第一篇：提取公因式 教案

第⒍2節 提取公因式法

余晶

【教學目標】

1.會利用提取公因式法進行因式分解.2.學會添括號法則

【教學重點、難點】

1．教學重點∶正確地找出公因式, 利用提取公因式法進行因式分解.2.教學難點∶例3的因式分解.【教學過程】

復習因式分解的概念.㈠創設情境，提出問題

看誰算的最快: 0.564×899+0.564×101=0.564×(899+101)=564 在這一過程中,把0.564換成m, 899換成a, 101換成b, 于是有: ma＋mb =m(a＋b)（使學生初步意識到因式分解可以使運算簡便）

㈡觀察分析，探究新知

(讓學生發現這個多項式的特點, 引出公因式的概念)多項式中各項都含有的相同因式, 叫做這個多項式的公因式。

注意：公因式是一個多項式中每一項都含有的公共的因式。

根據公因式的定義, 求出下列各式的公因式 ①ax+ay-az ②x2y+x3 ③8x-12y ④4a2b+6ac(四人小組討論:讓學生歸納公因式和多項式的關系, 引導從系數, 字母, 字母的指數上來歸納.)結論: ⑴系數: 公因式的系數應取各項系數的最大公約數（當系數是整數時）

⑵字母: 字母取多項式中各項都含有的相同字母

(3)指數: 相同字母的指數取各項中最小的一個, 即最低次冪 ㈢通過練習，鞏固新知

指出下列各多項式中各項的公因式

⑴2x2y3+6x3（2x2）

232(2)3axy–6ayz+9ay(3ay)⑵7x2-21x（7x）

⑶8a3b2-12ab3+ab

（ab）

⑷7(3-x)-x(3-x)(3-x)((1)(2)由老師分析,應用剛剛得出的結論, 其余由學生完成, 搶答)

定義：一般地，如果一個多項式的各項含有公因式，那么可把該公因式提取出來進行因式分解的方法叫做提取公因式法。

㈣例題教學，運用新知

例1．

把3pq3+15p3q分解因式

解：3pq3+15p3q =3pq×q2+3pq×5p2 =3pq(q2+5p2)(通過老師提醒,讓學生發現提取后剩下的因式是用原來的多項式除以公因式得到的,公因式被提出來之后就不含有公因式了)練習: 把4x2-8ax+2x分解因式

（讓學生練習，教師選擇有代表性的錯誤解答,進行典型錯誤點評,加深學生的記憶）

解：4x2-8ax+2x =2x×2x-2x×4a+2x×1 =2x（2x-4a+1）

(提醒: 當多項式的某一項和公因式相同時,提公因式后,還剩余“1”)例2． 把-3ab+6ab2x-9a2by分解因式

(通過教師提示讓學生發現這個題目和前面的不同之處: 首項系數為負.引出添括號法則)添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都要變號。

課堂練習：P141T 2【鞏固添括號法則】 解：-3ab+6ab2x-9a2by = －(3ab-6ab2x+9a2by)= －3ab(1-2bx+3ay)說明：應用提取公因式法分解因式時，應先觀察第一項系數的正負，負號時，運用添括號法則要提出負因數，此時一定要把各項變號。提取公因式法的一般步驟: ① 確定應提取的公因式(首項系數為負)② 確定另一個因式(可以用公因式去除這個多項式,所得的商為另一個因式)③ 把多項式寫成這兩個因式積的形式.注意:提取公因式后, 余下的多項式不再含有公因式.例3． 探索提高：

2（a-b）2-a+b能分解因式嗎？(讓學生探索, 老師提醒正確引導, 盡量讓學生完成)解：2（a-b）2-a+b = 2（a-b）2-（a-b）=（a-b）［2（a-b）-1］ =（a-b）（2a-2b-1）

然后可追加一問：2（a-b）2-（b-a）3呢？ 讓學生積極思考，討論回答。

注：n 為偶數（a-b）n=（b-a）n n 為奇數（a-b）n=-（b-a）n 課堂強化訓練: 1.下列因式分解對嗎? 如果不對應如何改正 ?1?2x2?3x3?x?x?2x?3x2??2?3a2c?6a3c?3a2?c?2ac??3??2s3?4s2?6s??s?2s2?4s?6??4??4a2b?6ab2?8a??2ab?2ab?3b??8a2.對下列各式進行因式分解

