第一篇：頁碼問題教案

篇一：教案 五升六4頁碼問題

五升六 重慶新思維學校—成績提升專家

第4講 頁碼問題

頁碼問題主要是指一本書的頁數與所用的數字之間關系的一類應用題；

數字也可稱為數碼，他們的個數是有限的，有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共有10個數碼

頁碼也稱為頁數，它是有數字（數碼）組成的，一個數字組成一位數，兩個數字組成兩位數（個位，十位）。。頁數（或頁碼）的個數是無限的。這是我們在解決這類問題時，在審題，解題中要特別加以區別的。

例1 小明和小智是兩個數學愛好者，他們經常在一起探討數學問題，一次，小明對小智說：我有一本書，它的頁數是一個三位數，個位數字比百位數字大44 隨堂練習1個位數字大6 例2 一本科幻小說共320頁。問

（1（2）數字0 隨堂練習2（1（2 例3 723個數字，這本書共有多少頁？

隨堂練習3 排一本學生詞典的頁碼共用了2925個數字，這本詞典共有多少頁？

五升六 重慶新思維學校—成績提升專家 例4 有一批文章共15篇，各篇文章的頁數分別是1頁，2頁，3頁。。14頁，15頁，如果將這些論文按某種次序裝訂成冊，并統一編上頁碼，那么每篇文章的第一頁是奇數頁碼的論文最多有多少？

隨堂練習4 翻開數學書看見2頁，頁碼的積是1806，求這兩頁的頁碼。

例5 一本書的頁碼共有62次，得到的和數為2000.隨堂練習5 一本書的頁碼從1到80，共80了，結果得到的和數位3182.例6 6 71個零，問這本書共有多少頁？

練習

（1）給一本書編頁碼，在印刷時必須用到2010這個鉛字（一個鉛字代表一個數字）這本書共有多少頁？

（2）排印一本200頁的書，共需要多少數字？

（3）排一本書有600頁，共需要多少個零？

篇二：頁碼問題

課題：頁碼中的數字問題

教學目標：

1、通過學習，使學生掌握解決頁碼、數碼等問題的解題方法。

2、培養學生總結歸納的能力，激發學生學習數學的興趣。

教學重點：解決頁碼、數碼等問題的解題方法。

教學難點：解決頁碼、數碼等問題的解題方法。

教具準備：若干數字卡片，圖書兩本。教學過程：

一、導入

1、情境導入

你們看，老師手上有兩本書，是什么書？不管這兩本書的內容上有多么的不同，但

這兩本書上還有一個相同地方，是什么？能猜猜嗎？

2、揭示課題：頁碼中的數字問題（板書）

二、新授

1.基礎知識鋪墊：

1)師請兩位學生上臺用數字卡片任意擺出一個頁碼，其余的學生和同桌合作擺放。2)通過學生的擺放情況，介紹什么是頁碼？什么是數碼？以及他們的區別？

3)介紹完后，請學生自己說說自己擺放的頁碼中有幾個數碼，分別是哪些數字？（加

深對概念的掌握和理解）

4)頁碼是大家最常見，最常用，最熟悉的數，知道一本書的頁碼，如何求共有多少個

數碼呢？反之，知道一本書的頁碼所需的數碼數量，如何求這本書的頁碼？

解答頁碼問題的基本方法是分類整理。先按自然數的位數分類：

一位數（1—9）：1x9=9（個）數碼

兩位數（10—99）： 2x(90-10+1)=180個 數碼

三位數（100—999）： 3x(999-100+1)=2700個 數碼 依次類推

一本書的頁碼只排到一位數,這本書共有多少個數碼？（9個）只排到兩位數呢？

（9+180=189個），只排到三位數呢？（9+180+2700=2889個）（板書）5)游戲：判斷：

① 如果一本書共有237個數碼，這本書的頁碼可能是幾位數？為什么？

② 如果一本書共有3000個數碼，這本書的頁碼可能是幾位數？為什么？

③ 如果一本書的頁碼是三位數，這本書的數碼可能是在（）和（）之間呢？

過渡：通過剛才的游戲，我們基本上掌握了頁碼和數碼之間的關系，看看頁碼問題在實際生活題中的運用吧。

2、教學例1 1)出示例1，審題，從題目中獲得了哪些信息？（132頁是頁碼），問題是求數碼？ 2)方法：分類整理。引導學生共同整理如下：

一位數（1—9）：1x9=9（個）?數碼

兩位數（10—99）： 2x(90-10+1)=180個 ?數碼

三位數（100—132）： 3x(132-100+1)=99個?數碼 3)看問題：共有多少個數碼？就是把分類數碼和起來，如何列式？（9+180+99=288個）4)作答。5)練習1 指名學生上臺板演，集體講評。做的對的同學給予獎勵。

3、教學例2 1)出示例2，審題，看看例2和例有什么不同之處？（已知數碼，求頁碼）2)那從題中獲得了什么信息？（共有2925個數碼）

3)從2925個數碼中，有同學可以判斷一下這本辭典的頁碼可能是幾位數？為什么？ 4)前三位數的頁碼共用了多少個數碼呢？怎么求？請學生說，生邊說師邊板書。

一位數（1—9）：1x9=9（個）? 數碼

兩位數（10—99）： 2x(90-10+1)=180個?數碼

三位數（100—999）： 3x(999-100+1)=2700個?數碼 9+180+2700=2889個?數碼

5)前三位共用了2889個數碼，可是實際用了2925個，說明什么？能得到什么？（說明這

36個數碼全部去排了四位數的頁碼，2925-2889=36個?四位數的數碼）

6)一個頁碼有四位數，36個數碼可以排出幾個四位數，就有幾個四位數的頁碼？

（36÷4=9個?四位數的頁碼）

7)看問題：共有多少頁？師引導學生共同答：前三位數的頁碼共有999頁，999+9=1008 頁，得出這本辭典的總頁碼數。8)作答。9)練習2，指名學生上臺板演，集體講評。做的對的同學給予獎勵。

4、思考題：通過今天的學習，同學們掌握了不少本領，老師有道思考題，請同學運用我們今天學習的知識來完成。

“一本書有800頁，按頁碼從小到大的順序依次排列：組成一個大數：***1314??777778779800，問從左往右數第666個數字是幾？”提示：第666個數字是什么？數碼，第666個數字是幾，實際上是已知共666個數碼，求共有幾頁？ 學生自己完成。

板書設計：

篇三：第十四課頁碼問題 教師用書

第十四課頁碼問題

笑笑是一個愛動腦子的孩子。一天她正在做數學作業，爸爸走過去隨手拿起一本書，書共有

204頁，就問笑笑：你知道需多少個數碼編頁碼？

同學們，咱們一起來看看這道題

吧。

一、你能根據情境中的問題與你的生

活經驗，你能嘗試解決上面的問題嗎？請用你的方法解決問題，并寫下來。

二、說說你的體會！

教學內容說明：

本課教學的重點是讓學生明確頁碼問題實際上是數論的問題。它與書的頁碼有密切聯系

解決關鍵：要知道“數”與“組成它的數碼個數”之間的關系．一位數共有9個，組成所有的一位數需要9個數碼；兩位數共有90個，組成所有的

兩位數需要2×90＝180(個)數碼；三位數共有900個，組成所有的三位數需要3×900＝2700(個)數碼。

教材分析與教學建議：

教材創設了問題情境。教學時，教師先引導學生從中提煉出重要的數學信息，了解數”與“組成它的數碼個數”之間的關系。然后讓學生自主嘗試解決問題，并把解決問題的過程和結果寫下來，再將自己的方法與同學進行交流。最后，引導學生總結出解題思路。

分析與解：

1～9頁每頁上的頁碼是一位數，共需數碼：1×9＝9(個)；

10～99頁每頁上的頁碼是兩位數，共需數碼：2×90＝180(個)； 100～204頁每頁上的頁碼是三位數，共需數碼(204－99)×3＝105×3＝315(個)． 綜上所述，這本書共需數碼 9＋180＋315＝504(個)． 1.一本故事書共131頁編印這本故事書的頁碼共要用多少個數字？ 2.一本詞典共1008頁編印這本詞典的頁碼共用多少個數字？ 3.一本小說共320頁數字0在頁碼中共出現了多少次？

通過解題你發現了什么？你還有什么想法？

4、給一本書編上頁碼共用201個數

字，那么這本書有多少頁？

5、排一本科幻小說的頁碼共用了2211個數字，問這本科幻小說共有多少頁？

問題解決

在此環節要給學生足夠的時間自主學習，讓學生想辦法學會解決問題，找到一定的方法。第1題

本題與例題相似，要求學生獨立列式解答。（131-99）×3=96個 9+180+96=285（個）數字 第2題

（1008-999）×4=36個 9+180+2700+36=2925（個）數字 第3題

先計個位和十位都是0的有100、200 300.只有個位是0的有32-3=29個。只有十位是0的有101-109、201-209、301-309共27個.所以數字0共出現：2×3+29+27=62（次）問題拓展

