2019-2020學(xué)年百師聯(lián)盟上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則，即可求出．

【詳解】，故選：B．

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

2．已知全集，集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)補(bǔ)集定義先求出，再由交集的運算即可求出．

【詳解】，所以，故選：A．

【點睛】

本題主要考查集合的交集，補(bǔ)集運算，屬于基礎(chǔ)題．

3．在抽樣調(diào)查中，樣本能否代表總體，直接影響著統(tǒng)計結(jié)果的可靠性,給出下列三個抽樣問題：

①高三（1）班想從8個班委中抽出2人參加會議；

②教育部門想了解某地區(qū)中小學(xué)學(xué)生近視情況，將在該地區(qū)全體學(xué)生中抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查；

③工廠要檢驗?zāi)撤N產(chǎn)品合格情況，從一批產(chǎn)品中抽取1%進(jìn)行檢驗.則這三個問題對應(yīng)的抽樣方法較為恰當(dāng)?shù)囊唤M是（）

A．①簡單隨機(jī)抽樣

②系統(tǒng)抽樣

③分層抽樣

B．①簡單隨機(jī)抽樣

②分層抽樣

③系統(tǒng)抽樣

C．①系統(tǒng)抽樣

②簡單隨機(jī)抽樣

③分層抽樣

D．①系統(tǒng)抽樣

②分層抽樣

③簡單隨機(jī)抽樣

【答案】B

【解析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的各自特點與適用條件，即可作出判斷．

【詳解】

①樣本容量為8，抽取樣本數(shù)為2，用簡單隨機(jī)抽樣方便快捷；

②由于年齡差異大，學(xué)生近視情況差異較大，應(yīng)從每個年齡段抽取2%的學(xué)生，樣本更能代表總體，所以應(yīng)采用分層抽樣方法．

③由于樣本數(shù)較大，且個體無明顯差異，可將這批產(chǎn)品隨機(jī)編號，按系統(tǒng)抽樣方法抽取1%進(jìn)行檢驗，易操作，故選：B．

【點睛】

本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的各自特點與適用條件，屬于基礎(chǔ)題．

4．謝爾賓斯基三角形（Sierpinski

triangle）是一種分形幾何圖形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個自相似的例子，其構(gòu)造方法是：

（1）取一個實心的等邊三角形（圖1）；

（2）沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形；

（3）挖去中間的那一個小三角形（圖2）；

（4）對其余三個小三角形重復(fù)（1）（2）（3）（4）（圖3）.制作出來的圖形如圖4，….若圖1（陰影部分）的面積為1，則圖4（陰影部分）的面積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)圖形的特點，觀察規(guī)律，即可歸納出相鄰圖形之間的面積關(guān)系，由此求出．

【詳解】

設(shè)圖1的面積為，圖2被挖去的面積占圖1面積的，則圖2陰影部分的面積為，同理圖3被挖去的面積占圖2面積的，所以圖3陰影部分的面積為，按此規(guī)律圖1、圖2、圖3…的面積組成等比數(shù)列：,公比為．由已知圖1（陰影部分）的面積為1，則圖4（陰影部分）的面積為，故選：C．

【點睛】

本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

5．正方形ABCD和矩形BEFC組成圖1，G是EF的中點，BC=2BE.將矩形BEFC沿BC折起，使平面平面ABCD，連接AG，DF，得到圖2，則（）

圖1.圖2.A．，且直線是相交直線

B．，且直線是相交直線

C．，且直線是異面直線

D．，且直線是異面直線

【答案】B

【解析】根據(jù)平面圖形翻折前后，相關(guān)線段或直線的位置變化可知，并未改變，所以可知在一個平面內(nèi)，又因為,所以是相交直線．再根據(jù)條件可得平面，所以，即．

【詳解】

如圖，連接，因為，且，同理，且,所以,且，故為平行四邊形，所以在一個平面內(nèi)．

又因為,所以是相交直線．由題知，所以平面．

故平面，所以，所以，即．

故選：B．

【點睛】

本題主要考查平面圖形翻折前后相關(guān)線段或直線位置變化，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．

