第一篇：函數奇偶性的歸納總結

函數的奇偶性的歸納總結

考綱要求：了解函數的奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的奇偶性的方法。教學目標：

1、理解函數奇偶性的概念；

2、掌握判斷函數的奇偶性的類型和方法；

3、掌握函數的奇偶性應用的類型和方法；

4、培養學生觀察和歸納的能力，培養學生勇于探索創新的精神。

教學重點：

1、理解奇偶函數的定義；

2、掌握判斷函數的奇偶性的類型和方法，并探索其中簡單的規律。

教學難點：

1、對奇偶性定義的理解；

2、較復雜函數奇偶性的判斷及函數奇偶性的某些應用。

教學過程：

一、知識要點：

1、函數奇偶性的概念

一般地，對于函數f(x)，如果對于函數定義域內任意一個x，都有f(?x)?f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。

一般地，對于函數f(x)，如果對于函數定義域內任意一個x，都有f(?x)??f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數。

理解：

(1)奇偶性是針對整個定義域而言的，單調性是針對定義域內的某個區間而言的。這兩個概念的區別之一就是，奇偶性是一個“整體”性質，單調性是一個“局部”性質；

(2)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。

2、按奇偶性分類，函數可分為四類：

奇函數非偶函數、偶函數非奇函數、非奇非偶函數、亦奇亦偶函數.3、奇偶函數的圖象： 奇函數?圖象關于原點成中心對稱的函數，偶函數?圖象關于y軸對稱的函數。

4、函數奇偶性的性質：

①具有奇偶性的函數，其定義域關于原點對稱（也就是說，函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱）。

②常用的結論：若f(x)是奇函數，且x在0處有定義，則f(0)＝0。

③奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同，最值相反。奇函數f(x)在區間[a,b](0≤a

偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反，最值相同。偶函數f(x)在區間[a,b]（0≤a

④任意定義在R上的函數f(x)都可以唯一地表示成一個奇函數與一個偶函數的和。⑤若函數g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數時，y=f[g(x)]是奇函數；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數，或者一奇一偶時，y= f[g(x)]是偶函數。

復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.5、判斷函數奇偶性的方法：

⑴、定義法：對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f??x??f?x?〔或或f??x??f?x??0〕?函數f（x）是偶函數；

對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f??x???f?x?〔或

f??x??1f?x?f??x??f?x??0 ?函數f（x）是奇函數；

判斷函數奇偶性的步驟：

①、判斷定義域是否關于原點對稱； ②、比較f(?x)與f(x)的關系。③、扣定義，下結論。

f??x???1或f?x?⑵、圖象法：圖象關于原點成中心對稱的函數是奇函數；圖象關于y軸對稱的函數是偶函數。，⑶、運算法：幾個與函數奇偶性相關的結論：

①奇函數+奇函數=奇函數；偶函數+偶函數=偶函數； ②奇函數×奇函數=偶函數；奇函數×偶函數=奇函數。③若f(x)為偶函數，則f(?x)?f(x)?f(|x|)。

二、典例分析

1、給出函數解析式判斷其奇偶性：

分析：判斷函數的奇偶性，先要求定義域，定義域不關于原點對稱的是非奇非偶函數，若定義域關于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關系.【例1】 判斷下列函數的奇偶性：(1).f(x)?x?2x?1;(2).f(x)?

解：f(x)函數的定義域是(??，??)，∵ f(x)?x2?2x?1，∴ 2x2?2?x?3?,x??x?0?;x?x?3?f(?x)?(?x)2?2?x?1?x2?2x?1?f(x)，∴ f(x)?x2?2x?1為偶函數。

（法2—圖象法）：畫出函數f(x)?x2?2x?1的圖象如下： 由函數f(x)?x2?2x?1的圖象可知，f(x)?x2?2x?1為偶函數。

說明：解答題要用定義法判斷函數的奇偶性，選擇題、填空題可用圖象法判斷函數的奇偶性。(2).解：由 x?3?0，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).x?3∵定義域不關于原點對稱，故是非奇非偶函數.【例2】 判斷下列函數的奇偶性：

1?x04?x23?;(2).f(x)?3sin((1).f(x)?。?2x);(3).f(x)?2x?3?3x?122???2?x?2?4?x?0解：(1).由?，解得 ?

