第一篇：高中數(shù)學對稱問題
關于印發(fā)《許傳智書記在固原調研時的講話》的通知
各縣（區(qū)）紀委、監(jiān)察局，市直各部門單位紀委（紀工委），市紀委派駐紀檢組：
11月10日-11日，自治區(qū)黨委常委、紀委書記許傳智一行在固原市進行調研，并召開座談會作了重要講話，對我市經(jīng)濟社會發(fā)展及黨風廉政建設和反腐敗工作取得的成績給予肯定，對做好今后工作提出了四點要求，具有很強的針對性和指導性。現(xiàn)將許傳智書記的講話，印發(fā)給你們，請認真學習，深刻領會，并以講話精神為指導，全力推進當前各項工作落實，認真謀劃好明年工作。
中共固原市紀委辦公室
2016年11月18日
在固原市調研時的講話
（2 01 6年11月11日）
許傳智
同志們：
這次來固原市調研，主要是了解情況，聽聽大家的意見。兩天來，我們先后到西吉縣、原州區(qū)看了一些點、走訪了一些干部群眾，看到固原市經(jīng)濟社會發(fā)展和黨風廉政建設取得的成效，很受鼓舞。剛才紀崢同志、納冰同志介紹了情況，幾位縣（區(qū)）紀委的同志作了很好的發(fā)言。通過實地參觀和座談交流，感覺大家對當前黨風廉政建設的一些重要問題認識到位、思考比較深入，對中央政策理解和自治區(qū)黨委要求的把握也比較準確，今年各項工作都抓得很實在，有以下幾個方面的特點：
一是黨員干部干事創(chuàng)業(yè)的勁頭很足，經(jīng)濟社會發(fā)展取得了顯著成效。固原市是國家集中連片扶貧開發(fā)重點地區(qū)，也是我區(qū)扶貧攻堅的主戰(zhàn)場，經(jīng)濟基礎差，底子薄，生態(tài)環(huán)境脆弱，基礎設施建設相對滯后。近年來，在固原市委、政府的正確領導下，廣大干部群眾解放思想，攻堅克難，用足用活中央和自治區(qū)相關政策，經(jīng)濟保持了平穩(wěn)較快增長，一些工作很有特色。比如，在扶貧攻堅方面，實施?1+21+x?精準扶貧規(guī)劃，統(tǒng)籌推進金融扶貧、產業(yè)扶貧、智力扶貧和社會扶貧，工作做得實，效果比較好。在產業(yè)發(fā)展方面，發(fā)展現(xiàn)代農業(yè)有思路，有措施．通過抓基地，抓科技，抓龍頭，抓市場，促進了農業(yè)產業(yè)提質增效，農民增收。發(fā)展全域旅游規(guī)劃起點高，通過開發(fā)旅游環(huán)線，發(fā)展鄉(xiāng)村游、農家樂、把旅游業(yè)發(fā)展和農民增收致富有機結合起來，打造了?天高云淡六盤山?品牌。在改革方面，深化農村綜合改革，行政審批制度改革，城市管理體制改革，財政和投融資體制改革，優(yōu)化了發(fā)展環(huán)境，方便了群眾辦事。從前三季度主要經(jīng)濟指標看，固原市完成地區(qū)生產總值149.8億元，同比增長8.1%；固定資產投資259.6億元，增長18.9%；地方公共財政預算收入125億元，增長14.9%；城鎮(zhèn)居民人均可支配收入16494.9元，增長7%；農民人均可支配收入4766.4元，增長6.7%，各項指標均保持了較快增長。取得這樣的成績來之不易，展現(xiàn)了全市各級黨政組織和廣大黨員干部良好的精神風貌和干事創(chuàng)業(yè)的勁頭。
二是市委認真落實全面從嚴治黨主體責任，措施有力，效果明顯。市委在推進經(jīng)濟社會發(fā)展的同時，高度重視黨風廉政建設和反腐敗工作，加強組織領導，協(xié)調各方力量，健全工作機構，完善配套制度。紀崢書記認真履行?第一責任人?的職責，重要工作親自部署，重大問題親自過問、重點環(huán)節(jié)親自協(xié)調，重要案件親自督辦，領導和支持紀檢監(jiān)察機關的工作，在紀律作風建設、懲治腐敗、反腐敗體制機制創(chuàng)新等方面親自謀劃、全力推動，營造了良好氛圍。比如，制定的《固原市加強基層黨風廉政建設的實施意見》《落實黨風廉政建沒主體責任和監(jiān)督責任實施意見》《固原市黨風廉政建設巡察工作辦法》，細化黨風廉政建設和反腐敗工作任務和措施；再比如，加強對落實?兩個責任?情況的監(jiān)督檢查，積極探索對各級領導干部在實施重點項目中不作為、慢作為、亂作為問題監(jiān)督，進一步壓實了管黨治黨政治責任。
三是市紀委切實履行監(jiān)督責任，工作有不少特色和亮點。市紀委結合實際，不斷創(chuàng)新工作理念、思路、做法，發(fā)揮了專門監(jiān)督機關的作用，出臺了一些好制度，形成了一些特色亮點工作。比如，在壓實責任方面，建立?三級同述??三級包抓?制度（?三級同述?即市縣鄉(xiāng)三級黨組織主要負責人述廉述責。?三級包抓?即市縣鄉(xiāng)三級紀委班子成員聯(lián)系包抓黨風廉政建設和反腐敗工作），逐級壓實了責任。在紀律審查方面，建立交叉撿查、交叉審查、交叉審理和鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）紀委片區(qū)協(xié)作辦案的?三交叉?機制，提高了紀律審查的效率和質量。在治理群眾身邊的?四風?和腐敗問題方面，堅持用縣委權力公開透明運行促黨務公開、權責清單制落實促政務公開、村監(jiān)會制度完善促村務公開、讓權力處于監(jiān)督之中。探索提出扶貧惠農資金?三級審核、三級備案、一個平臺?（?三級審核?即對扶貧資金發(fā)放村組初審、鄉(xiāng)鎮(zhèn)復審、涉農部門終審；?三級備案?即對扶貧資金發(fā)放情況縣（區(qū)）相關涉農部門進行一級備案，鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）進行二級備案，村組進行三級備案；?一個平臺?即涉農惠農資金監(jiān)管信息平臺），運用?制度+科技?的手段，讓扶貧惠農資金陽光操作，效果比較好。
這些成績的取得來之不易，希望固原市繼續(xù)保持力度，鼓足干勁，深入持久地抓下去，使全市干部作風有新轉變，政治生態(tài)不斷凈化，發(fā)展環(huán)境進一步優(yōu)化，推動全市黨風廉政建設和反腐敗工作不斷邁上新臺階。下面，我講幾點意見，供大家參考。
