第一篇：第十四章整式乘法與因式分解單元教學

第十四章整式的乘法與因式分解單元教學計劃

14.3因式分解。

小結復習。

一、教學內容：14.1整式的乘法。14.2乘法公式。

二、教學目標：

知識與技能：

1、使學生掌握正整數冪的乘、除運算性質，能用代數式和文字語言正確地表述這些性質，并能運用它們熟練地進行運算。使學生掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算。

2、使學生會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算。

3、使學生掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運算運算律與乘法公式簡化運算

4、使學生理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的變形，掌握提公因式法和運用公式法這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。過程與方法：

1、通過探索、猜測，進一步體會學會推理的必要性，發展學生 過程與方法〕 初步推理歸納能力；

2、通過揭示一些概念和法則之間的聯系，對學生進行創新精神 和實踐能力的及主觀能動培養.情感態度與價值觀：

1、通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷，體驗

數學活動的趣 味性，以感受推理過程的嚴謹性以及結論的確定性；

2、開展探究性活動，充分體現學生的自主、合作精神，激發學生樂于探索的熱情。

三、教學重點：掌握整式的乘法公式。

四、教學難點：掌握因式分解的方法。

五、課時分配：教學時間約需 14 課時，具體分配如下：

14.1整式的乘法6課時。14.2乘法公式3課時。14.3因式分解3課時。

小結復習2課時。

第二篇：因式分解與整式乘法的關系

因式分解與整式乘法的關系

【知識點】

整式乘法與因式分解一個是積化和差，另一個是和差化積，是兩種互逆的變形．

即：

多項式整式乘積

【練習題】

1.下列因式分解正確的是

①

②

③

④

⑤

2.下列因式分解正確的是

①

②

③

④

⑤

3.下列因式分解正確的是

①

②

③

④

⑤

4.下列因式分解正確的是

①

②

③

④

⑤

5.下列因式分解正確的是

①

②

③

④

⑤

6.下列因式分解正確的是

①

②

③

④

⑤

答案

1.1；2

2.1；3；5

3.4；5

4.3；4

5.2；4

6.1；3；5

7.

第三篇：整式的乘法與因式分解復習教案

《整式的乘法與因式分解》復習

（一）教案

教學目標：

知識與技能：記住整式乘除的計算法則；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和則

過程與方法：會運用法則進行整式的乘除運算，會對一個多項式分解因式 情感態度與價值觀：培養學生的獨立思考能力和合作交流意識 教學重點：記住公式及法則

教學難點：會運用法則進行整式乘除運算，會對一個多項式進行因式分解 教學方法與手段：講練結合 教學過程：

一．本章知識梳理：

冪的運算：

(1)同底數冪的乘法(2)同底數冪的除法

(3)冪的乘方(4)積的乘方

整式的乘除：(1)單項式乘單項式(2)單項式乘多項式

(3)多項式乘多項式

(4)單項式除以單項式(5)多項式除以單項式 乘法公式：

(1)平方差公式(2)完全平方公式 因式分解：

(1)提公因式法(2)公式法 二．合作探究：

(1)化簡：a3·a2b=.(2)計算：4x2+4x2=(3)計算：4x2·(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=

三、當堂檢測

1．am=2，an=3則a2m+n =___________，am－2n =____________ 2．若A÷5ab2=－7ab2c3,則A=_________, 若4x2yz3÷B=－8x,則B=_________.2(ax?b)(x?2)?x?4，則ab=_________________.3．若4．若a-2+b2-2b+1=0，則a=a?，b＝

5．已知

11a2?2?3aa的值是.，則6．已知被除式是x3+2x2－1，商式是x，余式是－1，則除式是（）

A、x2+3x－1 B、x2+2x C、x2－1 D、x2－3x+1 7.如(x+m)與(x+3)的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）

