第一篇：今年又見(jiàn)定理證明題

今年又見(jiàn)定理證明題

--從2012年陜西高考理科第18題談起

周興順(陜西省西安市田家炳中學(xué)710500)

(作者簡(jiǎn)介：周興順，高級(jí)教師，國(guó)家?jiàn)W林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練員，先后在湖北《中學(xué)數(shù)學(xué)》、陜西師大《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、江蘇《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》等省級(jí)及其以上刊物上發(fā)表論文7篇，國(guó)家級(jí)獲獎(jiǎng)?wù)撐?篇，市級(jí)以上獲獎(jiǎng)?wù)撐?0篇，出版合著8部、其中編著的5部教輔書在上百所學(xué)校使用，被評(píng)為 “精品圖書”；奧數(shù)輔導(dǎo)的學(xué)生多人次在全國(guó)競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)。聯(lián)系方式：E-mail:xshzhou63@126.com QQ:987237648)

2011年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科18題，以“敘述并證明余弦定理”，震撼了社會(huì)，使很多考生感到很意外，有的網(wǎng)民竟在網(wǎng)上說(shuō)“他,如神一般,妙殺了38萬(wàn)陜西考生…打破了陜西高考數(shù)學(xué)歷史……破壞了和諧社會(huì)…讓百萬(wàn)群眾所憤怒……”，對(duì)此，筆者不茍同，于2011年6月18日在網(wǎng)上以《2011年陜西理科數(shù)學(xué)高考題的分析與啟示》為題為命題者伸冤：余弦定理的證明既在課本（指文1，北師大版，下同）必修五第二章第1.2節(jié)中，又是課本必修四第二章第5節(jié)從力做的功到向量的數(shù)量積中的例2，它的證明方法多樣,不只局限于課本中的向量方法，在教學(xué)中如果能按新課程的教學(xué)理念組織學(xué)生認(rèn)真研究,從各種不同的角度提出解決問(wèn)題的方法并給以解決,學(xué)生應(yīng)該可以很好地解決此題,但事實(shí)上我們很多的課堂是對(duì)此一帶而過(guò),直奔定理的應(yīng)用,這是典型的應(yīng)試教育教學(xué)方式,是對(duì)數(shù)學(xué)證明中追求理性精神的背

1叛。該題再一次提醒我們，教學(xué)要回歸教材,教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從提出問(wèn)題到解決問(wèn)題的完整的過(guò)程,不能只注重知識(shí)的應(yīng)用而忽視知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程。其實(shí)這種敘述并證明課本中的定理的命題方式早在1980年的高考“敘述并證明換底公式”中出現(xiàn)過(guò)：，最近幾年有的省份也曾出過(guò)“敘述并證明三垂線定理”，沒(méi)有引起師生的重視。

今年——2012年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科18題：（1）如圖，證明命題“a是平面?內(nèi)的一條直線，b是?外的一條直線（b不垂直于?），c是直線b在?上的投影，若a?b，則a?c”為真。

（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）。

其實(shí)又是課本定理的證明：第一問(wèn)是考課本（選修2—1）第41頁(yè)例3（三垂線定理）的逆命題的證明，第二問(wèn)是讓寫出三垂線定理，并判斷其真假（不需要證明）。

（文2）對(duì)第一問(wèn)給出兩種證法：證法1（向量方法），類似課本（選修2—1）第41頁(yè)例3（三垂線定理）的證明。證法2（傳統(tǒng)方法），利用直線和平面垂直的性質(zhì)證明。

對(duì)第二問(wèn)，判斷其真假的方法，可直接應(yīng)用除三垂線定理的結(jié)論還可類似第一問(wèn)證明，也還可在考場(chǎng)利用三角板做實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證其正確性，因只需判斷其真假，不需要證明。

