第一篇：一次函數教案2
公開教學教案
教者：
教學班級：
教學課題：一次函數
教學時間：2008-11-20 教學目標： 知識與技能：
1、了解一次函數的定義；
2、能運用一次函數解決簡單的實際問題。
過程與方法：
1、通過對山高與氣溫的關系探究，獲得對一次函數的初步認識；
2、經歷實際問題的分析和求解過程，體會數學與現實的密切聯系，提高解決問題的能力。
情感、態度與價值觀：
通過實際操作經歷對實際問題的數據關系的探索，培養學生積極探索的精神以及觀察、分析、總結的學習態度。
教學重、難點
一次函數的定義是重點也是難點。
教學過程
一、創設情境，引入新課
問題：某登山隊大本營所在地的氣溫為5℃，海拔每升高1 km氣溫下降6 ℃，登山隊員由大本營向上登高x km時，他們所在位置的氣溫是y ℃，試用解析式表示y與x的關系.分析:y隨x的變化規律是，從大本營向上當海拔增加x千米時，氣溫從5 ℃減少6x ℃.因此y與x的關系為y=5－6x 這個函數也可以寫成y=－6x+5二、一次函數概念的學習
1、多媒體展示如下問題，并提問：下列問題中的對應關系可用怎樣的函數表示？這些函數有什么共同點？
(1)有人發現,在20~50 ℃時蟋蟀每分鳴叫的次數c與溫度t(單位： ℃)有關，即c的值約是t的7倍與35的差；
(2)一種計算成年人標準體重G(單位：千克)的方法是，以厘米為單位量出身高值h，再減去常數105，所得差是G的值；
(3)某城市的市內電話的月收費額y(單位：元)包括：月租費22元，拔打電話x分的計時費(按0.1元/分收取)；
(4)把一個長10cm、寬5cm的長方形的長減少x cm,寬不變，長方形的面積y(單位：平方厘米)隨x的值而變化
2、讓學生獨立思考，有問題的也可以互相討論，給出上面問題中的解析式。
3、學生做完后，學生發言，師生共同討論，教師作總結，給出上面問題中的函數解析式。解答：上面問題中的函數解析式分別為：(1)C=7t-35；
(2)G=h-105；
(3)y=0.1x+22；
(4)y=-5x+50.4、讓學生對比前面我們得到的確5個函數解析式，看看它們有什么共同的特點，鼓勵學生積極發言。引導學生總結出一次函數的定義：
一般地，形如y=kx+b(k,b是常數，k≠0)的函數，叫做一次函數。
當b=0時，y=kx+b就變成了y=kx,所以說正比例函數是一種特殊的一次函數。
三、講例
例1 下列哪些函數是一次函數，哪些又是正比例函數.(1)y??3x?4;(2)y??7x；(3)y?9x；(4)y?4x2?1；
(5)m?2x?6
四、練習
練習1：下列函數哪些是一次函數，哪些又是正比例函數？
(1)y??8x;(2)y??8x;(3)y?5x2?6;(4)y??0.5x?1練習2：一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加2米/秒.（1）求小球速度v（單位：米）隨時間t（單位：秒）變化的函數關系式，它是一次函數嗎？
（2）求第2.5秒時小球的速度
練習3:汽車油箱中原有汽油50升，如果行駛中每小時用油5升，求油箱中的汽油y(單位：升)隨行駛時間x(單位：時)變化的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.y是x的一次函數嗎？
五、小結
1、怎樣的函數是一次函數？
2、一次函數的簡單應用。
六、作業
1、課本120頁第3題；
2、完成本節課的配套練習。
第二篇：19.2.2 一次函數 教案2
19.2.2 一次函數
教學目標
（一）知識與技能：
１．知道一次函數與正比例函數關系．
2．理解一次函數圖象特征與解析式的聯系規律．
3．會用簡單方法畫一次函數圖象．
過程與方法：．通過類比的方法學習一次函數，體會數學研究方法多樣性． 情感態度世界觀：利用數形結合思想，進一步分析一次函數與正比例函數的聯系，從而提高比較鑒別能力．
教學重點
１．一次函數解析式特點．
２．一次函數圖象特征與解析式聯系規律．
３．一次函數圖象的畫法．
教學難點
１．一次函數與正比例函數關系．
２．一次函數圖象特征與解析式的聯系規律．
教學方法
合作─探究，總結─歸納．
教具準備
多媒體演示．
教學過程
Ⅰ．提出問題，創設情境
問題：某登山隊大本營所在地的氣溫為15℃，海拔每升高1km氣溫下降6℃．登
山隊員由大本營向上登高xkm時，他們所處位置的氣溫是y℃．試用解析式表示y?與x的關系．
分析：從大本營向上當海拔每升高1km時，氣溫從15℃就減少6℃，那么海拔增加xkm時，氣溫從15℃減少6x℃．因此y與x的函數關系式為： y=15-6x（x≥0）
當然，這個函數也可表示為： y=-6x+15（x≥0）