A.–3 B.3

C.0

D.1 8.一個正方形的邊長增加了2cm，面積相應增加了32cm，則這個正方形的邊長為（）

A、6cm B、5cm C、8cm D、7cm 9．下列各式是完全平方式的是（）

2A、x2?x?14 B、1?x2 C、x?xy?1

2D、x?2x?1

10．下列多項式中，含有因式(y?1)的多項式是（y 2 ? 2 y ? 1）

A.22222(y?1)?(y?1)(y?1)?(y?1)(y?1)?2(y?1)?1 B.C.D.三.課堂小結：

今天這節課，你學到了哪些知識？有哪些收獲與感受？說出來大家分享。四.課后作業：

21．簡便方法計算(1)98×102－992(2)99?198?1

2．矩形的周長是28cm，兩邊長為x、y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面積． 3．已知a，b，c為△ABC的三條邊的長．

(1)若b2＋2ab＝c2＋2ac，試判斷△ABC的形狀

222a?2b?c?2b(a?c)?0，試判斷三角形的形狀(2)若板書設計：

第14章整式的乘法與因式分解復習

冪的運算：

(1)同底數冪的乘法(2)同底數冪的除法

(3)冪的乘方(4)積的乘方

整式的乘除：(1)單項式乘單項式(2)單項式乘多項式

(3)多項式乘多項式

(4)單項式除以單項式(5)多項式除以單項式 乘法公式：

(1)平方差公式(2)完全平方公式 因式分解：

(1)提公因式法(2)公式法 課后記載：

第四篇：初二整式的乘法與因式分解知識點總結

初二整式的乘法與因式分解知識點總結

（含答案解析）

知識點：

1.基本運算：

⑴同底數冪的乘法：

⑵冪的乘方：

⑶積的乘方：

2.整式的乘法：

⑴單項式單項式：系數系數，同字母同字母，不同字母為積的因式.⑵單項式多項式：用單項式乘以多項式的每個項后相加.⑶多項式多項式：用一個多項式每個項乘以另一個多項式每個項后相加.3.計算公式：

⑴平方差公式：

⑵完全平方公式：；

4.整式的除法：

⑴同底數冪的除法：

⑵單項式單項式：系數系數，同字母同字母，不同字母作為商的因式.⑶多項式單項式：用多項式每個項除以單項式后相加.⑷多項式多項式：用豎式.5.因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個

