第一篇：新初三暑期英語學習攻略

新初三暑期英語學習攻略

2014年的中考已經結束，對于初二的同學們來說即將升入初三，迎接人生第一次重大考試，壓力可想而知。那么，如何充分利用好這次的暑假，提前進入中考預熱階段呢？在這里，北京新東方中小學一對一譚靜老師給同學們一些暑期中考復習的建議。

一、初二同步復習

在暑假的學習過程中，同學們可以更注重和學校教材的同步語法重點難點的查漏補缺，夯實基礎，養成鞏固復習的學習習慣，為新學年新知識點的學習做好鋪墊。同時，也要兼顧涉及一些中考模擬題，提前了解中考題型及難度，有助于快速進入備考狀態。

英語這門學科需要大量的單詞記憶，而同學們普遍反應單詞背了就忘。針對這一問題，建議大家在積累新的單詞的同時，兼顧已經背過的單詞，反復聽寫檢驗，通過重復記憶，克服了忘記單詞這一難題。

二、第一輪中考復習

在初二的查漏補缺過程中鞏固了基礎知識，因此同學們在中考一輪復習時進度可以適度加快，語法部分的復習可以參考歷年北京市的模擬題及真題，難度不是很大。同學們可以通過自測的方法檢驗語法專題薄弱環節，再逐個擊破，強化練習。其次，是完型、閱讀、寫作。題目難度較大，同學

們可以通過大量的練習，總結出一些方法技巧，并且在做題過程中注重單詞的積累。在進行中考真題及模擬題的練習時，用錯題本將錯題按照知識點與模塊分類總結，作為考前復習依據。

三、第二輪中考復習

第一輪中考復習結束后，養成每天背單詞聽寫單詞的學習習慣，可以有效提升學習能力。這時候同學們需要重點關注五選四，任務型閱讀以及完成句子等分值較少的題型。每天定時定量的做題，關注邏輯關系對解題的重要性，以及重點詞組與句型的靈活應用。將基礎題的分值拿到手，確保萬無一失。

最后，希望同學們通過努力，圓夢中考，鑄就屬于自己的輝煌！

第二篇：初三數學學習攻略

初三數學學習攻略

進入初三，隨著知識難度的增加，不少同學會對數學感到頭疼，如何在初三學好數學，進而在中考考出好成績，成為同學們急切關心的問題。

☆會讀課本，弄清例題

想學好數學，首先要會讀課本，讀課本不是簡單讀，而是在理解的基礎上把每一個概念、公理、定理和公式弄清楚明白。千萬不要忽視最基本的概念、公式等，“不定項選擇題”就要靠清晰的概念來明辨對錯，如果概念不清就會感覺模棱兩可，最終造成誤選。因此，要把已經學過的教科書中的概念整理出來，通過讀一讀、抄一抄加深印象，特別是容易混淆的概念更要徹底搞清，不留隱患。此外，要把例題都搞清楚，課本上的每一個例題具有代表性，應弄透徹。

☆多做習題，善于分析

弄明白最基本的概念和例題后，同學們在自習課和課余時間應多做習題。在做題時一定要養成計算準確的好習慣，如果你會做一個題，卻因為計算馬虎而最后答案錯誤，那就得不償失了。而且，在做題中要注重發現題與題之間的內在聯系，絕不能“傻做”。在做一道與以前相似的題目時，要會通過比較，發現規律，穿透實質，以達到“觸類旁通”的境界。特別是幾何題中添加輔助線的方法很有規律性，在做題中要特別記牢。

☆記錄錯題，避免再犯

俗話說，“一朝被蛇咬，十年怕井繩。”可是同學們常會一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。因此，建議大家在平時的做題中就要及時記錄錯題，還要想一想為什么會錯、以后要特別注意哪些地方，這樣就能避免不必要的失分。畢竟，中考中是“分分必爭”，一分也失不得。

學好數學其實并不難，只要同學們跟隨老師的進度走，把每個知識點弄明白，加強針對性的練習，就能在初三一年內有效地提升數學成績。相信經過一番努力，你的成績會有明顯提高。