當登山隊員由大本營向上登高0．5km時，他們所在位置氣溫就是x=0．5時函數y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．
這個函數與我們上節所學的正比例函數有何不同？它的圖象又具備什么特征？我們這節課將學習這些問題．
Ⅱ．導入新課
我們先來研究下列變量間的對應關系可用怎樣的函數表示？它們又有什么共同特點？
１．有人發現，在20～25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數C與溫度t（℃）有關，即C?的值約是t的7倍與35的差．
２．一種計算成年人標準體重G（kg）的方法是，以厘米為單位量出身高值h減常數105，所得差是G的值．
３．某城市的市內電話的月收費額y（元）包括：月租費22元，撥打電話x分的計時費（按0．01元／分收取）．
４．把一個長10cm，寬5cm的矩形的長減少xcm，寬不變，矩形面積y（cm2）
隨x的值而變化．
這些問題的函數解析式分別為：
１．C=7t-35． ２．G=h-105．
３．y=0．01x+22． ４．y=-5x+50．
它們的形式與y=-6x+15一樣，函數的形式都是自變量x的k倍與一個常數的和．
如果我們用b來表示這個常數的話．?這些函數形式就可以寫成： y=kx+b（k≠0）
一般地，形如y=kx+b（k、b是常數，k≠0?）的函數，?叫做一次函數（?linearfunction）．當b=0時，y=kx+b即y=kx．所以說正比例函數是一種特殊的一次函數．
練習：
１．下列函數中哪些是一次函數，哪些又是正比例函數？
（1）y=-8x．（2）y=錯誤!不能通過編輯域代碼創建對象。．
（3）y=5x2+6．（3）y=-0．5x-1．
２．一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加２米．
（1）一個小球速度v隨時間t變化的函數關系．它是一次函數嗎？（2）求第2．5秒時小球的速度．
３．汽車油箱中原有油50升，如果行駛中每小時用油5升，求油箱中的油量y（升）隨行駛時間x（時）變化的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．y是x的一次函數嗎？
解答：
１．（1）（4）是一次函數；（1）又是正比例函數．
２．（1）v=2t，它是一次函數．
（2）當t=2．5時，v＝2×2．5=5 所以第2．5秒時小球速度為5米／秒．
３．函數解析式：y=50-5x 自變量取值范圍：0≤x≤10 y是x的一次函數． [活動一] 活動內容設計：
畫出函數y=-6x與y=-6x+5的圖象．并比較兩個函數圖象，探究它們的聯系及解釋原因．
活動設計意圖：
通過活動，加深對一次函數與正比例函數關系的理解，認清一次函數圖象特征與解析式聯系規律．
教師活動：
引導學生從圖象形狀，傾斜程度及與y軸交點坐標上比較兩個圖象，?從而認識兩個圖象的平移關系，進而了解解析式中k、b在圖象中的意義，體會數形結合在實際中的表現．
學生活動：
引導學生從圖象形狀，傾斜程度及與y軸交點坐標上比較兩個圖象，?從而認識兩個圖象的平移關系，進而了解解析式中k、b在圖象中的意義，體會數形結合在實際中的表現．
比較上面兩個函數的圖象的相同點與不同點。
結果：這兩個函數的圖象形狀都是______,并且傾斜程度_______.函數 y=-6x的圖
象經過原點,函數 y=-6x+5 的圖象與 y軸交于點_______,即它可以看作由直線y=-6x 向_平移__個單位長度而得到.比較兩個函數解析式,試解釋這是為什么.猜想：一次函數y=kx+b的圖象是什么形狀，它與直線y=kx有什么關系？
結論：一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線
y=kx平移b絕對值個單位長度而得到（當b＞0時，向上平移；當b＜ 0時，向下平移）。
畫出函數y=2x-1與y=-0.5x+1的圖象.過（0，-1）點與（1，1）點畫出直線y=2x-1．
過（0，1）點與（1，0．5）點畫出直線y=-0.5x+1． [活動二] 活動內容設計：
畫出函數y=x+
1、y=-x+
1、y=2x+
1、y=-2x+1的圖象．由它們聯想：一次函數解析式y=kx+b（k、b是常數，k≠0）中，k的正負對函數圖象有什么影響？
活動設計意圖：
通過活動，熟悉一次函數圖象畫法．經歷觀察發現圖象的規律，并根據它歸納總結出關于數值大小的性質．體會數形結合的探究方法在數學中的重要性，進 5
而認識理解一次函數圖象特征與解析式聯系．
目的：
引導學生從函數圖象特征入手，尋求變量數值變化規律與解析式中k?值的聯系．
結論：
圖象：
規律：
當k>0時，直線y=kx+b由左至右上升；當k<0時，直線y=kx+b由左至右下降．