式

子因式分解.6.因式分解方法：

⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：

①平方差公式：

②完全平方公式：

③立方和：

④立方差：

⑶十字相乘法：

⑷拆項法

⑸添項法

常考題：

一．選擇題（共12小題）

1．下列運算中，結果正確的是（）

A．x3?x3=x6

B．3x2+2x2=5x4

C．（x2）3=x5

D．（x+y）2=x2+y2

2．計算（ab2）3的結果是（）

A．ab5

B．ab6

C．a3b5

D．a3b6

3．計算2x2?（﹣3x3）的結果是（）

A．﹣6x5

B．6x5

C．﹣2x6

D．2x6

4．下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（）

A．a（x+y）=ax+ay

B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4

C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）

D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x

5．下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（）

A．a2+（﹣b）2

B．5m2﹣20mn

C．﹣x2﹣y2

D．﹣x2+9

6．下列各式中能用完全平方公式進行因式分解的是（）

A．x2+x+1

B．x2+2x﹣1

C．x2﹣1

D．x2﹣6x+9

7．下列因式分解錯誤的是（）

A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）

B．x2+6x+9=（x+3）2

C．x2+xy=x（x+y）

D．x2+y2=（x+y）2

8．把代數式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列結果中正確的是（）

A．a（x﹣2）2

B．a（x+2）2

C．a（x﹣4）2

D．a（x+2）（x﹣2）

9．如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）

A．﹣3

B．3

C．0

D．1

10．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）

A．（a+b）2=a2+2ab+b2

B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2

11．圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）

那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（）

A．ab

B．（a+b）2

C．（a﹣b）2

D．a2﹣b2

12．如圖，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（）

A．（2a2+5a）cm2

B．（6a+15）cm2

C．（6a+9）cm2

D．（3a+15）cm2

二．填空題（共13小題）

13．分解因式：3x2﹣27=

．

14．分解因式：a2﹣1=

．

15．因式分解：x2﹣9y2=

．

16．分解因式：x3﹣4x=

．

17．因式分解：a3﹣ab2=

．

18．分解因式：x2+6x+9=

．

19．分解因式：2a2﹣4a+2=

．

20．分解因式：x3﹣6x2+9x=

．

21．分解因式：ab2﹣2ab+a=

．

22．分解因式：2a3﹣8a2+8a=

．

23．分解因式：3a2﹣12ab+12b2=

．

24．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，則m+n=

．

25．如圖，邊長為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為

．

三．解答題（共15小題）

26．計算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）

27．若2x+5y﹣3=0，求4x?32y的值．

28．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：

（1）a2b+ab2

（2）a2+b2．

29．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．

（1）求xy的值；

（2）求x2+3xy+y2的值．

30．先化簡，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．

31．若a2﹣2a+1=0．求代數式的值．

32．分解因式：

（1）2x2﹣x；

（2）16x2﹣1；

（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．

33．（2a+b+1）（2a+b﹣1）

34．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．

35．分解因式：

（1）a4﹣16；

（2）x2﹣2xy+y2﹣9．

36．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．

37．分解因式

（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；

（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．

38．因式分解

（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；

（2）（a2+1）2﹣4a2．

39．因式分解：

（1）3x﹣12x3

（2）6xy2+9x2y+y3．

40．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．

初二整式的乘法與因式分解知識點總結

(含答案解析)

參考答案與試題解析

一．選擇題（共12小題）

1．（2015?甘南州）下列運算中，結果正確的是（）

A．x3?x3=x6

B．3x2+2x2=5x4

C．（x2）3=x5

D．（x+y）2=x2+y2

【分析】A、利用同底數冪的乘法法則計算得到結果，即可做出判斷；

B、合并同類項得到結果，即可做出判斷；

C、利用冪的乘方運算法則計算得到結果，即可做出判斷；

D、利用完全平方公式展開得到結果，即可做出判斷．

【解答】解：A、x3?x3=x6，本選項正確；

B、3x2+2x2=5x2，本選項錯誤；

C、（x2）3=x6，本選項錯誤；

D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本選項錯誤，故選A

【點評】此題考查了完全平方公式，合并同類項，同底數冪的乘法，以及冪的乘方，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．

2．（2008?南京）計算（ab2）3的結果是（）

A．ab5

B．ab6

C．a3b5

D．a3b6

【分析】根據積的乘方的性質進行計算，然后直接選取答案即可．

【解答】解：（ab2）3=a3?（b2）3=a3b6．

故選D．

【點評】本題考查積的乘方，把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．

3．（2011?呼和浩特）計算2x2?（﹣3x3）的結果是（）

A．﹣6x5

B．6x5

C．﹣2x6

D．2x6

【分析】根據單項式乘單項式的法則和同底數冪相乘，底數不變，指數相加計算后選取答案．

【解答】解：2x2?（﹣3x3），=2×（﹣3）?（x2?x3），=﹣6x5．

故選：A．

【點評】本題主要考查單項式相乘的法則和同底數冪的乘法的性質．

4．（2005?茂名）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（）

A．a（x+y）=ax+ay

B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4

C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）

D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x

【分析】根據分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，利用排除法求解．

【解答】解：A、是多項式乘法，故A選項錯誤；

B、右邊不是積的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B選項錯誤；

C、提公因式法，故C選項正確；

D、右邊不是積的形式，故D選項錯誤；

故選：C．

【點評】這類問題的關鍵在于能否正確應用分解因式的定義來判斷．

5．（2017春?薛城區期末）下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（）

A．a2+（﹣b）2

B．5m2﹣20mn

C．﹣x2﹣y2

D．﹣x2+9

【分析】能用平方差公式分解因式的式子特點是：兩項平方項，符號相反．

【解答】解：A、a2+（﹣b）2符號相同，不能用平方差公式分解因式，故A選項錯誤；

B、5m2﹣20mn兩項不都是平方項，不能用平方差公式分解因式，故B選項錯誤；

C、﹣x2﹣y2符號相同，不能用平方差公式分解因式，故C選項錯誤；

D、﹣x2+9=﹣x2+32，兩項符號相反，能用平方差公式分解因式，故D選項正確．

故選：D．

【點評】本題考查用平方差公式分解因式的式子特點，兩平方項的符號相反．

6．（2013?張家界）下列各式中能用完全平方公式進行因式分解的是（）

A．x2+x+1

B．x2+2x﹣1

C．x2﹣1

D．x2﹣6x+9

【分析】根據完全平方公式的特點：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數積的2倍，對各選項分析判斷后利用排除法求解．

