第一篇：高中數(shù)學第一章統(tǒng)計1.5.2估計總體的數(shù)字特征教案

5.2 估計總體的數(shù)字特征

整體設(shè)計

教學分析

教科書通過現(xiàn)實生活的例子,引導(dǎo)學生認識到：只描述平均位置的特征是不夠的,還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征.通過對如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索,使學生體驗創(chuàng)造性思維的過程.三維目標

1.正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用,學會計算數(shù)據(jù)的標準差；能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差）,并作出合理的解釋；會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識.2.在解決統(tǒng)計問題的過程中,進一步體會用樣本估計總體的思想,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法；會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題,認識統(tǒng)計的作用,能夠辯證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.重點難點

教學重點：根據(jù)實際問題從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋,估計總體的基本數(shù)字特征；體會樣本數(shù)字特征具有隨機性.教學難點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差；能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實際問題.課時安排 1課時

教學過程

導(dǎo)入新課

思路1.平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷.某地區(qū)的統(tǒng)計顯示,該地區(qū)的中學生的平均身高為176 cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學生生長發(fā)育好,身高較高.但是,假如這個平均數(shù)是從五十萬名中學生中抽出的五十名身高較高的學生計算出來的話,那么,這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學生的身體素質(zhì).因此,只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài).所以我們學習從另外的角度來考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量——標準差.(教師板書課題)思路2.在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次,命中環(huán)數(shù)如下： 甲運動員：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;乙運動員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.我們知道x甲=7，x乙=7,兩個人射擊的平均成績是一樣的,那么,是否兩個人就沒有水平差距呢？

圖1 從圖1直觀上看,還是有差異的.很明顯,甲的成績比較分散,乙的成績相對集中,因此這 節(jié)課我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù),引入課題：標準差.推進新課 新知探究 提出問題

(1)如何通過頻率分布直方圖估計數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)）？

2(2)有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個標本（如下表）檢查它們的抗拉強度（單位：kg/mm）,通過計算發(fā)現(xiàn),兩個樣本的平均數(shù)均為125.甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好？

(3)某種子公司為了在當?shù)赝菩袃煞N新水稻品種,對甲、乙兩種水稻進行了連續(xù)7年的種植對比實驗,年畝產(chǎn)量分別如下：(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773);乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787).請你用所學統(tǒng)計學的知識,說明選擇哪種品種推廣更好?(4)全面建設(shè)小康社會是我們黨和政府的工作重心,某市按當?shù)匚飪r水平計算,人均年收入達到1.5萬元的家庭即達到小康生活水平.民政局對該市100戶家庭進行調(diào)查統(tǒng)計,它們的人均收入達到了1.6萬元,民政局即宣布該市民生活水平已達到小康水平,你認為這樣的結(jié)論是否符合實際?(5)如何考查樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小呢?把數(shù)據(jù)在坐標系中刻畫出來,是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度? 討論結(jié)果：

(1)利用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：

估計眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點數(shù)字（最高矩形的中點）.估計中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等.估計平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.(2)

圖2 由圖2可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強度穩(wěn)定.我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range）.由上圖可以看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點較分散；甲的極差小,數(shù)據(jù)點較集中,這說明甲比乙穩(wěn)定.運用極差對兩組數(shù)據(jù)進行比較,操作簡單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時,就不容易得出結(jié)論.(3)選擇的依據(jù)應(yīng)該是,產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種,所以選擇乙更為合理.(4)不符合實際.樣本太小,沒有代表性.若樣本里有個別高收入者與多數(shù)低收入者差別太大.在統(tǒng)計學里,對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析,需要結(jié)合實際,側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征.比如,市民平均收入問題,都是考察數(shù)據(jù)的離散程度.(5)把問題(3)中的數(shù)據(jù)在坐標系中刻畫出來.我們可以很直觀地知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近,即乙的離散程度小, 如何用數(shù)字去刻畫這種離散程度呢? 考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小,最常用的統(tǒng)計量是方差和標準差.標準差：

考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小,最常用的統(tǒng)計量是標準差(standard deviation).標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示.所謂“平均距離”,其含義可作如下理解：

