第一篇：復合函數的單調性的證明

復合函數的單調性的證明

例

1、已知函數y?f(x)與y?g(x)的定義域都是R，值域分別是?0,???與???,0?，在R上f(x)是增函數而g(x)是減函數，求證:F(x)?f(x)?g(x)在R上為減函數.分析：證明的依據應是減函數的定義.證明：設x1,x2是R上的任意兩個實數，且x1?x2，則F(x1)?F(x2)?f(x1)g(x1)?f(x2)g(x2)

?f(x1)g(x1)?f(x1)g(x2)?f(x1)g(x2)?f(x2)g(x2)?f(x1)?g(x1)?g(x2)??g(x2)?f(x1)?f(x2)?

?f(x)是R上的增函數，g(x)是R上的減函數，且x1?x2.?f(x1)?f(x2)，g(x1)?g(x2)即f(x1)?f(x2)?0，g(x1)?g(x2)?0.又f(x)的值域為?0,???，g(x)的值域為???,0?，?f(x1)?0,g(x2)?0.?F(x1)?F(x2)?0即F(x1)?F(x2)

?F(x)在R上為減函數.小結：此題涉及抽象函數的有關證明，要求較高，此外在F(x1)?F(x2)的變形中涉及到增減項的技巧，它也應是源于單調性只能比較同一個函數的某兩個函數值，必須構造出f(x1)與f(x2)的差和g(x1)與g(x2)的差.

第二篇：復合函數的概念及復合函數的單調性

復合函數的概念及復合函數的單調性

1．復合函數的概念

如果y是?的函數，?又是x的函數，即y?f(?)，??g(x)，那么y關于x的函數y?f[g(x)]叫做函數y?f(?)和??g(x)的復合函數，其中?是中間變量，自變量為x，函數值y。

例如：函數y?()x132?2x是由y?()?，??x?2x復合而成立。

221函數y?lg(3?4x?x)是由y?lg?，??3?4x?x復合而成立，?、?是中間變量。

2．復合函數單調性

一般地，定理：設函數??g(x)在區間M上有意義，函數y?f(?)在區間N上有意義，且當x?M時，??N

有以下四種情況：

（1）若??g(x)在M上是增函數，y?f(?)在N上是增函數，則y?f[g(x)]在M上也是增函數；

（2）若??g(x)在M上是增函數，y?f(?)在N上是減函數，則y?f[g(x)]在M上也是減函數；

（3）若??g(x)在M上是減函數，y?f(?)在N上是增函數，則y?f[g(x)]在M上也是減函數；

（4）若??g(x)在M上是減函數，y?f(?)在N上是減函數，則y?f[g(x)]在M上也是增函數。

即：同增異減

注意：內層函數??g(x)的值域是外層函數y?f(?)的定義域的子集。

例

1、討論下列函數的單調性（注意：要求定義域）

（1）y?()

解：

213x2?2x（2）y?lg(3?4x?x)

練習1：

1．求下列函數的單調區間。

（1）y?

2（3）y?

例

2、已知y?f(x)，且lglgy?lg3x?lg(3?x)。

（1）求y?f(x)的表達式及定義域；

（2）討論y?f(x)的單調性。

練習2 1．已知f(x)?8?2x?x，g(x)?f(2?x)，求g(x)的單調區間。

2．討論函數y?loga(x?4x?3)的單調性。2x2?5x?2

（2）y?log1(x?2x?3)

22x?x?1（4）y?(3x?x)22?1222

練習題

1．若函數y?f(x)的圖象過點(0,1)，則y?f(x?4)的圖象必過點（）

A．(4,?1)

B．(1,?4)C．(?4,1)

D．(1,1)

2．函數y?log2x在區間???,0???0,???上（）2A.是奇函數，且在?0,???上是增函數 B.是偶函數，且在?0,???上是增函數 C.是奇函數，且在?0,???上是減函數 D.是偶函數，且在?0,???上是減函數

3．函數y?16?6x?x2(0?x?4)的最大值與最小值分別是（）

A．25，16 B．5，0 C．5，4 D．4，0 1?1?x4．函數y????3?2?1值域為（）

A．(??,1)

B．(,1)

C．[,1)

D．[,??)5．函數f(x)?log1(6?x?x)的單調遞增區間是()31313132A．[?11,??)

