2019-2020屆市第一中學高三上學期12月月考數學（理）試題

一、單選題

1．已知集合，集合，求（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】解出集合、，再利用集合交集運算律可求出集合。

【詳解】

解不等式，即，解得，.解不等式，解得，因此，故選：B。

【點睛】

本題考查集合的交集運算，解出不等式得出兩個集合是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題。

2．若，且，則下列不等式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】試題分析：A、B、C三個選項的關系無法判斷或錯誤，而所以,故選D。

【考點】比大小（或者不等式證明）。

3．下列命題的說法錯誤的是（）

A．對于命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0．

B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要條件．

C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分條件．

D．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”．

【答案】C

【解析】對于命題p:?x∈R,x2+x+1>0,則?p:

?x0∈R，x02+x0+1≤0，是真命題；

“x=1”是“x2?3x+2=0“的充分不必要條件，是真命題；

若c=0時，不成立，是假命題；

命題“若x2?3x+2=0,則x=1”的逆否命題為：“若x≠1,則x2?3x+2≠0”，是真命題；

故選：C.4．已知等差數列的前n項和為，則

A．140

B．70

C．154

D．77

【答案】D

【解析】利用等差數列的前n項和公式，及等差數列的性質，即可求出結果.【詳解】

等差數列的前n項和為，.故選D.【點睛】

本題考查等差數列的前n項和的求法和等差數列的性質，屬于基礎題.5．已知雙曲線（a>0，b>0）的離心率為，則橢圓的離心率為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由雙曲線（a>0，b>0）的離心率為，得：，即

∴橢圓的離心率為

故選：C

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.6．函數，的大致圖象是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】判斷函數的奇偶性排除選項A，C，然后取特殊值，計算判斷即可得結果.【詳解】，定義域關于原點對稱，∵，所以為偶函數，即圖象關于軸對稱，則排除A，C，當時，故排除D，故選B．

【點睛】

本題考查函數的圖象的判斷與應用，考查函數的零點以及特殊值的計算，是中檔題；已知函數解析式，選擇其正確圖象是高考中的高頻考點，主要采用的是排除法，最常見的排出方式有根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等性質，同時還有在特殊點處所對應的函數值或其符號，其中包括等.7．將函數圖象向左平移個單位長度，則平移后新函數圖象對稱軸方程為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用圖像左右平移的規律,得到平移后的函數圖像對應的解析式,之后結合余弦函數圖形的對稱性,應用整體角思維得到結果.【詳解】

將函數圖象向左平移個單位長度，可得,即,令,解得,則平移后圖像的對稱軸方程為,故選A.【點睛】

該題考查的是有關函數圖像的平移變換，以及的圖像和性質，結合余弦曲線的對稱軸，求得結果.8．在中，邊上的中線的長為，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由題意得【點睛】

本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。

9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】試題分析：由三視圖分析可知此幾何體為底面是直角三角形，其中一條側棱垂直與底面的三棱錐。底面三角形兩直角邊分別為3、4，棱錐高為6.則棱錐體積為。故A正確。

【考點】1三視圖；2棱錐體積公式。

10．已知,點是圓上任意一點，則面積的最大值為

（）

A．8

B．

C．12

D．

【答案】C

【解析】由三角形面積公式可得，只需求出到直線的距離最大值即可得結果.【詳解】

由兩點間距離公式可得,由兩點式可得直線方程為,圓心到直線的距離,圓的半徑,所以點到直線距離的最大值為，面積的最大值為，故選C.【點睛】

本題主要考查圓的方程與性質、點到直線距離公式的應用以及解析幾何求最值，屬于中檔題.解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法.11．函數，函數，（其中為自然對數的底數，）若函數有兩個零點，則實數取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】先分離變量，轉化為求對應函數單調性及其值域，即可確定結果.【詳解】

由得，令，則,所以當時，,當時，,因此當時，函數有兩個零點，選C.【點睛】

本題考查利用導數研究函數零點，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.12．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點，以線段PQ為直徑的圓過右焦點F，則雙曲線離心率為

A．

B．

C．2

D．

【答案】B

【解析】求得直線的方程，聯立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點坐標的關系，根據列方程，化簡后求得離心率.【詳解】

設，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡得，故，設焦點坐標為，由于以為直徑的圓經過點，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【點睛】

本小題主要考查直線和雙曲線的交點，考查圓的直徑有關的幾何性質，考查運算求解能力，屬于中檔題.二、填空題

13．已知，滿足約束條件，則的最小值是_____．

【答案】

【解析】作出不等式組對應的平面區域，利用的幾何意義，即可得到結論．

【詳解】

解：作出，滿足約束條件的對應的平面區域如圖：

由得，平移直線，由圖象可知當直線經過點時，直線的縱截距最小，此時最小，由解得，此時，故答案為：．

【點睛】

本題主要考查線性規劃的基本應用，利用數形結合，結合目標函數的幾何意義是解決此類問題的基本方法．

14．動點橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足.則點的軌跡方程______.【答案】

【解析】設，，根據題意列出等式，然后根據在橢圓上，代入即得。

【詳解】

解：令，則，即代入可得即

故答案為：

【點睛】

本題考查相關點法求軌跡方程，屬于基礎題。

15．已知在直角梯形中，，將直角梯形沿折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積為__________．

