第一篇：不等式證明、最值求法

不等式的證明（論一個不等式的應用）

貴刊2004(11)發(fā)表李建新老師《巧用向量求值》一文（以下簡稱原文），經筆者研究發(fā)現(xiàn)，原文中的所有最值問題都可以用下面的一個不等式加以解決，而且相比之下比李老師的向量法在處理上更簡單一些，故寫此文和大家交流．

x2y222

2定理 若實數(shù)a,b,x,y滿足2?2?1，則a?b≥(x?y)．

abx2y2b2x2a2y2222222

證明：a?b?(a?b)(2?2)?x?y??2 2

abab

222

≥x?y?2xy?(x?y)，xy

由證明過程易知等號成立的條件是2?2．

ab

注 這個不等式的條件是一個橢圓方程，故稱此不等式為橢圓不等式．

１ 求滿足整式方程的未知數(shù)的代數(shù)式的最值

例１ 已知x,y滿足x?y?2x?4y?0，求x?2y的最值（1988年廣東高考題，原文例１）．

(x?1)24(?y?2)2

解：x?y?2x?4y?0???1，依定理有

520

5?20?[(x?1)?2(?y?2)]2，即(x?2y?5)，解得0?x?2y?10，當且僅當?2

5x?1?

?y?222

(x?2y)min?0，且x?y?2x?4y?0，即x?y?0時，當x?2,y?4?

時，(x?2y)max?10．

例２ 已知a,b?R，且a?b?1?0，求(a?2)?(b?3)的最小值（第10屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高二培訓題）．

(a?2)2(b?3)2

??1，由定理得： 解：令(a?2)?(b?3)=t，則

tt

2t≥(a?b?5)2?(a?b?1?6)2?36，即t≥18，當且僅當a?2?b?3且a?b?1?0

時，即a??1,b?0時，tmin?18，從而(a?2)?(b?3)的最小值為18．

２ 求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數(shù)的最值

例３ 已知實數(shù)x1,x2,x3滿足方程x1?

111212x2?x3?1及x12?x2?x3?3，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三數(shù)學競賽試題，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1?x2?x3?1?x1?x2?1?x3，x12?x2?x3?3???1

222323233?x3(3?x3)323

由定理得

111112112121

(3?x32)?(3?x32)?(x1?x2)2?3?x32?(x1?x2)2?3?x32?(1?x3)2???x3?3

323233233311

從而x3的最小值為?

21． 11

３ 求滿足整式方程的未知數(shù)的分式的最值

例４ 如果實數(shù)x,y滿足等式(x?2)?y?3，求題）．

y的最大值（1990年全國高考試x

y

?k，則y?kx，由已知等式(x?2)2?y2?3可得 x

(2k?kx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴?≤k≤3，??13?3kk4k2

33k

y

從而的最大值為3。

x

y22

例５ 若實數(shù)x,y適合方程x?y?2x?4y?1?0,那么代數(shù)式的取值范圍

x?2

解：令

是（第9屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高二第1試）．

y

?t，則tx?y?2t?0，由已知方程得(x?1)2?(y?2)2?4，變形得：x?2

(tx?t)2(y?2)2

??1，∴由定理得：4t2?4≥(tx?y?2?t)2?(2?3t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代數(shù)式的取值范圍是[0，]．

5x?25

y?122

例６ 已知實數(shù)x,y滿足方程(x?2)?y?1，求的最小值(第10屆＂希望杯＂

x?2

解：令

邀請賽數(shù)學競賽高二試題，原文例4)

(?kx?2k)2(kx?2k?1)2y?122

??1，解：設?k，則y?kx?2k?1，(x?2)?y?1?

k21x?2

由定理得k?1?[(?kx?2k)?(kx?2k?1)]?(1?4k)，解得0?k?４ 求滿足不等式的未知數(shù)的最值

例７ 若2x?y?1，u?y?2y?x?6x，則u的最小值等于（）A．?

y?18，即的最小值為０． 15x?2

77141

4B．?C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全國數(shù)學邀請賽高二試題）

4(x?3)2(y?1)2

??1，依定理及條件有 解：u?y?2y?x?6x?

4(u?10)u?10

36142(x?3)

當且僅當?10??，?y?1且2x?y?1

554

31114

時，即x??,y?時，umin??，故選(B)．

555

11n

例８ 設a?b?c，且≥恒成立，則n的最大值是（第11?

a?bb?ca?c

5(u?10)?(2x?y?5)2?36，即u?

屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高二第1試，原文例１１）．

解：令

11112

=t，則=1，從而t(a?c)≥(1?1)?4，??

t(a?b)t(b?c)a?bb?c

由已知得a?c?0，故t≥５ 求無理函數(shù)的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． ?

a?bb?ca?ca?c

1994年上海市高三數(shù)學競賽題，原

例９

求函數(shù)y?文例５）．

解：由1994?x?0且x?1993?0得1993?x?1994，兩邊平方易得y?1，又

1?

