第一篇：實變函數與泛函分析初步-江蘇教育考試院范文

高綱0871

江蘇省高等教育自學考試大綱

0201

2實變與泛函分析初步

江蘇教育學院編

江蘇省高等教育自學考試委員會辦公室

一 課程性質及其設置目的與要求

（一）課程性質與特點

實變函數論是19世紀末20世紀初形成的一個數學分支，它的基本內容已成為分析數學各個分支的普遍基礎.實變函數主要指自變量取實數值的函數，而實變函數論就是研究一般實變函數的理論，如果說微積分所討論的函數都是性質“良好”的函數，那么實變函數就是討論一般的函數，包括從微積分學來看性質“不好”的函數，實變函數論是微積分深入與發展，函數的可積性是實變函數論中的主要內容.總之，實變函數論和古典數學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數學的一個重要分支，它的應用廣泛，它在數學各個分支的應用是現代數學的特征.（二）設置目的與要求

課程內容包括：本課程內容包括集合及其運算，對等與基數，可數集合，不可數集合；度量空間、n維歐氏空間，聚點、內點、界點，開集、閉集、完備集，直線上開集、閉集和完備集的構造；外測度，可測集及其性質；可測函數的定義及其性質，葉果洛夫定理，可測函數構造，依測度收斂；勒貝格積分（L積分）的定義及性質，一般可積函數，積分的極限定理。

本課程設置目的是使學生掌握勒貝格測度與勒貝格積分的基礎理論，了解一般度量空間上的測度理論，培養學生的分析學知識，加深學生對微積分和函數的認識。

二 課程內容與考核目標

第一章

集合

（一）課程內容

集合的概念及運算，對等與基數，可數集與不可數集。

（二）學習與考核要求

1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等運算的定義和性質（包括無窮多個集的運算）.2、掌握集列的上極限與下極限集的概念及它們用集列的交和并所表示的式子，能夠正確寫出具體集列的上、下極限集或極限.3、理解一一映照的概念，能夠正確寫出兩個集之間的一一映照.4、掌握對等和基數的定義及性質，掌握基數大小的定義.掌握證明集合對等的兩個定理（兩個不交集列對等定理和伯恩斯坦定理），能夠應用它們來證明集合對等.5、掌握可數集的概念及可數基數a概念.掌握可數基數a 的最小性，掌握可數集運算后的基數定理及各種可數集的實例.6、掌握實數集的不可數性及連續基數c，掌握各種具有連續基數的集.了解沒有最大基數的定理并能夠正確地證明之.第二章

點集

（一）課程內容

度量空間與n 維歐氏空間，外點、界點、聚點，開集、閉集、完備集，直上開集、閉集、完備集的構造.（二）學習與考核要求

1、理解n 維歐氏空間的概念，掌握鄰域概念及鄰域的性質.掌握點列收斂的描述（用距離d及用鄰域u來描述），掌握兩集之距離，一集之直徑及n維區間等概念.2、掌握內點、外點、界點、聚點、孤立點等概念（包括等價命題）.掌握開核、邊界、導集、閉包等概念，能夠正確寫出具體點集的開核、邊界、導集及閉包.3、掌握開集、閉集、自密集、完備集等概念（包括等價命題和關系式）并能夠對具體集合進行判別.4、掌握開閉集的對偶性定理及保持開閉性的交并運算定理.能夠應用于判別具體實例.5、掌握直線上開集、閉集、完備集的構造.6、掌握康托點集的構造及性質（包括非空性、完備性、無處稠密性、無內點、基數為c、測度為零等）.第三章

測度論

（一）課程內容

外測度，可測集，可測集類。

（二）學習與考核要求

1、掌握勒貝格外測度的定義（m* E）及其基本性質（包括非負性，空集外測度規定、單調性和可次可加性等）.能夠根據勒貝格外測度的定義來證明性質和驗證零測度集.2、了解勒貝格內測度（m* E）概念、勒貝格可測集的第一定義

