第一篇：初三及以上-數學

競賽專題講座－幾個重要定理

《定理1》正弦定理

△ABC中，設外接圓半徑為R，則

1-1，圖1-

2過B作直徑BA'，則∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故

證明概要如圖

即；

同理可得

當∠A為鈍角時，可考慮其補角，π-A.當∠A為直角時，∵sinA=1，故無論哪種情況正弦定理成立。《定理2》余弦定理△ABC中，有關系

222

a=b+c-2bccosA；（*）

222

b=c+a-2cacosB；

有時也用它的等價形式

b=acosC+ccosA；（**）證明簡介

多，下面介紹一種復數證法

如圖建立復平面，則有

c=a+b-2abcosC；a=ccosB+bcosC；c=acosB+bcosA.余弦定理的證法很

222

=（bcosA-c）+(bsinθ)即

由圖3顯見。

邊BC，CA，AB或其延長

a=b+c-2bccosA，同理可證（*）中另外兩式；至于**式，《定理3》梅涅(Menelaus)勞斯定理（梅氏線）直線截△ABC的線于D、E、F.則本題可以添加平行線來證明，也可不添輔助線，僅用正弦定理來證明。在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分別有

《定理4》塞瓦定理(Ceva)（塞瓦點）

設O是△ABC內任意一點，AB、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則證法簡介

內勞斯定理證明：

（Ⅰ）本題可利用梅

（Ⅱ）也可以利用面積關系證明

同理 ④

⑤

③×④×⑤得

《定理5》塞瓦定理逆定理

在△ABC三邊所在直線BC、CA、AB上各取一點D、E、F，若證法簡介

（Ⅰ）若AD∥BE（如圖畫5-1）則

則AD、BE、CE平行或共點。

BCCE

? BDEA

代入已知式：故 AD∥CF，從而

BDBCAFAFDC

???1于是 ?，DCBDFBFBCB

AD∥BE∥CF

（Ⅱ）若AD、BE交于O（圖5-2），則連CO交AB于F’.據塞瓦定理，可得 可見

BDCEAFBDCEAF???1 而已知???1DCEAF?BDCEAFBAF?AFAF?AF

??則F?BFBAF??F?BAF?FB

?AF??F?B?AF?FB?AB?AF??AF即F?即F，可見命題成立

《定理6》斯特瓦爾特定理

在△ABC中，若D是BC上一點，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，則

證明簡介： 由余弦定理，得

在△ABD和△ABC中，于其對角線乘積的充要

《定理7》托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等條件是該四邊形內接于一圓

AB?CD?BC?AD?AC?BD的充要條件是ABCD共圓

《定理7》、西姆松(Simson)定理（西姆松線）

從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在△ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的三角形的外接圓上 充要條件是

BPCQAR

???1。PCQARB

例題：

1． 設AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。

AEAF

?2。EDFB

AEDCBF

???1（梅氏定理）【分析】CEF截△ABD→

EDCBFA

求證：

【評注】也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一 作CF的平行線

2、過△ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。

例

1求證：。

【分析】連結并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。

例

DEG截△ABM→

（梅氏定理）

DGF截△ACM→（梅氏定理）

∴===1

【評注】梅氏定理

3．D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN。

【分析】梅氏定理

4．以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點。【分析】塞瓦定理

25． 已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC=AB+AB·BC。

【分析】托勒密定理過A作BC的平行線交△ABC的外接圓于D，連結BD。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

6． 已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：【分析】托勒密定理

7．過圓外一點P作圓的兩條切線和一條割線，切點為A, B.所。

作割線交圓于C, D兩點，C在P, D之間.在弦CD上取一點Q, 使?DAQ??PBC.求證：?DBQ??PAC.7． △ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PE⊥AB于E，延長ED交AC延長線于F。求證：BC·EF=BF·CE+BE·CF。

【分析】西姆松定理（西姆松線）

8． 正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內分點M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）【分析】面積法