在立體幾何中，可謂“處處有垂直，垂直無(wú)處不在”。立體幾何中的垂直包括線線垂直、線面垂直、面面垂直,其中最基本的是線線垂

直。證明線線垂直，高考中常用三法：①利用三垂線定理及其逆定理證。②利用直線和平面垂直的性質(zhì)證.③利用向量證。

縱觀歷年高考題，對(duì)于立體幾何來(lái)說(shuō)，考查重點(diǎn)是明確的，只是模型會(huì)有所變化。正如羅增儒教授多次強(qiáng)調(diào)的“抓住了垂直（不是只抓垂直），并作上一批高考立體幾何題，臨場(chǎng)的立體幾何成績(jī)一定能有立竿見(jiàn)影的提高”。空間想象能力好的考生可選擇傳統(tǒng)方法，以計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)的考生可選擇向量法。

對(duì)此題，社會(huì)反響比較平和，普遍看好，認(rèn)為該題考查利用立體幾何中重要的三垂線定理逆定理的證明及書寫，屬于核心知識(shí)，解題時(shí)用的是立體幾何中最基本的方法，這比去年的余弦定理的證明來(lái)說(shuō)，命題者給出了圖形顯然是降低了門檻，提高了試題的得分率。筆者認(rèn)為只要認(rèn)真研讀、領(lǐng)會(huì)《考試說(shuō)明》（或文3）中知識(shí)要求：（十

六）空間向量與立體幾何③能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理），不難解答此題。

2012年陜西高考理科數(shù)學(xué)18題對(duì)我們有以下二點(diǎn)啟示：?jiǎn)⑹疽唬何覀冊(cè)谝院蟮慕虒W(xué)中要注重基本知識(shí)的學(xué)習(xí),淡化技巧的演練,回歸到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原點(diǎn),讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中要感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶給他們追求理性精神的快樂(lè)，而不是做題、做題、再做題，帶給學(xué)生無(wú)助的痛苦。

啟示二：在復(fù)習(xí)過(guò)程中要緊扣考綱要求，不失時(shí)機(jī)地回歸教材，堅(jiān)持“以本為綱、抓綱務(wù)本”，對(duì)考綱要求逐條落實(shí)，加強(qiáng)對(duì)典型例題、習(xí)題及變式問(wèn)題的過(guò)手復(fù)習(xí)，盡可能地實(shí)現(xiàn)課本資源利用的最大化，深入研究每一道例（習(xí)）題，做到將例題、習(xí)題“變化”，鞏固“雙基”；將例題、習(xí)題“類化”，展現(xiàn)通性通法；將例題、習(xí)題“一

般化”，培養(yǎng)思維的概括能力；將例題、習(xí)題“深化”，培養(yǎng)思維的廣闊性和深刻性等；注重學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，引領(lǐng)學(xué)生深刻理解課本知識(shí)，強(qiáng)化重點(diǎn)知識(shí)、彌補(bǔ)弱點(diǎn)知識(shí)和盲點(diǎn)知識(shí)，挖掘教材所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精髓，更有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和方法體系的構(gòu)建，使知識(shí)和能力產(chǎn)生良性遷移，達(dá)到舉一反三，觸類旁通之功效，進(jìn)而摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，提高課堂教學(xué)效益，提高教學(xué)質(zhì)量，更有效地提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率。

啟示三：可以預(yù)測(cè)2013年陜西高考數(shù)學(xué)題，會(huì)借鑒今年的成功經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)出定理的證明或公式的推導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

1.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1—5（必修）、選修2-1，北京師范大學(xué)出版社，2008年4月第5版