物理課堂：先了解自己再學物理

新一屆的初三生將回到校園，開啟自己為中考而奮斗的新學年。中考是一個沒有硝煙的戰場，為了在戰場上取得勝利，現在起，同學們就該著手做準備了。在開學前的這兩個星期里，同學們可以做點什么呢？

——利用暑假，總結得失

經過一年的學習，同學們應該對物理這門學科的特點有所了解了，利用假期，要好好總結自己的得與失。開學前，同學們最重要的任務就是了解自己。了解自己主要是指了解自己的物理學習現狀：哪部分知識學得最好、哪些知識學得不扎實；自己學習物理的優勢或劣勢是記憶還是理解？解答實驗題還是計算題時自己比較吃力……怎樣才能把自己的學習現狀分析清楚呢？一是回憶以往的測驗考試；二是分析一下自己曾經積累的錯題(或分析收集試卷中的錯題)，弄清是哪一類習題經常出問題，那這類知識就是自己

學得不扎實的內容或“弱項”。此外，同學們可總結自己的學習方法，看看哪些方法是合適自己的，哪些方法對自己沒用。對于好的學習方法要保留，而不好的就可以拋棄。

——提前預習，把握要點

俗話說“溫故而知新”，在對初二物理進行復習的基礎上，可提前預習初三物理的內容。預習應該以課本為主。翻開課本后，可以先看一下目錄，了解一下一共有幾章，每一章主要在講什么問題，對所學知識做到心中有數。預習時，遇到不明白的地方，要做一個記號。開學后，對于有記號的地方，要重點聽老師講解，力求弄明白透徹。預習完每一節后，應做一下課后的練習題，這樣可加深自己對所學內容的印象，提高自己利用物理知識解決物理現象的能力。預習一遍后，同學們可以對所學的物理知識進行歸納總結，整合出一個知識體系和知識框架，在整個框架內對知識點進行查漏補缺。

物理是一門以生活為基礎的學科，包含力、熱、聲、光、電、磁等內容，涉及面很廣。要想學好物理，關鍵是一個“透”字。也就是說，如果你對所學的知識完全弄明白透徹了，那么做題考試都不成問題；而如果你對所學知識似懂非懂，或只知其一不知其二，那樣就存在問題。另外，從今年的中考試卷來看，文字題的分量有所增加。這類題往往是給出一組數據或一個結論，讓你敘述理由和現象，這不僅要求同學們熟知各種物理現象和結論，也要求同學們有較好的語言表達能力。因此，同學們在這些方面也要所注意。

化學實驗室：初三化學早起步

進入初三后，同學們將會接觸一門新的基礎自然科學———化學。在短短的一年時間里，同學們將會學習一些化學的基本知識，掌握一些化學實驗的基本技能，同時還要應付大大小小的考試。那么，為迎接中考，同學們應該如何學好化學這門功課呢？只要早起步，起好步，以后學習起來就比較順利了。

◆提前預習

同學們可利用開學前的這段時間，對化學課本進行翻閱，了解一些基本的化學概念，熟悉一些化學實驗的基本操作。化學是“理科中的文科”，因此記憶的東西比較多，尤其是剛開始接觸化學時，需要同學們掌握的基本概念和知識點較多，這就要求同學們去扎實記憶，為以后的學習打下好的基礎。

◆認真聽課

開學后，同學們學習化學，可以在老師的帶領下，隨著教學的進度往前走。這個時候，最重要的就是認真聽講，把每堂課的知識點都弄明白。功在課堂，利在課后，如果在課堂上能基本掌握所學的基礎知識和技能，課后復習和做作業都不會發生困難；如果上課時不注意聽講，當堂沒聽懂，在課堂上幾分鐘就能解決的問題，課后可能要花費幾倍的時間才能補上。因此，同學們在課堂上集中精力聽好每一堂課，是學好化學的關鍵。聽課時，一定要聚精會神，集中注意力，不但要認真聽老師的講解，還要特別注意老師講課的思路和反復強調的重點及難點。邊聽課邊記筆記，遇到沒有聽明白或沒記下來的地方要做些記號，課后及時請教老師或同學。

