第一篇：函數的奇偶性教案

函數的奇偶性

伊濱一高

楊志剛

2012年11月15日

函數的奇偶性

教學目標

1、從形和數兩個方面進行引導，使學生理解函數奇偶性的概念;

2、會利用定義判斷簡單函數的奇偶性.教學重點: 函數奇偶性概念的形成與函數奇偶性的判斷.教學難點: 對函數奇偶性的概念的理解.教學過程

一、導入新課

先舉現實生活中對稱的例子,然后啟發學生發現數學中存在對稱的圖形,試讓學生舉例.(學生可能會舉出y?x2和y?x,y?1等例子)其中哪些函數的圖象關

x于y軸對稱？

以函數y?x2為例，畫出圖象,讓學生說出判斷其圖象關于y軸對稱的方法.在數學上將圖象關于y軸對稱的函數叫做偶函數.今天將從數值角度研究圖象關于y軸對稱函數的自變量與函數值之間的規律.二、講解新課

引導學生先將規律具體化,再用數學符號表示.從而發現對定義域內任意一個x,都有 f(?x)= f(x)成立.最后讓學生用完整的語言給出偶函數定義,不準確的地方予以提示或調整.一般地,如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(?x)?f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數.注:強調“任意”兩字.給出定義后可讓學生舉例檢驗他們對概念的初步認識

提出新問題:圖象關于原點對稱的函數的自變量與函數值之間具有怎樣的數值規律呢?(同時打出y?1的圖象讓學生觀察研

x究)引導學生用類比的方法,得出結論,讓學生給出奇函數的定義.一般地,如果對于函數

f(x)的定義域內任意一個

x,都有,f(?x)??f(x)那么函數f(x)就叫做奇函數.三、例題講解

例1 判斷下列函數的奇偶性(1)f(x)?x?1;(2)f(x)?x1x2;(3)f(x)??2x;(4)f(x)?|x|?2;(5)f(x)?(7)f(x)?(9)1?x2;(6)f(x)??x2,x?[?3,1];4?x2?(x?2)0;(8)f(x)?2x?1;1?x22x2?2xf(x)?;(10)f(x)?.x?2?2x?1前三個題做完，進行一次小結,判斷奇偶性,只需驗證 f(x)與

f(?x)之間的關系.此時提出問題如何判斷一個函數不具有奇偶性呢？以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數的問題呢?引導學生得出只需舉一個反例就可說明.通過第(6)題引導學生得出定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的先決條件的結論.由學生小結判斷奇偶性的步驟之后,提出新的問題:在剛才的幾個函數中有是奇函數不是偶函數,有是偶函數不是奇函數,也有既不是奇函數也不是偶函數,那么有沒有這樣的函數,它既是奇函數也是偶函數呢?若有,舉例說明.經學生思考,可找到函數 f(x)?0.然后繼續提問:是不是具備這樣性質的函數的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?

例2 已知函數 f(x)既是奇函數也是偶函數,求證: f(x)?0.(由學生來完成)

證明: ?f(x)既是奇函數也是偶函數，?f(?x)= f(x),且 f(?x)??f(x), ? f(x)= ?f(x).? 2f(x)?0,即 f(x)?0.進一步提問：這樣的函數應有多少個呢?（學生開始可能認為只有一個,經提示可發現, f(x)?0只是解析式的特征,若改變函數的定義域,如 f(x)?0, x?[?1,1], f(x)?0，x?{?2,?1,0,1,2},它們顯然是不同的函數,但它們都是既是奇函數也是偶函數.）課后反思：

1、函數奇偶性的定義;

2、函數奇偶性的判定;

3、利用函數的奇偶性可將函數分為四類:奇函數、偶函數、非奇非偶函數、既奇又偶函數.作業

P361、2題；P39A組6題；P39B組3題。[板書設計]

