2020屆九師聯(lián)盟高三12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模求法公式即可求解.【詳解】

由，則，故選：A.【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.2．已知集合，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】

由，則，故選：B.【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除，由可排除，從而得到正確結(jié)果.【詳解】

為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除；

又，可排除，則正確.故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，通常采用排除法來(lái)進(jìn)行判斷；排除的依據(jù)通常為：奇偶性、特殊位置的符號(hào)、單調(diào)性.4．已知，，則的大小關(guān)系為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出大小關(guān)系.【詳解】

由，，又，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，需熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5．河南省新鄭市望京樓遺址位于新鄭市新村鎮(zhèn)杜村和孟家溝村以西及周邊區(qū)域，北距鄭州市35公里，遺址發(fā)現(xiàn)于20世紀(jì)60年代，當(dāng)?shù)厝罕娖秸恋貢r(shí)曾出土過(guò)一批青銅器和玉器等貴重文物.望京樓商代城址保存較為完整，城址平面近方形，東城墻長(zhǎng)約590米、北城墻長(zhǎng)約602米、南城墻長(zhǎng)約630米、西城墻長(zhǎng)約560米，城墻寬度為10米～20米，則下列數(shù)據(jù)中可作為整個(gè)城址的面積較為準(zhǔn)確的估算值的是（）

A．24萬(wàn)平方米

B．25萬(wàn)平方米

C．37萬(wàn)平方米

D．45萬(wàn)平方米

【答案】C

【解析】由城址近方形可計(jì)算出方形邊長(zhǎng)的近似值，進(jìn)而得到估算面積.【詳解】

米且城址平面近方形

城址面積約為萬(wàn)平方米

選項(xiàng)中與最接近的數(shù)據(jù)為萬(wàn)平方米

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算估算值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠計(jì)算出方形邊長(zhǎng)的近似值，屬于基礎(chǔ)題.6．已知向量，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用坐標(biāo)表示出與，由垂直關(guān)系知，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】

由題意得：，與垂直，解得：

故選：

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)平面向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵是明確兩向量垂直等價(jià)于兩向量的數(shù)量積等于零.7．某零售商店為了檢查貨架上的150瓶飲料是否過(guò)了保質(zhì)期，將這些飲料編號(hào)為1，2，…，150，從這些飲料中用系統(tǒng)抽樣方法抽取30瓶飲料進(jìn)行保質(zhì)期檢查.若飲料編號(hào)被抽到81號(hào)，這下面4個(gè)飲料編號(hào)中抽不到的編號(hào)是（）

A．6

B．41

C．126

D．135

【答案】D

【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的步驟可判斷編號(hào)的個(gè)位數(shù)字是1或6都能被抽到，結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】

由知分30組，每組5個(gè)編號(hào)，因?yàn)槌榈降木幪?hào)中有編號(hào)81，由系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)知，編號(hào)的個(gè)位數(shù)字是1或6都能被抽到，其他特征的編號(hào)則抽不到，故選：D.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了系統(tǒng)抽樣法，需掌握系統(tǒng)抽樣的步驟，屬于基礎(chǔ)題.8．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（），則雙曲線的漸近線方程為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離得，然后求出即可求出漸近線方程.【詳解】

點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的一條漸近線方程為，由點(diǎn)到直線的距離有，得，則，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：A.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.9．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）

A．

B．

C．或

D．或

【答案】C

【解析】由正弦定理角化邊可得，再由余弦定理以及切化弦可得，結(jié)合三角形的內(nèi)角取值范圍即可得出選項(xiàng).【詳解】

由正弦定理，得，又，所以，所以，因?yàn)椋曰颍蔬x：C.【點(diǎn)睛】

本題主要考查正余弦定理解三角形，需熟記定理內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.10．若，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用正切的半角公式以及正余的二倍角公式化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】

由，則

=，故選：D.【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角恒等變換化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，需熟記半角公式以及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.11．已知三棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均為，且，，則三棱錐的四個(gè)面中，面積最大的面的面積為（）

A．6

B．9

C．

D．12

【答案】C

【解析】過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，根據(jù)線面角以及三角形的邊長(zhǎng)證出點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，然后再根據(jù)三角形的面積公式求出側(cè)面和底面即可得到最大值.【詳解】

過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，因?yàn)椋傻茫茫郑詾橹苯侨切危庶c(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，如圖，所以，，，所以，，則這個(gè)三棱錐的四個(gè)面中，面積最大的面的面積為，故選：C.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了立體幾何中線面角的定義，考查了學(xué)生的空間想象能力以及推理能力，屬于中檔題.12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若直線上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．或

B．或

C．或

D．或

【答案】B

【解析】取的中點(diǎn)，連接，可得，從而可求得點(diǎn)在圓上，由，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)，再代入點(diǎn)的方程可

從而根據(jù)題意即可求解.【詳解】

取的中點(diǎn)，連接，有，故點(diǎn)在圓上，由，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，可得，有，得，整理為，因?yàn)橹本€上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)，則，得或，故選：B.【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面解析幾何中直線與圓的位置關(guān)系、考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.二、填空題

13．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則__________．

【答案】8

【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】

故答案為：8

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等比數(shù)列的性質(zhì)，需熟記性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．

【答案】

【解析】利用導(dǎo)函數(shù)求得即為切線斜率，由原函數(shù)求得，由直線點(diǎn)斜式方程整理得到結(jié)果.【詳解】

由題意得：，又

在處的切線方程為：，即

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線在某一點(diǎn)處的切線方程的求解問(wèn)題，是對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)_________．

