,t)??Tn?1n(t)Xn(x)??n?1n?x?n?a?，Anexp?(??t)sinl?l???2代入初始條件可得：u0?(?????l2lx)?v(x,0)?l?n?1Ansinn?xln?xl

由?Xn(x)?的正交性可得：An?

An????0(u0?(??n???lx))sindx，2n?((u0??)?(?1)(??u0))(n?1,2,?)，2所以，v(x,t)??n?1n?x?n?a?n((u0??)?(?1)(??u0))exp(???t)sinn?l?l?2

u(x,t)?v(x,t)?(?????lx)。

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?9．求解 ?u(x,0)?x(x?a),limu(x,y)?0y?????u(0,y)?0,u(a,y)?0y?0)。

解：用分離變量法：設給定的定解問題中的微分方程有如下滿足齊次邊界條件的分離變量形式非零解：

u(x,y)?X(x)Y(y)，則

uxx(x,y)?X??(x)Y(y),uyy(x,y)?X(x)Y??(y)，uxx(x,y)?uyy(x,y)?X??(x)Y(y)?X(x)Y??(y)?0，X??(x)X(x)Y??(y)Y(y)????X??(x)??X(x)?0,Y??(y)??Y(y)?0，??

u(0,y)?X(0)Y(y)?0?X(0)?0，u(a,y)?X(a)Y(y)?0?X(a)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的解函數：

2??X??(x)??X(x)?0?n??????n??

??,X(0)?0,X(a)?0??a??X(x)?Xn(x)?sinn?yan?xa，從而有：Y(y)?Yn(y)?Anexp(又由另一個邊界條件可得：

n?ya)?Bnexp(?)(n?1,2,?)

（limun(x,y)?limXn(x)Yn(y)?0?An?0?Yn(y)?Bnexp?y???y???n?ya)，????設原定解問題的解函數是u(x,y)??n?1un(x,y)??n?1Bnexp(?n?ya)sinn?xa，??則

u(x,0)?x(x?a)?x(x?a)??n?1Bnsinn?xa?

Bn??a2a0x(x?a)sinn?xandx?22aan?n?ya333((?1)?1)n(n?1,2,?)，所以，u(x,y)?10．求解邊值問題：

4a2???3?n?1(?1)?1n3exp(?)sinn?xa。

??uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?

?u(0,y)?0,u(a,y)?0?x?xu(x,0)?0,u(x,b)?sin?aa?0?y?b)。

解： 用分離變量法：設給定的定解問題中的微分方程有如下分離變量形式的滿足齊次邊界條件的非零解：

u(x,y)?X(x)Y(y)，則有：

uxx(x,y)?X??(x)Y(y), X??(x)X(x)Y??(y)Y(y)uyy(x,y)?X(x)Y??(y)，??0?X??(x)??X(x)?0,Y??(y)??Y(y)?0，u(0,y)?X(0)Y(y)?0?X(0)?0，同理 X(a)?0，所以，X(x)是如下二階常微分方程邊值問題的解函數：

2??X??(x)??X(x)?0?n??????n??

??,X(0)?0,X(a)?0??a??Xn(x)?sinn?yan?xa，Y??(y)??nY(y)?0?Y(y)?Yn(y)?Ancosh??n?y，?Bnsinha設原定解問題的解為：u(x,y)??n?1(Ancoshn?ya?Bnsinhn?ya)sinn?xa，??則

0?u(x,0)??n?1Ansinn?xa?An?0(n?1,2,?)，xasin?xa2a???u(x,b)?n?ba?n?1aBnsinhn?basinsinn?xadx，所以，Bn?(sinh)?1?xa0sin?xan?xan?b??2

???sinh?a???1?1?(?1)n1?(?1)n??(n?1)2?(n?1)2?????(n?2,3,?)

axb??x?x?b??

B1?(sinh)?1?sinsindx??2sinh?0aaaaaa??2?1。

??所以，原定解問題的解函數為u(x,y)??n?1Bnsinhn?yasinn?xa，其中的Bn由以上式子給出。11．求解邊值問題

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?k(0?x?a,?

?u(0,y)?0,u(a,y)?0?u(x,0)?0,u(x,b)?0?0?y?b)，提示：令u(x,y)?v(x,y)?w(x),而w(x)滿足條件w??(x)?k,w(0)?w(a)?0。解：令w(x,y)?k2x(x?a),v(x,y)?u(x,y)?w(x,y)，則

vxx(x,y)?uxx(x,y)?wxx(x,y)?uxx(x,y)?k，vyy(x,y)?uyy(x,y)?wyy(x,y)?uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)?uyy(x,y)?k?vxx(x,y)?vyy(x,y)?0，u(0,y)?0,u(a,y)?0?v(0,y)?0,v(a,y)?0，u(x,0)?0,u(x,b)?0?v(x,0)?k2x(x?a),v(x,b)?k2x(x?a)

所以，u(x,y)是原定解問題的解的充要條件是v(x,y)是如下定解問題的解： ??vxx(x,y)?vyy(x,y)?0?（*）?v(0,y)?0,v(a,y)?0，?kkv(x,0)?x(x?a),v(x,b)?x(x?a)?22?用分離變量法求解（*），由分離變量法的標準步驟可得：

v(x,y)?X(x)Y(y)?X??(x)??X(x)?0,?n??

?n???,?a?2Y??(y)??Y(y)?0，Xn(x)?sinn?xa,n?yn?yYn(y)?Anexp()?Bnexp?()

aa(n?1,2,?)，v(x,y)?vn(x,y)?Xn(x)Yn(y)??設（*）的解函數為v(x,y)??n?1(Anexp(n?yak2)?Bnexp(?n?ya))sinn?xa

??則

v(x,0)??n?1??(An?Bn)sinn?xa?1?x(x?a)，v(x,b)??n?1(AnDn?BnDn)sinn?xa，（其中 Dn?exp(n?ba)）

若記

Cn??a2ak20x(x?a)sinn?xadx?2k2aa2n?333((?1)?1)，3?1??n?b??)?1?Cn??An??exp(A?B?C??annn???則有： ?，??1?1AD?BD?Cn?bn?b??nnn?nn?B?exp()?exp()?1?Cnn??a?a??? 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式給出。而題目所給的定解問題的解函數為

u(x,y)?v(x,y)?w(x,y)?v(x,y)?12．求解邊值問題

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?

