第一篇：泛函分析學習心得

泛函分析學習心得

學習《實變函數論與泛函分析》這門課程已有將近一年的時間，在接觸這門課程之前就已經聽聞這門課程是所有數學專業課中最難學的一門，所以一開始是帶著一種“害怕學不好”的心理來學.剛開始接觸的時候是覺得很難學，知識點很難懂，剛開始上課時也聽不懂，只顧著做筆記了.后來慢慢學下來，在課前預習、課后復習研究、上課認真聽課后發現沒有想象中的那么難，上課也能聽懂了.因此得出了一個結論：只要用心努力去學，所有課程都不會很難，關鍵是自己學習的態度和努力的程度.在學習《泛函分析》的前一個學期先學習了《實變函數論》，《實變函數論》這部分主要學習了集合及其運算、集合的勢、n維空間中的點集、外測度與可測集、Lebesgue可測集的結構、可測函數、LP空間等內容，這為這學期學習《泛函分析》打下了扎實的基礎.我們在這個學期的期中之前學習的《泛函分析》的主要內容包括線性距離空間、距離空間的完備性、內積空間、距離空間中的點集、不動點定理、有界線性算子及其范數等.下面我談談對第一章的距離空間中部分內容的理解與學習：

第一章第一節學習了線性距離空間，課本首先給出了線性空間的定義及其相關內容，這與高等代數中線性空間是基本一樣的，所以學起來比較容易.接著是距離空間的學習，如果將n維歐氏空間Rn中的距離“抽象”出來，僅采用性質，就可得到一般空間中的距離概念： 1.距離空間（或度量空間）的定義：

設X為一集合，?是X?X到Rn的映射，使得使得?x,y,z?X，均滿足以下三個條件：

（1）??x,y??0，且??x,y??0當且僅當x?y（非負性）（2）??x,y????y,x?（對稱性）

（3）??x,z????x,y????y,z?（三角不等式），則稱X為距離空間（或度量空間），記作?X,??，??x,y?為x,y兩點間的距離.學習了距離空間定義后，我們可以驗證：歐式空間Rn，離散度量空間，連續函數空間C[a,b]，有界數列空間l?，p次冪可和的數列空間lp，p次冪可積函數空間Lp[a,b](p?1)，均滿足距離空間的性質.2.距離空間的完備性

設?X,??是距離空間（或賦范空間），如果X中的點列?xn?滿足

??xn,xm??0

?n,m???

則稱?xn?是X中的基本列（或Cauchy列），若X中任意基本列都在X中收斂，則稱?X,??是完備的距離空間（或賦范空間）.在上學期學習《實變函數論》時我們已討論過LP?1?????空間的完備性，除此之外，我們可知道C??a,b??按距離??x,y??maxx?t??y?t?是完備的、a?t?blp?1?????是完備的.第一章第三節的內容是內積空間，與高等代數中的歐式空間類似，但又不一樣，在n維歐式空間中，向量的“夾角”是利用內積來定義的.兩個向量u,v的夾角指的是??arccos于?u,v?u?v，其中?u,v?是u與v的內積，u是u的模或長度，它等?u,v?.如果拋開Rn中內積的具體形式，將其性質抽象出來，就可得到抽象空設X是復數域上的線性空間，??,??是X?X到復數域C的二元函數，使得間上的內積概念：

對任意x,y,z?X及??C滿足：

(1)?x,x??0,且?x,x??0當且僅當x?0

(2)?x?y,z???x,z???y,z?(3)??x,y????x,y?(4)?x,y???y,x?

則稱??,??為X上的內積，稱X為具有內積??,??的內積空間，也記為?X,??,???.在學習了內積空間的定義后，我們知道若在L2?E?上定義

?f,g???Ef?x?g?x?dx

?f,g?L?E??

2則L2?E?是內積空間.還有其他的內積空間需要我們去探究和研究.以上是我對本學期學習的《泛函分析》的一小部分內容的理解，學習了《泛函分析》后發現這是一門很值得學習和研究的課程，同時是一門相對比較深奧的課程，需要我們更用心去學習.這門課程與其他數學學科有密切的聯系，但又有本質的區別，我會在日后更加努力認真學習，去研究和探究其與其他學科的聯系與區別，希望能運用《泛函分析》的知識和觀點去解決其他學科的問題.