第一，要在學習貫徹十八屆六中全會精神上取得新成效。黨的十八屆六中全會，是在全面深化改革、決勝全面小康的關鍵時刻，召開的一次十分重要的會議。這次全會，中央專門安排中央紀委委員、各省（區(qū)、市)紀委書記全程列席。通過列席全會，我有四點突出感受：一是意義重大。這次全會專題研究全面從嚴治黨，這是黨中央著眼于?四個全面?戰(zhàn)略布局作出的戰(zhàn)略決策、整體設計，是黨中央治國理政方略的漸次展開、深度推進，在我們黨的建設歷史上具有里程碑式的意義。二是討論充分。全會期間，大家用3天的時間進行了認真的討論，人人發(fā)言，充分交流，深化了認識、統(tǒng)一了思想。我感到，這次全會既是一個總結、部署和推進全面從嚴治黨的動員會，也是一次對黨的高級干部進行集中教育的培訓會。三是成果豐碩。主要體現(xiàn)在三個方面：第一，明確了總書記在全黨的領導核心地位。全會正式提出?以習近平同志為核心的黨中央?，確立習近平同志為全黨的領導核心，這是歷史的選擇、全黨的選擇、人民的選擇。第二，確立了新形勢下黨內政治生活的標準、要求和規(guī)范。這次全會審議通過的《關于新形勢下黨內政治生活的若干準則》列出了12條，每一條都是針對當前黨內政治生活存在的突出問題提出來的，具有很強的針對性和可操作性。第三，標志著黨內監(jiān)督制度框架基本形成。這次全會審議通過的《黨內監(jiān)督條例》，與《廉潔自律準則》《新形勢下黨內政治生活若干準則》以及《紀律處分條例》《問責條例》《巡視工作條例》一道，構成了黨內監(jiān)督主要制度框架。學習貫徹六中全會精神是當前重要政治任務，紀檢監(jiān)察機關必須學深一點、悟透一點，貫徹落實好。要注意把握好四個方面：一是要帶頭履行主體責任。作為紀委書記、紀檢組長都肩負監(jiān)督責任，同時也都是部門單位的?主官?，也要擔負起主體責任。《關于新形勢下黨內政治生活的若干準則》 《中國共產黨黨內監(jiān)督條例》把黨內監(jiān)督的幾個責任都明確下來了，大家要好好研究一下，把各項要求變成可操作性的具體措施，把目標任務變成實實在在的工作內容，把主體責任真正扛起來。二是要帶頭嚴肅黨內政治生活。嚴肅黨內政治生活是黨的建設的法寶，也是錘煉黨性的熔爐、純潔黨性的凈化器。總書記在群眾路線教育實踐活動總結大會上強調，黨要管黨要從黨內政治生活管起，從嚴治黨要從黨內政治生活嚴起。新形勢下加強和改進黨內政治生活、重點是各級領導機關和領導干部。紀檢監(jiān)察機關的領導干部更要把自己擺進去，以黨章為根本遵循，堅持黨的政治路線、思想路線、組織路線、群眾路線，著力增強黨內政治生活的政治性、時代性、原則性、戰(zhàn)斗性，切實解決黨內政治生活庸俗化、平淡化、隨意化的問題，營造生動活潑的政治局面。三是要帶頭加強黨內監(jiān)督。作為黨內監(jiān)督專責機關，要以貫徹《條例》為契機，堅持把紀律挺在前頭，真正把監(jiān)督意識豎立起來、強起來。黨內監(jiān)督?jīng)]有禁區(qū)、沒有例外。要把信任激勵同嚴格監(jiān)督結合起來，切實做到有權必有責、有責要擔當、用權受監(jiān)督、失責必追究。貫徹《準則》《條例》、黨委（黨組）要切實擔負起主體責任，書記是第一責任人，要抓好班子，帶好隊伍。各級領導干部率先垂范、以身作則，帶頭以普通黨員身份參加黨的組織生活，帶頭開展批評與自我批評，帶頭執(zhí)行各項紀律規(guī)定，帶頭弘揚黨的優(yōu)良傳統(tǒng)作風，帶頭接受監(jiān)督，發(fā)揮表率作用。四是要帶頭學習貫徹。紀檢監(jiān)察干部要做到全員培訓，重點是縣處級以上領導干部，但是全體黨員干部都要學習。中心組、黨支部要有計劃分專題討論、進行交流，把各種學習形式結合起來，真正吃透精神，務求內化于心、外化于行。同時，要結合工作實際深入思考明年如何更好地開展監(jiān)督執(zhí)紀問責工作，推動全區(qū)黨風廉政建設和反腐敗工作深入開展。
第二，要在實踐運用好監(jiān)督執(zhí)紀“四種形態(tài)”上進行新探索。監(jiān)督執(zhí)紀?四種形態(tài)?是從黨的歷史和從嚴治黨實踐中總結出來的，體現(xiàn)了懲前毖后、治病教人的一貫方針。實踐好?四種形態(tài)?，要求在執(zhí)行紀律上更加細化、更加嚴格。有的同志說，?四種形態(tài)?寬嚴不太好把握。其實這個寬嚴的把握，就是要根據(jù)當?shù)氐恼紊鷳B(tài)來衡量．根本原則就是用最堅決的態(tài)度減少腐敗存量，用最果斷的措施遏制腐敗增量，重點抓好三個方面：一是保持執(zhí)紀審查力度不減、節(jié)奏不變。要在紀律審查中彰顯堅定不移反對腐敗的決心和意志，以零容忍態(tài)度抓關鍵少數(shù)，突出執(zhí)紀重點，越往后處理越嚴，不斷釋放全面從嚴治黨強烈信號。同時，要在審查中體現(xiàn)組織關懷，善于做思想政治工作，讓嚴重違紀涉嫌違法的人迷途知返、洗心革面，重建對黨的忠誠和信任，保證所查的每一起案件都能經(jīng)得起歷史的檢驗。二是要在運用第一種形態(tài)上多下功夫。越到基層，熟人越多，拉下臉來越不容易。但是第一種形態(tài)不落實，監(jiān)督執(zhí)紀?四種形態(tài)?、管黨治黨、把紀律和規(guī)矩挺在前面就落不到實處。因此要注重開展談話提醒、函詢誡勉工作。對反映比較籠統(tǒng)的問題線索，要本著對同志高度負責的態(tài)度，及時約談本人，要求其寫出情況說明。對反映不實的予以澄清，對如實說明且反映問題并不嚴重的給予了結，讓同志放下包袱。對于談話函詢，重點把握以下三點：第一，是?四個可以談?：反映的違紀問題具有一般性、比較輕微，或者經(jīng)研判是道聽途說或主觀臆斷的；已退出現(xiàn)職、反映的問題時間久遠的；經(jīng)初核未發(fā)現(xiàn)重大違紀問題，但不宜直接了結的；反映個人勤政方面的，可以談話函詢。第二，是?四個不宜談?：權錢交易等涉嫌產重違紀違法的問題；問題具體、可查性強的；問題反映集中、群眾反映強烈的；十八大后不收斂不收手、頂風違紀的，不宜談話函詢。第三，是?四個優(yōu)先談?：初次反映且問題輕微的：反映新提任的領導干部思想工作作風的；擬提拔使用或發(fā)展?jié)摿^大的干部，且反映問題比較籠統(tǒng)的；所處崗位或從事的工作本身矛盾突出，反映的是改革過程中容易遇到的一般性問題，可以優(yōu)先開展談話函詢。要通過談話函詢，使管黨治黨從只盯少數(shù)人向管住大多數(shù)轉變，增強黨的觀念和紀律意識，心有敬畏、行有所止。