第一篇：實變函數(shù)網(wǎng)上教學(xué)活動文本2005

實變函數(shù)網(wǎng)上教學(xué)活動文本（2005.12.15）

大家好！這里進(jìn)行的是實變函數(shù)教學(xué)活動。

直播課堂：11月18日，許教授在中央電大直播課堂作了一講期末復(fù)習(xí)，大家可以注意看一下。

實變函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)要點

第1章主要內(nèi)容．

本章所討論的集合的基本知識是集合論的基礎(chǔ)，包括集合的運算和集合的基數(shù)兩部分.主要內(nèi)容有：

一、集合的包含關(guān)系和并、交、差、補(bǔ)等概念，以及集合的運算律．

關(guān)于概念的學(xué)習(xí)，應(yīng)該注意概念中的條件是充分必要的，比如，A?B當(dāng)且僅當(dāng)x?A時必有x?B．有時也利用它的等價形式：A?B當(dāng)且僅當(dāng)x?B時必有x?A．在證明兩個集合包含關(guān)系時，這兩種證明方式可視具體問題而選擇其一．

還要注意對一列集合并與交的概念的理解和掌握．x??An當(dāng)且僅當(dāng)x屬于這一列集

n?1?合中的“某一個”（即存在某個An，使x?An），而x??An當(dāng)且僅當(dāng)x屬于這一列集合中

n?1?的“每一個”（即對每個An，都有x?An）．要熟練地進(jìn)行集合間的各種運算，這是學(xué)習(xí)本章必備的基本技能.讀者要多做些這方面的練習(xí)．

二、映射是數(shù)學(xué)中一個基本概念，要弄清單射、滿射和雙射之間的區(qū)別與聯(lián)系． 對集合基數(shù)部分的學(xué)習(xí)，應(yīng)注意論證兩個集合對等技能的訓(xùn)練，其方法主要有下面三種：一是依對等的定義直接構(gòu)造兩集間的雙射；二是利用對等的傳遞性，如欲證A~C，已知A~B，此時只須證B~C；三是應(yīng)用有關(guān)定理，特別是伯恩斯坦定理，它是判斷兩個集合對等的常用的有效方法．

三、可列集是無限集中最重要的一類集合，它是無限集中基數(shù)最小者.要掌握可列集的定義和運算性質(zhì)，有理數(shù)集是可列的并且在直線上處處稠密，這是有理數(shù)集在應(yīng)用中的兩條重要性質(zhì).四、連續(xù)集及其運算性質(zhì).要掌握長見的連續(xù)集的例子，知道基數(shù)無最大者.第2章主要內(nèi)容． 本章討論的點集理論，不僅是以后學(xué)習(xí)測度理論和新積分理論的基礎(chǔ)，也為一般的抽象空間的研究提供了具體的模型.一、本章我們從R中的距離和鄰域的概念出發(fā)，首先定義了相對于某個給定集

nE?Rn的幾種不同類型的點：內(nèi)點、聚點、孤立點、邊界點.它們彼此之間的關(guān)系可用圖示如下：

其中內(nèi)點和聚點更常用些.關(guān)于聚點，我們還給出幾個等價條件(定理2.1.1和定理2.1.2)，讀者要熟練的掌握和運用.二、開集、閉集和完備集是本章的重要內(nèi)容.在開集、閉集和完備集的性質(zhì)和直線上開集構(gòu)造的討論中，開集是基礎(chǔ)，因為閉集是開集的補(bǔ)集，完備集是一種特殊的閉集，所以弄清了開集的性質(zhì)，閉集和完備集的性質(zhì)和構(gòu)造也就自然得到了.三、康托集是本章給出的一個重要例子.對它的一些特殊性質(zhì)，在直觀上是難以想象的，比如它既是不包含任何區(qū)間的完備集，同時它還具有連續(xù)基數(shù)c，第3章中我們還證明了它的測度為零.正是因為它的巧妙構(gòu)思和奇特性質(zhì)常常為構(gòu)造一些重要的反例提供啟示.四、本章中介紹的聚點存在定理，即波爾察諾一維爾斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆蓋定理(定理2.2.5)和距離可達(dá)定理(定理2.4.1)，要弄清定理條件并會靈活運用.第3章主要內(nèi)容．

