2012－2013學年第2學期《概率論與數理統計》期末試題（A卷）

姓名

學號

學院

專業

題號

一

二

三

四

五

六

七

八

總分

得分

評卷人

注意：

一、填空題（每空3分，共15分）。

1、設X服從參數為λ的泊松分布，且，則=

12、設為來自總體的簡單隨機樣本,為樣本均值,為樣本方差,則服從的分布是

.3、設隨機變量與相互獨立,且均服從區間上的均勻分布,則

1/9

.4、設隨機變量和的數學期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關系數為-0.5,則根據契比雪夫不等式

5、設隨機變量X1，X2，X3相互獨立，其中X1在[0，6]上服從均勻分布，X2服從正態分布N（0，22），X3服從參數為=3的泊松分布，記Y=X1－2X2+3X3，則D（Y）=

二、（10分）從5雙尺碼不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：

（1）所取的4只中沒有兩只成對；（2）所取的4只中只有兩只成對（3）所取的4只都成對

（1）（2）1-（3）

三、(10分)玻璃杯成箱出售，每箱20只。

已知任取一箱，箱中0、1、2只殘次品的概率相應為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率

；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。

解：設事件表示“顧客買下該箱”，表示“箱中恰好有件次品”。則，，。

由全概率公式得

由貝葉斯公式

四、（15）設二維隨機變量的概率分布為

其中、、為常數，且的數學期望，記.求

(1)、、的值;

(2)的概率分布;

(3).解

(1)由概率分布的性質可知，即.由,可得.再由,解得.解以上關于、、的三個方程可得,.(2)的所有可能取值為-2,-1,0,1,2.則

所以的概率分布為

0

0.2

0.1

0.3

0.3

0.1

(3)

.五、（15）設隨機變量的概率密度為

令,為二維隨機變量的分布函數.求(1)的密度函數;

(2)

;

(3)

.解

(1)的分布函數為

當時,.當時,當時,當時,.所以的概率密度為

(2)

故

(3)

六、（10分）設供電站供應某地區1000戶居民用電，各戶用電情況相互獨立。

已知每戶每天用電量（單位：度）在[0，20]上服從均勻分布。現要以0.99的概率滿足該地區居民供應電量的需求，問供電站每天至少需向該地區供應多少度電？

解：設第K戶居民每天用電量為度，1000戶居民每天用電量為度，10，=。再設供應站需供應L度電才能滿足條件，則

即，則L=10425度。

七、（10分）化肥廠用自動打包機裝化肥，某日測得8包化肥的重量（斤）如下：

98.7

100.5

101.2

98.3

99.7

99.5

101.4

100.5

已知各包重量服從正態分布N（）

（1）是否可以認為每包平均重量為100斤（?。?？

（2）求參數的90%置信區間。

解、需要檢驗的假設

檢驗統計量為，計算可得：，故接受原假設。

（2），n=8

查表得，故置信區間為

八、（15分）

設總體的密度函數是，其中>0是參數。樣本來自總體X。

(1)

求的矩估計；

(2)

求的最大似然估計；

(3)

證明是的無偏估計，且是的相合估計（一致估計）。

解：（1），或：，（2）似然函數：，，令，（3），是的無偏估計，，是的相合估計