6．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為,且，則的一定是（）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形

【答案】A

【解析】法一：根據(jù)變形，利用兩角差的正弦公式即可得出，即可判斷的一定是等腰三角形；

法二：利用同角三角函數(shù)商的關(guān)系可得，有，即可判斷的一定是等腰三角形；

法三：根據(jù)正弦定理和余弦定理，即可得到，即可判斷，一定是等腰三角形．

【詳解】

解法一：因為，則，即，所以，所以一定是等腰三角形．

解法二：因為，所以,即，所以，所以的一定是等腰三角形．

解法三：由正弦定理，所以，由余弦定理得，所以，所以的一定是等腰三角形．

故選：A．

【點睛】

本題主要考查三角形形狀的判斷，涉及兩角差的正弦公式，同角三角函數(shù)商的關(guān)系，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

7．執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的，則輸出的值等于（）

A．5

B．7

C．9

D．11

【答案】C

【解析】根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)，依次求出的值并判斷，直至跳出循環(huán)，即可求出輸出的值．

【詳解】

第1次循環(huán)：是，；

第2次循環(huán)：是，；

第3次循環(huán)：是，；

第4次循環(huán)：否，輸出，結(jié)束程序．

故選：C．

【點睛】

本題主要考查程序框圖的理解，屬于基礎(chǔ)題．

8．如圖是某棱錐的三視圖，其主視圖和側(cè)視圖都是等腰直角三角形，直角邊的長為1，則該棱錐的體積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，即可求出該棱錐的體積．

【詳解】

三視圖為一個三棱錐，將三棱錐放在一個棱長為1的正方體中，如圖，故該三棱錐的高為1，底面積為，所以該棱錐的體積為，故選：C．

【點睛】

本題主要考查由三視圖還原幾何體以及棱錐的體積公式應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，屬于基礎(chǔ)題．

9．拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為，點在上，經(jīng)過點且平行于軸的直線交于點，若，則（）

A．3

B．5

C．

D．

【答案】D

【解析】法一：利用勾股定理可求出點的縱坐標(biāo)，然后由點在拋物線上，即可求得點的橫坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式，即可求出．

法二：根據(jù)平面幾何知識可得，∽，所以，即可求出．

【詳解】

由拋物線可得．

解法一：因為，所以．設(shè)，代入方程得，所以，由拋物線定義知，．

解法二：設(shè)與軸的交點為，則為的中點，又因為，所以，則∽，所以，即，所以．

故選：D．

【點睛】

本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

10．已知，為的中點，且，則的最大值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】以為原點，所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，設(shè)出點，求得，即可求出的最大值．

【詳解】

因為，所以在以為圓心半徑為1的圓上．

以為原點，所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，因為，為的中點，所以．

則，設(shè)，則，所以，因為，當(dāng)與重合，即時，．

故選：C．

【點睛】

本題主要考查利用解析法求解向量數(shù)量積的最值問題，解題關(guān)鍵是通過建系將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．

11．已知數(shù)列的前項和為，且，則（）

A．1010

B．1011

C．2019

D．2020

【答案】D

【解析】對關(guān)系式進(jìn)行賦值，即可求出，根據(jù)合情推理得，所以．

【詳解】

因為，令，則，又，所以；

令，則，所以，即，所以．

所以，根據(jù)合情推理得，所以．

故選：D．

【點睛】

本題主要考查賦值法和合情推理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

12．記定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的都有，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】因為，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知，在單調(diào)遞增，即可得，化簡即可判斷出正確選項．