2.陜西省招生委員會(huì)辦公室編，《2012年普通高等學(xué)校招生考試 試題及參考答案》，西北工業(yè)大學(xué)出版社

3.西安市教育科學(xué)研究所編，《2010年新課程高考備考指導(dǎo)意見(jiàn)》，陜西人民出版社，2009年8月第一版

第二篇：有關(guān)中值定理的證明題

中值定理證明題集錦

1、已知函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且limx?0f(x)?0，f(1)?0，試證：在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少x存在一點(diǎn)?，使得f??(?)?0.證：由limf(x)，由此又得?0?0，可得limf(x)?0，由連續(xù)性得f(0)x?0x?0xf(x)?f(0)f(x)f?(0)?lim?lim?0，由f(0)?f(1)?0及題設(shè)條件知f(x)在[0,1]x?0x?0x?0x上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn) c?(0,1)，使得f?(c)?0，又因?yàn)閒?(0)?f?(c)?0，并由題設(shè)條件知f?(x)在[0,c]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f??(?)?0.2、設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點(diǎn)??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0.證：分析：要證結(jié)論即為：[xf(x)]?x???0.令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)?F(a)?0，因此故存在一點(diǎn)??(0,a)，使得F?(?)?0，F(xiàn)(x)?xf(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，即f(?)??f?(?)?0.注1：此題可改為：

設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?0，證明：存在一點(diǎn)??(0,a)，使得

nf(?)??f?(?)?0.)?nf??(?)（0給分析：要證結(jié)論nf(??)??f(??)等價(jià)于n?n?1f(??nn?1n，而n?f(?)??f?(?)?0即為[xf(x)]?x???0.nf(??)??f(??)兩端同乘以?n?1）故令F(x)?xf(x)，則F(x)在[0,a]上滿足羅爾中值定理的條件，由此可證結(jié)論.注2：此題與下面例題情況亦類似：

設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0，?x?(0,1)，有f(x)?0，證：n?n?N?，???(0,1)，使得

nf?(?)f?(1??)?成立.f(?)f(1??)分析：要證結(jié)論可變形為nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0，它等價(jià)于nfn?1(?)f?(?)f(1??)?fn(?)f?(1??)?0(給nf?(?)f(1??)?f(?)f?(1??)?0兩端同乘以fn?1(?))，而nfn?1(?f)??f(??)?(fn1?f?)???(即)為(1)0[fn(x)?f?x??1?(x，用羅爾中值定理)]0.以上三題是同類型題.3、已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)?0，f()?1，證明：（1）存在一點(diǎn)??(,1)，使f(?)??.（2）存在一點(diǎn)??(0,?)，使f?(?)?1.（3）存在一點(diǎn)x0?(0,?)，使f?(x0)?1??(f(x0)?x0).證：（1）分析：要證結(jié)論即為：f(?)???0.12121211111顯然F(x)在[,1]上連續(xù)，且F()?f()???0，F(xiàn)(1)?f(1)?1??1?0，2222211因此F(x)在[,1]上滿足零點(diǎn)定理的條件，由零點(diǎn)定理知，存在??(,1)，使F(?)?0，22令F(x)?f(x)?x，則只需證明F(x)在(,1)內(nèi)有零點(diǎn)即可。即f(?)??.（2）又因?yàn)镕(0)?f(0)?0?0，由(1)知F(?)?0，因此F(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，故存在一點(diǎn)??(0,?)，使F?(?)?0，即f?(?)?1?0，即f?(?)?1.（3）分析：結(jié)論f?(x0)?1??(f(x0)?x0)即就是F?(x0)??F(x0)或F?(x0)??F(x0)?0，F(xiàn)?(x0)??F(x0)?0?e??x0[F?(x0)??F(x0)]?0，即[e??xF(x)]?x?x0?0.故令G(x)?e??xF(x)，則由題設(shè)條件知，G(x)在[0,?]上連續(xù)，在(0,?)內(nèi)可導(dǎo)，且G(0)?e0F(0)?0，G(?)?e???F(?)?0,則G(x)在[0,?]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，命題得證.4、設(shè)f(x)在[0,x]上可導(dǎo)，且f(0)?0，試證：至少存在一點(diǎn)??(0,x)，使得f(x)?(1??)ln(1?x)f?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f(x)?f(0)?(1??)[ln(1?x)?ln1]f?(?),也就是f(x)?f(0)f?(?)，因此只需對(duì)函數(shù)f(t)和ln(1?t)在區(qū)間[0,x]上應(yīng)用柯西中值定理?1ln(1?x)?ln11??即可.5、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，且g(x)?0，證明：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f?(?)g(?)?f(?)g?(?).證：分析：要證結(jié)論即為： f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0,等價(jià)于