1994?xx?1993，由定理得：2?2，?

1?y?

?

故函數(shù)y?６ 求滿足分式方程的未知數(shù)的代數(shù)式的最值

例１０ 設x,y,a,b?R，且

?

ab

??1，則x?y的最小值為（第11屆＂希望xy

杯＂全國數(shù)學邀請賽高二培訓題）．

解：

依定理有x?y?，ab

???1，即x?，xy

x?

時，(x?y)min?2．

例１１ 已知x,y?(0,??)，且數(shù)學競賽試題，原文例６）．

解：由已知條件和定理有：x?y??117?． 定理的推廣 若

1998

??1，求x?y的最小值（1998年湖南省高中xy

?a

i?1

n

bi

i

?1，則?ai≥（i?1

n

?b)

ii?1

2i

n，其中ai與bi同號（i=1，2，． ?,n）

證明：由Cauchy不等式及已知條件有：７ 求使多項式函數(shù)取最值的未知數(shù)的值

?a=?a.?a

i

i?1

i?1

nnn

bi

i

≥（i?1

?b)．

2ii?12

n

例１２ 求實數(shù)x,y的值，使得(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)達到最小值（2001年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題，原文例７）．

1(?)y2(22x?6y)?6(2?)x?y

?解：令(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)?t，則t4tt

1，由定理的推廣得：6t?[(1?y)?(2x?2y?6)?(6?2x?y)]?1，即t?，當且僅當6

1?yx?y?36?2x?y55

(y?1)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)2達，即x?,y?時，??

12126

到最小值．

6８ 求滿足分式方程的未知數(shù)的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,z?R,，求的最???2??

1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

?

大值（1990年首屆＂希望杯＂全國數(shù)學邀請賽培訓題，原文例８）．

x2y2z2111

???2解：由易知???1，而 1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1?y???2????1，依定理的推廣可有222

1?x1?y1?z

1?x21?y21?z2222xyz2xyz2，即???(??)(???2，從222222222

1?x1?y1?z1?x1?y1?z1?x1?y1?z

而

xyz

． ??

1?x21?y21?

z2

９ 求無理式的最值

例１４ 如果a?b?c?1，（第８屆＂希望杯＂全國數(shù)學邀請賽高二試題，原文例９）．

解：由條件知(3a?1)?(3b?1)?(3c?1)?6，則

3a?13b?13c?1

???1，由定理

666

?的推廣得：18?，且僅當a?b?c?

時達到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函數(shù)的最值

例１５的最大值為M，最小值為N，則

（1999年＂希望杯＂數(shù)學邀請賽，山西、江西、天津賽區(qū)高二試題，原文例12）．

解：由1?tanx?

?

N?

tanx?13?tanx

??

1，由定理得4?22

?2，即M=2，故

M??． N１１ 求對數(shù)函數(shù)的最值

例１６ 已知ab?1000,a?1,b?

1，則的最大值是多少？（第13屆＂希望杯＂全國邀請賽高二培訓題，原文例13）．

解：由已知易得：(1?lga)?(1?lgb)?5，即

1?lga1?lgb

??1，由定理有

10?

2?

由上我們可以看出，用本文中的定理和定理的推廣要比文［１］中用向量解決這些問題

簡單的多．當然，這樣的例子很多的，這里不再贅述，請讀者自行研究，以下是幾個練習．

練習

１．設x,y,z?R?，且x?y?z?1，求隊第一輪選拔賽題）．（答案：３６）

２．已知x,y,z?R,x?y?z?1，求數(shù)學問題1504）．（答案：６４）

３．函數(shù)y?

?

149

??的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《數(shù)學通報》2004（7），?2?2的最小值（2

xyz

3x??x2的最小值為12屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高

參 考 文 獻

一培訓題）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．數(shù)學教學，2004，1１．

第二篇：最值證明不等式

最值證明不等式

ln x(2)證明：f(x)＝>x－1(x>0，x≠1)x

18．證：令g(x)＝x－1－f(x)，原不等式等價于 g(x)>0(x>0，x≠1)．

g(x)滿足g(1)＝0，且

x－1＋ln xg′(x)＝1x當0

2當x>1時，x－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調遞增．

所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．

ln x所以f(x)＝－1(x>0，x≠1)x

第三篇：不等式證明與最值問題

不等式證明與最值問題

（一）均值不等式的運用(1)

均值不等式的運用：a2 + b2≥ 2ab；當a＞0，b＞0時，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次冪平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項補項；可以先假設成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

