2020屆重慶市第八中學高三第四次月考（12月）數學（理）試題

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】直接通過解不等式求出.【詳解】

解：集合，故選：C.【點睛】

本題考查集合補集的運算，是基礎題.2．若復數是純虛數，其中是實數，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由純虛數的定義可得m＝0，故，化簡可得．

【詳解】

復數z＝m（m+1）+（m+1）i是純虛數，故m（m+1）＝0且（m+1）≠0，解得m＝0，故z＝i，故i．

故選：B．

【點睛】

本題考查復數的分類和復數的乘除運算，屬基礎題．

3．設數列前n項和為，已知，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】利用得出，先求出，再利用遞推式求出即可.【詳解】

解：當時，整理得，又，得，得，得，故選：C.【點睛】

本題考查數列遞推式的應用，是基礎題.4．設，若雙曲線的離心率為2，則雙曲線的離心率為（）

A．2

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】先通過的離心率求出的關系，利用的關系進一步可求出的離心率.【詳解】

解：對于有，得，對于有，得，故選：B.【點睛】

本題考查雙曲線離心率的計算，是關鍵是找到的關系，是基礎題.5．已知函數，則（）

A．的圖像關于直線對稱

B．的圖像關于點對稱

C．在單調遞減

D．在上不單調

【答案】B

【解析】觀察函數的特點，求出定義域，在定義域內根據選項代入特殊值判斷函數的對稱性和單調區(qū)間，再進一步證明.【詳解】

解：，得函數定義域為，，所以，排除A；，排除C；

在定義域內單調遞增，在定義域內單調遞減，故在定義域內單調遞增，故排除D；

現在證明B的正確性：，所以的圖像關于點對稱，故選：B.【點睛】

本題考查函數的基本性質，定義域、單調性、對稱性，是中檔題.6．已知向量，若，則向量與向量的夾角為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由向量平行的坐標運算得到參數值，再根據得到兩個向量垂直.【詳解】，因為，所以，解得，當時，所以向量與向量的夾角為．

故選D

【點睛】

這個題目考查了向量平行的坐標運算以及向量點積的坐標運算，向量的兩個作用：①載體作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉化為我們熟悉的數學問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.7．過點作圓與圓的切線，切點分別為A，B，若，則的最小值為（）

A．

B．

C．

D．5

【答案】B

【解析】通過切線長定理得出點在線段的垂直平分線上，求出線段的垂直平分線方程，代入點坐標，進一步代入，利用二次函數的性質求其最小值即可.【詳解】

如圖：

由圓的切線的性質：，又，所以點在線段的垂直平分線上，的垂直平分線為，即，點在，所以點的坐標滿足，的最小值為，故選：B.【點睛】

本題考查圓的切線問題，關鍵是將目標式轉化為一個變量的函數，求函數的最值即可，難度不大，考查了學生的計算能力.8．已知函數的圖象經過點，且的相鄰兩個零點的距離為，為得到的圖象，可將圖象上所有點（）

A．先向右平移個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變

B．先向右平移個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變

C．先向右平移個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變

D．先向右平移個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變

【答案】A

【解析】由題意可知，，∵，∴，∵，∴，可得：，∴將的圖象先向右平移個單位長度，再將所得點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到的圖象，故選A.9．A，B，C，D，E，F六名同學參加一項比賽，決出第一到第六的名次.A，B，C三人去詢問比賽結果，裁判對A說：“你和B都不是第一名”；對B說“你不是最差的”；對C說：“你比A，B的成績都好”，據此回答分析：六人的名次有（）種不同情況.A．720

B．240

C．180

D．128

【答案】C

【解析】根據裁判所說，AB不是第一，B不是第六，C比AB成績都好，對C的名次分類討論求出結果.【詳解】

C比AB成績都好且AB不是第一，所以C不可能是第六，第五，當C是第四名時，B只能第五，A只能第六，共種；

當C是第三名時，共種，當C是第二名時，共種，當C是第一名時，共種，綜上：總共種，故選：C.【點睛】

本題考查分類計數原理，重點要理清裁判的話，進行分類討論，是中檔題.10．若函數在區(qū)間最大值是M，最小值是m，則（）

A．與a有關，且與b有關

B．與a有關，但與b無關

C．與a無關，且與b無關

D．與a無關，但與b有關

【答案】B

【解析】設，則，則，結合二次函數的圖象和性質，設函數在處取的最大值，在處取的最小值，且，則，即可得到答案

【詳解】

解：設，則，∴，設函數在處取的最大值，在處取的最小值，且，，∴與a有關，但與b無關，故選：B．

【點睛】

本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．

11．已知水平地面上有一籃球，球的中心為，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標系中，橢圓中心O為原點，設橢圓的方程為，籃球與地面的接觸點為H，則的長為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】在平行光線照射過程中，橢圓的短半軸長是圓的半徑，球心到橢圓中心的距離是橢圓的長半軸，過球心向地面做垂線，垂足是，得到一個直角三角形，可得要求的結果．