函數的奇偶性

1、定義：

2、函數奇偶性的判斷；（畫圖）

3、例題示范；

4、例題講解；

5、課后反思；

第二篇：函數奇偶性教案

函數的奇偶性

授課教師——李振明

授課班級——高一（8）

教學目的：

1、使學生理解函數的奇偶性的概念，并能判斷一些簡單函數的奇偶性；

2、進一步培養學生分析問題和解決問題的能力。教學重點和難點： 函數奇偶性的判斷

一、引入新課： 題1：已知函數f(x)=3x 畫出圖形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。

題2：已知函數g(x)= 2x2畫出圖形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。

考察：f(x)與f(-x)，g(x)與g(-x)之間的關系是什么？

二、定義：對于函數f(x),在它的定義域內，任

意一個x.①如果都有f(-x)=f(x)，則函數f(x)叫做奇函數。②如果都有f(-x)=f(x)，則函數f(x)叫做偶函數。

三、例：判斷下列函數的奇偶性

① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理:

1、性質：奇函數的圖象關于原點對稱。偶函數的圖象關于y軸對稱。

２、如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數。

如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數。

四、鞏固練習

（1）如果對于函數f(x)的(任意一個X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做偶函數。

如果對于函數f(x)的（任意一個X），都有（f(-x)=f(x)），那么函數f(x)就叫做奇函數。

（2）奇函數的圖象關于（關于原點）對稱，偶函數的圖象關于（y軸對稱）對稱。

（3）已知函數y = f(x)是奇函數，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函數中，偶函數是（B）

（5）函數f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）

A．奇函數

B．偶函數

C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數又不是偶函數

四、小結

1、定義：對于函數f(x),在它的定義域內，把任 意一個x換成－x，（x,－x都在定義域）。

①如果都有f(－x)=f(x)，則函數f(x)叫做奇函數。②如果都有f(－x)=f(x)，則函數f(x)叫做偶函數。

2、性質:奇函數的圖象關于原點對稱。

偶函數的圖象關于y軸對稱。如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函 數是奇函數。

如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函 數是偶函數。

五、課后思考題

已知函數f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，則當m、n為何值時，為奇函數

f(x)

第三篇：函數奇偶性教案

函數的奇偶性

廖登玲

一、教學目標：

1、知識與技能 ：

理解奇函數、偶函數的概念，掌握判斷函數奇偶性的方法；

2、過程與方法：

通過觀察、歸納、抽象、概括，自主建構奇函數、偶函數等概念；能運用函數奇偶

性概念解決簡單的問題，領會數形結合的數學思想方法；培養發現問題、分析問題、解決問題的能力．

二、教學重難點：

教學重點：函數奇偶性概念及其判斷方法。

教學難點：對函數奇偶性的概念的理解及如何判定函數奇偶性。

三、教學方法：

通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念．在鼓勵學生主體參與的同時，教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面過程

四、教學過程：

1、創設情境，引入課題：

讓學生自己列舉出生活中對稱的實例，師：我們知道，“對稱”是大自然的一種美，在我們的生活中，有許多的對稱美：如美麗的蝴蝶、古建筑等等。這種對稱美在數學中也有大量的反應，這節課我們就來一起發現數學中的對稱美。

2、觀察歸納，形成概念：

（1）請同學們利用描點法做出函數f(x)=x/3 與函數g(x)=x^3 的圖像，觀察這兩個函數圖像具有怎樣的對稱性并思考和討論以下的問題？

①這兩個函數的圖像有什么共同的特征？②從圖像看函數的定義域有什么特點？ 生：函數y=x/3的圖像是定義域為R的直線，函數y=x^3的圖像是定義域為R的曲線，它們都關于原點對稱，且當x屬于函數定義域時，它的相反數-x也在定義域內。