【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故A錯誤；

B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故B錯誤；

C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特點，故C錯誤；

D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正確．

故選：D．

【點評】本題考查了用公式法進行因式分解，能用公式法進行因式分解的式子的特點需熟記．

7．（2009?眉山）下列因式分解錯誤的是（）

A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）

B．x2+6x+9=（x+3）2

C．x2+xy=x（x+y）

D．x2+y2=（x+y）2

【分析】根據公式特點判斷，然后利用排除法求解．

【解答】解：A、是平方差公式，故A選項正確；

B、是完全平方公式，故B選項正確；

C、是提公因式法，故C選項正確；

D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D選項錯誤；

故選：D．

【點評】本題主要考查了對于學習過的兩種分解因式的方法的記憶與理解，需熟練掌握．

8．（2015?菏澤）把代數式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列結果中正確的是（）

A．a（x﹣2）2

B．a（x+2）2

C．a（x﹣4）2

D．a（x+2）（x﹣2）

【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．

故選：A．

【點評】本題先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式時一定要分解徹底．

9．（2016秋?南漳縣期末）如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）

A．﹣3

B．3

C．0

D．1

【分析】先用多項式乘以多項式的運算法則展開求它們的積，并且把m看作常數合并關于x的同類項，令x的系數為0，得出關于m的方程，求出m的值．

【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘積中不含x的一次項，∴3+m=0，解得m=﹣3．

故選：A．

【點評】本題主要考查了多項式乘多項式的運算，根據乘積中不含哪一項，則哪一項的系數等于0列式是解題的關鍵．

10．（2009?內江）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）

A．（a+b）2=a2+2ab+b2

B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2

【分析】第一個圖形中陰影部分的面積計算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個圖形陰影部分是一個長是（a+b），寬是（a﹣b）的長方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．

【解答】解：∵圖甲中陰影部分的面積=a2﹣b2，圖乙中陰影部分的面積=（a+b）（a﹣b），而兩個圖形中陰影部分的面積相等，∴陰影部分的面積=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

故選：C．

【點評】此題主要考查了乘法的平方差公式．即兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差，這個公式就叫做平方差公式．

11．（2013?棗莊）圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（）

A．ab

B．（a+b）2

C．（a﹣b）2

D．a2﹣b2

【分析】中間部分的四邊形是正方形，表示出邊長，則面積可以求得．

【解答】解：中間部分的四邊形是正方形，邊長是a+b﹣2b=a﹣b，則面積是（a﹣b）2．

故選：C．

【點評】本題考查了列代數式，正確表示出小正方形的邊長是關鍵．

12．（2012?棗莊）如圖，從邊長為（a+4）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（）

A．（2a2+5a）cm2

B．（6a+15）cm2

C．（6a+9）cm2

D．（3a+15）cm2

【分析】大正方形與小正方形的面積的差就是矩形的面積，據此即可求解．

【解答】解：矩形的面積是：（a+4）2﹣（a+1）2

=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）

=3（2a+5）

=6a+15（cm2）．

故選B．

【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，理解大正方形與小正方形的面積的差就是矩形的面積是關鍵．

二．填空題（共13小題）

13．（2015?黃石）分解因式：3x2﹣27=　3（x+3）（x﹣3）．

【分析】觀察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后發現x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式繼續分解．