三是要把關鍵在黨，這是一個政治方向、政治要求和政治立場的司題。在黨的所有紀律中，政治紀律排在第—位。不管違反哪方面的紀律，發(fā)展到一定程度，都會在群眾中和黨內造成惡劣影響，最終都會侵蝕黨的執(zhí)政基礎，說到底都是破壞政治紀律。遼寧拉票賄選案，嚴重到了什么程度？一個連續(xù)五屆當選的農民代表，動用目己的積蓄，向自己的親戚借錢去賄選，不拉票就選不上。拉票賄選，賄選肯定是觸犯刑律了；拉票，在六大紀律中歸類在組織紀律里面，但是這難道不是政治問題嗎？所以加強紀律建設，水遠要把嚴明政治紀律和政治規(guī)矩放在首位。第三，要在查處和糾正發(fā)生在群眾身邊的腐敗問題上實現(xiàn)新進展。近年來，中央高度重視扶貧工作，總書記來寧夏第一站考察的是固原，提到最多的是扶貧。固原市作為我區(qū)扶貧攻堅主戰(zhàn)場，投資數(shù)額大，專項資金多，涉及領域廣，管好用好扶貧資金責任重大。從監(jiān)督檢查和群眾反映看．現(xiàn)在基層截留、挪用、侵吞、擠占扶貧資金、惠農惠民資金的問題屢禁不止，中飽私囊、優(yōu)親厚友等?微腐敗?易發(fā)多發(fā)。希望固原市要用嚴格的制度、嚴肅的紀律、嚴謹?shù)墓芾恚衙恳还P扶貧資金管好、用好，確保資金安全、項目安全、干部安全。一要推動全面從嚴治黨向基層延伸。縣（區(qū)）、鄉(xiāng)鎮(zhèn)都要結合實際，制定落實?兩個責任?清單，明確具體內容和責任人，把責任逐級壓緊壓實，要加強對黨風廉政建設落實情況的巡察，重點督導?兩個責任?落實、基層不正之風和腐敗問題整治查處情況。強化問責追究力度，對落實?兩個責任?不力的，嚴肅問責追責，公開曝光。二要嚴格責任狠抓落實。各級紀檢監(jiān)察機關要加強對?五個堅持?(堅持精準識別、堅持產業(yè)帶動、堅持綜合施策、堅持補齊短板、堅持自力更）貫徹落實情況的監(jiān)督檢查，重點督促發(fā)改、財政、扶貧、農牧、林業(yè)等部門加強對扶貧攻堅資金分配、管理、使用等環(huán)節(jié)的監(jiān)管。對貫徹執(zhí)行不力，甚至欺上瞞下、弄虛作假的單位和個人要嚴肅問責，以鐵的紀律保證脫貧攻堅各項決策部署落實到基層。三是嚴肅查處群眾反映強烈的扶貧領域腐敗問題。嚴肅查處在扶貧項目管理、資金使用中以權謀私、欺上瞞下、盤剝克扣、貪污侵占以及暗箱操作、索賄受賄等?雁過拔毛?式腐敗問題，保證每一分錢都真正用到扶貧項目上、用到貧困群眾身上，確保脫貧攻堅取得實效。加大點名道姓通報曝光力度，釋放強烈信，形成持續(xù)震懾，切實維護群眾利益。
第四，要在鞏固深化成果上要有新提升。本屆以來，黨風廉政建設和反腐敗工作既有大量的經(jīng)驗值得總結提煉，又有很多工作成果需要固化完善，我們要認真做好這方面的工作，為下一屆深入推進黨風廉政建設和反腐敗工作奠定良好基礎。一是要抓總結。十八大以來，我們在黨中央和自治區(qū)黨委的堅強領導下，圍繞?遏制腐敗蔓延勢頭，糾正‘四風’、防止反彈?的目標，調整理念思路，轉變工作職能，改革體制機制，創(chuàng)新方式方法，做了很多工作，積累了很多經(jīng)驗，取得了一系列成果，這些經(jīng)驗和成果來之不易，大家要認真回顧、全面梳理、系統(tǒng)總結，并借鑒運用到今后的工作中去。二是要抓鞏固。十八大以來的黨風廉政建設和反腐敗工作雖然取得了顯著成效，但很多工作成果還不穩(wěn)固，根基還不牢靠。比如主體責任沒有完全落地生根、?四風?問題樹倒根在、派駐機構工作機制還不健全等等，都需要我們繼續(xù)保持鍥而不舍的精神，在堅持中深化、在深化中堅持、不斷鞏固工作成效。三是要抓提升。隨著黨風廉政建設和反腐敗斗爭的不斷深入，要求我們各級紀檢監(jiān)察機關加緊跟上黨中央、中央紀委步伐，落實好全面從嚴治黨要求，把紀律挺在前面、實踐?四種形態(tài)?，推動各項工作從?管少數(shù)?向‘管多數(shù)?、從聚焦懲貪治腐向營造風清氣正政治生態(tài)轉變，取得良好的效果。同時，要抓好換屆工作。目前，縣上已經(jīng)換屆結束，市上即將換屆。市委、紀委班子換屆考察工作雖然完成，但后續(xù)的工作任務還不少，要嚴格按照要求，做好思想政治工作，確保換屆工作平穩(wěn)順利進行，要進一步嚴明換屆紀律，對拉票賄選、跑官要官、買官賣官、跑風漏氣、說情打招呼等問題，要保持高壓態(tài)勢，發(fā)現(xiàn)一起、嚴肅查處一起，及時通報、公開曝光。對領導不力，失職失責，導致?lián)Q屆紀律松弛渙散、出現(xiàn)非組織活動的，要嚴肅追究黨委、黨委主要負責人和相關部門負責人的責任。
第二篇：高中數(shù)學中的對稱問題小結
對稱問題
一、要點梳理
1.對稱問題的核心是點關于點的中心對稱和點關于直線的軸對稱，要充分利用轉化的思想將問題轉化為這兩類對稱中的一種加以處理.2.解決最值問題最常用的方法是目標函數(shù)法和幾何法。3.求對稱曲線的常用思想方法：代入轉移法
4.許多問題中都隱含著對稱性，要注意挖掘、充分利用對稱變換來解決，如角平分線、線段中垂線、光線反射等
二、基礎練習
1、已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關于直線y＝－x對稱，則圓C的方程為
（）A.(x＋1)2＋y2＝
1B.x2＋y2＝1
C.x2＋(y＋1)2＝1
D.x2＋(y－1)2＝1
2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲線曲線
（）A.關于x軸對稱但不關于y軸對稱
B.關于y軸對稱但不關于x軸對稱 C.關于原點對稱
D.以上都不對
3、函數(shù)y＝－ex的圖象
（）A.與y＝ex的圖象關于y軸對稱
B.與y＝ex的圖象關于坐標原點對稱
C.與y?e的圖象關于y軸對稱
D.與y?e的圖象關于坐標原點對稱
4、曲線x2＋4y2＝4關于點M（3，5）對稱的曲線方程為___________.5、光線從點A（-3，4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光線經(jīng)過點B（-2，6），求射入y軸后的反射線的方程。
變式：已知直線l1: x+my+5=0和直線l2:x+ny+P=0，則l1、l2關于y軸對稱的充要條件是（）A、?x?x5p?
