第一篇：人教A版必修2線面垂直、面面垂直習題

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O

PBC上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC

而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC內，∴BC⊥AE

∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點

（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉化為“兩向量數量積為0”的問題，當然也可用其它的證法

證明：建立空間直角坐標系如圖，并設AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0?, 2)?????????? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F ??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設AE與D1F的夾角為θ，則

cosθ1?2?1?0?0?1?(?2)

?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°

（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FD

1例5如圖，已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一點，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另一平面垂直的直線即可 解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC．

點評：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平

面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC，這是尋找兩個平面的垂線的常用方法

1“直線l垂直于平面α內的無數條直線”是“l⊥α”的A充分條件B必要條件

C充要條件D既不充分又不必要條件

答案：B

2給出下列命題，其中正確的兩個命題是

①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等

A①②B②③C③④D②④

解析：①錯誤如果這兩點在該平面的異側，則直線與平面相交②正確如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈

β且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CG∥AB交平面β于G，連結BG、GD 設H是CG的中點，則EH∥BG，HF∥GD

∴EH∥平面β，HF∥平面β ∴平面EHF∥平面β∥平面α ∴EF∥α，EF∥β

③錯誤直線n可能在平面α內

④正確如右上圖，設AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

4在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O⊥平面MBD

證明：連結MO

∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC

1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=22，tan∠MOC=，2

2∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90°∴A1O⊥OM

∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD

11在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側棱PA⊥底面ABCD

（1）當a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結論

（1）解：當a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC

故當a=2時，BD⊥平面PAC

2.若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平B面，則下列命題中的真命題是()

A.若m?β，α⊥β，則m⊥α

B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β

C.若m⊥β，m∥α，則α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ

解析：兩平面垂直并不能得到一個平面內的任一直線都與另一平面垂直，故A為假命題；以三棱柱的側面和側棱為例知B為假命題；若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ或β∥γ，故D為假命題；若m∥α，則α中必存在直線l與m平行，又m⊥β，∴l⊥β，故α⊥β，故選C.答案：C1、給出以下四個命題：

（1）如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；

（2）如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；

（3）如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行；

（4）如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

其中真命題的個數是（）A、4B、3C、2D、12、設?、?、?為平面，m、n、l為直線，則m??的一個充分條件是（）

?,????l,m?lB． ????m,???,???

C． ???,???,m??D． n??,n??,m?? A、??

3、m、n是空間兩條不同直線，?、?是空間不同平面，下面有四個命題：

①m??,n//?,?//?,則m?n②m?n,?//?,m??,則n//?

③m?n,?//?,m//?,則n??④m??,m//n,?//?,則n??

其中真命題的編號是________（寫出所有真命題的編號）。

4、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足為A，連PB，PC，PD，AC，BD，則互相垂直的平面

有對。

三、例題講解：

例

1、如圖，已知PA⊥三角形ABC所在平面，∠ACB=900 ,AM⊥PC，AN⊥PB

（1）求證：PC⊥BC

（2）求證BC⊥平面PCA

（3）求證AMN⊥平面PCD。

1、設?,?,?為兩兩不重合的平面，l,m,n為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題： ①若???,???,則?∥?；②若m??,n??,m∥?,n∥?,則?∥?；

??,則l∥?；④若????l,????m,????n,l∥?,則m∥n.⑤若?//?,m??,n??,則m//n⑥若m??,n??,m//n,則?//?