x?3?3?0x?0且x??6???4?x24?x2∴定義域為－2≤x＜0或0＜x≤2，則f(x)??;.x?3?3x4?(?x)24?x2∴f(?x)????f(x);.?xx4?x2∴f(x)?為奇函數.x?3?3說明：對于給出函數解析式較復雜時，要在函數的定義域不變情況下，先將函數解析式變形化簡，然后再進行判斷。(2).函數f(x)?3sin(∵f(x)?3sin(3??2x)定義域為R，23??2x)??3cos2x，2∴f(?x)??3cos2(?x)??3cos2x?f(x)，3?∴ 函數f(x)?3sin(?2x)為偶函數。

2?x?0?x?0(3).由?2，解得 ?，∴ 函數定義域為?x?Rx?0,x??1?，x??1x?1?0??1?x01?1?2?0，∴f(?x)?0，又∵f(x)?2x?1x?1∴f(?x)?f(x)且f(?x)??f(x)，1?x01?1?2?0 既是奇函數又是偶函數。所以f(x)?2x?1x?1【例3】 判斷下列函數的奇偶性：

?x(1?x),(x?0)?(1).f(x)?log0.5(x?x2?1)；(2).f(x)??0,(x?0)

?x(1?x),(x?0)?解：(1).定義域為R，∵f(?x)?f(x)?log0.5(?x?(?x)2?1)?log0.5(x?x2?1)?log0.5((x2?1)?x)?log0.51?0，∴ f(－x)=－f(x)，所以f(x)為奇函數。

說明：給出函數解析式判斷其奇偶性，一般是直接找f(?x)與f(x)關系，但當直接找f(?x)與f(x)關系困難時，可用定義的變形式：f??x??f?x??0?函數f（x）是偶函數；f??x??f?x??0 ?函數f（x）是奇函數。

(2).函數的定義域為R，當x?0時，?x?0,f(?x)?(?x)(1?x)??x(1?x)??f(x);當x?0時，?x?0,f(?x)?0??f(x);

當x?0時，?x?0,f(?x)?(?x)?1?(?x)???x(1?x)??f(x).綜上可知，對于任意的實數x，都有f(?x)??f(x)，所以函數f(x)為奇函數。

說明：分段函數判斷奇偶性，必分段來判斷，只有各段為同一結果時函數才有奇偶性。分段函數判斷奇偶性，也可用圖象法。

2、抽象函數判斷其奇偶性：

【例4】 已知函數f(x)(x?R且x?0),對任意的非零實數x1,x2,恒有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2),判斷函數f(x)(x?R且x?0)的奇偶性。

解：函數的定義域為(??,0)?(0,??)，令x1?x2?1，得f(1)?0，令x1?x2??1，則2f(?1)?f(1),?f(?1)?0, 取x1??1,x2?x，得f(?x)?f(?1)?f(x),?f(?x)?f(x)，故函數f(x)(x?R且x?0)為偶函數。

3、函數奇偶性的應用：

(1).求字母的值：

ax2?1【例5】已知函數f(x)?(a,b,c?Z)是奇函數，又f(1)?2，f(2)?3，bx?c求a,b,c的值.解：由f(?x)??f(x)得?bx?c??(bx?c)，∴c?0。

4a?1又f(1)?2得a?1?2b，而f(2)?3得?3，2b4a?1∴?3，解得?1?a?2。

a?1又a?Z，∴a?0或a?1.1若a?0，則b??Z，應舍去；若a?1，則b?1?Zb=1∈Z.2∴a?1,b?1,c?0。

說明：本題從函數的奇偶性入手，利用函數的思想(建立方程或不等式，組成混合組)，使問題得解.有時也可用特殊值，如 f(－1)=－f(1)，得c =0。(2).解不等式：

【例6】若f(x)是偶函數，當x∈［0，+∞)時，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。分析：偶函數的圖象關于y軸對稱，可先作出f(x)的圖象，利用數形結合的方法.解：畫圖可知f(x)＜0的解集為 ｛x｜－1＜x＜1｝，∴f(x－1)＜0的解集為｛x｜0＜x＜2｝.答案：｛x｜0＜x＜2｝

說明：本題利用數形結合的方法解題較快、簡捷.本題也可先求f(x)的表達式，再求f(x－1)的表達式，最后求不等式的解也可得到結果.(3).求函數解析式：

【例7】已知f(x)是R上的奇函數，且x∈(－∞，0)時，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).分析：先設x＞0，求f(x)的表達式，再合并.解：∵f(x)為奇函數，∴f(0)=0.當x＞0時，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，∴f(x)=－xlg(2+x)(x＞0).∴f(x)????xlg(2?x)(x?0)。