B．[?,2)22x2?2(a?1)x?1C．(??,?)

D．(?3,?)

12126．函數f(x)?2在區間[5,??)上是增函數，則實數a的取值范圍是()A.[6,+?)

B.(6,??)

C.(??,6]

D.(??,6)7．已知y?loga(2?ax)在?0,1?上是x的減函數，則a的取值范圍是（）A.?0,1?

B.?1,2?

C.?0,2?

D.?2,???

第三篇：復合函數單調性教案

復合函數單調性教案

教學目標 知識目標

1.掌握有關復合函數單調區間的四個引理.2.會求復合函數的單調區間.3.必須明確復合函數單調區間是定義域的子集.能力目標

培養學生的數學轉化思想和構建數學建模能力。情感目標

培養學生分析問題，解決問題的能力。教學重點與難點

1.教學重點是教會學生應用本節的引理求出所給的復合函數的單調區間.2.教學難點是務必使學生明確復合函數的單調區間是定義域的子集.教學過程設計

師：這節課我們將講復合函數的單調區間，下面我們先復習一下復合函數的定義.生：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AíB，則y關于x函數的y=f［g(x)］叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.師：很好.下面我們再復習一下所學過的函數的單調區間.(教師把所學過的函數均寫在黑板上，中間留出寫答案的地方，當學生回答得正確時，由教師將正確答案寫在對應題的下邊.)(教師板書，可適當略寫.)例

求下列函數的單調區間.1.一次函數y=kx+b(k≠0).解 當k＞0時，(－∞，+∞)是這個函數的單調增區間；當k＜0時，(－∞，+∞)是這個函數的單調減區間.2.反比例函數y=k(k≠0).x解 當k＞0時，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個函數的單調減區間，當k＜0時，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個函數的單調增區間.3.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0).bb)是這個函數的單調減區間，(－，+∞)是它的單調增區間；2a2abb當a＜0時(－∞，－)是這個函數的單調增區間，(－，+∞)是它的單調減區間；

2a2a解

當a＞0時(－∞，－4.指數函數y=ax(a＞0，a≠1).

解

當a＞1時，(－∞，+∞)是這個函數的單調增區間，當0＜a＜1時，(－∞，+∞)是這個函數的單調減區間.5.對數函數y=logax(a＞0，a≠1).解

當a＞1時，(0，+∞)是這個函數的單調增區間，當0＜a＜1時，(0，+∞)是它的單調減區間.師：我們還學過冪函數y=xn(n為有理數)，由于n的不同取值情況，可使其定義域分幾種情況，比較復雜，我們不妨遇到具體情況時，再具體分析.師：我們看看這個函數y=2x2+2x+1，它顯然是復合函數，它的單調性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函數.師：我猜你是這樣想的，底等于2的指數函數為增函數，而此函數的定義域為(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.這種做法顯然忽略了二次函數u=x2+2x+1的存在，沒有考慮這個二次函數的單調性.咱們不難猜想復合函數的單調性應由兩個函數共同決定，但一時猜不準結論.下面我們引出并證明一些有關的預備定理.(板書)引理1 已知函數y=f［g(x)］.若u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，其值域為(c，d)，又函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，那么，原復合函數y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函數.(本引理中的開區間也可以是閉區間或半開半閉區間.)證明

在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因為u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，所以g(x1)＜g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因為函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函數y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函數.師：有了這個引理，我們能不能解決所有復合函數的單調性問題呢? 生：不能.因為并非所有的簡單函數都是某區間上的增函數.師：你回答得很好.因此，還需增加一些引理，使得求復合函數的單調區間更容易些.(教師可以根據學生情況和時間決定引理2是否在引理1的基礎上做些改動即可.建議引理2的證明也是改動引理1的部分證明過程就行了.)引理2 已知函數y=f［g(x)］.若u=g(x)在區間(a,b)上是減函數，其值域為(c，d)，又函數y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，那么，復合函數y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函數.證明

在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因為函數u=g(x)在區間(a,b)上是減函數，所以g(x1)＞g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因為函數y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函數y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函數.師：我們明白了上邊的引理及其證明以后，剩下的引理我們自己也能寫出了.為了記憶方便，咱們把它們總結成一個圖表.(板書)

師：你準備怎樣記這些引理?有規律嗎?