本章主要討論R中點集的測度，它是建立勒貝格積分的基礎(chǔ).一、外測度和可測集是本章的兩個主要概念，關(guān)于可測集的定義，主要使用的是定義3.2.3(即卡氏條件)．因為可測集的測度等于其外測度，所以外測度性質(zhì)(定理3.1.1)對可測集都適用．因此對外測的性質(zhì)要熟練掌握．

二、可測集的運算性質(zhì)是本章的重要內(nèi)容．可測集類在有限次或可列次并、交、補(bǔ)運算之下是封閉的．可測集的可列可加性(定理3.2.4)和單調(diào)可測集列極限的測度(定理3.2.5和定理3.2.6)的結(jié)果在后面的學(xué)習(xí)中會時常用到．

三、關(guān)于可測集的構(gòu)造是本章的又一重要內(nèi)容.勒貝格可測集是由波雷爾集和測度為零的集的全體所構(gòu)成的可加集族(定理3.3.8).我們還討論了勒貝格可測集同開集、閉集、G?型集和F?型集之間的關(guān)系.這些關(guān)系一方面從不同的角度劃了勒貝格可測集，另一方面也提供了用較簡單的集合近似取代勒貝格可測集的途徑.本章中，我們沒有介紹勒貝格不可測集的例子.同學(xué)們只須知道：任何具有正測度的集合一定含有不可測子集.第4章主要內(nèi)容．

為了建立勒貝格積分理論的需要，本章討論一類重要的函數(shù)——可測函數(shù).它一方面和我們熟悉的連續(xù)函數(shù)有密切的聯(lián)系，同時又在理論上和應(yīng)用上成為足夠廣泛的一類函數(shù).一、可測函數(shù)的概念及其運算性質(zhì)是本章的重要內(nèi)容.可測函數(shù)的定義及給出的一些充要條件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判斷函數(shù)可測的有力工具，應(yīng)該熟練地掌握和應(yīng)用它們.可測函數(shù)關(guān)于加、減、乘、除四則運算和極限運算都是封閉的.可測函數(shù)上、下確界函數(shù)和上、下極限函數(shù)還是可測的，所有這些性質(zhì)反映了可測函數(shù)的優(yōu)越性和應(yīng)用中的方便之處.二、可測函數(shù)列的收斂性也是本章的重要內(nèi)容之一.幾乎處處收斂和依測度收斂是勒貝格積分理論中經(jīng)常使用的兩種收斂形式.葉果洛夫定理揭示了可測函數(shù)列幾乎處處收斂與一致收斂之間接關(guān)系.通過這個定理，可以把幾乎處處收斂的函數(shù)列部分地“恢復(fù)”一致收斂，而一致收斂在許多問題的研究中都n起著重要作用.勒貝格定理(定理4.3.2)告訴我們：在測度有限的集合上，幾乎處處收斂的可測函數(shù)列必是依測度收斂的，反之并不成立.然而，黎斯定理(定理4.3.3)指出：依測度收斂的可測函數(shù)列必有幾乎處處收斂的子序列.三、可測函數(shù)的構(gòu)造是本章的又一重要內(nèi)容.一般常見的函數(shù)，如連續(xù)函數(shù)，單調(diào)函數(shù)等都是可測函數(shù).然而，可測函數(shù)卻未必是連續(xù)的，甚至可以是處處不連續(xù)的(如迪里克雷函數(shù)).所以，可測函數(shù)類比連續(xù)函數(shù)類要廣泛得多.而魯金定理指出了可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，通過這個定理，常常能把可測函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于連續(xù)函數(shù)的問題來討論，從而帶來很大的方便.四、關(guān)于論證方法和技巧方面也有不少值得注意的.如定理4.2.6證明中的構(gòu)造方法是富有啟發(fā)性的；葉果洛夫定理證明中的思想和分析的方法以及魯金定理證明中先考慮簡單函數(shù)、然后再往一般的可測函數(shù)過渡，這種由特殊到一般的證明方法在許多場合都是行之有效的.第5章主要內(nèi)容．