?u(x,0)?0,u(x,b)?0?u(0,y)?y(y?b),u(a,y)?0?0?y?b)k2x(x?a)。

解：用分離變量法求解此定解問題：設u(x,y)?X(x)Y(y)，由分離變量法的標準過程

n?y?n??可得

????????n???,Yn(y)?sinX(x)Y(y)b?b?X??(x)??nX(x)?0?X(x)?Xn(x)?Anexp(n?xb)?Bnexp(?n?xb)(n?1,2,?)X??(x)Y??(y)2設原定解問題的解函數為

????

u(x,y)??n?1Xn(x)Yn(y)??n?1(Anexp(n?xb??)?Bnexp(?n?xb))sinn?yb，則由關于x的邊界條件可得：y(y?b)?u(0,y)?2b?n?1(An?Bn)sinn?yb，An?Bn??b0y(y?b)sinn?ybdy

??

0?u(a,y)?n?ab?n?1(Anexp(n?abn?ab?1b)?Bnexp(?n?ab))sinn?yb，Anexp(所以

An??

Bn?2b)?Bnexp?(2n?abb)?0，y(y?b)sin)?1)?12b(exp()?1)?n?yb0dy，n?ybdy，exp(??2n?a)(exp(2n?ab?b0y(y?b)sin所以，u(x,y)?所以，……。

13.求解混合問題

?(An?1nexp(n?xb)?Bnexp(?n?xb))sinn?yb

3?x3?at?2u(x,t)?au(x,t)?sinsinxx?tt2l2l?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t??(0?x?l,t?0)。

解：用分離變量法求解此混合問題：設原給定的混合問題中的微分方程對應的齊次方程有如下分離變量形式的滿足邊界條件的非零解：

u(x,t)?X(x)T(t)?ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)，ut(x,t)?X(x)T?(t),utt(x,t)?X(x)T??(t)，utt(x,t)?a2uxx(x,t)?0?

X??(x)??X(x)?0, 由邊界條件可得：u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0，ux(l,t)?X?(l)T(t)?0?X?(l)?0，所以，X(x)是如下邊值問題的非零解函數：

?X??(x)??X(x)?0

?

?X(0)?0,X(l)?0?X??(x)X(x)?T??(t)aT(t)2???

?(2n?1)??求解此問題，可當???n???時，問題有非零解，其解函數集構成一個

2l??2一維線性空間，它的一個基向量函數為X(x)?Xn(x)?sin令

fn(t)?2l(2n?1)?x2l2lsin，dx，?l0f(x,t)Xn(x)dx?,fn(t)?0,?l0sin3?x2lsin3?at(2n?1)?x2l則

f2(t)?sin3?at2l(n?1,3,4,5,?)

令{Tn(t)}為如下初值問題的解函數： ?T??(t)??na2T(t)?fn(t)

??T(0)?0,T?(0)?0(t?0)，（1）

則Tn(t)?0(n?1,3,4,5,?)，對于n=2,可用常數變易法來求：

T??(t)??2aT(t)?0?T(t)?Acos設（1）的解函數為 T(t)?A(t)cos則 T?(t)?A?(t)cos令

A?(t)cos3?at2l?B?(t)sin3?at2l3?at2l3?at?B(t)sin?3?a2l2l3?at2l?Bsin3?at2l，3?at2l?B(t)cos3?at2l)

(?A(t)sin3?at2l?B?(t)sin3?at2l?0，14 則

T?(t)?3?a2l3?a2l(?A(t)sin3?at2l3?at?B(t)cos)，2lT??(t)?(?A?(t)sin3?at2l?B?(t)cos3?a2l3?at3?at3?at?3?a?)???B(t)sin)?(A(t)cos2l2l2l?2l?3?at2l3?at ?B?(t)cos)?f2(t)，2l2

T??(t)??2a2T(t)?f2(t)?(?A?(t)sin3?at3?at??(t)cos?(t)sinA?B?0?2l2l也就是：

?，3?a3?at3?at3?at?(?A?(t)sin?B?(t)cos)?sin2l2l2l?2l求解此線性方程組得：A?(t)??22l3?asin23?at2l,B?(t)?2l3?asin23?at2lcos3?at2l，3?atl?l?

A(t)??sin?t?c1,?l3?a?3?a?3?at?l? B(t)???cos?c2，?l?3?a?所以，（1）的解為：

3?atl3?at3?at3?at?l?

T(t)?T2(t)?? ?tcos?c1cos?c2sin?sin3?a2l3?a2l2l2l??2由初始條件T(0)?0,T?(0)?0可得：c1?0,2l22?l?c2???，?3?a?3?at2l2所以，T2(t)??3?a?sin3?at2l?l3?atcos，所以，題目所給的定解問題的解函數為：

??

u(x,t)?14．求解混合問題

?n?1?2l23?atl3?atXn(x)Tn(t)??sin?tcos?(3?a)22l3?a2l??3?x?sin。?2l?2?x?2u(x,t)?au(x,t)?sin(0?x?l,xx?ttl?

