第一篇：八年級數學教學設計：提公因式法3

八年級數學教學設計：提公因式法3

教學設計

提公因式法(一)

教學目標

1.使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區別和聯系.2.使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.3.通過學生自行探求解題途徑，培養學生觀察、分析和創新能力，深化學生逆向思維能力.教學重點及難點

教學重點：

因式分解的概念及提公因式法.教學難點：

正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區別和聯系.教學過程設計：

一、復習提問

乘法對加法的分配律.二、新課

1.新課引入：用類比的方法引入課題.在學習分數時，我們常常要進行約分與通分，因此常常要把一個數分解因數(即分解約數).例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7.在第七章我們學習了整式的乘法，幾個整式相乘可以化成一個多項式，那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢?這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法.2.因式分解的概念：

請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子，并計算出其結果.(老師按學生所說在黑板寫出幾個.)

如：m(a+b+c)=ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

(x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.再請學生觀察它們有什么共同的特點?

特點：左邊，整式×整式;右邊，是多項式.可見，整式乘以整式結果是多項式，而多項式也可以變形為相應的整式與整式的乘積，我們就把這種多項式的變形叫做因式分解.定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.如：因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c).整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc.讓學生說出因式分解與整式乘法的聯系與區別.聯系：同樣是由幾個相同的整式組成的等式.區別：這幾個相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解;下式是整式乘法.兩者是方向相反的恒等變形，二者是一個式子的不同表現形式，一個是多項式的表現形式，一個是兩個或幾個因式積的表現形式.例1 下列各式從左到右哪些是因式分解?(投影)

(1)x2-x=x(x-1)(√)

(2)a(a-b)=a2-ab(×)

(3)(a+3)(a-3)=a2-9(×)

(4)a2-2a+1=a(a-2)+1(×)

(5)x2-4x+4=(x-2)2(√)

下面我們學習幾種常見的因式分解方法.3.提公因式法：

我們看多項式：ma+mb+mc

請學生指出它的特點：各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式.注意：公因式是各項都含有的公共的因式.又如：a是多項式a2-a各項的公因式.ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式.2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式.根據乘法的分配律，可得

m(a+b+c)=ma+mb+mc，逆變形，便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式

ma+mb+mc=m(a+b+c).這說明，多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面，將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式.讓學生觀察上面的公因式的特點，找出確定公因式的萬法：(1)公因式的系數應取各項系數的最大公約數：(2)字母取各項的相同字母，而且各字母的指數取次數例2 指出下列各多項式中各項的公因式：

(1)ax+ay+a(a)

(2)3mx-6mx2(3mx)

(3)4a2+10ah(2a)

(4)x2y+xy2(xy)

(5)12xyz-9x2y2(3xy)

例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.分析：分兩步：第一步，找出公因式;第二步，提公因式.先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2.解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).說明：

(1)應特別強調確定公因式的兩個條件以免漏取.(2)開始講提公因式法時，最好把公因式單獨寫出.①以顯提醒;③強調提公因式;③強調因式分解.例4 把3x2-6xy+x 分解因式.分析：先引導學生找出公因式x，強調多項式中x=x·1.解：3x2-6xy+x

=x·3x-x·6y+x·=x(3x-6y+1).說明：當多項式的某一項恰好是公因式時，這項應看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應是1，1作為項的系數通常可以省略，但如果單獨成一項時，它在因式分解時不能漏掉，這類題常常有些學生犯下面的錯誤，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因.還應提醒學生注意：提公因式后的因式的項數應與原多項式的項數一樣，這樣可以檢查是否漏項.課堂練習：(投影)

把下列各式分解因式：

(l)2πR+2πr;

(3)3x3+6x2;

(4)21a2+7a;

(5)15a2+25ab2;

(6)x2y+xy2-xy.例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.分析：此多項式第一項的系數是負數，與前面兩例不同，應先把它轉化為前面的情形便可以因式分解了，所以應先提負號轉化，然后再提公因式，提“-”號時，注意添括號法則.解：-4m3+16m2-26m =-(4m3-16m2+26m)

=-2m(2m2-8m+13).說明：通過此例可以看出應用提公因式法分解因式時，應先觀察第一項系數的正負，負號時，運用添括號法則提出負號，此時一定要把每一項都變號;然后再提公因式.課堂練習：(投影)

把下列各式分解因式：

(1)-15ax-20a;

(2)-25x8+125x16;

(3)-a3b2+a2b3;

(4)-x3y3-x2y2-xy;

(5)-3ma3+6ma2-12ma;

(三)小結

1.因式分解的意義及其概念.2.因式分解與整式乘法的聯系與區別.3.公因式及提公因式法.4.提公因式法因式分解中應注意的問題.六、作業

教材 P.10中

1、七、板書設計2、3、4.