本章的中心內(nèi)容是建立一種新的積分?? 勒貝格積分理論．它也是實變函數(shù)數(shù)論研究的中心內(nèi)容．

一、關(guān)于勒貝格積分的建立．

本章首先引入測度有限點集上有界函數(shù)的積分，這是全章的基礎(chǔ)，建立有界函數(shù)的積分時應(yīng)注意兩點：一是黎曼積分意義下的積分區(qū)間，現(xiàn)已被一般點集所代替；二是分劃的小區(qū)間長度，現(xiàn)已被點集的測度所代替．

一般集合上一般函數(shù)的積分是通過兩步完成的．第一步是建立非負(fù)函數(shù)的積分．它是通過非負(fù)函數(shù)表示為有界函數(shù)列的極限、把無窮測度集合表示為測度有限集列的極限來完成的．第二步是建立一般函數(shù)的積分，它是將其分解兩個非負(fù)函數(shù)(正部與負(fù)部)的差的辦法來完成的．

二、勒貝格積分的性質(zhì)．勒貝格積分的性質(zhì)主要反映在以下幾個方面：

(1)勒貝格積分是一種絕對收斂積分，即f(x)在E上可積當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在E上可積(f(x)在E上可測)．這是它與黎曼積分重要區(qū)別之一．

(2)勒貝格積分的絕對連續(xù)性．設(shè)f(x)在E上可積，則對任意??0，存在??0，使當(dāng)e?E且 me??時，恒有

?f(x)dx??

e(3)勒貝格積分的唯一性．即

?Ef(x)dx?0的充要條件是f(x)?0a.e.于E．由此可知，若f(x)與g(x)幾乎相等，則它們的可積性與積分值均相同．

(4)可積函數(shù)可用連續(xù)函數(shù)積分逼近．設(shè)f(x)是可積函數(shù)，對任意??0，存在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)?(x)，使 [a,b]?f(x)??(x)dx??

此外尚有許多與黎曼積分類似的性質(zhì)，如線性性、單調(diào)性、介值性等，望同學(xué)們自己總結(jié)、比較．

三、關(guān)于積分極限定理．積分極限定理是本章的重要內(nèi)容，這是由于積分號下取極限和逐項積分，無論在理論上還是應(yīng)用上都有著十分重要的意義．其中勒貝格控制收斂定理(定理5.4.1)，列維漸升函數(shù)列積分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用．

同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)，與黎曼積分相比較，勒貝格積分與極限換序的條件大大減弱，這也是勒貝格積分優(yōu)越于黎曼積分的重要之處．

四、關(guān)于勒貝格積分同黎曼積分之間的關(guān)系．我們知道，若[a,b]上的有界函數(shù)f(x)黎曼可積，則必勒貝格可積且二者積分值相等．

值得注意的是，上述結(jié)論對于廣義黎曼積分并不成立．實際上，廣義黎曼可積函數(shù)成為勒貝格可積的充要條件是該函數(shù)廣義黎曼絕對可積．

關(guān)于勒貝格積分的計算，一般是應(yīng)用積分的定義借助于積分的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為黎曼積分．

五、勒貝格重積分換序的富比尼定理指出，只要f(x,y)在R?R上可積即可將重積分化為累次積分．特別是對非負(fù)可測函數(shù)來說，可無條件換序，這是勒貝格積分較黎曼積分的又一優(yōu)越之處．

六、本章的最后介紹了勒貝格積分理論中的“原函數(shù)”存在定理和牛頓—萊布尼茲公式．在這些關(guān)系的研究中，有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)的概念起著重要作用．

實變函數(shù)本學(xué)期考試時間安排：2006年1月14日上午8：30-10：30

關(guān)于習(xí)題：這門課程比較難學(xué)，很多同學(xué)詢問習(xí)題答案，請注意，教材中的練習(xí)、習(xí)題以及輔導(dǎo)中的自測題的答案均附在教材后面。