**mE?mEm*（），理解對于區間I有I?|I|及mI?|I|的結論.了解不可測集的存在性.3、掌握勒貝格可測集的第二定義：

對任意點集T: m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)測集的第一、第二、定義的等價性.成立.能夠用第二定義證明某些集的可測性.了解可

4、掌握可測集的兩個充要條件定理.5、掌握兩可測集之并為可測集定理，可列個可測集之并為可測集定理，并能夠正確地證明它們.6、掌握兩可測集之交為可測集定理，可列個可測集之交為可測集定理.7、掌握遞增可測集列

{Sn}之極限可測定理及遞減可測集列{Sn}之極限可測定理.并能夠正確證明它們,還要能夠用反例說明后一個定理中mS1??的重要性.8、掌握波雷耳集,集,還是G?型集、F?型集等概念.能夠根據概念正確判別具體集合是G?型F?型集.G?型集、F?型集的關系.9、掌握可測集與開集及閉集的關系;可測集與

第四章

可測函數

（一）課程內容

可測函數及性質，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂。

（二）學習與考核要求

1、掌握全體有限實數R上、下確界+∞、-∞的概念，掌握R∪{±∞}內的四則運算的意義及法則.2、掌握可測函數的定義及其等價性定理.3、掌握定義在任意點集E上連續函數的概念及連續函數可測性定理.掌握簡單函數的概念及其可測性敘述.4、掌握可測函數的性質（包括可測子集上的可測性，并集上的可測性，函數四則運算及取絕對值的可測性，可測函數列的上、下確界函數的可測性、上、下極限函數可測性、極限函數可測性等）

5、掌握可測函數與簡單函數關系定理.6、掌握葉果洛夫定理的引理.7、掌握葉果洛夫定理和魯津定理，能夠對應地寫出與某些可測函數的“基本上”相等的連續函數.8、掌握依測度收斂的概念，能夠用實例說明依測度收斂與收斂概念的不同性.9、掌握黎斯定理及勒貝格測度收斂定理.掌握依測度收斂在幾乎處處意義下的唯一性定理.能夠應用相關定理證明一些簡單命題.第五章

積分論

（一）課程內容

黎曼積分，勒貝格積分定義及性質，一般可積函數，積分極限定理，富比尼定理。

（二）學習與考核要求

1、掌握可測分劃D，關于D的Darboux大和及Darboux小和、有界函數F{x}在E上的上、下積分、在E上的（L）積分概念.掌握有界函數（L）可積的兩個充分條件定理.2、掌握有界函數F(x)在[a.b]上（R）可積時（L）積分與（R）積分相等的定理并且能夠正確地證明之.3、掌握有界函數的（L）積分的性質（包括和、差、積、商、取絕對值的可積性、可測子集上函數可積性、線性、不等號性質、絕對值放大性質，被積函數幾乎處處為零的充分條件及絕對連續性.）

4、掌握一般非負函數（L）積分概念，一般函數（L）積分概念.掌握一般函數積分確定時或可積時的全部性質.能夠證明積分絕對連續性.5、掌握（L）可積函數是具有絕對可積性的結論，能夠用函數是否（R）絕對可積來判別其是否（L）可積的.6、掌握積分的極限定理（包括L-控制收斂定理和推論，列維定理，L-逐項積分定理，積分可數可加性定理，法都引理、積分號下求偏導定理）并能應用這些定理證明題目.7、理解直積、截面和下方圖形等概念及性質.理解截面定理、直積測度定理、非負可測函數積分的幾何意義定理及其推論.8、掌握富比尼定理,能夠用富比尼定理來檢驗函數的不可積性.三 有關說明

（一）教材：

自學教材：程其襄等編《實變函數與泛函分析基礎》,高等教育出版社,2003年。

（二）補充資料

自學和命題以考試大綱為主要依據，但考慮到本課程的定理證明較難，故對本課程參考課本中的主要定理證明不作要求，但定理結論的和定理結論本身的內容必須掌握，并能利用定理來計算和判斷一些命題。故須補充一些定理應用的例子和習題。具體內容可以參考下列教材：