?u(0,t)?0,u(l,t)?0?3?x2?xu(x,0)?2sin,u(x,0)?sint?ll?t?0)。

解：作函數變換v(x,t)?u(x,t)?w(x)，其中w(x)為待定函數，則

vtt(x,t)?utt(x,t),vt(x,t)?ut(x,t),vxx(x,t)?uxx(x,t)?w??(x)，22

vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?a(uxx(x,t)?w??(x))

?utt(x,t)?auxx(x,t)?aw??(x)，15 設u(x,t)是原定解問題的解函數，2?xl取aw??(x)?sin222?x?l?，則有： ?0，即w(x)???sinl?2?a?222vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?auxx(x,t)?aw??(x)?sin2?xl ?aw??(x)?0，2而

v(0,t)?u(0,t)?w(0)?0?0?0,3?xlv(l,t)?u(l,t)?w(l)?0

v(x,0)?u(x,0)?w(x)?2sin2?xl2?x?l?，???sin2?al??2

vt(x,0)?ut(x,0)?sin，所以，v(x,t)為如下定解問題的解函數： ??v(x,t)?a2v(x,t)?0ttxx??（*）

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?3?x?l???v(x,0)?2sin?l?2?a?(0?x?l,2?x?sin,?l?2t?0)，vt(x,0)?sin2?xl用分離變量法求解此定解問題：由分離變量法的標準過程可得： ?n??

???n???,l??2X(x)?Xn(x)?sinn?atl?Bnsinn?atln?xl,，T(t)?Tn(t)?Ancos設（*）的解函數為

??(n?1,2,?)

??

v(x,t)??n?1un(x,t)??n?1(Ancosn?atl?Bnsinn?atl??)sinn?xl，由初始條件可得：2sin3?xl2?x?l????v(x,0)??sin2?al??22?n?1Ansinn?xl

?l?可得： A1?0,A2????,A3?2,?2?a???An?0(n?4,5,?)

n?atlln?a

vt(x,t)??n?1n?al??(?Ansinn?atln?xl?Bncos)sinn?xl，sin2?xl?vt(x,0)??n?1n?alBnsin?B2?,Bn?0(n?1,3,4,5,?)

2?atl2?at2?x3?at3?x?l?所以，v(x,t)?(??，cos?sin)sin?2cossin?l2?allll?2?a?2所以，題目所給的定解問題的解函數為u(x,t)?v(x,t)?w(x)。15． 求解混合問題

2??x2sin?x(0?x?l,?utt(x,t)?auxx(x,t)??l?

?u(0,t)??t,u(l,t)?sin?t?u(x,0)?0,u(x,0)??(?為常數)t??t?0)。

[注]：此定解問題中的微分方程非齊次項中的sin?x應為sin?t，才能得到書中答案。

解：先將邊界條件齊次化：令v(x,t)?u(x,t)?((sin?t??t)??t)，lx則

vtt(x,t)?utt(x,t)?xl?sin?t,2vxx(x,t)?uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解問題的解函數，則

vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?2xl2?sin?t?auxx(x,t)

xl22

?utt(x,t)?auxx(x,t)?0l?sin?t?0，2?t??t)??t)??t??t?0，v(0,t)?u(0,t)?((sin?t??t)??t)??t??t?0，v(l,t)?u(l,t)?((sinll

v(x,0)?u(x,0)?0?0,vt(x,0)?ut(x,0)?(xl(?cos?*0??)??)?0，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數：

?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?v(x,0)?0,v(x,0)?0t?(0?x?l,t?0)?v(x,t)?0，所以，原定解問題的解函數為 u(x,t)?xl(sin?t??t)??t

?utt(x,t)?a2uxx(x,t)?3?x2?te?x?16． 求解 ?ux(0,t)?t,ux(l,t)?u(l,t)?t?u(x,0)?0,u(x,0)?1?e?xt?(0?x?l,t?0)。

解：作如下函數變換：v(x,t)?u(x,t)?t(1?e?x)?u(x,t)?t?te?x，若u(x,t)是原定解問題的解函數，則經驗證可得：v(x,t)是如下定解問題的解函數： ?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?3?x2?(1?a2)te?x?

?vx(0,t)?0,vx(1,t)?v(1,t)?0?v(x,0)?0,v(x,0)?0t?(0?x?1,t?0)

用分離變量法求解此定解問題：設v(x,t)?X(x)T(t)，T??(t)aT(t)2由分離變量法的標準過程可得：

?X??(x)X(x)????X??(x)??X(x)?0，vx(0,t)?0,vx(1,t)?v(1,t)?0?X?(0)?0,X?(1)?X(1)?0 由X(x)所滿足的方程可得：X(x)?c1cos?x?c2sin?x，由邊界條件可得：c2?0,??0，取c1?1，則得X(x)?cos

X?(1)?X(1)?0???sin??cos??0?2所以，???n??n,X(x)?Xn(x)?cos?nx?x，??ctg?，(n?1,2,?)，其中，?n是方程??ctg?的所有正解。因為

?10cos?nxdx?22?100.5(1?cos2?nx)dx?0.5(1?sin?n)，2令

fn(t)?1?sin?n21?sin22??10f(x,t)cos?nxdx

?1?n0((3?x)?(1?a)te22?x)cos?nxdx

?4sin?n?(1?sin?n)??3n2?2(1?a)sin?n1?sin?n222t?bn?cnt

則

f(x,t)??n?1fn(t)cos?nx，??設原定解問題的解函數為v(x,t)??Tn?12n(t)cos?nx，??則

vtt?avxx?2?(Tn?1?n??(t)?a?T(t))cos?nx?2n?n?1fn(t)cos?nx，?22從而有：

Tn(t)?a?nTn(t)?fn(t)(n?1,2,?)，?由初始條件可得：v(x,0)?vt(x,0)?0?Tn(0)?Tn(t)?0，所以，Tn(t)為如下初值問題的解函數： ?22??Tn(t)?a?nTn(t)?fn(t)

????Tn(0)?0,Tn(0)?0(t?0)

?22用常數變易法：Tn(t)?a?nTn(t)?0?Tn(t)?Ancosa?nt?Bnsina?nt，設此邊值問題的解為： Tn(t)?An(t)cosa?nt?Bn(t)sina?nt，?A?(t)cosa?t?B?(t)sina?t?0nnnn?經簡單推導得： ?，1???A(t)sina?t?B(t)cosa?t?f(t)nnnnn?a?n?1??A(t)??fn(t)sina?ntn?a?n?解此線性方程級：?