問：期末復(fù)習(xí)要注意什么？

陳衛(wèi)宏：許老師上月18日有一講復(fù)習(xí)課，介紹的比較詳細(xì)。

陳衛(wèi)宏：吳老師好！這學(xué)期負(fù)責(zé)哪門課？

吳旗東：高數(shù)，常微，高代，線代

問：是否熟悉各章的例題和作業(yè)，就能夠通過考試

陳衛(wèi)宏：主要掌握考核冊中的作業(yè)內(nèi)容。

問：列維定理中去掉函數(shù)列非負(fù)性假定,結(jié)論是否成立? 陳衛(wèi)宏：列維定理中函數(shù)列非負(fù)性的條件不能去掉。

陳衛(wèi)宏：今天的活動就到這里，大家再見！

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第二篇：實變函數(shù)復(fù)習(xí)思考題

實變函數(shù)復(fù)習(xí)思考題

1.基本概念

（1）補(bǔ)集,可數(shù)集合,內(nèi)點,集合E的內(nèi)部intE,外點,邊界點, 集合E的邊界?E聚點,集合E的導(dǎo)集E?, 集合E的閉包E,孤立點,開集和閉集的概念.（2）集合對等,集合外側(cè)度,可測集,可測函數(shù),處處收斂,幾乎處處收斂,近一致收斂和依測度收斂的概念.2.基本定理

（1）Demorgan律.（2）直線上開集的構(gòu)造定理.（3）葉果洛夫(Eropob)定理.(4)魯津定理.(5)集合G為開集的幾個等價條件.(6)集合F為閉集的幾個等價條件.3.基本計算

（1）集列?En???

n?1的上限集limAn和An下限集的計算.n??n??

（2）計算康托集G0的測度為1.4.基本證明

(1)設(shè)x0?Rn為一給定點,d(x,x0)指Rn中任意一點x到x0的距離.證明d(x,x0)是Rn上的連續(xù)函數(shù).(2)證明康托集P0的外測度為零,從而證明P0是可測集.(3)設(shè)S?Rn.如果對任意的正整數(shù)k,存在可測集Ek?S?Rn使得m??S?Ek??1,證明S是可測集.k

E={x?R|f(x)?a}(4)設(shè)f(x)是R上的實值連續(xù)函數(shù)，對任意a?R，證明：

是開集.(5)設(shè)x0?Rn且S?Rn.記PS(x0)?{x?Rn:d(x0,x)?d(x0,S)}，其中d(x0,S)?infd(x0,y).證明:若S為閉集,則PS(x0)為一非空集.y?S

第三篇：實變函數(shù)

課程編號： 568

課程名稱：實變函數(shù)（含度量空間）

一、考試的總體要求

實分析是近代分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，考試以實分析的基本知識為主，掌握可測函數(shù)與勒貝格積分的定義、性質(zhì)及相關(guān)定理。

二、考試內(nèi)容及比例

集合及其運算，映射，可數(shù)集，度量空間，開集、閉集、內(nèi)部、閉包，稠密與可分。度量空間中的收斂序列，連續(xù)映射。完備的度量空間，Banach壓縮映射定理。緊度量空間。無處稠密集，綱定理。占60%.點集的Lebesgue測度，可測集的性質(zhì)，可測函數(shù)，可測函數(shù)的幾個重要定理。Lebesgue積分的定義及性質(zhì)，一般可積函數(shù)，積分的極限定理，F(xiàn)ubini定理，有界變差函數(shù)，L^p空間。占40%.三、試卷題型及比例

填空題與簡答題占40%，證明題占60%.四、考試形式及時間

考試形式為筆試。考試時間為40分鐘（滿分40分）。

五、主要參考教材

1、勒貝格積分與泛函分析基礎(chǔ)，熊洪允等，高等教育出版社，1992年。

2、實變函數(shù)論與泛函分析，夏道行等，人民教育出版社，1979年。

3、實變函數(shù)與泛函分析概要，鄭維行、王聲望，人民教育出版社，1980年。

第四篇：實變函數(shù)證明題

證明題由直線上互不相交的開區(qū)間作為集合A的元素，則A至多為可數(shù)集。證明區(qū)間上的單調(diào)增加函數(shù)的不連續(xù)點最多只有可數(shù)多個。設(shè){A?|???},{B?|???}是兩個集族.若????,A??B?,且

A??A???,B??B???,(???,?,???), 則?A???B?.??????