趙靜輝主編：《實變函數簡明教程》，華中理工大學出版社，1996版。

煙臺師范學院等九院校編著：《實變函數論簡明教程》，山東科學技術出版社，1985版。

（三）自學方法的指導

本課程作為一門專業課程，邏輯性強，自學者在自學過程中應該注意以下幾點：

1、學習前，應仔細閱讀課程大綱的第一部分，了解課程的性質、地位和任務，熟悉課程的基本要求，使以后的學習緊緊圍繞課程的基本要求。

2、所配教材只是一個參考，自學中應結合本課程大綱、補充習題、多做練習，熟練掌握基本概念，能利用基本概念定理計算判斷，從而切實提高自身的數學分析問題能力和解決問題能力。

（四）對社會助學的要求

1、應熟知考試大綱對課程所提出的總的要求和各章的知識點。

2、對應考者進行輔導時，除了以指定的教材為基礎外，應以考試大綱為依據，注意補充練習，注重提高學生應用概念定理分析問題、解決問題能力的發展。

（五）關于命題和考試的若干規定

1、本大綱各章所提到的考核要求中，各條細目都是考試的內容，試題覆蓋到章，適當突出重點章節，加大重點內容的覆蓋密度。

2、試題難度結構要合理，記憶、理解、綜合性試題比例大致為3：5：2。

3、本課程考試試卷可能采用的題型有：單項選擇題、填空題、簡答題、計算題、證明題等題型（見附錄題型示例）。

4、考試方式為閉卷筆試，考試時間為150分鐘，評分采用百分制，60分為及格。

附錄：題型舉例

選擇題 1．設是有理數，則下列正確的是（B）

A． 填空題： ?[0,1]； Ｂ．?[0,1]；

Ｃ．?[0,1]；

Ｄ．以上都不正確。

2．康托爾集P的測度為mP? 0。集合A?簡答題：

4．敘述葉果洛夫定理？

[0,1]的測度為mA? 0。

參考答案： 設mE???,?fn?是E上一列幾乎處處收斂于一個幾乎處處有限的函數f的可測函數，則對任意??0，存在子集E??E,使得?fn?在E?上一致收斂，且m(EE?)??。計算題： ,?1,x?[1,2]5．設f(x)?? 求?f(x)dx？

[1,2]?0,x?[1,2].參考答案：由于m([1,2])?0，據L積分的可加性及絕對連續性可得

?證明題： [1,2]f(x)dx??0dx??[1,2]f(x)dx??[1,2]f(x)dx??[1,2][1,2]1dx?0。

??6．證明：E??a?2b|a,b??為可數集。

??參考答案：令?:a?2b(a,b)，其中a?2b?E,(a,b)??,顯然是單

??射，故E?a。另外，顯然，E?a。即E??a?2b|a,b??為可數集。

??

第二篇：實變函數與泛函分析-教學大綱

實變函數與泛函分析教學大綱

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

適用專業：信息技術專業 課程編號： 教學時數：72學時 學 分：4 課程性質：專業核心課

開課系部：數學與計算機科學院 使用教材：《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版 曹廣福.高等教育出版社 參考書

[1]夏道行《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強《實變函數論》第2版.北京大學出版社.二、課程介紹

《實變函數與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養學生從幾何、拓撲上來認識抽象函數空間，以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力。