【答案】

【解析】利用兩角和與差的公式以及二倍角公式把函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出值域.【詳解】

由

當(dāng)時(shí)，則，所以.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩角和與差的展開(kāi)式、二倍角的正余弦公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，需熟記并靈活運(yùn)用公式，屬于基礎(chǔ)題.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．

【答案】

【解析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出直線的方程，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上代入橢圓方程，兩式聯(lián)立可得，從而可求離心率.【詳解】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，可得直線的方程為，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，又由，得，則，所以橢圓的離心率.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的集合性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.三、解答題

17．某高級(jí)中學(xué)為調(diào)查學(xué)生選科情況，從高一學(xué)生中隨機(jī)抽取40名男生和20名女生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

選理科

選文科

男生（單位：名）

女生（單位：名）

（1）分別估計(jì)男生中選擇理科、女生中選擇文科的概率；

（2）能否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生選擇理科或文科與性別有關(guān)？

參考公式：，其中.0.05

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

【答案】（1），；（2）能

【解析】（1）根據(jù)列聯(lián)表即可求解.（2）由獨(dú)立性檢驗(yàn)以及列聯(lián)表即可求解.【詳解】

(1)男生選擇學(xué)習(xí)理科的概率為，女生選擇學(xué)習(xí)文科的概率為.(2)由，故能有的把握認(rèn)為學(xué)生選擇學(xué)習(xí)理科或文科與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，需理解獨(dú)立性檢驗(yàn)中的意義，屬于基礎(chǔ)題.18．在等差數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，令，求數(shù)列中的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)，并求出該項(xiàng).【答案】（1）；（2）3，29

【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由等差數(shù)列的前和公式以及基本不等式即可求解.【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)椋裕裕裕詳?shù)列的通向公式為.(2)

由(1)得，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，故數(shù)列中的最小項(xiàng)是第3項(xiàng)，該項(xiàng)的值為29.【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前和公式以及基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.19．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】（1）首先證出，由線面平行的判斷定理即可證出.（2）由（1)有平面，則點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離相等，利用即可求解.【詳解】

(1)證明:在正方體中，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.(2)由(1)有平面，則點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離相等，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，在中，在中，在中，在中，，則，由，得，故點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的判定定理以及等體積法求點(diǎn)到面的距離，考查了學(xué)生的空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.20．已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2

【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)在上小于零即可得證.（2）分類討論，由，由題意，分析可得；當(dāng)時(shí)，令，研究函數(shù)的單調(diào)性，證明是否成立即可.【詳解】

(1)證明:由題意，得，①當(dāng)時(shí)，可得，②當(dāng)時(shí)，令()，由，有，得，故此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，有，由①②知，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)由，又由題意有，得，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，而當(dāng)，時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，令，則，由（1）知當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞減，又，所以，使，所以當(dāng)時(shí)，與題意不符，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.21．已知拋物線的焦點(diǎn)為.(1)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

(2)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為1，2，分別過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線交拋物線于另外不同兩點(diǎn)，求直線的斜率.【答案】(1)

；(2)

【解析】（1）設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線聯(lián)立消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，再由拋物線定義可得即可求解.（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，分類討論①當(dāng)兩條直線的傾斜角都為時(shí)，②當(dāng)兩條直線的傾斜角都不為時(shí)，設(shè)直線的方程與設(shè)直線的方程，分別將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，整理化簡(jiǎn)即可求出直線的斜率.【詳解】

（1）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程，消去整理為，則，所以，由拋物線定義可得，所以，解得：，故直線的方程為，即.（2）由題意知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，①當(dāng)兩條直線的傾斜角都為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

此時(shí)直線的斜率為，②當(dāng)兩條直線的傾斜角都不為時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程消去整理為，則，得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程消去整理為，則，得，所以，可得，故直線的斜率為，綜上，可得直線的斜率為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查焦點(diǎn)弦公式、直線與拋物線的位置關(guān)系，分類討論的思想，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大，屬于難題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）若，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求；

（2）若，求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】（1）（2）

【解析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，代入直線的參數(shù)方程整理可求得，由此可得坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)曲線的參數(shù)方程可設(shè)其上點(diǎn)坐標(biāo)為，將直線化為普通方程，利用點(diǎn)到直線距離公式可將問(wèn)題化為三角函數(shù)最值求解問(wèn)題，由此求得結(jié)果.【詳解】

（1）由參數(shù)方程可得曲線的直角坐標(biāo)方程為：

當(dāng)時(shí)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為

代入曲線的直角坐標(biāo)方程后整理得：

解得：，設(shè)，則，（2）設(shè)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，直線的直角坐標(biāo)方程為：

曲線上的點(diǎn)到直線的距離

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為：

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程問(wèn)題中的弦長(zhǎng)求解和點(diǎn)到直線距離的求解問(wèn)題；求解點(diǎn)到直線距離的最值的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值的求解問(wèn)題；本題易錯(cuò)點(diǎn)是在直線參數(shù)方程為非標(biāo)準(zhǔn)形式的時(shí)候，錯(cuò)誤的應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，造成弦長(zhǎng)求解錯(cuò)誤.23．已知為正數(shù)，且滿足.證明：

（1）；

（2）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）利用基本不等式可構(gòu)造不等式求得，由可證得結(jié)論；

（2）利用基本不等式可求得，由可證得結(jié)論.【詳解】

（1）由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

又且

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

（2）由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

三式相加得：

又

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

【點(diǎn)睛】

本題考查利用基本不等式證明不等式的問(wèn)題，關(guān)鍵是靈活利用基本不等式配湊出所證結(jié)論所需的形式，屬于常考題型.