近三年中考數學綜合題集錦

一、知識網絡梳理

數學綜合題是初中數學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以數學綜合題的形式出現．解數學綜合題一般可分為認真審題、理解題意，探求解題思路，正確解答三個步驟．解數學綜合題必須要有科學的分析問題的方法．數學思想是解數學綜合題的靈魂，要善于總結解數學綜合題中所隱含的重要的轉化思想、數形結合思想、分類討論的思想、方程的思想等，要結合實際問題加以領會與掌握，這是學習解綜合題的關鍵．

題型1方程型綜合題

這類題是中考試題中常見的中檔題，主要以一元二次方程根的判別式、根與系數的關系為背景，結合代數式的恒等變形、解方程（組）、解不等式（組）、函數等知識．其基本形式有：求代數式的值、求參數的值或取值范圍、與方程有關的代數式的證明．

題型2函數型綜合題

函數型綜合題主要有：幾何與函數相結合型、坐標與幾何方程與函數相結合型綜合問題，歷來是各地中考試題中的熱點題型．主要是以函數為主線，建立函數的圖象及性質、方程的有關理論的綜合．解題時要注意函數的圖象信息與方程的代數信息的相互轉化．例如函數圖象與x軸交點的橫坐標即為相應方程的根；點在函數圖象上即點的坐標滿足函數的解析式等．

函數是初中數學的重點，也是難點，更是中考命題的主要考查對象，由于這類題型能較好地考查學生的函數思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化思想，能較全面地反映學生的綜合能力和較好的區分度，因此是各地中考的熱點題型，壓軸題的主要來源，并且長盛不衰，年年有新花樣．

題型3幾何型綜合題

幾何綜合題考查知識點多、條件隱晦，要求學生有較強的理解能力，分析能力，解決問題的能力，對數學知識、數學方法有較強的駕馭能力，并有較強的創新意識與創新能力．

1．幾何型綜合題，常用相似形與圓的知識為考查重點，并貫穿其他幾何、代數、三角等知識，以證明、計算等題型出現．

2．幾何計算是以幾何推理為基礎的幾何量的計算，主要有線段和弧的長度的計算，角、角的三角函數值的計算，以及各種圖形面積的計算等．

3．幾何論證題主要考查學生綜合應用所學幾何知識的能力．

4．解幾何綜合題應注意以下幾點：

（1）

注意數形結合，多角度、全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數量關系和相等關系．

（2）

注意推理和計算相結合，力求解題過程的規范化．

（3）

注意掌握常規的證題思路，常規的輔助線添法．

（4）

注意靈活地運用數學的思想和方法．

解決幾何型綜合題的關鍵是把代數知識與幾何圖形的性質以及計算與證明有機融合起來，進行分析、推理，從而達到解決問題的目的．

二、知識運用舉例

例1（安徽省六安市）已知關的一元二次方程

有實數根．

（1）求的取值范圍

（2）若兩實數根分別為和，且求的值．

分析與解答

本題目主要綜合考查一元二次方程根的判別式、根與系數的關系的應用以及代數式的恒等變形等．

（1）由題意，△≥0，即≥0．解得．

（2）由根與系數的關系，得．∴．∴．∴．

例2（北京市）已知關于的方程有兩個不相等的實數根和，并且拋物線與軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁．

（1）

求實數的取值范圍．

（2）

當時，求的值．

分析與解答

本例以一元二次方程為背影，綜合考查一元二次方程桶的判別式、桶與系數關系、分式方程的解法以及二次函數的有性質等．

（1）一方面，關于的方程有兩個不相等的實數根，∴△＝．解之，得．另一方面，拋物線與軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，且開口向上，∴當時，即，解得．綜合以上兩面，的取值范圍是

（2）∵、是關于的方程的兩個不相等的實數根，∴．∵，∴，∴．∵，∴，即∴，∴．∴，解得．經檢驗，都是方程的根．∵舍去，∴．

說明

運用一元二次方程根的差別式時，要注意二次項系數不為零，運用一元二次方程根與系數的關系時，要注意根存在的前提，即要保證△≥0．

例3（重慶市）

如圖2－4－18，O是AB上的一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．若AD＝，且AB、AE的長是關于的方程的兩個實數根．