4設(shè)f:X?Y, 則f是單射當(dāng)且僅當(dāng)?A,B?X,f(A?B)?f(A)?f(B).5 設(shè)M[0,1]是[0.1]上全體實函數(shù)所成之集, 證明M[0,1]?2證明數(shù)軸上一切閉區(qū)間所成之集的基數(shù)為c.設(shè)A?B?c,則A?c或B?c設(shè)f:X?Y, 則f是單射當(dāng)且僅當(dāng)?A?X,A?f?1[0,1].[f(A)].設(shè)f:X?Y, 則f是單射當(dāng)且僅當(dāng)?A?X,f(X?A)?f(X)?f(A).10 設(shè)f:X?Y,f(X)?Y??C?Y,f[f?1(C)]?C.設(shè)A是可數(shù)集,則A的一切有限子集所成之集是可數(shù)集.12證明每一個閉集必是可數(shù)多個開集的交集。

13證明f(x)為[a, b]上連續(xù)函數(shù)的充要條件是對任意實數(shù)c，集E?{x|f(x)?c}和

E1?{x|f(x)?c}都是閉集。明直線上非空開集的任何兩個不同的構(gòu)成區(qū)間必不相交。間（a,b）上任何兩個單調(diào)函數(shù)，若在一稠密集上相等，則它們有相同的連續(xù)點． 16 證明x?E??x?E?{x}證明E?為閉集.證明f(x)為(a,b)上連續(xù)函數(shù)的充要條件是對任意實數(shù)c，集E?{x|f(x)?c}和

E1?{x|f(x)?c}都是直線上的開集。證明x?E??d(x,E?{x})?0.證明任何非空閉集可表示為可數(shù)個開集的交.證明Rn中的孤立點集至多可數(shù).

第五篇：實變函數(shù)與泛函分析-教學(xué)大綱

實變函數(shù)與泛函分析教學(xué)大綱

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

適用專業(yè)：信息技術(shù)專業(yè) 課程編號： 教學(xué)時數(shù)：72學(xué)時 學(xué) 分：4 課程性質(zhì)：專業(yè)核心課

開課系部：數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)院 使用教材：《實變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊）第2版 曹廣福.高等教育出版社 參考書

[1]夏道行《實變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，F(xiàn)unctional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強(qiáng)《實變函數(shù)論》第2版.北京大學(xué)出版社.二、課程介紹

《實變函數(shù)與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養(yǎng)學(xué)生從幾何、拓?fù)渖蟻碚J(rèn)識抽象函數(shù)空間，以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力。

三、考試形式

考試課程，考試成績由平時成績和期末考試組成，平時作業(yè)占百分之二十，期末考試百分之八十。期末考試是閉卷的形式，重點考察學(xué)生的解題能力和基礎(chǔ)理論。

四、課程教學(xué)內(nèi)容及課時分配

第一章 集合與點集 要求

1、掌握集合的勢，可數(shù)集

2、熟悉歐氏空間上的拓?fù)洌珻auchy收斂原理

主要內(nèi)容

集合的勢，可數(shù)集，n維歐氏空間上的拓?fù)洌珻anchy收斂原理

重點

集合的勢，可數(shù)集 課時安排（4學(xué)時）

1、集合的勢，可數(shù)集

2學(xué)時

2、歐氏空間上的拓?fù)洌珻auchy收斂原理

2學(xué)時

第二章 Lebesgue測度 要求

1、熟練掌握外測度、可測集以及它們的性質(zhì)

2、掌握可測函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負(fù)可測函數(shù)的構(gòu)造

3、熟練掌握可測函數(shù)的收斂性

主要內(nèi)容：

Lebesgue外測度，可測集（類），可測函數(shù)及其性質(zhì)，可測函數(shù)的收斂性

重點

外測度、可測集以及它們的性質(zhì)、可測函數(shù)的收斂性 課時安排（12學(xué)時）

1、外測度、可測集以及它們的性質(zhì)

4學(xué)時

2、可測函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負(fù)可測函數(shù)的構(gòu)造

4學(xué)時

3、可測函數(shù)的收斂性

4學(xué)時

第三章

Lebesgue積分 要求：

1、熟練掌握可測函數(shù)的積分及性質(zhì)

2、熟練掌握Lebesgue積分基本定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

3、弄清重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

主要內(nèi)容：

可測函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理，Riemann可積的充要條件，重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

重點

可測函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理 課時安排：（16學(xué)時）

1、可測函數(shù)的積分及性質(zhì)