例1 如圖，G是?ABC內一點AG，BG，CG的延長線分別交對邊于D，E，F，?AGF，?BGF，?BGD 的面積分別為40，30，35。求?ABC的面積。

例2，已知AC，CE是正六邊行ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內分AC，CE，且使如果B，M，N三點共線，試求 k的值

變式，已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內分AC，CE，且使

AMCN

??k。ACCE

AMCN3??，ACCE

3求證：B，M，N三點共線。

例3，如圖，過?ABC的三個頂點A，B，C作它的外接圓的切線，分別和BC，CA，AB的延長線交于P，Q，R。求證：P，Q，R三點共線。

C

例4。設AF，BE，CD分別是?ABC的內角平分線，中線和高，且AC=b,AB=c,求證：AF，BE，CD三線共點的充要條件是cosA=

c，(b?c)

例4，在凸四邊形ABCD中，?CAB=?CAD，E和F分別是邊CD，BC上的點，且滿足?CAF=?CAE，求證：AC，BE，DF三線共點。

變式：在四邊形ABCD中，對角線AC平分?BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于G，延長DG交BC于F。求證：?FAC=?EAC。

一、圓外一點P作圓的兩條切線和一條割線，切點為A, B.所作割點，C在P, D之間.在弦CD上取一點Q, 使?DAQ??PBC.線交圓于C, D兩求

證

：

?D

B?.Q?

PAC

∠DAQ=∠PBC=∠

{證明}如圖，聯結AB，在△ADQ和△ABC中，∠ADQ=∠ABC，BCDQ

?

AD，即CAB，故△ADQ∽△ABC，而有AB

BC?A?DA?B.……（10分）

PCAC

?PAAD； 又由切割線定理知△PCA∽△PAD，故

同理由△PCB∽△PBD得

PCBC

?

PBBD.……………………………………（20分）

ACBC

?

又因PA=PB，故ADBD，得AC?BD?BC?AD?AB?DQ.………………………………………（30分）

?AD?又由關于圓內接四邊形的托勒密定理知AC?BD?BC

1CD2.即CQ?DQ………………………（40分）

ADDQCQ

??,?BCQ??BADABBCBC在△CBQ與△ABD中，于是△CBQ∽△ABD，故?CBQ??ABD，DQ?

即得?DBQ??ABC??PAC.…………………………………(50分)

二．如圖：⊿ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點H，M，FD和AC交于點N。求證：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH

證明：(1)∵A、C、D、F四點共圓 BAC

?DQAB?CD是得AB?CD?2AB.于，故

直線ED和AB交于點

⊥MN。

∴∠BDF＝∠又∠OBC＝∴OB⊥DF．∴MC 2－MH 2∵BE⊥NA∵DA⊥BC

(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC 2

(2)∵CF⊥MA

＝AC 2－AH 2①

∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2②∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2③∵OB⊥DF

∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2④∵OC⊥DE

∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2⑤……………………………………30分①－②＋③＋④－⑤，得

NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2

∴OH⊥MN……………………………………………………………………50分

第二篇：初三數學

本學期認真加強思想政治理論及業務能力方面的學習，積極向黨組織靠攏，用黨員的標準來規范自己的行為，指導自己的工作態度，不斷學習新的教育理論，及時更新教育理念。積極參加學校組織的各項學習，在工作允許的情況下，積極參加業務處室的教研活動，在新的形勢下做為一名教師必須具有先進的教育觀念，才能適應教育的發展。我不但注重集體的政治理論學習，還注意從其它媒介中汲取信息，堅持每天看報、看新聞及從網絡上了解、學習新的形勢及所需的知識，為今后工作做好儲備與積累。嚴格遵守學校的各項規章制度，不遲到、不早退。在工作中，尊敬領導、團結同事，對待工作認真積極，不計較個人利益與得失，及時收發市教委的郵件，不使單位因某些原因而影響到正常工作的進行。較圓滿完成了單位交給的各項工作，在數量、質量、效率上都基本符合本崗的工作職責的要求。堅持以學校大局為重，為學校服務好的意識與工作態度，不斷努力提高自身素質和業務水平。