mnB、p=-5
C、m=-n且p=-5
D、11??且p=-5 mn6.直線2x?3y?6?0交x、y軸于A、B兩點，試在直線y??x上求一點P，使P1A?P1B最小，則P點的坐標是_______ 思考、已知函數(shù)f(x)?13x?x2?x的圖象C上存在一定點P滿足：若過點P的直線l與曲線C交于不同于P的3兩點M(x1,y1),N(x2,y2)，且恒有y1?y2為定值y0，則y0的值為（）A.?12
4B.?
C.?
D.?2 3337、已知點M（3，5），在直線：x?2y?2?0和y軸上各找一點P和Q，使?MPQ的周長最小。
x2y2??1的焦點為焦點作橢圓。問：點P在何處時，8、在直線l:x?y?9?0上任取一點P，過點P且以橢圓
123所作橢圓的長軸最短？并求具有最短長軸的橢圓的方程。
9、已知長方形的四個頂點A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設P4的坐標為（x4，0）.若1 10、已知拋物線y=ax2－1上存在關于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求實數(shù)a的取值范圍.x2y2變式：已知橢圓方程為試確定實數(shù)m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線y?4x?m??1，43對稱。 11、已知函數(shù)f(x)?lnx(0?x?1)1?x（1）在函數(shù)y?f(x)的圖象上是否存在一點（m,n），使得y?f(x)的圖象關于（m,n）對稱？（2）令g(x)?f(1?x11)，是否存在這樣的實數(shù)b，使得任意的a∈[,]時，對任意的x∈(0,??)，不等式2?x43g(x)?x?ax2?b恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由.12、已知拋物線C:y2?4x，過M(m,0)的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標原點.（Ⅰ）若m=3，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程； （Ⅱ）若m?0，且存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，求m的取值范圍.（Ⅲ）若m?0，記A關于x軸的對稱點為A1，求證：直線A1B過定點.13、設A(x1,y1),B(x2,y2)兩點在拋物線y?2x上，l是AB的垂直平分線．（Ⅰ）當且僅當x1?x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結論； (Ⅱ)當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍． 214、已知函數(shù)f（x）=(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設g（x）=f(x)+13x?x2?ax?b的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2.3m是[2,??]上的增函數(shù)。x? 1（i）求實數(shù)m的最大值； (ii)當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由。 參考解答： 1、C； 2、C； 3、D； 4、（x－6）2+4（y－10）2=4； 5、解：?A（-3，4）關于x軸的對稱點A1（-3，-4）在經(jīng)x軸反射的光線上；A1（-3，-4）關于y軸的對稱點A2（3，-4）在經(jīng)過射入y軸的反射的光線上，∴kA2B= 6?4??2 ?2?3∴所求直線方程為 y?6??2(x?2)，即2x?y?2?0 變式、C； 6、(0,0)； 思考、B；解析： ?f(x)?13111x?x2?x?(x3?3x2?3x?1?1)?(x?1)3? 3333111?f(x)??(x?1)3從而f(x)的圖像關于定點(?1,?)對稱，333112所以點P為(?1,?)，y1?y2?y0?2(?)?? 3337、解：可求得點M關于l的對稱點為M1（5，1），點M關于y軸的對稱點為M2（-3，5），則 ?MPQ的周長就是M2Q?QP?PM1，連M2M1，則直線M2M1與y軸及直線x?2y?2?0的交點P、Q即為所求。 直線M1M2的方程為x?2y?7?0，直線M1M2與y軸的交點坐標為Q(0,)，由方程組?72?x?2y?2?059597 得交點P(,)，∴點P(,)、Q(0,)即為所求。 24242?x?2y?7?08、略 9、解：設P1B=x，∠P1P0B=θ，則CP1=1－x，P3PB∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均為θ，∴tanθ=1=x.P0BCP1?x1?x1又tanθ=1==x，∴CP2==－1.CPCP2xx2而tanθ= D(0,1)P2C(2,1)P1B(2,0)A P0P4P3D=P2DDP3DP31==x，∴DP3=x（3－）=3x－1.11x2?(?1)3?xx又tanθ=AP31?(3x?1)2?3x2?3x2===x，∴AP4==－3.AP4AP4AP4xx依題設1 x1?x211=，y0=x0+b=+b.2a2a21113∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.a42a2a解法二：設同解法一，由題意得 由①得x0=?y1?ax12?1，?y?ax2?1，2?2?y1?y2?1，?x?x?12?y1?y2x1?x2??0.??22①②③ ④將①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得 1?x?x??12a，由二元均值不等式易得2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.?12?x12?x22??2?.aa?將⑤⑥代入上式得2（－1a2解法三：同解法二，由①－②，得y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.y?y2∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）=1=1.x1?x2x1?x21=.∵M（x0，y0）∈l，2a2111∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，從而PQ的中點M的坐標為（，－）.2a2a2a∴x0=∵M在拋物線內部，∴a（+ 213）＞（）2，解得a＞.aa41132）－（－）－1＜0.解得a＞.（舍去a＜0，為什么?） 42a2a變式：解法一：該問題等價于存在直線y??中點落在直線y?4x?m上。 1x?n，使得這直線與橢圓有兩個不同的交點P、Q，線段PQ的4?x2y2??4?3?122由?消去y得13x?8nx?16n?48?0 ?y??1x?n?4?∵直線與橢圓有兩個不同交點。 ∴??64n2?4?13(16n2?48)?0??由韋達定理得：x1?x2?1313 ① ?n?228n124n，y1?y2??(x1?x2)?2n?。13413 4n12n,)又M在直線y?4x?m上 1313124n4n?4??m，∴m??n ② ∴131313故PQ中點為M(由①②知?213213 ?m?1313解法二：設A(x1,y2)、B(x2,y2)是橢圓上關于直線y?4x?m對稱的相異的兩點，x12y12x22y22AB中點為M(x0,y0)。則??1,??1，4343由點差法得y0?3x0，代入y0?4x0?m解得，M點坐標為(?m,?3m)。而M是AB中點，∴M點在橢圓內部。 m29m2213213∴。??1。解得??m?43131311、【解析】（1）若存在一點（m，n），使得y =f(x)的圖象關于點（m，n）對稱，則f(x+m)+f(m－x)=2n x?mm?xm2?x2即ln ?ln?ln1?x?m1?m?x(1?m)2?x2當m?11?