【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．

故答案為：3（x+3）（x﹣3）．

【點評】本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關鍵，難點在于要進行二次分解因式．

14．（2013?上海）分解因式：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．

【分析】符合平方差公式的特征，直接運用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

【解答】解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．

故答案為：（a+1）（a﹣1）．

【點評】本題主要考查平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關鍵．

15．（2013?邵陽）因式分解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．

【分析】直接利用平方差公式分解即可．

【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．

【點評】本題主要考查利用平方差公式分解因式，熟記公式結構是解題的關鍵．

16．（2017?大慶）分解因式：x3﹣4x=　x（x+2）（x﹣2）．

【分析】應先提取公因式x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解．

【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．

故答案為：x（x+2）（x﹣2）．

【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次因式分解，分解因式一定要徹底，直到不能再分解為止．

17．（2016?樂山）因式分解：a3﹣ab2=　a（a+b）（a﹣b）．

【分析】觀察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后發現a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式繼續分解可得．

【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．

【點評】本題是一道典型的中考題型的因式分解：先提取公因式，然后再應用一次公式．

本題考點：因式分解（提取公因式法、應用公式法）．

18．（2013?三明）分解因式：x2+6x+9=（x+3）2　．

【分析】直接用完全平方公式分解即可．

【解答】解：x2+6x+9=（x+3）2．

【點評】本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式法的結構特點是解題的關鍵．

19．（2017?咸寧）分解因式：2a2﹣4a+2=　2（a﹣1）2　．

【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）

=2（a﹣1）2．

故答案為：2（a﹣1）2．

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．

20．（2015?西藏）分解因式：x3﹣6x2+9x=　x（x﹣3）2　．

【分析】先提取公因式x，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解．

【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．

故答案為：x（x﹣3）2．

【點評】本題考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，關鍵在于需要進行二次分解因式．

21．（2008?大慶）分解因式：ab2﹣2ab+a=　a（b﹣1）2　．

【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解．

【解答】解：ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．

【點評】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，難點在于提取公因式后利用完全平方公式進行二次因式分解．

22．（2013?安順）分解因式：2a3﹣8a2+8a=　2a（a﹣2）2　．

【分析】先提取公因式2a，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解．

【解答】解：2a3﹣8a2+8a，=2a（a2﹣4a+4），=2a（a﹣2）2．

故答案為：2a（a﹣2）2．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

23．（2013?菏澤）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=　3（a﹣2b）2　．

【分析】先提取公因式3，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解即可求得答案．

【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．

故答案為：3（a﹣2b）2．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解的知識．一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，注意因式分解要徹底．

24．（2013?內江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，則m+n=　3　．

【分析】將m2﹣n2按平方差公式展開，再將m﹣n的值整體代入，即可求出m+n的值．

【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．

故答案為：3．

【點評】本題考查了平方差公式，比較簡單，關鍵是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．

25．（2014?西寧）如圖，邊長為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為　70　．

【分析】應把所給式子進行因式分解，整理為與所給周長和面積相關的式子，代入求值即可．

【解答】解：∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．

故答案為：70．

【點評】本題既考查了對因式分解方法的掌握，又考查了代數式求值的方法，同時還隱含了整體的數學思想和正確運算的能力．

三．解答題（共15小題）

26．（2006?江西）計算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）

【分析】利用完全平方公式，平方差公式展開，再合并同類項．

【解答】解：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，=5x2﹣2xy．

【點評】本題考查完全平方公式，平方差公式，屬于基礎題，熟記公式是解題的關鍵，去括號時要注意符號的變化．

27．（2013春?蘇州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x?32y的值．

【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代數式化為同為2的底數的代數式，運用同底數冪的乘法的性質計算，最后運用整體代入法求解即可．

【解答】解：4x?32y=22x?25y=22x+5y

∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．

【點評】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，理清指數的變化是解題的關鍵．

28．（2009?十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：

（1）a2b+ab2

（2）a2+b2．

【分析】（1）把代數式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整體代入求解；

（2）利用完全平方公式把代數式化為已知的形式求解．

【解答】解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；

（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2

∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．

【點評】本題考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，關鍵是將原式整理成已知條件的形式，即轉化為兩數和與兩數積的形式，將a+b=3，ab=2整體代入解答．