本學期，主要擔任實踐部教師，同時兼任政治部內勤工作。認真學習研究新課程改革、教育教學新理念，并代表實踐部參加了學校組織的青年教師學習教育新理念論壇的發言，交流通過學習教育新理念并結合學校工作和自身的心得體會。積極參加實踐部組織的各項教學活動，認真聽課參加學習，提升自已的教育教學業務能力，以滿足和適應新課程對我們提出的新的要求和標準。在兼任政治部內勤工作中踏踏實實，認勞認愿，不計較個人利益，不計較工作時間，認真做好為學校領導及各處室的服務工作，及時完成校領導、主任及相關人員交辦的事情，及時收發教委辦公郵箱的文件，為學校的工作服務好，快速有效的打印、印復、報送學校的各類文件，同時認真做好相關的保密工作，不該看的不看，不該說的不說，不該留的不留，不該問的不問，做好學校事務工作的勤務兵。為學校及各處室會務、教研活動做好服務，每次在有需要多媒體設備時，都提早到校，提前安裝調試好投影及多媒體設備，為全體會及教研活動的順利開展做好服務，同時積極熱心的參與學校組織的各類活動，在活動中為大家服務好，利用自己的專長為大家拍攝下一張張有紀念意義的瞬間，為學校的發展歷程與同事工作生活留下一幅幅真實的照片。在慶祝建黨九十周年唱紅歌合唱練習中積極為大家服務，做好投影、音響播放、練習情況攝錄的工作，為練習的有序開展貢獻自己的熱情與力量。以自己的方式為黨的生日獻上生日禮物，爭取早日加入中國共產黨。

第三篇：初三數學

1.某商店經營一批季節性小家電，每個成本40元，經市場預測，定價為50元，可銷售200個，定價每個增加1元，銷售量將減少10個，若商店進貨后全部銷售完，賺了2000元，問進貨多少定價多少？

2.某商店把進價8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件，現采用提高售價，減少進貨量的方法增加利潤，已知這種商品沒漲價0.5元，每天的銷量就減少10件，若經營的這種商品要達到每天獲利640元，售價應定為多

少元？

3.某商店的某種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，若賀年卡每降價0.1元，商場每天可多售出300張，商場要想使這種賀年卡平均每天可盈利160元，則每張何年卡應

降價多少元？

4.一批上衣原來每件500元 第一次降價 銷售甚慢 第二次大幅度降價的百分率是第一次的2倍 結果 以 每件240

元的價格迅速售出 求每次降價的百分率

5.某省為解決農村飲用水問題 省財政部門共投資20億元對各市的農村飲用水的“改水工程”予以一定比例的資助。2008年 A市在省財政廳補助的基礎上投入600萬元用于“改水工程”，計劃以后每年以相同的增長率投資 2010年