?xlg(2?x)(x?0)?說明：注意自變量在區間上的轉化，分段函數的處理和分類討論的思想緊密相連。

三、鞏固訓練：

一、選擇題

1.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表達式為y=x(1－x)，且f(x)為奇函數，則x∈(－∞，0］時f(x)等于

A.－x(1－x)B.x(1+x)

C.－x(1+x)D.x(x－1)

ex?11?x2.已知四個函數：①y?log2，②y?x，③ y=3x+3-x，④ y=lg(3x+3-x).1?xe?1其中為奇函數的是

A.②④ B.①③ C.①④ D.①②

3.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x2－2x，則在R上f(x)的表達式為 A.－x(x－2)

B.x（｜x｜－2）

C.｜x｜(x－2)

D.｜x｜（｜x｜－2）

二、填空題

4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數，且定義域為［a－1，2a］，則a=_____________，b=____________.15.若f(x)?x?a(x∈R且x≠0)為奇函數，則2?1a=_______________.6.已知f(x)=ax7－bx+2且f(－5)=17，則f(5)=_______________.7.已知f(x)是定義在(?3,3)上的奇函數，當0?x?3時，f(x)的圖像如右圖所示，那么不等式f(x)?cosx?0的解集是_____________

三、解答題 8.已知G(x)?1?1?且x=lnf(x)，判定G(x)的奇偶性。f(x)???2?f(x)?3，求f(x)和x?39.已知函數f(x)滿足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，試證f(x)是偶函數.10.設函數f(x)是偶函數，函數g(x)是奇函數，且f(x)?g(x)?g(x)的解析表達式。

11.已知f(x)＝x5+ax3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。12.已知f(x)、g(x)都是定義在R上的奇函數，若F(x)?af(x)?bg(x)?2在區間(0,??)上的最大值為5，求F(x)在區間(??,0)上的最小值。

13.已知f(x)是奇函數，在區間(?2,2)上單調遞增，且有f(2?a)?f(1?2a)?0，求實數a的取值范圍。

四、鞏固訓練參考答案：

一、選擇題

1.解析：x∈(－∞，0］，－x≥0，∴ f(－x)=(－x)(1+x)，－f(x)=－x(1+x).∴f(x)=x(1+x).答案：B 2.提示：可運用定義，逐個驗算.答案：D 3.解析：設x＜0，則－x＞0，∵f(x)是奇函數，∴f(x)=－f(－x)=－［(－x)2－2(－x)］=－x2－2x.?x2?2x(x?0)∴f(x)??2，即f(x)= x（|x|－2），故答案：B。

??x?2x(x?0)

二、填空題

4.解析：定義域關于原點對稱，故a－1=－2a，a?又對于f(x)有f(－x)=f(x)恒成立，∴b=0.答案：

1，31，0。31115.解析：特值法：∵f(－1)=－f(1)，?1?a??(1?a)，a?。

2?12?121答案：。

26.解析：整體思想：f(－5)=a(－5)7－ b(－5)+2=17(a·57－5b)=－15，∴ f(5)=a·57－b·5+2=－15+2=－13.答案：－13。

7.解析：∵ f(x)是定義在(?3,3)上的奇函數，∴ 補充其圖像如圖，又∵不等式

???f(x)?0?f(x)?0或?，解得?x?3，或??x??1或f(x)?cosx?0同解于?22?cosx?0?cosx?0??????0?x?1，∴不等式f(x)?cosx?0的解集是??,?1???0,1???,3?，答案：

?2??2????????,?1?0,1?,3???2??2?。????

三、解答題

8.解：由x=lnf(x)得f(x)=ex.1?1?1?x1?1x?x?e??(e?e)。f(x)???x??e?22?f(x)?2?11又G(?x)?(e?x?ex)??(ex?e?x)??G(?x)，∴G(x)為奇函數。

22∴G(x)?9.證明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0).∵ f(0)≠0，∴f(0)=1.令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y).∴ f(－y)=f(y).∴ f(x)是偶函數.歸納：賦值法(代入特殊值)在處理一般函數問題時經常用到.10.解：∵f(x)?g(x)?33?(1)，∴f(?x)?g(?x)?，x?3?x?3又∵函數f(x)是偶函數，函數g(x)是奇函數，∴f(?x)?f(x)，g(?x)??g(x)，∴上式化為f(x)?g(x)?f(x)?99?x23?(2)，解(1),(2)組成的方程組得