29．（2015?張家港市模擬）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．

（1）求xy的值；

（2）求x2+3xy+y2的值．

【分析】（1）先去括號，再整體代入即可求出答案；

（2）先變形，再整體代入，即可求出答案．

【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；

（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2

=（x+y）2+xy

=32+2

=11．

【點評】本題考查了整式的混合運算和完全平方公式的應用，題目是一道比較典型的題目，難度適中．

30．（2014秋?德惠市期末）先化簡，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．

【分析】首先根據單項式與多項式相乘的法則去掉括號，然后合并同類項，最后代入已知的數值計算即可．

【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）

=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2

=﹣20a2+9a，當a=﹣2時，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．

【點評】本題考查了整式的化簡．整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，這是各地中考的常考點．

31．（2007?天水）若a2﹣2a+1=0．求代數式的值．

【分析】根據完全平方公式先求出a的值，再代入求出代數式的值．

【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；

把a=1代入=1+1=2．

故答案為：2．

【點評】本題考查了完全平方公式，靈活運用完全平方公式先求出a的值，是解決本題的關鍵．

32．（2012春?郯城縣期末）分解因式：

（1）2x2﹣x；

（2）16x2﹣1；

（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．

【分析】（1）直接提取公因式x即可；

（2）利用平方差公式進行因式分解；

（3）先提取公因式﹣y，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解；

（4）把（x﹣y）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可．

【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；

（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；

（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；

（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．

【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點在（3），提取公因式﹣y后，需要繼續利用完全平方公式進行二次因式分解．

33．（2011春?樂平市期中）（2a+b+1）（2a+b﹣1）

【分析】把（2a+b）看成整體，利用平方差公式和完全平方公式計算后整理

即可．

【解答】解：（2a+b+1）（2a+b﹣1），=（2a+b）2﹣1，=4a2+4ab+b2﹣1．

【點評】本題考查了平方差公式和完全平方公式的運用，構造成公式結構是利用公式的關鍵，需要熟練掌握并靈活運用．

34．（2009?賀州）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．

【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；

【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．

【點評】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本題難點在于要進行二次分解．

35．（2011?雷州市校級一模）分解因式：

（1）a4﹣16；

（2）x2﹣2xy+y2﹣9．

【分析】（1）兩次運用平方差公式分解因式；

（2）前三項一組，先用完全平方公式分解因式，再與第四項利用平方差公式進行分解．

【解答】解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，=（a2﹣4）（a2+4），=（a2+4）（a+2）（a﹣2）；

（2）x2﹣2xy+y2﹣9，=（x2﹣2xy+y2）﹣9，=（x﹣y）2﹣32，=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．

【點評】（1）關鍵在于需要兩次運用平方差公式分解因式；

（2）主要考查分組分解法分解因式，分組的關鍵是兩組之間可以繼續分解因式．

36．（2008春?利川市期末）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．

【分析】顯然只需將y﹣x=﹣（x﹣y）變形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再運用平方差公式繼續分解因式．

【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x），=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x2﹣1），=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

37．（2009秋?三臺縣校級期末）分解因式

（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；

（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．

【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式繼續分解；

（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式繼續分解．

【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；

（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

38．（2009春?扶溝縣期中）因式分解

（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；

（2）（a2+1）2﹣4a2．

【分析】（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式繼續分解．

（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式繼續分解．

【解答】解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，=﹣8a（x2﹣2xy+y2），=﹣8a（x﹣y）2；

（2）（a2+1）2﹣4a2，=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），=（a+1）2（a﹣1）2．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

39．（2011秋?桐梓縣期末）因式分解：

（1）3x﹣12x3

（2）6xy2+9x2y+y3．

【分析】（1）先提取公因式3x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解；

（2）先提取公因式y，再根據完全平方公式進行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．．

【解答】解：（1）3x﹣12x3

=3x（1﹣4x2）

=3x（1+2x）（1﹣2x）；

（2）6xy2+9x2y+y3

=y（6xy+9x2+y2）

=y（3x+y）2．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

40．（2003?黃石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．

【分析】先把前三項根據完全平方公式的逆用整理，再根據兩平方項確定出這兩個數，利用乘積二倍項列式求解即可．

【解答】解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式為完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5?（x+y），解得a=±10．