假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1,x2,?,xn,x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).xi到x的距離是 |xi?x|(i=1,2,?,n).于是,樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn到x的“平均距離”是 s=|x1?x|?|x2?x|???|xn?x|.n由于上式含有絕對值,運算不太方便,因此,通常改用如下公式來計算標準差： s=1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2].n意義：標準差用來表示穩(wěn)定性,標準差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定;標準差越小,數(shù)據(jù)的離散程度就越小,也就越穩(wěn)定.從標準差的定義可以看出,標準差s≥0,當s=0時,意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù).標準差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如, 在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)x=1.973，標準差s=0.868，所以 x+s=2.841,x+2s=3.709； x-s=1.105,x-2s=0.237.這100個數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［x-2s,x+2s］=［0.237,3.709］外的只有4個，也就是說，［x-2s,x+2s］幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù).2從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方s——方差來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具,其中s=

21222

［(x1-x)+(x2-x)+?+(xn-x)］.n顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標準差是一樣的.但在解決實際問題時，一般多采用標準差.需要指出的是,現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標準差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢?通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小,實際應(yīng)用中比較廣泛的是標準差.應(yīng)用示例

思路1 例1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖,說明它們的異同點.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),利用標準差的計算公式即 可算出每一組數(shù)據(jù)的標準差.解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如圖3：

圖3 四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.０,標準差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83.它們有相同的平均數(shù),但它們有不同的標準差,說明數(shù)據(jù)的離散程度是不一樣的.例2 甲、乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm的一種零件.為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進行評比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm)： 甲

25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙

25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高? 分析：每一個工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個總體.由于零件的生產(chǎn)標準已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40 mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標準差兩個角度來衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標準尺寸25.40 mm的差異大時質(zhì)量低,差異小時質(zhì)量高;當總體的平均數(shù)與標準尺寸很接近時,總體的標準差小的時候質(zhì)量高,標準差大的時候質(zhì)量低.這樣,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量,只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標準差的大小即可.但是,這兩個總體的平均數(shù)與標準差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),然后比較這兩個樣本的平均數(shù)、標準差,以此作為兩個總體之間差異的估計值.解：用計算器計算可得x甲≈25.401,x乙≈25.406;s甲≈0.037,s乙≈0.068.從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標準(25.40 mm),但是差異很小;從樣本標準差看,由于s甲

某地區(qū)全體九年級的3 000名學生參加了一次科學測試,為了估計學生的成績,從不同學校的不同程度的學生中抽取了100名學生的成績?nèi)缦拢?/p>

100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該地區(qū)3 000名學生的平均分、合格率（60或60分以上均屬合格）.解：運用計算器計算得：

100?12?90?30?80?18?70?24?60?12?50?4=79.40，100(12+30+18+24+12)÷100=96%，所以樣本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此來估計總體3 000名學生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2

2例1 甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm）,試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解：甲品種的樣本平均數(shù)為10,樣本方差為

22222［（9.8-10）+（9.9-10）+（10.1-10）+（10-10）+（10.2-10）］÷5=0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10,樣本方差為

22222［（9.4-10）+（10.3-10）+（10.8-10）+（9.7-10）+（9.8-10）］÷5=0.24.因為0.24>0.02,所以,由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.例2 為了保護學生的視力,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下,試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差.151—18181—21211—24241—27271—30301—33331—36361—39天數(shù)

0 0 0 0 0 0 0 0 燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命,再求平均壽命.解：各組中值分別為165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均數(shù)約為165×1%+195×11%

+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).這些組

中

值

2的方

2差為

11002

×［1×(165-268)+11×(195-268)+18×(225-268)+20×(255-268)+25 22222×(285-268)+16×(315-268)+7×(345-268)+2×(375-268)］=2 128.60(天).故所求的標準差約為2128.60≈46（天）.答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標準差約為46天.知能訓(xùn)練（1）在一次歌手大獎賽上,七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為___________.2（2）若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn,方差為s,則ax1,ax2,?,axn的方差為___________.(3)在相同條件下對自行車運動員甲、乙兩人進行了6次測試,測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：

甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 試判斷選誰參加某項重大比賽更合適？

22答案：（1）9.5,0.016（2）as(3)x甲=33,x乙=33,s甲=

247237＞s乙=,乙的成績比甲穩(wěn)定,應(yīng)選乙參加比賽更合適.33拓展提升

某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個養(yǎng)魚池放入一批魚苗,一年以后準備出售,為了在出售以前估計賣掉魚后有多少收入,這個專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場的銷售價是每千克15元,請問,這個專業(yè)戶還應(yīng)該了解什么？怎樣去了解？請你為他設(shè)計一個方案.解：這個專業(yè)戶應(yīng)了解魚的總重量,可以先捕出一些魚（設(shè)有x條）,作上標記后放回魚塘,過一段時間再捕出一些魚（設(shè)有a條）,觀察其中帶有標記的魚的條數(shù),作為一個樣本來估計總體,則a條魚中帶有標記的條數(shù)魚塘中所有帶有標記的魚的條數(shù)(x)?.a魚塘中魚的總條數(shù) 這樣就可以求得總條數(shù),同時把第二次捕出的魚的平均重量求出來,就可以估計魚塘中的平均重量,進而估計全部魚的重量,最后估計出收入.課堂小結(jié)

1.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：

用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù),平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表一組數(shù)據(jù)的平均水平.用樣本標準差估計總體標準差.樣本容量越大,估計就越精確,標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小,反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度.2.用樣本估計總體的兩個手段（用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征）,需要從總體中抽取一個質(zhì)量較高的樣本,才能不會產(chǎn)生較大的估計偏差,且樣本容量越大,估計的結(jié)果也就越精確.作業(yè)

習題1—5 3.設(shè)計感想

統(tǒng)計學科,最大的特點就是與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系,也是新教材的亮點.僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式,簡單模仿課本例題”來學習,是絕對不行的.用樣本估計總體時,如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以反映總體的信息,但從樣本得到的信息會有偏差,其原因在于樣本的隨機性.這種偏差是不可避免的.雖然我們從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正分布、均值和標準差,而只是總體的一個估計,但這種估計是合理的,特別是當樣本的容量很大時,它們確實反映了總體的信息.教師建議：親身經(jīng)歷“提出問題,收集數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù),并作出合理決策”過程,在此過程中不僅可以加深對概念等知識的深刻理解,更重要的是發(fā)展了思維,培養(yǎng)了分析及解決問題能力,同時在情感、意志等領(lǐng)域也得到了協(xié)調(diào)發(fā)展,這才是學校學習的科學而全面的目標,習題設(shè)置有層次,盡量源于教材,又高于教材,這也是高考命題原則.

第二篇：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征反思

《用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征》教學反思

上課前我認真研讀了教學大綱和課本，對統(tǒng)計這一部分知識有整體的認識，在此基礎(chǔ)上作了近年的高考題，并了解了學生的學習情況，認真準備了本節(jié)課。總的來說今天課堂上，不但發(fā)展了學生的智力因素，提高了學生在課堂40分鐘的學習效率，出色地完成教學任務(wù)。我從以下幾方面總結(jié)：

1、自身教學方面

通過自身努力，不斷用問題引導(dǎo)學生在知識、能力、技能、心理、思想品德等方面達到預(yù)定的目標，以提高學生的綜合素質(zhì)。上課時目標展示速度合適，學生對整節(jié)課的學習內(nèi)容有了整體把握；探究新知識時語速有點快；在學生練習時計算速度稍慢；對學生的回答都作出了評價，并且以鼓勵為主。

2、學生情況方面

學生回答問題時不夠踴躍；我設(shè)計了一個探究環(huán)節(jié)及4個練習題，探究時感覺學生聲音不大，討論不太熱烈。學生對知識掌握的還可以，通過小測和平時的做題可以看出學生掌握的還不錯。對學生在課堂上的表現(xiàn)，要及時加以總結(jié)，適當給予鼓勵，并處理好課堂的偶發(fā)事件，及時調(diào)整課堂教學。在教學過程中，教師要隨時了解學的對所講內(nèi)容的掌握情況。如在講完一個概念后，讓學生復(fù)述；講完一個例題后，將解答擦掉，請中等水平學生上臺板演。有時，對于基礎(chǔ)差的學生，可以對他們多提問，讓他們有較多的鍛煉機會，同時教師根據(jù)學生的表現(xiàn)，及時進行鼓勵，培養(yǎng)他們的自信心，讓他們能熱愛數(shù)學，學習數(shù)學。