?x?33x(x?R,x??3)，g(x)?2(x?R,x??3)。

x?911.分析：問題的結構特征啟發我們設法利用奇偶性來解

解：令g(x)=x5+ax3-bx，則g(x)是奇函數，所以g(-2)＝g(2)，于是f(-2)＝g(-2)-8,∴ g(-2)=18.所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.12.解：設h(x)?af(x)?bg(x)，則h(x)?af(x)?bg(x)為奇函數，因為當x?(0,??)時，F(x)?5,所以h(x)?af(x)?bg(x)?F(x)?2?3, 所以當x?(??,0)時，F(x)?2?h(x)?af(x)?bg(x)??3,即F(x)??1, 故F(x)在區間(??,0)上的最小值為-1。

13.解：因為函數f(x)是奇函數，所以f(?x)??f(x).由f(2?a)?f(1?2a)?0得f(2?a)??f(1?2a)，即f(2?a)?f(2a?1).??2?2?a?21?又f(x)在區間(?2,2)上單調遞增，故得??2?2a?1?2，解得??a?0.2?2?a?2a?1?所以實數a的取值范圍為(?1,0).2注意：利用函數的奇偶性、單調性求變量的范圍，是函數奇偶性及單調性的逆用，培養逆向思維能力，判斷出2?a,2a?1?(?2,2)是解決本題的關鍵。

第二篇：函數奇偶性課件

函數的奇偶性是指在關于原點的對稱點的函數值相等。函數奇偶性課件內容，一起來看看！

課標分析

函數的奇偶性是函數的重要性質，是對函數概念的深化．它把自變量取相反數時函數值間的關系定量地聯系在一起，反映在圖像上為：偶函數的圖像關于ｙ軸對稱，奇函數的圖像關于坐標原點成中心對稱．這樣，就從數、形兩個角度對函數的奇偶性進行了定量和定性的分析．

教材分析

教材首先通過對具體函數的圖像及函數值對應表歸納和抽象，概括出了函數奇偶性的準確定義．然后，為深化對概念的理解，舉出了奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數的函數和非奇非偶函數的實例．最后，為加強前后聯系，從各個角度研究函數的性質，講清了奇偶性和單調性的聯系．這節課的重點是函數奇偶性的定義，難點是根據定義判斷函數的奇偶性．

教學目標通過具體函數，讓學生經歷奇函數、偶函數定義的討論，體驗數學概念的建立過程，培養其抽象的概括能力．

教學重難點

1理解、掌握函數奇偶性的定義，奇函數和偶函數圖像的特征，并能初步應用定義判斷一些簡單函數的奇偶性．在經歷概念形成的過程中，培養學生歸納、抽象概括能力，體驗數學既是抽象的又是具體的．

學生分析

這節內容學生在初中雖沒學過，但已經學習過具有奇偶性的具體的函數：正比例函數y＝kx，反比例函數，（k≠0），二次函數y＝ax2，（a≠0），故可在此基礎上，引入奇、偶函數的概念，以便于學生理解．在引入概念時始終結合具體函數的圖像，以增加直觀性，這樣更符合學生的認知規律，同時為闡述奇、偶函數的幾何特征埋下了伏筆．對于概念可從代數特征與幾何特征兩個角度去分析，讓學生理解：奇函數、偶函數的定義域是關于原點對稱的非空數集；對于在有定義的奇函數y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函數，又是偶函數的函數有f（x）＝0，x∈R．在此基礎上，讓學生了解：奇函數、偶函數的矛盾概念———非奇非偶函數．關于單調性與奇偶性關系，引導學生拓展延伸，可以取得理想效果．

教學過程

一、探究導入觀察如下兩圖，思考并討論以下問題：

（1）這兩個函數圖像有什么共同特征？

（2）相應的兩個函數值對應表是如何體現這些特征的？

可以看到兩個函數的圖像都關于y軸對稱．從函數值對應表可以看到，當自變量x取一對相反數時，相應的兩個函數值相同．

對于函數f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事實上，對于R內任意的一個x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．此時，稱函數y＝x2為偶函數．

2觀察函數f（x）＝x和f（x）＝ 的圖像，并完成下面的兩個函數值對應表，然后說出這兩個函數有什么共同特征．

可以看到兩個函數的圖像都關于原點對稱．函數圖像的這個特征，反映在解析式上就是：當自變量ｘ取一對相反數時，相應的函數值f（x）也是一對相反數，即對任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．此時，稱函數y＝f（x）為奇函數．