(1)ax+ay(2)3mx+6nx2(3)4a2b+6ab2-8a ㈤課堂小結

在學習過程中你有哪些收獲？還有什么疑問？ 提醒在分解因式中要注意的幾個問題.㈥布置作業：完成同步訓練

第二篇：4.2提取公因式法教案

4.2 提取公因式法 教學設計

教學目標：

一、知識與技能目標：

1.會用提取公因式法分解因式。2.理解添括號法則。

二、過程與方法目標：

1.樹立學生“化零為整”、“化歸”的數學思想，培養學生完整地、辨證地看問題的思想。2.樹立學生全面分析問題，認識問題的思想，提高學生的觀察能力，分析問題及逆向思 想能力。

三、情感態度與價值觀目標：

在觀察、對比、交流和討論的數學活動中發掘知識，并使學生體驗到學習的樂趣和數 學的探索性。重點：

掌握公因式的概念，會使用提取公因式法進行因式分解，理解添括號法則。難點：

正確地找出公因式 教學流程：

一、導入新課

想一想：一幢房子側面的形狀由一個長方形和三角形組成（如圖），若把它設計成一個新的長方形，面積保持不變，且底邊長仍為a，則高度應為多少？

我們知道，m（a+b）=ma+mb，反過來，就有ma+mb=m（a+b）.應用這一事實，怎樣把多項式2ab+4abc分解因式？

一般地，一個多項式中每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式。

如m是多項式ma+mb各項的公因式，2ab是多項式2ab+4abc各項的公因式.如果一個多項式的各項含有公因式，那么可把該公因式提取出來進行因式分解。這種分解因式的方法叫做提取公因式法.同學們，我們下面一起來討論如何確定應提取的公因式.以多項式3ax2y+6x3yz為例，把各項表示如下： 3ax2y=3·a·x·x·y 6x2yz=2·3·x·x·x·y·z 應提取的公因式為: 3x2y 公因式的確定方法：應提取的多項式各項的公因式應是：各項系數的最大公因數（當系數是整數時）與各項都含有的相同字母的最低次冪的積。

試一試：

所以，公因式是-3 x 分解因式：-9 x 2 + 6 x y=-3x(3x-２y)

二、例題講解[來源:Z§xx§k.Com]

例(1)多項式 8a3b2 +12ab3c的公因式是(2)多項式3mx – 6nx2 的公因式是

提取公因式法的一般步驟：

（1）確定應提取的公因式；

（2）多項式除以公因式，所得的商作為另一個因式；[來源:學_科_網Z_X_X_K][來源:學科網ZXXK]（3）把多項式寫成這兩個因式的積的形式.例1 把下列各式分解因式：(1)2x3+6x2(2)3pq3+15p3q(3)-4x2+8ax+2x(4)-3ab+6abx-9aby.注意：當首項的系數為負數時，通常應提取負因數，此時剩下的各項都要改變符號.例2 把2(a-b)2-a+b分解因式：

分析:把-a+b變形為-(a-b)，原多項式就轉化為2(a-b)2-(a-b).若把（a-b）看做整體，原多項式就可以提取公因式(a-b).在求解例2時，我們把-a+b加上括號，變形為-（a-b），而不改變-a+b的值，這種方法叫做添括號.一般地，添括號法則如下：

括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都變號。

三、習題鞏固

1.確定下列多項式的公因式，并分解因式.（1）ax+b

（2）3mx-6nx（3）4ab+10ab-2ab 222 2.添括號（填空）：

（1）1-2x=+()（2）-x-2=-()（3）-x2-2x+1=-()3.下面的分解因式對嗎？如果不對，應怎樣該正？

（1）2x2+3x3+x=x(2x+3x2)

（2）3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)(3）-2s3+4s2-6s=-s(2s2+4s-6)（4）-4a2b+6ab2-8a=-2ab(2a-3b)-8a 拓展延伸：

[來源:學&科&網]

2、若多項式-6ab+18abx+24aby的一個因式是-6ab，那么另一個因式是（D）

（A）-1-3x+4y（B）1+3x-4y（C）-1-3x-4y（D）1-3x-4y

四、小結

1、確定公因式的方法：

(1)、公因式的系數是多項式各項系數的最大公因數。[來源:學科網](2)、字母取多項式各項中都含有的相同的字母。(3)、相同字母的指數取各項中最小的一個，即最低次冪