性質：
當k>0時，y隨x增大而增大．
當k<0時，y隨x增大而減小．
Ⅲ．隨堂練習
１．直線y=2x-3與x軸交點坐標為_______，與y軸交點坐標為_________，?圖象經過第________象限，y隨x增大而_________．
２．分別說出滿足下列條件的一次函數的圖象過哪幾個象限？
（1）k>0 b>0（2）k>0 b<0 6
（3）k<0 b>0（4）k<0 b<0 解答：
１．（1．5，0）（0，-3）三、四、一 增大
２．（1）三、二、一（2）三、四、一
（3）二、一、四（4）二、三、四
小結
本節學習了一次函數的意義，知道了其解析式、圖象特征，并學會了簡單方法畫圖象，進而利用數形結合的探究方法尋求出一次函數圖象特征與解析式的聯系，這使我們對一次函數知識的理解和掌握更透徹，也體會到數學思想在數學研究中的重要性．
課后作業
習題11．2─3、4、8題． 課后反思：
19.2.2 一次函數
教學目標
（一）知識與技能
１．學會用待定系數法確定一次函數解析式． ２．具體感知數形結合思想在一次函數中的應用 教學重點 待定系數法確定一次函數解析式． 教學難點 靈活運用有關知識解決相關問題． 教學方法 歸納─總結 教具準備 多媒體演示．
教學過程
１．提出問題，創設情境
我們前面學習了有關一次函數的一些知識，掌握了其解析式的特點及圖象特征，并學會了已知解析式畫出其圖象的方法以及分析圖象特征與解析式之間的聯系規律．如果反過來，告訴我們有關一次函數圖象的某些特征，能否確定解析式呢？
這將是我們這節課要解決的主要問題，大家可有興趣？
Ⅱ．導入新課
有這樣一個問題，大家來分析思考，尋求解決的辦法． [活動] 活動設計內容：
已知一次函數圖象過點（3，5）與（-4，-9），求這個一次函數的解析式．
聯系以前所學知識，你能總結歸納出一次函數解析式與一次函數圖象之間的轉化規律嗎？
活動設計意圖：
通過活動掌握待定系數法在函數中的應用，進而經歷思考分析，歸納總結一次函數解析式與圖象之間轉化規律，增強數形結合思想在函數中重要性的理解．
教師活動：
引導學生分析思考解決由圖象到解析式轉化的方法過程，從而總結歸納兩者轉化的一般方法．
學生活動：
在教師指導下經過獨立思考，研究討論順利完成轉化過程．概括闡述一次函數解析式與圖象轉化的一般過程．
活動過程及結論：
分析：求一次函數解析式，關鍵是求出k、b值．因為圖象經過兩個點，所以這兩點坐標必適合解析式．由此可列出關于k、b的二元一次方程組，解之可得．
設這個一次函數解析式為y=kx+b．
因為y=k+b的圖象過點（3，5）與（-4，-9），所以錯誤!不能通過編輯域代碼創建對象。
解之，得錯誤!不能通過編輯域代碼創建對象。故這個一次函數解析式為y=2x-1。結論：
函數解析式 選取 滿足條件的兩定點 畫出 一次函數的圖象 y=kx+b 解出（x1，y1）與（x1，y2）選取 直線L
像這樣先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數法． 練習：
１．已知一次函數y=kx+2，當x=5時y的值為4，求k值． ２．已知直線y=kx+b經過點（9，0）和點（24，20），求k、b值．
3.生物學家研究表明,某種蛇的長度y(CM)是其尾長x(CM)的一次函數,當蛇的尾長為6CM時, 蛇的長為45.5CM;當蛇的尾長為14CM時, 蛇的長為105.5CM.當一條蛇的尾長為10 CM時,這條蛇的長度是多少? 4.教科書第35頁第6題.解答：
１．當x=5時y值為4．
即4=5k+2，∴k=錯誤!不能通過編輯域代碼創建對象。
２．由題意可知：錯誤!不能通過編輯域代碼創建對象。
解之得，錯誤!不能通過編輯域代碼創建對象。
作業: 教科書第35頁第5,7題.備選題: 1.已知一次函數y=3x-b的圖象經過點P(1,1),則該函數圖象必經過點()A.(-1,1)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)2.若一次函數y=2x+b的圖像與坐標軸圍成的三角形的面積是9，求 b的值． 3．點M（-2，k）在直線y=2x+1上，求點M到x軸的距離d為多少? 課后反思：
第三篇：一次函數教案
一、要點解讀
1,知識總攬
一次函數是函數大家族中的主要成員之一,是研究兩個變量和學習其它函數的基礎,它的表達式簡單,性質也不復雜,但在我們的日常生活中的應用卻十分廣泛,與其它函數的聯系也十分密切,許多實際問題只要我們注意細心觀察,認真分析,及時將問題轉化為一次函數模型,再得用一次函數的性質即可求解.2,疑點、易錯點
