2020屆1月市一模數學（理）試題

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】先解不等式得集合B，再根據交集定義求結果.【詳解】

故選：B

【點睛】

本題考查一元二次不等式以及交集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.2．命題，則為（）

A．，B．，C．，D．，【答案】A

【解析】根據全稱命題的否定直接判斷選擇.【詳解】，：，故選：A

【點睛】

本題考查全稱命題的否定，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.3．已知復數z滿足，且，則（）

A．2

B．2i

C．

D．

【答案】C

【解析】根據共軛復數概念以及復數乘法列方程，解得結果.【詳解】

設,則，且，且.故選：C

【點睛】

本題考查共軛復數概念以及復數乘法，考查基本分析求解能力，屬基礎題.4．已知均為單位向量，若夾角為，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】先求數量積，再求模的平方，最后得結果.【詳解】

故選：D

【點睛】

本題考查向量數量積以及向量的模，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5．若實數x，y滿足不等式組，則的最大值為（）

A．4

B．

C．-6

D．6

【答案】A

【解析】先作可行域，再根據目標函數所表示的直線，結合圖象確定最優解，代入得結果.【詳解】

作可行域如圖，則直線過點時取最大值4,故選：A

【點睛】

本題考查線性規劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.6．已知，，則a，b，c的大小關系為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據冪函數、對數函數的單調性判斷三個數大小.【詳解】

故選：D

【點睛】

本題考查利用冪函數、對數函數單調性比較大小，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.7．垃圾分類是一種新時尚，沈陽市為推進這項工作的實施，開展了“垃圾分類進小區”的評比活動.現對沈陽市甲、乙兩個小區進行評比，從中各隨機選出20戶家庭進行評比打分，每戶成績滿分為100分.評分后得到如下莖葉圖.通過莖葉圖比較甲、乙兩個小區得分的平均值及方差大小（）

A．，B．，C．，D．，【答案】C

【解析】根據莖葉圖數據分布，比較最小值與最大值以及中間數值可以確定平均值大小，根據數據分布集中情況確定方差大小，即可選擇.【詳解】

因為甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中間數值沒乙的中間數值大，所以；

因為甲的數據沒有乙的數據集中，所以.故選：C

【點睛】

本題考查根據莖葉圖判斷平均值與方差大小，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.8．已知a，b為兩條不同的直線，，為三個不同的平面，則下列說法中正確的是（）

①若，則

②若，則

③若，則

④若，則

A．①③

B．②③

C．①②③

D．②③④

【答案】B

【解析】根據線面位置關系逐一判斷，即可選擇.【詳解】

若，a可以和兩個相交平面的交線平行,這樣也能保證，；

若，則；

若，則；

若，則或；

故選：B

【點睛】

本題考查線面有關命題判斷，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.9．新高考的改革方案開始實施后，某地學生需要從化學，生物，政治，地理四門學科中選課，每名同學都要選擇其中的兩門課程.已知甲同學選了化學，乙與甲沒有相同的課程，丙與甲恰有一門課相同，丁與丙也沒有相同課程.則以下說法正確的是（）

A．丙沒有選化學

B．丁沒有選化學

C．乙丁可以兩門課都相同

D．這四個人里恰有2個人選化學

【答案】D

【解析】根據題意合理推理，并作出合理的假設，最終得出正確結論．

【詳解】

根據題意可得，∵甲選擇了化學，乙與甲沒有相同課程，∴乙必定沒選化學；

又∵丙與甲有一門課相同，假設丙選擇了化學，而丁與丙無相同課程，則丁一定沒選化學；

若丙沒選化學，又∵丁與丙無相同課程，則丁必定選擇了化學．

綜上，必定有甲，丙或甲，丁這兩種情況下選擇化學，故可判斷A，B不正確，D正確。

假設乙丁可以兩門課都相同，由上面分析可知，乙丁都沒有選擇化學，只能從其它三科中選兩科。不妨假設選的是生物、政治，則甲選的是化學和地理，而丙和甲共同選擇了化學，另一門課丙只能從生物、政治中選一科，這樣與“丁與丙也沒有相同課程”矛盾，故假設不成立，因此C不正確。

【點睛】

本題主要考查學生的邏輯推理能力。

10．已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線與，若點A，B為直線上關于原點對稱的不同兩點，點M為直線上一點，且，則雙曲線C的離心率為（）