三、考試形式

考試課程，考試成績由平時成績和期末考試組成，平時作業占百分之二十，期末考試百分之八十。期末考試是閉卷的形式，重點考察學生的解題能力和基礎理論。

四、課程教學內容及課時分配

第一章 集合與點集 要求

1、掌握集合的勢，可數集

2、熟悉歐氏空間上的拓撲，Cauchy收斂原理

主要內容

集合的勢，可數集，n維歐氏空間上的拓撲，Canchy收斂原理

重點

集合的勢，可數集 課時安排（4學時）

1、集合的勢，可數集

2學時

2、歐氏空間上的拓撲，Cauchy收斂原理

2學時

第二章 Lebesgue測度 要求

1、熟練掌握外測度、可測集以及它們的性質

2、掌握可測函數及其性質，以及非負可測函數的構造

3、熟練掌握可測函數的收斂性

主要內容：

Lebesgue外測度，可測集（類），可測函數及其性質，可測函數的收斂性

重點

外測度、可測集以及它們的性質、可測函數的收斂性 課時安排（12學時）

1、外測度、可測集以及它們的性質

4學時

2、可測函數及其性質，以及非負可測函數的構造

4學時

3、可測函數的收斂性

4學時

第三章

Lebesgue積分 要求：

1、熟練掌握可測函數的積分及性質

2、熟練掌握Lebesgue積分基本定理，Fatou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

3、弄清重積分與累次積分的關系，Fubini定理

主要內容：

可測函數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理，Riemann可積的充要條件，重積分與累次積分的關系，Fubini定理

重點

可測函數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理 課時安排：（16學時）

1、可測函數的積分及性質

6學時

2、Lebesgue積分基本定理，Fatou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

6學時

3、重積分與累次積分的關系，Fubini定理

4學時

第四章

L空間 要求：

1、熟練掌握L空間的范數、完備性、收斂性、可分性

2、熟悉L空間的內積，標準正交基

3、了解卷積與Fourier變換 ppp主要內容：

p

Lp空間的范數、完備性、收斂性、可分性，L空間的內積，標準正交基，卷積與Fourier變換

重點

Lp空間的范數、完備性、收斂性、可分性 課時安排（10學時）

1、L空間的范數、完備性、收斂性、可分性

4學時

2、L空間的內積，標準正交基，正交化方法

4學時

3、卷積與Fourier變換

2學時 pp

第五章 Hilbert空間理論 要求：

1、熟練掌握距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性

3、熟悉共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜

主要內容：

距離空間的定義，緊致性，Hilbert影算子，緊算子性質及其譜。課時安排（16學時）

空間上線性算子的有界性和連續性，共軛算子、投

1、距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

4學時

2、Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性

6學時

3、共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜 6學時

第六章 Banach空間理論 要求：

1、掌握Banach空間的定義，模等價，有界線性算子

2、熟悉開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理

3、熟悉連續線性泛函的存在性與Hahn-Banach定理

4、弄清弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

主要內容：

范數、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子，開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理，弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

重點

Banach空間的定義、模等價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂

課時安排（14學時）

1、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子

4學時

2、開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理

6學時

3、連續線性泛函的存在性與Hahn-Banach

4學時

《實變函數與泛函分析》考試大綱

院 系：數學與計算機科學學院

課程名稱：實變函數與泛函分析（第二學期）使用專業：數學與信息科學專業

學 時：72 其中，理論學時：72 實踐學時：0 學 分：4

一、設課目的：

《實變函數與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養學生從幾何、拓撲上來認識抽象函數空間，以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力.二、課程教學內容和教學目標：

通過本門課程的教學，使學生了解函數理論的基本體系，理解實變函數的基本概念、基本原理，使學生較好的掌握集合論基礎、Lebesgue測度與Lebesgue積分、線性賦范空間與Hilbert空間的基本理論和有界線性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，為進一步學習分析數學中的一些專門理論，如函數論，泛函分析，概率論，微分方程，群上調和分析等提供必要的測度和積分論基礎，為從事中學數學教育提供知識儲備.三、課程考核的基本形式、內容和要求：

本課程考核分為兩部分：形成性考核和課程期末考試

（一）形成性考核

形成性考核部分分為：平時考勤（占20%）、作業（占70%）、課堂提問情況（占10%）這三個部分。要求隨時檢查學生考勤，批改作業，敦促學生邊學邊做。

學生應按時完成各階段的平時作業。對于抄襲作業的或不按時完成的應給予說服教育，嚴重者應給予扣分處理。

（二）課程期末考試

期末考試采用筆試閉卷形式。考試命題由教研室集體討論，任課教師可參與命題。本課程期末考試的命題依據是專業教學計劃、課程教學大綱以及使用教材。本課程的試卷涉及該教材所含的有關知識內容及練習，其中重點內容為：集合的勢，可數集；外測度、可測集以及它們的性質、可測函數的收斂性；可測函

p數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理；L空間的范數、完備性、收斂性、可分性；距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性，共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜；Banach空間的定義、模等價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂.四、考核的組織：