1??Bn(t)?fn(t)cosa?nt?a?n?積分并利用初始條件可得：

cn1?A(t)?((b?ct)cosa?t?b)?sina?ntnnnn23?n?a?n??a?n??

?，cn1?Bn(t)?(bn?cnt)sina?nt?(cosa?nt?1)23??a?n??a?n??

Tn(t)?An(t)cosa?nt?Bn(t)sina?nt

?1?a?n?bn2?bn?cnt??1?a?n?2(bncosa?nt?cna?nsina?nt)

??a?n?2???1?cosa?nt??cn?a?n?2??1?t??sina?tn? ?a?n??所以，u(x,t)??Tn?1n(t)cos?nx，其中的Tn(t)、bn、cn和?n均由以上各式給定。[注]課本上的答案為此處的a=1。

?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0(0?x?l,?17． 求解 ?ux(0,t)??,ux(l,t)???u(x,0)?A(A,?為常數)?t?0)。

解：設u(x,t)是原定解問題的解函數，作函數變換v(x,t)?u(x,t)??x，19 則

vt(x,t)?ut(x,t),vx(x,t)?ux(x,t)??,vxx(x,t)?uxx(x,t)

vx(0,t)?ux(0,t)?0,vx(l,t)?ux(l,t)?0,v(x,0)?u(x,0)??x?A??x，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數：

?vt(x,t)?a2vxx(x,t)?0(0?x?l,t?0)?

?vx(0,t)?0,vx(l,t)?0

?v(x,0)?A??x?用分離變量法求解此定解問題：設v(x,t)?X(x)T(t)為微分方程的滿足齊次邊界條件的非零解函數，則將v(x,t)代入方程后化簡可得：

T?(t)aT(t)?X??(x)X(x)????T?(t)?a?T(t)?0,2X??(x)??X(x)?0，vx(0,t)?0,vx(l,t)?0?X?(0)?0,X?(l)?0，所以，X(x)為如下邊值問題的非零解函數：

2???n?????n???X??(x)??X(x)?0(0?x?l)????l????????X(0)?0,X(l)?l?X(x)?X(x)?cosn?xn??l??(n?0,1,2,?)

將???n代入T(t)的方程可得：

?n?a?

T?(t)?a2?nT(t)?0?T(t)?Tn(t)?Bnexp?(??t)l??n?x?n?a?所以，vn(x,t)?Tn(t)Xn(x)?Bnexp(??。?t)cosll????22(n?0,1,2,?)，設

v(x,t)??n?0n?x?n?a?，Bnexp?(??t)cosl?l???2則由初始條件可得：A??x?v(x,0)?1l2l?n?0Bncosn?xl

可得：

B0?

Bn??)0l(A??x)dx?A?12?l，(n?1,2,?)，n?x2?ln(A??x)cosdx?(1?(?1))22?0lln? 20 所以，v(x,t)?A?

12???l??n?12?ln?22n?x?n?a?。(1?(?1))exp(??t)cos?l?l?n2?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?f(x)(0?x?l,?18． 求解 ?u(0,t)?A,u(l,t)?B(A,B為常數)?u(x,0)?g(x)?t?0)。

解：設F(x)??(?0xx0f(x)dx)dx，w(x)?1a2F(x)?(A?B)a?F(l)al22x?A，1a2

v(x,t)?u(x,t)?w(x)?vt(x,t)?ut(x,t),vxx(x,t)?uxx(x,t)?

vt(x,t)?a2vxx(x,t)?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?f(x)?0，1a1a22f(x)，v(0,t)?u(0,t)?w(0)?A?F(0)?(A?B)a?F(l)al2220?A?0，v(l,t)?u(l,t)?w(l)?B?F(l)?(A?B)a?F(l)al2l?A?0，v(x,0)?u(x,0)?w(x)?g(x)?w(x)，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數：

?vt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?v(x,0)?g(x)?w(x)?(0?x?l,t?0)，用分離變量法可求得：

??

v(x,t)?其中，An??n?1n?x?n?a?，Anexp?(??t)sinll??(g(x)?w(x))sin??22l?ln?xl20dx(n?1,2,?)。

所以，u(x,t)??n?1n?x?n?a?Anexp(???w(x)。?t)sinl?l?21．在扇形區域內求解邊值問題

??u?0(r?a,0????)?

?u(r,0)?0,u(r,?)?0。

?u(a,?)?f(?)?解：由極坐標下的Laplace算子表達式可知：

1???u?1?u2

?u??0?rurr?rur?u???0。?r??22r?r??r?r??2用分離變量法求解此定解問題：設u(r,?)?R(r)?(?)，代入以上微分方程化簡后可rR??(r)?rR?(r)R(r)2得

?????(?)?(?)2：

??????(?)???(?)?0,rR??(r)?rR?(r)??R(r)?0

u(r,0)?R(r)?(0)?0??(0)?0, u(r,?)?R(r)?(?)?0??(?)?0，所以，?(?)是如下邊值問題的非零解函數：

2???n?????n??????(?)???(?)?0???????