（1）求⊙O的半徑．（2）求CD的長．

分析與解答

本題是一道方程與幾何相結合的造型題，綜合考查了切割線定理、根與系數的關系、一元二次方程的解法、勾股定理知識．

（1）∵AD是⊙O的切線，∴．又，∴．∵AE、AB的長是方程的兩個實數根，∴，∴，把代入方程，解得．∴AE＝2，AB＝6．

∴⊙O的半徑為

（2）∵CB⊥AB，AB經過圓心O，∴CB切⊙O于點B，∴CD＝CB．在Rt△ABC中，設，由勾股定理得，∴，解得．∴．

例4．（2007四川綿陽）已知x1，x2

是關于x的方程（x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的兩個實數根．

（1）求x1，x2的值；

（2）若x1，x2

是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值．

解：（1）

原方程變為：x2－（m

＋

2）x

＋

2m

＝

p2－（m

＋

2）p

＋

2m，∴

x2－p2－（m

＋

2）x

＋（m

＋

2）p

＝

0，（x－p）（x

＋

p）－（m

＋

2）（x－p）＝

0，即

（x－p）（x

＋

p－m－2）＝

0，∴

x1

＝

p，x2

＝

m

＋

2－p．

（2）∵

直角三角形的面積為＝

＝

＝，∴

當且m＞－2時，以x1，x2為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為或．

例5．（07茂名市）已知函數的圖象與軸的兩交點的橫坐標分別是，且，求c及，的值．

解：令，即，當方程有兩個不相等的實數根時，該函數的圖象與x軸有兩個交點．

相關鏈接

：

若是一元二次方程的兩根，則

此時即．

由已知，∵，∴，∴，∴，∴(舍去)．

當時，解得．

綜上：，為所求．

例6（天津市）

已知關于x的一元二次方程有兩個實數根，且滿足，．

（1）試證明；

（2）證明；

（3）對于二次函數，若自變量取值為，其對應的函數值為，則當時，試比較與的大?。?/p>

解：（1）將已知的一元二次方程化為一般形式

即

∵

是該方程的兩個實數根

∴，而

∴

（2）

∵

∴

于是，即

∴

（3）當時，有

∵，∴

∵

∴

又∵

∴，∵

∴

于是

∵

∴

由于，∴，即

∴

當時，有

例7（貴陽市）如圖2－4－20，二次函數的圖象與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點C、D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象過點B、D．（1）求D點的坐標．（2）求一次函數的解析式．（3）根據圖象寫出使一次函數值大于二次函數的值的的取值范圍．

分析與解答

（1）由圖2－4－20可得C（0，3）．

∵拋物線是軸對稱圖形，且拋物線與軸的兩個交點為A（－3，0）、B（1，0），∴拋物線的對稱軸為，D點的坐標為（－2，3）．

（2）設一次函數的解析式為，將點D（－2，3）、B（1，0）代入解析式，可得，解得．

∴一次函數的解析式為．

（3）當時，一次函數的值大于二次函數的值．

說明：本例是一道純函數知識的綜合題，主要考查了二次函的對稱性、對稱點坐標的求法、一次函數解析式的求法以及數形結合思想的運用等．

例8（吉林?。?/p>

如圖2－4－21，二次函數的圖象與軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（－1，0），點C（0，5）、D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）求△MCB的面積．

分析與解答

第（1）問，已知拋物線上三個點的坐標，利用待定系數法可求出其解析式．第（20問，△MCB不是一個特殊三角形，我們可利用面積分割的方法轉化成特殊的面積求解．

（1）設拋物線的解析式為，根據題意，得，解之，得．

∴所求拋物線的解析式為．

（2）∵C點的坐標為（0，5）．∴OC＝5．令，則，解得．∴B點坐標為（5，0）．∴OB＝5．∵，∴頂點M坐標為（2，9）．過點M用MN⊥AB于點N，則ON＝2，MN＝9．

∴

說明：以面積為紐帶，以函數圖象為背景，結合常見的平面幾何圖形而產生的函數圖象與圖形面積相結合型綜合題是中考命題的熱點．解決這類問題的關鍵是把相關線段的長與恰當的點的坐標聯系起來，必要時要會靈活將待求圖形的面積進行分割，轉化為特殊幾何圖形的面積求解．