第4題

一位數的頁碼有9頁，用9個數字。兩位數的頁碼有90頁，共180個數字。剩下的數字排三位數的頁碼：（201-9-180）÷3=4頁，這本書共有103頁 第5題

前面的分析知道，在排三位數的頁碼時用了數碼(2211－189)個，也就是674(頁)。不到三位的頁數有99頁，所以這本書共有：99＋674＝773(頁)．

6、一本書的頁碼從1至62，即共有62頁．在把這本書的各頁的頁碼累加起來時，有一個頁碼被錯誤地多加了一次．結果，得到的和數為2000．問：這個被多加了一次的頁碼是幾？

說說你的收獲吧，還想解決什么問題？

7.給一本書編頁碼，一共有了1179個數字，這本書有多少頁？

9.將自然數按從小到大的順序無間隔地排成一個大數：***?問：左起第2000位上的數字是多少？

第6題

分析：因為這本書的頁碼從1至62，所以這本書的全書頁碼之和為 1＋2＋?＋61＋62＝62×(62＋1)÷2 ＝31×63＝1953．

由于多加了一個頁碼之后，所得到的和數為2000，所以多加的是： 2000－1953＝47． 本課回顧

在放手讓學生獨立思考，去嘗試之后，看看學生能不能運用轉化的數學思想將新問題有效轉化成例題式題

類型，有效滲透數學轉化思想，培養學生解決問題的能力。

練一練

是對本節課知識的鞏固，如果課堂上時間不夠，可以讓學生回家完成。第7題

（1179-180-9）÷3=330 330+99=429頁 第8題 183-175=8個就是1—8頁 第9題

分析：本題類似于“用2000個數碼能排多少頁的頁碼？”因為(2000－189)÷3＝603??2，所以2000個數碼排到第99＋603＋1＝703(頁)的第2個數碼“0”．所以本題的第2000位數是0．

篇四：必修一教學設計-未編頁碼

第一章 認識細胞 第1節 多種多樣的細胞

一、教學準備

二、教學過程

三、教學反思

第2節 人類探索細胞的歷程

一、教學準備

篇五：37 一個奇怪的問題(教案)讀課文查字典識字（音序）

37、一個奇怪的問題

徐匯區上海小學 撒瀅

教學總目標：

1.能在語言環境中正確認讀 “題、科、提、滿、胖、挺、叔、誤、居”等11個生字，重點識記“題、提”的字形；繼續學習音序查字法；正確描摹“提、題、試、居”。2.能正確朗讀課文，重點讀好科學家提出的問題。

3.能結合課文內容，借助提示想象說話，讀懂句子和課題的意思。

4．聯系課文內容，了解科學家的用意，知道“遇到問題不僅要問為什么，而且還要動手去試一試”的道理。

教學時間：

兩課時

第一課時

教學目標：

1.能在具體的語境中正確認讀“題、科、提、滿、胖、挺、叔、誤、居”9個生字，重點識記“題、提”的字形。

2.能正確朗讀課文，重點讀好科學家提出的問題。

3.能結合課文內容，借助提示想象說話，讀懂句子和課題的意思。4.知道遇到問題應像伊琳娜那樣敢于質疑，善于實踐與思考。

教學技術與學習資源應用：

媒體課件、田字格卡紙、生字卡片、詞卡

教學過程：

一、學習生字“題”和“提”，比較異同，并揭示課題。1.學習生字“題”和“提”。

（1）揭示“提問題”

（2）學習“提”和“題”兩個生字。

①正音，區別詞義

② 齊讀詞組

2、揭示課題，齊讀課題。

（1）揭示課題

（2）板書課題，重點指導 “題”的字形

（3）齊讀課題（提醒學生“的”字讀輕聲）。

【說明】

針對學生年齡小，好奇心強的特點，在揭示課題時，引出“提問題”這個詞組。之后，學生通過老師引導和自身的仔細觀察，發現“提、題”是兩個同音異義的字。通過板書課題，完成對生字“題”字形的初步記憶。

二、初讀課文，讀準生字字音，整體感知課文內容。1.學生自由朗讀課文，要求讀準字音，讀通句子。

師：那么在課文中出現了哪些人物呢？誰提出了什么問題呢？讓我們帶著這些疑問，自己讀讀課文，注意讀準字音，讀通句子。

2．學生交流文中出現的人物，隨機學習。

◆ 科學家叔叔

①聽記句子，了解科學家。學習生字“科”。

②指名交流。

③出示聽記句子，齊讀。

◆ 居里夫人

①正音

② 了解居里夫人，學習“大名鼎鼎” a、了解居里夫人 b、學習“大名鼎鼎”

師：誰能把“大名鼎鼎”放到句子中，再來介紹一下居里夫人。

出示：居里夫人是大名鼎鼎的科學家。

③指名讀

④齊讀

◆一個扎著小辮子的女孩、另一個胖墩墩的小男孩

①“一個扎著小辮子的女孩”

（師范讀——個別生讀——女生齊讀）

②“另一個胖墩墩的小男孩”

（指名讀——男生齊讀）

◆伊琳娜

正音

【說明】

以“文中出現了哪些人物？”這一問題的解決為抓手，培養學生邊讀邊思考的閱讀習慣。反饋時，有機融合識字教學，做到字音、字義的教學各有側重，同時在語境中理解“大名鼎鼎”的意思。

三、學習課文，深入感知。

1.讀文思考：文中有哪些人分別提出了什么問題？

（1）自讀課文，括出有關句子。

（2）生交流。

師：誰提出了問題？ 板書： 科學家 伊琳娜

師：科學家提出了什么問題？ 出示：科學家的問題。

師：那么，伊琳娜提出了什么問題？ 出示：伊琳娜的問題 2.學習第1節。

（1）出示：第一小節，自由讀，個別讀，正音。

（2）出示停頓符號，指導朗讀。

（3）齊讀。

（4）引讀：一位科學家向小朋友們提出了一個問題：他先告訴小朋友一個現象——；接著提出了一個假設——；最后他問——。

（5）了解“這”的具體內容。

（6）齊讀，讀出提問的語氣

【說明】 文中科學家提出的問題比較長，要讀好這一長句，先讓學生讀準字音，再嘗試讀出句子的停頓，最后，通過教師的引讀，引導學生逐步讀懂長句的意思。在理解的基礎上，逐步達成讀準字音，正確停頓，不加字、不漏字的要求。3．學習2——6節。

（1）學習小女孩和小男孩的回答。

① 引讀，指名讀，隨機出示兩個回答。

師：一個扎著小辮子的女孩說——。另一個胖墩墩的小男孩說——— ②自由讀。

③師生角色扮演讀。

④引讀：伊琳娜覺得——不是那樣，可是她——想不出這是為什么。就回家——去問媽媽。

（2）學習伊琳娜的表現

①想象說話

師：她會怎樣問媽媽呢？請你們再讀讀課文1—4小節，來想一想，問一問。②自己練說。指名交流

a、根據科學家的問題提問

b、引導讀懂第四小節，提出問題。

◆指名交流。

◆ 同桌練說。

師：請你們根據提示，再來把伊琳娜心中的疑問說說清楚。

出示：伊琳娜問：“我覺得不是，也不是

。？”

◆指名交流。

◆隨機板書

師：看來伊琳娜遇到問題后是經過了一番思考的，（板書：想）她自己想不明白，就去請教媽媽。（板書：問）

【說明】

抓住”伊琳娜如何回家問媽媽”這一問題,借助教師所提供的句式,幫助學生再次梳理回顧課文1—6小節的學習內容，反饋學生對內容的了解。通過這一語言訓練，既能訓練學生如何規范、完整地表達，引導他們將文本的語言內化為自己的語言進行輸出；又能滲透聯系上下文讀懂文章的閱讀方法。

在具體操作時，如果學生的提問比較片面，只關注到科學家提出的那個問題。老師可以適時引導他們關注文章中“伊琳娜覺得不是那樣的”這句話，然后，通過相關句式“我覺得不是，也不是 ”來理解這里的“那

樣”，其實也就是她不認同她的兩個同學的回答。在讀懂這句話的基礎上，引導學生再來說說伊琳娜還會怎樣問媽媽。最后，同桌合作，再把問題提清楚，達到從點到面的訓練。整個過程要引導學生始終以課文內容為依據，聯系上下文進行合理想象。

（3）引讀第5小節

（4）齊讀第5小節。

（5）學習第6節，體會伊琳娜敢于質疑，善于實踐與思考。

過渡：伊琳按照媽媽說的去做了，（板書：做）

師：那么做的結果如何呢？你們自己再讀讀后面的內容，找一找。① 學生交流，出示第六節。

②聯系上文，借助句式想象說話，理解“奇怪的問題”。a、理解“挺”的意思，讀好詞語。b、想象說話，知道伊琳娜先是生氣，接著感到奇怪的原因。

◆了解伊琳娜生氣的原因。

提示：科學家說??可是伊琳娜做了以后卻發現??。

板書：發現 加箭頭

師：原來她通過自己動手，發現科學家提出的問題是——錯誤的。

板書： 錯誤

過渡：伊琳娜生氣之余，又感到很奇怪。

◆了解伊琳娜感到奇怪的原因

出示：伊琳娜想：真奇怪，？ 生交流 板書：提出 指導“提”的字形 c、小結。

【說明】

“挺”字曾在《一粒種子》一課中出現，表示動作，與這里的“挺生氣”意思不一樣，老師要有聯系意識，運用舊知，幫助學生掌握新知，引導學生對不同語境中的“挺”進行字義上的辨析。幫助學生了解字義，在今后的學習中嘗試獨立運用。