第二篇：泛函分析學習心得

泛函分析學習心得 10數本6***2010224216

泛函分析是數學系基礎數學專業的一門重要必修基礎課程。是現代數學的一個分支，隸屬于分析學，其研究的主要對象是函數構成的空間。也由于它研究的對象導致它是一門比較抽象的課程，不像我們以前所學習的知識那樣容易理解而有實體，所以，如果我們要學好這門課,那就必須講究學習方法。除此之外，泛函分析也是數分與高代綜合的抽象，所以想學好泛函分析就要有良好的基礎，而作為上冊的實變也是其中起著關鍵作用的基礎。泛函分析的特點是它的抽象化，把概念和方法幾何化。比如，課本中第一章講的距離空間，如章前引導的，解微分方程所引發的各種疑問促使人們將函數集合作為一個整體看待，在其上引入線性運算、距離等概念，從而得到抽象的距離空間，也就是把不同類型的函數可以看作是“函數空間”的點或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數空間。

由于這門課程比較抽象，所以要學好這門課程，對于我們來說，還是有點難度的。但是，只要我們掌握了好的學習方法，我們還是一樣可以吧這門課程學好的。那怎樣的學習方法才能讓我們學好這門抽象的課程呢？下面，我就說說我的看法。

首先，我們一定要適應大學的教學模式，盡快進入角色，畢竟大學跟我們中小學的課堂教學模式是完全不一樣的。大學是以學生自學為主，老師指導為輔。要想學好泛函分析這門課，更多的是需要我們學習的自主性。

其次，就是我們的課前預習。我們要對課本的相關教材熟悉，初步把握好教材內容的重難點。在上課的時候，帶著問題就聽老師講課，這樣對于我們的課堂效率就能有很大的提升。我們也能很輕松的跟著老師節奏走，對于泛函分析的抽象問題，我們也就比較容易想象它的模型，消化起來自然也就相對輕松很多。

再次，在課堂上，我應該根據老師課程的講解，參與老師的互動。雖然大學的課堂有點“滿堂灌”的形式，但是，在老師給我們講解的時候，我們是可以跟著老師講課的節奏，主動思考，適當的提出自己的疑問，以及自己對這節課知識內容的理解的想法。這對老師講解的概念定理，有關證明的思路、技巧及定理中關鍵條件的作用的深刻理解，啟發我們我們隊定理條件進行反思和提問，進一步運用知識去分析解決問題。

最后，是課后的復習以及習題的鞏固。在學習泛函分析這門課程中，我們難學的問題不僅體現在內容的抽象、難于理解，也體現在理論方法的難于運用。理論方法的運用，是需要我們通過適量的練習來領悟其中的奧妙和技巧的。只有通過習題的鞏固復習，我們才能領悟泛函分析中理論知識的精髓，提高論證推理能力。通過練習適量的習題，能培養我們的抽象思維能力，及邏輯推理能力，并提高我們分析問題和解決問題的能力。

在大學，我們要學習的知識理論是比較多的，對于學習泛函分析這一比較抽象的課程，我的學習心得，主要是以上的這三點。對于其他類似泛函分析這種比較抽象性德課程，我們也是需要做到上面的這三個方面的，但這并不意味著我們只有學習抽象性課程的時候才需要這樣的學習方法去學習。通過泛函分析的學習，我發現，不管是哪一門課程，只要我們把握好上面的這三點學習方法，我們都可以學習的很輕松的。

對于學習泛函分析，雖然說大學的教學模式，只要是以學生自己為主的。但對于泛函分析這中抽象性比較大的課程，我覺得老師在把握教學進度的同時，應多注重跟我們學生之間的互動。畢竟，“填罐式”的教學方式，對于我們對知識點的理解與把握是有點困難的。但是有教師的互動，對我們理解教材的知識點，是有很大幫助的。這樣我們，我們學習起來，也會相對輕松很多。

第三篇：泛函分析

1.設?X,d?為距離空間。證明：d?