◆動手實驗

化學是一門以實驗為基礎的學科。觀察老師演示實驗的操作、現象，獨立地做好學生實驗，上好實驗課，是學好化學的基礎。

首先，同學們在課堂上要認真觀察老師所做的每一個演示實驗的操作和實驗現象。化學實驗是很生動、很直觀的，實驗中千變萬化的現象最能激發學生的興趣，但如果同學們只圖看熱鬧，光看現象，不動腦子思考，看完了不知道是怎么回事，無助于學習的提高，所以，觀察要有明確的目的，目的明確了才能抓住觀察的重點。

其次，要上好學生實驗課，課前必須進行預習，明確實驗目的、實驗原理和操作步驟。進行實驗時，自己要親自動手，不做旁觀者，要認真做好實驗內容里所安排的每一個實驗，在實驗過程中要集中注意力，嚴格按實驗要求操作，對實驗過程中出現的各種現象，要耐心細致地觀察，認真思考，準確如實地記錄。

任老師提醒新一屆初三生，對于化學的學習，同學們應報著平常心去學習，沒必要有畏難情緒。興趣是最好的老師，同學們可以觀察生活中出現的各種化學現象，然后用所學化學知識去解釋，只要有足夠的興趣，學好化學并不難！

把握中考特點 科學復習政治

初三這一年，政治的學習面臨著任務重、時間緊的局面，同時存在概念繁多、運用能力要求高等學科特點，因此科學的復習顯得尤為重要，它不僅能使政治基礎好的同學更上一層樓，也可以使基礎不太扎實的同學找到一個著力點，從而為政治學習的提高提供一個有利的平臺。可以說初三政治復習的好壞將直接影響中考的成績。在此，不妨借鑒一些老師和過來人的建議和經驗———

——了解新教材與課堂進度

無論教材如何變化，考試說明當中的內容和知識點基本不會變，同學們只要緊跟老師的步伐，教材的變化與否不會產生很大影響。

開學后，初三學生將對新課本進行學習，重點是國家的國情、路線、方針、政策，對該課本的學習與復習將隨著寒假的開始而完成。第二學期開學后，將對初

一、初二年級的政治課本進行復習，而熱點、專題的復習預計在4、5月份開始，隨后便進入最后的自由復習階段。

——科學復習方法三步走

初

一、初二因為是單純對當年的政治課本進行學習，記憶起來相對比較輕松，但想到初三是對三年來所有的內容進行消化和吸收，加上有些同學記憶力并不是太好，背得快，忘得也快，心里難免會打退堂鼓。如何應對，老師為大家支了三招：

1、緊抓課堂45分鐘

考慮到同學們課下由于要對諸學科進行同時復習，時間相當緊這一因素，老師提倡要充分利用課上時間。在每一個45分鐘內都要做到：對老師反復強調的問題要特別給予重視；學習老師分析問題和解決問題的思路；認真做好筆記，但要把握聽為主、記為輔的原則，為了節約時間，老師提到的，書本上有的要勾畫，沒有的再記筆記；最后盡量達到當堂內容當堂消化的效果。如此行之，只要在每周末或月末進行政治的總復習即可，這樣同學們在課下便可以節約很多時間去學習其他科目。

2、關注熱點時事政治

根據以往的經驗總結，中考政治題中的前3-4道單項選擇題一般是對純時事政治的考查，熱點時事也將作為背景材料在其他的題目中出現。這些必須引起同學們對時事的足夠重視。要時時關心身邊事，尤其是與自己切身利益相關的時事。考試說明提出，2009年中考時事的考查范圍是從2008年的3、4月份到2009年的3、4月份，因此必須對此之間的時事予以關注。

