2020屆九師聯盟高三12月質量檢測數學（文）試題

一、單選題

1．已知復數（為虛數單位），則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用復數的乘法運算以及復數的模求法公式即可求解.【詳解】

由，則，故選：A.【點睛】

本題考查了復數的乘法運算、復數模的求法，屬于基礎題.2．已知集合，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用集合的交并補運算即可求解.【詳解】

由，則，故選：B.【點睛】

本題考查了集合的基本運算，屬于基礎題.3．函數在區間上的圖象大致為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據函數奇偶性可排除，由可排除，從而得到正確結果.【詳解】

為奇函數，圖象關于原點對稱，可排除；

又，可排除，則正確.故選：

【點睛】

本題考查函數圖象的識別，通常采用排除法來進行判斷；排除的依據通常為：奇偶性、特殊位置的符號、單調性.4．已知，，則的大小關系為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用指數對數的運算性質以及對數函數的單調性即可判斷出大小關系.【詳解】

由，，又，所以，故選：D.【點睛】

本題考查了指數、對數的運算性質以及對數函數的單調性，需熟記對數的運算性質，屬于基礎題.5．河南省新鄭市望京樓遺址位于新鄭市新村鎮杜村和孟家溝村以西及周邊區域，北距鄭州市35公里，遺址發現于20世紀60年代，當地群眾平整土地時曾出土過一批青銅器和玉器等貴重文物.望京樓商代城址保存較為完整，城址平面近方形，東城墻長約590米、北城墻長約602米、南城墻長約630米、西城墻長約560米，城墻寬度為10米～20米，則下列數據中可作為整個城址的面積較為準確的估算值的是（）

A．24萬平方米

B．25萬平方米

C．37萬平方米

D．45萬平方米

【答案】C

【解析】由城址近方形可計算出方形邊長的近似值，進而得到估算面積.【詳解】

米且城址平面近方形

城址面積約為萬平方米

選項中與最接近的數據為萬平方米

故選：

【點睛】

本題考查根據數據計算估算值的問題，關鍵是能夠計算出方形邊長的近似值，屬于基礎題.6．已知向量，若向量與垂直，則實數的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用坐標表示出與，由垂直關系知，由數量積的坐標運算構造方程求得結果.【詳解】

由題意得：，與垂直，解得：

故選：

【點睛】

本題考查根據平面向量垂直關系的坐標表示，關鍵是明確兩向量垂直等價于兩向量的數量積等于零.7．某零售商店為了檢查貨架上的150瓶飲料是否過了保質期，將這些飲料編號為1，2，…，150，從這些飲料中用系統抽樣方法抽取30瓶飲料進行保質期檢查.若飲料編號被抽到81號，這下面4個飲料編號中抽不到的編號是（）

A．6

B．41

C．126

D．135

【答案】D

【解析】根據系統抽樣的步驟可判斷編號的個位數字是1或6都能被抽到，結合選項即可得出答案.【詳解】

由知分30組，每組5個編號，因為抽到的編號中有編號81，由系統抽樣的特點知，編號的個位數字是1或6都能被抽到，其他特征的編號則抽不到，故選：D.【點睛】

本題主要考查了系統抽樣法，需掌握系統抽樣的步驟，屬于基礎題.8．已知雙曲線的左焦點為，點到雙曲線的一條漸近線的距離為（），則雙曲線的漸近線方程為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離得，然后求出即可求出漸近線方程.【詳解】

點的坐標為，雙曲線的一條漸近線方程為，由點到直線的距離有，得，則，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：A.【點睛】

本題主要考查了雙曲線的幾何性質、點到直線的距離公式，屬于基礎題.9．在中，角的對邊分別為，若，則（）

A．

B．

C．或

D．或

【答案】C

【解析】由正弦定理角化邊可得，再由余弦定理以及切化弦可得，結合三角形的內角取值范圍即可得出選項.【詳解】

由正弦定理，得，又，所以，所以，因為，所以或，故選：C.【點睛】

本題主要考查正余弦定理解三角形，需熟記定理內容，屬于基礎題.10．若，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用正切的半角公式以及正余的二倍角公式化簡即可求解.【詳解】

由，則

=，故選：D.【點睛】

本題主要考查三角恒等變換化簡求值問題，需熟記半角公式以及二倍角公式，屬于基礎題.11．已知三棱錐的側棱與底面所成的角均為，且，，則三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積為（）