2、提取公因式法分解因式的一般步驟

（1）.確定應提取的公因式；

（2）.用公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式

（3）.把多項式寫成這兩個因式的積的形式。

注意：

(1).當首項系數為負時,通常應提取負因數,在提取“－”號時,余下的各項都變號。(2).提取公因式要徹底;注意易犯的錯誤: ①提取不盡

②漏項

③疏忽變號

④只提取部分公因式,整個式子未成乘積形式

五、布置作業

教材第104頁，1、2、3題

第三篇：提公因式教案

因式分解教案

(提公因式二)

執教 許小明

二零一二年三月三日

●課

題

§2.2.2 提公因式法

（二）●教學目標

（一）教學知識點

進一步讓學生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力訓練要求

進一步培養學生的觀察能力和類比推理能力.（三）情感與價值觀要求

通過觀察能合理地進行分解因式的推導，并能清晰地闡述自己的觀點.●教學重點

能觀察出公因式是多項式的情況，并能合理地進行分解因式.●教學難點

準確找出公因式，并能正確進行分解因式.●教學過程

提公因式法

（二）公因式是多項式形式，怎樣運用提公因式法分解因式？

在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“－”號，使等式成立：2 =___(b-a)2;(1)(a-b)=___(b-a);(2)(a-b)+－3;(4)(a-b)4 =___(b-a)4;－(3)(a-b)3 =___(b-a)+5;(6)(a+b)6 =___(b+a)6.(5)(a+b)5 =___(b+a)++???????2.(8)(a+b)2 =___(-a-b)+(7)(a+b)=___(-b-a);-做一做p50 填空

由此可知規律：(1)a-b 與-a+b互為相反數.(a-b)n=(b-a)n(n是偶數）(a-b)n=-(b-a)n(n是奇數）a+b與-a-b 互為相反數.(-a-b)n=(a+b)n(n是偶數）(-a-b)n=-(a+b)n(n是奇數）(2)a+b與b+a(a+b)n=(b+a)n互為相同數,(n是整數）

練習一1.在下列各式右邊括號前添上適當的符號,使左邊與右邊相等.(1)a+2 = ___(2+a)+(2)-x+2y = ___(2y-x)+2(3)(m-a)2 = ___(a-m)+3-(4)(a-b)3 = ___(-a+b)(5)(x+y)(x-2y)= ___(y+x)(2y-x)-2.判斷下列各式是否正確?(1)(y-x)2 =-(x-y)2否(2)(3+2x)3 =-(2x+3)3否(3)a-2b =-(-2b+a)(4)-a+b=-(a+b)否否(5)(a-b)(x-2y)=(b-a)(2y-x)對

例1.把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.分析：多項式可看成a(x-3)與2b(x-3)兩項。公因式為x-3解：a(x-3)+2b(x-3)＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ）例2.把a(x-y)+b(y-x)分解因式.分析：多項式可看成a(x-y)與+b(y-x)兩項。其中X-y與y-x互為相反數，可將+b(y-x)變為-b(x-y)，則a(x-y)與-b(x-y)公因式為x-y解：a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)＝（ｘ－y）（ａ-ｂ）例3.把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式.分析：其中(m-n)與(n-m)互為相反數.可將-12(n-m)2變為-12(m-n)2，則6(m-n)3與-12(m-n)2公因式為6(m-n)2解：6(m-n)3-12(n-m)2= 6(m-n)3-12(m-n)2＝6(m-n)2(m-n-2)例4.把6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3分解因式.解：6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3= 6(x+y)(x-y)2-9(x-y)3= 3(x-y)2[2(x+y)-3(x-y)]= 3(x-y)2(2x+2y-3x+3y)= 3(x-y)2(-x+5y)=3(x-y)2(5y-x)

練習二分解因式：(1)a(x?y)?b(y?x)(2)5x(a-b)2+10y(b-a)2(3)6(m?n)?12(n?m)32(4)a(a+b)(a-b)-a(a+b)2(5)mn(m+n)-m(n+m)2(6)2(a-3)2-a+3(7)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)小結兩個只有符號不同的多項式是否有關系,有如下判斷方法:(1)當相同字母前的符號相同時,則兩個多項式相等.如: a-b 和-b+a即a-b =-b+a(2)當相同字母前的符號均相反時,則兩個多項式互為相反數.如: a-b 和b-a 即a-b =-（a-b）