3、在內(nèi)容方面上

總的說整堂課進行的比較順利，也圓滿完成了本堂課的三個教學目標，學生接受的也沒問題；在知識上沒有知識體系的遺漏，并且關(guān)鍵的地方都有師生討論，去發(fā)現(xiàn)問題，去解決問題，掌握知識關(guān)鍵點在哪里。

4、我自身存在的不足

首先在教學方式：以后采用以學生為本，自主學習，自主探究，互幫互助，自己解決問題；真正意義上放手讓學生自己學，教師少講；此外，我們還可以結(jié)合課堂內(nèi)容，靈活采用談話、讀書指導(dǎo)、作業(yè)、練習等多種教學方法。其次，為了讓學生明確本堂課的重點、難點，教師在上課開始時，可以在黑板的一角將這些內(nèi)容簡短地寫出來，以便引起學生的重視。教師要通過聲音、手勢、板書等的變化或應(yīng)用模型、投影儀等直觀教具，刺激學生的大腦，使學生能夠興奮起來，適當?shù)剡€可以插入與此類知識有關(guān)的笑話，對所學內(nèi)容在大腦中刻下強烈的印象，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生對新知識的接受能力。再次多創(chuàng)設(shè)情景，像今天的課堂這樣多舉身邊的例子，多舉與生活息息相關(guān)的例子，激發(fā)他們的積極性，激發(fā)他們的興趣。

第三篇：高中數(shù)學 2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征教案 新人教A版必修3

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

一、教學目標： 知識與技能

（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差。

（2）能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并做出合理的解釋。

（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。過程與方法

在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法。情感態(tài)度與價值觀

會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統(tǒng)計的作用，能夠辨證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。

二、教學重點與難點

重點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差。難點：能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實際問題。

三、教學過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進行研究。——用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（板出課題）。

（二）研探新知

1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 探究：P74（1）怎樣將各個樣本數(shù)據(jù)匯總為一個數(shù)值，并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點”？

（2）能否用一個數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學生回憶初中所學的一些統(tǒng)計知識，思考后展開討論）

初中我們曾經(jīng)學過眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)等各種數(shù)字特征，應(yīng)當說，這些數(shù)字都能夠為我們提供關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。例如前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t（最高的矩形的中點）（圖略見課本第62頁）它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少。

提出問題：原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有2.25 這個數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會是眾數(shù)呢？為什么？（請大家思考作答）

分析：這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。

提問：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)呢？

分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。由此可以估計出中位數(shù)的值為2.02。思考：2.02這個中位數(shù)的估計值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中的原因嗎？

（課本75頁圖2.2-6）顯示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。

思考：中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點，但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓學生討論，并舉例）

2、標準差、方差（１）標準差

平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，可是，有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷。某地區(qū)的統(tǒng)計顯示，該地區(qū)的中學生的平均身高為１７６㎝，給我們的印象是該地區(qū)的中學生生長發(fā)育好，身高較高。但是，假如這個平均數(shù)是從五十萬名中學生抽出的五十名身高較高的學生計算出來的話，那么，這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學生的身體素質(zhì)。因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)。

例如，在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？

我們知道，x甲?7，x乙?7。

兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察Ｐ78圖２.２-８）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)。

考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標準差。標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。

樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的標準差的算法：（１）、算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x。

（２）、算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：xi?x(i?1,2,?n)（３）、算出（２）中xi?x(i?1,2,?n)的平方。

（４）、算出（３）中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差。（５）、算出（４）中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標準差。其計算公式為：

s?

