2020屆市七中高三上學期入學數學（理）試題

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】分析：根據一元二次不等式的解法求得集合B，之后根據子集的定義可以判斷出，根據交集中元素的特征求得，根據并集中元素的特征，可以求得，從而求得結果.詳解：由可以求得，從而求得，所以，故選B.點睛：該題以集合為載體，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合間的關系以及集合的交并運算，屬于簡單題目.2．已知，i為虛數單位，若為實數，則a的值為

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】A

【解析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由虛部為0求解可得答案.【詳解】

解：為實數，即．

故選:A．

【點睛】

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．

3．《孫子算經》是我國古代的數學名著，書中有如下問題:“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問:

五人各得幾何?”其意思為:

有5個人分60個橘子，他們分得的橘子數成公差為3的等差數列，問5人各得多少個橘子.這個問題中，得到橘子最多的人所得的橘子個數是（）

A．15

B．16

C．18

D．21

【答案】C

【解析】分析：首先根據題意，先確定其為一個等差數列的問題，已知公差、項數與和，求某項的問題，在求解的過程中，經分析，先確定首項，之后根據其和建立等量關系式，最后再利用通項公式求得第五項，從而求得結果.詳解：設第一個人分到的橘子個數為，由題意得，解得，則，故選C.點睛：該題所考查的是有關等差數列的有關問題，在求解的過程中，注意分析題的條件，已知的量為公差、項數與和、而對于等差數列中，這五個量是知三求二的，所以應用相應的公式求得對應的量即可.4．函數的大致圖象為

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用函數的奇偶性排除，利用函數的單調性排除，從而可得結果．

【詳解】，為奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除，在上是增函數且，在上是增函數且，所以在是增函數，排除，故選A．

【點睛】

函數圖象的辨識可從以下方面入手：

(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．

(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.5．的展開式中，的系數是

A．40

B．60

C．80

D．100

【答案】C

【解析】先寫出二項展開式的通項，然后令的指數為4，解出相應參數的值，代入通項即可得出結果．

【詳解】

二項展開式的通項為．

令，得．

因此，二項展開式中的系數為，故選C．

【點睛】

本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.6．按照如圖的程序框圖執行，若輸出結果為15，則M處條件為

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】分析：首先根據題中所給的框圖，分析可知其任務是對等比數列求和的問題，發現數列是以1為首項，以2為公比的等比數列，從而很容易發現其前4項和等于15，而對于k的值為數列的項，結合題中的條件，分析各選項，可以求得正確結果.詳解：根據題中所給的程序框圖，可以確定該題要求的是，對應的正好是以1為首項，以2為公比的等比數列，該數列的前4項和正好是15，結合題中所給的條件，一一試過，可知選A.點睛：該題考查的是有關程序框圖的問題，該題屬于補充條件的問題，在求解的過程中，注意數列的項的大小，以及項之間的關系，從而求得正確結果.7．已知銳角△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos

2A=0,a=7,c=6,則b等于（）

A．10

B．9

C．8

D．5

【答案】D

【解析】由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC為銳角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故選D.8．曲線與直線圍成的平面圖形的面積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】先作出直線與曲線圍成的平面圖形的簡圖，聯立直線與曲線方程，求出交點橫坐標，根據定積分即可求出結果.【詳解】

作出曲線與直線圍成的平面圖形如下：

由解得：或，所以曲線與直線圍成的平面圖形的面積為

.故選D

【點睛】

本題主要考查定積分的應用，求圍成圖形的面積只需轉化為對應的定積分問題求解即可，屬于常考題型.9．已知函數，若直線過點，且與曲線相切，則直線的斜率為

A．

B．2

C．

D．

【答案】B

【解析】求得的導數，設出切點，可得切線的斜率，結合兩點的斜率公式，解方程可得m，從而可得結果．

【詳解】

函數的導數為，設切點為，則，可得切線的斜率為，所以，解得，故選B．

【點睛】

本題主要考查利用導數求切線斜率，屬于中檔題.應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：(1)

已知切點求斜率,即求該點處的導數；(2)

己知斜率求切點即解方程；(3)

巳知切線過某點(不是切點)

求切點,設出切點利用求解.10．巳知將函數的圖象向左平移個単位長度后.得到函數的圖象.若是偶函數.則=（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】先由題意寫出，根據是偶函數求出，即可得出結果.【詳解】

由題意可得：，因為是偶函數，所以，即，又，所以，解得，所以，故；

所以.故選A

【點睛】

本題主要考查三角函數的圖像變換與三角函數的性質，熟記性質即可，屬于常考題型.11．如圖為我國數學家趙爽約3世紀初在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，則區域涂色不相同的概率為

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用分步計數原理求出不同的涂色方案有420種，其中，區域涂色不相同的情況有120種，由此根據古典概型概率公式能求出區域涂色不相同的概率．