第四篇：提公因式教案

提公因式法教學設計

——李蕓領

教學目標：

1、使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區別和聯系。

2、使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式。

3、通過學生自行探求解題途徑，培養學生觀察、分析和創新能力，深化學生逆向思維能力。

教學重點：

因式分解的概念及提公因式法。

教學難點：

正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區別和聯系。

教學過程設計：

一、復習提問

乘法對加法的分配律。

二、新課

1．新課引入：用類比的方法引入課題。

在學習分數時，我們常常要進行約分與通分，因此常常要把一個數分解因數(即分解約數)。例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7。

前面，我們學習的整式除法，除式都是單項式，如果除式是多項式該如何進行運算呢？這就要求我們能將除式和被除式進行分解，然后進行約分，就象分數約分一樣。這樣就引出了“怎樣將一個多項式寫成幾個單項式或多項式的積的形式”這樣一個問題，這就是我們今天將要學習的“因式分解”。所以，因式分解是繼續學生整式運算的需要，是一個工具，我們一定要把這個工具先準備好，將來才能更好地學習后續知識。那么，到底要怎樣進行因式分解呢？在前面我們學習了整式的乘法，幾個整式相乘的結果可能是一個多項式，那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢？下面我們就開始這一章知識的學習。

2．因式分解的概念：

請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子，并計算出其結果。(老師按學生所說在黑板寫出幾個。)如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等。

再請學生觀察它們有什么共同的特點？ 特點：左邊：整式×整式；右邊：是多項式。可見，整式乘以整式，只要有一個因式是多項式，其結果就是多項式。下面，我們把上面的式子反過來寫： ma+mb+mc＝ m(a+b+c)2x2y-4x2y2+2xy ＝2xy(x-2xy+1)a2-b2 ＝(a+b)(a-b)am+an+bm+bn ＝(a+b)(m+n)-x2+7x-10＝(x-5)(2-x)上面這些式子，從形式上看，就是把多項式變形為了一些整式的乘積的形式，我們就把這種多項式的變形叫做因式分解。

定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

從以上情況，我們發現，因式分解與整式是一個互逆的過程： 如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)。整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc。

讓學生說出因式分解與整式乘法的聯系與區別。聯系：同樣是由幾個相同的整式組成的等式。

區別：這幾個相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．兩者是方向相反的恒等變形，二者是一個式子的不同表現形式，一個是多項式的表現形式，一個是兩個或幾個因式積的表現形式．

例

1、下列各式從左到右哪些是因式分解？(1)x2-x＝x(x-1)(√)(2)a(a-b)＝a2-ab(×)(3)(a+3)(a-3)＝a2-9(×)(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1(×)(5)x2-4x+4＝(x-2)2(√)

因式分解的方法有很多，下面我們學習一種常見的，也是最基本的因式分解方法。

3．提公因式法：

我們看多項式：ma+mb+mc 請學生指出它的特點：各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式．

注意：公因式是各項都含有的公共的因式． 又如：a是多項式a2-a各項的公因式． ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式．

2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式． 根據乘法的分配律，可得 m(a+b+c)＝ma+mb+mc，逆變形，便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式 ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

這說明，多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面，將多項式ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式。讓學生觀察上面的公因式的特點，找出確定公因式的萬法：

(1)公因式的系數應取各項系數的最大公約數：

(2)字母取各項的相同字母，而且各字母的指數取小次數。例

2、指出下列各多項式中各項的公因式：(1)ax+ay+a

(a)(2)3mx-6mx(3mx)(3)4a2+10ah

(2a)(4)x2y+xy2

(xy)(5)12xyz-9x2y2

(3xy)

例

3、把8a3b2-12ab3c分解因式。

分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式。先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2。解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)． 說明：

(1)應特別強調確定公因式的兩個條件以免漏取。

(2)開始講提公因式法時，最好把公因式單獨寫出。①以顯提醒；②強調提公因式；③強調因式分解。

例

4、把3x2-6xy+x 分解因式．

分析：先引導學生找出公因式x，強調多項式中x=x·1． 解：3x2-6xy+x =x·3x-x·6y+x·1 ＝x(3x-6y+1)說明：當多項式的某一項恰好是公因式時，這項應看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應是1，1作為項的系數通?？梢允÷裕绻麊为毘梢豁棔r，它在因式分解時不能漏掉，這類題常常有些學生犯下面的錯誤，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因．還應提醒學生注意：提公因式后的因式的項數應與原多項式的項數一樣，這樣可以檢查是否漏項。課堂練習一：