第二篇：八年級數學下冊《提公因式法》教學設計

一、教材分析

本節是因式分解的第2小節，占兩個課時，這是第一課時，它主要讓學生經歷從乘法的分配律的逆運算到提取公因式的過程，讓學生體會數學的主要思想——類比思想，運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握．如學生在接受提取公因式法時，由整式的乘法的逆運算到提取公因式的概念，由提取的公因式是單項式到提取的公因式是多項式時的分解方法，都是利用了類比的數學思想，從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然，容易理解，讓學生進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系．

二、學生知識狀況分析

學生的技能基礎：在上一節課的基礎上，學生基本上了解了分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系，能通過觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數分解之間的關系，這為今天的深入學習提供了必要的基礎．

學生活動經驗基礎：學生有了上一節課的活動基礎，由于本節課采用的活動方法與上節課很相似，依然是觀察、對比等，學生對于這些活動方法較熟悉，有較好的活動經驗．

三、教學目標

知識與技能

1、經歷探索多項式各項公因式的過程，并在具體問題中能確定多項式的公因式。

2、會用提公因式法把多項式分解因式。

3、培養學生解決問題的能力。

過程與方法

在探索過程中培養學生解決問題的主動性，加強學生的直覺思維并滲透化歸的思想。

情感、態度與價值觀

在數學活動中培養學生的合作意識和創新精神，體會數學知識間的整體聯系。

教學重點：會用提公因式法分解因式。

教學難點：正確找出多項式中各項的公因式，并注意各項變形的符號問題。

四、教學過程設計

（一）溫故知新

活動內容：計算： 采用什么方法？依據是什么？

活動目的：旨在讓學生通過乘法分配律的逆運算這一特殊算法，使學生通過類比的思想自然地過渡到理解提公因式法的概念上，從而為提公因式法的掌握埋下伏筆。

（二）想一想

活動內容：

多項式 ab+ac中，各項有相同的因式嗎？多項式 3x2+x呢？多項式mb2+nb–b呢？

結論：多項式中各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式．

活動目的：在學生能順利地尋找數的公因數之后，再引導學生采用類比的方法在多項式中尋找相同的因式．

（三）議一議

活動內容：

多項式2x2+6x3中各項的公因式是什么？那多項式2x2y+6x3y2中各項的公因式是什么？

結論：（1）各項系數是整數，系數的最大公約數是公因式的系數；

（2）各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分；

（3）公因式的系數與公因式字母部分的積是這個多項式的公因式．

活動目的：公因式由簡單到復雜，由于第一個多項式提供的比較簡單，尋找的公因式不具備歸納的條件，而后面所提供的尋找多項式2x2y+6x3y2中各項的公因式只是多了含字母y的'因式，對比前一個公因式，通過尋找多項式2x2y+6x3y2中各項的公因式，可順利的歸納出確定多項式各項公因式的方法，培養學生的初步歸納能力

具備了歸納出怎樣尋找多項式各項公因式的條件，培養學生的初步歸納能力．

（四）試一試

活動內容：

將以下多項式寫成幾個因式的乘積的形式：

（1）ab+ac（2）x2+4x（3）mb2+nb–b

如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

活動目的：

讓學生嘗試著使用因式分解的意義以及提公因式法的定義進行幾個簡單的多項式的分解，為過渡到較為復雜的多項式的分解提供必要的準備．

（五）做一做

活動內容：將下列多項式進行分解因式：

（1）3x+（2）7x –21（3）8a3b2–12ab3c+ab（4）–24x3+12x2－28x

先讓學生思考這些問題，然后教師在教學中注意講清確定公因式的具體步驟，從系數、字母和字母的次數3個方面進行分析；講完后要分析公因式和另一個因式之間的關系，并思考：如果提出公因式，另一個因式是否還有公因式？從而把提取公因式的“提”的具體含意深刻化。