3、正確看待開卷考試

有的同學認為，政治既然是開卷考試，考試前翻翻書，抄抄重點不就萬事大吉了！老師指出，千萬不要存在這種僥幸心理。正因為是開卷，同學們才更應該重視。因為這樣對政治的考查就不僅僅是簡單的將書本知識照搬到試卷上了，它對同學們的綜合運用和分析能力有了更高的要求。當然可以在書本上抄寫一些自己認為的或是老師強調的重點題目，但這樣做只能是讓同學們心里更有底，也可以說是一種自我安慰，碰到中考原題的幾率幾乎為零，因此切記不要將其視為救命稻草。

-政治復習小技巧

1、按復習內容的多少，準備數張8開大白紙，為了閱讀或拿著方便可以折疊成三等份，將知識點按章節或自己的復習思路記錄在紙上，可以是重要概念的關鍵詞，也可以是老師反復強調的重點知識，抑或是知識的框架結構。因為是自己的總結，所以印象會很深刻。沒事的時候拿出來看一遍也很方便。

2、晚上睡覺之前躺在床上，將自己在白天寫的各科的重要知識點、小總結拿出來看一遍。如果你按照上面提到的方法進行了整理，那么此時數張8開白紙將會對你有很大的幫助。說明一下，在這個方法的實行中，如果感覺自己有精力去記憶的話，當然很好，但是對辛苦了一天的同學們來說，不必刻意去背誦，只需蜻蜓點水般看一遍或讀一遍即可，剩下的就讓睡眠來幫你吧。

3、在解答論述題時，條理是否清晰將會對你的分數產生直接影響。那么從現在開始，就養成按條理、分段落進行論述題的解答吧。在每一個小段落前標明1、2、3、4；每個段落開頭的幾個字一定要是你對該段落總結的小提綱。這樣不僅使你的卷面整潔，還能使解題思路一目了然得呈現給閱卷老師，從而使老師在心理上先給你判定一個比實際偏高的分值。

最后還要提醒備戰中考的同學們平時要特別注意自己的字體，漂亮的字體也會為你的試卷增色不少。如此簡單的幾個技巧，何樂而不為呢！

方法得當 輕松攻克歷史

對于新一屆初三生來說，不少同學認為歷史這門學科有大量需要記憶的東西，感覺如芒在背。其實，同學們不必對歷史這門科目有什么抵觸心理，該面對的終究還是要面對，只要學習方法得當，就能在學習歷史的過程中品味出樂趣。

☆“總分總”預習方法

進入初三，同學們全面展開了對歷史中世界史部分的學習。利用暑假這一段時間，可以進行世界史的預習，這將使同學們在開學后學習世界史時做到胸有成竹、游刃有余。在這里，“總分總”的預習方法是老師尤為提倡的。

總。世界史每個單元一開始，都會有一段單元概要。這段單元概要可以說是每一章的精華所在，該章的總體時代特征、該章所反映內容對整個世界史的影響、重大事件的串聯性總結等都會在其中一一體現。由于其短小精悍，同學們可以很容易地在頭腦中留下對每一章知識的總體印象，及時把握重點內容。

分。總體把握章節內容后，對每一節內容進行預習便成了第二個必不可少的環節。將小節內容大致瀏覽后，找出歷史事件的起因、經過、結果、影響、意義等，繼而結合每一小節的練習題進行鞏固。這樣不緊花費時間短，記憶也會相當深刻。

總。在上面兩個步驟完成之后，便進入第三個環節———總結。這可謂是“總分總”預習方法的點睛之筆。它與開始時的總體把握并不相同，是在詳細學習章節內容后對知識進行的反思，是同學們對世界史的切身感受。因此，同學們在這一過程中完全可以自己去發現問題，找出在預習過程中遺漏的或不明白的地方，待到開學上課時與同學、老師進行交流。

☆歷史復習要“三步走”

盡早熟悉歷史復習的基本方法，并將其運用到初三全年的歷史學習中是大有裨益的。在中考的大背景下，復習歷史要三步走：

第一，立足基礎知識。中考著重考查基礎知識，因此在歷史復習中，鞏固基礎知識的復習顯得特別重要。同學們在歷史復習的第一階段要重點夯實基礎，全方位對知識進行梳理，決不遺漏中考范圍內的任何一個知識點。另外復習基礎知識時，不能照本宣科，一定對基礎知識進行必要的分析和突破，否則哪怕是熟讀課文，但遇到課本上沒有的題目，仍然無法應對。

