第一篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學設計及反思

教學目標：

1．經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

2．通過操作發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

3．通過“抽屜原理”的靈活應用感受數學的魅力。教學重難點

重點：經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

難點：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。教學過程

一、課前游戲引入。

上課前，我們先來熱身一下，一起來玩搶椅子的游戲。

請3位同學上來參加游戲，第三位同學是請女生還是男生呢？老師認為，不管是請男生還是女生，都一定至少有兩位同學的性別是相同的。同意我的說法嗎？

游戲規則是：在老師說開始時，3位同學繞著椅子走，當老師說停的，三位同學都要坐在椅子上。

為什么總有一張椅子至少坐兩個同學？

在這個游戲中蘊含著一個有趣的數學原理叫做抽屜理原，這節課我們就一起來研究抽屜原理。(板書課題)

二、通過操作，探究新知

（一）探究例1

1、研究3枝鉛筆放進2個文具盒。

（1）要把3枝鉛筆放進2個文具盒，有幾種放法？請同學們想一想，擺一擺，寫一寫，再把你的想法在小組內交流。

（2）反饋：兩種放法：（3，0）和（2，1）。

（3）從兩種放法，同學們會有什么發現呢？（總有一個文具盒至少放進2枝鉛筆）你是怎么發現的？（說得真有道理）

（4）“總有”什么意思？（一定有）

（5）“至少”有2枝什么意思？（不少于2枝）

小結：在研究3枝鉛筆放進2個文具盒時，同學們表現得很積極，發現了“不管怎么放，總有一個文具盒放進2枝鉛筆）

2、研究4枝鉛筆放進3個文具盒。

（1）要把4枝鉛筆放進3個文具盒里，有幾種放法？請同學們動手擺一擺，再把你的想法在小組內交流。

（2）反饋：四種放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

（3）從四種放法，同學們會有什么發現呢？（總有一個筆盒至少有2枝鉛筆）

（4）你是怎么發現的？

（5）大家通過枚舉出四種放法，能清楚地發現“總有一個文具盒放進2枝鉛筆”。如果要讓每個文具盒里放的筆盡可能的少，你覺得應該要怎樣放？（每個文具盒都先放進一枝，還剩一枝不管放進哪個文具盒，總會有一個文具盒至少有2枝筆）（你真是一個善于思想的孩子。）

（6）這位同學運用了假設法來說明問題，你是假設先在每個文具盒里放1枝鉛筆，這種放法其實也就是怎樣分？（平均分）那剩下的1枝怎么處理？（放入任意一個文具盒，那么這個文具盒就有2枝鉛筆了）

（7）誰能用算式來表示這位同學的想法？（5÷4=1?1）商1表示什么？余數1表示什么？怎么辦？

（8）在探究4枝鉛筆放進3個文具盒的問題，同學們的方法有兩種，一是枚舉了所有放法，找規律，二是采用了“假設法”來說明理由，你覺得哪種方法更明了更簡單？

3、類推：把5枝鉛筆放進4個文具盒，是不是總有一個筆盒至少有2枝鉛筆？為什么？

把6枝鉛筆放進5個文具盒，是不是總有一個筆盒至少有2枝鉛筆？為什么？

把7枝鉛筆放進6個文具盒，是不是總有一個筆盒至少有2枝鉛筆？為什么？

把100枝鉛筆放進99個文具盒，是不是總有一個筆盒至少有2枝鉛筆？為什么？

4、從剛才我們的探究活動中，你有什么發現？（只要放的鉛筆比文具盒的數量多1，總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。）

5、如果鉛筆數比文具盒數多2呢？多3呢？是不是也能得到結論：“總有一個筆盒至少有2枝鉛筆。”

6、小結：剛才我們分析了把鉛筆放進文具盒的情況，只要鉛筆數量多于文具盒數量時，總有一個文具盒至少放進2枝鉛筆。

這就是今天我們要學習的抽屜原理。既然叫“抽屜原理”是不是應該和抽屜有聯系吧？鉛筆相當于我們要準備放進抽屜的物體，那么文具盒就相當于抽屜了。如果物體數多于抽屜數，我們就能得出結論“總有一個抽屜里放進了2個物體。”