（2）讓學生注意到x=-

3、-

2、-1、0、1、2、3 時兩個函數的函數值，可以發現兩個函數的對稱性反應到函數上具有的特性:關于原點對稱，進而提出在定義域內是否對所有的x，都有類似的情況？借助課件演示，讓學生通過運算發現函數的對稱性實質：當自變量互為相反數時，函數值互為相反數。然后通過解析式給出簡單證明：f(-x)=(-x)/3=-(x/3)=-f(x);g(-x)=(-x)^3=-(x^3)=-g(x)，進一步說明這個特性對定義域內的任意一個x都成立。

(3)師：具有此種特征的函數還有很多，我們能不能用數學語言對這類函數的特征進行描述？

（板書）：如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(x)=-f(-x)，那么函數叫做奇函數。

3、設疑答問，深化概念

教師設計下列問題并組織學生討論思考回答：

問題1：奇函數定義中有“任意”二字，說明函數的奇偶性是怎樣的一個性質？與單調性有何區別？

答：在奇函數的定義中“如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x”這句話它表示函數奇偶性針對的是函數的整個定義域，它表示函數的奇偶性是函數在定義域上的一個整體性

質，它不同于單調性，單調性它針對的是定義域中的某個區間，是一個局部性質。問題2：-x與x在幾何上有何關系？具有奇偶性的函數的定義域有何特征？

答：二者在幾何上關于原點對稱，函數的定義域關于原點對稱是一個函數為奇函數或偶函數的首要條件。

問題3：（1）對于任意一個奇函數f(x)，圖像上的點f(x)關于原點的對稱點f(-x)的坐標是什么？點(-x,-f(x))是否也在函數f(x)的圖像上？由此可得到怎樣的結論？（2）如果一個函數是奇函數，定義域中的x可以等于0.那么f(0)的值等于多少？

引導學生通過回答問題3把奇函數圖像的性質總結出來，即：①函數f(x)是奇函數,則其圖像關于原點對稱，②對于奇函數f(x)，若f(0)有定義，則f(0)=0.然后教師利用多媒體演示兩幅關于y軸對稱的函數圖像，讓學生仿照奇函數，觀察圖像，給出偶函數的定義：如果對于函數定義域內的任意一個x,都有f(x)=f(-x)，那么函數叫做偶函數。并讓學生自己研究一下偶函數圖像的性質，即函數f(x)是偶函數，則其圖像關于y軸對稱。

4、知識應用，鞏固提高 例

1、判斷下列函數的奇偶性:

（1）f(x)=1/x（奇函數）

(2)f(x)=-(x^2)+1(偶函數)

（3）f(x)=x+1（非奇非偶）

(4)f(x)=0（既奇又偶）

選例1的第（1）小題板書來示范解題的步驟:對于函數f(x)=1/x，其定義域為(-∞，+∞）.因為對定義域內的每一個x，有-x∈(-∞，+∞），且f(-x)=-1/x=-f(x),(f(x)+f(-x)=0), 所以，函數為奇函數。

其他例題讓幾個學生板演，其余學生在下面自己完成，針對板演的同學所出現的步驟上的問題進行及時糾正，教師要適時引導學生做好總結歸納。（1）通過例1總結判斷函數奇偶性的步驟：

①求出函數的定義域I,并判斷若x∈I,是否有-x∈I

②驗證f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)（f(x)-f(-x)=0 或f(x)+f(-x)=0）③得出結論

（2）通過講解板演同學的解題，得出函數奇偶性的相關性質：

① 對于一個函數來說，它的奇偶性有四種可能：是奇函數但不是偶函數，是偶函數但不是奇函數，既是奇函數又是偶函數，既不是奇函數也不是偶函數。

②存在既是奇函數，又是偶函數的函數：f(x)=0

五、總結反思：

從知識、方法兩個方面來對本節課的內容進行歸納總結，讓學生談本節課的收獲，并進行反思。從而關注學生的自主體驗，反思和發表本堂課的體驗和收獲。

六、任務后延，興趣研究：

1、思考：如果改變奇函數的定義域，它還是奇函數嗎？如：y = x3(x≠0)，y = x3(x≠1)，y = x3(x≥0)，y=x3(－1≤x≤1)，試判斷它們是奇函數嗎？