顯然，標準差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。提出問題：標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數(shù)據(jù)有什么特點？ 1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]n從標準差的定義和計算公式都可以得出：s?0。當s?0時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。（２）．方差

從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方s（即方差）來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：

1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]

n

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。

（三）典例精析

例1：畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖，說明他們的異同點。

(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８

分析：先畫出數(shù)據(jù)的直方圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標準差的計算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標準差。

解：四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是５.０，標準差分別為：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。他們有相同的平均數(shù)，但他們有不同的標準差，說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的。例2：（見課本Ｐ80）

分析： 比較兩個人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標準差的大小即可，根據(jù)用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標準差，以此作為兩個總體之間的差異的估計值。

（四）課堂練習：P82練習1.2.3 ４

（五）課堂小結(jié)

1、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：（1）用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。

（2）用樣本標準差估計總體標準差。樣本容量越大，估計就越精確。

2、平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。

3、標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度。

（六）、布置作業(yè)： P84習題2.2 A組 ３、４、１０

四、課后反思

第四篇：高中數(shù)學 2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(2課時)教案 新人教B版必修3

２.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(2課時)教學目標： 知識與技能

（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差。

（2）能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并做出合理的解釋。

（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。過程與方法

在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法。

情感態(tài)度與價值觀

會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統(tǒng)計的作用，能夠辨證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。

重點與難點

重點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差。難點：能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實際問題。教學設(shè)想

【創(chuàng)設(shè)情境】

在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進行研究。--用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（板出課題）。【探究新知】

<一>、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 〖探究〗：P62

（1）怎樣將各個樣本數(shù)據(jù)匯總為一個數(shù)值，并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點”？（2）能否用一個數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學生回憶初中所學的一些統(tǒng)計知識，思考后展開討論）

初中我們曾經(jīng)學過眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)等各種數(shù)字特征，應(yīng)當說，這些數(shù)字都能夠為我們提供關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。例如前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t（最高的矩形的中點）（圖略見課本第62頁）它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少。〖提問〗：請大家翻回到課本第56頁看看原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有2.25 這個數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，2.25怎么會是眾數(shù)呢？為什么？（請大家思考作答）

分析：這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。

〖提問〗：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)呢？

分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位

從標準差的定義和計算公式都可以得出：s?0。當s?0時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。

（在課堂上，如果條件允許的話，可以給學生簡單的介紹一下利用計算機來計算標準差的方法。）

２．方差

2s從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方（即方差）來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：

在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。【例題精析】

〖例1〗：畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖，說明他們的異同點。(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８

分析：先畫出數(shù)據(jù)的直方圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標準差的計算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標準差。解：（圖略，可查閱課本Ｐ６８）

四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是５.０，標準差分別為：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。他們有相同的平均數(shù)，但他們有不同的標準差，說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的。〖例2〗：（見課本Ｐ６９）

分析： 比較兩個人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標準差的大小即可，根據(jù)用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標準差，以此作為兩個總體之間的差異的估計值。【課堂精練】

P７１ 練習1.2.3 ４ 【課堂小結(jié)】

1． 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：

（１）用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。

（２）用樣本標準差估計總體標準差。樣本容量越大，估計就越精確。2．平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。

3． 標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度。【評價設(shè)計】

1．P７２習題2.2 A組 ３、４、１０

第五篇：高中數(shù)學第一章統(tǒng)計1.4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征教案北師大版必修3課件

1.4.2標準差

本節(jié)教材分析 一、三維目標

1、知識與技能

(1)通過實例體會標準差的意義和作用；(2)對一組數(shù)據(jù)，能夠計算出數(shù)據(jù)的標準差；

(3)能根據(jù)問題的需要選擇適當?shù)臄?shù)字特征來表達數(shù)據(jù)的信息．

2、過程與方法

通過對現(xiàn)實生活的探究，感知應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的方法．

3、情感態(tài)度與價值觀

通過對樣本數(shù)據(jù)的分析過程，感受數(shù)學對實際生活的需要，認識到數(shù)學知識源于生活并指導(dǎo)生活的事實，體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．