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0，2g(?)即就是[即可.f(x)f(x)在區(qū)間[a,b]上應(yīng)用羅爾中值定理]?x???0，因此只需驗(yàn)證函數(shù)F(x)?g(x)g(x)

6、設(shè)f(x)在[x1,x2]上可導(dǎo)，且0?x1?x2，試證：至少存在一點(diǎn)??(x1,x2)，使得x1f(x2)?x2f(x1)???f?(?)?f(?).x1?x2f(x2)f(x1)f(x)?()?x??x2x1x證：分析：要證結(jié)論即為： ,因此只需對(duì)函???f?(?)?f(?)?111?()?x??x2x1x數(shù)f(x)1和在區(qū)間[x1,x2]上應(yīng)用柯西中值定理即可.xx此題亦可改為：

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若0?a?b，試證：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得af(b)?bf(a)?[f(?)??f?(?)](a?b).7、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，試證：（1）???(a,b)，使得f(?)??f?(?)?0；（2）???(a,b)，使得?f(?)?f?(?)?0.證:（1）令F(x)?xf(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.（2）分析：?f(?)?f?(?)?0?e[?f(?)?f?(?)]?0?[e?22x22f(x)]?x???0，因此令F(x)?ex22f(x)，利用羅爾中值定理即證結(jié)論.8、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?1，試證：??,??(a,b)，使得e???[f(?)?f?(?)]?1.[exf(x)]?x??e?[f(?)?f?(?)]證：分析：要證結(jié)論即為?1，即就是?1.?xe(e)?x??令F(x)?ef(x)，令G(x)?e，則F(x)和G(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)?eaf(a)eb?ea?，即就是e[f(?)?f?(?)]?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?aeb?eaeb?ea?，即就是e?.???(a,b)，使得F?(?)?b?ab?ae?[f(?)?f?(?)]因此，有?1，即就是e???[f(?)?f?(?)]?1.?e9、設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)?g(a)，f(b)?g(b)，試證：???(a,b)，使得f??(?)?g??(?).?0.證：分析：要證結(jié)論即為[f(x)?g(x)]??x??令F(x)?f(x)?g(x)，（1）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的同一點(diǎn)處取得相同的最大值，不妨設(shè)都在c點(diǎn)處取得最大值，則F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，則F(x)分別在[a,c]、[c,b]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件，故??1?(a,c)，??2?(c,b)使得F?(?1)?0，F(xiàn)?(?2)?0.由題設(shè)又知，F(xiàn)?(x)在[?1,?2]上滿足洛爾定理?xiàng)l件，故存在???(?1,?2)，使得F??(?)?0，即就是f??(?)?g??(?)].（2）若f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)的不同的點(diǎn)處取得相同的最大值，不妨設(shè)f(x)在p點(diǎn)處、g(x)在q點(diǎn)處取得最大值，且p?q，則F(p)?f(p?)g(?p)，F(xiàn)(q)?f(q)?g(q)?0，由零點(diǎn)定理知，?c?(p,q)?(0,1)，使得F(c)?0，由此得 F(a)?F(c)?F(b)?0(a?c?b)，后面證明與（1）相同.10、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x)?0，若極限lim?x?af(2x?a)存在，x?a試證：（1）存在一點(diǎn)??(a,b)，使得

b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)22?b（2）在(a,b)內(nèi)存在異于?的點(diǎn)?，使得f?(?)(b?a)?f(x)dx.；