③學習伊琳娜提問的句子，試著讀出疑惑的語氣。

第二篇：頁碼問題

一．頁碼問題

對多少頁出現多少1或2的公式

如果是X千里找幾，公式是 1000+X00*3 如果是X百里找幾，就是100+X0*2，X有多少個0 就*多少。依次類推！請注意，要找的數一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一類的了，比如，7000頁中有多少3 就是 1000+700*3=3100（個）

20000頁中有多少6就是 2000*4=8000（個）

友情提示，如3000頁中有多少3，就是300*3+1=901，請不要把3000的3忘了

二．頁碼問題

(一)某數出現多少次問題

99中，某數（不含0）出現20次。999中，某數（不含0）出現20*9+120次。

(二)含某數的頁數有多少問題（就是出現次數減去重復次數）99中，含某數（不含0）19頁。999中，含某數（不含0）19*9+100頁。

9999中，含某數（不含0）(19*9+100)*9+1000頁。(三)A頁的書需要多少字符數問題 A+A-9+A-99=B(字符數)。

(四)頁碼數加減是否有誤（等差求和公式的運用）等差求和公式是：Sn=（a1+an）×n/2，對于書本來說，頁碼是從第一頁始，因此SN=（1+n）×n/2≈n^2/2

【解析】例題：一本故事書共121頁，在這本書的頁碼中數字“1”出現多少次？？

A.70 B.65 C.60 D.55選D。0-99中 20個，100-121中 22+11+2=35個，20+35=55。

例題：老李有一本很舊的書，已知這本書最后一頁頁碼的第一個數字是3，其它的頁碼數都已模糊不清。這本書出現數字3的次數有180次。求這本書由多少個鉛字組成（1代表1個鉛字，11，代表2個鉛字）A.962 B.965 C.1057 D.1089 【解析】選B。20+20+20+120，推出399頁，399x3-9-99=1089。

例題：編一本書的書頁，用了270個數字（重復的也算，如頁碼115用了2個1和1個5，共3個數字），問這本書一共有多少頁？

A.117 B.126 C.127 D.189 【解析】選B。首先肯定是三位數，A+A-9+A-99=270，3A=378，A=126（頁）。例題：甲乙兩冊書的頁碼共777個數碼，其中甲比乙書多7頁，問甲書有多少頁？ A.70 B.133 C.162 D.169 【解析】選D。1-9﹏9，10-99﹏180，甲乙都在百頁。多7頁就多21個數碼，可列X+Y=777,X-Y=21 ；解得，X=399。3A-9-99=399，A=169（頁）

例題：一本書的頁碼是連續的自然數，1，2，3，…，當將這些頁碼加起來的時候，某個頁碼被加了兩次，得到不正確結果1997，則這個被加了兩次的頁碼是()A.42 B.43 C.45 D.44 【解析】選D。N*(N+1)/2<=1997，N最大是62時，即1953。則被多加的頁碼是 1997-1953=44。估算運用：n*(n+1)/2<1997，n*（n+1)<3994，n^2<3994，n^2<4000。

例題：有一本書的中間被撕掉了一張，余下的各頁的頁碼數之和正好是1000，則被撕掉的那一張頁碼是（）A.17和18 B.18和19 C.19和20 D.21和22 【解析】選D。共45張，等差求和（1+45）*45/2=23*45=1035，1035-1000=35。

例題：如果把1到999些自然數按照從小到大的順序排成一排，這樣就組成了一個多位數：***——996997998999.那么在這個多位數里，從左到右第2000個數字是多少？？

【解析】1-9有9個數，10-99有180個數，求第2000個數字，減去前面的2000-189=1811。而100-999 每個數值是3位數。那么1811/3可算出是第幾個數值（不是數字）1811/3 = 603……2，因起步為100，100+603...2=703....2。

二，握手問題

N個人彼此握手，則總握手數

S＝（n-1）{a1+a(n-1)}/2=（n-1）{1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2 =N×（N-1）/2 例題：

某個班的同學體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握手，整個游戲一共握手152次，請問這個班的同學有（）人

A、16 B、17 C、18 D、19

【解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的多邊形對角線的原理在解決此題。按照排列組合假設總數為X人 則Cx取3＝152 但是在計算X時卻是相當的麻煩。我們仔細來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x－3次手。每個人都是這樣。則總共握了x×（x-3）次手。但是沒2個人之間的握手都重復計算了1次。則實際的握手次數是x×（x-3）÷2＝152 計算的x＝19人

三，鐘表重合公式

鐘表幾分重合，公式為： x/5=(x+a)/60 a時鐘前面的格數

四，時鐘成角度的問題

設X時時，夾角為30X，Y分時，分針追時針5.5，設夾角為A.（請大家掌握）

鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時針走0.5度，能追5.5度。

1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示絕對值的意義（求角度公式）

變式與應用

2.【30X－5.5Y】=A或360－【30X-5.5Y】=A（已知角度或時針或分針求其中一個角）

五，往返平均速度公式及其應用（引用）

某人以速度a從A地到達B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。

證明：設A、B兩地相距S，則

往返總路程2S，往返總共花費時間 s/a+s/b 故 v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)六，空心方陣的總數

空心方陣的總數＝（最外層邊人(物)數－空心方陣的層數）×空心方陣的層數×4 ＝ 最外層的每一邊的人數^２－（最外層每邊人數－2*層數）^２

＝每層的邊數相加×4－4×層數

空心方陣最外層每邊人數=總人數/4/層數+層數

方陣的基本特點： ① 方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數量都相同．每向里一層邊上的人數就少2；

② 每邊人（或物）數和四周人（或物）數的關系：

③ 中實方陣總人（或物）數=(每邊人（或物）數)2=（最外層總人數÷4+1）2 例：① 某部隊排成一方陣，最外層人數是80人，問方陣共有多少官兵？（441人）

② 某校學生剛好排成一個方隊，最外層每邊的人數是24人，問該方陣有多少名學生？（576名）解題方法：方陣人數＝（外層人數÷4+1）2＝（每邊人數）2

③ 參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？（289人）

解題方法：去掉的總人數＝原每行人數×2－1＝減少后每行人數×2+1

典型例題：某個軍隊舉行列隊表演，已知這個長方形的隊陣最外圍有32人，若以長和寬作為邊長排出2個正方形的方陣需要180人。則原來長方形的隊陣總人數是（）

A、64，B、72 C、96 D、100

【解析】這個題目經過改編融合了代數知識中的平方和知識點。長方形的（長＋寬）×2＝32＋4 得到長＋寬＝18。可能這里面大家對于長＋寬＝18 有些難以計算。你可以假設去掉4個點的人先不算。長＋寬（不含兩端的人）×2＋4（4個端點的人）＝32，則計算出不含端點的長＋寬＝14 考慮到各自的2端點所以實際的長寬之和是14＋2＋2＝18。求長方形的人數，實際上是求長×寬。根據條件 長×長＋寬×寬＝180 綜合（長＋寬）的平方＝長×長＋寬×寬＋2×長×寬＝18×18 帶入計算即得到B。其實

在我們得到長寬之和為18時，我們就可以通過估算的方法得到選項B 七，青蛙跳井問題

例如：①青蛙從井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，這樣青蛙需跳幾次方可出井？（6）

②單杠上掛著一條4米長的爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下半米來，問小趙幾次才能爬上單杠？（7）

總解題方法：完成任務的次數＝井深或繩長-每次滑下米數（遇到半米要將前面的單位轉化成半米）

例如第二題中，每次下滑半米，要將前面的4米轉換成8個半米再計算。

完成任務的次數＝（總長-單長）/實際單長+1 八，容斥原理

總公式：滿足條件一的個數＋滿足條件2的個數－兩個都滿足的個數＝總個數－兩個都不滿足的個數

【國2006一類-42】現有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有多少人？ A.27人 B.25人 C.19人 D.10人

上題就是數學運算試題當中經常會出現的“兩集合問題”，這類問題一般比較簡單，使用容斥原理或者簡單畫圖便可解決。但使用容斥原理對思維要求比較高，而畫圖浪費時間比較多。鑒于此類問題一般都按照類似的模式來出，下面華圖名師李委明給出一個通解公式，希望對大家解題能有幫助：

例如上題，代入公式就應該是：40+31-x=50-4，得到x=25。我們再看看其它題目：【國2004A-46】某大學某班學生總數為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數是多少？A.22 B.18 C.28 D.26 代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22 九，傳球問題

這道傳球問題是一道非常復雜麻煩的排列組合問題。

【李委明解三】不免投機取巧，但最有效果（根據對稱性很容易判斷結果應該是3的倍數，如果答案只有一個3的倍數，便能快速得到答案），也給了一個啟發----傳球問題核心公式

N個人傳M次球，記X=[（N-1）^M]/N，則與X最接近的整數為傳給“非自己的某人”的方法數，與X第二接近的整數便是傳給自己的方法數。大家牢記一條公式，可以解決此類至少三人傳球的所有問題。