(1)若兩個變量x、y間的關系式可以表示成y=kx+b(k≠0),則稱y是x的一次函數.特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函數,就是說,正比例函數是一次函數的特例,而一次函數包含正比例函數,是正比例函數一定是一次函數,但一次函數不一定是正比例函數.如y=-x是正比例函數,也是一次函數,而y=-2x-3是一次函數,但并不是正比例函數.因此,同學們在復習時一定要注意正確理解正比例函數和一次函數的概念,注意掌握它們之間的區別和聯系.(2)一次函數的圖象是一條直線,它所經過的象限是由k與b決定的,所以在復習鞏固一次函數的性質時可以通過函數圖象來鞏固,從而可以避免因k與b的符號的干擾.如,在如圖中,表示一次函數y=mx+n與正比例函數y=mnx(m、n是常數且mn≠0)圖象是()對于兩不同函數圖象共存同一坐標系問題,常假設某一圖象正確而后根據字母系數所表示的實際意義來判定另一圖象是否正確來解決問題.例如,假設選項B中的直線y=mx+n正確則m<0,n>0,mn<0則正比例函數y=mnx則應過第二、四象限,而實際圖象則過第一、三象限,所以選項B錯誤.同理可得A正確.故應選A.(3)雖然一次函數的表達式簡單,性質也并不復雜,且一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線,它的位置由k、b的符號確定.但是,涉及實際問題的一次函數圖象與自變量的取值范圍,畫出來的圖象不一定是直線,可能是線段或其他圖形,這一點既是學習一次函數的疑點,也是難點,更是解題量的易錯點.如,拖拉機開始工作時,油箱中有油40L,如果每小時耗油5L,那么工作時,油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)的函數關系用圖象可表示為()依題意可以得到油箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)的函數關系為Q=40-5t,就這個一次函數的解析式而言,它的圖象是一條直線,所以不少同學就會選擇A,而事實上,自變量t有一個取值范圍,即0≤t≤8,所以正確的答案應該選擇C.二、思想方法
復習一次函數這一章的知識一定注意數學思想方法的鞏固.具體地說,一次函數的知識涉及常見的思想方法有:(1)函數思想
所謂的函數思想就是用一個表達式將兩個變量表示出來其兩個變量之間是一個對應的關系.確定兩個變量之間的關系和列一元一次方程解應用題基本相似,即弄清題意和題目中的數量關系,找到能夠表示應用題全部含義的一個相等的關系,根據這個相等的數量關系式,列出所需的代數式,從而列出兩個變量之間的關系式.例1 長方形的長是20,寬是x,周長是y.寫出x和y之間的關系式.簡析(1)由長方形的周長公式,得y=2(x+20)=2x+40;說明 在依據題意寫出兩個變量之間的關系式時,會經常用到以前學到的各種公式,所以對以前常用的公式我們要熟練掌握,分析每一個公式的結構特征,做到運用自如,方可避免常見錯誤.(2)數形結合思想
數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系,既分析其代數含義,又揭示其幾何意義,使問題的數量關系巧妙、和諧地結合起來,通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想.例2 某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀.如果游客過多,對館中的珍貴文物會產生不利影響.但同時考慮到文物的修繕和保存等費用問題,還要保證一定的門票收入.因此,博物館采取了漲浮門票價格的方法來控制參觀人數.在該方法實施過程中發現:每周參觀人數與票價之間存在著如圖2所示的一次函數關系.在這樣的情況下,如果確保每周4萬元的門票收入,那么每周應限定參觀人數是多少?門票價格應是多少元? 解 設每周參觀人數與票價之間的一次函數關系式為y=kx+b.由題意,得 解得
所以y=-500x+12 000.而根據題意,得xy=40 000,即x(-500x+12 000)=40 000,x2-24x+80=0, 所以方程變形為(x-12)2=64,兩邊開平方求得x1=20,x2=4.把x1=20,x2=4分別代入y=-500x+12 000中得y1=2 000,y2=10 000.因為控制參觀人數,所以取x=20,y=2 000.即每周應限制參觀人數是2 000人,門票價格應是20元.說明 本題中得到方程x2-24x+80=0,雖然沒有學過不會解,但通過適當變形還是可以求解的.(3)待定系數法
待定系數法是確定代數式中某項系數的數學方法.它是方程思想的具體運用.例3 為了學生的身體健康,學校課桌、凳的高度都是按一定的關系科學設計的.小明對學校所添置的一批課桌、凳進行觀察研究,發現它們可以根據人的身長調節高度.于是,他測量了一套課桌、凳上相對應的四檔高度,得到如下數據: 第一檔 第二檔 第三檔 第四檔