在y=f(x)的圖像上，,n?0時f(x+m)+f(m－x)=2n 且?,0??2?2?1?，使得y=f(x)的圖像關于?1?對稱。所以在y=f(x)的圖像上存在一點??,0??,0??2??2?1?x（2）g?x?=ln2?x?ln?x?1?(x＞－1), 構造函數(shù)F?x?=ln?1?x??x?ax，1?x1?2?x1??2ax?x?1??1?2ax?2ax?x?112a??則F??x???2ax?1??，x?1x?1x?12 因為x?0,a∈[,]所以x?1?0,2ax?0, 1143 11?1),?F(x)在(0,?1)上是減函數(shù)； 2a2a11?1,??),?F(x)在(?1,??)上是增函數(shù)； 若F?(x)?0，則x∈(2a2a11111?1時,F(x)取最小值，即F(x)min?F(?1)=ln??1?a(?1)2 所以當x?2a2a2a2a2a11111??1??a?1=ln??a =ln2a2a4a2a4a若F?(x)?0，則x∈(0,記h(a)?ln11111111??a,又h?(a)?2a?(?2)?2?1?2??1?(?2)2, 2a4aa4a2a4a4a 11113∈[3，4]所以h?(a)?0,即h(a)在[,]上為增函數(shù)，所以h(a)min?h()?ln2? 44a433所以若使F(x)?b恒成立，只需b?ln2?.4311所以存在這樣的實數(shù)b?ln2?,使得對a∈[,]，對任意的x∈(0,??)時，443因為不等式ln（1+x）＞x-ax2+b恒成立.12、（Ⅰ）解：由題意，直線l的方程為y?x?3，由??y?x?3?y?4x 2得 y2?4y?12?0?y1??2,y2?6，故A?1,?2?,B?9,6? 以AB為直徑的圓的圓心為AB中點?5,2?，半徑為 AB?42 2?圓的方程為:?x?5???y?2??32.?????????（Ⅱ）解：設A, B兩點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2), MB??AM(??0).22?????????則AM?(m?x1,?y1),MB?(x2?m,y2)，所以 ??x2?m??(m?x1) ○ 1y???y?21 因為點A, B在拋物線C上, 2 所以y12=4x1,y22 =4x2，○ 由○1○2，消去x2,y1,y2得?x1?m.若此直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，則|OM|2?|MB|?|AM|，2即|OM|2??|AM|?|AM|，所以m2??[(x1?m)2?y1]，因為y12=4x1，?x1?m，所以m2?m[(x1?m)2?4x1]，x12整理得x1?(3m?4)x1?m2?0，○ 因為存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，所以關于x1的方程○3有正根，因為方程○3的兩根之積為m2>0, 所以只可能有兩個正根，?3m?4?0? 所以?m2?0，解得m?4.???(3m?4)2?4m2?0? 故當m?4時，存在直線l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列.（Ⅲ）定點位N(-m,0)。 13、解：（Ⅰ）F?l?|FA|?|FB|?A,B兩點到拋物線的準線的距離相等． ∵拋物線的準線是x軸的平行線，y1?0,y2?0,依題意y1,y2不同時為0，2∴上述條件等價于y1?y2?x12?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0; ∵x1?x2，∴上述條件等價于 x1?x2?0.即當且僅當x1?x2?0時，l經(jīng)過拋物線的焦點F． 另解：（Ⅰ）∵拋物線y?2x2，即x?2y11,?p?，∴焦點為F(0,) 248（1）直線l的斜率不存在時，顯然有x1?x2?0 （2）直線l的斜率存在時，設為k，截距為b 即直線l：y=kx+b 由已知得： ?y?y?222??1?k?x1x2?b?2x2?2x1?k?x1x2?b ?2?222????22?y1y2??1??2x1?2x2??1??kx1?x2x1?x2k?? ?22x1?x2?b??k???x1x2 ?x2?x2??1?b?0?b?1 2??12441?x1?x2??2k??即l的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點F(0,) 所以當且僅當 18x?x12=0時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F （II）設l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y?2x?b； 過點A、B的直線方程可寫為y??所以x1,x2滿足方程2x?21x?m，211x?m?0,得x1?x2??； 2411.A，B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式???8m?0, 即m??432設AB的中點N的坐標為(x0,y0)，則x0?1111(x1?x2??,y0??x0?m??m.28216由N?l,得115519?m???b,于是b??m???.1641616323232即得l在y軸上截距的取值范圍為（9,??）． 法二:y1=2x1, y2=2x2, 相減得2 2y1?y21?2(x1?x2)?4x0,即??4x0, x1?x221192x0??,y0???b, 中點在拋物線內必y0?2x0 得b?843214、解：（Ⅰ）由f'(x)?x2?2x?a及題設得??f'(0)?3?a?3即?。 b??2?f(0)??2?（Ⅱ）（ⅰ）由g(x)?13mm2x?x2?3x?2? 得g'(x)?x?2x?3?。23x?1(x?1)?g(x)是[2,??)上的增函數(shù)，?g'(x)?0在[2,??)上恒成立，即x?2x?3?2m?0在[2,??)上恒成立。 (x?1)2m?0在[1,??)上恒成立 t設(x?1)2?t。?x?[2,??),?t?[1,??)，即不等式t?2?當m?0時，不等式t?2?m?0在[1,??)上恒成立。tm當m?0時，設y?t?2?，t?[1,??) tmm因為y'?1?2?0，所以函數(shù)y?t?2?在[1,??)上單調遞增，因此ymin?3?m。 tt?ymin?0,?3?m?0，即m?3。又m?0，故0?m?3。 綜上，m的最大值為3。 1331x?x2?3x?2?，其圖像關于點Q(1,)成中心對稱。3x?131332證明如下：?g(x)?x?x?3x?2? 3x?113183?g(2?x)?(2?x)3?(2?x)2?3(2?x)?2???x3?x2?3x?? 32?x?1331?x2因此，g(x)?g(2?x)?。 32上式表明，若點A(x,y)為函數(shù)g(x)在圖像上的任意一點，則點B(2?x,?y)也一定在函數(shù)g(x)的圖像上。 31而線段AB中點恒為點Q(1,)，由此即知函數(shù)g(x)的圖像關于點Q成中心對稱。 3（ⅱ）由（ⅰ）得g(x)? 高一數(shù)學學案 對稱問題 課時：2編寫人：鄒晨霞審核人：李志榮編號：39 一．學習目標 1.會求一個點關于一點、一條直線的對稱點的坐標； 2.會求一條直線關于一個點、一條直線的對稱直線.二．問題導學 問題1：點關于點對稱 例1.已知點A(5,8)，B(4，1)，試求A點 關于B點的對稱點C的坐標。 問題2：直線關于點對稱 例2.求直線l1 : 3x-y-4=0關于點P(2,-1)對稱的直線l2的方程。 問題3：點關于線對稱 例:3：求點P(－4,2)關于直線l的對稱點P′的坐標． (1)l：2x－y＋1＝0(2)l：x－y＋1＝0 練習：一束平行光線從原點O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點P(－4,3)，求反射光線所在直線的方程． 1尖草坪一中 高一數(shù)學學案 問題3：直線關于直線對稱 例4：求直線x-2y-1=0關于直線x+y-1=0對稱的直線方程.