（1）注意“1”的代換：已知x＞0，y＞0，滿足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36

注意：千萬不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 歸納： x,y a,b都是正數(shù)且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。

解：因為(a/x)+(b/y)=

1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)練習：

1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）

2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）

（2）

1、已知a＞0，b＞0，求證：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥8

解：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a2b2)]·2√(a3b3)=82、已知a+b+c=1,a,b,c為不全相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2＞1/3 解：a2+b2≥2ab, a2+ c2≥2ac, b2+c2≥2bc

因為a,b,c為不全相等的實數(shù)，故：上面三式不能同時取等號。故：2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac

故：3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=

1故：a2+b2+c2＞1/

3練習：

1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）

2、若x，y＞0,且2x2+y2/3=8，求x√(6+2y2)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y2)平方]

（3）a＞0，b＞0，c＞0，求證：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a

=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a

=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6

（4）a＞0，b＞0，c＞0，求證：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c

解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)

=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c

（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 證明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c

故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c

（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值

解：因為x＜0，故：-x＞o

故：(-x)+(-1/x)≥

2故：y=x+1/x≤-2

(7)

1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值

解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此時a=2,b=

12、若0＜x＜1,求證：a2/x+b2/(1-x)≥(a-b)2

解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜

1∴a2/x+b2/(1-x)=a2/x·[x+(1-x)]+b2/(1-x)[x+(1-x)]

=a2+a2(1-x)/x+b2+b2x/(1-x)≥a2+b2+2ab=(a+b)2

當a2(1-x)/x=b2x/(1-x)時，取等號。

練習：當a＞1時，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）

（一）均值不等式的運用(2)

均值不等式的運用：a2 + b2≥ 2ab；當a＞0，b＞0時，a+b ≥2√ab

附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次冪平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項補項；可以先假設成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

(8)已知二次函數(shù)f(x)=ax2-bx+c，且f(x)=0的兩根為x1，x2都在(0,1)內，求證：f(0)·f(1)≤a2/16

證明：因為f(x)=0的兩根為x1，x2，故：可設f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因為0＜x1＜1, 0＜x2＜1

故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a2·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a2·[(x1+1-x1)/2] 2 ·[(x2+1-x2)] 2= a2/16

(9)已知a,b＞0,a+b=1，求證：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤

2證明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2

同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2

故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2

（10）a,b,c＞0,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

解： a2+b2≥2ab

故：a2-ab+b2≥ab

不等式兩邊同乘以a+b,不等號方向不變。

可得:a3+b3≥a2b+b2a(1)

同理可得:b3+c3≥b2c+c2b(2)

c3+a3≥c2a+a2c(3)

(1)+(2)+(3)得：

2(a3+b3+c3)≥2(a2b+b2c+c2a)

a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a

（11）設a、b、c都是正數(shù)，求證1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）證明：因為(a-b)2≥0

故：a2-2ab+b2≥0

故：a2+2ab+b2≥4ab

故：(a+b)2≥4ab[兩邊同時除以4ab/(a+b)]

故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)

故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)

同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)

故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

（12）均值代換：已知a+b=1,a,b∈R,求證：(a+2)2+(b+2)2≥25/2 解；∵a+b=1,設a=1/2+t,b=1/2-t

故：(a+2)2+(b+2)2=2t2+25/2≥25/

2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求證：1/x+1/y≥3+2√2

證明：設2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)

故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2

（二）利用判別式“△=b2-4ac”及一元二次方程

1、若x2+xy+y2=1,且x，y為實數(shù)，則x2+y2的取值范圍？

解：令t=x2+y2＞0

故： y2=t-x2

故：y=±√(t-x2)

故：t±x√(t-x2)=

1故：x2(t-x2)=(1-t)2

故：x^4-tx2+(1-t)2=0

故：△=t2-4(1-t)2≥0

故：2/3≤t≤

2即：2/3≤x2+y2≤22、設a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值

解：ab≤[(a+b)/2] 2，故：[(a+b)/2] 2-(a+b)-1≥0

故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]

故：a+b的最小值是2√2+2，此時a=b=√2+

1因為ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+

33、設a+b+c=1, a2+b2+c2=1且a＞b＞c,求證：-1/3＜c＜0

證明：因為a+b+c=1，故：(a+b+c)2=1，即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1 因為a2+b2+c2=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一個負數(shù)

因為a＞b＞c，故：c＜0

因為a+b+c=1，ab+ac+bc=0

故：a+b=1-c，ab=c(1-c)