7、在我們的生活中，常常會遇到抽屜原理，你能不能舉個例子？在課前我們玩的游戲中，有沒有抽屜原理？

（二）探究例2

1、研究把5本書放進2個抽屜。

（1）把5本書放進2個抽屜會有幾種情況？（5，0）、（4，1）和（3，2）

（2）從三種情況中，我們可以得到怎樣的結論呢？（總有一個抽屜至少放進了3本書）

（3）還可以怎樣理解這個結論？先在每個抽屜里放進2本，剩下的1本放進任何一個抽屜，這個抽屜就有3本書了。

（4）可以把我們的想法用算式表示出來：5÷2=2?1（商2表示什么，余數1表示什么）2+1=3表示什么？

2、類推：如果把7本書放進2個抽屜中，至少有一個抽屜放進4本書。

如果把9本書放進2個抽屜中。至少有一個抽屜放進5本書。

如果把11本書放進3個抽屜中。至少有一個抽屜放進4本書。你是怎樣想的？（11÷3=3?2）商3表示什么？余數2表示什么？3+1=4表示什么？

3、小結：從以上的學習中，你有什么發現？（在解決抽屜原理時，我們可以運用假設法，把物體盡可量多地“平均分”給各個抽屜，總有一個抽屜比平均分得的物體數多1。）

4、經過剛才的探索研究，我們經歷了一個很不簡單的思維過程，個個都是了不起的數學家。“ 抽屜原理”最先是由19世紀的德國數學家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，也稱為“鴿巢原理”。這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應用。“抽屜原理”的應用是千變萬化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結果。

5、做一做

三、遷移與拓展

下面我們一起來放松一下，做個小游戲。

我這里有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，我請五位同學每人任意抽1張，聽清要求，不要讓別人看到你抽的是什么牌。請大家猜測一下，同種花色的至少有幾張？為什么？

四、總結全課

這節課，你有什么收獲？

第二篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學設計 芙蓉中心小學 簡淑梅 【教學內容】：

人教版《義務教育課程標準實驗教科書●數學》六年級（下冊）第四單元數學廣角“抽屜原理”第70、71頁的內容。【教材分析】：

這是一類與“存在性”有關的問題，教材通過幾個直觀例子，放手讓學生自主思考，先采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”、“反證法”、“假設法”等方法進行比較，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題，從而抽象出“抽屜原理”的一般規律。并利用這一規律對一些簡單的實際問題加以“模型化”。即：只需要確定實際生活中某個物體（或某個人、或種現象）的存在就可以了。【學情分析】：

抽屜原理是學生從未接觸過的新知識，很難理解抽屜原理的真正含義，尤其是對平均分就能保證“至少”的情況難以理解。

年齡特點：六年級學生既好動又內斂，教師一方面要適當引導，引發學生的學習興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創造條件和機會，讓學生發表見解，發揮學生學習的主體性。

思維特點：知識掌握上，六年級的學生對于總結規律的方法接觸比較少，尤其對于“數學證明”。因此，教師要耐心細致的引導，重在讓學生經歷知識的發生、發展和過程，而不是生搬硬套，只求結論，要讓學生不知其然，更要知其所以然。【教學目標】：

1．知識與能力目標：

經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。通過猜測、驗證、觀察、分析等數學活動，建立數學模型，發現規律。滲透“建模”思想。

2．過程與方法目標：

經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力。

3．情感、態度與價值觀目標：

通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。【教學重點】：

經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。【教學難點】：

理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。【教學準備】：

多媒體課件、撲克牌、盒子、鉛筆、書、練習紙。【教學過程】：

一、課前游戲，激趣引新。

上課伊始，老師高舉3張卡片。（高興狀）

（1）老師這有3張漂亮的卡片，我想把它們送給在坐的三位同學，想要嗎？

（2）在送之前，我想請同學們猜一猜，這三張卡片會到男生手上還是會到女生手上？（學生思考后回答：可能送給了3名女生、可能送給了3名男生、也有可能送給了2名男生和1名女生、還有可能送給了2名女生和1名男生。）