(由學生自己總結出規律：當兩個函數的單調性相同時，其復合函數是增函數；當兩個函數的單調性不同時，其復合函數為減函數.)師：由于中學的教學要求，我們這里只研究y=f(u)為u的單調函數這一類的復合函數.做例題前，全班先討論一道題目.(板書).例1 求下列函數的單調區間：

y=log4(x2－4x+3)師：咱們第一次接觸到求解這種類型問題，由于對它的解題步驟、書寫格式都不太清楚，我們先把它寫在草稿紙上，待討論出正確的結論后再往筆記本上寫.師：下面誰說一下自己的答案? 生：這是由 y=log4u與u=x2－4x+3構成的一個復合函數，其中對數函數 y=log4u 在定義域(0，+∞)上是增函數，而二次函數u=x2－4x+3，當x∈(－∞，2)時，它是減函數，當x∈(2，+∞)時，它是增函數，.因此，根據今天所學的引理知，(－∞，2)為復合函數的單調減區間；(2，+∞)為復合函數的單調增區間.師：大家是否都同意他的結論?還有沒有不同的結論?我可以告訴大家，他的結論不正確.大家再討論一下，正確的結論應該是什么? 生：……

生：我發現，當x=1時，原復合函數中的對數函數的真數等于零，于是這個函數沒意義.因此，單調區間中不應含原函數沒有意義的x的值.師：你說得很好，怎樣才能做到這點呢? 生：先求復合函數的定義域，再在定義域內求單調區間.師：非常好.我們研究函數的任何性質，都應該首先保證這個函數有意義，否則，函數都不存在了，性質就更無從談起了.剛才的第一個結論之所以錯了，就是因為沒考慮對數函數的 定義域.注意，對數函數只有在有意義的情況下，才能討論單調性.所以，當我們求復合函數的

單調區間時，第一步應該怎么做? 生：求定義域.師：好的.下面我們把這道題作為例1寫在筆記本上，我在黑板上寫.(板書)解

設 y=log4u,u=x2－4x+3.由

{u＞0，u=x2－4x+3，解得原復合函數的定義域為x＜1或x＞3.師：這步咱們大家都很熟悉了，是求復合函數的定義域.下面該求它的單調區間了，怎樣求解，才能保證單調區間落在定義域內呢? 生：利用圖象.師：這種方法完全可以.只是再說清楚一點，利用哪個函數的圖象? 可咱們并沒學過畫復合函數的圖象啊?這個問題你想如何解決? 生：……

師：我來幫你一下.所有的同學都想想，求定義域也好，求單調區間也好，是求x的取值范圍還是求復合函數的函數值的取值范圍?或是求中間量u的取值范圍? 生：求x的取值范圍.師：所以我們只需畫x的范圍就行了，并不要畫復合函數的圖象.(板書)師：當x∈(－∞，1)時，u=x2－4x+3為減函數，而y=log4u為增函數，所以(－∞，1)是復合函數的單調減區間；當x∈(3，+∞)時，u=x2－4x+3為增函數y=log4u為增函數，所以，(3，+∞)是復合函數的單調增區間.師：除了這種辦法，我們還可以利用代數方法求解單調區間.下面先求復合函數單調減區 間.(板書)u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(復合函數定義域)x＜2(u減)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)時，函數u單調遞減.由于y=log4u在定義域內是增函數，所以由引理知：u=(x－2)2－1的單調性與復合函數的單調性一致，所以(－∞，1)是復合函數的單調減區間.下面我們求一下復合函數的單調增區間.(板書)u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(復合函數定義域)x＞2(u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是復合函數的單調增區間.師：下面咱們再看例2.(板書)例2