四人進行籃球傳接球練習，要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式：

A.60種 B.65種 C.70種 D.75種

x=(4-1)^5/4 x=60 十，圓分平面公式：

N^2-N+2,N是圓的個數

十一，剪刀剪繩

對折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段

將一根繩子連續對折3次,然后每隔一定長度剪一刀，共剪6刀。問這樣操作后,原來的繩子被剪成了幾段? A．18段 B．49段 C．42段 D．52段

十二，四個連續自然數，性質一，為兩個積數和兩個偶數，它們的和可以被2整除，但是不能被4整除

性質二，他們的積+1是一個奇數的完全平方數

十三，骨牌公式

公式是：小于等于總數的2的N次方的最大值就是最后剩下的序號

十四，指針重合公式

關于鐘表指針重合的問題，有一個固定的公式：61T=S（S為題目中最小的單位在題目所要求的時間內所走的格書，確定S后算出T的最大值知道相遇多少次。）

十五，圖色公式

公式：（大正方形的邊長的3次方）—（大正方形的邊長—2）的3次方。

十六，裝錯信封問題

小明給住在五個國家的五位朋友分別寫信，這些信都裝錯的情況共有多少種 44種

f（n）=n！（1-1/1！+1/2！-1/3!......+（-1）n（1/n！））

或者可以用下面的公式解答

裝錯1信 0種

裝錯2信：1種2 4 9 5 44

遞推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~ 如果是6封信裝錯的話就是265~~~~ 十七，伯努利概率模型

某人一次涉及擊中靶的概率是3/5，設計三次，至少兩次中靶的概率是

集中概率3/5，則沒集中概率2/5，即為兩次集中的概率+三次集中的概率

公式為 C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0] 81/125

十八，圓相交的交點問題

N個圓相交最多可以有多少個交點的問題分析 N*(N-1)十九，約數個數問題

M=A^X*B^Y 則M的約數個數是

（X+1）（Y+1）

360這個數的約數有多少個？這些約數的和是多少？

解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一個約數都等于至多三個2（可以是零個，下同），至多兩個3和至多一個5的積。如果我們把下面的式子

（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）

展開成一個和式，和式中的每一個加數都是在每個括號里各取一個數相乘的積。由前面的分析不難看出，360的每一個約數都恰好是這個展開式中的一個加數。由于第一個括號里有4個數，第二個括號里有3個數，第三個括號里有2個數，所以這個展開式中的加數個數為4×3×2=24，而這也就是360的約數的個數。另一方面，360的所有約數的和就等于這個展開式的和，因而也就等于

（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）

=15×13×6=1，170

答：360的約數有24個，這些約數的和是1，170。

甲數有9個約數，乙數有10個約數，甲、乙兩數最小公倍數是2800，那么甲數和乙數分別是多少？

解：一個整數被它的約數除后，所得的商也是它的約數，這樣的兩個約數可以配成一對.只有配成對的兩個約數相同時，也就是這個數是完全平方數時，它的約數的個數才會是奇數.因此，甲數是一個完全平方數.2800＝24×52×7.在它含有的約數中是完全平方數，只有

1，22，24，52，22×52，24×52.在這6個數中只有22×52＝100，它的約數是（2＋1）×（2+1）＝9（個）.2800是甲、乙兩數的最小公倍數，上面已算出甲數是100＝22×52，因此乙數至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個）約數，從而乙數就是112.綜合起來，甲數是100，乙數是112.二十，吃糖的方法

當有n塊糖時，有2^(n-1)種吃法。

二十一，隔兩個劃數

1987=3^6+1258 1258÷2×3+1=1888 即剩下的是1888

減去1能被3整除

二十二，邊長求三角形的個數

三邊均為整數，且最長邊為11的三角形有多少個？

[asdfqwer]的最后解答：

11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;11,10,10;11,10,9;...11,10,2;11,9,9;...11,9,3;11,8,8;...11,8,4;11,7,7,...11,7,5;11,6,6;

1+3+5+7+9+11=6^2=36 如果將11改為n的話，n=2k-1時，為k^2個三角形；

n=2k時，為(k+1)k個三角形。

二十三，2乘以多少個奇數的問題

如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數，那么N等于多少個2與1個奇數的積？

解：因2^10=1024，2^11=2048＞2000，每個不大于2000的自然數表示為質因數相乘，其中2的個數不多于10個，而1024=2^10，所以，N等于10個2與某個奇數的積。

二十四，直線分圓的圖形數

設直線的條數為N 則 總數=1+{N（1+N）}/2

將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明．

〔解〕我們來一條一條地畫直線。畫第一條直線將圓形紙片劃分成2塊．畫第二條直線，如果與第一條直線在圓內相交，則將圓形紙片劃分成4塊（增加了2塊），否則只能劃分成3塊．類似地，畫第三條直線，如果與前兩條直線都在圓內相交，且交點互不相同（即沒有3條直線交于一點），則將圓形紙片劃分成7塊（增加了3塊），否則劃分的塊數少于7塊．下圖是畫3條直線的各種情形

由此可見，若希望將紙片劃分成盡可能多的塊數，應該使新畫出的直線與原有的直線都在圓內相交，且交點互不相同．這時增加的塊數等于直線的條數。（為什么？）這樣劃分出的塊數，我們列個表來觀察：

直線條數紙片最多劃分成的塊數1＋1

1＋1＋2

1+1+2+3

1+1＋2+3+4 5 1＋1＋2+3+4+5

不難看出，表中每行右邊的數等于1加上從1到行數的所有整數的和。（為什么？）我們把問題化為：自第幾行起右邊的數不小于50？我們知道

1+1+2+3＋…＋10＝56，1+1＋2＋3＋…＋9=46，可見

9行右邊還不到50，而第10行右邊已經超過50了。答：至少要畫10條直線。

二十五，公交車超騎車人和行人的問題

一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發站每隔相同的時間發一輛車，那么間隔幾分鐘發一輛公交車？

此類題通解公式：

a=超行人時間，b=超自行車時間，m=人速，n=自行車速

則每隔t分鐘發車；t=（abn-abm）/(bn-am)，令M=1 N=3，解得T=8。

二十六，公交車前后超行人問題

小明放學后,沿某公交路線以不變速度步行回家,該路公共汽車也以不變速度不停的運行,每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他,每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車,問該路公共汽車每隔多少分鐘發一輛車?

此類題有個通解公式：如果a分鐘追上，b分鐘相遇，則是2ab/（a+b）分鐘發一次車

二十七，象棋比賽人數問題

象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局勝者記2分，負者記0分，和棋各記1分，四位觀眾統計了比賽中全部選手得分總數分別是:1979，1980，1984，1985，經核實只有一位觀眾統計正確，則這次比賽的選手共有多少名?

A.44 B.45 C.46 D.47

解析：44*43=1892，45*44=1980，46*45=2070 所以選B 二十八，頻率和單次頻度都不同問題

獵犬發現在離它9米遠的前方有一只奔跑著的兔子，立刻追趕，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動作快，獵犬跑2步的時間，兔子跑3步。獵犬至少跑多少米才能追上兔子？（）

A.67B.54C.49D.34 答案b

分析：獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動作快，獵犬跑2步的時間，兔子跑3步.可知獵犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=54 二十九，上樓梯問題

一般來說上電梯有a1=1 a2=2 a3=4 a4=a1+a2+a3 所以一般公式是 an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)三十，牛吃草公式

核心公式:草場草量=(牛數-每天長草量)*天數

例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天,則25牛可吃多少天? 解:可用公式,設每天恰可供X頭牛吃一天,25牛可吃N天

則(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N，可得X=5,Y=5 三十一，十字相乘法

十字相乘法使用時要注意幾點：

第一點：用來解決兩者之間的比例關系問題。

第二點：得出的比例關系是基數的比例關系。

第三點：總均值放中央，對角線上，大數減小數，結果放對角線上。

（2007年國考）某班男生比女生人數多80%，一次考試后，全班平均成級為75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，則此班女生的平均分是：

A ．84 分 B.85 分 C.86 分 D.87 分 答案：A

分析： 假設女生的平均成績為X，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。

男生：Y 9 75 女生：X 5

根據十字相乘法原理可以知道

X=84

6.（2007年國考）．某高校2006 畢業學生7650 名，比上增長2 %.其中本科畢業生比上減少2 %.而研究生畢業數量比上增加10 % , 那么，這所高校今年畢業的本科生有：

A ．3920 人 B ．4410 人 C ．4900人 D ．5490 人

答案：C

分析：去年畢業生一共7500人。7650/（1+2%）=7500人。

本科生：-2% 8% 2%

研究生：10% 4%

本科生：研究生=8%：4%=2：1。

7500*（2/3）=5000 5000*0.98=4900

此方法考試的時候一定要靈活運用

三十二，兔子問題

An=A(n-1)An(n-2)

已知一對幼兔能在一月內長成一對成年兔子，一對成年兔子能在一月內生出一對幼兔。如果現在給你一對幼兔，問一年后共有多少對兔子？

析：1月:1對幼兔

2月:1對成兔

3月;1對成兔.1對幼兔

4;2對成兔.1對幼兔

5;;3對成兔.2對幼兔

6;5對成兔.3對幼兔.......可看出規律:1,1,2,3,5,8(第三數是前兩數之和),可求出第12項

為:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔

三十三，稱重量砝碼最少的問題

例題：要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數克重量，至少要用多少個砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？