【答案】

【解析】結合題意畫出折疊后得到的三棱錐如圖所示，由條件可得在底面中。取AB的中點O，AC的中點E，連OC,OE。則.∵,∴.∵平面平面,∴平面,∴.又.∴.∴.∴點O為三棱錐外接球的球心，球半徑為2.∴。答案：。

點睛：

（1）本題是一道關于求三棱錐外接球體積的題目，得到外接球的球心所在位置是解題的關鍵，結合題意取AB的中點O，易得OA=OB=OC=OD=2，進而可確定三棱錐外接球的半徑，然后利用球的體積公式進行計算即可。

（2）對于折疊性問題，要注意折疊前后的兩個圖形中哪些量（位置關系、數量關系）發生了變化、哪些沒發生變化。

16．已知函數，，則數列的通項公式為__________．

【答案】

【解析】先證明函數為奇函數，故的圖像關于對稱，故，由此將的表達式兩兩組合求它們的和，然后求得的表達式.【詳解】

由于，所以函數為奇函數，故的圖像關于對稱，由此得到，所以.【點睛】

本小題主要考查函數的奇偶性和對稱性，考查特殊數列求和的方法——分組求和法.屬于中檔題.三、解答題

17．已知函數，．

（1）求函數的單調增區間；

（2）求方程在(0，]內的所有解．

【答案】（1）,；（2）或

【解析】先將進行恒等變換化為正弦型函數，（1）直接利用正弦函數的單調增區間得到,，解得x的范圍即可.（2）令，解得x的值，對k進行賦值，使得x落在內，即得結果.【詳解】

（1）由,，解得：,.∴函數的單調增區間為,（2）由得，解得：，即,∵，∴或．

【點睛】

本題考查了三角函數求值的運算問題，考查三角恒等變換，正弦函數的單調性，是基礎題．

18．已知數列是等差數列，前項和為，且，．

（1）求．

（2）設，求數列的前項和．

【答案】(1)

(2)

【解析】(1)由數列是等差數列，所以，解得，又由，解得，即可求得數列的通項公式；

(2)由（1）得，利用乘公比錯位相減，即可求解數列的前n項和．

【詳解】

(1)由題意，數列是等差數列，所以，又，由，得，所以，解得，所以數列的通項公式為．

(2)由（1）得，，兩式相減得，即．

【點睛】

本題主要考查等差的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應用，此類題目是數列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數列的項數，能較好的考查考生的數形結合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.19．在中，角，所對的邊分別是，，已知.（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的面積.【答案】（1）（2）

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得到，再由三角形的內角間的關系得到，解得，進而得到結果；（Ⅱ）結合余弦定理得到，代入參數值得到，根據三角形面積公式得到結果即可.【詳解】

（Ⅰ）根據正弦定理，整理得，即，而，所以，解得，又，故；

（Ⅱ）根據余弦定理，又，，故，解得，所以.【點睛】

本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應用與特殊角的三角函數，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.20．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，點為的中點.（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】（1）求出和的數量關系，根據勾股定理可證，又是正三角形，所以，根據直線與平面垂直的判定定理，可證平面；

（2）建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量所成的余弦值，從而可以求出平面與平面所成二面角的正弦值.【詳解】

（1）證明：連結，因為底面為菱形，故，又為的中點，故.在中，為的中點，所以.設，則，因為，所以.（也可通過來證明），又因為，平面，平面，所以平面；

（2）因為，，所以平面，又平面，所以.由（1）得平面，又平面，故有，又由，所以，所在的直線兩兩互相垂直.故以為坐標原點，以，所在直線為軸，軸，軸如圖建系.設，則，，.所以，，由（1）知平面，故可以取與平行的向量作為平面的法向量.設平面的法向量為，則，令，所以.設平面與平面所成二面角為，而

則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.【點睛】

本題主要考查線面垂直的判定，空間向量法求二面角，屬于綜合題。

21．已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2，（1）試求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于、兩點，點為橢圓上一點，記直線的斜率為，直線的斜率為，試問：是否為定值？請證明你的結論

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）由條件得a,c，解得b,即得橢圓標準方程，（2）設C,D坐標，根據斜率公式得，設直線方程并與橢圓方程聯立方程組，利用韋達定理代入化簡可得為定值.詳解：（1）．，橢圓的方程為

（2）設直線的方程為：，聯立直線的方程與橢圓方程得：

（1）代入（2）得：

化簡得：………（3）

當時，即，即時，直線與橢圓有兩交點，由韋達定理得：，所以，則。

點睛：直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達定理或求根公式進行轉化.22．已知函數在點處的切線方程為.（1）求實數的值；

（2）若存在，滿足，求實數的取值范圍.【答案】(1)

實數的值為.(2).【解析】分析：（1）根據導數的幾何意義求得曲線在點處的切線方程，與對照后可得．（2）問題可轉化為在上有解，令，結合導數可得，故得實數的取值范圍為．

詳解：（1）函數的定義域為，∵，∴.∴，又,∴所求切線方程為，即.又函數在點處的切線方程為，∴.所以實數的值為.（2）由題意得，所以問題轉化為在上有解.令，則

.令，則當時，有.所以函數在區間上單調遞減，所以.所以，所以在區間上單調遞減.所以.所以實數的取值范圍為.點睛：對于恒成立和能成立的問題，常用的解法是分離參數，轉化為求函數最值的問題處理．解題時注意常用的結論：若有解，則；若有解，則．當函數的最值不存在時，可利用函數值域的端點值來代替，解題時特別要注意不等式中的等號能否成立．