求下列復合函數的單調區間：

y=log(2x－x2)師：先在筆記本上準備一下，幾分鐘后咱們再一起看黑板，我再邊講邊寫.(板書)解

設 y=logu,u=2x－x2.由

u＞0

u=2x－x2 解得原復合函數的定義域為0＜x＜2.由于y=log13u在定義域(0，+∞)內是減函數，所以，原復合函數的單調性與二次函數u=2x－x2的單調性正好相反.易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1時單調增.由

0＜x＜2（復合函數定義域）

x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原復合函數的單調減區間.又u=－(x－1)2+1在x≥1時單調減，由

x＜2，(復合函數定義域)

x≥1，(u減)解得0≤x＜2,所以[0，1]是原復合函數的單調增區間.師：以上解法中，讓定義域與單調區間取公共部分，從而保證了單調區間落在定義域內.師：下面我們再看一道題目，還是自己先準備一下，就按照黑板上第一題的格式寫.(板書)例3 求y=(學生板書)的單調區間.解

設y=.由

u∈R, u=x2－2x－1, 解得原復合函數的定義域為x∈R.因為y=在定義域R內為減函數，所以由引理知，二次函數u=x2－2x－1的單調性與復合函數的單調性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1時單調減，由

x∈R,(復合函數定義域)

x≤1，(u減)解得x≤1.所以(－∞，1］是復合函數的單調增區間.同理［1，+∞)是復合函數的單調減區間.師：黑板上這道題做得很好.請大家都與黑板上的整個解題過程對一下.師：下面我小結一下這節課.本節課講的是復合函數的單調性.大家注意：單調區間必須是定義域的子集，當我們求單調區間時，必須先求出原復合函數的定義域.另外，咱們剛剛學習復合函數的單調性，做這類題目時，一定要按要求做，不要跳步.(作業均為補充題)作業

求下列復合函數的單調區間.1.y=log3(x2－2x);(答：(－∞，0)是單調減區間，(2，+∞)是單調增區間.)

第四篇：專題：函數單調性的證明

函數單調性的證明

函數的單調性需抓住單調性定義來證明，這是目前高一階段唯一的方法。

一、證明方法步驟為：

① 在給定區間上任取兩個自變量x1、x2且x1＜x2 ② 將f?x1?與f?x2?作差或作商（分母不為零）

③ 比較差值（商）與0（1）的大小 ④ 下結論，確定函數的單調性。

在做差比較時，我們常將差化為積討論，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（無理式）、配方等手段。

二、常見的類型有兩種：

（一）已知函數的解析式：

1例1：證明：函數f?x?=在x∈（1，+∞）單調遞減

x-

1例2：證明：函數f?x?=x+x+1在x∈R時單調遞增

3[1，+?）時單調遞增 例3：證明：函數f?x?=x-1在x∈2

例4：討論函數f?x?=x+

1在（1，+?）的單調性，并求最小值 x-1

例5：求函數f?x?= x+2的單調區間 x-1+?）單調遞增 練習：

1、證明函數f?x?=x+（a＞0）在（a，2、討論函數f?x?=1+x-x的單調性

2ax

（二）f?x?抽象函數的單調性：

抽象函數的單調性關鍵是抽象函數關系式的運用，同時，要注意選擇作差還是作商，這一點可觀察題意中與0比較，應作差；與1比較，應作商。如下三例：

例1：已知函數滿足x、y∈R時，f(x?y)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞0時，＞0.證明：f(x)在R上單調遞增.例2：已知函數滿足x、y∈R時，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞1時，0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調遞增.例3：已知函數滿足x、y∈R時，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當x＞1時，1.若f(x)?0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調遞增.練習：

1、已知函數

f?x?對于任意的x、y∈R，f?x?+f?y?=f?x+y?，且當x＞0時，f?x?＜0；f?1?=-23.f(x)＞f(x)＞總有（1）求證：f?x?在R上是減函數

（2）求f?x?在[-3，3]上的最大值與最小值

2、已知函數f?x?的定義域為R，且m、n∈R，恒有f?m?+f?n?=f?m+n?+1，且f?-＞-?1??=0，當x?2?1時，f?x?＞0.2（1）求證：f?x?是單調遞增函數（2）求f?x?在[-2,2]的最大值與最小值.3、定義在R上的函數f?x?恒為正，且滿足f?x+y?=f?x?f?y?，當x＞0時，f?x?＞1.（1）證明：f?x?在R上單調遞增.2（2）若函數f?x?的定義域為[-1,1]時，解不等式fx-1＞f?2x?

