涉及互相重復的兩類或三類對象的計數問題．解題可利用計算所有對象總個數的容斥原理，以及圖示包含與排除關系．

1．某班有40名學生，其中有15人參加數學小組，18人參加航模小組，有10人兩個小組都參加．那么有多少人兩個小組都不參加?

【分析與解】

至少參加一個小組的同學有15+18-10=23人，所以有40-23=17人兩個小組都不參加．

滿分的有3人，這兩科都沒有得滿分的有29人．那么語文成績得滿分的有多少人?

【分析與解】

數學、語文至少有一門得滿分的學生有45-29=16人．所以語文成績得滿分的有16-10+3=9人．

3．50名同學面向老師站成一行．老師先讓大家從左至右按1，2，3，…，49，50依次報數；再讓報數是4的倍數的同學向后轉，接著又讓報數是6的倍數的同學向后轉．問：現在面向老師的同學還有多少名?

【分析與解】在轉過兩次后，面向老師的同學分成兩類：

第一類是標號既不是4的倍數，又不是6的倍數；第二類是標號既是4的倍數又是6的倍數．

150之間，4的倍數有=12,6的倍數有=8，即是4的倍數又是6的倍數的數一定是12的倍數，所以有=4．

于是，第一類同學有50-12-8+4=34人，第二類同學有4人，所以現在共有34+4=38名同學面向老師．

4．在游藝會上，有100名同學抽到了標簽分別為1至100的獎券．按獎券標簽號發放獎品的規則如下：①標簽號為2的倍數，獎2支鉛筆；②標簽號為3的倍數，獎3支鉛筆；③標簽號既是2的倍數，又是3的倍數可重復領獎；④其他標簽號均獎1支鉛筆．那么游藝會為該項活動準備的獎品鉛筆共有多

少支?

【分析與解】

1～100，2的倍數有=50，3的倍數有=33個，因為既是2的倍數，又是3的倍數的數一定是6的倍數，所以標簽為這樣的數有=16個．

于是，既不是2的倍數，又不是3的倍數的數在1～100中有100-50-33+16=33．

所以，游藝會為該項活動準備的獎品鉛筆共有：

50×2+33×3+33×1=232支.5.有一根長為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號，每隔4厘米也作一記號，然后將標有記號的地方剪斷．問繩子共被剪成了多少段?

【分析與解】

只需先計算剪了多少刀，再加上1即為剪成的段數．

從一端開始，將繩上距離這個端點整數厘米數的點編號，并將距離長度作為編號．

有1～180，3的倍數有=60個，4的倍數有=45個，而既是3的倍數，又是4的倍數的數一定是12的倍數，所以這樣的數有=15個．

注意到180厘米處的無法標上記號，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以繩子被剪成89+1=90段．

6.東河小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的．現知道五、六年級共有25幅畫，那么其他年級的畫共有多少幅?

【分析與解】

將東河小學分成3個部分，六年級、五年級、其他年級，那么有五年級和其他年級共作畫16幅，六年級和其他年級共作畫15幅．而五、六年級共作畫25幅，所以其他年級的畫共有(16+15-25)÷2=3幅．

7．有若干卡片，每張卡片上寫著一個數，它是3的倍數或4的倍數，其中標有3的倍數的卡片占，標有4的倍數的卡片占，標有12的倍數的卡片有15張．那么，這些卡片一共有多少張?

【分析與解】

設這些卡片的總數為“1”，而標有12的倍數的卡片既屬于3的倍數又屬于4的倍數．

所以有，解得“1”對應36張．

即這些卡片一共有36張．

8．在從1至1000的自然數中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有多少個?

【分析與解】

l～1000之間，5的倍數有=200個，7的倍數有=142個，因為既是5的倍數，又是7的倍數的數一定是35的倍數，所以這樣的數有=28個．

所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有1000-200-142+-28=686個．

9．五年級三班學生參加課外興趣小組，每人至少參加一項．其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術興趣小組的有12人，參加自然同時又參加美術興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術、自然3科興趣小組都參加的有4人．求這個班的學生人數．

【分析與解】

設參加自然興趣小組的人組成集合A，參加美術興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人組成集合C．

=25，=35，=27，=12，=8，=9，=4.=.所以，這個班中至少參加一項活動的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個班每人至少參加一項．

即這個班有62人．

10．如圖8-1，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73．求陰影部分的面積．

【分析與解】

設甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C．

=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(⑧部分面積)為2．

那么只是甲與乙(④)，乙與丙(⑥)，甲與丙(⑤)的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(①、②、③部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58．

11．四年級一班有46名學生參加3項課外活動．其中有24人參加了數學小組，20人參加了語文小組，參加文藝小組的人數是既參加數學小組也參加文藝小組人數的3．5倍，又是3項活動都參加人數的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數相當于3項都參加的人數的2倍，既參加數學小組又參加語文小組的有10人．求參加文藝小組的人數．

【分析與解】

設參加數學小組的學生組成集合A，參加語文小組的學生組成集合B，參加文藝小組的學生組成集合G．三者都參加的學生有z人．

有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10．

因為，所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都參加的有3人．

那么參加文藝小組的有37=21人．

12．圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名．已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33，44和55本，其中同時有甲、乙簽名的圖書為29本，同時有甲、丙簽名的圖書為25本，同時有乙、丙簽名的圖書為36本．問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過?

【分析與解】

設甲借過的書組成集合A，乙借過的書組成集合B，丙借過的書組成集合C．

=33,=44，=55，=29，=25，=36．

本題只需算出甲、乙、丙中至少有一人借過的書的最大值，再將其與100作差即可．,當最大時，有最大值.也就是說當三人都借過的書最多時，甲、乙、丙中至少有一人借過的書最多．

而最大不超過、、、、、6個數中的最小值，所以最大為25．

此時=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借過的書最多為67本，所以這批圖書中最少有33本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過．

13．如圖8-2，5條同樣長的線段拼成了一個五角星．如果每條線段上恰有1994個點被染成紅色，那么在這個五角星上紅色點最少有多少個?

【分析與解】

如下圖，下圖中“”位置均有兩條線段通過，也就是交點，如果這些交點所對應的線段都在“”位置恰有紅色點，那么在五角星上重疊的紅色點最多，所以此時顯現的紅色點最少，有1994×5-(2-1)×10=9960個．

14．甲、乙、丙同時給100盆花澆水．已知甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58盆，那么3人都澆過的花最少有多少盆?

【分析與解】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都澆過的最少為：78+68-100=46盆，此時甲單獨澆過的為78-46=32盆，乙單獨澆過的為68-46=22盆；

欲使甲、乙、丙三人都澆過的花最少時，應將丙澆過的花盡量分散在兩端。于是三者都澆過花最少為58-32-22=4盆．

15．甲、乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個故事．每個人都從某一個故事開始，按順序往后讀．已知甲讀了7.5個故事，乙讀了60個故事，丙讀了52個故事．那么甲、乙、丙3人共同讀過的故事最少有多少個?

【分析與解】

只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都讀過的最少為：75+60-100=35個，此時甲單獨讀過的為75-35=40個，乙單獨讀過的為60-35=25個；

欲使甲、乙、丙三人都讀過的書最少時，應將丙讀過的書盡量分散在某端，于是三者都讀過書最少為52-40=12個．

評注：注意與14題的區別，本題中必須是從一端連續的排下去，而14題沒有要求連續．