二、師生互動

由上面的分析討論引導學生建立奇函數、偶函數的定義奇、偶函數的定義

如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（－x）＝－f（x），那么函數f（x）就叫作奇函數．

如果對于函數f（x）的定義域內任意一個x，都有f（－x）＝f（x），那么函數f（x）就叫作偶函數．提出問題，組織學生討論

（1）如果定義在R上的函數f（x）滿足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函數嗎？

（f（x）不一定是偶函數）

（2）奇、偶函數的圖像有什么特征？

（奇、偶函數的圖像分別關于原點、y軸對稱）

（3）奇、偶函數的定義域有什么特征？

（奇、偶函數的定義域關于原點對稱）

三、難點突破

例題講解判斷下列函數的奇偶性．

注：①規范解題格式；②對于（5）要注意定義域x∈（－1，1〕．已知：定義在R上的函數f（x）是奇函數，當x＞0時，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的表達式．

解：（1）任取x＜0，則－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），而f（x）是奇函數，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．

（2）當x＝0時，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．已知：函數f（x）是偶函數，且在（－∞，0）上是減函數，判斷f（x）在（0，＋∞）上是增函數，還是減函數，并證明你的結論．

解：先結合圖像特征：偶函數的圖像關于y軸對稱，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函數，證明如下：

任取x1＞x2＞0，則－x1＜－x2＜0．

∵f（x）在（－∞，0）上是減函數，∴f（－x1）＞f（－x2）．

又f（x）是偶函數，∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數．

思考：奇函數或偶函數在關于原點對稱的兩個區間上的單調性有何關系？

鞏固創新已知：函數f（x）是奇函數，在〔a，b〕上是增函數（b＞a＞0），問f（x）在〔－b，－a〕上的單調性如何．f（x）＝－x｜x｜的大致圖像可能是（）函數f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），當a，b，c滿足什么條件時，（1）函數f（x）是偶函數．（2）函數f（x）是奇函數．設f（x），g（x）分別是R上的奇函數和偶函數，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．

四、課后拓展有既是奇函數，又是偶函數的函數嗎？若有，有多少個？設f（x），g（x）分別是R上的奇函數，偶函數，試研究：

（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．

（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．

3已知a∈R，f（x）＝a－，試確定a的值，使f（x）是奇函數．一個定義在Ｒ上的函數，是否都可以表示為一個奇函數與一個偶函數的和的形式？

教學后記

這篇案例設計由淺入深，由具體的函數圖像及對應值表，抽象概括出了奇、偶函數的定義，符合職高學生的認知規律，有利于學生理解和掌握．應用深化的設計層層遞進，深化了學生對奇、偶函數概念的理解和應用．拓展延伸為學生思維能力、創新能力的培養提供了平臺。

第三篇：函數奇偶性教案

函數的奇偶性

授課教師——李振明

授課班級——高一（8）

教學目的：

1、使學生理解函數的奇偶性的概念，并能判斷一些簡單函數的奇偶性；

2、進一步培養學生分析問題和解決問題的能力。教學重點和難點： 函數奇偶性的判斷

一、引入新課： 題1：已知函數f(x)=3x 畫出圖形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。

題2：已知函數g(x)= 2x2畫出圖形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。

考察：f(x)與f(-x)，g(x)與g(-x)之間的關系是什么？

二、定義：對于函數f(x),在它的定義域內，任

意一個x.①如果都有f(-x)=f(x)，則函數f(x)叫做奇函數。②如果都有f(-x)=f(x)，則函數f(x)叫做偶函數。

三、例：判斷下列函數的奇偶性

① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理:

1、性質：奇函數的圖象關于原點對稱。偶函數的圖象關于y軸對稱。

２、如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數。

如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數。

四、鞏固練習

（1）如果對于函數f(x)的(任意一個X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做偶函數。

如果對于函數f(x)的（任意一個X），都有（f(-x)=f(x)），那么函數f(x)就叫做奇函數。

（2）奇函數的圖象關于（關于原點）對稱，偶函數的圖象關于（y軸對稱）對稱。

（3）已知函數y = f(x)是奇函數，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函數中，偶函數是（B）

