第一篇：泛函分析教學大綱

一、教學目的

通過學習此章，理解線性算子的譜及分類，掌握緊集和全連續算子的定義及緊線性算子的譜。

二、教學重點

線性算子的譜及分類，全連續算子。

三、教學難點 緊集和緊線性算子的譜。

四、講授要求

通過學習此章，理解線性算子的譜及分類，掌握緊集和全連續算子的定義及緊線性算子的譜。

五、講授要點

譜集及分類，有界線性算子譜的性質，緊集合全連續算子，緊線性算子的譜。

第二篇：泛函分析教學大綱

課號：218.116.1

泛 函 分 析 教 學 大 綱

(Functional Analysis)

學分數 3 周學時 4

一.說明

1.課程名稱: 泛函分析(一學期課程)，第五學期(3+1)*18=72.2.教學目的和要求:

(1)課程性質: 本課程是數學系專業基礎課, 為數學系本科三年級學生所必修。

(2)基本內容: 本課程主要內容: 度量空間中點集分析，賦范空間上算子與幾何，內積空間中幾何與算子，線性算子譜理論。

(3)基本要求: 通過本課程的學習, 學生應熟練掌握度量，范數，線性算子，內積，直交投影，譜等概念, 熟練掌握綱理論及有界線性算子的基本原理和線性泛函的延拓理論, 為今后學習打下堅實基礎。

3.教學方式: 課堂授課。

4.考試方式: 考試。

5.教材: 《泛函分析》講義，郭坤宇，徐勝芝編

參考書: 《實變函數與泛函分析》 夏道行等編, 高等教育出版社。

二.講授綱要

第一章 度量空間中點集分析

1.1 度量空間(3學時)

1.2 度量拓撲(2學時)

1.3 數值函數(2學時)

1.4 緊~~~與極值(2學時)

1.5 貝爾綱論(3學時)

1.6 函數空間(2學時)

本章要求: 通過學習度量空間的基本點集理論, 讀者應能熟悉緊集與其應用, 熟悉綱理論及其應用, 掌握映射的連續性與數值函數的上半連續與下半連續性及其特征.第二章 賦范空間上算子與幾何

有界線性算子(3學時)

連續線性泛函(3學時)

弱收斂與共軛(2學時)

一致有界原理(2學時)

開映射與閉算子(3學時)

凸集與超平面(2學時)

本章要求: 通過學習有界線性算子的基本理論, 讀者應能掌握線性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析與幾何上的應用;一致有界原理及其應用;開映射原理與閉圖像定理的應用等.第三章 內積空間上幾何與算子

內積空間(2學時)

共軛算子(2學時)

投影算子(2學時)

基與維數(2學時)

賦范代數(2學時)

本章要求: 通過學習內積空間的幾何, 掌握投影定理與投影算子的應用,直交基的確立及其應用.第四章 線性算子譜理論

正則點與譜點(3學時)

緊算子譜分析(3學時)

有界正規算子(2學時)

無界線性算子(2學時)

譜測度與積分(3學時)

指標理論初步(2學時)

本章要求: 通過學習線性算子譜理論, 讀者應能計算一些典型線性算子如單向平移和乘法算子等的譜, 提高利用Gelfand譜理論分析譜的能力, 掌握正規算子譜分解及其應用, 能分析緊算子的譜并掌握Fredholm算子指標的應用.

第三篇：泛函分析

1.設?X,d?為距離空間。證明：d?

2.（1）收斂點列為柯西列。

（2）柯西列為有界列。d?x,y?也是距離。1?d?x,y（3）有收斂子列的柯西列是收斂列。

3.（1）敘述壓縮映射定理。

（2）作業的應用。

4．證明：u,v??au(x)v(x)dx是一個內積。

5．利用Schwarz不等式證明：x滿足三角不等式。

6．利用內積證明平行四邊形公式。7．X,Y為Banach空間。T:X?Y線性。證明：T有界?T連續。

8.H為Hilbert空間，f?H線性有界泛函。

（1）證明零空間v?f?是閉集。

（2）敘述Riesz定理。

（3）證明：N?f?是一維子空間。

9.證明投影算子，P為線性有界算子，并且P2?P,P?1 10.??u?f?x?,u?W01,2???,若f?L2??? ,證明解存在且唯一 ?b

第四篇：實變函數與泛函分析-教學大綱

實變函數與泛函分析教學大綱

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

適用專業：信息技術專業 課程編號： 教學時數：72學時 學 分：4 課程性質：專業核心課

開課系部：數學與計算機科學院 使用教材：《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版 曹廣福.高等教育出版社 參考書

[1]夏道行《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強《實變函數論》第2版.北京大學出版社.二、課程介紹