分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。

（1）稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故1克的一個砝碼是必須的。

（2）稱重2克，有3種方案：

①增加一個1克的砝碼；

②用一個2克的砝碼；

③用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內，把3克的砝碼放在砝碼盤內。從數學角度看，就是利用3-1=2。

（3）稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。

（4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰。總之，用1克、3克兩個砝碼就可以稱出（3+1）克以內的任意整數克重。

（5）接著思索可以進行一次飛躍，稱重5克時可以利用

9-（3+1）=5，即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內，1克、3克兩個砝碼放在稱重盤內。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內的任意整數克重。

而要稱14克時，按上述規律增加一個砝碼，其重為

14+13=27（克），可以稱到1+3+9+27=40（克）以內的任意整數克重。

總之，砝碼重量為1，3，32，33克時，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。

三十三，文示圖

紅圈： 球賽。藍圈： 電影 綠圈：戲劇。

X表示只喜歡球賽的人； Y表示只喜歡電影的人； Z表示只喜歡戲劇的人

a表示喜歡球賽和電影的人。僅此2項。不喜歡戲劇

b表示喜歡電影和戲劇的人。僅此2項。不喜歡球賽

c表示喜歡球賽和戲劇的人。僅此2項 不喜歡電影。

中間的陰影部分則表示三者都喜歡的。我們用 T表示。

回顧上面的7個部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互獨立。互不重復的部分

現在開始對這些部分規類。

X＋y＋z＝是只喜歡一項的人 我們叫做 A a+b+c＝是只喜歡2項的人 我們叫做B T 就是我們所說的三項都喜歡的人

x＋a＋c＋T＝是喜歡球賽的人數 構成一個紅圈

y＋a＋b＋T＝是喜歡電影的人數 構成一個藍圈

z＋b＋c＋T＝是喜歡戲劇的人數 構成一個綠圈

三個公式。

（1）A＋B＋T＝總人數

（2）A＋2B＋3T＝至少喜歡1個的人數和

（3）B＋3T＝至少喜歡2個的人數和

例題：學校教導處對100名同學進行調查，結果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇（但不喜歡看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。

通過這個題目我們看 因為每個人都至少喜歡三項中的一項。則我們用三個圈紅，綠，藍代表球賽。戲劇、和電影。

A＋B＋T＝100 A＋2B＋3T＝148 T＝12 則可以直接計算只喜歡一項的和只喜歡兩項的A=64 B=24

典型例題：甲,乙,丙三個人共解出20道數學題,每人都解出了其中的12道題,每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題, 只有兩人解出的題叫做中等題,三人解出的題叫做容易題,難題比容易題多（）題? A、6 B、5 C、4 D、3

【解析】第三題需要結合文氏圖來理解了，畫圖會很清楚的我們設a表示簡單題目，b表示中檔題目 c表示難題

a＋b＋c＝20

c＋2b＋3a＝12×3 這個式子式文氏圖中必須要記住和理解的將a＋b＋c＝20變成 2a＋2b＋2c＝40 減去 上面的第2個式子

得到： c－a＝4 答案出來了

可能很多人都說這個方法太耗時了，的確。在開始使用這樣方法的時候費時不少。當當完全了解熟練運用a＋2b＋3c這個公式時，你會發現再難的題目也不會超過1分鐘。

三十四，九宮圖問題

此公式只限于奇數行列

步驟1：按照斜線的順序把數字按照從小到大的順序，依次斜線填寫！

步驟2： 然后將3×3格以外格子的數字折翻過來，最左邊的放到最右邊，最右邊的放到最左邊

最上邊的放到最下邊，最下邊的放到最上邊

這樣你再看中間3×3格子的數字是否已經滿足題目的要求了 呵呵！

三十五，用比例法解行程問題

行程問題一直是國家考試中比較重要的一環，其應用之廣恐無及其右者。行程問題的計算量按照基礎做法不得不說非常大。所以掌握簡單的方法尤為重要。當然簡單的方法需要對題目的基礎知識的全面了掌握和理解。

在細說之前我們先來了解如下幾個關系：

路程為S。速度為V 時間為T S＝VT V＝S/T T＝S/V

S相同的情況下： V跟T成反比

V相同的情況下： S跟T成正比

T相同的情況下： S跟V成正比

注：比例點數差也是實際差值對應的比例！理解基本概念后，具體題目來分析

例

一、甲乙2人分別從相距200千米的AB兩地開車同時往對方的方向行駛。到達對方始發點后返回行駛，按照這樣的情況，2人第4次相遇時甲比乙多行了280千米 已知甲的速度為60千米每小時。則乙的速度為多少？

分析：這個題目算是一個相遇問題的入門級的題目。我們先從基礎的方法入手，要多給自己提問 求乙的速度 即要知道乙的行駛路程S乙，乙所花的時間T乙。這2個變量都沒有告訴我們，需要我們去根據條件來求出：

乙的行駛路程非常簡單可以求出來。因為甲乙共經過4次相遇。希望大家不要嫌我羅嗦。我希望能夠更透徹的把這類型的題目通過圖形更清晰的展現給大家。

第一次相遇情況

A（甲）．。。。。。。。。。。（甲）C（乙）。。。。。。。。。。。B（乙）

AC即為第一次相遇 甲行駛的路程。BC即為乙行駛的路程

則看出 AC＋BC＝AB 兩者行駛路程之和＝S 第2次相遇的情況

A．。。。。。。。。。。（乙）D（甲）。。。C。。。。。。。。。。。。。B

在這個圖形中，我們從第一次相遇到第2次相遇來看甲從C點開始行駛的路線是C－B－D，其路程是 BC＋BD 乙行駛的路線則是C－A－D 其行駛的路程是AC＋AD

可以看出第2次相遇兩者的行駛路程之和是BC＋BD＋AC＋AD＝（BC＋AC）＋（BD＋AD）＝2S，同理第3，4次相遇都是這樣。

則我們發現 整個過程中，除第一次相遇是一個S外。其余3次相遇都是2S。總路程是2×3S＋S＝7S 根據題目，我們得到了行駛路程之和為7×200＝1400

因為甲比乙多行駛了280千米 則可以得到 乙是（1400－280）÷2＝560 則甲是560＋280＝840

好，現在就剩下乙的行駛時間的問題了。因為兩個人的行駛時間相同則通過計算甲的時間得到乙的時間 即 840÷60＝14小時。

所以T乙＝14小時。那么我就可以求出乙的速度V乙＝S乙÷T乙＝560÷14＝40 說道這里我需要強調的是，在行程問題中，可以通過比例來迅速解答題目。

比例求解法：

我們假設乙的速度是V 則根據時間相同，路程比等于速度比，S甲：S乙＝V甲：V乙 衍生出如下比例：（S甲＋S乙）：（S甲－S乙）＝（V甲＋V乙）：（V甲－V乙）

得出 1400：280＝（60＋V）：（60－V）解得 V＝40

例

二、甲車以每小時160千米的速度，乙車以每小時20千米的速度，在長為210千米的環形公路上同時、同地、同向出發。每當甲車追上乙車一次，甲車減速1/3，而乙車則增速1/3。問：在兩車的速度剛好相等的時刻，它們共行駛了多少千米？

A.1250 B.940 C.760 D.1310

【解析】 我們先來看 需要多少次相遇才能速度相等

160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方 N代表了次數 解得N＝3 說明第三次相遇即達到速度相等

第一次相遇前： 開始時速度是160：20＝8：1 用時都一樣，則路程之比＝速度之比

我們設乙行駛了a千米 則（a＋210）： a ＝ 8：1 解得 a＝30

第二次相遇前： 速度比是 甲：乙＝4：1 用時都一樣，則路程之比＝速度之比

我們設乙從第1次相遇到第2次相遇行駛了b千米 則（b＋210）： b ＝ 4：1 解得 a＝70 第三次相遇前：速度比是 甲：乙＝2：1 用時都一樣，則路程之比＝速度之比

我們設乙從第2次相遇到第3次相遇行駛了c千米 則（c＋210）： c ＝ 2：1 解得 c＝210 則三次乙行駛了 210＋70＋30＝310千米

而甲比乙多出3圈 則甲是 210×3＋310＝940 則 兩人總和是 940＋310＝1250

例三、一輛汽車以每小時40千米的速度從甲城開往乙城，返回時它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小時30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的時間比前往乙城的時間多用了10分鐘，甲、乙兩城相距多遠？

【解析】我們知道多出來的10分鐘即1/6小時是在最后1/4差5千米的路程里產生的，則根據路程相同

速度比等于時間比的反比

即 T30：T40＝40：30＝4：3

所以30千米行駛的最后部分是用了 1/6×（4－3）×4＝2/3小時

即路程是30×2/3=20千米

總路程是(20＋5)÷1/4=100

例

四、甲乙兩人各坐一游艇在湖中劃行,甲搖漿10次時乙搖漿8次,而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程,現甲先搖漿4次,則乙搖漿多少次才能追上? A.14 B.16 C.112 D.124

【解析】 甲搖漿10次時乙搖漿8次 知道甲乙速度之比=5：4

而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程 則可以得到每漿得距離之比是甲：乙＝7：9

所以，我們來看 相同時間內甲乙得距離之比，5×7：4×9＝35：36 說明，乙比甲多出1個比例單位

現在甲先劃槳4次，每漿距離是7個單位，乙每漿就是9個單位，所以甲領先乙是4×7＝28個單位，事實上乙每4漿才能追上36-35＝1個單位，說明28個單位需要28×4＝112漿次追上！選C

例

五、甲乙兩個工程隊共100人,如果抽調甲隊人的1/4至乙隊,則乙隊比甲隊多了2/9,問甲隊原來多少人?