【詳解】

解：在照射過程中，橢圓的短半軸長是圓的半徑，由圖，由是中點故有球心到橢圓中心的距離是橢圓的長半軸，過球心向地面做垂線，垂足是，在構成的直角三角形中，，故選：B．

【點睛】

本題考查圓錐曲線的實際背景及作用，解決本題的關鍵是看清楚在平行光線的照射下，投影中和球的量中，變與不變的量．

12．已知從2開始的連續(xù)偶數蛇形排列形成寶塔形數表，第一行為2，第一行為46，第三行為12，10，8，第四行為14，16，18，20.如圖所示，在寶塔形數表中位于第i行，第j列的數記為，比如，，若，則（）

A．65

B．70

C．71

D．72

【答案】C

【解析】由題意正偶數為等差數列，由圖擺放找每一行所放的數，及每一行的數字總數與本數列的每一項的關系即可發(fā)現規(guī)律

【詳解】

解：由圖可知，第一行放1個偶數，第二行放2個偶數，第3行放3個偶數…

又因為指圖中擺放的第行第列，所以先求第行的最后一個偶數，該偶數小于2020且是最接近的，并且還能成為每一行最后一個數字的，當時，第44行的最后一偶數是1980，又第45行的第45個偶數為1982，利用等差數列的任意兩項之間關系可知2020應出在該行的第45-19=26列，故，所以．

故選：C．

【點睛】

本題考查等差數列的通項公式，任意兩項之間及項與項數之間的關系，考查學生的觀察與分析能力，考查簡單的合理推理等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，是中檔題．

二、填空題

13．設為直線與圓的交點，則________.【答案】-1

【解析】將坐標代入直線和圓的方程，消去可得的值.【詳解】

解：因為為直線與圓的交點，將坐標代入直線和圓的方程得，①，②

將①②得，得，故答案為：

【點睛】

本題考查直線和圓的的交點問題，是基礎題.14．已知函數為奇函數，當時，則曲線在點處的切線方程為________.【答案】

【解析】求出時的函數的解析式，計算，的值，求出切線方程即可．

【詳解】

解：∵函數是奇函數，當時，不妨設，則，故，故時，故，故，故切線方程是：，整理得：，故答案為：．

【點睛】

本題考查了函數的奇偶性問題，考查求函數的切線方程，是一道中檔題．

15．在邊長為1的正方形ABCD中，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為________.【答案】3

【解析】根據題意，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立坐標系，可得A、B、C、D的坐標以及直線BD的方程，進而可得圓C的方程，據此設P的坐標為；由向量的坐標公式可得的坐標，又由向量的坐標計算公式可得，進而可得的表達式，相加后分析可得答案．

【詳解】

解：根據題意，如圖，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸建立坐標系：

則，則BD的方程為x＋y＝1，點C為圓心且與BD相切的圓C，其半徑，則圓C的方程為；

P在圓C上，設P的坐標為，則，若，則，則有；，即的最大值為3；

故答案為：3．

【點睛】

本題考查直線與圓方程的應用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐標系，分析P的坐標與的關系，是中檔題．

16．在中，D是BC邊上一點，，且與面積之比為，則________.【答案】

【解析】根據題意畫出圖形，結合圖形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面積公式求得AD的值．

【詳解】

解：中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如圖所示；；

由余弦定理得，，解得AC＝6，∴AB＝10；

；，解得．

故答案為：．

【點睛】

本題考查了解三角形的應用問題，是基礎題．

三、解答題

17．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；

（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)已知等式利用正弦定理化簡，整理后求出的值，即可確定出角A的大小；

(2)由的值，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

【詳解】

解：（1）由可得：，由正弦定理可得：

∴，∵，∴，∵，∴；

（2）由（1）知，由余弦定理得，即

∵，所以（當且僅當時取等號）

∴，所以面積的最大值為.【點睛】

此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數公式，基本不等式的應用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．