二、教學重點：理解數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差．

三、教學難點：理解數(shù)據(jù)標準差的意義和作用．

四、教學建議

在選擇適當?shù)臄?shù)字特征表示兩組數(shù)據(jù)的離散程度時，學生很自然地會想到義務(wù)教育階段時學習過的極差和方差．教科書除了極差和方差之外，還給出了其他兩種刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方式(方法3和方法4)．教師在教學時可以讓學生自主思考，選擇適當?shù)臄?shù)字特征來表示，在此基礎(chǔ)上，再鼓勵他們積極交流，并認真觀察、比較不同刻畫方式的異同．體會，刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的方式是多種多樣的．

通過上一節(jié)的學習，已經(jīng)掌握了數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差，本節(jié)將在此基礎(chǔ)上，通過具體的實例，讓學生理解標準差的意義以及標準差與方差的區(qū)別和聯(lián)系，能選擇適當?shù)臄?shù)字特征來表達數(shù)據(jù)的信息。新課導(dǎo)入設(shè)計 導(dǎo)入一

甲、乙兩位同學分別記錄了他們10次的數(shù)學測試成績，甲對乙說：“我的最高分是100分，而你的最高分是95分，所以我的數(shù)學成績比你好．”而乙對甲說：“我的平均分是86分，你的平均分是80分，這說明我的數(shù)學比你好．”你認為他們誰的分析正確呢？

導(dǎo)入二

刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的度量，其理想形式應(yīng)滿足一下兩條條原則：（1）應(yīng)充分利用所得到的數(shù)據(jù)，以便提供更確切的信息；（2）僅用一個數(shù)值來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度；

方差雖然滿足以上條件，然而它有局限性：方差的單位是原始觀測數(shù)據(jù)的平方，而刻畫離散程度的一種理想度量應(yīng)當具有與原始數(shù)據(jù)相同的單位．怎么解決這個問題呢？學好本節(jié)，你就知道了．

【問題】 P26例2

（1）觀察莖葉圖，我們不難看出：甲城市銷售額的中位數(shù)為20，眾數(shù)為10，18，30，極差為53；乙城市銷售額的中位數(shù)為29，眾數(shù)為23，34，極差為38．

（2）從莖葉圖中我們可以看出：甲城市的銷售額分布主要在莖葉圖的上方且相對較散，而乙城市的銷售額分布則相對集中在莖葉圖的中部．由此，我們可以估計：甲城市銷售額的平均數(shù)比乙城市的小，而方差比乙城市的大．

通過計算我們得到：甲城市銷售額的平均數(shù)和方差分別為22.8和210.9，乙城市銷售額的平均數(shù)和方差分別為28.6和115.2，這與上面的估計是一致的．

教科書設(shè)計了這個問題，自然承接上一節(jié)統(tǒng)計圖表的內(nèi)容，并初步發(fā)展學生從統(tǒng)計圖中獲取數(shù)字特征的能力．

【思考交流】 P26~27

對一組數(shù)據(jù)，除了需要了解它們的集中趨勢（平均水平）外，還常常需要了解它們的波動情況，即數(shù)據(jù)的離散性度量．在此問題中，甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的10件產(chǎn)品直徑的平均值都是40 mm，僅用平均水平還難以準確地刻畫一組數(shù)據(jù)．為此，我們以問題的形式引導(dǎo)學生選擇適當?shù)臄?shù)來分別表示這兩組數(shù)據(jù)的離散程度．

在選擇適當?shù)臄?shù)來分別表示這兩組數(shù)據(jù)的離散程度時，學生很自然地會想到義務(wù)教育階段時學習過的極差和方差．教科書上除極差和方差之外，還給出了其他兩種刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方式（方法3和方法4）．教師在教學時可以先讓學生自主思考，選擇適當?shù)臄?shù)來表示，在此基礎(chǔ)上，再鼓勵他們積極交流，并認真觀察、比較不同刻畫方式之間的異同．顯然，刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方式是多種多樣的．

【抽象概括】 P28

通過上面的思考交流，學生經(jīng)歷了用不同的方式刻畫數(shù)據(jù)離散程度的探索過程，并初步體會到方式是多種多樣的．學生很自然地就會提出以下問題：究竟什么樣的方式比較好？為此，教科書以抽象概括的形式，給出了刻畫數(shù)據(jù)離散程度的度量的理想形式應(yīng)滿足的三條原則．