問題4：對稱與最值 例5：已知點A??3,5?，B?2,15?，試在直線l：3x?4y?4?0上找一點P，使(1)PA?PB 最小，并求出最小值.(2)PB?PA最大，并求出最大值.三：達標檢測 1.直線y?2x關于x軸對稱的直線方程為A.y??xB.y?xC.y??2xD.y?2x 22 2.已知直線l：x?y?1?0，l1：2x?y?2?0.若直線l2與l1關于l對 稱，則l2的方程為A.x?2y?1?0B.x?2y?1?0C.x?y?1?0D.x?2y?1?0 3.直線y? 4.直線2x?3y?6?0關于點?1,?1?對稱的直線方程是 1x關于直線x?1對稱的直線方程是2 A.3x?2y?2?0B.2x?3y?7?0 C.3x?2y?12?0D.2x?3y?8?0 5.已知點A的坐標為(-4,4),直線l的方程為3x+y-2=0,求： (1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標； (2)直線l關于點A的對稱直線l的方程./ 2尖草坪一中 圓錐曲線教案 對稱問題教案 教學目標 1．引導學生探索并掌握解決中心對稱及軸對稱問題的解析方法． 2．通過對稱問題的研究求解，進一步理解數(shù)形結合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力． 3．通過對稱問題的探討，使學生會進一步運用運動變化的觀點，用轉化的思想來處理問題． 教學重點與難點 兩曲線關于定點和定直線的對稱知識方法是重點．把數(shù)學問題轉化為對稱問題，即用對稱觀點解決實際問題是難點． 教學過程 師：前面學過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質．今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關對稱的問題．大家想一想：點P(x，y)、P′(x′，y′)關于點Q(x0，y0)對稱，那么它們的坐標應滿足什么條件？ 師：P(x，y)，P′(x′，y′)關于原點對稱，那么它們的坐標滿足什么條件？ 生：P和P′的中點是原點．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關于x軸對稱，它們的坐標又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′． 師：若P和P′關于y軸對稱，它們的坐標有什么關系？ 生：y=y′且x=-x′． 師：若P和P′關于直線y=x對稱，它們的坐標又會怎樣？ 生：y=x′且x=y′． 生：它們關于直線y=x對稱． 師：若P與P′關于直線Ax+By+C=0對稱，它們在位置上有什么特征？ 生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側． 師：還有補充嗎？ 生：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直． 師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側且與直線垂直就能對稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？ 生：就是P與P′的中點落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P′的中點坐標滿足直線方程Ax+By+C=0． 師：下面誰來總結一下，兩點P(x，y)、P′(x′，y′)關于直線Ax+By+C=0對稱應滿足的條件？ 生：應滿足兩個條件． 生：方程組中含有x′，y′，也可認為這是一個含x′，y′的二元一次方程組．換句話說，給定一個點P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點關于直線Ax+By+C=0的對稱點P′(x′，y′)的坐標． 師：今后有很多有關對稱問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題． 例1 已知直線l1和l關于直線2x-2y+1=0對稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程． 2(選題目的：熟悉對稱直線方程)師：哪位同學有思路請談談． 生：先求出已知兩直線的交點，設l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點斜式求得l2的方程． (讓這位同學在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正．) 由點斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？ 生：在直線l1上任取一點，求出這點關于2x-2y+1=0對稱的點，然后再利用交點，兩點式可求出l的直線方程。(讓這位學生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯誤，大家訂正．)解 由方程組： 師：還有別的解法嗎？ 生：在l2上任取一點P(x，y)，則P點關于2x-2y+1=0對稱的點P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問題就解決了． 師：請你到黑板上把解題過程寫出來． 解 設P(x，y)為l上的任意一點，2則P點關于直線2x-2y+1=0對稱，點P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)， 又因為P′(x′，y′)在直線l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0． 即l2的方程為：4x-6y+3=0． 師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關于一條直線對稱的曲線方程呢？ 引申：已知：曲線C：y=x2，求它關于直線x-y-2=0對稱的曲線方程．(選題目的：進一步熟悉對稱曲線方程的一般方法．)師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生： (讓學生把他的解法寫出來．)解 設P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點，它關于直線x-y-2=0對稱的點為P′(x1，y1)，因此，連結P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點的直線方程為y-y0=-(x-x0)． 師：還有不同的方法嗎？ 生：用兩點關于直線對稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫在黑板上． 生：解：設M(x，y)為所求的曲線上任一點，M0(x0，y0)是M關于直線x-y-2=0對稱的點，所以M0定在曲線C：y=x2上． 代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個例子． 點出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經(jīng)過的路程．(如圖2-77) 師：解這題的關鍵是什么？ 生：關鍵是找到x軸的交點． 師：有辦法找到交點嗎？ 生：沒人回答． 師：交點不好找，那么我們先假設M就是交點，利用交點M對解決這個問題有什么幫助嗎？ 生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx． 師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？ 生：可以先找A關于x軸的對稱點A′(0，-2)，由對稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉化為|A′M|+|MD|即|A′D|． 師：|A′D|怎么求呢？ 