??a?a證：（1）令F(x)??xaf(t)dt，G(x)?x2，則F(x)、G(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理

b2?a2ba條件，故存在一點(diǎn)??(a,b)，使得

?b2?a2af(t)dt??f(t)dta?2?成立，即就是f(?)?bab2?22成立，即就是2??f(x)dx?(b?a)f(?)成立.?af(x)dxf(?)（2）由（1）知，2??ba22因此要證f?(?)(b?a)?f(x)dx?(b2?a2)f(?)，2?bf(x)dx.，?a??a即要證f?(?)(b?a)?221??a(b2?a2)f?(，)即要證f?(?)(??a)?f(?，)由已知

x?alim?f(2x?a)f(2x?a)?0，可得，lim從而得f(a)?0，因此要證f?(?)(??a)?f(?)，x?a?x?a即要證f?(?)(??a)?f(?)?f(a)，顯然只需驗(yàn)證f(x)在[a,?]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件即可。

第三篇：微分中值定理的證明題

微分中值定理的證明題

1.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，證明：???R，???(a,b)使得：f?(?)??f(?)?0。

證：構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)e?x，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（a,b)，使F?(?)?0 且F(a)?F(b)?0，由羅爾中值定理知：??? 即：[f?(?)??f(?)]e???0，而e???0，故f?(?)??f(?)?0。

2.設(shè)a,b?0，證明：???(a,b)，使得aeb?bea?(1??)e?(a?b)。

1111 證：將上等式變形得：e?e?(1??)e?(?)

baba1x11b11a111111作輔助函數(shù)f(x)?xe，則f(x)在[,]上連續(xù)，在(,)內(nèi)可導(dǎo)，baba 由拉格朗日定理得：

11f()?f()ba?f?(1)1?(1,1)，11ba???ba11b1a1e?e1a?(1?)e?

1?(1,1)，即 b11ba???ba

即：

aeb?bea?(1??)e?(a?b)

??(a,b)。

3.設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)?0，有F(x)?x2f(x)證明：在(0,1)

內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得：F??(?)?0。

證：顯然F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，又F(0)?F(1)?0，故由羅爾定理知：?x0?(0,1)，使得F?(x0)?0

又F?(x)?2xf(x)?x2f?(x)，故F?(0)?0，于是F?(x)在[0，x0]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在??(0,x0)，使得：F??(?)?0，而??(0,x0)?(0,1)，即證 4.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(0)?0，f(1)?1.證明：(1)在(0,1)內(nèi)存在?，使得f(?)?1??．

(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?，?使得f/(?)f/(?)?1

【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問(wèn)題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】（I）

令F(x)?f(x)?1?x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在??(0,1), 使得F(?)?0，即f(?)?1??.（II）在[0,?]和[?,1]上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在兩個(gè)不同的點(diǎn)??(0,?),??(?,1)，使得f?(?)?于是，由問(wèn)題（1）的結(jié)論有

f?(?)f?(?)?f(?)1?f(?)1???????1.?1???1??f(?)?f(0)f(1)?f(?)，f?(?)?

??01??5.設(shè)f(x)在[0，2a]上連續(xù)，f(0)?f(2a)，證明在[0,a]上存在?使得

f(a??)?f(?).【分析】f(x)在[0,2a]上連續(xù)，條件中沒(méi)有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到

f(a??)?f(?)?f(a??)?f(?)?0?f(a?x)?f(x)?0

【證明】令G(x)?f(a?x)?f(x)，x?[0,a]．G(x)在[0,a]上連續(xù)，且

G(a)?f(2a)?f(a)?f(0)?f(a)

G(0)?f(a)?f(0)

當(dāng)f(a)?f(0)時(shí)，取??0，即有f(a??)?f(?)；

當(dāng)f(a)?f(0)時(shí)，G(0)G(a)?0，由根的存在性定理知存在??(0,a)使得，G(?)?0，即f(a??)?f(?)．

6.若f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，且當(dāng)x?[0,1]時(shí)有0?f(x)?1，且f?(x)?1，證明：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)?使得f(?)?? 證明：存在性

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)?f(x)?x

則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且有F(0)?f(0)?0?0，F(xiàn)(1)?f(1)?1?0，?由零點(diǎn)定理可知：F(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得F(?)?0，即：f(?)??