（3）同學們列出的這四種情況是這個活動中可能存在的現象，你能從這四種可能存在的現象中找到一種確定現象嗎？（學生思考后回答：得到卡片的三個同學當中，至少會有兩個同學的性別相同。）

（4）老師背對著學生把卡片拋出驗證學生的說法。

（5）如果老師再拋幾次還會有這種現象出現嗎？其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數學原理，也就是我們今天這節課要研究的學習內容，想不想研究啊？

〖設計意圖〗：在知識探究之前通過送卡片的游戲，從之前學過的“可能性”導入到今天的學習內容。一方面是使教師和學生進行自然的溝通交流；二是要激發學生的興趣，引起探究的愿望；三是要讓學生明白這種“確定現象”與“可能性”之間的聯系，為接下來的探究埋下伏筆。

二、操作探究，發現規律。

1．動手擺擺，感性認識。

把4枝鉛筆放進3個文具盒中。

（1）小組合作擺一擺、記一記、說一說，把可能出現的情況都列舉出來。

（2）提問：不管怎么放，一定會出現哪種情況？討論后引導學生得出：不管怎樣放，總有一個文具盒里至少放了2只鉛筆。

〖設計意圖〗：抽屜原理對于學生來說，比較抽象，特別是“總有一個杯子中

至少放進2根小棒”這句話的理解。所以通過具體的操作，列舉所有的情況后，引導學生直接關注到每種分法中數量最多的杯子，理解“總有一個杯子”以及“至少2根”。

2．提出問題，優化擺法。

（1）如果把 5支鉛筆放進4個文具盒里呢？結果是否一樣？怎樣解釋這一現象？（學生自由擺放，并解釋些種現象存在的確定性。）

（2）老師指著一名擺得非常快的同學問：怎么你比別人擺得更快呢？你是否有最簡潔、最快速的方法，快快說出來和同學一起分享好嗎？

（3）學生匯報了自己的方法后，教師圍繞假設法（平均分的方法），組織學生展開討論：為什么每個杯子里都要放1根小棒呢？

（4）在討論的基礎上，師生小結：假如每個杯子放入一根小棒，剩下的一根還要放進一個杯子里，無論放在哪個杯子里，一定能找到一個杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能將小棒盡可能地分散，保證“至少”的情況。

〖設計意圖〗：鼓勵學生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎上，學生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設法滲透平均分的思想。

3．步步逼近，理性認識。

（1）師：把6枝鉛筆放在5個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆嗎？為什么？

把7支鉛筆放進6個文具盒里呢？

把8枝筆放進7個盒子里呢？

把20枝筆放進19個盒子里呢？

……

（2）符合這種結果的情況你能一一說完嗎？你會用一句歸納這些情況嗎？

（筆的枝數比盒子數多1，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。）

〖設計意圖〗：通過這個連續的過程發展了學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維，從而達到理性認識“抽屜原理”。

4．數量積累，發現方法。

7只鴿子要飛進5個鴿舍里，無論怎么飛，至少會有兩子鴿子飛進同一個鴿舍。為什么？

（1）如果要用一個算式表示，你會嗎？

（2）算式中告訴我們經過第一次平均分配后，還余下了2只鴿子，這兩只鴿子會怎么飛呢？（有可能兩只飛進了同一個鴿舍里，也有可能飛進了不同的鴿舍里。）

（3）不管怎么飛，一定會出現哪種情況？

（4）討論：剛才是鉛筆數比文具盒數多1枝的情況，現在鴿子數比鴿舍要多2只，為什么還是“至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里”？

（4）如果是“8只鴿子要飛進取5個鴿舍里呢？”（余下3只鴿子。）

（5）“9只鴿子要飛進取5個鴿舍里呢？”（余下4只鴿子。）

根據學生的回答，用算式表示以上各題，并板書。

〖設計意圖〗：從余數1到余數2、3、4……，讓學生再次體會要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數也要進行二次平均分。并發現余下的鴿子數只要小于鴿舍數，就一定有“至少有兩子鴿子飛進同一個鴿舍”的現象發生。