生：|A′D|實際上是過A′點到圓切線的長，要求切線長，只需先連結半徑CD，再連結A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77)(讓這位學生把解答寫在黑板上．)解 已知點A關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，所求的路程即為 師：巧用對稱性，化簡了計算，很好．哪位同學能把這個題適當改一下，變成另一個題目． 生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點，在x軸上，求一點P，使得|AP|+|PD|為最短． 師：誰能解答這個問題？ 生：先過A(0，2)關于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結A′D與x軸相交于點P，P為所求(如圖2-78)． 師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？ 生：因為A，A′關于x軸對稱，所以|AP|=|A′P|，這時|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當P點在x軸其他位置上時，如在P′處，那么，連結AP′、A′P′和P′D．這時|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于 生：先作A點關于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結A′和圓心C，A′C交x軸于M點，交圓于P點，這時|AM|+|MP|最小(如圖2-79)． 師：你怎樣想到先找A點關于x軸的對稱點A′的呢？ 生：由前題的結論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最小． 師：很好，大家一起動筆算一算(同時讓這位學生上前面書寫)． 生：解A點關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點，因為A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|= 師：我們一起看下面的問題． 例3 若拋物線y=a·x2-1上總存在關于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍． 師：這題的思路是什么？ 生：如圖2-80，設A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關于直線x=- 師：很好，誰還有不同的解法嗎？ 生：曲線y=ax2-1關于直線x+y=0對稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方 師：今天我們討論了有關點，直線，曲線關于定點，定直線，對稱的問題．解決這些問題的關鍵所在就是牢固掌握靈活運用兩點關于定直線對稱的思想方法，結合圖象利用數(shù)形結合思想解決問題． 作業(yè)： 1．一個以原點為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關于直線l對稱，求直線l的方程． (2x-y+5=0)2．ABCD是平行四邊形，已知點A(-1，3)和C(-3，2)，點D在直線x-3y-1=0上移動，則點B的軌跡方程是 ______． (x-3y+20=0) 3．若光線從點A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點B(3，9)，則此光線所經(jīng)過的路程的長是______． (12)4．已知曲線C：y=-x2+x+2關于點(a，2a)對稱的曲線是C′，若C與C′有兩個不同的公共點，求a的取值范圍．(-2＜a＜1) 設計說明 1．這節(jié)課是一節(jié)專題習題課，也可以認為是復習題，通過討論對稱問題把有關的知識進行復習，最重要的是充分突出以學生為主體．讓學生討論和發(fā)言，就是讓學生參加到數(shù)學教學中來，使學生興趣盎然，思維活躍，同時對自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學生的主動性，有利于培養(yǎng)學生的獨立思考的習慣，發(fā)展學生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數(shù)學教學中要有一定的時間讓學生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力． 2．這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結合的數(shù)學思想，讓學生在腦海里留下一個深刻的印象，就是對稱問題，歸根結底都可以化成點關于直線的對稱問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個交點，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時水平才能提高得較快． 3．習題課的一個中心就是解題，怎樣才能讓學生做盡可能少的題，從而讓學生掌握通理通法，這是一個值得研究和探討的問題．本節(jié)課采取了讓學生把題目進行一題多變，一題多解，從中使學生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達到盡可能做少量的題，而達到獲取盡可能多的知識、方法和規(guī)律的目的，真正提高學生的分析問題、提出問題、解決問題的能力．解決當前學生課業(yè)負擔過重的問題，根除題海戰(zhàn)術給學生帶來的危害． 4．本課的例題選擇可根據(jù)自己所教學生的實際情況，下面幾個備用題可供參考． 題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點A作這圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求點M在直線l上移動時，△MAQ垂心的軌跡方程． (選題目的：熟練用代入法求動點的軌跡方程，活用平幾簡化計算．) 解 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且 題目2若拋物線y=x2上存在關于直線y=m(x-3)對稱的兩點，求實數(shù)m的取值范圍． 解(如圖2-82)設拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于直線 (選題目的：結合對稱問題，訓練反證法的應用．)此題證法很多．下面給一種證法供參考． 證明 如圖2-83，若P、Q兩點關于y=x對稱，可設P(a，b)、5．本教案作業(yè)4，5題的參考解答： 4題．解設P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點，它關于點(a，2a)的對稱點是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯(lián)立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1． 5題略解：如圖2-84，F(xiàn)1(-5，2)，F(xiàn)2(-1，2)，F(xiàn)1關于直線x-y=1的對稱點為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得， 對稱美在高中數(shù)學教學中的相關應用 摘要:數(shù)學形式和結構的對稱性,數(shù)學命題關系中的對偶性都是對稱美的自然表現(xiàn).在數(shù)學解題方面,對稱方法往往使問題解決的過程簡捷明快.因對稱和諧,它喚起人們探索的興趣,人們長去研究它,數(shù)學方法是一門科學又是一門藝術,因此研究數(shù)學中的對稱美與對稱性原理解題是有價值的課題.關鍵詞: 對稱性﹑數(shù)學美﹑對偶式﹑對稱性原理 Ⅰ.