例9（湖南省婁底市）已知拋物線與軸交于、，與軸交于點C，且、滿足條件

（1）求拋物線的解析式；

（2）能否找到直線與拋物線交于P、Q兩點，使軸恰好平分△CPQ的面積？求出、所滿足的條件．

分析與解答

（1）∵△＝，∴對一切實數，拋物線與軸恒有兩個交點，由根與系數的關系得…①，…②．由已知有…③．③－①，得由②得．化簡，得．解得，滿足．當時，不滿足，∴拋物線的解析式為．

（2）如圖2－4－22，設存在直線與拋物線交于點P、Q，使軸平分△CPQ的面積，設點P的橫坐標為，直線與軸交于點E．

∵，∴，由軸平分△CPQ的面積得點P、Q在軸的兩側，即，∴，由得．又∵、是方程的兩根，∴，∴．又直線與拋物線有兩個交點，∴當時，直線與拋物線的交點P、Q，使軸能平分△CPQ的面積．故．

說明

本題是一道方程與函數、幾何相結合的綜合題，這類題主要是以函數為主線．解題時要注意運用數形結合思想，將圖象信息與方程的代信息相互轉化．例如：二次函數與軸有交點．可轉化為一元二次旗號有實數根，并且其交點的橫坐標就是相應一元二次方程的解．點在函數圖象上，點的坐標就滿足該函數解析式等．

例10（桂林市）

已知：如圖2－4－23，拋物線經過原點（0，0）和A（－1，5）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）設拋物線與軸的另一個交點為C．以OC為直徑作⊙M，如果過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，且與軸的正半軸交于點為E，連結MD．已知點E的坐標為（0，），求四邊形EOMD的面積．（用含的代數式表示）

（3）延長DM交⊙M于點N，連結ON、OD，當點P在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得？請求出此時點P的坐標．

分析與解答

（1）∵拋物線過O(0，0)、A（1，－3）、B（－1，5）三點，∴，解得，∴拋物線的解析式為．

（2）拋物線與軸的另一個交點坐標為C（4，0），連結EM．∴⊙M的半徑是2，即OM＝DM＝2．∵ED、EO都是的切線，∴EO＝ED．∴△EOM≌△EDM．∴

（3）設D點的坐標為（，），則．當時，即，故ED∥軸，又∵ED為切線，∴D點的坐標為（2，3），∵點P在直線ED上，故設點P的坐標為（，2），又P在拋物線上，∴．∴．∴或為所求

圖9

例11（上海市）如圖9，在直角坐標平面內，函數（，是常數）的圖象經過，其中．過點作軸垂線，垂足為，過點作軸垂線，垂足為，連結，．

（1）若的面積為4，求點的坐標；

（2）求證：；

（3）當時，求直線的函數解析式．

（1）

解：函數，是常數）圖象經過，．

設交于點，據題意，可得點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，，．

由的面積為4，即，得，點的坐標為．

（2）證明：據題意，點的坐標為，，易得，，．

．

．

（3）解：，當時，有兩種情況：

①當時，四邊形是平行四邊形，由（2）得，，得．

點的坐標是（2，2）．

設直線的函數解析式為，把點的坐標代入，得解得

直線的函數解析式是．

②當與所在直線不平行時，四邊形是等腰梯形，則，點的坐標是（4，1）．

設直線的函數解析式為，把點的坐標代入，得解得

直線的函數解析式是．

綜上所述，所求直線的函數解析式是或．

例12．（資陽）如圖10，已知拋物線P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：

x

…

－3

－2

…

y

…

－

－4

－

0

…

圖10

（1）

求A、B、C三點的坐標；

（2）

若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數關系，并指出m的取值范圍；

（3）

當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM＝k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍．

若因為時間不夠等方面的原因，經過探索、思考仍無法圓滿解答本題，請不要輕易放棄，試試將上述（2）、（3）小題換為下列問題解答(已知條件及第（1）小題與上相同，完全正確解答只能得到5分)：

（2）

若點D的坐標為(1，0)，求矩形DEFG的面積．

解：⑴

解法一：設，任取x，y的三組值代入，求出解析式，令y＝0，求出；令x＝0，得y＝－4，∴

A、B、C三點的坐標分別是A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)

．

解法二：由拋物線P過點(1，－)，(－3，)可知，拋物線P的對稱軸方程為x＝－1，又∵

拋物線P過(2，0)、(－2，－4)，則由拋物線的對稱性可知，點A、B、C的坐標分別為

A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)