最后學生歸納：提取公因式的步驟：

（1）找公因式；（2）提公因式．

易出現的問題：（1）第二題只提出7x作為公因式

（2）第（3）題中的最后一項提出ab后，漏掉了“+1”；

（3）第（4）題提出“–”時，后面的因式不是每一項都變號．

教師提醒：（1）各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分；

（2）因式分解后括號內的多項式的項數與原多項式的項數是否相同；

（3）如果多項式的首項為“–”時，則先提取“–”號，然后提取其它公因式；

（4）將分解因式后的式子再進行單項式與多項式相乘，其積是否與原式相等．

活動目的：根據用提公因式法進行因式分解時出現的問題，在教師的啟發與指導下，學生自己歸納出提公因式的步驟及怎樣預防提取公因式時出現類似問題，為提取公因式積累經驗．

（六）想一想：提公因式法因式分解與單項式乘多項式有什么關系？

活動目的：通過學生的回顧與思考，強化學生對確定公因式的方法及提公因式法的步驟的理解，進一步清楚地了解提公因式法與單項式乘多項式的互逆關系，加深對類比的數學思想的理解。

（七）反饋練習

活動內容： 1、找出下列各多項式的公因式：

（1）4x+8y（2）am+an（3）48mn–24m2n3（4）a2b–2ab2+ab

2.把下列各式因式分解：（隨堂練習）

活動目的：通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法與步驟是否掌握，以便教師能及時地進行查缺補漏．通過查缺補漏強化學生確定公因式的方法及提公因式法的步驟，能熟練地利用提公因式法分解因式。

五、教學反思

由于因式分解的主要目的是對多項式進行恒等變形，它的作用更多的是應用于多項式的計算和化簡，比如在以后將要學習的分式運算、解分式方程、二次根式化簡等中都要用到因式分解的知識。因此應該注重因式分解的概念和方法的教學。

本節運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握．如學生在接受提取公因式法時，由提公因數到找公因式，由整式的乘法的逆運算到提取公因式的概念，都是利用了類比的數學思想，從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然，容易理解。

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第三篇：提公因式法教學設計

提公因式法教學設計

一、教材分析

本節課選自義務教育課程標準實驗教科書八年級上冊第十五單元第四節因式分解的提公因式法。內容包括因式分解的有關概念，整式乘法與因式分解的區別與聯系，因式分解的最基本方法——提公因式法。本節學習的因式分解知識是多項式因式分解中一部分最基本的知識和最基礎的方法，受認知水平和思維水平的限制，仍會有較多的學生不適應，掌握不好，教材充分考慮了這一點，內容梯度小，知識點少且淺，利于學生的學習。

二、學生分析

八年級的學生基礎差別很大，學生對新知識的接受能力也有很大差別，選取教法充分考慮了學生的實際情況，照顧大多數，精講多練，多指導。

三、教學目標

1、使學生了解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法的關系。

2、了解公因式概念和提公因式法的方法。

3、會用提公因式法分解因式。

4、在探索提公因式法的過程中學會逆向思維，滲透化歸的思想方法。

四、重點難點 重點：會用提公因式法分解因式。

難點：如何確定公因式以及提出公因式后的另外一個公因式。

五、教學過程

1、創設情境，探究新知

設計說明：從尋求簡便算法入手的三個題目學生容易接受，由此提出因式分解的概念，一方面突出了多項式因式分解本質特征是一種式的恒等變形，另一方面也說明了它可以與因式分解進行類比，從兒對因式分解的概念和方法有一個整體的認識，也滲透著數學中的類比思想。問題一：請同學們完成下列計算，看誰算得又快又準：（1）20×（-3）2+60×（-3）（2）1012-992

（3）572+2×57×43+432

學生在運算交流中積累解題經驗，復習乘法公式。

解：（1）20×（-3）2+60×（-3）=20×9+60×（-3）=180-180=0 或20×（-3）2+60×（-3）=20×（-3）2+20×3×（-3）=20×（-3）（-3+3）=-60×0=0

（2）1012-992=（101+99）（101-99）=200×2=400

（3）572+2×57×43+43 =（57+43）2=1002=10000 在上述運算中，大家或將數字分解成兩個數的乘積，或者逆用乘法公式式運算變得簡單易行，類似地，在試的變形中，有時也需要將多項式寫成幾個整式的乘積形式，這就是我們從今天開始要探究的內容——因式分解。問題二：將下列多項式寫成整式的乘積的形式。（1）x2+x=﹍﹍;（2）x2-1=﹍﹍;（3）am+bm+cm=﹍﹍.根據整式乘法和逆向思維原理，可以做如下計算：（1）x2+x=x（x+1）（2）x2-1=（x-1）（x+1）