凳高x(cm)37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm)70.0 74.8 78.0 82.8(1)小明經過對數據探究,發現:桌高y是凳高x的一次函數,請你求出這個一次函數的關系式(不要求寫出x的取值范圍);(2)小明回家后,測量了家里的寫字臺和凳子,寫字臺的高度為77cm,凳子的高度為43.5cm,請你判斷它們是否配套,說明理由.解(1)設y=kx+b(k≠0),依題意得 解得
所以這個一次函數的關系式y=1.6x+10.8;(2)當小明家寫字臺的高度y=77cm時,由(1)中的一次函數的關系式y=1.6x+10.8得77=1.6x+10.8,解得x=41.375<凳子的高度43.5cm,所以小明家的寫字臺和凳子的高度是不配套的.說明 對于(2)中的問題也可以利用凳子的高度x,求出寫字臺的高度y,再與77cm比較.由此,用待定系數法求一次函數的解析式的方法可歸納為:“一設二列三解四還原”.就是說,一設:設出一次函數解析式的一般形式y=kx+b(k≠0);二列:根據已知兩點或已知圖象上的兩個點坐標列出關于k、b的二元一次方程組;三解:解這個方程組,求出k、b的值;四還原:將已求得
(4)方程思想
方程思想即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決.方程思想是最重要的一種數學思想,在數學解題中所占比重較大,綜合知識強、題型廣、應用技巧靈活.從例
1、例2和例3中,我們都可以看出用到了方程思想求解.三、考點解密
(所選例題均出自2006年全國部分省市中考試卷)考點1 確定自變量的取值范圍
確定函數解析式中的自變量的取值范圍,只需保證其函數有意義即可.例1(鹽城市)函數y= 中,自變量x的取值范圍是.分析 由于函數的表達式是分式型的,因此必需保證分母不等于0即可.解 要使函數y= 有意義,只需分母x-1≠0,即x≠1.說明 確定一個函數的自變量的取值范圍,對于函數是整式型的可以取任何數,若是分數型,只需使分母不為0,對于從實際問題中求出的解析式必須保證使實際問題有意義.考點2 函數圖象
把一個函數的自變量x與對應因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標,在直角坐標系內描出它的對應點,所有這些點組成的圖形叫做函數函數圖象.例2(泉州市)小明所在學校離家距離為2千米,某天他放學后騎自行車回家,行駛了5分鐘后,因故停留10分鐘,繼續騎了5分鐘到家.如圖1中,哪一個圖象能大致描述他回家過程中離家的距離s(千米)與所用時間t(分)之間的關系()分析 依據題意,并觀察分析每一個圖象的特點,即可作出判斷.解 依題意小明所在學校離家距離為2千米,先行駛了5分鐘后,因故停留10分鐘,繼續騎了5分鐘到家,即能大致描述他回家過程中離家的距離s(千米)與所用時間t(分)之間的關系只有D圖符合,故應選D.說明 求解時要充分發揮數形結合的作用,及時從圖象中捕捉求解有用的信息,并依據函數圖象的概念對圖象作出正確判斷.考點3 判斷圖象經過的象限
對于一次函數y=kx+b:①當k>0,b>0時,圖象在第一、二、三象限內;②當k>0,b<0時,圖象在第一、三、四象限內;③當k<0,b>0時,圖象在第一、二、四象限內;④當k<0,b<0時,圖象在第二、三、四象限內.特別地,b=0即正比例函數y=kx有:①當k>0時,圖象在第一、三象限內;②當k<0時,圖象在第二、四象限內.例3(十堰市)已知直線l經過第一、二、四象限,則其解析式可以為___(寫出一個即可).分析 由題意直線l經過第一、二、四象限,此時滿足條件的解析式有無數個.解 經過第一、二、四象限的直線有無數條,所以本題是一道開放型問題,答案不唯一.如:y=-x+2,y=-3x+1.等等.說明 處理這種開放型的問題,只要選擇一個方便而又簡單的答案即可.考點4 求一次函數的表達式,確定函數值
要確定一次函數的解析式,只需找到滿足k、b的兩個條件即可.一般地,根據條件列出關于k、b的二元一次方程組,解出k與b的值,從而就確定了一次函數的解析式.另外,對于實際問題可妨照列方程解應用題那樣,但應注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.例4(衡陽市)為了鼓勵市民節約用水,自來水公司特制定了新的用水收費標準,每月用水量,x(噸)與應付水費(元)的函數關系如圖2.(1)求出當月用水量不超過5噸時,y與x之間的函數關系式;(2)某居民某月用水量為8噸,求應付的水費是多少?