第二，將基礎知識專題化、綜合化。在復習課本基礎知識的過程中，同學們對歷史知識的掌握逐漸由薄到厚，不過大量的信息也使同學們記得多忘得多，這就迫切需要將這些知識系統化、專題化整理，即由厚變薄。用一根根線索將眾多的知識點聯系起來，這樣就可以清晰地掌握歷史的發展脈絡，從而達到綱舉目張的效果。例如，復習中國近代史，列強侵華是一條重要線索。近代列強不斷侵略中國，企圖把中國變為它的殖民地，這是世界資本主義發展的產物，是資本主義國家開拓殖民地，爭奪世界霸權的重要組成部分。西方列強先后發動了兩次鴉片戰爭，中法戰爭，甲午中日戰爭，八國聯軍侵華戰爭，中日戰爭等。復習中，要落實到每一個知識點，即熟知每次戰爭爆發的背景、時間、經過、結果、影響等，做到點線面結合，復習到位。另外，專題復習不僅要縱向聯系，還需橫向聯系。例如，復習資本主義社會的兩次工業革命這一專題時，同學們可以橫向思考：這兩次工業革命分別給中國帶來什么了影響。橫向思考可以讓同學們認識到：中國是世界的一個組成部分，中國影響著世界，同樣世界也影響著中國。

第三，把現實生活中的時政熱點問題，與所學的歷史知識相聯系，以提高解答實際問題的能力。近年來，中考歷史部分都出現了一些較為靈活的題型，它們貼近生活實際，關注日常生活中的時政熱點問題。這就要求同學們在復習過程中要關注時政熱點，聯系所學知識，進行歸納、分析、比較，發表自己的看法，從而提高解答實際問題的能力。

☆輕松應對開卷考試

雖說中考歷史是開卷考試，但對歷史知識點扎實的記憶依舊是同學們必須具備的。因此同學們在學習歷史的過程中一定要對知識點隨時隨地進行重復記憶。開卷考試注重考查學生的能力，單純的記憶是行不通的，因此網絡式和串聯式的記憶方法將成為同學們的好幫手。比如同學們在學完三次工業革命后就可以對它們發生的時間、標志、進程、影響等等進行一個系統的整理和總結。此外，同學們都知道每一

冊書后面都附有一個歷史大事件時間表，但對于大家來說太過簡略，同學們可以對其進行擴充再進行記憶。

開卷考試與閉卷考試沒有絕對的界限，在初三前期對學生們的測試依舊采取閉卷形式，但在平時的授課過程中，老師會組織同學們對歷史問題進行討論，拓展同學們的思維；在解答課后習題或歷年真題時也會適當訓練同學們應對開卷考試的能力。因此同學們只要緊跟老師的步伐，就能夠輕松應對開卷考試。

第三篇：英語學習攻略范文

英語飆升的好方法

很久沒有深入細致地學英語了，越來越懶惰、鈍化了！這個年代無疑還是要把英語學好。今天看到這篇文章感觸頗多，就摘抄下來和大家分享，共勉！

網絡時代學英語其實很簡單，但是大部分人花在找英語學習資料上的時間比學英語本身還多，我不敢說我的方法一定是最好的，但是我敢保證從現在開始隨便誰不要再去找學習資料，每天花兩個鐘頭照我說的做，堅持三個月的提高會超過你過去三年。

不廢話了，就按照聽說讀寫一個個來。

聽:

網上比較有代表性的論壇是普特上面的聽力資源很豐富，滬江 和旺旺上一些材料的也很不錯，從中間隨便挑一個網站堅持即可。但是千萬不要一個個都聽過來。記住，開始階段100篇文章聽一遍，不如一篇文章聽100遍。如果基礎比較弱，那么每天慢速VOA（大概比四級聽力稍難一些）聽兩篇，每篇10遍以后再看原文，弄清楚每個單詞的意思，看完以后再聽10遍以上。保證兩周以后你回去聽四六級聽力會很不耐煩。過了慢速就可以聽常速了，還是精聽為主泛聽為輔。常速還不過癮，可以去找talkshow來聽，譬如Saturday Night，在優酷或者土豆上都有。不要問這樣做有沒有效果，我堅持了三個月，以后看美劇大部分時間不需要看字幕。順便說下論壇的作用，上論壇不要問這個詞什么意思這類低級問題，不要指望別人替你查字典，別人的時間也是時間。但是一個句子弄不懂，就不要自個兒糾結了，盡管去問。另外要懂得投桃報李，有能力也盡量去回答別人的問題，教學相長。

說:

說起來很奇妙，我起初也只是打算先過聽力關，按照上面的步驟堅持了3個月，不過在聽的同時跟著讀，后來因為聽的太爛太無聊，會跟著錄音一起背，兩個月下來發現開口說英語變成了很自然的事情。回頭來看，英語的口語真的是看似入門很難，但是真的進去了也就那么回事。不過高口訓練的英漢對譯還是很有用的，實際上拿新概念的材料就可以做，無非是看這英文說漢語看著漢語說英文，然后再對照原文進行糾正。

再強調一下，我不是生來語言高手，四級考了兩次，現在周圍人覺得我英語很牛，實際上只要我的方法誰都能學會，看你能不能堅持。

讀:

讀的一個基礎是單詞量，單詞不夠的話讀書是痛苦不是享受。四級單詞是最最最起碼的要求，有了四級基礎，語法還湊合的話，建議直接看上國外報紙網站看文章，建議看經濟學人，或者紐約時報每天不要看多，看一篇就夠了。開始碰到生詞會很多，感覺很難受，但是一定要堅持，碰到所有不會的單詞，都要記下來弄懂。碰到不會的單詞怎么辦，查谷歌字典 http://dict.google.com，或者 韋試辭典的在線版 /

單詞如果今天記住明天忘怎么辦，最簡單的辦法，找本專門的本子記下來，不要大本子，要可以隨身帶的那種；如果能經常上網，也可以試一下一起背單詞這個網站，可以讓你在線背單詞，跟本子比最大好處就是不怕學習記錄丟了，而且它有記憶曲線的功能可以提醒你復習。

再說一點，英語閱讀材料中，最簡單的是專業文章，其次是新聞，最難的是小說。我花了一年多時間就毫不費力的可以讀懂紐約時報，但是很久以后才能勉強讀完Da Vinci Code。但是真的讀完一本幾百頁的小說，帶來的成就感是讀幾篇文章難以比擬的。

寫:

這個其實要看個人目標了，如果是達到和他人書信email交流的目的，其實前面3個步

驟下來，寫已經完全不是問題了。

如果還要追求文筆，可以去看看華爾街日報中文版VOA Special English Vocabulary 1500

6.英文鎖定，每日讀圖

子曰電影網的電影劇本下載太多了

看電影學英語中華網關于VOA的聽力技巧的一些文章，當然也有別的好東東

第四篇：新初三暑期學習計劃——數學

新初三暑期學習計劃——數學

一般初中生學得快，忘得快。如果在暑期沒有及時復習和習題的鞏固。新初三開學前的預習檢測考試都不甚理想。這一點和初中生的生理特點以及記憶特點是一致的。特別是在數學學習方面，下面整理了新初三暑期學習四步走，供學生和家長參考：

一、明確目標，穩扎穩打。在有限的時間內學得更可能多的知識固然是好事。可是如果不扎實。還不如去旅游去放松。同學們可以選擇兩個單元或者三個單元。先仔細讀完課本。看懂課本中的例題以及講解。(如果有時間。可以買一些輔導資料回家看。要邊看邊批注。勾出重要定義或者解法)。看完題目以后要認真完成學探診或者啟動作業本上的相關練習(可以對答案，可以自己改)盡量在一周或者一周半完成整個一章的學習。