【詳解】

不妨設(shè)，因為，設(shè)，則,所以在單調(diào)遞增，所以，即，從而．

故選：A．

【點睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，屬于中檔題．

二、解答題

13．已知點為坐標(biāo)原點，動點滿足，當(dāng)時，點的軌跡方程為_______；

【答案】

【解析】設(shè)出點，根據(jù)向量相等，可以用表示出，再由，即可求出軌跡方程．

【詳解】

設(shè)，則，因為,所以，即，當(dāng)，即，即．

故答案為：．

【點睛】

本題主要考查軌跡方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．

14．如圖，該模型為圓柱挖去一個圓錐后所得的幾何體，已知圓柱底面半徑和高都等于2，圓柱的上底面是圓錐的底面，圓錐高為1，則該模型的表面積等于______；

【答案】

【解析】由圖知該模型的表面積由三個部分組成：圓柱的下底面積，圓柱的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面積，分別求出，即可得到該模型的表面積．

【詳解】

如圖知該模型的表面積由三個部分組成：圓柱的底面積，圓柱的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面積，所以圓柱的下底面積為；圓柱的側(cè)面積為；圓錐的母線，所以圓錐的側(cè)面積為，所以該模型的表面積為．

故答案為：．

【點睛】

本題主要考查圓柱、圓錐側(cè)面積的公式應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

15．甲、乙、丙三位同學(xué)周末參加一項志愿者服務(wù)，有A，B兩處場地可供選擇，且每個人只能選擇一處場地，則甲、乙、丙選擇同一處場地的概率為_____；

【答案】

【解析】先列舉出甲、乙、丙三位同學(xué)選擇志愿服務(wù)場地的所有情況，再找出甲、乙、丙選擇同一處場地的情況，根據(jù)古典概型的概率計算公式，即可求出．

【詳解】

甲、乙、丙三位同學(xué)選擇志愿服務(wù)的場地情況共有：；

甲、乙、丙三位同學(xué)選擇同一處場地有．所以．

故答案為：．

【點睛】

本題主要考查古典概型的概率計算，屬于基礎(chǔ)題．

16．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_____；

【答案】

【解析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知在上恒成立，即在上恒成立，即可求解．

【詳解】

因為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知在上恒成立，即，所以，即，則實數(shù)的取值范圍是．

故答案為：．

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是遞增等比數(shù)列，滿足：.（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）

【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出兩個方程，即可解出，由此得到數(shù)列的通項公式；

（2）根據(jù)的形式，采用錯位相加法可求出數(shù)列的前項和．

【詳解】

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由題設(shè)知．

因為，則，消去得，解得或（舍去）．

當(dāng)時，所以．

（2）由（1）得

則,所以，兩式相減得,所以，故．

【點睛】

本題主要考查等差、等比數(shù)列通項公式的求法，以及錯位相減法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．

18．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上為單調(diào)函數(shù).（1）求；

（2）當(dāng)時，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根據(jù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得，又因為

在上為單調(diào)函數(shù)，所以，故可求出；

（2）先利用輔助角公式求出，然后求出，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得，即可求出．

【詳解】

（1）因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．

則，所以．

又在上為單調(diào)函數(shù)，所以，即，當(dāng)滿足題意，當(dāng)或不滿足題意．故．

（2）設(shè)，則，由（1）得，因為，則，所以．

故．所以取值范圍是．

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，輔助角公式的應(yīng)用以及正弦型函數(shù)在閉區(qū)間上的值域求法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．

19．某企業(yè)為了解某產(chǎn)品的銷售情況，選擇某個電商平臺對該產(chǎn)品銷售情況作調(diào)查.統(tǒng)計了一年內(nèi)的月銷售數(shù)量（單位：萬件），得到該電商平臺月銷售數(shù)量的莖葉圖.（1）求該電商平臺在這一年內(nèi)月銷售該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）該企業(yè)與電商簽訂銷售合同時規(guī)定：如果電商平臺當(dāng)月的銷售件數(shù)不低于40萬件，當(dāng)月獎勵該電商平臺10萬元；當(dāng)月低于40萬件沒有獎勵，用該樣本估計總體，從電商平臺一個年度內(nèi)高于該年月銷售平均數(shù)的月份中任取兩個月，求這兩個月企業(yè)發(fā)給電商平臺的獎金為20萬元的概率.【答案】（1）中位數(shù)為33（萬件），平均數(shù)為32.5；（2）