2（3）am+bm+cm=m(a+b+c)待學生回答后，教師歸納整理并板書：

像這種把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

可以看出，因式分解與整式乘法是相反方向的變形，所以需要逆向思維。辨一辨：下列變形是否是因式分解？為什么？（1）3x2y-xy+y=y(3x2-x);（2）x2-2x+3=(x-1)2+2;（3）x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);（4）xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.解：（1）不是因式分解，可以用整式乘法檢驗其真偽。（2）不是因式分解，不滿足因式分解的含義。

（3）不是因式分解，因為因式分解是恒等變形而本式不恒等。（4）不是因式分解，是整式乘法。

問題三：再觀察上面問題二中的第一題和第三題，你能和發現什么特點？ 學生可能的回答有： 發現（1）中各項都有一個公共的因式x（2）中各項都有一個公共的因式m。

教師講解，因為am+bm+cm=m(a+b+c)，于是就把am+bm+cm分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m，另一個因式是(a+b+c)是am+bm+cm除以m所得的商，像這種因式分解的方法叫提公因式法。顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確的尋找公因式，讓學生觀察上面公因式的特點，找出確定公因式的方法：（1）公因數的系數應取各項系數的最大公約數；（2）字母取各項的相同字母，而且各字母的指數取次數最低的。

例：指出下列各多項式中各項的公因式。（1）ax+ay+a(a)（2）3mx-6mx2(3mx)（3）4a2+10ah(2a)（4）x2y+xy2(xy)（5）12xyz-9x2y2(3xy)教學說明：理解清楚因式分解的概念和公因式的概念是教學繼續進行的關鍵，而所誒的因式分解就是把多項式化為積的形式，分清它與整式乘法的關系對因式分解的概念的建立很有必要，而在學生中間開展辨析、討論時一種有效地方法。

2、例題教學，運用新知

設計說明：此環節要使學生進一步認識到多項式可以有不同形式的表示，例題講解的重點一是公因式的概念，如何去找公因式，二是公因式提出后，另一個因式是如何來確定的。例：將下列多項式分解因式。

(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)3x2-6xy+x;(4)-4a3+16a2-18a;(5)6(x-a)+x(2-x).讓學生利用提公因式法的定義嘗試獨立完成，然后與同伴交流解題心得，教師深入到學生中去發現問題，并對有困難的學生進行適時的引導和啟發，最后師生共同評析、總結。

(1)分析：先找出8a3b2和12ab3c的公因式，再提出公因式，我們看到這兩項的系數8與12，它們的最大公約數是4兩項的字母部分都含有a和b，其中a的最低次數是1，b的最低次數是2，我們選定4ab為公因式，提出公因式后，另一個因式2a2+3bc就不再有公因式了。解：8a3b2+12ab3c=4ab2c2a2+4ab2·3bc=4ab2·（2a2+3bc）

2點評：提出公因式后，要滿足另一個因式不再有公因式才行，可以概括為一句話：括號里面分到“底”，這里的“底”世道不能再分解為止。(2)分析：(b+c)是這兩個式子的公因式，可以直接提出，這就是說，公因式可以是單項式也可以是多項式是多項式適應直接考慮直接提出。解：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)(3)解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x(3x-6y+1)點評：x(3x-6y+1)= 3x2-6xy+x，而x(3x-6y)=3x2-6xy 所以原多項式因式分解為x(3x-6y+1)而不是x(3x-6y)，這就是說1作為項的系數通常可以省略，但如果單獨成一項是，他在因式分解時不能漏掉，可以概括為：某項提出莫漏1。

(4)解：-4a3+16a2-18a=-（4a3-16a2+18a）=-2a(2a2-8a+9).點評：如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”，是括號內第一項的系數是正的。再提出“-”時，多項式的各項都要變號，可以概括為一句話：首項有負先提負。

(5)分析：先找6(x-a)和的公因式x(2-x)，再提取公因式，因為2-x=-(2+x)，所以（x-2）即公因式。

解：6(x-a)+x(2-x)= 6(x-a)-x(x-2)=(x-2)(6-x)。點評：有時多項式的各項從表面上看沒有公因式，但將其中一些項變形后，便可以發現公因式，然后在提取公因式。