?????(0)?0,?(?)?0????(?)?sinn?xn?????(n?1,2,?)，2n?/??n?/??Bnr

rR??(r)?rR?(r)??nR(r)?0?R(r)?Rn(r)?Anr，n?/?又顯然有：R(0)????Bn?0，也就是：Rn(r)?Anr，所以，un(r,?)?Rn(r)?n(?)?Anr??n?/?sinn???sin，n??設原定解問題的解函數是 u(r,?)??n?1Anrn?/??n?/?，??由關于r的邊界條件可得：f(?)?u(a,?)?其

?n?1Anasinn???，中

An?a?n?/?2???0f(?)sinn???2d?(n?1,2,?)，n?/?n??????r?所以，u(r,?)????f(?)sind?????n?1?0???a???sinn???。

??u?0(1?r?2,0????)?22 求解邊值問題

?u(1,?)?sin?,u(2,?)?0。

?u(r,0)?0,u(r,?)?0?解：由極坐標下的Laplace算子表達式可知：

1???u?1?u2?0?rurr?rur?u???0

?u??r??22r?r??r?r??

2用分離變量法求解：設u(r,?)?R(r)?(?)代入方程中并化簡得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0，???????(?)????(?)???(?)?0???(?)

u(r,0)?0,u(r,?)?0??(0)?0,?(?)?0，?????(?)???(?)?0

???(0)?0,?(?)?0?2??n??2????n???n????????(?)??(?)?sinn?n?(n?1,2,?)，將???n?n2代入R(r)所滿足的方程可得：

r2R??(r)?rR?(r)?n2R(r)?0?R(r)?Rn(r)?Anrn?Bnr?n，????n設原定解問題的解函數為 u(r,?)??Rn?1(r)?n(?)??(An?1nr?Bnrn?n)sinn?，???n?n0?u(2,?)??(An2?Bn2)sinn???n?1由r的邊界條件可得：

?，???sin??u(1,?)??(An?Bn)sinn??n?1?容易得到：

An?Bn?0(n?2,3,?)，?1??1A????1?2A?2B1?0

3，?1??4B1?1?A1??B1??3??所以，u(r,?)?????13r?43r?1??sin?。?2?(r?a)?uxx?uyy?y23． 求解邊值問題 ? 222??ur?a?xy,r?x?y解：作函數變換 v(x,y)?u(x,y)?112y，24則有：

vxx(x,y)?uxx(x,y),vyy(x,y)?uyy(x,y)?y 此時，有：

vxx?vyy?uxx?uyy?y?y?y?0，所以，v(x,y)是如下邊值問題的解函數：

222 23 ?vxx?vyy?0(r?a)?

? 14222v?xy?y,r?x?y?12?r?a將此定解問題由直角坐標改為極坐標：

?r2vrr?rvr?v???0(r?a)?

?1424v(a,?)?acos?sin??asin??12?(x?rcos?,y?rsin?)，用分離變量法求解此定解問題：設v(r,?)?R(r)F(?)，由分離變量法的標準步驟rR??(r)?rR?(r)R(r)2容易得到：

?F??(?)??F(?)?0??????2，???rR(r)?rR(r)??R(r)?0F(?)?F??(?)由v(r,?)的實際意義可知：F(?)是以2?為周期的周期函數，R(0)??? 所以

???n?n2,F(?)?Fn(?)?Ancosn??Bnsinn?(n?0,1,2?)

22n?nn

rR??(r)?rR?(r)?nR(r)?0?R(r)?c1r?c2r,letRn(r)?r，????n設

v(r,?)??Rn?0(r)Fn(?)??(An?0??nncosn??Bnsinn?)r

由關于r的邊界條件可得：v(a,?)?112?(An?04ncosn??Bnsinn?)a，n而

v(a,?)?acos?sin??

??所以，A0??13213242asin?

12412acos2??19644a?412asin2??1a,B2?22196acos4?，4a,A2?24,A4??，其余的An、Bn的值均為零。所以，v(r,?)?? u(r,?)??1324132a?r(242124acos2??12212sin2?)?1964196rcos4?，112rsin?。

444a?r(124acos2??2sin2?)?rcos4?????u?0(r?a,0???)?2?24.求解邊值問題 ?ur(a,?)?f(?)。

??u(r,0)?0,u(r,)?0?2?解：因為其自變量的取值區域是扇形區域，所以可在極坐標系下用分離變量法求解此定 24 解問題，因為，?u?1?r?rr?u?r?1?ur22??2?0，設 u(r,?)?R(r)?(?)，求出其各階偏導數并代入方程后化簡可得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0 ?????????(?)??(?)???(?)?0???(?)?(由u(r,?)關于?的邊界條件可得

?(0)?0,?2)?0

????(?)???(?)?0????n?4n2?所以

?????(0)?0,?()?0??n(?)?sin2n??2?(n?1,2?)

r2R?(r)?rR?(r)?4n2R(r)?0?R?Rn(r)?Anr2n?Bnr?2n

u(0,?)????Rn(0)????Rn(r)?Anr??2n

設原定解問題的解函數為

u(r,?)??An?1nr2nsin2n?，??則

ur(r,?)??2nAn?1nr2n?1sin2n?，??由邊界條件得

f(?)?ur(a,?)?從而有：

An?2n?a2n?1?2nAn?1na2n?1sin2n?

??/20f(?)sin2n?d?

（1）

??所以，原定解問題的解函數為u(r,?)?其中的系數由（1）式給出。

?An?1nr2nsin2n?，???u?xy(r?a,0???)?2?25．求解邊值問題

?ur(a,?)?f(?)