唯一性：（反證法）

假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)?1,?2?(0,1)，且?1??2，使得F(?1)?F(?2)?0

F(x)在[0,1]上連續(xù)且可導(dǎo)，且[?1,?2]?[0,1] ?

?F(x)在[?1,?2]上滿足Rolle定理?xiàng)l件

?必存在一點(diǎn)??(?1,?2)，使得：F?(?)?f?(?)?1?0

即：f?(?)?1，這與已知中f?(x)?1矛盾

?假設(shè)不成立，即：F(x)?f(x)?x在(0,1)內(nèi)僅有一個(gè)根，綜上所述：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)?，使得f(?)??

17.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，f()=1。試

2(x)=1。證至少存在一個(gè)??(0，1)，使f￠分析：f'(?)=1?f'(x)=1?f(x)=x?f(x)?x=0 令 F(x)= f(x)?x 證明： 令 F(x)= f(x)?x

F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(1)= f(1)?1??1?0(?f(1)?0)F(11111)= f()???0(?f()?1)222221由介值定理可知，?一個(gè)??(，1)，使 F(?)=0 又 F(0)=f(0)?0=0 對(duì)F(x)在[0，1]上用Rolle定理，?一個(gè)??(0，?)?(0，1)使

F'(?)=0 即 f'(?)=1 8.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)試證存在?和?.滿足0?????1，使f?(?)?f?(?)?0。

證 由拉格朗日中值定理知，1f()?f(0)12?f?(?)??(0,)

12?021f(1)?f()12?f?(?)??(,1)

121?211f()?f(0)f(1)?f()2?0 f?(?)?f?(?)?2?11229.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b),f(a)?f(b), 證明: ??,??(a,b)使得 f?(?)?a?bf?(?).(1)2?證:(用(b?a)乘于(1)式兩端,知)(1)式等價(jià)于

f?(?)f?(?)2(b?a)?(b?a2).(2)12?

為證此式,只要取F(x)?f(x),取G(x)?x和x在[a,b]上分別應(yīng)用Cauchy中值定理,則知

2f?(?)f?(?)2?(b?a)?(b?a2), f(b)?f(a)?12?其中?,??(a,b).10.已知函數(shù)f(x)在[0 ,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，證明存在?,??(a,b)，使3?2f/(?)?(a2?ab?b2)f/(?)

f/(?)f(b)?f(a)解：利用柯西中值定理 ?2333?b?a而f(b)?f(a)?f/(?)(b?a)

則

f/(?)f(b)?f(a)f/(?)(b?a)f/(?)（后面略）???22333323?b?ab?aa?ab?b/11.設(shè)f(x)在x?a時(shí)連續(xù)，f(a)?0，當(dāng)x?a時(shí)，f(x)?k?0，則在(a,a?f(a))k內(nèi)f(x)?0有唯一的實(shí)根

/解：因?yàn)閒(x)?k?0，則f(x)在(a,a?f(a))上單調(diào)增加 kf(a)f(a)f/(?)/f(a?)?f(a)?f(?)?f(a)[1?]?0（中值定理）

kkk而f(a)?0故在(a,a?f(a))內(nèi)f(x)?0有唯一的實(shí)根 k1?2t?0?tsin12.試問(wèn)如下推論過(guò)程是否正確。對(duì)函數(shù)f(t)??在[0,x]上應(yīng)用拉t?t?0?0格朗日中值定理得：

1x2sin?0f(x)?f(0)111x??xsin?f??(?)?2si?nc(0s???x)

ox?0x?0x??