教學說明：例題是確定公因式和如何提公因式分解因式方法的具體化，根據學生的心理和發展水平，此處學生自己處理會問題較多，所以教師要細致的講解，要讓學生清楚的知道具體的方法和步驟，討論清楚各種類型多項式提供因式時處理的方法，是本節課的核心和關鍵。

3、隨堂練習

設計說明：針對本節課的重點，有目的的設計了幾組練習，以達到深化理解所學內容，形成因式分解解題技能的目的，同時充分讓學生暴露問題，一邊查缺補漏。

A、用提公因式法將下列各式因式分解。(1)-x3z+x4y;(2)3x(a-b)+2y(b-a).分析：(1)題直接分解因式即可，(2)題首先要適當的變形，把b-a化成-（a-b），然后再提供因式。B、把下列各式分解因式。

(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b);(2)4p(1-q)3+2(q-1)2 C、課本練習第1、2、3題。教學說明：在學生練習之后的交流中，教師要注意傾聽學生的發言，出現的問題提出來交由學生評判，最后作出匯總。云用提公因式法分解因式時，可能的問題有：

（1）因式分解的結果每個括號內如有同類項要合并，而且每個括號內不能再分解。

（2）如果出現象1（1）小題需要調整時，首先要調整，這是注意到(a-b)

n =(b-a)n(n為偶數)。

（3）因式分解如果最后有同底數冪，要寫成冪的形式。

4、小節反思，布置作業

設計說明：每節課后設計小結環節，目的是使學生養成反思的習慣，為掌握知識、提高能力服務。

問題：用提供因式法分解因式要注意哪些問題呢？

在學生暢所欲言的基礎上，教師做出總結，可以用四句順口溜來表達： 各項有公先提公，首項有負常提負，某項提出莫漏1，括號里面分到底。作業：習題15.4第6題。

六、教學反思

1、本節課是因式分解的第一節課，主要是建立因式分解的概念和用提公因式法進行因式分解。由于因式分解的主要目的是對多項式進行恒等變形，它的作用更多的是應用于多項式的計算和化簡，是數學中對式的基本計算內容之一，也由于因式分解的能力在具體應用中會得到不斷的提高，所以現在對因式分解題目的難度不宜過高。

2、因式分解的結果和目的類似于數的分解，所以本課開始時從“尋求數式的簡便算法”進行引入，從知識的遷移角度來講比較自然，學生也容易接受，對因式分解概念的建立很有好處，使學生認識到對多項式進行變形會對運算帶來簡便，從而增加對因式分解重要性的認識。

3、本課在提公因式法因式分解的教學中，要讓學生理解好公式的概念，這樣有利于公因式的確定，對準確迅速的分解因式很有好處：對公因式的理解要到位要全面，這里滲透整體思想，能把一個大的東西，繁的東西，難的東西，看成一個小的簡單的容易的東西，是一種重要的能力和素質，所以在公因式教學中應有這樣的概念。

4、對于有關概念的建立和提公因式法的研究，要盡可能的讓學生進行討論和辨析。

第四篇：八年級數學提公因式法(一)教學設計（共）

八年級數學提公因式法(一)教學設計

教材分析

本章教材是緊接整式的乘除之后安排的，主要內容是因式分解的意義和因式分解的方法。因式分解是整式中比較重要的恒等變形。在整式的乘法中是把兩個或幾個因式根據乘法法則展開為一個多項式，而因式分解則是把一個多項式分解為兩個或幾個因式的積的形式，所以說因式分解與整式的乘法也是互逆關系。本章內容既可復習、鞏固整式乘法知識，同時也為下一章分式中約分、通分作好準備，而因式分解在以后解二次或高次方程、不等式、三角式的變形以及數的計算中都有它的重要地位。本節課是因式分解的第一節課，學好本節課是學好這一章的基礎。

整合思路

本課利用多媒體輔助幫助學生直觀而形象引出因式分解的定義和公因式的定義，用類比的數學思想引導學生進行探究，借助多媒體增大課堂容量和形象地進行提公因式法的教學。教學設計 教學目標

（一）知識認知要求

讓學生了解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法分解因式.（二）能力訓練要求

通過找公因式，培養學生的觀察能力.（三）情感與價值觀要求 在用提公因式法分解因式時，先讓學生自己找公因式，然后大家討論結果的正確性，讓學生養成獨立思考的習慣，同時培養學生的合作交流意識，還能使學生初步感到因式分解在簡化計算中將會起到很大的作用.教學重點