二、自我回顧。例如在學完圓以后，在學習二次函數或者解角三角形的時候，可以選取一兩個小時。完成已經學完的單元的單元測試。測驗一下自己的能力如何。有沒有遺忘學會的知識點。

三、合理安排學習時間，避免勞累感。數學的學習完全可以是零碎時間的利用。沒有必要特意安排整塊的時間去學習。我建議同學們這樣去做：早上八點到九點。看完課本的一小

第 1 頁 節內容。完成書中的練習和習題。下午四點到五點，可以做一做練習冊上的題目。中午或者晚上。可以花上一刻鐘左右的時間看看輔導資料。每一刻鐘看明白五到十個例題，長期堅持。就是很大的收獲。量變會產生質變。成績的提高自然理所當然。

四、為中考而準備。去書店買幾本中考的復習資料。

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第五篇：暑期攻略

勾股定理證明方法大全

背景知識了解：

勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！又據記載，現時世上一共有超過 300 個對這定理的證明！

勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

幾種經典的證明方法：

一、傳說中畢達哥拉斯的證法

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法

邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國總統加利菲爾德的證法

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話

應用勾股定理犯的錯誤：

⑴勾股定理及其逆定理是平面幾何中的重要定理,其應用非常廣泛.我們在應用這兩個定理解題時,常常會出現錯解,現將錯誤歸納剖析如下,以引起我們的重視.一、忽視題目中的隱含條件

例1在Rt△ABC中,a、b、c分別為三條邊,∠B=90°,如果a=3cm,b=4cm,求邊c的長.誤解:∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法,忽視了題目中∠B=90°,b是斜邊的隱含條件.正解:∵∠B=90°,∴a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽視定理成立的條件

例2 在邊長都是整數的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的長.誤解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:這種解法受“勾3股4弦5”思維定勢的影響,見題中有BC=3,AC=4,就認為AB=5,而忘記了“勾3股4弦5”是在直角三角形的條件下才成立,而本題中沒有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三條邊之間的關系來解。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。

總之，在勾股定理探索的道路上，我們走向了數學殿堂。

勾股定理的幾個應用：

1、怎樣用勾股定理解決面積問題

求分別以直角三角形的三條邊為邊長的正方形的面積之間的關系，關鍵是找出正方形的面積與三角形的邊之間的關系．

如圖（1）所示，分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、22S3表示，可以很容易得出S1、S2、S3之間的關系．因為△ABC為直角三角形，所以AB＝AC2222＋BC，而S1＝AB，S2＝BC，S3＝AC，故S1＝S2＋S3，圖（2）中S1、S2、S3之間的關系也可以用以上方法得到．

CS3AS1(1)BAS1CS2S3S2B

(2)

2、立體圖形中的最短路徑問題（1）圓柱中的最短路徑．

如圖①所示，圓柱的底面周長為20cm，高為4，BC是上底面的直徑，一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C，試畫出螞蟻爬行的最短路徑．

因為爬行是在立體圖形的表面上進行的，所以可以把立體圖形轉化成平面圖形，即它的側面展開圖（如圖②所示），再看出發點與目的點之間是哪條線段，需要時可根據勾股定理求出這條線段的長度．

BCBCA①DAD②

（2）正方體中的最短路徑． 如圖③中的正方體，棱長為1，若一只小蟲從點A爬到點C，它爬行的最短路徑是多少？ 將正方體展開后（如圖④所示），因為從點C出發有三條棱，故點C有三處位置，即點C1、C2、C3，分別連結AC1、AC2、AC3，可得它們的長度都是，故這只小蟲爬行的最短路徑為．

注意：當圖③中的立體圖形為長方體時，也是用同樣的方法進行分情況比較，但沿這些不同路徑，所走路程可能會不同．

CC3A③④C1C2A

經典例題：

例.如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是7cm，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．

CBAEFDG 分析：由勾股定理，得正方形A、B的面積之和是正方形E的面積，而正方形C、D的面積之和是正方形F的面積．同理，正方形E、F的面積之和是正方形G的面積．所以這四個

2正方形的面積之和是大正方形G的面積49cm．