這個題目其實也很簡單，下面我說一個簡單方法

【解析】 根據條件乙隊比甲隊多了2/9 我們假設甲隊是單位1，則乙隊就是1＋2/9＝11/9，100人的總數不變

可見 甲乙總數是1＋11/9=20/9（分母不看）

則100人被分成20分 即甲是100÷20×9＝45 乙是 55

因為從甲隊掉走1/4 則剩下的是3/4 算出原來甲隊是 45÷3/4＝60 三十六，計算錯對題的獨特技巧

例題：某次考試有30道判斷題，每做對一道題得4分，不做的不得分，做錯一道題倒扣2分 小明得分是96分，并且小明有題目沒做，則小明答對了幾道試題（）

A 28 B 27 C 26 D25 正確答案是 D 25題

我們把一個答錯的和一個不答的題目看成一組，則一組題目被扣分是6＋4＝10 解釋一下6跟4的來源

6是做錯了不但得不到4分還被扣除2分 這樣里外就差4＋2＝6分

4是不答題 只被扣4分，不倒扣分。

這兩種扣分的情況看著一組

目前被扣了30×4－96＝24分

則說明 24÷10＝2組 余數是4

余數是4 表明2組還多出1個沒有答的題目

則表明 不答的題目是2＋1＝3題，答錯的是2題

三十七，票價與票值的區別

票價是P（2，M）是排列 票值是C（2，M）

三十八，兩數之間個位和十位相同的個數

1217到2792之間有多少個位數和十位數相同的數？

從第一個滿足條件的數開始每個滿足條件的數之間都是相差11 方法一：

看整數部分1217～2792

先看1220～2790 相差1570 則有這樣規律的數是1570÷10＝157個

由于這樣的關系 我總結了一個方法 給大家提供一個全新的思路

方法二：

我們先求兩數差值 2792－1217＝1575 1575中有多少11呢 1575÷11＝143 余數是2 大家不要以為到這里就結束了 其實還沒有結束

我們還得對結果再次除以11 直到所得的商小于11為止

商+余數再除以11

（143＋2）÷11＝13 余數是2

（13＋2）÷11＝1 因為商已經小于11，所以余數不管

則我們就可以得到個數應該是143＋13＋1＝157

不過這樣的方法不是絕對精確的，考慮到起始數字和末尾數字的關系。誤差應該會在1之間！不過對于考公務員來說 誤差為1 已經可以找到答案了！

三十九，擱兩人握手問題

某個班的同學體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握手，整個游戲一共握手152次，請問這個班 的同學有（）人

A、16 B、17 C、18 D、19

【解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的對角線的原理在解決此題。按照排列組合假設總數為X人 則Cx取3＝152 但是在計算X時卻是相當的麻煩。我們仔細來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x－3次手。每個人都是這樣。則總共握了x×（x-3）次手。但是沒2個人之間的握手都重復計算了1次。則實際握手次數是x×（x-3）÷2＝152 計算的x＝19人

四十，溶液交換濃度相等問題

設兩個溶液的濃度分別為A％，B％并且 A＞B 設需要交換溶液為X 則有：（B－X）：X＝X：（A－X）

A：B=（A-X）：X

典型例題：兩瓶濃度不同得鹽水混合液。60％的溶液是40克，40％的溶液是60克。要使得兩個瓶子的溶液濃度相同，則需要相互交換（）克的溶液？

A、36 B、32 C、28 D、24

【解析】答案選D 我們從兩個角度分析一下，假設需要交換的溶液為a克。則我們來一個一個研究，先看60％的溶液 相對于交換過來的a克40％的溶液 可以采用十字交叉法來得出一個等式 即（再設混和后的標準濃度是p）

40－a ：a＝（P－40％）：（60％－P）

同理我們對40％的溶液進行研究 采用上述方法 也能得到一個等式：

60－a ：a＝（60％－P）：（P－40％）

一目了然，兩者實際上是反比，即40－a ：a＝a ：60－a 解得 a＝24 即選D

如果你對十字交叉法的原理理解的話 那么這個題目中間的過程完全可以省去。所以說任何捷徑都是建立在你對基礎知識的把握上。

解法二： 干脆把2個溶液倒在一起混和，然后再分開裝到2個瓶子里 這樣濃度也是相等的。我們根據十字交叉法，60跟40的溶液混合比例 其實跟交換的x克60％溶液與剩下60－x克40％的溶液比例成反比，則60：40＝60－x：x解 X＝24克

四十一，木桶原理

一項工作由編號為1～6的工作組來單獨完成，各自完成所需的時間是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。現在將這項工作平均分配給這些工作組來共同完成。則需要（）天？

A、2.5 B、3 C、4.5 D、6

【解析】這個題目就是我們常說的“木桶效應”類型的題目。“木桶效應”概念來自于經濟學中的稱呼。意思是一個木桶是由若干個木板拼湊起來的。其存水量取決于最短的那塊木板。這個題目我們看 該項工作平均分配給了每個小組，則每個小組完成1/6的工作量。他們的效率不同 整體的時間是取決于最慢的那個人。當最慢的那個人做完了，其它小組早就完成了。18天的那個小組是最慢的。所以完成1/6需要3小時，選B

例題：一項工作，甲單獨做需要14天，乙單獨做需要18天，丙丁合做需要8天。則4人合作需要（）天？

A、4 B、5 C、6 D、7

【解析】 題目還是“木桶效應”的隱藏運用。我們知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根據合做的情況 并且最后問的也是合作的情況。我們不妨將其平均化處理。也就是說 兩個人的平均效率是16天。那么這里效率最差的是18天。大家都是18天 則4人合作需要18÷4＝4.5天。可見最差也不會超過4.5天，看選項只有A滿足

四十二，壞鐘表行走時間判定問題

一個鐘表出現了故障，分針比標準時間每分鐘快6秒，時針卻是正常的。上午某一時刻將鐘表調整至標準時間。經過一段時間 發現鐘表的時刻為晚上9：00 請問鐘表在何時被調整為標準時間？

A、10：30 B、11：00 C、12：00 D、1：30

【解析】此題也是比較簡單的題目。我們看因為每分鐘快6秒則1個小時快60×6＝360秒即6分鐘。當9：00的時候 說明分針指在12點上。看選項。其時針正常，那么相差的小時數是正常的，A選項差10.5個小時即 分針快了10.5×6＝63分鐘。則分針應該在33分上。錯誤！同理看B選項 相差10個小時 即10×6＝60分鐘，剛好一圈，即原在12上，現在還在12上選B，其它雷同分析。

四十三，雙線頭法則問題

設做題的數量為S 做對一道得X分 做錯一道扣Y分 不答不得分

競賽的成績可能值為N 令T=（X+Y）/Y

則N={[1+（1+S）]*（1+S）}/2-{[1+（S-T+1）]*（S-T+1）}/2

某次數學競賽共有10道選擇題，評分辦法是每一題答對得4分，答錯一道扣2分，不答不得分，設這次競賽最多有N種可能的成績，則N應等于多少？

A、28 B、30 C、32 D、36

【解析】該題是雙線段法則問題【（1＋11）×11÷2 】－【（1＋8）×8÷2】＝30

所謂線段法則就是說，一個線段上連兩端的端點算在內共計N個點。問這個線段一共可以行成多少線段。計算方法就是（N－1）×N÷2，我看這個題目。我們按照錯誤題目羅列大家就會很清楚了

答對題目數 可能得分40 9 36，34 8 32，30，28 7 28，26，24，22 6 24，22，20，18，16 5 20，18，16，14，12，10 4 16，14，12，10，8，6，4 3 12，10，8，6，4，2，0，－2 2 8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8 4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，0 0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，－16，－18，－20

這樣大家就不難發現可能得分的情況隨著答對題目數量的減少，或者說答錯題目的增多。呈現等差數列的關系，也就是線段法則的規律。然后從第7開始出現了重復數字的產生。也是隨著題目的答錯數量的增加而等差增加。這是隱藏的線段法則。所以稱之為雙線段法則應用。

回歸倒我一看的題目 大家可能要問，后面【】里面的8從什么地方來的？ 這就是確定重復位置在哪里的問題。（得分分值＋扣分分值）÷扣分分值＝3 即當錯3題時開始出現重復數字。也就是隱形線段法則的起始端。10－3＝7 就是說 從0～8之間有多少個間隔就有多少個重復組合。

四十四，兩人同向一人逆相遇問題

典型例題：在一條長12米的電線上,紅,藍甲蟲在8:20從左端分別以每分鐘13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黃蟲以每分鐘15厘米的速度從右端向左爬去,紅蟲在什么時刻恰好在藍蟲和黃蟲的中間? A 8:55 B 9:00 C 9:05 D 9:10