⑦若,m//?,n//?,m??,n??,則?//? ③若?∥?,l

其中真命題的個數是

（A）1（B）2（C）3（D）

42、在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立．．．的是（）（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PA E

（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面 ABC3、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，現

在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P，那么在四面體P-DEF

中，必有（）

A、DP⊥平面PEFB、DM⊥平面PEF

C、PM⊥平面DEFD、PF⊥平面DEF4、已知P是△ABC所在平面?外一點，O是點P在平面?內的射影

（1）若P到△ABC的三個頂點的距離相等，則O是△ABC的；

（2）若PA、PB、PC與平面?所成的角相等，則O是△ABC的；

（3）若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC的內部，則O是△ABC的；

（4）若平面PAB、PBC、PCA與平面?所成的角相等，且O在△ABC的內部，則O是△ABC的；

（5）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC的；

（6）若PA⊥BC，PB⊥AC，則O是△ABC的；

5．等邊三角形ABC的邊長為1，BC上的高為AD，沿高AD折成直二面角，則A到BC的距離是（）A．2B．2C．D． 22

4AB，BB1，B1C1例

1、（1）如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，E,FG,H分別為AA1，的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于（）

（2）如圖,正棱柱ABCD?A1BC11D1中,AA1?2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為___

(3)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90，點D1、F1分別是A1B1和A1C1的中點，若BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成的角的余弦值_________。

（4）在正四面體A-BCD中，異面直線AB與CD所成角的大小是

_______.A

1?

例

2、在正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AB?2BB1?2，P為B1C1的中點．

1、求異面直線AC與BP所成的角；

2、求點B到平面APC的距離．

例

3、在正三棱錐S—ABC中，D為AB的中點，且SD與BC所成的角為45，則SD與底面所成的角的正弦值為（）?

A、123B、C、D、323

31．（全國Ⅰ?理?7題）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）

4123

A．5B．5C．5D．

5ABC內的5（全國一11）已知三棱柱ABC?A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面

射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．1

23B

．3C

D．3 答案：C6、（福建卷6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為

答案：D

第二篇：線面垂直面面垂直專題練習

線面垂直專題練習

1.設M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個命題：

a?M?a//b?a?M?a//M?①②③b∥M④M.?b?M?a//b??????b⊥a?b?a?M?b?M?a?b?

其中正確的命題是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點.現在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P.那么，在四面體P—DEF中，必有()

第2題圖

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

4有三個命題：

①垂直于同一個平面的兩條直線平行；

②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；

③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直

其中正確命題的個數為()A.0B.1C.2D.35.設l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

① 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，其中真命題的序號是()．．．

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

6.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.7.如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

A1C1C9、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：平面PAC⊥平面PBC．

BA

C10、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問

△ABC是否為直角三角形，若是，請給出證明；若不是，請舉

出反例．

BA C

第三篇：面面垂直習題（模版）

例1如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過E

作EF⊥PA于F，連接BF

∵PC⊥平面ABC，PC?平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂線定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，設PC=1,由E是AC的中點，?BE?

32,EF?

12sin45?0B

24?tg?BFE

?BE

EF?6

例2:如圖, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求證:

AF⊥平面PBC.證明:∵PA⊥平面ABCBC ?平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

?平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

?平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求證：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如圖在空間四邊形ABCS中，SA?平面ABC，平面SAB ?平面SBC

(1)求證：AB?BC ；

(2)若設二面角S?BC?A為45?，SA＝BC，求二面角A?SC?B的大小

S

E

a

A 2aC

已知線段AB的兩端點在直二面角??CD??的兩個面內,且與?、?分別成30?和45?角，求AB和CD所成的角

C

如圖PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中點，二面角P?CD?B 為45?求證：平面PEC?平面PCD

G C

E B

第四篇：線線垂直、線面垂直、面面垂直的習題及答案

線線垂直、線面垂直、面面垂直部分習及答案

1．在四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．

(1)求證：BC⊥AD；

2如圖，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．（1）求證：AB⊥BC；

3.如圖，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB．

(第1題)

（1）求證：平面PCE⊥平面PCD；（2）求點A到平面PCE的距離．

4.如圖2-4-2所示，三棱錐S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求證：SH⊥平面ABC.5.如圖所示，已知Rt△ABC所在平面外一點S，且SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點.(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC，求證：BD⊥平面SAC.6.證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1 C1 A1 B1 D C A B，7.如圖所示，直三棱柱側棱，側面