A．1

B．

C．2

D．

【答案】C

【解析】先求漸近線方程，再設坐標，根據斜率公式化簡條件，即得離心率.【詳解】

漸近線方程為，不妨設

則可設

因此

故選：C

【點睛】

本題考查雙曲線漸近線以及離心率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.11．如果將函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，則的值為（）

A．2

B．

C．

D．3

【答案】A

【解析】先根據左右平移不改變最值求得，再根據平移規律列等量關系，最后根據兩角差正切公式解得結果.【詳解】

因為左右平移不改變最值，所以

因為，向右平移個單位得到，而，所以，即

從而

故選：A

【點睛】

本題考查三角函數圖象變換以及兩角差正切公式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.12．已知函數是定義在上的偶函數，當時，則函數的零點個數為（）

A．20

B．18

C．16

D．14

【答案】C

【解析】先解，再作圖，結合圖象確定交點個數，即得零點個數.【詳解】

或

根據函數解析式以及偶函數性質作圖象，零點個數為,故選：C

【點睛】

本題考查函數零點以及函數綜合性質，考查數形結合思想方法以及綜合分析求解能力，屬中檔題.二、填空題

13．已知橢圓方程為，則其焦距為________.【答案】6

【解析】根據橢圓方程求,即得焦距.【詳解】

故答案為：

【點睛】

本題考查根據橢圓方程求焦距，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14．已知等差數列的前n項和為，且，.數列中，.則________.【答案】

【解析】先根據條件解得等差數列公差與首項，即得；再根據解得通項公式，即得，最后求積得結果.【詳解】

設等差數列公差為，則由，得，因為，所以

故答案為：

【點睛】

本題考查等差數列通項公式以及由遞推關系求通項公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.15．“學習強國”學習的平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優質平臺，現已日益成為老百姓了解國家動態，緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設有“閱讀文章”和“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰答題”四個答題板塊.某人在學習過程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間最多間隔一個答題板塊的學習方法有________種.【答案】

【解析】先分間隔一個與不間隔分類計數，再根據捆綁法求排列數,最后求和得結果.【詳解】

若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊相鄰，則學習方法有種;

若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間間隔一個答題板塊的學習方法有種;

因此共有種.故答案為：

【點睛】

本題考查排列組合實際問題，考查基本分析求解能力，屬基礎題.16．在四面體ABCD中，若，則當四面體ABCD的體積最大時，其外接球的表面積為________.【答案】

【解析】先根據底面ACD面積為定值，確定四面體ABCD的體積最大時，平面,再確定外接球球心位置，解得球半徑，代入球的表面積公式得結果.【詳解】

因為，所以底面ACD面積為定值，因此當平面時，四面體ABCD的體積最大.設外接圓圓心為,則四面體ABCD的外接球的球心滿足,且，因此外接球的半徑滿足

從而外接球的表面積為

故答案為：

【點睛】

本題考查四面體外接球的表面積，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題

17．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.（1）求A及a；

（2）若，求BC邊上的高.【答案】（1）,（2）

【解析】（1）根據正弦定理化簡可得a；根據二倍角正弦公式化簡可得A；

（2）先根據余弦定理求得，再根據三角形面積公式求BC邊上的高.【詳解】

（1）；

（2）由余弦定理得,設BC邊上的高為..即BC邊上的高為

【點睛】

本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18．如圖，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，.平面平面ABD，點E與點D在平面ABC的同側，且，.點F為AD中點，連接EF.（1）求證：平面ABC；

（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）取AB中點M，根據平幾知識得四邊形為平行四邊形,再根據線面平行判定定理得結果；

（2）先根據面面垂直得線面垂直，再建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數量積求各面法向量，根據向量夾角公式得兩法向量夾角余弦值，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.【詳解】

（1）取AB中點M，連FM,CM.因為點F為AD中點，所以

因為，,所以

因此四邊形為平行四邊形,所以

因為平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；

（2）因為，平面平面ABD，平面平面ABD，平面，所以平面因此以AC中點O為坐標原點，AC,BO,平行于BD的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設邊長為2，則

因此平面一個法向量為，設平面一個法向量為，由得，令

所以

因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為

【點睛】

本題考查線面平行判定定理、面面垂直性質定理以及利用空間向量求二面角，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.19．已知拋物線的焦點為F，點，點B在拋物線C上，且滿足（O為坐標原點）.（1）求拋物線C的方程；