因為極差對極值過于敏感，有時我們?nèi)サ糇钚〉?5%的數(shù)據(jù)與最大的25%的數(shù)據(jù)，然后求出剩下的中間數(shù)據(jù)的極差，這中間50%數(shù)據(jù)的極差，我們稱之為四分位數(shù)極差（即Q3-Q1）．

方法3（即絕對差）滿足理想形式的三條原則，它也是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一種方法，但是在實際中，人們更多使用的是標準差．其主要原因是：從數(shù)學上來說，二次函數(shù)的性質(zhì)比絕對值函數(shù)要好，比較方便運算和以后統(tǒng)計量分布的推導(dǎo)．如有學生提出這樣的問題，只要向他們簡單說明一下即可，無需作過多的解釋．另外，在§9介紹最小二乘法中，在刻畫樣本點與直線之間的距離時，用的是平方而不是絕對值，也是出于類似的考慮．

【例題】 P28例3

在教學時，教師要通過該例讓學生在具體的情境中，理解標準差的作用與意義，并能針對具體問題算出數(shù)據(jù)的標準差．

【動手實踐】 P29

目的是要通過這個活動，讓學生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、作出推斷的過程，進一步體會統(tǒng)計對決策的作用．

在活動開始時，建議教師控制“開始”和“停止”之間的時間間隔在20秒以內(nèi)，并且在增加時間間隔之前，可以先保持“開始”和“停止”之間的時間間隔不變，重復(fù)剛才的試驗．此時，得到的平均值與確切的時間值應(yīng)該會更接近，標準差也應(yīng)該會比第一次的更小．這是因為經(jīng)歷了剛才的活動，學生已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗，加之時間間隔又沒有改變，他們估計的結(jié)果應(yīng)該會比第一次更準確．隨后，教師再增加“開始”和“停止”之間的時間間隔，重復(fù)試驗，并讓學生分析自己以及全班同學最后的估計結(jié)果．

需要特別引起注意的是，對數(shù)據(jù)數(shù)字特征內(nèi)容的評價,應(yīng)當更多地關(guān)注對其本身意義的 2 理解和在新情境中的應(yīng)用，而不是記憶和使用的熟練程度．因此，在分析數(shù)據(jù)的過程中，教師要讓學生理解數(shù)據(jù)的平均值和標準差在此處的意義，并在此基礎(chǔ)上對全班同學的估計結(jié)果作出客觀的評判．同時，這個活動還可以初步培養(yǎng)學生的估計能力．

【練習】 P31

小宇和志強在最近8場籃球比賽的平均得分分別是13分和12.75分，標準差分別是4.09和5.72，小宇的發(fā)揮相對來說更穩(wěn)定一些．

教師應(yīng)該讓學生在通過計算得到小宇和志強各自得分的平均數(shù)和標準差后，理解標準差在此處的意義：它體現(xiàn)了運動員場上發(fā)揮的穩(wěn)定程度．

【習題1―4】 P31 1．（1）可以用莖葉圖等來表示數(shù)據(jù),圖略；

（2）銷售的新鮮面包數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)都是49.5,眾數(shù)是47, 50, 52；

（3）根據(jù)以上結(jié)果，該面包店每天生產(chǎn)50個新鮮面包比較合理．

2．為了運算方便，可以先將數(shù)據(jù)化成以秒為單位的形式進行計算，再將計算結(jié)果化成原有單位的形式．

（1）近幾屆奧運會男子1 500 m速滑冠軍成績的平均數(shù)和中位數(shù)分別是1′54.17″，1′54.81″；女子的平均數(shù)和中位數(shù)分別是2′05.32″，2′03.42″;（2）近幾屆奧運會男、女1 500 m速滑冠軍成績的標準差分別是3.763 7″，6.019 4″;（3）從上面的計算結(jié)果我們不難得出：近幾屆奧運會男子速滑的冠軍成績相比女子成績優(yōu)異而且比較穩(wěn)定．