【詳解】

提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，根據題意，如圖，設5個區域依次為,分4步進行分析：，對于區域，有5種顏色可選；，對于區域與區域相鄰，有4種顏色可選；，對于區域，與區域相鄰，有3種顏色可選；，對于區域，若與顏色相同，區域有3種顏色可選，若與顏色不相同，區域有2種顏色可選，區域有2種顏色可選，則區域有種選擇，則不同的涂色方案有種，其中，區域涂色不相同的情況有：，對于區域，有5種顏色可選；，對于區域與區域相鄰，有4種顏色可選；，對于區域與區域相鄰，有2種顏色可選；，對于區域，若與顏色相同，區域有2種顏色可選，若與顏色不相同，區域有2種顏色可選，區域有1種顏色可選，則區域有種選擇，不同的涂色方案有種，區域涂色不相同的概率為,故選D．

【點睛】

本題考查古典概型概率公式的應用，考查分步計數原理等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．在求解有關古典概型概率的問題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據公式求得概率.12．如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿x軸正向滾動，先以A為中心順時針旋轉，當B落在x軸時，又以B為中心順時針旋轉，如此下去，設頂點C滾動時的曲線方程為，則下列說法不正確的是

A．恒成立

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據正方形的運動關系，分別求出當，1，2，3，4時對應的函數值，得到具備周期性，周期為4，結合圖象，當時，C的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，即可判斷所求結論．

【詳解】

解：正方形的邊長為1，正方形的對角線，則由正方形的滾動軌跡得到時，C位于點，即，當時，C位于點，即，當時，C位于點，即，當時，C位于點，即，當時，C位于點，即，則，即具備周期性，周期為4，由圖可得恒成立；；

當時，C的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，方程為；，綜上可得A，B，D正確；C錯誤．

故選:C．

【點睛】

本題主要考查函數值的計算和函數的解析式和性質，結合正方形的運動軌跡，計算出對應函數值，得到周期性是解決本題的關鍵．

二、填空題

13．已知等差數列，且，則數列的前7項和______

【答案】56

【解析】由等差數列的性質可得：利用求和公式即可得出數列的前7項和．

【詳解】

解：由等差數列的性質可得：．

數列的前7項和．

故答案為:56．

【點睛】

本題考查了等差數列的通項公式的性質及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

14．若x，y滿足約束條件，則的最小值為______．

【答案】

【解析】作出不等式組對應的平面區域，根據點到直線的距離公式進行求解即可．

【詳解】

解：作出不等式組對應的平面區域如圖：的幾何意義是平面區域內的點到原點的距離，由圖象得O到直線的距離最小，此時最小值，則的最小值是，故答案為：．

【點睛】

本題主要考查線性規劃的應用，利用點到直線的距離公式結合數形結合是解決本題的關鍵．

15．已知向量與的夾角為，且，若，且則實數的值為__________．

【答案】

【解析】∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ　2＋　2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.點睛：平面向量數量積的類型及求法

(1)求平面向量數量積有三種方法：一是夾角公式a·b＝|a||b|cos

θ；二是坐標公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用數量積的幾何意義.(2)求較復雜的平面向量數量積的運算時，可先利用平面向量數量積的運算律或相關公式進行化簡.16．若過拋物線上一點，作兩條直線PA，PB分別與拋物線交于兩點,若它們的斜率之和為0，則直線AB斜率為______．

【答案】

【解析】根據斜率公式可得,利用化簡可得,再根據斜率公式可得.【詳解】

解：依題意有,又,所以,所以,所以,所以,【點睛】

本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用，斜率公式的應用，考查了計算能力．屬于基礎題.三、解答題

17．已知等差數列的前n項和為，且，又．

求數列的通項公式；

若數列滿足，求證：數列的前n項和．

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】直接利用等差數列前n項和公式求出數列的公差，進一步求出數列的通項公式．

利用等比數列的求和公式和放縮法的應用求出數列的和．

【詳解】

解：設的公差為d,因為，又．

所以，解得．

故．

證明：由于，所以，所以．

【點睛】

本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，等比數列的前n項和的應用，放縮法的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型．

18．如圖1,在正方形中，是的中點，點在線段上,且.若將

分別沿折起，使兩點重合于點,如圖2.圖1

圖2

(1)求證:平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）設正方形的邊長為，由，可得，結合，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面.（2）建立空間直角坐標系，過點作，垂足為，求出向量和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】

（1）證明：設正方形的邊長為4，由圖1知，，，即

由題意知，在圖2中，，平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面

（2）由（1）知平面，則建立如圖所示空間直角坐標系，過點作，垂足為，在中，，從而，，,.設平面的一個法向量為，則，令，則，.設直線與平面所成角為,則,.直線與平面所成角的正弦值為..【點睛】