分析 觀察函數圖象我們可以發現是一條分段圖象,因此只要分0≤x≤5和x≥5求解.解(1)由圖象可知:當0≤x≤5時是一段正比例函數,設y=kx,由x=5時,y=5,得5=5k,即k=1.所以0≤x≤5時,y=x.(2)當x≥5時可以看成是一條直線,設y=k1x+ b由圖象可知 解得 所以當x≥5時,y=1.5x-2.5;當x=8時,y=1.5×8-2.5=9.5(元).說明 確定正比例函數的表達式需要一個獨立的條件;確定一次函數的表達式需要兩個獨立的條件.對于在某個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定一個x值,相應地就確定了一個y值.在處理本題的問題時,只需利用待定系數法,構造出相應的二元一次方程組求解.另外,在處理這類問題時,一定要從圖形中獲取信息,并把所得到的信息進行聯系處理.考點5 比較大小 利用一次函數的性質可以比較函數值的大小,具體地應由k的符號決定.例5(青島市)點P1(x1,y1),點P2(x2,y2)是一次函數y=-4x+3 圖象上的兩個點,且 x1
對于一次函數y=kx+b與坐標軸的兩個交點坐標分別是(0,b)和(-,0),由此與坐標軸圍成的三角形的面積為 =.例6(日照市)已知直線y=mx-1上有一點B(1,n),它到原點的距離是 ,則此直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為()A.B.或 C.或 D.或
分析 若能利用直線y=mx-1上有一點B(1,n),它到原點的距離是 求出n,則可以進一步求出了m,從而可以求出直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.解 因為點B(1,n)到原點的距離是 ,所以有12+ n2=10,即n=±3,則點B的坐標為(1,3)或(1,-3).分別代入y=mx-1,得m=4,或m=-2.所以直線的表達式為y=4x-1或y=-2x-1,即易求得直線與坐標軸圍成的三角形的面積為 或.故應選C.說明 要求直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積,只要能求出直線與坐標軸的交點坐標即可,這里的分類討論是正確求解的關鍵.考點7 利用一次函數解決實際問題
利用一次函數解決實際問題可妨照列方程解應用題那樣,但應注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.例7(長沙市)我市某鄉A、B兩村盛產柑桔,A村有柑桔200噸,B村有柑桔300噸.現將這些柑桔運到C、D兩個冷藏倉庫,已知C倉庫可儲存240噸,D倉庫可儲存260噸;從A村運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元,從B村運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,A,B兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用分別為yA元和yB元.(1)請填寫下表,并求出yA、yB與x之間的函數關系式;C D 總計
A x噸 200噸
B 300噸
總計 240噸 260噸 500噸
(2)試討論A,B兩村中,哪個村的運費較少;(3)考慮到B村的經濟承受能力,B村的柑桔運費不得超過4830元.在這種情況下,請問怎樣調運,才能使兩村運費之和最小?求出這個最小值.分析 依題意可以知道從A村運往C倉庫的柑桔重量、從A村運往D倉庫的柑桔重量、從B村運往C倉庫的柑桔重量和從B村運往D倉庫的柑桔重量,這樣就可以求得yA、yB與x之間的函數關系式,進而利用不等式和一次函數的性質求解.解(1)依題意,從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸,則從A村運往D倉庫的柑桔重量應為(200-x)噸,同樣從B村運往C倉庫的柑桔重量為(240-x)噸,從B村運往D倉庫的柑桔重量應為(300-240+x)噸,即(60+x)噸.所以表中C欄中填上(240-x)噸,D欄中人上到下依次填(200-x)噸、(60+x)噸.從而可以分別求得yA=-5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).(2)當yA=yB時,-5x+5000=3x+4680,即x=40;當yA>yB時,-5x+5000>3x+4680,即x<40;當yA 1,(衡陽市)函數y= 中自變量劣的取值范圍是___.2,(攀枝花市)如圖,直線y=-x+4與y軸交于點A,與直線y= x+ 交于點B,且直線y= x+ 與x軸交于點C,則△ABC的面積為___.3,(海淀區)打開某洗衣機開關,在洗滌衣服時(洗衣機內無水),洗衣機經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續過程,其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y(升)與時間x(分鐘)之間滿足某種函數關系,其函數圖象大致為()4,(江西省)如圖,已知直線l1經過點A(-1,0)與點B(2,3),另一條直線l2經過點B,且與x軸交于點P(m,0).