故：a、b可以看作方程x2+(c-1)x+c(1-c)=0兩個不相等的實數(shù)根

故：△=(c-1)2-4c(c-1)＞0

故：(c-1)(c-1-4c)＞0

故：-1/3＜c＜

1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值

解：設X+Y=t，因為X>0,Y>0

故：t>0

因為XY-X-Y=

1故：XY＝1+t

故：X、Y可以看作方程z2-tz+(1+t)＝0的兩個實數(shù)根

故：△=t2-4(1+t)≥0

故：t2-4t-4≥0

(t-2)2≥8

故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因為t>0）

故：t≥2√2＋

2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此時X＝Y＝√2＋

15、.已知正數(shù)ab滿足a+b=1，求ab+1/ab的最小值

解： ∵正數(shù)ab

∴ab+1/ab≥

2令ab+1/ab=t≥2

故：ab=[t±√(t2-4)]/2

故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t2-4)]/2=0的兩根

故：△=1-4×[t±√(t2-4)]/2≥0

故：±√(t2-4)≥t-1/

2因為t-1/2＞0

故：√(t2-4)≥t-1/2＞0

故：t≥17/

4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此時a=b=1/2

（三）利用幾何意義求極值

1、求下面函數(shù)的極小值：y=√(x2+4)+√[(12-x)2+9]

解：√(x2+4)+√[(12-x)2+9]可以看作點(x,0)到點(0,2)和(12,3)的距離之和 而點(0,2)關于x軸的對稱點是(0,-2)

故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之間的距離，即：132、a,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊，若（m,n)在直線ax+by+2c=0上，求m2+n2的最小值

解：因為a,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊

故：a2+b2=c2

因為√(m2+n2)=√[(m-0)2+(n-0)2]，即：√(m2+n2)表示點（m,n)到原點距離，因為（m,n)在直線ax+by+2c=0上

而原點到直線的距離是∣a×0+b×0+2c∣/√(a2+b2)=2c/c=2

故：m2+n2的最小值是22=4，此時n=-2b/c，m=-2a/c

第四篇：一類二元函數(shù)最值的求法

龍源期刊網 http://.cn

一類二元函數(shù)最值的求法

作者：高海燕

來源：《數(shù)理化學習·高三版》2013年第05期

點評：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.

第五篇：簡評“三角函數(shù)最值求法”(張輝老師執(zhí)教)

評課稿

2013年4月22日下午，赴陳經綸中學聽張輝老師執(zhí)教高一數(shù)學“三角函數(shù)最值求法”習題課。感受頗深，很受啟發(fā)。覺得張老師采用的是教師引領學生探究式教學，學生參與度高，是一堂培養(yǎng)學生思維能力的成功的習題課。

課堂以求函數(shù)最值為主線，選擇三個典型的例子作為題材很恰當，雖然還有其他最值形式，但都可以練習的方式滲透、訓練。

好的方面不多說，主要有以下兩點看法：

1．從課堂引入的問題“求三角函數(shù)最值有哪些方法？”

從學生回答看來，學生對這樣的問題不好回答，其實，老師想要學生說的東西有些就不是一個方法，似乎是一個“目標模式”。因此，如果把提問調整為“就自己的親歷過的學習、練習、閱讀等，誰能說出一些求三角函數(shù)最值的目標模式，說多少都可以，其他同學也可以補充。”，我想學生就可以回答的比較具體，雖不一定說得全面，參與的同學多了，典型的目標模式是一定能收集到的。另外，教師這么問，是不是也意味著本節(jié)課要講的方法只是一個綜述呢，還是除了學生熟悉的方法，老師還有新方法傳授？

2．關于例2，張老師引領學生“完成解答”之后，我覺得她有點急于揭示解法之錯誤。由于?2?cos2x?cos2y?2，而學生跟著老師走過來的解法得到最大值是5，這明顯存在有“認知沖突”。因此，如果這時張老師放手讓學生交流做“合作交流，題后反思”，學生應該很快發(fā)現(xiàn)錯誤，形成“沖突”之后更有利于學生“求真欲望”，繼續(xù)放手讓學生找到可能出錯之處，再讓學生合作修復。我覺得對陳經綸中學的學生來說，這些做法在課堂上是可以完成的，哪怕是把例3留作作業(yè)也好。這樣處理可以使得教師掌控的時間縮短，給學生留下整理反思的時間，教師也能夠贏得“小結學生感受收獲”的時間。

以上寫出了我自己的所思所想。每個做課教師都是下過很大功夫的，通常是幾易其稿，最后實施教學。我們聽課者通常中午沒有休息，聽課的時候真的比較困，如果課堂上沒有抑制住疲勞，尤其是對課堂索然乏味的時候，既使在評課的時候，也還是很疲勞，精力得不到回復，大腦不聽使喚。在這種狀態(tài)下，教師評課積極性不高是可以理解的。所以，我倡議同仁們，加入到聽課后評課中來，以期大家智慧共享，改善我們的課堂教學。

清華附中朝陽學校王慧興

2013年4月22日星期一