（5）函數f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）

A．奇函數

B．偶函數

C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數又不是偶函數

四、小結

1、定義：對于函數f(x),在它的定義域內，把任 意一個x換成－x，（x,－x都在定義域）。

①如果都有f(－x)=f(x)，則函數f(x)叫做奇函數。②如果都有f(－x)=f(x)，則函數f(x)叫做偶函數。

2、性質:奇函數的圖象關于原點對稱。

偶函數的圖象關于y軸對稱。如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函 數是奇函數。

如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函 數是偶函數。

五、課后思考題

已知函數f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，則當m、n為何值時，為奇函數

f(x)

第四篇：函數奇偶性教案

函數的奇偶性

廖登玲

一、教學目標：

1、知識與技能 ：

理解奇函數、偶函數的概念，掌握判斷函數奇偶性的方法；

2、過程與方法：

通過觀察、歸納、抽象、概括，自主建構奇函數、偶函數等概念；能運用函數奇偶

性概念解決簡單的問題，領會數形結合的數學思想方法；培養發現問題、分析問題、解決問題的能力．

二、教學重難點：

教學重點：函數奇偶性概念及其判斷方法。

教學難點：對函數奇偶性的概念的理解及如何判定函數奇偶性。

三、教學方法：

通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念．在鼓勵學生主體參與的同時，教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面過程

四、教學過程：

1、創設情境，引入課題：

讓學生自己列舉出生活中對稱的實例，師：我們知道，“對稱”是大自然的一種美，在我們的生活中，有許多的對稱美：如美麗的蝴蝶、古建筑等等。這種對稱美在數學中也有大量的反應，這節課我們就來一起發現數學中的對稱美。

2、觀察歸納，形成概念：

（1）請同學們利用描點法做出函數f(x)=x/3 與函數g(x)=x^3 的圖像，觀察這兩個函數圖像具有怎樣的對稱性并思考和討論以下的問題？

①這兩個函數的圖像有什么共同的特征？②從圖像看函數的定義域有什么特點？ 生：函數y=x/3的圖像是定義域為R的直線，函數y=x^3的圖像是定義域為R的曲線，它們都關于原點對稱，且當x屬于函數定義域時，它的相反數-x也在定義域內。

（2）讓學生注意到x=-

3、-

2、-1、0、1、2、3 時兩個函數的函數值，可以發現兩個函數的對稱性反應到函數上具有的特性:關于原點對稱，進而提出在定義域內是否對所有的x，都有類似的情況？借助課件演示，讓學生通過運算發現函數的對稱性實質：當自變量互為相反數時，函數值互為相反數。然后通過解析式給出簡單證明：f(-x)=(-x)/3=-(x/3)=-f(x);g(-x)=(-x)^3=-(x^3)=-g(x)，進一步說明這個特性對定義域內的任意一個x都成立。

(3)師：具有此種特征的函數還有很多，我們能不能用數學語言對這類函數的特征進行描述？

（板書）：如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(x)=-f(-x)，那么函數叫做奇函數。

3、設疑答問，深化概念

教師設計下列問題并組織學生討論思考回答：

問題1：奇函數定義中有“任意”二字，說明函數的奇偶性是怎樣的一個性質？與單調性有何區別？

答：在奇函數的定義中“如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x”這句話它表示函數奇偶性針對的是函數的整個定義域，它表示函數的奇偶性是函數在定義域上的一個整體性

質，它不同于單調性，單調性它針對的是定義域中的某個區間，是一個局部性質。問題2：-x與x在幾何上有何關系？具有奇偶性的函數的定義域有何特征？

答：二者在幾何上關于原點對稱，函數的定義域關于原點對稱是一個函數為奇函數或偶函數的首要條件。

問題3：（1）對于任意一個奇函數f(x)，圖像上的點f(x)關于原點的對稱點f(-x)的坐標是什么？點(-x,-f(x))是否也在函數f(x)的圖像上？由此可得到怎樣的結論？（2）如果一個函數是奇函數，定義域中的x可以等于0.那么f(0)的值等于多少？

引導學生通過回答問題3把奇函數圖像的性質總結出來，即：①函數f(x)是奇函數,則其圖像關于原點對稱，②對于奇函數f(x)，若f(0)有定義，則f(0)=0.然后教師利用多媒體演示兩幅關于y軸對稱的函數圖像，讓學生仿照奇函數，觀察圖像，給出偶函數的定義：如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(x)=f(-x)，那么函數叫做偶函數。并讓學生自己研究一下偶函數圖像的性質，即函數f(x)是偶函數，則其圖像關于y軸對稱。