??222u(r,0)?0,u(r,)?0,r?x?y?2?解：設w(x,y)?112xy(x?y)，作函數變換v(x,y)?u(x,y)?w(x,y)，22則

?v?vxx?vyy?uxx?uyy?(wxx?wyy)?0 在極坐標下：

v(r,?)?u(r,?)?w(r,?)?u(r,?)?124rsin2?，25

vr(r,?)?ur(r,?)?

vr(a,?)?ur(a,?)?經驗算得知：

v(r,0)?0,v(r,1616rsin2?，asin2?，33?2)?0，所以，v(r,?)為如下邊值問題的解函數：

2?1??v1?v(r)?2?0??v?2r?r?rr???13?v(a,?)?f(?)?asin2??r6??v(r,0)?0,v(r,?)?0?2?(r?a,0????2)

用分離變量法求解，設v(r,?)?R(r)?(?)代入方程并化簡得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0??????，?(?)????(?)???(?)?0???(?)由關于?的邊界條件可得：?(0)?0,?(?2)?0，(n?1,2,?)，2由此可得： ???n?4n,???n(?)?sin2n?222n?2n

rR??(r)?rR?(r)?4nR(r)?0?R?Rn(r)?Anr?Bnr，v(0,?)????R(0)????Rn(r)?Anr????n2n。

設

v(r,?)??Rn?13(r)?n(?)??An?1nr2nsin2n?，則

f(?)?16??asin2??vr(a,?)?2?2nAn?1na2n?1sin2n?，??由可求得： v(r,?)??An?1nr2nsin2n??a12rsin2?，2其中，An?2n?a2n?1??/20f(?)sin2n?d?，124rsin2?。

u(r,?)?v(r,?)?

第四篇：習題答案

第一章

1、心理的本質是什么？

答：（1）心理是大腦的機（2）心理是大腦對客觀現實的反映。

2、什么是心理發展？

答：心理發展是指個體從胚胎開始經歷各個年齡階段（兒童、少年、青年、中年、老年）一直到死亡的生命全程中心理的發展變化。

3、大學生心理發展的一般特點有那些？

答：（1）心理發展的過渡性（2）心理發展的可塑性（3）心理活動的兩極性（4）心理發展的階段性

4、實驗法與非實驗法的區別是什么？

5、測驗法與問卷法的區別是什么？

第二章

1、大學生心理健康的標準什么?

答:(1)能保持對學習的濃厚興趣和強烈的求知欲望(2)情緒協調,心境良好.(3)意志健全,熱愛生活,樂于工作(4)人格完整,悅納自我.2．影響大學生心理健康的因素有哪些?

答:影響大學生心理健康的因素是多方面的,其中主要原因有心理因素,個人因素,家庭因素,學校因素,社會因素等.3．大學生心理健康教育應遵循哪些原則?

答：從大學生心理健康指導思想出發，大學生心理健康應遵循以下原則：

(1)教育性原則（2）主體性原則（3）全體性和整體性原則(4)民主，平等的原則

（5）預防、發展重于矯治的原則

4．大學生心理健康教育的主要任務和內容是什么？41頁

答：

5．大學生心理健康教育開展的途徑和方法有哪些?

答：大學生心理健康教育要以課堂教學、課外教育指導為主要渠道和基本環節，形成課內與課外、教育與指導、咨詢與自助緊密結合的心理健康工作的網絡和體系。可采取以下具體形式：（1）在思想道德修養課中，科學安排有關心理健康教育的內容。

（2）開設大學生心理健康教育的選修課或專題講座、報告。

（3）結合教學工作過程，滲透對學生進行心理健康教育的內容。

（4）開展大學生心理輔導或咨詢工作。（包括：個體咨詢面談；團體咨詢；角色扮演）

（5）開展心理測評，建立心理檔案。

（6）加強校園文化建設，通過第二課堂活動，廣泛宣傳、普及心理健康知識，促進學生全面發展和健康成長。

6．大學生心理健康的預警機制由哪些層面工作來保證?

答:大學生健康預警是靠完整、嚴密的機制為保證而得以實現的，其工作重點是“及時發現”。

（1）定期普查（2）班級監控（3）院系參與（4）專業人員介入（5）學校統籌

7．如何發現大學生群體中易于發生心理危機的高危個體？52頁

8．如何促進和維護大學生心理健康?

答：我們認為，大學生心理健康水平和以下四個方面因素關系密切：個體所承受的壓力、自我的強度、應付壓力的技能、社會支持系統。一次，可以從四個方面因素著手，維護、促進大學生心理健康水平。

（1）調整認知，正確對待壓力與挫折。（2）營造積極的自我概念。（3）掌握有效的應對技能。（4）營造有力的社會支持系統。

9．大學生心理健康教育管理體系包括哪些方面

答：大學生心理健康教育管理體系要做到組織嚴密、職責分明、運轉良好，應主要包括管理機構組成、教育隊伍建設、教育教學設置、教育實施途徑、心理危機干預、管理制度建設和經驗交流與研討等幾個組成部分。

第三章

1．學習的三要素包括哪些？63頁

2．簡述學習理論(行為主義和認知學派至少各三種)？

3．如何理解學習策略？大學生學習策略不同于中學生學習策略的特點有哪些?

答：首先，學習策略是內隱的學習規則系統。第二，學習策略是具體的學習方法或技能。第三，學習策略是學習活動過程或步驟。第四，學習策略時學習的調控過程。第五，學習策略時學習方法和學習調控的有機統一。

與中小學生相比，大學生的自我意識提高，運用學習策略的能力增強，相應地在學習策略上表現出與中小學生不同的特點。（1）自主性選擇（2）個性化77頁

4．大學生常用的學習策略有哪些?

答：（1）閱讀策略----SQ3R法（分別代表瀏覽、提問、閱讀、背誦、復習）；PQ4R法（分別代表預習、提問、閱讀、反思、背誦、復習）（2）問題解決的IDEAL策略---識別、界定、探索、實施、審查

5、如何培養認知策略？80

6．什么是學習動機?說明學習動機與學習的關系？87--88

7．如何培養與激發大學生的學習動機?