公式總結；設同向的速度分別為A B 逆向的為C 時間為T 則T=A+[（A-B）/2+C]*T=S 四十五，往返行程問題的整體求解法

首先兩運動物體除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。

我們可以假設停留的時間沒有停留，把他計入兩者的總路程中

化靜為動巧求答

例題：1快慢兩車同時從甲乙兩站相對開出，6小時相遇，這時快車離乙站還有240千米，已知慢車從乙站到甲站需行15小時，兩車到站后，快車停留半小時，慢車停留1小時返回，從第一次相遇到返回途中再相遇，經過多少小時？

解法：根據往返相遇問題的特征可知，從第一次相遇到返回途中再相遇，兩車共行的路程為甲乙兩站距離的2倍，假設快車不在乙站停留0.5小時，慢車不在甲站停留1小時，則兩車從第一次相遇到第二次相遇所行總路程為600×2+60×0.5+40×1=1270（千米），故此期間所經時間為1270÷（60+40）=12.7（小時）甲乙兩人同時從東鎮出發，到相距90千米的西鎮辦事，甲騎自行車每小時行30千米，乙步行每小時行10千米，甲到西鎮用1小時辦完事情沿原路返回，途中與乙相遇。問這時乙走了多少千米？

解法：根據題意可知甲從東鎮到西鎮，返回時與乙相遇（乙未到西鎮，無返回現象），故兩人所行路程總和為（90×2=）180（千米），但因甲到西鎮用了1小時辦事。倘若甲在這1小時中沒有停步（如到另一地方買東西又回到西鎮，共用1小時），這樣兩人所行總路程應為：

90×2+30=210（千米），又因兩人速度和為30+10=40（千米），故可求得相遇時間為：（210÷40=）5.25（小時），則乙行了（10×5.25=）

52.5（千米）。甲、乙兩人同時從東西兩鎮相向步行，在距西鎮20千米處兩人相遇，相遇后兩人又繼續前進。甲至西鎮、乙至東鎮后都立即返回，兩人又在距東鎮15千米處相遇，求東西兩鎮距離？

解法一 設東西兩鎮相距為x千米，由于兩次相遇時間不變，則兩人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：

所以東西兩鎮相距45千米。

解法二 緊扣往返行程問題的特征，兩人自出發至第二次相遇所走路程總和為東西兩鎮距離的3倍，而第一次相遇距西鎮20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，則從出發至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇時乙已從東鎮返回又走了15千米，所以，兩鎮的距離為（20×3-15=）45（千米）

四十六，行船問題快解

例題：一只游輪從甲港順流而下到乙港，馬上又逆水返回甲港，共用8小時，順水每小時比逆水每小時多行12千米，前4小時比后4小時多行30千米。甲、乙兩港相距多少千米？A.72 B.60 C.55 D.48 解析：30/12=5/2，8-5/2=11/2(12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55 四十七，N條線組成三角形的個數

n條線最多能畫成幾個不重疊的三角形 F(n)＝F(n－1)＋ F(n－2)如 f（11）＝19 四十七，邊長為ABC的小立方體個數

邊長為ABC的長方體由邊長為1的小立方體組成，一共有abc個小立方體，露在外面的小立方體共有 abc－（a－2）（b－2）（c－2）

四十八，測井深問題

用一根繩子測井臺到井水面的深度，把繩子對折后垂到井水面，繩子超過井臺9米；把繩子三折后垂到井水面，繩子超過井臺2米。那么，繩子長多少米? 解答：（2*9-3*2）/(3-2)=12

（折數*余數-折數*余數）/折數差=高度

繩長=（高度+余數）*折數=（12+9）*2=42 四十九，分配對象問題

（盈+虧）/分配差 =分配對象數

有一堆螺絲和螺母，若一個螺絲配2個螺母，則多10個螺母；若1個螺絲配3個螺母，則少6個螺母。共有多少個螺絲？()A.16 B.22 C.42 D.48

解析：A，（10+6）/（3-2）=16

若干同學去劃船，他們租了一些船，若每船4人則多5人，若每船5人則船上空4個坐位，共有()位同學A.17 B.19 C.26 D.41 解析：D，（5+4）/（5-4）=9，4*9+5=41

第三篇：頁碼問題公式總結

頁碼問題常見的主要有三種題型： 一、一本書有N頁，求排版時用了多少個數字；或者反過來，一本書排版時用了N個數字，求這本書有多少頁；

二、已知一本N頁的書中，求某個數字出現多少次；

三、已知一本N頁的書中，求含有某個數字的頁碼有多少頁

1．編一本書的書頁，用了270個數字（重復的也算，如頁碼115 用了2個1 和1個5共3個數字），問這本書一共有多少頁？

A.117 B.126 C.127 D.189 方法一：l--9 是只有9個數字，10--99 是2*90 =180個數字，那么剩下270-9-180= 81，剩下81/3 = 27頁，則這本書是99+27-1=126 頁。

方法二：假設這個頁數是A頁，則有A 個個位數，每個頁碼除了1--9，其他都有十位數，則有A-9個十位數，同理：有A-99個百位數。則：A+(A-9)+(A-99)=270 3A-110+2=270 3A=378，A=126 方法三：公式法：公式：一本書用了N個數字，求有多少頁：N/3+36。270/3 +36=126。

2．一本小說的頁碼，在排版時必須用2211 個數碼。問這本書共有多少頁？ A．773 B.774 C.775 D.776 解析：代入公式：N/3+36=737+36=773 ．王先生在編一本書，其頁數需要用6869 個字，問這本書具體是多少頁？ A.1999 B.9999 C.1994 D.1995 方法一：假設這個頁數是A頁，則：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869，求出A=1994 方法二：6869>2889，所以，把所有的數字看作是4位數字，不足4位的添O補足4位，l , 2 , 3 , ? 9 記為0001 , 0002 , 0003 ,..0009 這樣增加了3 * 9 = 27 個0 10 , 11 , 12 , ? 99 記為0010 , 0011 , 0012，..0099 增加了180 個0 100 , 101，? 999 記為0100 , 0101，? 0999 增加了900 個O(6869+27+180+900)/4 =1994

總結：一本書排版時用了N個數字，求這本書有多少頁，N<2889時，用公式：N/3+36；N>2889時,用添加0計算。

4.在1-5000 頁中，出現過多少次數字3 ？

解析：每十個數里的個位上有一個3，5000個數就有5000/10=500個3，每一百個數里的十位上會有30到39,10個3，所以(5000/100)乘10=500個3，每一千個數里的百位上會有300到399，100個3所以(5000/1000)乘100=500個3，在千位上的3就有3000到3999，1000個3，所以500+500+500+1000=2500個3

5.一本書有4000 頁，問數字1 在這本書里出現了多少次？ 解析：我們看4000分為千，百，十，個四個數字位置

千位是1 的情況：那么百、十、個三個位置的選擇數字的范圍是0--9 共計10個數字。就是10*10*10=1000 百位是1 的情況，千位是（0 , 1 , 2 , 3)4個數字可以選擇。十位，個位還是0--9，10個數字可以選擇即4*l0*10=400 十位和個位都跟百位一樣。那么答案就是1000+400*3=2200

總結：因為在頁碼1-99 中，l、2、3、4、5、6、7、8、9 均會出現20 次；在頁碼100-999 中，l、2、3、4、5、6、7、8、9 均會出現20*9+100次。

上面兩題均可以用公式,關于含“1”的頁數問題，總結出的公式就是：總頁數的1/10 乘以（數字位-1)，再加上10 的（數字位數-l）次方。如三位數：總頁數的1 / 10 乘以（3 一l)+ 1O 的（3-1)次方 四位數：總頁數的l / 10 乘以（4 一l)+ 10 的（4-l)次方

那么第4題：(5000/10)*3+1000=2500；第5題：(4000/10)*3+1000=2200 6．在1-5000頁中，含3的頁數有是多少？ 在頁碼1-99中，數字3出現了20次，即有19個含3的頁碼(33頁要去掉一次）；在頁碼100-999 中，分兩種情況考慮：（1）首位數字是3，那么，后面兩位就不用管了，一共有含3的頁碼100頁；（2）首位數字不是3，那么必須考慮后兩位數字含3，而前面知道，1-99中，有19個含3的頁碼，由于首位數字這時有l、2、4、5、6、7、8、9 這么8種可能性，所以應該是19 * 8個含3的頁碼。

本題，在1-999中，含3的頁碼一共19+19*8+100=19*9+100頁；再引申到1000-5000，也分兩種情況：(l)千位是3，則有1000頁：(2）千位不是3，則只可能是l、2、4，只考慮后3位，有（19*9+l00)*3 個含3 的頁碼。所以，合計是：19 * 9 + 100 +(19 * 9 + 100)* 3 + 1000 =2084 頁 7.99999 中含有多少個帶9 的頁面？

答案是40951，排列組合學的不是特別好的同學可以牢記公式: [(19*9+100)*9+1000]*9+10000=40951

規律很簡單：19*9+100，代表l-999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9 的頁碼數；

(19*9+100)*9+1000，代表1-9999 里含l、2、3、4、5、6、7、8、9 的頁碼數； [(19*9+100)*9+1000]*9+10000，代表l-99999 里含l、2、3、4、5、6、7、8、9 的頁碼數。