??

4、函數f?x?的定義域為R，對于任意的a、b∈R皆有f?a?+f?b?=f?a+b?+1，且x＞0時，f?x?＞1（1）求證：f?x?是R上的增函數

2（2）若f?4?=5，解不等式f3m-m-2＜3

??3

第五篇：函數的單調性證明

函數的單調性證明

一．解答題（共40小題）

1．證明：函數f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數．

2．求證：函數f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增．

3．證明f（x）=

在定義域為[0，+∞）內是增函數．

4．應用函數單調性定義證明：函數f（x）=x+在區間（0，2）上是減函數．

第1頁（共23頁）

5．證明函數f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數．

6．證明：函數f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調性．

7．證明：函數y=

在（﹣1，+∞）上是單調增函數．

8．求證：f（x）=

在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

9．用函數單調性的定義證明函數y=

在區間（0，+∞）上為減函數．

第2頁（共23頁）

10．已知函數f（x）=x+．

（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數；（Ⅱ）若

＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實數a的取值范圍．

11．證明：函數f（x）=

在x∈（1，+∞）單調遞減．

12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數，在[1，+∞]上是增函數．

13．判斷并證明f（x）=

在（﹣1，+∞）上的單調性．

14．判斷并證明函數f（x）=x+在區間（0，2）上的單調性．

第3頁（共23頁）

15．求函數f（x）=的單調增區間．

16．求證：函數f（x）=﹣

﹣1在區間（﹣∞，0）上是單調增函數．

17．求函數的定義域．

18．求函數的定義域．

19．根據下列條件分別求出函數f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．

第4頁（共23頁）

21．求下列函數的解析式

（1）已知f（x+1）=x2求f（x）

（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函數f（x）為一次函數，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）

（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

22．已知函數y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．

第5頁（共23頁）

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．

24．已知函數f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函數f（x）．

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，則求f（x）的解析式．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．

28．已知函數f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．

第6頁（共23頁）

29．若f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）

31．求下列函數的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；

（2）已知f（）=，求f（x）．

32．已知二次函數滿足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．

34．已知一次函數f（x）滿足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函數f（x）的解析式．

第7頁（共23頁）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．

36．已知函數f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函數f（x）的解析式．

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

39．若函數f（）=+1，求函數f（x）的解析式．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

第8頁（共23頁）

第9頁（共23頁）

函數的單調性證明

參考答案與試題解析

一．解答題（共40小題）

1．證明：函數f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數． 【解答】證明：設x1＜x2＜0，則：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數．

2．求證：函數f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增． 【解答】證明：設0＜x1＜x2＜，則f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，則（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，則f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數f（x）在（0，）上遞減，設≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10頁（共23頁）），則（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，則f（x3）﹣f（x4）＜0，則函數f（x）在[，+∞）上遞增．

3．證明f（x）=在定義域為[0，+∞）內是增函數．

【解答】證明：設x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，則：

=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在定義域[0，+∞）上是增函數．

4．應用函數單調性定義證明：函數f（x）=x+在區間（0，2）上是減函數． 【解答】證明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=

﹣（=

；

；

因為0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上為減函數．

5．證明函數f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數． 【解答】解：設x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+

=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11頁（共23頁）

∴x1﹣x2＜0，2+

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函數f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數．

6．證明：函數f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）

因為0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函數在[0，+∞）是單調遞增函數．

7．證明：函數y=

在（﹣1，+∞）上是單調增函數．

=1﹣

在在區間（﹣1，+∞），【解答】解：∵函數f（x）=可以設﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=

∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在區間（﹣∞，0）上為增函數；

8．求證：f（x）=在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

第12頁（共23頁）

【解答】證明：設x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，則x1x2＞0，此時f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時函數單調遞增．