18．設等差數列的公差為d前n項和為，等比數列的公比為q，已知，，.（1）求數列，的通項公式；

（2）當時，記，求數列的前n項和.【答案】（1），或，；（2）

【解析】(1)由已知求得公差和首項即可；

(2)，①，②利用錯位相減法①?②可得．

【詳解】

解：（1）由，則或，當時，；

當時，；

（2）當時，由（1）可得，，則，∴

∴，∴，∴．

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式，及錯位相減法求和，屬于基礎題．

19．已知動圓過定點，且在x軸上截得的弦長為4.（1）求動圓圓心M的軌跡方程C；

（2）設不與x軸垂直的直線l與軌跡C交手不同兩點，.若，求證：直線l過定點.【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】（1）設動圓圓心為，利用垂徑定理列方程即可得軌跡方程；

（2）設，將其和軌跡C聯立，得到根與系數的關系，代入，可得的關系，代入，即可找到定點．

【詳解】

解：（1）設動圓圓心為，則，化簡得；

（2）易知直線l的斜率存在，設，則

由，得，由韋達定理有：，.從而，即，則

則直線，故直線過定點.【點睛】

本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線恒過定點問題，考查了學生的運算能力，是中檔題．

20．已知函數.（1）若，求k；

（2）確定k的所有可能取值，使得存在，對任意的，恒有.【答案】（1）；（2）k的取值范圍是

【解析】（1）先驗證不合題意，當，通過導數確定單調性及最值來求得的值；

（2）分，討論，構造函數，利用導數求其單調性及最值，進而可得k的取值范圍.【詳解】

解：（1），.若，由，得不符合題意；

若，當時，單調遞增；當時，單調遞減；

則

令，在單調遞增；在單調遞減；，則.（2）由（1）知，當時，對于，則，從而不存在滿足題意；

當時，，則有.由得，則（舍），.當時，故在上單調速增.從而當時，即.綜上，k的取值范圍是.【點睛】

本小題主要考查導數及其應用等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、考查函數與方程思想、化歸與轉化思想，是一道難度較大的題目．

21．已知橢圓與直線有且只有一個交點，點P為橢圓C上任一點，.若的最小值為.（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設直線與橢圓C交于不同兩點A，B，點O為坐標原點，且，當的面積S最大時，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）

【解析】（1）設點，利用向量的坐標運算研究的最小值，建立方程，求出的值，即可得橢圓C的標準方程；

（2）設，，將直線與橢圓C聯立，可得和，求出點O到直線l的距離，即可求出的面積S的表達式，利用基本不等式，求面積S的最大值，根據最大值的成立條件和前面求出的和，可得點M的軌跡方程，進而可得的范圍，將轉化為，利用導數研究單調性即可求出的取值范圍.【詳解】

解：（1）設點，由題意知，則，當時，取得最小值，即，故橢圓C的標準方程為；

（2）設，，則

由得，，點O到直線l的距離，S取得最大值，當且僅當即，①

此時，即，代入①式整理得，即點M的軌跡為橢圓，且點，為橢圓的左、右焦點，即，記，則，從而，則，令可得，即在T在單調遞減，在單調遞增，且，故T的取值范圍為.【點睛】

本題考查直線和橢圓的位置關系，考查根與系數的關系的應用，考查最值問題，難度較大，對計算能力要求較高，考查了學生綜合分析問題的能力.22．在直角坐標系中，曲線的參數方程為（t為參數，），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.點.（1）寫出曲線的普通方程和參數方程；

（2）曲線交曲線于A，B兩點，若，求曲線的普通方程.【答案】（1）曲線的普通方程為：，參數方程為：（為參數）；（2）曲線的普通方程為：或

【解析】（1）利用，將極坐標方程化為普通方程，進而可化為參數方程；

（2）曲線的參數方程代入曲線的普通方程，利用根與系數的關系列方程求出的值，進而可得曲線的普通方程．

【詳解】

解：（1）

所以，曲線的普通方程為：

曲線的參數方程為：（為參數）

（2）將曲線的參數方程為代入曲線的普通方程為：

得：

或

所以曲線的普通方程為：或

【點睛】

本題考察極坐標方程和普通方程的互化，普通方程和參數方程的互化，考查了直線參數方程的應用，是基礎題．

23．已知.（1）求不等式的解集；

（2）的最小值為M，，求的最小值.【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）將，求出的范圍，進而可得的范圍；

（2）首先求出的最小值，即可得的值，利用柯西不等式和基本不等式求的最小值.【詳解】

解：（1）∵，不等式的解集為：；

（2），所以，.【點睛】

本題考查解絕對值不等式以及柯西不等式和基本不等式的應用，是中檔題.