(1)求直線l1的解析式;(2)若△APB的面積為3,求m的值.5,(南安市)近兩年某地外向型經濟發展迅速,一些著名跨國公司紛紛落戶該地新區,對各類人才需求不斷增加,現一公司面向社會招聘人員,其信息如下: [信息一]招聘對象:機械制造類和規劃設計類人員共150名.[信息二]工資待遇:機械類人員工資為600元/月,規劃設計類人員為1000元/月.設該公司招聘機械制造類和規劃設計類人員分別為x人、y人.(1)用含x的代數式表示y;(2)若公司每月付給所招聘人員的工資為p元,要使本次招聘規劃設計人員不少于機械制造人員的2倍,求p的取值范圍.參考答案: 1,≥1;2,4;3,D; 4,(1)設直線l1的解析式為 y=kx + b,由題意,得 解得 所以,直線l1的解析式為 y=x +1.(2)當點P在點A的右側時,AP=m-(-1)=m +1,有.解得 m=1,此時,點P的坐標為(1,0);當點P在點A的左側時,AP=-1-m,有.解得 m =-3,此時,點P的坐標為(-3,0).綜上所述,m的值為1或-3;5,(1)y=150-x.(2)根據題意,得:y≥2x,所以150-x≥2x,解得:x≤50,又x≥0,150-x≥0,即0≤x≤50,所以p=600x+1000(150-x)=-400x+150000;又因為p隨x的增大而減小,并且0≤x≤50,所 以 -400×50+150000≤p≤-400×0+150000,即130000≤p≤150000 一次函數（1） 知識技能目標 1.理解一次函數和正比例函數的概念； 2.根據實際問題列出簡單的一次函數的表達式． 過程性目標 1.經歷由實際問題引出一次函數解析式的過程，體會數學與現實生活的聯系； 2.探求一次函數解析式的求法,發展學生的數學應用能力． 教學過程 一、創設情境 問題1 小明暑假第一次去北京．汽車駛上A地的高速公路后,小明觀察里程碑,發現汽車的平均車速是95千米/小時．已知A地直達北京的高速公路全程為570千米，小明想知道汽車從A地駛出后,距北京的路程和汽車在高速公路上行駛的時間有什么關系,以便根據時間估計自己和北京的距離． 分析 我們知道汽車距北京的路程隨著行車時間而變化,要想找出這兩個變化著的量的關系,并據此得出相應的值,顯然,應該探求這兩個變量的變化規律．為此,我們設汽車在高速公路上行駛時間為t小時,汽車距北京的路程為s千米,根據題意,s和t的函數關系式是 s＝570－95t． 說明 找出問題中的變量并用字母表示是探求函數關系的第一步,這里的s、t是兩個變量，s是t的函數，t是自變量，s是因變量． 問題2 小張準備將平時的零用錢節約一些儲存起來．他已存有50元,從現在起每個月節存12元．試寫出小張的存款與從現在開始的月份之間的函數關系式． 分析 我們設從現在開始的月份數為x,小張的存款數為y元,得到所求的函數關系式為：y＝50＋12x． 問題3 以上問題1和問題2表示的這兩個函數有什么共同點? 二、探究歸納 上述兩個問題中的函數解析式都是用自變量的一次整式表示的．函數的解析式都是用自變量的一次整式表示的，我們稱它們為一次函數(linear function)．一次函數通常可以表示為y＝kx＋b的形式，其中k、b是常數，k≠0． 特別地，當b＝0時，一次函數y＝kx（常數k≠0）出叫正比例函數(direct proportional function)．正比例函數也是一次函數，它是一次函數的特例． 三、實踐應用 例1 下列函數關系中，哪些屬于一次函數，其中哪些又屬于正比例函數？(1)面積為10cm2的三角形的底a(cm)與這邊上的高h(cm)；(2)長為8(cm)的平行四邊形的周長L(cm)與寬b(cm)； (3)食堂原有煤120噸，每天要用去5噸，x天后還剩下煤y噸；(4)汽車每小時行40千米，行駛的路程s（千米）和時間t（小時）． 分析 確定函數是否為一次函數或正比例函數，就是看它們的解析式經過整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)形式，所以此題必須先寫出函數解析式后解答． 20解(1)a?，不是一次函數． h(2)L＝2b＋16，L是b的一次函數．(3)y＝150－5x，y是x的一次函數． (4)s＝40t,s既是t的一次函數又是正比例函數． 例2 已知函數y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函數，求k的值．若它是一次函數，求k的值． 分析 根據一次函數和正比例函數的定義,易求得k的值． 1解 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函數,則2k＋1＝0,即k＝?． 2若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函數,則k－2≠0,即k≠2． 例3 已知y與x－3成正比例，當x＝4時，y＝3．(1)寫出y與x之間的函數關系式；(2)y與x之間是什么函數關系；(3)求x＝2.5時，y的值． 解(1)因為 y與x－3成正比例,所以y＝k(x－3)． 又因為x＝4時，y＝3，所以3＝ k(4－3)，解得k＝3，所以y＝3(x－3)＝3x－9．(2)y是x的一次函數． (3)當x＝2.5時，y＝3×2.5＝7.5． 例4 若直線y＝-kx＋b與直線y＝-x平行，且與y軸交點的縱坐標為-2；求直線的表達式.分析 直線y＝-kx＋b與直線y＝-x平行，可求出k的值,與y軸交點的縱坐標為-2,可求出b的值.