該題考查的是有關立體幾何的有關問題，一是線面垂直的判定，一定要把握好線面垂直的判定定理的條件，注意勾股定理也是證明線線垂直的好方法，二是求線面角，利用空間向量來求解，即直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值，求得結果.19．2016年某市政府出臺了“2020年創建全國文明城市簡稱創文”的具體規劃，今日，作為“創文”項目之一的“市區公交站點的重新布局及建設”基本完成，市有關部門準備對項目進行調查，并根據調查結果決定是否驗收，調查人員分別在市區的各公交站點隨機抽取若干市民對該項目進行評分，并將結果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，相關規則為：調查對象為本市市民，被調查者各自獨立評分；采用百分制評分，內認定為滿意，80分及以上認定為非常滿意；市民對公交站點布局的滿意率不低于即可進行驗收；用樣本的頻率代替概率．

求被調查者滿意或非常滿意該項目的頻率；

若從該市的全體市民中隨機抽取3人，試估計恰有2人非常滿意該項目的概率；

已知在評分低于60分的被調查者中，老年人占，現從評分低于60分的被調查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿意的原因，并從中選取2人擔任群眾督察員，記為群眾督查員中老年人的人數，求隨機變量的分布列及其數學期望．

【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）根據直方圖的意義，求出后四個小矩形的面積和即可求得被調查者滿意或非常滿意該項目的頻率；（2）根據頻率分布直方圖，被調查者非常滿意的頻率是，根據獨立重復試驗次發生次的概率公式可得結果；（3）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，利用組合知識根據古典概型概率公式分別求出各隨機變量的概率，即可得分布列，根據期望公式可得結果.試題解析：（1）根據題意：60分或以上被認定為滿意或非常滿意，在頻率分布直方圖中，評分在的頻率為：；

（2）根據頻率分布直方圖，被調查者非常滿意的頻率是，用樣本的頻率代替概率，從該市的全體市民中隨機抽取1人，該人非常滿意該項目的概率為，現從中抽取3人恰有2人非常滿意該項目的概率為：；

（3）∵評分低于60分的被調查者中，老年人占，又從被調查者中按年齡分層抽取9人，∴這9人中，老年人有3人，非老年人6人，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，的分布列為：

0

2的數學期望

.20．已知橢圓的焦點坐標分別為，為橢圓上一點，滿足且

(1)

求橢圓的標準方程:

(2)

設直線與橢圓交于兩點，點，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）

【解析】分析：第一問首先根據題中條件將涉及到的量設出來，之后結合橢圓的定義以及對應的線段的倍數關系，求得對應的邊長，利用余弦定理借用余弦值建立邊之間的等量關系式，從而求得的值，借用橢圓中的關系，求得b的值，從而求得橢圓的方程，第二問將直線的方程與橢圓的方程聯立，求得兩根和與兩根積，從而求得線段的中點，利用條件可得垂直關系，建立等量關系式，借用判別式大于零找到其所滿足的不等關系，求得k的取值范圍.詳解：（1）由題意設，則，又，在中，由余弦定理得，解得，，所求橢圓方程為

（2）聯立方程，消去得，則，且…①

設的中心為，則，，即，解得…②

把②代入①得，整理得，即

解得

點睛：該題考查的是有關直線與橢圓的綜合題，涉及的知識點有橢圓的定義、余弦定理、橢圓的標準方程，以及直線與橢圓相交的有關問題，要會將題中條件加以轉化，再者要會找對應的不等關系.21．已知函數，．

求證：對恒成立；

若，若，求證：

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】（1）先對不等式左邊進行化簡整理，然后將整理后的表達式設為函數，對函數進行一階導數和二階導數的分析，得到在上單調遞增，則當時，命題得證．

（2）先對整理后的進行一階導數的分析，畫出函數大致圖象，可知，然后采用先取對數然后作差的方法比較大小，關鍵是構造對數平均數，利用對數平均不等式即可證明．

【詳解】

證明：由題意，可知

．

令，則，當時，在上單調遞增．

當時，在上單調遞增．

當時，．

故命題得證．

由題意，．，．

令，解得；

令，解得；

令，解得．

在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值．

大致圖象如下：

根據圖，可知，．，根據對數平均不等式，有，．，．

故得證．

【點睛】

本題主要考查函數的一階導數和二階導數對函數單調性分析的能力，數形結合法的應用，構造函數，構造對數平均數，利用對數平均不等式的技巧，本題屬偏難題．

22．在直角坐標系中，圓的參數方程為(參數)，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求的極坐標方程；

（2）若射線與圓的交點為，與直線的交點為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）圓C的參數方程消去參數φ，能求出圓C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C的極坐標方程．

（2）設P（ρ1，θ1），則有ρ1=cosθ1，Q（ρ2，θ1），則，=ρ1ρ2，結合tanθ1＞0，能求出的范圍．

試題解析：

（1）圓的普通方程是，又，所以圓的極坐標方程是.（2）設，則有，設，且直線的方程是，則有

所以

因為，所以.