2.（1）收斂點列為柯西列。

（2）柯西列為有界列。d?x,y?也是距離。1?d?x,y（3）有收斂子列的柯西列是收斂列。

3.（1）敘述壓縮映射定理。

（2）作業的應用。

4．證明：u,v??au(x)v(x)dx是一個內積。

5．利用Schwarz不等式證明：x滿足三角不等式。

6．利用內積證明平行四邊形公式。7．X,Y為Banach空間。T:X?Y線性。證明：T有界?T連續。

8.H為Hilbert空間，f?H線性有界泛函。

（1）證明零空間v?f?是閉集。

（2）敘述Riesz定理。

（3）證明：N?f?是一維子空間。

9.證明投影算子，P為線性有界算子，并且P2?P,P?1 10.??u?f?x?,u?W01,2???,若f?L2??? ,證明解存在且唯一 ?b

第四篇：泛函分析教學大綱

課號：218.116.1

泛 函 分 析 教 學 大 綱

(Functional Analysis)

學分數 3 周學時 4

一.說明

1.課程名稱: 泛函分析(一學期課程)，第五學期(3+1)*18=72.2.教學目的和要求:

(1)課程性質: 本課程是數學系專業基礎課, 為數學系本科三年級學生所必修。

(2)基本內容: 本課程主要內容: 度量空間中點集分析，賦范空間上算子與幾何，內積空間中幾何與算子，線性算子譜理論。

(3)基本要求: 通過本課程的學習, 學生應熟練掌握度量，范數，線性算子，內積，直交投影，譜等概念, 熟練掌握綱理論及有界線性算子的基本原理和線性泛函的延拓理論, 為今后學習打下堅實基礎。

3.教學方式: 課堂授課。

4.考試方式: 考試。

5.教材: 《泛函分析》講義，郭坤宇，徐勝芝編

參考書: 《實變函數與泛函分析》 夏道行等編, 高等教育出版社。

二.講授綱要

第一章 度量空間中點集分析

1.1 度量空間(3學時)

1.2 度量拓撲(2學時)

1.3 數值函數(2學時)

1.4 緊~~~與極值(2學時)

1.5 貝爾綱論(3學時)

1.6 函數空間(2學時)

本章要求: 通過學習度量空間的基本點集理論, 讀者應能熟悉緊集與其應用, 熟悉綱理論及其應用, 掌握映射的連續性與數值函數的上半連續與下半連續性及其特征.第二章 賦范空間上算子與幾何

有界線性算子(3學時)

連續線性泛函(3學時)

弱收斂與共軛(2學時)

一致有界原理(2學時)

開映射與閉算子(3學時)

凸集與超平面(2學時)

本章要求: 通過學習有界線性算子的基本理論, 讀者應能掌握線性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析與幾何上的應用;一致有界原理及其應用;開映射原理與閉圖像定理的應用等.第三章 內積空間上幾何與算子

內積空間(2學時)

共軛算子(2學時)

投影算子(2學時)

基與維數(2學時)

賦范代數(2學時)

本章要求: 通過學習內積空間的幾何, 掌握投影定理與投影算子的應用,直交基的確立及其應用.第四章 線性算子譜理論

正則點與譜點(3學時)

緊算子譜分析(3學時)

有界正規算子(2學時)

無界線性算子(2學時)

譜測度與積分(3學時)

指標理論初步(2學時)

本章要求: 通過學習線性算子譜理論, 讀者應能計算一些典型線性算子如單向平移和乘法算子等的譜, 提高利用Gelfand譜理論分析譜的能力, 掌握正規算子譜分解及其應用, 能分析緊算子的譜并掌握Fredholm算子指標的應用.

第五篇：泛函分析教學大綱

一、教學目的

通過學習此章，理解線性算子的譜及分類，掌握緊集和全連續算子的定義及緊線性算子的譜。

二、教學重點

線性算子的譜及分類，全連續算子。

三、教學難點 緊集和緊線性算子的譜。

四、講授要求

通過學習此章，理解線性算子的譜及分類，掌握緊集和全連續算子的定義及緊線性算子的譜。

五、講授要點

譜集及分類，有界線性算子譜的性質，緊集合全連續算子，緊線性算子的譜。