解 因為直線y＝-kx＋b與直線y＝-x平行，所以k＝-1,又因為直線與y軸交點的縱坐標為-2,所以b＝-2,因此所求的直線的表達式為y＝-x-2.3例5求函數y?x?3與x軸、y軸的交點坐標，并求這條直線與兩坐標軸圍成2的三角形的面積.3分析 求直線y?x?3與x軸、y軸的交點坐標，根據x軸、y軸上點的縱坐標2和橫坐標分別為0，可求出相應的橫坐標和縱坐標；結合圖象，易知直線3y?x?3與x軸、y軸圍成的三角形是直角三角形，兩條直角邊就是直線23y?x?3與x軸、y軸的交點與原點的距離.2 解 當y＝0時，x＝2，所以直線與x軸的交點坐標是A(2,0)；當x＝0時，y＝-3,所以直線與y軸的交點坐標是B(0，-3).11S?OAB?OA?OB??2?3?3.22 例6 畫出第一節課中問題(1)中小明距北京的路程s（千米）與在高速公路上行駛的時間t（時）之間函數s＝570-95t的圖象.分析 這是一題與實際生活相關的函數應用題，函數關系式s＝570-95t中，自變量t是小明在高速公路上行駛的時間，所以0≤t≤6,畫出的圖象是直線的一部分.再者，本題中t和s取值懸殊很大，故橫軸和縱軸所選取的單位長不一致.討論 1.上述函數是否是一次函數？這個函數的圖象是什么？ 2.在實際問題中，一次函數的圖象除了直線和本題的圖形外，還有沒有其他的情形？你能不能找出幾個例子加以說明.例7 旅客乘車按規定可以免費攜帶一定重量的行李．如果所帶行李超過了規定的重量，就要按超重的千克收取超重行李費．已知旅客所付行李費y（元）可以 1看成他們攜帶的行李質量x（千克）的一次函數為y?x?5．畫出這個函數的6圖象，并求旅客最多可以免費攜帶多少千克的行李？ 分析 求旅客最多可以免費攜帶多少千克的行李數，即行李費為0元時的行李數．為此只需求一次函數與x軸的交點橫坐標的值．即當y＝0時，x＝30．由此可知這個函數的自變量的取值范圍是x≥30． 解 函數y?1x?5(x≥30)圖象為： 6 當y＝0時，x＝30.所以旅客最多可以免費攜帶30千克的行李.例8 今年入夏以來，全國大部分地區發生嚴重干旱．某市自來水公司為了鼓勵市民節約用水，采取分段收費標準，若某戶居民每月應交水費y（元）是用水量x（噸）的函數，當0≤x≤5時，y＝0.72x,當x＞5時，y＝0.9x-0.9．(1)畫出函數的圖象； (2)觀察圖象，利用函數解析式，回答自來水公司采取的收費標準.分析 畫函數圖象時，應就自變量0≤x≤5和x＞5分別畫出圖象，當0≤x≤5時，是正比例函數，當x＞5是一次函數，所以這個函數的圖象是一條折線.解(1)函數的圖象是： (2)自來水公司的收費標準是：當用水量在5噸以內時，每噸0.72元；當用水量在5噸以上時，每噸0.90元.四、交流反思 b1.一次函數y＝kx＋b,當x＝0時，y＝b；當y＝0時，x??.所以直線y＝kx＋ k?b?b與y軸的交點坐標是(0,b),與x軸的交點坐標是??,0?； ?k?2.在畫實際問題中的一次函數圖象時，要考慮自變量的取值范圍，畫出的圖象往往不再是一條直線. 教案示例 6.2一次函數 一、教學目標 1、理解一次函數和正比例函數的概念，以及它們之間的關系。 2、能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式。 二、能力目標 1、經歷一般規律的探索過程、發展學生的抽象思維能力。 2、通過由已知信息寫一次函數表達式的過程，發展學生的數學應用能力。 三、情感目標 1、通過函數與變量之間的關系的聯系，一次函數與一次方程的聯系，發展學生的數學思維。 2、經歷利用一次函數解決實際問題的過程，發展學生的數學應用能力。 四、教學重難點 1、一次函數、正比例函數的概念及關系。 2、會根據已知信息寫出一次函數的表達式。 五、教學過程 1、新課導入 有關函數問題在我們日常生活中隨處可見，如彈簧秤有自然長度，在彈性限度內，隨著所掛物體的重量的增加，彈簧的長度相應的會拉長，那么所掛物體的重量與彈簧的長度之間就存在某種關系，究竟是什么樣的關系，請看： 某彈簧的自然長度為 3厘米，在彈性限度內，所掛物體的質量x每增加 1千克、彈簧長度y增加 0.5厘米。 （1）計算所掛物體的質量分別為 1千克、2千克、3千克、4千克、5千克時彈簧的長度，并填入下表： （2）你能寫出x與y之間的關系式嗎？ 分析：當不掛物體時，彈簧長度為 3厘米，當掛 1千克物體時，增加 0.5厘米，總長度為 3.5厘米，當增加 1千克物體，即所掛物體為 2千克時，彈簧又增加 0.5厘米，總共增加 1厘米，由此可見，所掛物體每增加 1千克，彈簧就伸長 0.5厘米，所掛物體為x千克，彈簧就伸長0.5x厘米，則彈簧總長為原長加伸長的長度，即y=3+0.5x。 2、做一做 某輛汽車油箱中原有汽油 100升，汽車每行駛 50千克耗油 9升。 （1）完成下表： 你能寫出x與y之間的關系嗎？（y=100?0.18x或y=100?x） 接著看下面這些函數，你能說出這些函數有什么共同的特點嗎？ 上面的幾個函數關系式，都是左邊是因變量，右邊是含自變量的代數式，并且自變量和因變量的指數都是一次。 3、一次函數，正比例函數的概念 若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數。 4、例題講解 5、課堂練習 補充練習。。。 六、課后小節 1、一次函數、正比例函數的概念及關系。 2、能根據已知簡單信息，寫出一次函數的表達式。第四篇：一次函數教案
第五篇：一次函數教案
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