《實變函數與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養學生從幾何、拓撲上來認識抽象函數空間，以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力。

三、考試形式

考試課程，考試成績由平時成績和期末考試組成，平時作業占百分之二十，期末考試百分之八十。期末考試是閉卷的形式，重點考察學生的解題能力和基礎理論。

四、課程教學內容及課時分配

第一章 集合與點集 要求

1、掌握集合的勢，可數集

2、熟悉歐氏空間上的拓撲，Cauchy收斂原理

主要內容

集合的勢，可數集，n維歐氏空間上的拓撲，Canchy收斂原理

重點

集合的勢，可數集 課時安排（4學時）

1、集合的勢，可數集

2學時

2、歐氏空間上的拓撲，Cauchy收斂原理

2學時

第二章 Lebesgue測度 要求

1、熟練掌握外測度、可測集以及它們的性質

2、掌握可測函數及其性質，以及非負可測函數的構造

3、熟練掌握可測函數的收斂性

主要內容：

Lebesgue外測度，可測集（類），可測函數及其性質，可測函數的收斂性

重點

外測度、可測集以及它們的性質、可測函數的收斂性 課時安排（12學時）

1、外測度、可測集以及它們的性質

4學時

2、可測函數及其性質，以及非負可測函數的構造

4學時

3、可測函數的收斂性

4學時

第三章

Lebesgue積分 要求：

1、熟練掌握可測函數的積分及性質

2、熟練掌握Lebesgue積分基本定理，Fatou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

3、弄清重積分與累次積分的關系，Fubini定理

主要內容：

可測函數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理，Riemann可積的充要條件，重積分與累次積分的關系，Fubini定理

重點

可測函數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理 課時安排：（16學時）

1、可測函數的積分及性質

6學時

2、Lebesgue積分基本定理，Fatou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

6學時

3、重積分與累次積分的關系，Fubini定理

4學時

第四章

L空間 要求：

1、熟練掌握L空間的范數、完備性、收斂性、可分性

2、熟悉L空間的內積，標準正交基

3、了解卷積與Fourier變換 ppp主要內容：

p

Lp空間的范數、完備性、收斂性、可分性，L空間的內積，標準正交基，卷積與Fourier變換

重點

Lp空間的范數、完備性、收斂性、可分性 課時安排（10學時）

1、L空間的范數、完備性、收斂性、可分性

4學時

2、L空間的內積，標準正交基，正交化方法

4學時

3、卷積與Fourier變換

2學時 pp

第五章 Hilbert空間理論 要求：

1、熟練掌握距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性

3、熟悉共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜

主要內容：

距離空間的定義，緊致性，Hilbert影算子，緊算子性質及其譜。課時安排（16學時）

空間上線性算子的有界性和連續性，共軛算子、投

1、距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

4學時

2、Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性

6學時

3、共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜 6學時

第六章 Banach空間理論 要求：

1、掌握Banach空間的定義，模等價，有界線性算子

2、熟悉開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理

3、熟悉連續線性泛函的存在性與Hahn-Banach定理

4、弄清弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

主要內容：

范數、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子，開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理，弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

重點

Banach空間的定義、模等價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂

課時安排（14學時）

1、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子

4學時

2、開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理

6學時

3、連續線性泛函的存在性與Hahn-Banach

4學時

《實變函數與泛函分析》考試大綱

院 系：數學與計算機科學學院

課程名稱：實變函數與泛函分析（第二學期）使用專業：數學與信息科學專業

學 時：72 其中，理論學時：72 實踐學時：0 學 分：4

一、設課目的：

《實變函數與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養學生從幾何、拓撲上來認識抽象函數空間，以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力.二、課程教學內容和教學目標：

通過本門課程的教學，使學生了解函數理論的基本體系，理解實變函數的基本概念、基本原理，使學生較好的掌握集合論基礎、Lebesgue測度與Lebesgue積分、線性賦范空間與Hilbert空間的基本理論和有界線性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，為進一步學習分析數學中的一些專門理論，如函數論，泛函分析，概率論，微分方程，群上調和分析等提供必要的測度和積分論基礎，為從事中學數學教育提供知識儲備.三、課程考核的基本形式、內容和要求：

本課程考核分為兩部分：形成性考核和課程期末考試

（一）形成性考核

形成性考核部分分為：平時考勤（占20%）、作業（占70%）、課堂提問情況（占10%）這三個部分。要求隨時檢查學生考勤，批改作業，敦促學生邊學邊做。

學生應按時完成各階段的平時作業。對于抄襲作業的或不按時完成的應給予說服教育，嚴重者應給予扣分處理。

（二）課程期末考試

期末考試采用筆試閉卷形式。考試命題由教研室集體討論，任課教師可參與命題。本課程期末考試的命題依據是專業教學計劃、課程教學大綱以及使用教材。本課程的試卷涉及該教材所含的有關知識內容及練習，其中重點內容為：集合的勢，可數集；外測度、可測集以及它們的性質、可測函數的收斂性；可測函

p數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理；L空間的范數、完備性、收斂性、可分性；距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性，共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜；Banach空間的定義、模等價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂.四、考核的組織：