本課程的平時作業由任課教師根據學生完成情況進行批閱、評分。課程期末考試教研室統一組織，以集體流水作業的方式進行批閱。根據班級學生的學習情況形成性考核成績可占總成績的30%，期末考試成績可占總成績的70%。

五、教材

[1]夏道行《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強《實變函數論》第2版.北京大學出版社.六、其他有關說明或要求

第三篇：《實變函數與泛函分析基礎》第二版 程其襄泛函知識點期末總結

泛函知識點期末總結

一、關于有界線性算子，算子范數等

1、設 x?X?C[a,b]，定義X上的線性算子

T：若f?C[a,b],(Tf)(t)?x(t)f(t),t?[a,b]。

求證：T有界，并求||T||。

2、設 X?C[a,b],t0?[a,b]。定義X上的線性泛函f：若x?X,f(x)?x(t0)。求證：f有界，并求||f||。

3、設 X?C[a,b],t1,t2，tn?[a,b],?1,?2,n,?3?C（全體復數集），定義X上的線性泛函f: 若x?X,f(x)???ix(ti)，f有界，并求||f||。

i?1

二、關于共軛空間的定義及其求解

三、內積空間的定義及內積空間與賦范空間的關系，常見的內積空間

四、變分引理 極小化向量定理P245定理1及推論，P247引理1，P251引理1

五、投影定理，投影算子及其性質，六、Hilbert空間的連續線性泛函，共軛算子，自伴算子，正常算子，酉算子

七、完全規范正交基及其判定定理

八、Banach空間的基本定理及其應用

九、Banach共軛算子的定義及其求法

十、逆算子定理與閉圖像定理之間的關系與證明

十一、強收斂，弱收斂，弱星收斂，一致收斂及其關系

十二、完備度量空間的定義及其應用

十三、壓縮映射原理及其應用

十四、h?lder 不等式，Minkowski不等式，Schwarz不等式

十五、稠密，可分，完備，柯西序列

十六、度量空間定義及其常見度量空間，賦范線性空間的定義及其常見賦范線性

空間

第四篇：2010年下學期數學院研究生《泛函分析》復習與練習3答案

2011年下學期數學院研究生《泛函分析》復習與練習3

d(Anx,Anx1)

1、設X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記an?sup

d(x,x1)x?z

若?an??，則映射A有唯一不動點。

n?1?（第七章：P216，#18）

證明 因?n?1?an??，則必有N，使aN?1。這樣對任意x, x1?X,若x?x1,則

d(ANx,Anx1)?aNd(x,x1)

NNNN這樣由壓縮映射原理A有不動點x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不動點。AN的不動點是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不動點。

若x’是A的任意一個不動點，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn?1x’=…= A x’= x’。這樣x’也是A的不動點，由于A的不動點是唯一的，因此x*= x’。即A的不動點也是唯一的。證畢。

2、按范數x?max?j，x???1,?2,??n?成賦范線性空間，問Rn的共軛空間是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 記R按范數x?max?i組成賦范線性空間為R，R按范數x?性空間為Y，我們來證明X? ? Y。

定義X? 到Y的映射。任意f?X?，Tf?f?e1?,?f?en?nnn??i?1ni組成賦范線

??，其中??ei??0,0,?1,0,?,0?i?1,2,?,n。???????i??對任意x???e，f?x????f?e???f?e?max?iinnniiii?Tfx

于是f?Tf

nni?1i?1i?1反之，對任意y???1??n??Y。定義f?X?：對任意x???e，f?x?????，則

iiiii?1i?1Tf?y。因此T是 X?到Y的映射 若y? ?0,?,0?，則顯然f?0，則Tf?f?0。若y???1??n? ? ?0,?,0?令x?n??sign??e，則

iii?1nx ?1

因此f ?f?x? ??i?1i?y?Tf。從而Tf?f。于是T是從X? 到Y的同構映射。在同構的意義下X??Y。證畢

3、設X是Hilbert空間，M?X，并且 M??，證明?M最小閉子集。（第九章：265，#6）

???是X中包含M的證明：X中包含M的最小X閉子集是Y，若y?Y，則存在xn?spanM，使xn?y??設x?M，則?y,x? ?lim?xn,x??0，因此y?Mn?????閉子空間，且M?Y，則Y ?M，從而M???，即Y?M?????又Y是X中