．

⑵

由題意，而AO＝2，OC＝4，AD＝2－m，故DG＝4－2m，又，EF＝DG，得BE＝4－2m，∴

DE＝3m，∴SDEFG＝DG·DE＝(4－2m)

3m＝12m－6m2

(0＜m＜2)

．

⑶

∵SDEFG＝12m－6m2

(0＜m＜2)，∴m＝1時，矩形的面積最大，且最大面積是6

．

當矩形面積最大時，其頂點為D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)，設直線DF的解析式為y＝kx＋b，易知，k＝，b＝－，∴，又可求得拋物線P的解析式為：，令＝，可求出x＝.設射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有

＝＝，點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是

k≠且k＞0．

若選擇另一問題：

⑵

∵，而AD＝1，AO＝2，OC＝4，則DG＝2，又∵，而AB＝6，CP＝2，OC＝4，則FG＝3，∴SDEFG＝DG·FG＝6．

例13．（北京市）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．

（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；

（2）如圖，在中，點分別在上，設相交于點，若，．

請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形

是等對邊四邊形；

（3）在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．

解：（1）回答正確的給1分（如平行四邊形、等腰梯形等）．

（2）答：與相等的角是（或）．

四邊形是等對邊四邊形．

（3）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形．

證法一：如圖1，作于點，作交延長線于點．

圖1

因為，為公共邊，所以．

所以．

因為，所以．

可證．

所以．

所以四邊形是等邊四邊形．

證法二：如圖2，以為頂點作，交于點．

圖2

因為，為公共邊，所以．

所以，．

所以．

因為，所以．

所以．

所以．

所以．

所以四邊形是等邊四邊形．

說明：當時，仍成立．只有此證法，只給1分．

例14．（寧波市）四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖l，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD＝PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．

（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．

（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)．

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求證：點P是四邊形AB

CD的準等距點．

（4）試研究四邊形的準等距點個數的情況(說出相應四邊形的特征及準等距點的個數，不必證明)．

解：（1）如圖2，點P即為所畫點．(答案不唯一．點P不能畫在AC中點)

（2）如圖3，點P即為所作點．(答案不唯一)

（3）連結DB，在△DCF與△BCE中，∠DCF＝∠BCE，∠CDF＝∠CBE，∠

CF＝CE．

∴△DCF≌△BCE(AAS)，∴CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD．

∴∠PDB＝∠PBD，∴PD＝PB，∵PA≠PC

∴點P是四邊形ABCD的準等距點．

（4）①當四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時，準等距點的個數為0個；

②當四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經過另一對角線的中點時，準等距點的個數為1個；

③當四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經過另一條對角線的中點時，準等距點的個數為2個；

④四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時，準等距點有無數個．

例15．(南充市)

如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A、B．已知拋物線過點A和B，與y軸交于點C．

（1）求點C的坐標，并畫出拋物線的大致圖象．

（2）點Q（8，m）在拋物線上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ＋PB的最小值．

（3）CE是過點C的⊙M的切線，點E是切點，求OE所在直線的解析式．

C

A

M

B

x

y

O

D

E

解：（1）由已知，得　A（2，0），B（6，0），∵　拋物線過點A和B，則

解得

則拋物線的解析式為?。?/p>

故　C（0，2）．

（說明：拋物線的大致圖象要過點A、B、C，其開口方向、頂點和對稱軸相對準確）（2）如圖①，拋物線對稱軸l是　x＝4．

∵　Q（8，m）拋物線上，∴　m＝2．

過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK＝2，AK＝6，∴　AQ＝．

又∵　B（6，0）與A（2，0）關于對稱軸l對稱，∴　PQ＋PB的最小值＝AQ＝．

C

A

M

B

x

y

O

D

E

Q

P

K

圖①

l

C

A

M

B

x

y

O

D

E

圖②

（3）如圖②，連結EM和CM．

由已知，得　EM＝OC＝2．

CE是⊙M的切線，∴　∠DEM＝90o，則　∠DEM＝∠DOC．

又∵　∠ODC＝∠EDM．

故　△DEM≌△DOC．

∴　OD＝DE，CD＝MD．

又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC．

則　OE∥CM．

設CM所在直線的解析式為y＝kx＋b，CM過點C（0，2），M（4，0），∴　　　解得

直線CM的解析式為．

又∵　直線OE過原點O，且OE∥CM，則　OE的解析式為　y＝x．