2、課后作業（略）

第四篇：函數奇偶性教案

§1.3.2函數的奇偶性

教學目標

1．知識與技能：

理解函數的奇偶性及其幾何意義；學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；學會判斷函數的奇偶性；

2．過程與方法：

通過函數奇偶性概念的形成過程，培養學生觀察、歸納、抽象的能力，滲透數形結合的數學思想．

3．情態與價值：

通過函數的奇偶性教學，培養學生從特殊到一般的概括歸納問題的能力．

教學重點和難點

教學重點：函數的奇偶性及其幾何意義 教學難點：判斷函數的奇偶性的方法

教學過程：

一：引入課題

觀察并思考函數

以及y=|x|的圖像有哪些共同特征？這些特征在函數值對應表是如何體現的？（學生自主討論）根據學生討論的結果推出偶函數的定義。

偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(?x)?f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．

（學生活動）

依照偶函數的定義給出奇函數的定義．

奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域的任意一個x，都有f(?x)??f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．

注意：

1．具有奇偶性的函數的圖像的特征：

偶函數的圖像關于y軸對稱；奇函數的圖像關于原點對稱．

2．由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則?x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）． 二：例題講解

例1．判斷下列函數是不是具有奇偶性．（1）f(x)?2x3x?[?1,2]

2（2）f(x)?x?xx?1

例2．判斷下列函數的奇偶性

（1）f(x)?x4

（2）f(x)?x5

（3）f(x)?x?總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟： 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； ○2 確定f(－x)與f(x)的關系； ○3 作出相應結論： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，則f(x)是偶函數；

若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，則f(x)是奇函數．

三：課堂練習

課本P36習題1

利用函數的奇偶性補全函數的圖象（教材P41思考題）

規律：偶函數的圖象關于y軸對稱；

奇函數的圖象關于原點對稱．

1x

（4）f(x)?1x2

四：歸納小結，強化思想

本節主要學習了函數的奇偶性，判斷函數的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數的奇偶性時，必須注意首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱．單調性與奇偶性的綜合應用是本節的一個難點，需要學生結合函數的圖象充分理解好單調性和奇偶性這兩個性質．

五：作業布置

1．作業：判斷下列函數的奇偶性： f(x)?○2x?2xx?122f(x)??；

○

?x(1?x)x?0,?x(1?x)x?0.f(x)?x3?2x ；

○4 f(x)?a

（x?R）○

思考題：若函數f(x)＝(x+1)(x-a)為偶函數，求a的值.

第五篇：函數的奇偶性(教案)

3.4函數的奇偶性

教學目標：

1、理解并掌握偶函數、奇函數的概念；

2、熟悉掌握偶函數、奇函數的圖像的特征；

3、會證明一些簡單的函數的奇偶性。

教學重點：偶函數、奇函數的概念，判斷函數的奇偶性； 教學難點：函數的奇偶性的定義的理解。教學過程：

1、創設情境，直觀感受

（1）請同學們欣賞圖片，并根據圖片說一說這些圖片具有怎樣的對稱性。這些圖片展現了數學的對稱美，他們是軸對稱圖形或者中心對稱圖形。我們熟知的函數中也有如此美的圖像。函數的圖像一般都是呈現在直角坐標系中的，而在我們直角坐標系中，有2條坐標軸以及一個點，今天我們所要研究的就是在坐標軸中的對稱。有三種，關于y軸對稱，關于原點對稱，關于x軸對稱。請問，一個函數圖像可能關于x軸對稱嗎？（這個學生應該比較好回答。）那么就只有2種關于y軸對稱和關于原點對稱。（這里要復習一下一個點關于y軸對稱和關于原點對稱的點的坐標特點。）