中，∠ACB=90°，AC=1，的兩條對角線交點為D，的中點為M.求證：CD⊥平面BDM.8.在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

9.如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．

10.如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點，連結ED，EC，EB和DB．

(1)求證：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直線PA垂直于圓O所在的平面，A為垂足，AB為圓O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點。求證：平面PAC?平面PBC。

12..如圖1-10-3所示，過點S引三條不共面的直線，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求證：平面ABC⊥平面BSC a, 13.如圖1-10-5所示，在四面體ABCD中，BD= AB=AD=BC=CD=AC=a.求證：平面ABD⊥平面BCD.14.如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中點，求證：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．

15.如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點．

(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD．

16.如圖1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD

?平面MBD 于點O，求證：AO1

答案與提示：

1.證明：(1)取BC中點O，連結AO，DO．

∵△ABC，△BCD都是邊長為4的正三角形，∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD．又AD?平面AOD，∴BC⊥AD．

2.【證明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影為SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

3.【證明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四邊形ABCD為矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA為二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜邊PD的中點F，則AF⊥PD，∵AF ?面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中點G，連GF、AG、EG，則GF ∴GF AE∴四邊形AGEF為平行四邊形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG ?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD． 12CD又AE

12CD，（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC于H，則FH⊥平面PEC ∴FH為F到平面PEC的距離，即為A到平面PEC的距離．在△PFH與 △PCD中，∠P為公共角，FHPF?而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC，設

22AD=2，∴PF=2，PC=PD?CD?8?4?23，266?2?3∴A到平面PEC的距離為3． ∴FH=2

34.【證明

】

取

SA的中

點

E，連接EC，EB.∵SB=AB,SC=AC, ∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E, ∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE 5.證明：(1)因為SA=SC，D為AC的中點，所以SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB=BC，D是AC的中點，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC內的兩條相交直線，所以BD⊥平面SAC.6.證明：連結AC

?BD?AC

AC為A1C在平面AC上的射影

???A1C?平面BC1D同理可證AC?BC11?

?BD?A1C

7.證明：如右圖，連接

∵、，∴、，則

.為等腰三角形...為直角三角形，D為.，∴

.又知D為其底邊

∵

又，∴ 的中點，∴，∴.∵，的中點，∴

又

∵ ⊥平面BDM.、.即CD⊥DM.為平面BDM內兩條相交直線，∴ CD 8.證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF． ∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB． 又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．

∵CD?平面CDF，∴C?． D

又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD．

9.證明：如圖，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB為正三角形，則有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中點為E

直角△BPC中，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，在△PEA中，∴，，，平面ABC⊥平面BPC.10.證明：(1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點．∴△DD1E為等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴?DEC?90?，即DE⊥EC．

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE?平面D1DCC1，∴BC⊥DE．又EC?BC?C，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB過DE，∴平面DEB⊥平面EBC．

(2)解：如圖，過E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∵面ABCD⊥面D1DCC1，∴EO⊥面ABCD．過O在平面DBC中作OF⊥DB于F，連結EF，∴EF⊥BD．∠EFO為二面角E－DB－C的平面角．利用平面幾何知識可得OF＝15，(第10題)

5又OE＝1，所以，tan?EFO＝．

11.（1）【證明】∵C是AB為直徑的圓O的圓周上一點，AB是圓O的直徑

∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC． ∵BC ?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

.12.證明：如圖1-10-4所示,取BC的中點D，連接AD，SD.由題意知△ASB與△ASC是等邊三角形，則AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD=

a, 又AD=

=

a, ∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.證明：取BD的中點E，連接AE，CE.則AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD=

, ∴AE= ,同理,CE=

.在△AEC

中，AE=EC=

∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD 14.證明：((1)取EC的中點F，連接DF．

∵ CE⊥平面ABC，∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．

∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，,AC=a，∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