該市計劃投資“改水工程”1176萬元。

（1）求A市投資“改水工程”的年平均增長率。

（2）從2008年到2010年，A市三年共投資“改水工程”多少萬元？

6.某工程隊在城市實施棚戶區改造過程中承包了一項拆遷工程 原計劃每天拆遷1250平方米 因準備工作不足 第一

天少拆遷了20% 從第二天開始 該工程隊加快了拆遷速度 第三天拆遷了1440平方米

（1）求該工程隊第一天拆遷的面積

（2）若該工程隊第二天 第三天每天的才拆遷面積比前一天的拆遷面積增長的百分數相同 求這個百分數

7.汽車產業的發展 有效促進我國現代化建設 某汽車銷售公司2006年盈利1500萬元 到2008年盈利2160元 且從

2006年到2008年 每年盈利的年增長率相同

（1）該公司2007年盈利多少萬元》？

(2)若該公司盈利的年增長率繼續保持不變 預計2009年盈利多少萬元？

8.某果園原有100棵桃樹，一棵桃樹一年平均結1000個桃子，每多種1棵桃樹，產量會減少2個，果園最多只能

種桃樹150棵，而要使產量增加15.2%，應種多少棵桃樹？

9.有一塊長方形的鉛皮，長40厘米，寬30厘米.現在把它的四角各剪去一個小方塊，然后把四邊折起來做成一只沒

有蓋的盒子，使這個盒子的底面積是原來鉛皮面積的一半，求這盒子的高.10.有長

35、寬26（m）的矩形，在邊緣取兩條互相垂直且寬一樣的矩形長條，要使剩余850平方米，那求矩形長

條寬度

第四篇：初三數學

初三算術：第1學期知識要領與學習提議

如在哪里初三把算術學好、溫習好，因此考上自個兒心中仰慕的高中呢？如今老師把初三的知識點和考點向大家紹介一下子：第21章二次根式

這一章在中考中大約占12分，同學們主要掌握二次根式有意義的條件；會把二次根式化成最簡二次根式；正確施行二次根式的混合運算。只要掌握這三點，在中考中就能穩拿這12分。

1、二次根式定義

2、兩個關緊公式

3、積的算學二次方根

4、二次根式的乘法法則

5、二次根式比較體積的辦法

6、商的算學二次方根

7、二次根式的除法法則

注意：分母有道理化的辦法是：有理分式的分子與分母同乘分母的有道理化因式，使分母變為整式。

8、最簡二次根式

9、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，假如被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。

10、二次根式的混合運算第22章一元二次方程

這一章是工具，單獨出題目的分數在6分左右，不過二次函數知識的考查中往往用到這一章的知識點，這又往往是拉分的標題，所以不由得不重視！孩子們要正確掌握一元二次方程的解法，靈活使用各種解法，為后面二次函數的學習是穩定堅實的基礎。

1、一元二次方程的普通方式：ax2+bx+c=0（a≠0）

2、一元二次方程的解法：一元二次方程的四種解法要求靈活使用，那里面直接開平辦法固然簡單，不過適合使用范圍較小；公式法固然適合使用范圍大，但計算較繁，易發生活算不正確；因式分解法適合使用范圍較大，且計算簡單方便，是首選辦法；根據處方配藥法運用較少。

3、一元二次方程根的辨別式：當ax2+bx+c=0（a≠0）時，Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的辨別式。請注意以等級低的價出題目：

Δ＞0<=>有兩個不等于的實根；Δ=0<=>有兩個對等的實根；Δ＜0<=>無實根；

4、一元二次方程的應用（1）均勻提高率問題（2）利潤率問題第23章旋轉

這一章的知識在中考標題中大約占6分，圖形的變換涵蓋平移、軸對稱和旋轉，要求同學們直觀感受圖形的變換，況且把這些個變動使用到幾何證實題和代數幾何的綜合題中，因此更好地增長解題有經驗。

1、概念

2、旋轉的性質

3、核心對稱

4、核心對稱的性質

5、核心對稱圖形

6、坐標系中的核心對稱第24章圓

這一章的知識在中考出題目中占10~15分，同學們重點掌握切線的分辨斷定辦法、切線的性質，弧長、扇形平面或物體表面的大小與圓錐的側平面或物體表面的大小的計算。當然掌握這些個，剩下的知識點是必須具備的基礎。務必掌握的常識有：

1、圓是軸對稱和核心對稱圖形

2、中心角的度數等于它所對弧的度數

3、三邊形的外心

4、直線與圓的位置關系

5、圓與圓的位置關系

6、證直線與圓相切，常利用：“已知相交的點連半徑證鉛直”和“不知相交的點作鉛直證半徑”的辦法加匡助線。第25章幾率

這一章加上面前的計數局部，在中考中大約占18分左右，也是不小的比例，況且這局部知識容易得分，也美好掌握，大家一定會得最高分數。

1、定然事情、沒可能事情、隨機事情的差別

2、幾率

3、求幾率的辦法第27章相仿形

這一章的知識常常在綜合題中表現出來，況且常常是后三道大題中考查的內部實質意義，實際上這章的內部實質意義和全等是同樣的，全等是相仿的特別事情狀況，信任同學們會把全等的辦法靈活地搬遷過來，把這章的知識學活，學巧。