本課程的平時作業由任課教師根據學生完成情況進行批閱、評分。課程期末考試教研室統一組織，以集體流水作業的方式進行批閱。根據班級學生的學習情況形成性考核成績可占總成績的30%，期末考試成績可占總成績的70%。

五、教材

[1]夏道行《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強《實變函數論》第2版.北京大學出版社.六、其他有關說明或要求

第五篇：泛函分析學習心得

泛函分析學習心得 10數本6***2010224216

泛函分析是數學系基礎數學專業的一門重要必修基礎課程。是現代數學的一個分支，隸屬于分析學，其研究的主要對象是函數構成的空間。也由于它研究的對象導致它是一門比較抽象的課程，不像我們以前所學習的知識那樣容易理解而有實體，所以，如果我們要學好這門課,那就必須講究學習方法。除此之外，泛函分析也是數分與高代綜合的抽象，所以想學好泛函分析就要有良好的基礎，而作為上冊的實變也是其中起著關鍵作用的基礎。泛函分析的特點是它的抽象化，把概念和方法幾何化。比如，課本中第一章講的距離空間，如章前引導的，解微分方程所引發的各種疑問促使人們將函數集合作為一個整體看待，在其上引入線性運算、距離等概念，從而得到抽象的距離空間，也就是把不同類型的函數可以看作是“函數空間”的點或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數空間。

由于這門課程比較抽象，所以要學好這門課程，對于我們來說，還是有點難度的。但是，只要我們掌握了好的學習方法，我們還是一樣可以吧這門課程學好的。那怎樣的學習方法才能讓我們學好這門抽象的課程呢？下面，我就說說我的看法。

首先，我們一定要適應大學的教學模式，盡快進入角色，畢竟大學跟我們中小學的課堂教學模式是完全不一樣的。大學是以學生自學為主，老師指導為輔。要想學好泛函分析這門課，更多的是需要我們學習的自主性。

其次，就是我們的課前預習。我們要對課本的相關教材熟悉，初步把握好教材內容的重難點。在上課的時候，帶著問題就聽老師講課，這樣對于我們的課堂效率就能有很大的提升。我們也能很輕松的跟著老師節奏走，對于泛函分析的抽象問題，我們也就比較容易想象它的模型，消化起來自然也就相對輕松很多。

再次，在課堂上，我應該根據老師課程的講解，參與老師的互動。雖然大學的課堂有點“滿堂灌”的形式，但是，在老師給我們講解的時候，我們是可以跟著老師講課的節奏，主動思考，適當的提出自己的疑問，以及自己對這節課知識內容的理解的想法。這對老師講解的概念定理，有關證明的思路、技巧及定理中關鍵條件的作用的深刻理解，啟發我們我們隊定理條件進行反思和提問，進一步運用知識去分析解決問題。

最后，是課后的復習以及習題的鞏固。在學習泛函分析這門課程中，我們難學的問題不僅體現在內容的抽象、難于理解，也體現在理論方法的難于運用。理論方法的運用，是需要我們通過適量的練習來領悟其中的奧妙和技巧的。只有通過習題的鞏固復習，我們才能領悟泛函分析中理論知識的精髓，提高論證推理能力。通過練習適量的習題，能培養我們的抽象思維能力，及邏輯推理能力，并提高我們分析問題和解決問題的能力。

在大學，我們要學習的知識理論是比較多的，對于學習泛函分析這一比較抽象的課程，我的學習心得，主要是以上的這三點。對于其他類似泛函分析這種比較抽象性德課程，我們也是需要做到上面的這三個方面的，但這并不意味著我們只有學習抽象性課程的時候才需要這樣的學習方法去學習。通過泛函分析的學習，我發現，不管是哪一門課程，只要我們把握好上面的這三點學習方法，我們都可以學習的很輕松的。

對于學習泛函分析，雖然說大學的教學模式，只要是以學生自己為主的。但對于泛函分析這中抽象性比較大的課程，我覺得老師在把握教學進度的同時，應多注重跟我們學生之間的互動。畢竟，“填罐式”的教學方式，對于我們對知識點的理解與把握是有點困難的。但是有教師的互動，對我們理解教材的知識點，是有很大幫助的。這樣我們，我們學習起來，也會相對輕松很多。