5．構建模型，解釋原理。

（1）觀察黑板上的算式，你有了什么新的發現？（只要鴿子數比盒鴿舍數多，且小于鴿舍數的兩倍，至少有2只鴿子飛進了同一個鴿舍里。）

（2）剛才我們研究的這些現象就是著名的“抽屜原理”，（教師板書課題：抽屜原理）我們將小棒、鴿子看做物體，杯子、鴿舍看做抽屜。

（3）課件出示：“抽屜原理”又稱“鴿巢原理”，最先是由19世紀的德國數學家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應用。“抽屜原理”的應用是千變萬化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結果。

（4）請你用“抽屜原理”解釋我們的課前游戲，為什么不管老師怎么送，得到卡片的同學一定有兩個同學的性別是一樣的？其中什么相當于“物體”？什么相當于“抽屜”？

〖設計意圖〗：通過對不同具體情況的判斷，初步建立“物體”、“抽屜”的模型，發現簡單的抽屜原理。研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去，所以請學生對課前的游戲的解釋，也是一個建模的過程，讓學生體會“抽屜”不一定是看得見，摸得著，并讓學生體會平常事中也有數學原理，有探究的成就感，激發對數學的熱情。

三、循序漸進，總結規律。

（1）出示71頁的例2：把5本書放進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。為什么？

A、該如何解決這個問題呢？

B、如何用一個式子表示呢？

C、你又發現了什么？

教師根據學生的回答，繼續板書算式。

（2）如果一共有7本書呢？9本書呢？

（3）思考、討論：總有一個抽屜至少放進的本數是“商＋1”還是“商＋余數”呢？為什么？

教師師讓學生充分討論后得出正確的結論：總有一個抽屜至少放進的本數是“商＋1”（教師板書。）

〖設計意圖〗：對規律的認識是循序漸進的。在初次發現規律的基礎上，引導學生抓住假設法最核心的思路---“有余數除法”，學生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的書的本數多1本。從而得出“某個抽屜書的至少數”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數”，從而使學生從本質上理解了“抽屜原理”。四．運用原理，解決問題。

1、基本類型，說說做做。

（1）8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？

（2）張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環。張叔叔至少有一鏢不低于9環。為什么？

2、深化練習，拓展提升。

（1）有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，如果請五位同學每人任意抽1張，同種花色的至少有幾張？為什么？

如果9個人每一個人抽一張呢？

（2）某街道辦事處統計人口顯示，本街道轄區內當年共有 370名嬰兒出生。統計員斷定：“至少有2名嬰兒是在同一天出生的。”這是為什么？ 至少有多少名嬰兒是在同一個月出生的？為什么？

〖設計意圖〗：讓學生運用所學知識去分析、解決生活實際問題，不僅是學生掌握知識的繼續拓展與延伸，還是他們成功解決問題后獲取愉悅心情的重要途經；不同題型、不同難度的練習不僅能進一步調動學生學習的積極性，還能滿足不同的孩子學到不同的數學，并體會抽屜原理的形式是多種多樣的。

五、全課小結，課外延伸。

（1）說一說：今天這節課，我們又學習了什么新知識？你還有什么困惑？

（2）用今天學到的知識向你的家長解釋下列現象：

從1、2、3……100，這100個連續自然數中，任意取出51個不相同的數，其中必有兩個數互質，這是為什么呢？

〖設計意圖〗：既讓學生說數學知識的收獲，也引導學生談情感上的感受，同時培養他們的質疑能力，使三維目標落到實處；把課堂知識延伸到課外，與家長一起分析思考，主要是想拓展學生思維，達到“家校牽手，共話數學”的教學目的。

板書設計。

抽屜原理

物體數 抽屜數 至少數 =商＋1

（鉛筆數）（盒子數）

2

3

÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1

〖設計意圖〗：這樣的板書設計是在教學過程中動態生成的，按講思路來安排的，力求簡潔精練。這樣設計便于學生對本課知識的理解與記憶，突出了的教學重點，使板書真正起到畫龍點睛的作用。