能觀察出多項式的公因式，并根據分配律把公因式提出來.教學難點

讓學生識別多項式的公因式.教學過程

一、創設問題情境,引入新課

一塊場地由三個矩形組成，這些矩形的長分別為，，寬都是,求這塊場地的面積.解法一：S=×+ ×+ ×=++=2 解法二：S=×+ ×+ ×=（++）=×4=2 從上面的解答過程看，解法一是按運算順序：先算乘，再算和進行的，解法二是先逆用分配律算和，再計算一次乘，由此可知解法二要簡單一些.這個事實說明，有時我們需要將多項式化為積的形式，而提取公因式就是化積的一種方法.二、新課講解

1.公因式與提公因式法分解因式的概念.將剛才的問題一般化，即三個矩形的長分別為a、b、c，寬都是m，則這塊場地的面積為ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等號來連接.ma+mb+mc=m（a+b+c）從上面的等式中，大家注意觀察等式左邊的每一項有什么特點？各項之間有什么聯系？等式右邊的項有什么特點？

等式左邊的每一項都含有因式m，等式右邊是m與多項式（a+b+c）的乘積，從左邊到右邊是分解因式.由于m是左邊多項式ma+mb+mc的各項ma、mb、mc的一個公共因式，因此m叫做這個多項式的各項的公因式.由上式可知，把多項式ma+mb+mc寫成m與（a+b+c）的乘積的形式，相當于把公因式m從各項中提出來，作為多項式ma+mb+mc的一個因式，把m從多項式ma+mb+mc各項中提出后形成的多項式（a+b+c），作為多項式ma+mb+mc的另一個因式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.2.例題講解

［例1］將下列各式分解因式：（1）3x+6;（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.分析：首先要找出各項的公因式，然后再提取出來解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;（3）8a3b2－12ab3c+abc =8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c =ab（8a2b－12b2c+c）（4）－24x3－12x2+28x =－4x（6x2+3x－7）3.議一議

過剛才的練習，下面大家互相交流，總結出找公因式的一般步驟.首先找各項系數的最大公約數，如8和12的最大公約數是4.其次找各項中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指數取次數最低的.4.想一想

從例1中能否看出提公因式法分解因式與單項式乘以多項式有什么關系？ 提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式.三、課堂練習

（一）隨堂練習

1.寫出下列多項式各項的公因式.（1）ma+mb（m）（2）4kx－8ky（4k）（3）5y3+20y2（5y2）（4）a2b－2ab2+ab（ab）2.把下列各式分解因式（1）8x－72=8（x－9）（2）a2b－5ab=ab（a－5）

（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）

（二）補充練習

把3x2－6xy+x分解因式 四.課時小結

1.提公因式法分解因式的一般形式，如： ma+mb+mc=m（a+b+c）.這里的字母a、b、c、m可以是一個系數不為1的、多字母的、冪指數大于1的單項式.2.提公因式法分解因式，關鍵在于觀察、發現多項式的公因式.3.找公因式的一般步驟

（1）若各項系數是整系數，取系數的最大公約數；（2）取相同的字母，字母的指數取較低的；（3）取相同的多項式，多項式的指數取較低的.（4）所有這些因式的乘積即為公因式.4.初學提公因式法分解因式，最好先在各項中將公因式分解出來，如果這項就是公因式，也要將它寫成乘1的形式，這樣可以防范錯誤，即漏項的錯誤發生.5.公因式相差符號的，如（x－y）與（y－x）要先統一公因式，同時要防止出現符號問題.五.課后作業習題2.2 六.活動與探究

利用分解因式計算：（1）32004－32003;（2）（－2）101+（－2）100.解：（1）32004－32003 =32003×（3－1）=32003×2=2×32003（2）（－2）101+（－2）100 =（－2）100×（－2+1）=（－2）100×（－1）=－（－2）100 =－2100

七、教學反思：

班中有一位男學生數學成績是倒數的，平時又特別調皮，經常上課不認真聽講。今天他居然舉手上黑板板演，而且做對了！我及時表揚了他，看來他對學習有興趣了，希望他能繼續努力。