對稱美及對稱性原理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的用途舉例 <1>.利用對稱性,預測問題結果 當人們面臨一個課題或解一道數(shù)學難題時,往往先對結果作一大致的估量或預測而不是先用于計算或論證,有些數(shù)學問題可以根據(jù)其對稱性,先預測結果,再進行證明.例1.已知x,y,z∈R﹢,且x+y+z=1求函數(shù)f(x,y,z)= 4x?1+y?1?4z?1的最大值 分析直接求最大值,無從下手,觀察變量x,y,z可知:它們在條件及函數(shù)f(x,y,z)中均具有對稱性,可預測當x=y=z=時函數(shù)取最大值.此時,函數(shù)f(x,y,z)的值為4??1?4??1?4??1?21 從而4x?1+4y?1?4z?1?21 只需進一步檢測預測結果的正確性,將求最值題轉化為證明題,降低了原題的難度.13131313 上不等式通過基本不等式<2>.運用對稱性,誘發(fā)解題靈感 x2?y2?z2x?y?z 不難證得 ? 有些數(shù)學問題,用對稱的眼光去觀察﹑審視,通過形﹑式的補美造成對稱或采用對稱變換調整元素之間的關系,往往能誘發(fā)解題靈感,簡化解題過程.例2.若a,b,c表示三角形三邊之長,求證:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)?3abc 分析本題關于a,b,c是對稱的,這就啟發(fā)我們將3abc移到左平分給三個加項,即需證: [a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc] ?0 由對稱性,我們只需變換上式左邊中的某一項,如 a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a) =a(a-b)(c-a) 于是, 左邊其余兩項顯然為:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c) 又因為關于a,b,c對稱,故不妨假設a ?b ?c 此時, c(c-a)(b-c)?0 而a(a-b)(c-a)+a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)] =(a-b)2[c-(a+b)] ?0 從而原不等式獲證 <3>.洞察對稱性,巧妙轉化問題 對于一些數(shù)學問題,若能洞察到問題所具有的對稱性,往往可將 題巧妙轉化,使問題解題思路簡捷﹑化難為易﹑避繁就簡.例3.自點A(-3,3)發(fā)出光線h射到x到軸上,被x軸反射,其反射光 線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線h所在的直線方程 分析 :本題解法頗多,若能運用對稱的思想,巧妙轉化問題,不難發(fā)現(xiàn)原命題即為:”求過點A(-3,3)且與⊙c(x-2)2+(y-2)2=1對稱的圓 ⊙c1相切的直線方程”如圖,這樣的轉化不但明確了解題 思路,而且簡化了解題計算量,設直線h的方程y-3=k(x+3)則根據(jù)⊙c1的圓心C’(2,-2)到直線h的方程的距離等于⊙c1的半徑1,可求出k=-,從而求出直線方程 '3 ' <4>.剖析對稱性,合理準確選擇 數(shù)學的發(fā)現(xiàn)關鍵階段------領悟階段,發(fā)現(xiàn)常常是作出選擇,就是要拋棄不合適的方案,保留合適的方案,而支配這種選擇的就是數(shù)學美感,而對稱美感往往扮演著重要角色 例4.已知:△ABC的內界圓與外切圓的半徑分比別為r和R,則r和R比值等于() ABCABC cosB.4sinsincos 222222 ABCABC C.4sinsinsinD.4coscossin 222222 A.4sincos 分析三角形的邊a,b,c或角A,B,C對r和R的影響是相同的, r和R不可能對三角形的某一條邊或某個角有選擇或特別偏重,因此在比值 r的表達式中,必有邊a,b,c或角A,B,C的輪換對稱,因此C是正確的 R 怎樣預見數(shù)學研究成果?如果我們對未來結果一無所知,那么只有憑感覺判制,數(shù)學中的對稱美感,是我們必須信任的向導.Ⅱ.對稱與非對稱的聯(lián)系 尋求對稱不是解題的唯一途徑,具體問題具體分析才是出路,下面對對稱與非對稱作一辨證分析 <1>.非對稱向對稱轉化 對稱的形式容易被感知與理解,均衡協(xié)調的結構往往能理順思路,反之則會干擾思考,這就要求我們使凌亂的非對稱的形式轉化為對稱和諧的結構.(1)根據(jù)題目的結構及需要,對原式添加某些項,使其形成對稱局面,促使問題求解.例1.設a n(x,y,z,t)可以取多少不同的值? 評析:如將n(x,y,z,t)再添上兩項(x-z)2和(y-t)2則 n(x,y,z,t)+(x-z)2+(y-t)2就轉化為關于x,y,z,t的全對稱式,故 n(x,y,z,t)的不同值僅依賴于(x-z)2+(y-t)2=(x2+y2+z2+t2)-2(xz+yt)的不同取值,而上式右端第一項(x2+y2+z2+t2)又是全對稱的,因此,n取不同的值僅依賴于xz+yt,而它恰有三種不同的值 ab+cd,ac+bd ,ad+bc,事實上(ab+cd)–(ac+bd)=a(b-c)+d(c-b)=(b-c)(a-d)>0 ∴ab+cd>ac+bd 同理ac+bd>ad+bc 即n(x,y,z,t)可取三種不同值 (2).根據(jù)式子外部特征及某些性質,引進一個新的對稱的式子,與原式 配合求解,所引進的新的式子稱為對偶式 例2.設a,b∈R+,且??1, 求證:對每一個自然數(shù)n有(a+b)n-an-bn≧22n-22n-1 12n?1 證設d1=(a+b)n-an-bn =Cnan?1b?Cnan?2b2????????Cnabn?1 1n?2n?1 令d2= d1=Cnabn?1????????Cnan?2b2?Cnan?1b 1a1b d1+ d2=2 d1= n?1n?1n?2222n?1n?1 Cn(ab?ab)?Cn(ab?ab????????Cn(ab?ab) 12n?1 ?2anbn(Cn?Cn????????Cn)由題設可知 ab ?4, 于是 2 d1?24n(2n?2)即d1?2n(2n?2)?22n?22n?1 <2>.對稱-------非對稱---------對稱的辨證關系 方法上的對稱,形式上的對稱,確實能為我們獲取信息打開通道,但是沒有一個極美的東西是在調和中有著某種”奇異”有的時候抓 住某種”奇異”更能簡潔明快的求解.例3.在△ABC中求證sin?sinsin A2 B2 C1? 28 12n?1 評析: 這里的約束條件A+B+C=∏,將C視為常量(＂奇異＂),此時 CA 為常量, sin為變量,它們地位不同,(打破和諧性),問題轉化 ABsi?sin為求的最大值,因為 22A?BA?B1A?B1AB1 sin?sin=(cos?cos)?cos?sinC當且僅22222222 sin 當A=B時取最大值,同理固定B角,A=C時取最大值,固定A角, B=C時取最大值,呈現(xiàn)出和諧之感,因此只有當A=B=C= ? 時 3 sin ABC1 ?sinsin=(最大)2228 例4.在△ABC中,求sin3A?sin3B?sin3C最大值 分析點評:本例形式上與上例3極為相似,用同樣的方法展開 sin3A?sin3B?sin3C?2sin 3(A?B)3(A?B) ?cos?sin3C 223(A?B)?2sin?sin3C(這里運用放縮法,與上例解法 不對稱) 3(A?B)3(A?B)3(A?B) ?2sin?cos 2223(A?B)3(A?B) ?[1?cos] =2sin =2sin 此時sin 3(A?B) 可正可負(又與上例解法不對稱),不妨設A?B?C之2 后雖然破壞了A,B,C的對稱結構.(他們有大小之別)但為我們解題開拓了思路.∵A?B?C∴0?上式= 3(A?B) ?? 2第三篇：對稱問題
第四篇：圓錐曲線教案 對稱問題教案
第五篇：對稱美在高中數(shù)學教學中的相關應用（精選）
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