第三篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學反思

嚴田小學彭性良

《課程標準》指出：數學必須注意從學生的生活情景和感興趣的事物出發，為他們提供參與的機會，使他們體會數學就在身邊，對數學產生濃厚的興趣和親近感。也就是創設豐富的學習氛圍，激發學生的學習興趣。通過讓學生放蘋果的環節，激發學生的學習興趣，引出本節課學習的內容。通過3個蘋果放入2個抽屜的各種情況的猜測，進一步感知抽屜原理。認識抽屜原理不同的表述方式：①至少有一個抽屜的蘋果有2個或2個以上；②至少有一個抽屜的蘋果不止一個。

充分利用學生的生活經驗，對可能出現的結果進行猜測，然后放手讓學生自主思考，采用自己的方法進行“證明”，接著再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”、“假設法”等方法進行比較，教師進一步比較優化，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題，發展學生的抽象思維能力。在有趣的類推活動中，引導學生得出一般性的結論，讓學生體驗和理解“抽屜原理”的最基本原理。最后出示練習，讓學生靈活應用所學知識，解決生活中的實際問題，使學生所學知識得到進一步的拓展。

這種“創設情境——建立模型——解釋應用”是新課程倡導的課堂教學模式，讓學生經歷建模的過程，促進學生對數學原理的理解，進一步培養學生良好的數學思維能力。

第四篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學設計

教材分析：現行小學教材人教版在十一冊編入這一原理，旨在于讓學生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會用“抽屜原理”解決實際有關“存在”問題；通過猜測、驗證、觀察、分析等數學活動，讓孩子建立數學模型，發現規律；使孩子經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。

學情分析：使孩子經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。教學目標：

1、經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

2、通過操作發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

3、通過“抽屜原理”的靈活應用感受數學的魅力。

教學重點：經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

教學難點：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

教學過程

一、游戲引入

3個人坐兩個座位，3人都要坐下，一定有一個座位上至少坐了2個人。

這其中蘊含了有趣的數學原理，這節課我們一起學習研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進3個文具盒里，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進（）枝鉛筆先猜一猜，再動手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發現？

不管怎么放總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。總有是什么意思？至少是什么意思

2、思考

有沒有一種方法不用擺放就可以知道至少數是多少呢？

1、3人坐2個位子，總有一個座位上至少坐了2個人2、4枝鉛筆放進3個文具盒中，總有一個文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進4個文具盒中，6枝鉛筆放進5個文具盒中。99支鉛筆放進98個文具盒中。是否都有一個文具盒中

至少放進2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個文具盒里，總有一個文具盒至少放進幾枝鉛筆？把7枝筆放進2個文具盒里呢? 8枝筆放進2個文具盒呢? 9枝筆放進3個文具盒呢？至少數=上+余數嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數學小知識

數學小知識：抽屜原理的由來最先發現這些規律的人是誰呢？最先是由19世紀的德國數學家狄里克雷運用于解決數學問題的，后人們為了紀念他從這么平凡的事情中發現的規律，就把這個規律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關在5個籠子里，至少有多少只兔子要關在同一個籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績是41環。張叔叔至少有一鏢不低于9環。為什么？

4、六年級四個班的學生去春游，自由活時有6個同學在一起，可以肯定。為什么？

六、小結

這節課你有什么收獲？

七、作業：課后練習

第五篇：抽屜原理

4分割圖形構造“抽屜”與“蘋果”

在一個幾何圖形內, 有一些已知點, 可以根據問題的要求, 將幾何圖形進行分割, 用這些分割成的圖形作抽屜, 從而對已知點進行分類, 再集中對某個抽屜或某幾個抽屜進行討論, 使問題得到解決.命題4在正方體的8個頂點處分別放上8個不同的正整數, 如果它們的和等于55, 那么, 一定能找到某個側面正方形, 其相對頂點所放的數都是奇數.證明

首先, 由8個正整數的和為奇數知, 當中必有奇數個奇數；其次,為奇數的至少有3個, 否則, 假設最多有一個奇數, 便有55?1?2?4?6?8?10?12?14?57，矛盾!