A．6

B．9

C．

D．12

【答案】C

【解析】過點作平面，垂足為，根據線面角以及三角形的邊長證出點為斜邊的中點，然后再根據三角形的面積公式求出側面和底面即可得到最大值.【詳解】

過點作平面，垂足為，因為，可得，得，又，，所以為直角三角形，故點為斜邊的中點，如圖，所以，，，所以，，則這個三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積為，故選：C.【點睛】

本題主要考查了立體幾何中線面角的定義，考查了學生的空間想象能力以及推理能力，屬于中檔題.12．在平面直角坐標系中，已知為圓上兩個動點，且，若直線上存在唯一的一個點，使得，則實數的值為（）

A．或

B．或

C．或

D．或

【答案】B

【解析】取的中點，連接，可得，從而可求得點在圓上，由，設點的坐標為，點的坐標為，由向量的坐標運算求出點，再代入點的方程可

從而根據題意即可求解.【詳解】

取的中點，連接，有，故點在圓上，由，設點的坐標為，點的坐標為，有，可得，有，得，整理為，因為直線上存在唯一的一個點，則，得或，故選：B.【點睛】

本題主要考查平面解析幾何中直線與圓的位置關系、考查了向量的坐標運算，綜合性比較強，屬于中檔題.二、填空題

13．在各項均為正數的等比數列中，若，則__________．

【答案】8

【解析】利用對數的運算性質以及等比數列的性質即可求解.【詳解】

故答案為：8

【點睛】

本題主要考查了對數的運算性質以及等比數列的性質，需熟記性質，屬于基礎題.14．已知函數，則曲線在點處的切線方程為__________．

【答案】

【解析】利用導函數求得即為切線斜率，由原函數求得，由直線點斜式方程整理得到結果.【詳解】

由題意得：，又

在處的切線方程為：，即

故答案為：

【點睛】

本題考查曲線在某一點處的切線方程的求解問題，是對導數的幾何意義的應用，屬于基礎題.15．函數在區間上的值域為__________．

【答案】

【解析】利用兩角和與差的公式以及二倍角公式把函數化為，再由三角函數的單調性即可求出值域.【詳解】

由

當時，則，所以.故答案為：

【點睛】

本題主要考查兩角和與差的展開式、二倍角的正余弦公式以及正弦函數的性質，需熟記并靈活運用公式，屬于基礎題.16．在平面直角坐標系中，已知點為橢圓的左頂點，點為橢圓上任一點，直線與直線相交于點，若，則橢圓的離心率為__________．

【答案】

【解析】設出點的坐標為，求出直線的方程，從而求出點的坐標為，利用向量數量積的坐標運算化簡，結合點在橢圓上代入橢圓方程，兩式聯立可得，從而可求離心率.【詳解】

設點的坐標為，則，點的坐標為，點的坐標為，直線的斜率為，可得直線的方程為，可得點的坐標為，由，得，又由，得，則，所以橢圓的離心率.故答案為：

【點睛】

本題考查了橢圓的集合性質以及直線與橢圓的位置關系、向量數量積的坐標運算，綜合性比較強，屬于中檔題.三、解答題

17．某高級中學為調查學生選科情況，從高一學生中隨機抽取40名男生和20名女生進行調查，得到如下列聯表：

選理科

選文科

男生（單位：名）

女生（單位：名）

（1）分別估計男生中選擇理科、女生中選擇文科的概率；

（2）能否有99.9%的把握認為學生選擇理科或文科與性別有關？

參考公式：，其中.0.05

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

【答案】（1），；（2）能

【解析】（1）根據列聯表即可求解.（2）由獨立性檢驗以及列聯表即可求解.【詳解】

(1)男生選擇學習理科的概率為，女生選擇學習文科的概率為.(2)由，故能有的把握認為學生選擇學習理科或文科與性別有關.【點睛】

本題考查了獨立性檢驗，需理解獨立性檢驗中的意義，屬于基礎題.18．在等差數列中，.（1）求數列的通項公式；

（2）設數列的前項和，令，求數列中的最小項是第幾項，并求出該項.【答案】（1）；（2）3，29

【解析】（1）利用等差數列的通項公式即可求解.（2）由等差數列的前和公式以及基本不等式即可求解.【詳解】

(1)設數列的公差為，因為，所以，所以，所以，所以數列的通向公式為.(2)

由(1)得，所以(當且僅當時取等號)，故數列中的最小項是第3項，該項的值為29.【點睛】

本題主要考查等差數列的通項公式、前和公式以及基本不等式求最值，屬于基礎題.19．如圖，在棱長為2的正方體中，點為棱的中點.（1）證明：平面；

（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）首先證出，由線面平行的判斷定理即可證出.（2）由（1)有平面，則點到平面的距離和點到平面的距離相等，利用即可求解.【詳解】