2位數是19頁，然后每多一位數就乘以9，再加上10的N次方，N=位數減1。8.一本300頁的書中含“l”的有多少頁？ 19*2+100=138頁

9．將所有自然數，從1 開始一次寫下去得到：***13? ?，試確定第206786 個位置上出現的數字？ A.3 B.0 C.7 D.4 解析：

方法一：9999*4<10000*4=40000<206786<99999*5,那么肯定是5位數了。

l , 2 , 3 , ? 9 記位00001 , 00002 , 00003 ,..00009 這樣增加了4 * 9 = 36 個0 10 , 11 , 12 , ? 99 記為00010 , 00011 , 00012，..00099 增加了270 個0 100 , 101，? 999 記為00100 ,00101，? 00999 增加了1800 個O 1000,1001，? ,9999記為01000 ,01010，? 09999 增加了9000 個O(206786+36+270+1800+9000)/5 =217892/5=43578余2, 說明206788 位置上的數就是第43579 的第2個數字3 方法二

設有A頁，那么：A+(A-9)+（A-99）+（A-999）+（A-9999)=206788 5A-(9+99+999+9999)=206786 A=43578余數是2 說明206786 位置上的數就是第43579 的第2個數字3

10、一本小說的頁碼，在印刷時必須用1989個鉛字，在這一本書的頁碼中數字1出現多少次？

解析：共有1989/3+36=699 頁。

即出現：(700/10)*(3-1)+100=240次

11.印刷一本書用了1992個數字，在這本書中出現數字2的頁碼有多少頁？

A.214 B.226 C.230 D.240 解析：有1992/3+36=664+36=700頁，含有數字2的頁碼：6*19+100=214選A

第四篇：教案 四年級 第2講 頁碼中的數字問題

黃岡思維數學四年級B冊

第二講 頁碼中的數字問題

內容：頁碼中的數字問題

目的：使學生掌握頁碼中常見的三種數字問題：

① 計算頁碼中所有數字的個數的和，或是根據已知頁碼中的所用數字個數的和求頁碼數。

② 計算頁碼中某個數字出現的次數。③ 計算頁碼中所有數字的和。

重點難點：①仔細審題，動腦筋找出題目中數字之間的特殊聯系。

②掌握三種問題中的一些常見的、巧妙的解題方法

教學方法：應用分段、分類、分組的思想將不熟悉的數字問題轉化為熟悉的數字問題。教學流程：情景引入

同學們，請把你們手中的黃岡思維數學打開看一下，總共有多少頁呢？事實上，每本書都要編頁碼，而頁碼是大家最常見、最常用、最熟悉的數，而這些熟悉的數放到我們數學中就讓我們大開眼界了。

探究新知

例1 一本書共132頁，在這本書的頁碼中，共用了多少個數字？

教師分析：

1、仔細審題，所求的是共用多少個數字，是指所有數字的個數的和，絕不是指總頁數。

2、看上去比較難，不能直接算

師生互動：

1、直接算太麻煩，如何找方法呢？學生討論

2、教師點撥，將132個數可分為哪幾類，進而引入分段、分類思想

第一段

1—9，也就是一位數，有9個數，共有9個數字

第二段 10—99，也就是兩位數，有90個數，共有90×2=180個數字 第三段 100—132，也就是三位數，有33個數，共用33×3=99個數字

3、學生分段求每段的個數和。

完全解答：解： 1×9+2×（99-9）+3×（132-99）

=8+180+99

=288（個數字）

答：這本書頁碼共用了288個數字。

學生模仿訓練：P14第一題

總結：求頁碼中數字個數的和時，我們可以按一位數、兩位數、三位數??進行分段分類，再求出每段中數字個數和，最后把結果相加。

例2 一本書有408頁，要把它編出頁碼1、2、3、4、??407、408，數字2一共需出現幾次？

教師分析：

1、一個一個地數出來很浪費時間，而且很容易遺漏

2、模仿例1，對408個數進行分段分類

3、強調2在幾個數位上同時出現時，需要重復計算。

師生互動：

1、把1—408進行分段分類，可分為1—99，100—199，200—299，300—399，400—408共五段

2、顯然，每段中數字2出現的次數互不相等，仍然不能直接計算，該怎么辦？學生討論后，在教師指導下，將大段又分為幾個小段

3、教師指導學生將1—99再分為1—9，10—19，20—29，??，90—99共10個小段，學生找出每小段中2出現的次數，針對學生出現的問題，教師強調：20—29中，2出現的次數是11次，而不是10次，22中，2出現的次數是2次。

4、類比上步，學生找100—199，300—399出現2的次數

5、在200—299中，2出現的次數很容易遺漏，教師強調，百位上出現了100次2.完全解答：

解： 20×4+100+1

=80+100+1

=181

答：數字2一共要出現181次。學生模仿練習：P15第2題

總結：求某個數字在頁碼中出現的次數時，①可將數字分段分類

②必要時，可將大段再分小段，也就是將“大事化小，小事化了”的思想

③至于怎樣分類，要靠對題意進行仔細的觀察和認真的分析。

例3 排一本辭典的頁碼共用了2925個數字，請你算一下，這本辭典有多少頁？

教師點撥：

1、對照例1觀察，發現兩例是相反的，例1是已知頁碼數，求共用多少個數字，例3是已知共用的數字，求頁碼數。

2、分組分類 1—9，用9個數字；10—99，用2×90=180個數字；100到999，用3×900=2700個數字 3、1—999中，用了9+180+2700=2889個數字，但是，2925＞2889，顯然，這本書不止999頁。4、1000—9999都是四位數，學生思考，四位數的頁碼數是多少個？

完全解答：

解： 1—999頁排完后剩下多少個數字

2925-1×9-2×90-3×900

=2925-9-180-2700

=36（個）

總頁數：9+90+900+36÷4

=999+9

=1008（頁）

答：這本辭典共有1008頁。

學生模仿練習：P17第3題

總結：在已知頁碼所用的數字個數之和，求頁碼數時，①不能硬算 ②要充分利用題中數字之間的內在聯系，來找解題的入手點 ③要注意比較

例4： 一本書100頁，計算頁碼1—100這些自然數中的所有數字之和是多少？

教師分析：①舉例說明，頁碼數之和絕不等于各頁碼數字之和

②采用分類法，將1—100分為10段

學生互動：先分段，再求各段數字之和。完全解答：

解：把1—100各數分成1—9，10—19，20—29，30—39，??90—99，和100，這樣11段，第一段1、2、3、4、5、??

8、9，其和為45；第二段，它們的個位上數字之和仍然是45，另外還有十位上的10個1，其和為45+10=55；第三段個位上數字之和仍然是45，再加上十位上的10個2，其和為45+10×2=65；??以此類推，第10段每個數字的和為45+90=136；第11段只有100這個數，和為1.45+55+65+??+135+1

=（45+135）×10÷2+1

=901

答：1—100這些自然數的所有數字和是901.還有其他的分段方法嗎？帶著這個問題學生閱讀第十七頁的“解法歸納一”。

學生模仿訓練：P18第4題（答案：1—9：45；10—99：855 ；100—200：1003.共1903.）

總結：計算頁碼中所有數字和時，我們必須①先分段分類分組 ②總結各段之間的變化規律，避免重復計算 ③選擇好的分類方法，可使運算簡便。

例5 一本書的頁碼從1到82，共82頁，在把這本書的各頁的頁碼累加起來時，有一個頁碼被錯誤地多加了一次，結果得到的和為3440，問：這個被多加了一次的頁碼是多少？ 教師分析：

1、頁碼數之和可以直接求

2、造成錯誤的原因是有一頁碼被多加了一次，使總結果多加了這一頁碼數 學生動手求：①1—82的頁碼和

②兩和的差

完全解答： 解：1—82的頁碼和

（1+82）×82÷2

=83×82÷2

=3403

多加一次的頁碼：

3440-3403=37（頁）

答：這個被多加一次的頁碼是37.學生模仿練習：P19第5題

總結：解決頁碼中的數字問題，我們必須仔細審題，動腦筋找出題目中數字與數字之間的特殊聯系，同時更要學習和掌握分段分類分組的解題方法。

鞏固練習P20第2、3題

拓展提高P20第1題——教師點撥：第P150頁，第160頁，在同一張紙上。

P21第2題——教師點撥：每三頁分為一組，先求總數

第五篇：word里 A3分欄 頁碼和打印問題

word里 A3分欄 頁碼和打印問題

設置A3紙張打印文件，正反面，看起來方便，可以對折之后翻閱。但是要第4頁、第1頁印在一面。第2頁。第3頁印在另外一面

首先 分欄頁碼（4頁和1頁、2頁和3頁）這樣怎么設置？看網站上說了用域名設置{={page}*2-1}這樣我試過了，是（1頁.2頁）（3頁.4頁）依次順序排列的還有是要4頁和1頁的內容在一版，2頁和3頁的內容在一版

不要分欄，選好A3紙后，從菜單選 文件--打印，在彈出的對話框內單擊右上角的打印機的“屬性”按鈕，在“完成”選項頁中，選中雙面打印，之后，“小冊子布局”選項由灰色灰為黑色，在下方的每張打印頁數中自動變成每頁打印兩頁。然后 根據需要選小冊子布局為左側裝訂還是右側裝訂，就可以打印了