【點評】本題考查了完全平方式，需要二次運用完全平方式，熟記公式結構是求解的關鍵，把（x+y）看成一個整體參與運算也比較重要．

第五篇：整式的乘除與因式分解全單元教案

整式的乘除與因式分解全單元教案

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課

件www.tmdps.cn 第十五章整式的乘除與因式分解

§15．1．1

整式

教學目標

．單項式、單項式的定義．

2．多項式、多項式的次數．

3、理解整式概念．

教學重點

單項式及多項式的有關概念．

教學難點

單項式及多項式的有關概念．

教學過程

Ⅰ．提出問題，創設情境

在七年級，我們已經學習了用字母可以表示數，思考下列問題

．要表示△ABc的周長需要什么條件？要表示它的面積呢？

2．小王用七小時行駛了Skm的路程，請問他的平均速度是多少？

結論：、要表示△ABc的周長，需要知道它的各邊邊長．要表示△ABc?的面積需要知道一條邊長和這條邊上的高．如果設Bc=a，Ac=b，AB=c．AB邊上的高為h，?那么△ABc的周長可以表示為a+b+c；△ABc的面積可以表示為?c?h．

2．小王的平均速度是．

問題：這些式子有什么特征呢？

（1）有數字、有表示數字的字母．

（2）數字與字母、字母與字母之間還有運算符號連接．

歸納：用基本的運算符號（運算包括加、減、乘、除、乘方與開方）把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式．

判斷上面得到的三個式子：a+b+c、ch、是不是代數式？（是）

代數式可以簡明地表示數量和數量的關系．今天我們就來學習和代數式有關的整式．

Ⅱ．明確和鞏固整式有關概念

（出示投影）

結論：（1）正方形的周長：4x．

（2）汽車走過的路程：vt．

（3）正方體有六個面，每個面都是正方形，這六個正方形全等，?所以它的表面積為6a2；正方體的體積為長×寬×高，即a3．

（4）n的相反數是－n．

分析這四個數的特征．

它們符合代數式的定義．這五個式子都是數與字母或字母與字母的積，而a+b+c、ch、中還有和與商的運算符號．還可以發現這五個代數式中字母指數各不相同，字母的個數也不盡相同．

請同學們閱讀課本P160～P161單項式有關概念．

根據這些定義判斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、這些代數式中，哪些是單項式？是單項式的，寫出它的系數和次數．

結論:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是單項式．它們的系數分別是4、1、6、1、-

1、．它們的次數分別是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次單項式；vt、6a2、?ch都是二次單項式；a3是三次單項式．

問題:vt中v和t的指數都是1，它不是一次單項式嗎？

結論:不是．根據定義，單項式vt中含有兩個字母，所以它的次數應該是這兩個字母的指數的和，而不是單個字母的指數，所以vt是二次單項式而不是一次單項式．

生活中不僅僅有單項式，像a+b+c，它不是單項式，和單項式有什么聯系呢？

寫出下列式子（出示投影）

結論:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．

（3）三角尺的面積應是直角三角形的面積減去圓的面積，即ab-3.12r2．

（4）建筑面積等于四個矩形的面積之和．而右邊兩個已知矩形面積分別為3×2、4×3，所以它們的面積和是18．于是得這所住宅的建筑面積是x2+2x+18．

我們可以觀察下列代數式：

a+b+c、t-

5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．發現它們都是由單項式的和組成的式子．是多個單項式的和，能不能叫多項式？