（2）過焦點F任作兩條相互垂直的直線l與，直線l與拋物線C交于P，Q兩點，直線與拋物線C交于M，N兩點，的面積記為，的面積記為，求證：為定值.【答案】（1）（2）見解析

【解析】（1）先根據條件解得B點坐標，代入拋物線方程解得，即得結果；

（2）先設直線方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理以及弦長公式求得與，最后代入化簡得結果.【詳解】

（1）設

因為點B在拋物線C上，（2）由題意得直線l的斜率存在且不為零，設，代入得，所以

因此，同理可得

因此

【點睛】

本題考查拋物線方程以及直線與拋物線位置關系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20．在2019年女排世界杯中，中國女子排球隊以11連勝的優異戰績成功奪冠，為祖**親七十華誕獻上了一份厚禮.排球比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領先對方2分為勝.在每局比賽中，發球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發球權，否則交換發球權，并且對方得1分.現有甲乙兩隊進行排球比賽：

（1）若前三局比賽中甲已經贏兩局，乙贏一局.接下來兩隊贏得每局比賽的概率均為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；

（2）若前四局比賽中甲、乙兩隊已經各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊當前的得分為甲、乙各14分，且甲已獲得下一發球權.若甲發球時甲贏1分的概率為，乙發球時甲贏1分的概率為，得分者獲得下一個球的發球權.設兩隊打了個球后甲贏得整場比賽，求x的取值及相應的概率p（x）.【答案】（1）（2）x的取值為2或4,.【解析】（1）先確定甲隊最后贏得整場比賽的情況，再分別根據獨立事件概率乘法公式求解，最后根據互斥事件概率加法公式得結果；

（2）先根據比賽規則確定x的取值，再確定甲贏得整場比賽的情況，最后根據獨立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得結果.【詳解】

（1）甲隊最后贏得整場比賽的情況為第四局贏或第四局輸第五局贏，所以甲隊最后贏得整場比賽的概率為，（2）根據比賽規則，x的取值只能為2或4,對應比分為

兩隊打了2個球后甲贏得整場比賽，即打第一個球甲發球甲得分，打第二個球甲發球甲得分，此時概率為；

兩隊打了4個球后甲贏得整場比賽，即打第一個球甲發球甲得分，打第二個球甲發球甲失分，打第三個球乙發球甲得分，打第四個球甲發球甲得分，或打第一個球甲發球甲失分，打第二個球乙發球甲得分，打第三個球甲發球甲得分，打第四個球甲發球甲得分，此時概率為.【點睛】

本題考查獨立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21．已知函數.（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有三個零點，求實數a的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）先求導數，再根據二次函數圖象分類討論導函數符號變化規律，進而確定單調性；

（2）根據函數單調性確定零點個數，并用零點存在定理加以論證.【詳解】

（1）

當時，即在上單調遞增；

當時，即在上單調遞增；

當時，時，即在和上單調遞增；時，即在上單調遞減；

綜上：當時，在上單調遞增；

當時，在和上單調遞增；在上單調遞減；

（2）因為單調函數至多一個零點，所以，因為

所以

因為

而在和上單調遞增；在上單調遞減；

所以在上有且僅有一個零點，在上有且僅有一個零點（即1），在上有且僅有一個零點，所以當時，函數有三個零點.【點睛】

本題考查利用導數研究函數單調性以及利用導數研究函數零點，考查綜合分析求解能力，屬較難題.22．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線，直線l的參數方程為：（t為參數），直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；

（2）若點，求的值.【答案】（1），（2）

【解析】（1）根據將曲線C極坐標方程化為直角坐標方程，利用消元法化直線l的參數方程為普通方程

（2）先化直線l的參數方程為標準式，再代入曲線C方程，最后根據參數幾何意義求解

【詳解】

（1）

（2）

代入得

【點睛】

本題考查極坐標方程化直角坐標方程、參數方程化普通方程以及直線參數方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.23．已知函數.（1）求不等式的解集；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）

【解析】（1）根據絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集得結果；

（2）先化簡不等式，再根據絕對值三角不等式性質求最值，即得結果.【詳解】

（1）

或或

或或

即不等式的解集為.（2）

【點睛】

本題考查絕對值定義以及絕對值三角不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.