請同桌討論一下，舉出我們所學習的函數中圖像是關于y軸對稱或者關于原點對稱。

（請2組同學進行匯報，并且將函數的大致圖像畫到黑板上。）

2、概念引入，理性分析

(1)從函數圖像上詮釋研究奇偶函數的價值

根據同學舉得例子，來探討這2類函數研究的價值：因為這2類函數具有美麗的對稱性，那么我們在畫函數圖像的時候只需要作出一半的圖像，另外一半對稱過去就可以；而且在研究函數性質的時候，只需要研究一半，另外一半的性質也可以相應的得出。

(2)從符號語言、解析式來詮釋奇偶函數

既然這2類函數具有特殊的對稱性，那么如何證明這種對稱性呢？

（此處引導學生：圖像是點集，要證明圖像的性質，只需要證明點的性質即可。）第一組圖像中的點?1,f(1)?，它關于y軸的對稱點為??1,f(1)?，下面證明??1,f(1)?點在函數的圖像上即可，如何證明點在函數圖像上呢？只需要證明點的坐標滿足函數解析式即可（帶入證明）。同樣的對于點?2,f(2)?，它關于y軸的對稱點為??2,f(2)?，下面說明點??2,f(2)?在函數圖像即可。依次下去，需要驗證多少個點才可以？（無數個），那么這樣太麻煩，我們想一個簡單的方式，找一個具有一般性的點?a,f(a)?，它關于y軸的對稱點為??a,f(a)?，下面證明點??a,f(a)?在函數圖像即可，依然是帶入驗證。

（歸納剛才的研究過程，得出偶函數的定義）

（1）偶函數的定義：

如果對于函數y?f(x)的定義域D內的任意實數x，都有f(?x)?f(x)，那么就把函數y?f(x)叫做偶函數。

（關鍵詞：“任意”即“所有”、“每一個”）（可提問同學此定義的關鍵詞是什么？）

（2）偶函數的性質：

①定義域關于原點對稱；（依據：定義域D內的任意實數x，都有f(?x)?f(x)，也就是說f(?x)?f(x)是恒等式，恒等式要成立的前提是有意義，x?D且?x?D，得出定義域關于原點對稱）

②偶函數的圖像關于y軸對稱。（依據：有偶函數的定義即可得到）③偶函數中有恒等式f(?x)?f(x)成立。

（數學中，有“偶”就有“奇”，請同學們類比得出奇函數的定義與性質）（提示同學們從下面幾點進行研究：①奇函數圖像的特征；②奇函數的定義；③奇函數的性質）

（3）奇函數的定義

如果對于函數y?f(x)的定義域D內的任意實數x，都有f(?x)??f(x)，那么就把函數y?f(x)叫做奇函數。

（4）奇函數的性質：①定義域關于原點對稱；

②奇函數的圖像關于原點對稱。

③奇函數中有恒等式f(?x)??f(x)成立。

根據奇函數的定義，請同學們自己列舉奇函數的例子。

3、例題分析，鞏固理解 例

1、（根據學生列舉的奇函數的例子，提問，如何求證此函數是奇函數？依據：定義。）例

2、求證函數f(x)?x2?1是偶函數。

例

3、判斷下列函數的奇偶性

（1）y?x2?2,x???3,3?

（2）y?0,x???1,1?

（此處分析既奇又偶函數的特征：解析式一定是y?0的形式，主要就是在定義域上做文章。）

小結：如何判斷函數的奇偶性

（1）一看：看定義域是否關于原點對稱，如果不關于原點對稱，則非奇非偶；（2）二找：找f(x)與f(?x)的關系；（3）三判斷：根據關系，下結論。

例

4、（如果時間充足，可作為拓展題目）已知y?f(x)是偶函數，它在y軸右邊圖像如圖所示，畫出y?f(x)在y軸左邊的圖像。（同學做好，可以投影展示）

4、課堂小結

（1）函數奇偶性的定義；（2）判斷函數奇偶性的步驟

6、布置作業