第五篇：《提公因式法》 教學設計

提公因式法

一、內容與分析

教材所處的地位

這節課是九年制義務教育教科書八年級上冊第一章第二節《提公因式法》第一課時。學習分解因式一是為解高次方程作準備，二是學習對于代數式變形的能力，從中體會分解的思想、逆向思考的作用。它不僅是現階段學生學習的重點內容，而且也是學生后續學習的重要基礎。本章教材是在學生學習了整式運算的基礎上提出來的，事實上，它是整式乘法的逆向運用，與整式乘法運算有密切的聯系．分解因式的變形不僅體現了一種“化歸”的思想，而且也是解決后續——分式化簡、解方程、恒等變形等學習的基礎，為數學交流提供了有效的途徑．分解因式這一章在整個教材中起到了承上啟下的作用。

二、目標與分析

目標：（1）使學生經歷探索尋找多項式各項的公因式的過程，能確定多項式各項的公因式；

（2）會用提取公因式法進行因式分解．

分析：根據學生在上一節課的經驗，學生只是對因式分解有了一個初步的印象和判斷，而對于怎樣把一個多項式進行因式分解還很茫然，相應的數學能力還有待于進一步加強和鞏固。因此，本課由學生自主探索解題途徑，在此過程中，通過觀察、對比等手段，確定多項式各項的公因式，加強學生的直覺思維，滲透化歸的思想方法，培養學生的觀察能力；引導學生由乘法分配律的逆運算過渡到因數分解，再由單項式與多項式的乘法運算過渡到因式分解，進一步發展學生的類比思想；尋找出確定多項式各項的公因式的一般方法，培養學生的初步歸納能力。

三、本課內容及重點、難點分析：

根據《標準》的要求，本章教材介紹了最基本的分解因式的方法：提公因式法和應用公式法．每一節課的引入，立足滲透類比這種重要的思想方法．通過如類比因數分解的意義導入因式分解的意義等．另外本章的設計多以問題串的形式創設問題情境，如觀察多項式x2-25和9x2-y2，它們有什么共同特征？能否將它們分別寫成兩個因式的乘積？與同伴交流你的想法等，讓學生經歷觀察、發現、類比、歸納、總結、反思的過程，感受整式乘法與因式分解之間的互逆變形關系，發展學生有條理的思考及語言表達能力

3、教學重點、難點

根據八年級學生的認知規律和知識基礎，結合本節課的內容以及新課程標準確定本節課的重點為：（1）學生能確定多項式中各項的公因式；

1（2）學生能用提公因式法把多項式分解因式。

難點為：正確找出多項式中各項的公因式及提公因式后另一個因式的確定。

四、教學方法分析

根據本節課內容，遵循學生認知規律和心理特點，為了突出重點，突破難點，培養學生的創新能力，我采用演示、討論、觀察、比較、概括等多種方法交叉教學，利用多媒體輔助教學，呈現知識的形成過程，充分調動多種感官參與教學，激發學生學習的興趣，使數學教學成為學生“探索、發現、再發現、創造”的過程。

五、學法分析

教學的矛盾主要是解決學生的學，“學”是中心，“會”是目的。因此，在教學過程中，我通過創設問題的情境，以激發學生“樂學”；啟發誘導，以指導學生“會學”；變式訓練，以引導學生“活學”；引導學生反思自己的分析過程，以指導學生“善學”。使學生通過觀察、比較、分析、概括等一系列思維訓練，不斷提高學習數學的探究意識和創新能力。

六、教學過程分析 第一環節 引入

問題1：計算：（1）37×337＋63×337 設計意圖：引入這一步的目的旨在讓學生通過乘法分配律的逆運算（因數分解）這一特殊算法，使學生通過類比的思想方法很自然地過渡到正確理解提公因式法的概念上，從而為提公因式法的掌握掃清障礙．

師生活動：學生對于利用乘法的分配律進行逆運算的方法很熟悉，能很快找到這個式子各項有的相同因數337，在提出公因數337后，很快得出這一題的計算結果是33700。第二環節 想一想

問題2：多項式 ab+ac中，各項有相同的因式嗎？多項式 x+4x呢？多項式mb+nb–b呢？ 結論：多項式中各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式．

設計意圖：在學生能順利地尋找數的簡便運算中的公因數之后，再深一步引導學生采用類比的方法由尋找相同的因數過渡到在多項式中尋找相同的因式．

師生活動：教師提出問題后主要由學生總結，由于有了第一環節的鋪墊，再從數過渡到式，學生能很快用類比的方法找到這些式子中相同的因式，知道公因式的概念。第三環節 議一議