現以正方體的側面對角線為棱組成兩個三棱錐, D – A1 BC , B1 – ACD1如圖1, 3個奇數歸入2個三棱錐, 必有2 個奇數屬于同一個三棱錐。這兩個歸入奇數的頂點必是某一側面正方形的相對頂點。

此命題中的抽屜原理的應用屬于“蘋果”(元素)、“抽屜”都未直接給出的類型, 需要從幾何上去構造兩個“抽屜”。并運用奇偶分析法找出3 個“蘋果”。

在不超過60的正整數中任取9個數，證明：這9個數中一定有兩個數（a和b）的比值滿足2a3?? 3b

2例3 任意給定12 個不同的自然數,證明其中必有兩個數的和或差是20 的倍數.證明 將自然數按照除以20 所得的余數分類,得0、l、2、??、19,共20 類.任意給定的12 個不同的自然數,若有兩個數在同一類(即兩個數除以20的余數相同),那么它們的差是20 的倍數,結論成立。任意給定的12 個不同的自然數中,每兩個數都不在同一類,也就是按上面分的20 類中每一類只多有一個已知數(也可以沒有).此時,我們把自然數按被20 除的余數。0、l、2、3、??、19 分成11類: {I,19},{2,18},{3,17},?,{9,11},{10},{0} 每一類當做1 個抽屜,己知的12 個自然數必有兩個在同一個抽屜中,它們的和是20 的倍數

一般地任取???2個不同的自然數，必有兩個數的和或差是n的倍數.2證明 設所給的自然數為am（m=1、2、……、???2），有am=ngm+rm，?2??n????n???n??rm??0、1、2、......、? ??2????則???2個自然數的余數，分屬???1種情況，看做???1個抽屜，必有兩個數222ai，aj屬于同一個抽屜，即ri?rj。?n????n????n???.(1)當ri?rj時,ai-aj是n的倍數;(2)當ri?-rj時, ai?aj是n的倍數·

綜合(l)、(2)可知,該命題成立

例7 試證:從1,2,3,?,10 這10 個自然數中,任取6個數,則必能找到兩個數,其中一個數是另一個數的倍數.分析

6個數,需設計5 個抽屜,把前10個自然數放在5 個抽屜里,且能使每個抽屜中的數具有倍數關系,因此得出如下分類方法:{1,7},}2,6 },{3,9},{4,8},}5,10 }.解 將前10 個自然數分成以下5 組:}l,7},}2,6},{3,9},}4,8},{5,10}.把這5 組看做5 個抽屜.任取6 個數則必有兩個數出自同一抽屜里,其中大數是小數的倍數.若題目變為從1,2,3,?,20,這20 個自然數中,任取1 個數,則必能找到兩個數,其中一個數是另一個數的倍數.則應這樣設計抽屜:{l,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},}{3},{15},{17},{19}.把這10 組看做10抽屜.任取11個數,則必有兩個數出自同一抽屜里,只能是前5 個抽屜,其中大數是小數的倍數.一般地,設1?a1?a2?...?an?1?2n，則有1?i?j?n?1，故aiaj。

證明 設ai?2ibi，ai?0，2不能整除b（因為1,2,3，…,2nii=1,2,3,?,n+1,其中bi<2n，中恰有n個不同的奇數,故在b1,….,bn+1中至少有兩個相同,設bi=bj,1?i?j?n?1,故aiaj。

.這是數論中的一個定理,1935 年由愛爾特希(erdos)提出,萊梅證明的例6 給定九個不同的實數a1,a2,...,a9,證明: 至少存在兩個實數ai,ajai , aj(i?j), 滿足: 0?nai?aj1?aiaj?2?1。

????????y?tan?，k=1,2,…,9,由在??k????,?單調遞增, ?22?22?????????3??,?分成8個小區間:??,??，8??22??2證明

設ak= tan?k??-當ai?aj時，?i??j。將???3????3???????,…,根據抽屜原理, 在?,?,????,?至少存在兩個角?i,?j使得?8?4???82??22?0??i??j??8，則有: 0?tan?i??j?tan???8，0?tan?i?tan?j1?tan?itan?j?2?1, 即有0?ai?aj1?aiaj

?2?1

D

C A

B D1 A1 B1

D

C A

B D1 C1 A1

B1