即：cos1??2?sin1??xsin1)

(0???x

x1xsin? lim?x?0??0，il2?nsi?0

因0???x，故當(dāng)x?0時(shí)，由m??0?1?0 x

得：lim?cosx?0

1??0，即limcos???01??0

解：我們已經(jīng)知道，lim?cos??01??0不存在，故以上推理過(guò)程錯(cuò)誤。

首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的?是個(gè)中值點(diǎn)，是由f和區(qū)間[0,x]的

端點(diǎn)而定的，具體地說(shuō)，?與x有關(guān)系，是依賴于x的，當(dāng)x?0時(shí)，?不 一定連續(xù)地趨于零，它可以跳躍地取某些值趨于零，從而使limcos?x?01??0成

立，而lim?cos??01??0中要求?是連續(xù)地趨于零。故由limcos?x?01??0推不出

??0lim?cos1??0

13.證明：?0?x??2成立x?tgx?x。cos2x

證明：作輔助函數(shù)f(x)?tgx，則f(x)在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日定理知：

f(x)?f(0)tgx1??(0,x)??f?(?)?x?0xcos2?即：tgx??1?x(0,)(0,)，因在內(nèi)單調(diào)遞減，故在cosx22cosx22cos?111xx??x??即： cos20cos2?cos2xcos2?cos2x內(nèi)單調(diào)遞增，故

即：x?tgx?1。cos2x

注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)f(x)及相應(yīng)的區(qū)間[a,b]，然后驗(yàn)證條件，利用定理得

??f?()(?b?a?(a,b)

f(b)?f(a)，再根據(jù)f?(x)在(a,b)內(nèi)符號(hào)或單調(diào)

證明不等式。?14.證明：當(dāng)0?x?時(shí)，sinx?tgx?2x。

證明：作輔助函數(shù)?(x)?sinx?tgx?2x

則??(x)?cosx?sec2x?2

1?2 cos2x1?cos2x?2? 2cosx?cosx?x?(0,)

2?

?(cosx??0

12)cosx??

故?(x)在(0,)上單調(diào)遞減，又因?(0)?0，?(x)在(0,)上連續(xù)，22

故 ?(x)??(0)=0，即：sinx?tgx?2x?0，即：sinx?tgx?2x。

注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，欲證當(dāng)x?I時(shí)f(x)?g(x)，常用輔助函數(shù)?(x)?f(x)?g(x)，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化證?(x)?0，然后在I上

討論?(x)的單調(diào)性，進(jìn)而完成證明。

15.證明：若f(x)二階可導(dǎo)，且f??(x)?0，f(0)?0，則F(x)?,內(nèi)單調(diào)遞增。)

(0??

f(x)在 x證明：因F?(x)?xf?(x)?f(x)，要證F(x)單調(diào)遞增，只需證F?(x)?0，2x

即證xf?(x)?f(x)?0。

設(shè)G(x)?xf?(x)?f(x)，則G?(x)?xf??(x)?f?(x)?f?(x)?xf??(x)，因?yàn)?/p>

f??(x)?0，x?0，故G(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，而G(0)?0f?(x)?0?0，因此G(x)?G(0)，即：xf?(x)?f(x)?0，即：F?(x)?0，即F(x)當(dāng)x?0時(shí)單調(diào)遞增。

第四篇：2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

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2018考研數(shù)學(xué) 中值定理證明題技巧

在考研數(shù)學(xué)中，有關(guān)中值定理的證明題型是一個(gè)重要考點(diǎn)，也是一個(gè)讓很多同學(xué)感到比較困惑的考點(diǎn)，不少同學(xué)在讀完題目后不知從何下手，不會(huì)分析證明，找不到思路，之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，主要是因?yàn)檫@些同學(xué)對(duì)中值定理證明題型的特點(diǎn)缺乏清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)其分析和證明方法沒(méi)有完全理解和掌握，為了協(xié)助這樣的同學(xué)克服這方面的困難，下面本文對(duì)這類題的特點(diǎn)和證明方法做些分析總結(jié)，供各位考生參考。