這樣推理合情合理．請看投影，熟悉下列概念．

根據定義，我們不難得出a+b+c、t-

5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數．

a+b+c的項分別是a、b、c．

t-5的項分別是t、-5，其中-5是常數項．

3x+5y+2z的項分別是3x、5y、2z．

ab-3.12r2的項分別是ab、-3.12r2．

x2+2x+18的項分別是x2、2x、18．

找多項式的次數應抓住兩條，一是找準每個項的次數，?二是取每個項次數的最大值．根據這兩條很容易得到這五個多項式中前三個是一次多項式，后兩個是二次多項式．

這節課，通過探究我們得到單項式和多項式的有關概念，它們可以反映變化的世界．同時，我們也體會到符號的魅力所在．我們把單項式與多項式統稱為整式．

Ⅲ．隨堂練習

．課本P162練習

Ⅳ．課時小結

通過探究，我們了解了整式的概念．理解并掌握單項式、多項式的有關概念是本節的重點，特別是它們的次數．在現實情景中進一步理解了用字母表示數的意義，?發展符號感．

Ⅴ．課后作業

．課本P165～P166習題15．1─1、5、8、9題．

2．預習“整式的加減”．

課后作業：《課堂感悟與探究》

§15．1．2整式的加減（1）

教學目的：

、解字母表示數量關系的過程，發展符號感。

2、會進行整式加減的運算，并能說明其中的算理，發展有條理的思考及語言表達能力。

教學重點：

會進行整式加減的運算，并能說明其中的算理。

教學難點：

正確地去括號、合并同類項，及符號的正確處理。

教學過程：

一、課前練習：

、填空：整式包括

和

2、單項式的系數是

、次數是

3、多項式是

次

項式，其中二次項

系數是

一次項是

，常數項是

4、下列各式，是同類項的一組是（）

（A）與

（B）與

（c）與

5、去括號后合并同類項：

二、探索練習：、如果用a、b分別表示一個兩位數的十位數字和個位數字，那么這個兩位數可以表示為

交換這個兩位數的十位數字和個位數字后得到的兩位數為

這兩個兩位數的和為

2、如果用a、b、c分別表示一個三位數的百位數字、十位數字和個位數字，那么這個三位數可以表示為

交換這個三位數的百位數字和個位數字后得到的三位數為

這兩個三位數的差為

●議一議：在上面的兩個問題中，分別涉及到了整式的什么運算？

說說你是如何運算的？

▲整式的加減運算實質就是

運算的結果是一個多項式或單項式。

三、鞏固練習：、填空：（1）與的差是

（2）、單項式、、、的和為

（3）如圖所示，下面為由棋子所組成的三角形，一個三角形需六個棋子，三個三角形需

（）個棋子，n個三角形需

個棋子

2、計算：

（1）

（2）

（3）

3、（1）求與的和

求與的差

4、先化簡，再求值：

其中

四、提高練習：

、若A是五次多項式，B是三次多項式，則A+B一定是

（A）

五次整式

（B）八次多項式

（c）三次多項式

（D）次數不能確定

2、足球比賽中，如果勝一場記3a分，平一場記a分，負一場

記0分，那么某隊在比賽勝5場，平3場，負2場，共積多

少分？

3、一個兩位數與把它的數字對調所成的數的和，一定能被14

整除，請證明這個結論。

4、如果關于字母x的二次多項式的值與x的取值無關，試求m、n的值。

五、小結：整式的加減運算實質就是去括號和合并同類項。

六、作業：第8頁習題1、2、3

15．1．2整式的加減（2）

教學目標：1.會進行整式加減的運算，并能說明其中的算理，發展有條理的思考及其語言表達能力。

2.通過探索規律的問題，進一步體會符號表示的意義，發展符號感，發展推理能力。

教學重點：整式加減的運算。

教學難點：探索規律的猜想。

教學方法：嘗試練習法，討論法，歸納法。

教學用具：投影儀

教學過程：

I探索練習：

擺第1個“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個需要

枚棋子，擺第3個需要

枚棋子。按照這樣的方式繼續擺下去。

（1）擺第10個這樣的“小屋子”需要

枚棋子

（2）擺第n個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解決這個問題嗎？小組討論。

二、例題講解：

三、鞏固練習：

、計算：

（1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2）

（2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）

（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2）（4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）

2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，計算：（1）B－A

（2）A－3B

3、列方程解應用題：三角形三個內角的和等于180°，如果三角形中第一個角等于第二個角的3倍，而第三個角比第二個角大15°，那么

（1）第一個角是多少度？

（2）其他兩個角各是多少度？

四、提高練習：

、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋c＝0，問c是什么樣的多項式？

2、設A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋

（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。

3、已知有理數a、b、c在數軸上（0為數軸原點）的對應點如圖：

試化簡：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│

小

結：要善于在圖形變化中發現規律，能熟練的對整式加減進行運算。

作

業：課本P14習題1.3：1（2）、（3）、（6），2。

《課堂感悟與探究》

課

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