4、知識應用，鞏固提高 例

1、判斷下列函數的奇偶性:

（1）f(x)=1/x（奇函數）

(2)f(x)=-(x^2)+1(偶函數)

（3）f(x)=x+1（非奇非偶）

(4)f(x)=0（既奇又偶）

選例1的第（1）小題板書來示范解題的步驟:對于函數f(x)=1/x，其定義域為(-∞，+∞）.因為對定義域內的每一個x，有-x∈(-∞，+∞），且f(-x)=-1/x=-f(x),(f(x)+f(-x)=0), 所以，函數為奇函數。

其他例題讓幾個學生板演，其余學生在下面自己完成，針對板演的同學所出現的步驟上的問題進行及時糾正，教師要適時引導學生做好總結歸納。（1）通過例1總結判斷函數奇偶性的步驟：

①求出函數的定義域I,并判斷若x∈I,是否有-x∈I

②驗證f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)（f(x)-f(-x)=0 或f(x)+f(-x)=0）③得出結論

（2）通過講解板演同學的解題，得出函數奇偶性的相關性質：

① 對于一個函數來說，它的奇偶性有四種可能：是奇函數但不是偶函數，是偶函數但不是奇函數，既是奇函數又是偶函數，既不是奇函數也不是偶函數。

②存在既是奇函數，又是偶函數的函數：f(x)=0

五、總結反思：

從知識、方法兩個方面來對本節課的內容進行歸納總結，讓學生談本節課的收獲，并進行反思。從而關注學生的自主體驗，反思和發表本堂課的體驗和收獲。

六、任務后延，興趣研究：

1、思考：如果改變奇函數的定義域，它還是奇函數嗎？如：y = x3(x≠0)，y = x3(x≠1)，y = x3(x≥0)，y=x3(－1≤x≤1)，試判斷它們是奇函數嗎？

2、課后作業（略）

第五篇：函數奇偶性教案

§1.3.2函數的奇偶性

教學目標

1．知識與技能：

理解函數的奇偶性及其幾何意義；學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；學會判斷函數的奇偶性；

2．過程與方法：

通過函數奇偶性概念的形成過程，培養學生觀察、歸納、抽象的能力，滲透數形結合的數學思想．

3．情態與價值：

通過函數的奇偶性教學，培養學生從特殊到一般的概括歸納問題的能力．

教學重點和難點

教學重點：函數的奇偶性及其幾何意義 教學難點：判斷函數的奇偶性的方法

教學過程：

一：引入課題

觀察并思考函數

以及y=|x|的圖像有哪些共同特征？這些特征在函數值對應表是如何體現的？（學生自主討論）根據學生討論的結果推出偶函數的定義。

偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(?x)?f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．

（學生活動）

依照偶函數的定義給出奇函數的定義．

奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域的任意一個x，都有f(?x)??f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．

注意：

1．具有奇偶性的函數的圖像的特征：

偶函數的圖像關于y軸對稱；奇函數的圖像關于原點對稱．

2．由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則?x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）． 二：例題講解

例1．判斷下列函數是不是具有奇偶性．（1）f(x)?2x3x?[?1,2]

2（2）f(x)?x?xx?1

例2．判斷下列函數的奇偶性

（1）f(x)?x4

（2）f(x)?x5

（3）f(x)?x?總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟： 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； ○2 確定f(－x)與f(x)的關系； ○3 作出相應結論： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，則f(x)是偶函數；

若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，則f(x)是奇函數．

三：課堂練習

課本P36習題1

利用函數的奇偶性補全函數的圖象（教材P41思考題）

規律：偶函數的圖象關于y軸對稱；

奇函數的圖象關于原點對稱．

1x

（4）f(x)?1x2

四：歸納小結，強化思想

本節主要學習了函數的奇偶性，判斷函數的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數的奇偶性時，必須注意首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱．單調性與奇偶性的綜合應用是本節的一個難點，需要學生結合函數的圖象充分理解好單調性和奇偶性這兩個性質．

五：作業布置

1．作業：判斷下列函數的奇偶性： f(x)?○2x?2xx?122f(x)??；

○

?x(1?x)x?0,?x(1?x)x?0.f(x)?x3?2x ；

○4 f(x)?a

（x?R）○

思考題：若函數f(x)＝(x+1)(x-a)為偶函數，求a的值.