問題3：多項式－8xy＋2xy各項的公因式是什么？

結論：（1）各項系數是整數，系數的最大公約數是公因式的系數；

（2）各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分；

（3）公因式的系數與公因式字母部分的積是這個多項式的公因式。

設計意圖：由于第二環節提供的幾個多項式比較簡單，不能反映公因式的全部特征，而通過本環節

222中尋找多項式2xy+6xy中各項的公因式，引導他們歸納出確定多項式各項公因式的方法，培養學生的初步歸納能力，順利的歸納出確定多項式各項公因式的方法，培養學生的初步歸納能力。師生活動：學生知道每一個多項式都由兩部分組成：系數部分與字母部分，因此，有必要將系數部分與字母部分分開討論。在教師的引導下，學生能分別找出公因式的系數部分與字母部分，最后找到這個多項式的公因式。第四環節 試一試

問題4：將以下多項式寫成幾個因式的乘積的形式：

（1）ab+ac（2）x+4x（3）mb+nb–b

結論：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

設計意圖：讓學生嘗試著使用因式分解的意義以及提公因式法的定義進行幾個簡單的多項式的分解，為過渡到較為復雜的多項式的分解提供必要的準備．

師生活動：由于有了因數分解的基礎以及對提公因式法的正確理解和運用，學生能較快地從數的分解過渡到字母的因式分解。學生在剛開始可能還是不能夠按照正確的步驟去找到一個多項式的公因式，教師應鼓勵學生多說明公因式是怎樣找到的。第五環節 例題講解

例1：把27mn＋18mn－36mn分解因式。

分析：首先要確定各項的公因式。不難看出這個公因式是一個單項式，因此要從系數與字母兩部分來考慮:(1)公因式的系數取各項系數的最大公約數；(2)公因式中的字母取各項相同的字母，并且各字母的指數取次數最低的。所以各項的公因式是9mn,其中(1)9是27與18和36的最大公約數。(2)m是各項相同的字母，其指數最低是1，即為m；n也是各項相同的字母，其指數最低是1，即為n。

解：－24xy－12xy＋28y 例2：把3x2-6xy+x分解因式。

解：3x2-6xy+x= x·3x-x·6y+x·1=x(3x-6y+1)注意：不要漏項。這里把x寫成x·1,可知提出一個因式x后,另一個因式是1。

因為分解因式與整式乘法相反，所以可以用整式乘法檢查因式分解的結果對不對。2 例3：把－24xy－12xy＋28y分解因式。22

222

22222323 注意：如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數是正的。在提出“-”號時，多項式的各項都要變號。第六環節 做一做

問題5：將下列多項式進行分解因式：

（1）3x+6（2）7x–21x（3）8ab–12abc+ab（4）–24x–12x+28x 設計意圖：根據用提公因式法進行因式分解時出現的問題，在教師的啟發與指導下，學生自己歸納出提公因式的步驟及怎樣預防提取公因式時出現類似問題，為提取公因式積累經驗． 師生活動：學生歸納：提取公因式的步驟：（1）找公因式；（2）提公因式．

易出現的問題：（1）第（3）題中的最后一項提出ab后，漏掉了“+1”；

（2）第（4）題提出“–”時，后面的因式不是每一項都變號．

矯正對策：（1）因式分解后括號內的多項式的項數與原多項式的項數是否相同；（2）如果多項式的第一項帶“–”，則先提取“–”號，然后提取其它公因式；（3）將分解因式后的式子再進行單項式與多項式相乘，其積是否與原式相等． 第七環節 反饋練習

1、找出下列各多項式的公因式：

（1）4x+8y（2）am+an（3）48mn–24mn（4）ab–2ab+ab

2、將下列多項式進行分解因式：

（1）8x–72（2）ab–5ab（3）4m–8m

（4）ab–2ab+ab

（5）–48mn–24mn（6）–2xy+4xy–2xy

設計意圖：通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法與步驟是否掌握，以便教師能及時地進行查缺補漏。從學生的反饋情況來看，學生對公因式概念的理解基本到位，提取公因式的方法與步驟基本掌握，但依然有部分同學出現第五環節中的問題，如對首項出現負號時不能正確處理，此時，需要老師進一步引導．

師生活動：從學生掌握的情況出發，看看學生的問題是在尋找公因式方面還是在提公因式方面沒有很好的掌握，教師再加以強調公因式的找法和提公因式應該注意的事項。第八環節 課堂小結

從今天的課程中，你學到了哪些知識？你認為提公因式法與單項式乘多項式有什么關系？ 22