第一，大學生學習動機的培養：

（1）明確學習目的，提升學習自主性。（2）幫助學生確立學習目標。（3）培養學生學習興趣，增強內在學習動機。（4）利用原有動機的遷移，使學生產生學習的需要。（5）培養學生的積極歸因。

第二，大學生學習動機的激發

（1）創設問題情境，激發求知欲。（2）充分利用學習結果的反饋與評價作用。（3）開展學習競賽活動。

8．大學生常見的學習心理問題有哪些？如何進行調適?93--98

第四章

1．談談你對智力含義的看法？為什么難以形成統一的智力定義?101--10

22．列舉幾種常用的智力測驗？

答：（1）比奈智力量表（2）韋氏智力量表（3）考夫曼智力量表（4）武德庫克—約翰遜任職能力測驗。

3．簡述皮亞杰、加德納、斯滕伯格智力理論的主要內容？105--107

4．簡述大學生智力發展的主要特點。

答：（1）流體智力達到高峰，晶體智力繼續上升

有研究者對大學生智力發展特征進行過以下描述

1）注意力集中，注意分配能力好。

2）觀察具有目的性和自覺性

3）記憶具有鮮明的個性色彩

4）思維的獨創性和想象的創造性顯著增強。

（2）辯證思維逐漸成熟

5談談你對大學生智力培養的看法？110

6．談談你對創造力含義的看法？113

7．列舉幾種常用的創造力測驗？

創造力的測量主要從創造性思維和創造性人格兩個方面進行的。

（1）創造性思維測驗有：托蘭斯創造性思維測驗；南加利福尼亞大學測驗；芝加哥大學創造力測驗；沃利奇—凱根測驗

（2）創造性人格測驗有：自我陳述法和投射技術測驗法

8．簡述吉爾福特創造力理論的主要內容。118

9．簡述大學生創造力發展的主要特點。

答：（1）處在創造心理的大覺醒時期，對創造充滿渴望和憧憬。

（2）傳統的習慣力束縛較少，敢想敢說敢做，不被權威名人所嚇倒，有一種“初生牛犢不怕虎”的精神

（3）創新意識強，敢于標新立異，思維活躍，心靈手巧，富有創造性，靈感豐富。

（4）在創造中已展露頭腳，孕育著更大的創造性。

不足：（1）想象豐富，但有時會脫離實際。

（2）思維敏捷，但不善于掌握創造性思維的方式，不能靈活的、全面的、辯證地看待問題，易鉆牛角尖。

（3）靈感迸發快，但不善于捕捉有價值的想法。

（4）具有創新的勇氣，但不善于利用周圍有利的條件，以注重自我的想法而忽視向他人求教，只重書本知識而忽視實踐經驗。

10．談談你對大學生創造力培養的看法。

答：（1）忠實自己的信念，不迷信權威

（2）激發熱情，尊重真理

（3）提供包容和民主的環境，培養自主性

（4）拓展教學內容，改善教學方法

（5）積極培養創造思維能力。

第五章

1、什么是情緒、情感?情緒與情感有什么異同?131

2．情緒與情感具有哪些功能?

答：適應的功能；動機的功能；組織的功能；信號的功能

3．人的情緒狀態一般分為哪幾種?

答：心境；激情；應激

4大學生的情緒、情感發展有什么特點?

答:豐富性和復雜性；波動性和兩極性；沖動性和爆發性；外顯性和內隱性。

5什么是情緒、情感教育?情緒、情感教育的目的是什么?143

6．情緒健康的標準有哪些?1427、大學生常見的情緒、情感問題有哪些?

答：常見的情緒問題有：焦慮、抑郁、憤怒、嫉妒。

常見的情感問題有：冷漠、社會責任感淡化、審美觀錯位

8、大學生常見的情緒、情感問題產生的原因是什么?

(1)外在的客觀原因：社會環境的影響；學校環境的影響；家庭因素的影響。

（2）自身原因：不能正確地認識自己；人際交際受挫；性和戀愛引起的情緒波動；重要的喪失。

9、什么是情商?情商與智商有什么關聯?152--15310、情商的高低與大學生的發展有什么關系?153--15411、什么是情緒調節?

答：我們認為情緒調節是指個體完成目標對情緒、情緒相關的行為、情緒誘發的情境進行的監控，評估、修正等調整過程，以適應外界情境和人際關系的需要。

12．大學生的情緒調節方式有哪些?156

13．大學生的情感教育應從哪些方面著手?

（1）教育學生做一個快樂的自己（2）激發大學生的積極情感（3）加強高級社會性情感的培養。

第六章

1、什么是品德? 比較品德和道德的聯系與區別?162—1632、簡述品德的心理結構？

答：品德的心理結構是指品德這種個體心理現象的組成成分，品德包含道德認識，道德情感、道德意識和道德行為幾種心理成分。品德具有整體性，品德結構中的道德認識，道德情感、道德意識和道德行為之間是相輔相成的、相互影響、相互作用的。道德情感是在道德認識的基礎上產生的，反過來又影響著道德認識的形成，道德認識和道德情感共同促成了道德動機的產生，并引發了一定的道德行為。道德意志對道德行為起調控作用。

3、簡述柯爾伯格的道德發展理論？1674、簡述當代大學生品德心理的發展特點？

答：（1）道德認識能力不斷增強（2）道德情感具有易感性和兩極性（3）道德意志逐步增強。（4）道德行為習慣逐漸養成。

5、談談你對大學生品德培養的看法？181—188

第七章

l怎樣理解自我和自我意識？192

答：嚴格的“自我”定義尚不存在，目前心理學可供參考的觀點：自我既是個人特征的集合，又是一定社會關系的反應，是個人生活歷程的寫照。狹義自我是指個體對自己心里活動的認識與控制；廣義自我指一切個體能夠稱之“我的”之總和。既包括個體的軀體、生理活動，也包括所有與個體有關的存在物，如事業、成就、名譽、地位、財產、權力等。

2．試分析自我意識的結構。

答：自我認識結構即自我認識、自我體驗和自我控制。其中自我認識是最基礎的部分，決定著自我體驗的主導心境以及自我控制的主要內容；自我體驗又強化著自我認識，決定了自我控制的行為力度；自我控制則是自我完善的實際途徑，對自我認識、自我體驗都有著調節作用。三方面整合一致，便形成了完整的自我意識。