??????Y??= Y，所以Y??M??。證畢

4、設T為Hilbert空間X上正常算子，T?A?iB為T的笛卡兒分解，證明：

?1?T2?A2?B

22?2?T2?T。

（第九章：P265，#15）

證明：（1），因為

A?T?T?T?T?,B?22i及T?T?TT?，????得A2?B22T?T??T?T??T?T??T?T?????TT442?，所以A?B?T?T?T。

?22?2?T22??T2?T2?T?T?T，即T2?T2。證畢。

45、設T是Hilbert空間X中的有界線性算子，T?1，證明：

?xTx?x???xT證明 若Tx?x，則x?x?x?。

2（第九章：P265,#12）

2?Tx,x?x,T?x ?x T?x ?x‘ 因此，x,Tx?xTx。由第一節引理1，Tx與x線性相關，設Tx??x。由????x,T?x?x,x，?可得

??1，即

T??x。這樣，?xTx?x???xTx?x???xT??x?x???xTx?x?。

?即xTx?x ?xTx?x。證畢 ????

6、用閉圖像定理證明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

證明

設T 為Banach空間X到Banach空間Y上的一對一的有界線性算子。

T?1的圖像G(T?1)?{(y,T?1y)y?Y}，若(yn,T?1yn)?(y0,x0)，則

yn?y0,T?1yn?x0(n??)。

設T?1yn?xn，則xn?x0，Txn?y0。因為T是連續的，所以Tx0?limTxn?y0，即

n??T?1y0?x0。這樣(y0,x0)?G(T?1)。于是我們證明了G(T?1)在Y×X中是閉集，故T?1是閉算子。再由閉圖像定理，T是有界的，證畢。

?

17、X為距離空間，A為X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X,.證明f(x)是X上

y?A連續函數。

（第七章：P215，#10）

證明

設d(E,F)???o。令 o?{x|d(x,E)??},G?{x|d(x,F)?} 22?則E?O,F?G,且O?G??，事實上，若O?G??，則有

z?O?G??，所以

〈)存在E中的點x使d(x,z?2〈)，F中點y使d(y,z?2〈)?，于是d(x,y)?d(x,z)?d(y,z??矛盾。證畢 此與d(x,y)?d（E，F）

8、設T1是 X1 到X2的全連續算子，T2是X2到X3的有界線性算子，則T2T1是X1 到X3的全連續算子。（第 十一章：P319，#10）

證明 若x?(x1,x2,?xn,?)，定義An:Anx??(?xakj?1k?1n?jk)ej： 則An是有界秩算子，且

(A?An)x???2j?n?1k?1??xak??2jk

2k?j?n?1k?1?(?x?)(?ajk)

k?12jk?2?j?n?1??ak?1?2x

所以A?An?j?n?1??ak?1??2jk?0(n??)。

由本章§3定理2，A是全連續算子。證畢

第五篇：(3修改后)2010年下學期數學院研究生《泛函分析》復習與練習3答案

2011年下學期數學院研究生《泛函分析》復習與練習3

d(Anx,Anx1)

1、設X為完備度量空間，A是X到X中的映射，記an?sup

d(x,x1)x?z

若?an??，則映射A有唯一不動點。

n?1?（第七章：P216，#18）

證明 因?n?1?an??，則必有N，使aN?1。這樣對任意x, x1?X,若x?x1,則

d(ANx,Anx1)?aNd(x,x1)

NNNN這樣由壓縮映射原理A有不動點x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不動點。AN的不動點是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不動點。

若x’是A的任意一個不動點，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn?1x’=…= A x’= x’。這樣x’也是A的不動點，由于A的不動點是唯一的，因此x*= x’。即A的不動點也是唯一的。證畢。