若0＜x1＜x2，則x1x2＞0，此時f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此時函數單調遞增． 即f（x）=

9．用函數單調性的定義證明函數y=【解答】解：∵函數y=可以設0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在區間（﹣∞，0）上為減函數；

10．已知函數f（x）=x+．

（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數；（Ⅱ）若＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實數a的取值范圍．

﹣

=

＞0，在區間（0，+∞）上為減函數． 在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．

在區間（0，+∞），【解答】（Ⅰ）證明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上為增函數；（Ⅱ）解：∵＞0對任意x∈[4，5]恒成立，第13頁（共23頁）

∴x﹣a＞0對任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x對任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．

11．證明：函數f（x）=

在x∈（1，+∞）單調遞減．

【解答】證明：設x1＞x2＞1，則：

；

∵x1＞x2＞1；

∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在x∈（1，+∞）單調遞減．

12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數，在[1，+∞]上是增函數． 【解答】證明：①在（0，1）內任取x1，x2，令x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣

；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是減函數． ②在[1，+∞）內任取x1，x2，令x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）

第14頁（共23頁）

=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函數．

13．判斷并證明f（x）=【解答】解：f（x）=證明如下：

在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=

﹣

=，在（﹣1，+∞）上的單調性． 在（﹣1，+∞）上的單調遞減．

∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=

14．判斷并證明函數f（x）=x+在區間（0，2）上的單調性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

第15頁（共23頁）

在（﹣1，+∞）上的單調遞減．

﹣x2﹣=（x1﹣x2）+

﹣

=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是單調減函數．

15．求函數f（x）=的單調增區間．

=1﹣的單調遞增區間為【解答】解：根據反比例函數的性質可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）

故答案為：（﹣∞，0），（0，+∞）

16．求證：函數f（x）=﹣

﹣1在區間（﹣∞，0）上是單調增函數．

【解答】證明：設x1＜x2＜0，則：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在區間（﹣∞，0）上是單調增函數．

17．求函數的定義域．

【解答】解：根據題意，得，解可得，故函數的定義域為2≤x＜3和3＜x＜5．

18．求函數的定義域．

第16頁（共23頁）

【解答】解：由故函數定義域為{x|x＜}

．

19．根據下列條件分別求出函數f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+

=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．

21．求下列函數的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函數f（x）為一次函數，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣

第17頁（共23頁）

1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令

=t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）=

．

（3）已知函數f（x）為一次函數，設f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．

（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+

22．已知函數y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，則2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等號兩邊同時以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函數f（x）的解析式：f（x）=x﹣

24．已知函數f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函數f（x）．

第18頁（共23頁）

②，．

．

（x≠0）．

【解答】解：∵x＞0時，x+≥2且函數f（x+）=x2+（）2=設t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；

即函數f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．

=2，﹣2；

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，聯立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，則求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：

2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：

3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣

第19頁（共23頁），．

28．已知函數f（【解答】解：令t=則由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2．

+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．

∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．

29．若f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．

f（x）的解析式：f（x）=4x．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，則4b=8，解得b=2，此時f（x）=3x+2，若a=﹣3，則﹣2b=8，解得b=﹣4，此時f（x）=3x﹣4．

31．求下列函數的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．

【解答】解：（1）令2x+1=t，則x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20頁（共23頁）

∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），則x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．

32．已知二次函數滿足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，則x=則f（t）=4（）2﹣6?

；

+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，則x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．

34．已知一次函數f（x）滿足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函數f（x）的解析式． 【解答】解：設f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣．

第21頁（共23頁）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，設x+2=t，則x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．

36．已知函數f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函數f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，則x=t+2，代入原函數得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 則函數f（x）的解析式為f（x）=2x2+5x+6

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

【解答】解：設∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，則t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．

39．若函數f（【解答】解：令）=

+1，求函數f（x）的解析式．

=t（t≠1），則=t﹣1，第22頁（共23頁）

∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

【解答】解：（1）變形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式為f（x）=x2﹣2x﹣3；

（2）方程f（x+1）=0可化為（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化簡可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2

第23頁（共23頁）

3，