【解析】（1）由莖葉圖可知，12個數(shù)據(jù)中間兩個數(shù)據(jù)為32,34，所以中位數(shù)為33，由平均數(shù)公式可計算出電商平臺的月銷售數(shù)量的平均數(shù)；

（2）一年內(nèi)月銷售量高于平均數(shù)的月份有6個，其中這6個月能獲獎勵的月份有3個月，記為，不能獲獎勵的份為，列舉出從這6個月抽出的兩個月的所有可能情況，再找出抽到的兩個月都獲獎勵的可能情況，根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．

【詳解】

（1）由莖葉圖知，電商平臺的月銷售數(shù)量的中位數(shù)為33（萬件），電商平臺的月銷售數(shù)量的平均數(shù)為：

（萬件）．

（2）由題知，一年內(nèi)月銷售量高于平均數(shù)的月份有6個，其中這6個月能獲獎勵的月份有3個月，記為，不能獲獎勵的份為．

記從一個年度內(nèi)高于該年月銷售平均數(shù)的月份中抽到的兩個月都獲獎勵的事件為．

則從一個年度內(nèi)高于該年月銷售平均數(shù)的月份中抽出的兩個月的所有可能為：

．

共有15種可能．抽到的兩個月都獲獎勵的可能為：，共有3種，所以．

所以，這兩個月企業(yè)發(fā)給電商平臺的獎金為20萬元的概率為．

【點睛】

本題主要考查根據(jù)莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù)以及計算古典概型的概率，意在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

20．在三棱錐中，已知是等邊三角形，分別是的中點，且.（1）證明：；

（2）求點到平面的距離.【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）欲證，只需證明平面．易證平面，可得，再根據(jù)勾股定理可證，所以平面，即得證；

（2）設(shè)點到平面的距離為，由等積法得，即，分別求出，以及，即可求出．

【詳解】

（1）證明：連接，因為是的中點，所以．

同理，所以平面．又平面，所以．故，又，所以為等腰直角三角形．在等邊中，可求得，所以，而，則．故平面，又因為平面，所以．

（2）取的中點，連接，則，所以，因為為的中點，所以．

設(shè)點到平面的距離為，所以，又，故．

所以點到平面的距離．

【點睛】

本題主要考查異面直線垂直的證明以及點到面的距離的求法，涉及線面垂直的定義、判定定理的運用以及點到面的距離的求法----等積法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力．

21．已知直線，點是直線上的動點，過點作直線，線段的垂直平分線交于點，記點運動的軌跡為.（1）求的方程；

（2）已知，且點滿足，經(jīng)過的直線交于兩點，且為的中點，證明：為定值.【答案】（1）；（2）定值12，見解析

【解析】（1）設(shè)出點，直接利用，列出方程化簡即可得的方程；

（2）設(shè)出，由可得，又為的中點，所以，最后根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得．

【詳解】

（1）設(shè)，則，因為點在線段的垂直平分線上，則．

則，化簡得．

所以的方程為．

（2）設(shè)，則，因為，所以，可得，又為的中點，所以，則．

因為在拋物線上，．

所以．

【點睛】

本題主要考查利用直接法或者定義法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，涉及設(shè)而不求，整體思想的運用，屬于中檔題．

22．已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線斜率為1，求的值；

（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知，即可解出的值；

（2）構(gòu)造函數(shù)，要恒成立，即要恒成立，只需

即可，利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可求得的取值范圍．

【詳解】

（1）函數(shù)的定義域為，而，所以，令，解得．

（2）因為，構(gòu)造函數(shù)，要恒成立，即要恒成立．又．

當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，而，不滿足題意．

②當(dāng)時，），則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故時，取得最大．令，即，解得．

綜上，所求的取值范圍是

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于較難題．