(2)取AC的中點N，連接MN、BN，MNCF．

∵ BDCF，∴ MNBD．N平面BDM．

∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．

又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．

15.證明：

又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．

又∵ DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．(1)取PD的中點E，連接AE、EN，則，故AMNE為平行四邊形，∴ MN∥AE．

∵ AE平面PAD，MN平面PAD，∴ MN∥平面PAD．

(2)要證MN⊥CD，可證MN⊥AB．

由(1)知，需證AE⊥AB．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，∴ AB⊥平面PAD．

∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴ MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再證AE⊥PD即可．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E為PD的中點．

∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，∴ MN⊥平面PCD．

16.證明：連結MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1．

設正方體棱長為a，則AO2?3a2，MO2?324a21．

在Rt△AC11M中，A29221M?4a．∵AO1?MO2?A1M2，A1O?OM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

∴

第五篇：線面垂直面面垂直及二面角專題練習

線面垂直專題練習

一、定理填空：

1.直線和平面垂直

如果一條直線和，就說這條直線和這個平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質定理 線面垂直判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.判定定理1：如果兩條平行線中的一條于一個平面，那么判定定理2：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么.性質定理3：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線.二、精選習題：

1.設M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個命題：

①a//b?a?M?a?M?a//M???b∥M④??b?M②??a//b③??b⊥M.a?b?a?M?b?M?a?b?

其中正確的命題是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點.現在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P.那么，在四面體P—DEF中，必有()

第3題圖

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.設a、b是異面直線，下列命題正確的是()

A.過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交

B.過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直

C.過a一定可以作一個平面與b垂直

D.過a一定可以作一個平面與b平行

4.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三個命題：

①垂直于同一個平面的兩條直線平行；

②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；

③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直

其中正確命題的個數為()A.0B.1C.2D.36.設l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

① 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，其中真命題的序號是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

8.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點，求證：AB1⊥A1M．

10.如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點，N是BD′上一點，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.面面垂直專題練習

一、定理填空

面面垂直的判定定理：

二、精選習題

1、正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角后，AB與CD所成的角等于

2、三棱錐P?ABC的三條側棱相等，則點P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一條直線與兩個平面所成角相等，那么這兩個平面的位置關系為______________

4、在正三棱錐中，相鄰兩面所成二面角的取值范圍為___________________

5、已知??l??是直二面角，A??,B??,A、B?l，設直線AB與?成30角，AB=2，B

?

到A在l上的射影N，則AB與?所成角為______________.6、在直二面角??AB??棱AB上取一點P，過P分別在?,?平面內作與棱成 45°角的斜線PC、PD，則∠CPD的大小是_____________

7、正四面體中相鄰兩側面所成的二面角的余弦值為___________________.二、解答題：

8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

B1

C1

C

A

B10、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請給出證明；若不是，請舉出反例．

BA

C

二面角練習1210

1.正方體ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.5?2???B.C.D.632

32.邊長為a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=

a，這時二

2面角B－AD－C的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°

3.以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高為折痕，將△ABC折起，若折起后的三角形ABC為等邊三角形，則二面角C－AD－B的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4在空間四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分別 是AC、AD、CA的中點。求證：平面BEF

^平面BEG。

性質定理：若兩個平面互相垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二面角的基本求法

(1)定義法：在棱上取點，直。

9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求證：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大小；

（3）求異面直線SC與AB所成角的余弦值。

10.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大小；（2）平面A1DC1與平面ADD1A1所成角的正切值。

11.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，P是AD的中點，求二面角A-BD1-P的大小。

(2)．三垂線法

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平垂直。

12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=

AD=a，G是EF2

A

平面AGC^平面BGC；（2）求GBB

角的正弦值；

（3）求二面角B-AC-G的大小。

13．點P在平面ABC外，?ABC是等腰直角三角形，?ABC

（1）求證：平面PAB^平面APA^BC。?PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。

（3）．垂面法

14.將一副三角板如圖拼接，并沿BC折起成直二面角，設AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。

C