一、中值定理證明題的特點(diǎn)

中值定理證明題主要有以下一些特點(diǎn)：

1.中值定理證明題常常需要作輔助函數(shù)；

2.中值定理證明題經(jīng)常在一個(gè)題中需要結(jié)合運(yùn)用三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，分別是：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（包括最大值和最小值定理、零點(diǎn)定理和介質(zhì)定理），微分中值定理和積分中值定理；

3.中值定理證明題可能需要在一個(gè)問(wèn)題的證明中反復(fù)運(yùn)用同一個(gè)微分中值定理兩次甚至三次，比如羅爾中值定理或拉格朗日中值定理；

4.從歷年考研數(shù)學(xué)真題變化規(guī)律來(lái)看，證明中用得最多的主要是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理則用得很少。

二、中值定理證明題的常用方法

中值定理證明題有不同的類型，對(duì)不同的類型需要運(yùn)用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下幾種：

1.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于函數(shù)值的等式，而函數(shù)是連續(xù)的，則可能需要運(yùn)用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)進(jìn)行證明；對(duì)導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的情況也可以對(duì)導(dǎo)函數(shù)運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；

2.如果題目條件中出現(xiàn)關(guān)于定積分的等式，則可能需要運(yùn)用積分中值定理；

3.對(duì)于以下這類問(wèn)題一般使用羅爾中值定理進(jìn)行證明：

6、如果是要證明兩函數(shù)差值比的中值等式，或證明兩函數(shù)導(dǎo)數(shù)比的中值等式，則可能需要利用柯西中值定理進(jìn)行證明。

對(duì)于上面總結(jié)介紹的各種證明方法，在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用，另外，對(duì)于需要作輔助函數(shù)的證明題，常常通過(guò)還原法分析找出需要的輔助函數(shù)，對(duì)于含積分等式的證明題，常常需要作變積分限的函數(shù)作為輔助函數(shù)，這種方法也是證明積分等式或不等式的主要方法之一，這些分析總結(jié)希望對(duì)大家提高中值定理證明題的解題能力有所幫助。最后預(yù)祝各位考研成功、金榜題名！

第五篇：2018考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)：中值定理證明題解題技巧

凱程考研輔導(dǎo)班，中國(guó)最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)：中值定理證明題解

題技巧

考研數(shù)學(xué)中證明題雖不能說(shuō)每年一定考，但也基本上十年有九年都會(huì)涉及，在此著重說(shuō)說(shuō)應(yīng)用拉格朗日中值定理來(lái)證明不等式的解題方法與技巧。

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根據(jù)以上的攻關(guān)點(diǎn)撥和典例練習(xí)，相信同學(xué)們對(duì)該題型的解題訓(xùn)練有了一定的掌握。

需要提醒考生們，數(shù)學(xué)題目多，而且考查的知識(shí)點(diǎn)很綜合，很多人擔(dān)心自己做的少，碰到的知識(shí)點(diǎn)就會(huì)少一些，從而加快了解題速度，實(shí)際上考生最重要的是要注重對(duì)題目的理解，對(duì)基本知識(shí)的概括和各種題型解題技巧的能力訓(xùn)練，因此大家可以根據(jù)以上的攻關(guān)點(diǎn)撥和典例練習(xí)，這樣加以積累練習(xí)，為以后的快速準(zhǔn)確解題打下基礎(chǔ)。

另外，數(shù)學(xué)試題切忌眼高手低，實(shí)踐出真知，只有自己真正做一遍，印象才能深刻，才能了解自己的復(fù)習(xí)程度，疏漏的內(nèi)容，如果題目確實(shí)做不出來(lái)，可以先看答案，看明白之后再拋棄答案自己再把題目獨(dú)立地做一遍，一定要力求全部理解和掌握所考查的知識(shí)點(diǎn)。

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