把下列各式分解因式：(l)2πR+2πr；(2)3x3+6x2；(3)21a2+7a；(4)15a2+25ab2；(5)x2y+xy2-xy．

例

5、把-4m3+16m2-26m分解因式．

分析：此多項式第一項的系數是負數，與前面兩例不同，應先把它轉化為前面的情形便可以因式分解了，所以應先提負號轉化，然后再提公因式，提“－”號時，注意添括號法則。解：-4m3+16m2-26m ＝-(4m3-16m2+26m)＝-2m(2m2-8m+13)． 說明：通過此例可以看出應用提公因式法分解因式時，應先觀察第一項系數的正負，負號時，運用添括號法則提出負號，此時一定要把每一項都變號；然后再提公因式。課堂練習二：

把下列各式分解因式：(1)-15ax-20a；(2)-25x8+125x16；(3)-a3b2+a2b3；(4)-x3y3-x2y2-xy；(5)-3ma3+6ma2-12ma；

三、小結

1．因式分解的意義及其概念

2．因式分解與整式乘法的聯系與區別 3．公因式及提公因式法

4．提公因式法因式分解中應注意的問題

四、作業

教材 P．167中 1；P．170中習題15.4中的第1題。

五、板書設計 標題

1、因式分解定義

4、例題

2、公因式定義

5、小結

3、提公因式法

6、作業

第五篇：提公因式法教案

§1.2.2 提公因式法

（二）●教學目標

（一）教學知識點

進一步讓學生掌握用提公因式法進行因式分解的方法.（二）能力訓練要求

進一步培養學生的觀察能力和類比推理能力.（三）情感與價值觀要求

通過觀察能合理地進行因式分解的推導，并能清晰地闡述自己的觀點.●教學重點

能觀察出公因式是多項式的情況，并能合理地進行因式分解.●教學難點

準確找出公因式，并能正確進行因式分解.●教學方法 類比學習法 ●教學過程

Ⅰ.創設問題情境,引入新課 ［師］上節課我們學習了用提公因式法因式分解，知道了一個多項式可以分解為一個單項式與一個多項式的積的形式，那么是不是所有的多項式分解以后都是同樣的結果呢？本節課我們就來揭開這個謎.Ⅱ.新課講解

請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“－”號，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.一、例題講解

［例1］下列多項中各項的公因式是什么？ a（x－3）+2b（x－3）a（x－3）+2b（3－x）

(a?c)(a?b)2?(a?c)(b?a)2

6（m－n）3－12（n－m）2.?12xy2(x?y)?18x2y(x?y)

分析：雖然a（x－y）與b（y－x）看上去沒有公因式，但仔細觀察可以看出（x－y）與（y－x）是互為相反數，如果把其中一個提取一個“－”號，則可以出現公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3與（n－m）2也是如此.［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：這個多項式整體而言可分為兩大項，即a（x－3）與2b（x－3），每項中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作為公因式提出來.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）［師］從分解因式的結果來看，是不是一個單項式與一個多項式的乘積呢？ ［生］不是，是兩個多項式的乘積.［例3］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;（2）6（m－n）3－12（n－m）2（3）(a?c)(a?b)2?(a?c)(b?a)2（4）?12xy2(x?y)?18x2y(x?y)

Ⅲ.課堂練習

把下列各式分解因式： 解：（1）x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）;（2）3a（x－y）－（x－y）=（x－y）（3a－1）;（3）6（p+q）2－12（q+p）=6（p+q）2－12（p+q）=6（p+q）（p+q－2）;（4）a（m－2）+b（2－m）=a（m－2）－b（m－2）=（m－2）（a－b）;（5）2（y－x）2+3（x－y）=2［－（x－y）］2+3（x－y）=2（x－y）2+3（x－y）=（x－y）（2x－2y+3）;（6）mn（m－n）－m（n－m）2 =mn（m－n）－m（m－n）2 =m（m－n）［n－（m－n）］ =m（m－n）（2n－m）.Ⅳ.課時小結

本節課進一步學習了用提公因式法分解因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式，要認真觀察多項式的結構特點，從而能準確熟練地進行多項式的分解因式.Ⅴ.課后作業習題1.2 活動與探究 把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.解：原式=（a+b－c）（a－b+c）－（b－a+c）（a－b+c）=（a－b+c）［（a+b－c）－（b－a+c）］ =（a－b+c）（a+b－c－b+a－c）=（a－b+c）（2a－2c）=2（a－b+c）（a－c）教學后記：