1、不相交的兩條直線分線段成比例定理（“平行出比例”定理及相反的定理）：

2、相仿三邊形的分辨斷定辦法

3、相仿三邊形性質

4、位似第28章解90度角三邊形

這一章的知識在中考出題目中大約占15~20分，三角學函數定義是基礎，解90度角三邊形的應用題普通會大于12分，可見這局部知識的關緊性，同時綜合題的解題過程中使用三角學函數的地方也眾多。

1、三角學函數的定義

2、余角三角學函數關系

3、同角三角學函數關系

4、函數的增減性

5、特別角的三角學函數字

6、解90度角三邊形

7、坡度

8、方位角

9、仰角與俯角。

第五篇：初三數學冪函數專題

冪函數

知識點回顧：

1、冪函數定義：一般地，形如y?x?的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數．

2、冪函數性質歸納．

（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2）α>0 時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0,+ ∞）上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸；

（3）α<0 時，冪函數的圖象在（0，+∞）上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．

課堂練習

一、選擇題

1、下列命題正確的是（）

A、當n=0時，函數y=xn的圖像是一條直線 B、冪函數的圖像都經過(0,0)點

C、如果冪函數y=xn的圖像關于原點對稱，那么y=xn在它的定義域內，y值隨著x值的增大而增大

D、函數y=(2x)2不是冪函數

2、下列函數中，定義域為（0,+∞）的函數是（）A、y?x

B、y?x

C、y?x

D、y?x232?132232

3223、（2010·安微）設a?()5，b?()5，c?()5，則a,b,c的大小關系是（）

555A、a＞c＞b

B、a＞b＞c

C、c＞a＞b

D、b＞c＞a

4、冪函數y?(m2?m?1)xm（）

A、m?

2B、m??C、m?1或D、m?1?5 22?2m?3，當x?(0,??)時為減函數，則實數m的值為

5、如圖，曲線C1，C2分別是函數y?xm和y?xn在第一象限的圖像，那么一定有（）

A、n＜m＜0

B、m＜n＜0

C、m＞n＞0

D、n＞m＞0

6、函數y?(mx?4x?m?2)的取值范圍是（）

A、(5?1,2)

B、(5?1,??)

C、(?2,2)D、(?1?5,?1?5)

7、（2007·山東）設a???1，1，1，3?，則使函數y?xa的定義域為R且為奇22?14?(m2?mx?1)的定義域是全體實數，則實數m函數的所有a的值為（）

A、1，3

B、?1，3

C、?1，3

D、?1，1，3

8、若四個冪函數y?xa，y?xb，y?xc，y?xd在同一坐系中的圖像如右圖，則a、b、c、d的大小關系是（）

A、d＞c＞b＞a

B、a＞b＞c＞d

C、d＞c＞a＞b

D、a＞b＞d＞c

二、填空題

11、下列函數中：①y?3②y?3x?2③y?x4?x2④y?3x2是冪函數的個數

x為__________。

2、若(a?1)?12?(3?2a)?12，則a的取值范圍是_______。

43、冪函數f(x)的圖象過點(3，27)，則f(x)的解析式是________。

4、已知f(x)?x5?ax3?bx?8，f(?2)?10，則f(2)=_________。

5、（1）冪函數的圖象一定過（1,1）點（2）冪函數的圖象一定不過第四象限

（3）對于第一象限的每一點M，一定存在某個指數函數，它的圖象過該點M（4）y?3x?1(x?r)是指數函數

其中正確的是__________________（填序號）。

三、簡答題

1、已知函數f(x)?(m2?m?1)x?5m?m，m為何值時，f(x)是：（1）冪函數；（2）冪函數，且是(0,??)上的增函數；（3）正比例函數；（4）反比例函數；（5）二次函數。

2、已知冪函數f(x)?xm數。

（1）求函數f(x)；（2）討論F(x)?af(x)?

b的奇偶性。xf(x)2?2m?3(m?Z)為偶函數，且在區間(0,??)上是單調減函