3、試分析自我意識的內容。

答：無論是“主觀我”還是“客觀我”，都是圍繞著自我的具體方面形成和存在的，這些方面共同構成了自我意識的內容。

（1）生理自我、心理自我和社會自我（2）現實自我、鏡中自我和理想自我4、試論述大學生自我意識的發展特點。

答：大學生自我意識體現了特殊性、矛盾性、復雜性和可評估等特點。

大學生自我意識的特殊性體現在了時間上的特殊性，空間上的特殊性。大學生自我意識的矛盾性體現在獨立意向的矛盾性，自我評價的矛盾性，自我體驗的矛盾性，自我控制的矛盾性。大學生自我意識的復雜性體現在自我認識內容廣泛；自我認識途徑多樣；自我認識差異較大。

5．試分析大學生自我意識的完善途徑。

答：（1）正確的自我認知（2）客觀的自我評價（3）積極的自我提升（4）不斷的自我成長

6．大學生常見自我意識欠缺有哪些？如何調適？218—221

第八章

1、． 什么是人格？人格有哪些特征？

答：心理學上的不同人格內涵很多，但基本包含兩方面的意義：一是人們可以觀察到外顯的行為和品質，即個體在人生舞臺上所表現出的種種言行及其遵循的社會準則；另一是內隱的人格成分，即個體內在心理特征。一般認為人格是構成一個人的思想、情感及行為的特有綜合模式，這個獨特模式包含了一個人區別于他人的穩定而統一的心理品質。

2、氣質和性格有哪些學說 ？試分別敘述。224—2273、試述大學生人格發展的特點。2384、健全人格有哪些模式？

答：有“成熟者”模式；“機能健全著”模式；“創發者”模式；“綜合”模式；中國模式

5、試述大學生健全人格培養與塑造的途徑？

答：（1）了解自己的人格類型與特點（2）學會自我教育（3）增強挫折承受力（4）積極參與社會實踐，培養良好習慣；（5）擴大社會交往，建立良好的人際關系（6）其他途徑：在業余愛好中培養健全的人格；求助心理咨詢。

6、大學生常見人格問題有哪些？如何矯正？251

第五篇：習題答案

1．冰心原名_________，是著名的_________、_________、________、__________。2．冰心于l923年發表的兩部詩集是______、________，創作上受到印度詩人___________的影響，其詩歌作品，在當時吸引了很多青年的模仿。

3．“五四”以后進行新詩創作取得較高成就的除冰心之外，還有____ ___、_ __等，他們的代表作分別有《________》、《_________ 》等。

4．冰心的詩有豐富而深刻的哲理，并恰當地運用對比，如：“言論的花開得愈大，_____________?！?/p>

5．冰心早年藝術上，追求“___________”的境界，她的詩也具有這些特點。

6．“春江水暖鴨先知”是_______ 朝______________的詩句，在冰心筆下有著同樣的詩句：“人 在廊下，書在膝上，_____________?！?/p>

7．冰心在《繁星》里回憶童年的美好：“童年啊，_________，___________，__________?！?8．冰心的《繁星》詩中發人深省的格言式小詩觸目皆是，如“成功的花，_________!然而當初她的芽兒，___________，灑遍了犧牲的血雨。”

9．冰心的詩中洋溢著_________ 的哲學。

10．冰心的早期小說創作以“問題”小說為主，如_______、_________等。我們教材中學過冰心寫于

二十個世紀五六十年代的小說_____________。

11．冰心的著名散文有_____________、__________、__________等。

12．冰心是________派的代表詩人，這些詩特點是___________、__________、_________。

13．冰心是福建長樂人，出生于福州一個具有________、________ 的海軍軍官家庭。14．作者以“冰心”為筆名，在《__________》一文中，作了說明：一來是_______ ；二來是________。

15．冰心的小詩創作源于印度詩人_______的《____________》。

16．《繁星》是冰心的第 部詩集，詩集收入詩人________ 至_________所寫小詩_________首，最初發于北京的《__________》。

17．冰心的主要作品有：詩集《__________》、《__________》，短篇小說集《_________》、《________》，散文集《________》、《________》、《________ 》等。

18．《春水》收入詩人在________至________所寫的小詩________首。

19．《繁星》、《春水》中的詩篇表現出詩人對于________、________、________的見解。

20．詩集《繁星》、《春水》的名字的內涵是什么？

21．冰心，中國現代文學史上第一位著名女作家，她一步人文壇，便以宣揚“____ ____” 著稱。

22．冰心的詩集《繁星》、《春水》是人們公認的小詩最高成就，被茅盾稱為

“________”、“_________”。

參考答案

1．謝婉瑩；小說家；詩人；散文家；兒童文學家2．繁星；春水；泰戈爾3．郭沫若；徐志摩；鳳

凰涅槃；再別康橋4．行為的果子結得愈小

5．滿蘊著溫柔，微帶著憂愁6．宋；蘇軾；拂面的微風里，知道春來了7．是夢中的真；是真中的夢；是回憶時含淚的微笑8．人們只驚慕她現時的明艷；浸透了奮斗的淚泉9．愛

l0．《斯人獨憔悴》；《去國》；《小桔燈》ll．《寄小讀者》；《往事》；《笑》l2．小詩；短?。恍问阶杂?；富含哲理13．愛國；維新思想l4．我的文學生活；筆畫簡單好寫，瑩字的含義l5．泰戈爾；飛鳥集16．一；1919年冬；1921年秋；164；晨報副刊17．繁星；春水；超人；冬兒姑娘；寄小讀者；歸

來之后；櫻花贊l8．1922年3月；6月；l82 19．母愛；童真；自然20．繁星，代表著零星的思想；春水，是因為作者希望在不經意之時將思緒像春水一樣流入讀者心中21．愛的哲學22．繁星格；春水體