2、按范數x?max?j，x???1,?2,??n?成賦范線性空間，問Rn的共軛空間是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 記R按范數x?max?i組成賦范線性空間為R，R按范數x?性空間為Y，我們來證明X? ? Y。

定義X? 到Y的映射。任意f?X?，Tf?f?e1?,?f?en?nnn??i?1ni組成賦范線

??，其中??ei??0,0,?1,0,?,0?i?1,2,?,n。???????i??對任意x???e，f?x????f?e???f?e?max?iinnniiii?Tfx

于是f?Tf

nni?1i?1i?1反之，對任意y???1??n??Y。定義f?X?：對任意x???e，f?x?????，則

iiiii?1i?1Tf?y。因此T是 X?到Y的映射 若y? ?0,?,0?，則顯然f?0，則Tf?f?0。若y???1??n? ? ?0,?,0?令x?n??sign??e，則

iii?1nx ?1

因此f ?f?x? ??i?1i?y?Tf。從而Tf?f。于是T是從X? 到Y的同構映射。在同構的意義下X??Y。證畢

3、設X是Hilbert空間，M?X，并且 M??，證明?M最小閉子集。（第九章：265，#6）

???是X中包含M的證明：X中包含M的最小X閉子集是Y，若y?Y，則存在xn?spanM，使xn?y??設x?M，則?y,x? ?lim?xn,x??0，因此y?Mn?????閉子空間，且M?Y，則Y ?M，從而M???，即Y?M?????又Y是X中

??????Y??= Y，所以Y??M??。證畢

4、設T為Hilbert空間X上正常算子，T?A?iB為T的笛卡兒分解，證明：

?1?T2?A2?B

22?2?T2?T。

（第九章：P265，#15）

證明：（1），因為

A?T?T?T?T?,B?22i及T?T?TT?，????得A2?B22T?T??T?T??T?T??T?T?????TT442?，所以A?B?T?T?T。

?22?2?T22??T2?T2?T?T?T，即T2?T2。證畢。

45、設T是Hilbert空間X中的有界線性算子，T?1，證明：

?xTx?x???xT證明 若Tx?x，則x?x?x?。

2（第九章：P265,#12）

2?Tx,x?x,T?x ?x T?x ?x‘ 因此，x,Tx?xTx。由第一節引理1，Tx與x線性相關，設Tx??x。由????x,T?x?x,x，?可得

??1，即

T??x。這樣，?xTx?x???xTx?x???xT??x?x???xTx?x?。

?即xTx?x ?xTx?x。證畢 ????

6、用閉圖像定理證明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

證明

設T 為Banach空間X到Banach空間Y上的一對一的有界線性算子。

T?1的圖像G(T?1)?{(y,T?1y)y?Y}，若(yn,T?1yn)?(y0,x0)，則

yn?y0,T?1yn?x0(n??)。

設T?1yn?xn，則xn?x0，Txn?y0。因為T是連續的，所以Tx0?limTxn?y0，即

n??T?1y0?x0。這樣(y0,x0)?G(T?1)。于是我們證明了G(T?1)在Y×X中是閉集，故T?1是閉算子。再由閉圖像定理，T是有界的，證畢。

?

17、X為距離空間，A為X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X,.證明f(x)是X上

y?A連續函數。

（第七章：P215，#10）

證明

設d(E,F)???o。令 o?{x|d(x,E)??},G?{x|d(x,F)?} 22?則E?O,F?G,且O?G??，事實上，若O?G??，則有

z?O?G??，所以

〈)存在E中的點x使d(x,z?2〈)，F中點y使d(y,z?2〈)?，于是d(x,y)?d(x,z)?d(y,z??矛盾。證畢 此與d(x,y)?d（E，F）

8、設T1是 X1 到X2的全連續算子，T2是X2到X3的有界線性算子，則T2T1是X1 到X3的全連續算子。（第 十一章：P319，#10）

證明 設{xn} 是X1 中有界點列。因為T1全連續，所以{T1xn}中必有收斂子列。我們記之為{T1xnk}。又因為T2有界，所以{T2T1xnk}也收斂，因此{T2T1xn}有收斂子列。這就證明了T2T1是全連續算子。證畢。