(1)證明:在正方體中，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.(2)由(1)有平面，則點到平面的距離和點到平面的距離相等，設點到平面的距離為，則，在中，在中，在中，在中，，則，由，得，故點到平面的距離為.【點睛】

本題主要考查線面平行的判定定理以及等體積法求點到面的距離，考查了學生的空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.20．已知函數.（1）證明：函數在區間上單調遞減；

（2）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2

【解析】（1）求函數的導函數，導函數在上小于零即可得證.（2）分類討論，由，由題意，分析可得；當時，令，研究函數的單調性，證明是否成立即可.【詳解】

(1)證明:由題意，得，①當時，可得，②當時，令()，由，有，得，故此時函數單調遞減，有，由①②知，當時，故函數在區間上單調遞減.(2)由，又由題意有，得，由函數在區間上單調遞減，可得，而當，時，顯然有，當時，令，則，由（1）知當時，所以當時，∴在上單調遞減，又，所以，使，所以當時，與題意不符，故實數的取值范圍為.【點睛】

本題考查了導函數在研究函數中的應用，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.21．已知拋物線的焦點為.(1)過點的直線與拋物線相交于兩點，若，求直線的方程；

(2)點是拋物線上的兩點，點的縱坐標分別為1，2，分別過點作傾斜角互補的兩條直線交拋物線于另外不同兩點，求直線的斜率.【答案】(1)

；(2)

【解析】（1）設直線的方程為，將直線與拋物線聯立消去，根據韋達定理可得，再由拋物線定義可得即可求解.（2）求出點的坐標為，點的坐標為，分類討論①當兩條直線的傾斜角都為時，②當兩條直線的傾斜角都不為時，設直線的方程與設直線的方程，分別將直線與拋物線聯立，利用韋達定理，整理化簡即可求出直線的斜率.【詳解】

（1）設直線的方程為，點的坐標分別為，聯立方程，消去整理為，則，所以，由拋物線定義可得，所以，解得：，故直線的方程為，即.（2）由題意知，點的坐標為，點的坐標為，①當兩條直線的傾斜角都為時，點的坐標為，點的坐標為

此時直線的斜率為，②當兩條直線的傾斜角都不為時，設點的坐標為，點的坐標為，此時直線的斜率為，設直線的方程為，聯立方程消去整理為，則，得，設直線的方程為，聯立方程消去整理為，則，得，所以，可得，故直線的斜率為，綜上，可得直線的斜率為.【點睛】

本題主要考查焦點弦公式、直線與拋物線的位置關系，分類討論的思想，考查了學生的計算能力，難度較大，屬于難題.22．在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.（1）若，直線與曲線相交于兩點，求；

（2）若，求曲線上的點到直線的距離的最小值.【答案】（1）（2）

【解析】（1）將曲線的參數方程化為直角坐標方程，代入直線的參數方程整理可求得，由此可得坐標，利用兩點間距離公式可求得結果；

（2）根據曲線的參數方程可設其上點坐標為，將直線化為普通方程，利用點到直線距離公式可將問題化為三角函數最值求解問題，由此求得結果.【詳解】

（1）由參數方程可得曲線的直角坐標方程為：

當時，直線的參數方程為（為參數）

設點對應的參數分別為

代入曲線的直角坐標方程后整理得：

解得：，設，則，（2）設曲線上的點的坐標為

當時，直線的直角坐標方程為：

曲線上的點到直線的距離

（當且僅當時取等號）

曲線上的點到直線的距離的最小值為：

【點睛】

本題考查參數方程問題中的弦長求解和點到直線距離的求解問題；求解點到直線距離的最值的關鍵是能夠將問題轉化為三角函數最值的求解問題；本題易錯點是在直線參數方程為非標準形式的時候，錯誤的應用直線參數方程中參數的幾何意義，造成弦長求解錯誤.23．已知為正數，且滿足.證明：

（1）；

（2）.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】（1）利用基本不等式可構造不等式求得，由可證得結論；

（2）利用基本不等式可求得，由可證得結論.【詳解】

（1）由（當且僅當時取等號），解得：（當且僅當時取等號）

又且

（當且僅當時取等號）

（2）由（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）

三式相加得：

又

（當且僅當時取等號）

【點睛】

本題考查利用基本不等式證明不等式的問題，關鍵是靈活利用基本不等式配湊出所證結論所需的形式，屬于常考題型.