6學(xué)時

2、Lebesgue積分基本定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

6學(xué)時

3、重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

4學(xué)時

第四章

L空間 要求：

1、熟練掌握L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性

2、熟悉L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基

3、了解卷積與Fourier變換 ppp主要內(nèi)容：

p

Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性，L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，卷積與Fourier變換

重點

Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性 課時安排（10學(xué)時）

1、L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性

4學(xué)時

2、L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交化方法

4學(xué)時

3、卷積與Fourier變換

2學(xué)時 pp

第五章 Hilbert空間理論 要求：

1、熟練掌握距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性

3、熟悉共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜

主要內(nèi)容：

距離空間的定義，緊致性，Hilbert影算子，緊算子性質(zhì)及其譜。課時安排（16學(xué)時）

空間上線性算子的有界性和連續(xù)性，共軛算子、投

1、距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

4學(xué)時

2、Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性

6學(xué)時

3、共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜 6學(xué)時

第六章 Banach空間理論 要求：

1、掌握Banach空間的定義，模等價，有界線性算子

2、熟悉開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理

3、熟悉連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach定理

4、弄清弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

主要內(nèi)容：

范數(shù)、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子，開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理，弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

重點

Banach空間的定義、模等價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂

課時安排（14學(xué)時）

1、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子

4學(xué)時

2、開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理

6學(xué)時

3、連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach

4學(xué)時

《實變函數(shù)與泛函分析》考試大綱

院 系：數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院

課程名稱：實變函數(shù)與泛函分析（第二學(xué)期）使用專業(yè)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)專業(yè)

學(xué) 時：72 其中，理論學(xué)時：72 實踐學(xué)時：0 學(xué) 分：4

一、設(shè)課目的：

《實變函數(shù)與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養(yǎng)學(xué)生從幾何、拓?fù)渖蟻碚J(rèn)識抽象函數(shù)空間，以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力.二、課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)：

通過本門課程的教學(xué)，使學(xué)生了解函數(shù)理論的基本體系，理解實變函數(shù)的基本概念、基本原理，使學(xué)生較好的掌握集合論基礎(chǔ)、Lebesgue測度與Lebesgue積分、線性賦范空間與Hilbert空間的基本理論和有界線性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分析數(shù)學(xué)中的一些專門理論，如函數(shù)論，泛函分析，概率論，微分方程，群上調(diào)和分析等提供必要的測度和積分論基礎(chǔ)，為從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育提供知識儲備.三、課程考核的基本形式、內(nèi)容和要求：

本課程考核分為兩部分：形成性考核和課程期末考試

（一）形成性考核

形成性考核部分分為：平時考勤（占20%）、作業(yè)（占70%）、課堂提問情況（占10%）這三個部分。要求隨時檢查學(xué)生考勤，批改作業(yè)，敦促學(xué)生邊學(xué)邊做。

學(xué)生應(yīng)按時完成各階段的平時作業(yè)。對于抄襲作業(yè)的或不按時完成的應(yīng)給予說服教育，嚴(yán)重者應(yīng)給予扣分處理。

（二）課程期末考試

期末考試采用筆試閉卷形式。考試命題由教研室集體討論，任課教師可參與命題。本課程期末考試的命題依據(jù)是專業(yè)教學(xué)計劃、課程教學(xué)大綱以及使用教材。本課程的試卷涉及該教材所含的有關(guān)知識內(nèi)容及練習(xí)，其中重點內(nèi)容為：集合的勢，可數(shù)集；外測度、可測集以及它們的性質(zhì)、可測函數(shù)的收斂性；可測函

p數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理；L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性；距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性，共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜；Banach空間的定義、模等價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂.四、考核的組織：

本課程的平時作業(yè)由任課教師根據(jù)學(xué)生完成情況進(jìn)行批閱、評分。課程期末考試教研室統(tǒng)一組織，以集體流水作業(yè)的方式進(jìn)行批閱。根據(jù)班級學(xué)生的學(xué)習(xí)情況形成性考核成績可占總成績的30%，期末考試成績可占總成績的70%。

五、教材

[1]夏道行《實變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，F(xiàn)unctional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強(qiáng)《實變函數(shù)論》第2版.北京大學(xué)出版社.六、其他有關(guān)說明或要求