第一篇：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍公開課教案

已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能:學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)來解決已知單調(diào)性求參數(shù)范圍問題;2.過程與方法:通過實例講解,歸納,解決問題的方法;3.情感與態(tài)度:通過問題的解決,體會轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.教學(xué)重點

已知單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍.教學(xué)難點

不同問題的處理方法.教學(xué)過程

(一)知識梳理

函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)為y?f'(x),對于區(qū)間(a,b).?f'(a)?01.若y=f(x)的單調(diào)區(qū)間為(a,b),則?

f'(b)?0?2.若y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增(遞減),則f'(x)?0(f'(x)?0)在(a,b)上恒成立.(二)典例分析

例1 函數(shù)f(x)?lnx?a2x2?ax(a?R)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,??),求a的值.例2 函數(shù)f(x)?lnx?a2x2?ax(a?R)在(1,??)上是減函數(shù), 求a的取值范圍.例3 函數(shù)f(x)?lnx?ax2?2x(a?0)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.例4 函數(shù)f(x)?x3?mx2?3m2x?1在區(qū)間(?2,3)上是減函數(shù),求m的取值范圍.例5已知a?R,函數(shù)f(x)?x3?ax2?(a2?1)x?3在(??,0)和(1,??)上都是增函數(shù), 求a的取值范圍.1312

(三)課時小結(jié)

本節(jié)課主要介紹了已知函數(shù)單調(diào)性來利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍.(四)備用練習(xí)

1.函數(shù)f(x)?x3?ax2?a2x?3(a?0)在[-1,1]上沒有極值點, 求a的值.ex(a?0)在R上為單調(diào)函數(shù), 求a的取值范圍.2.函數(shù)f(x)?21?ax

3.函數(shù)g(x)?x3?(k?1)x2?(5?k)x?1在區(qū)間上有極值點，求參數(shù)k（0,3）的取值范圍。

(五)作業(yè)布置

<<狀元之路>>第48頁 11,12

第二篇：含參函數(shù)單調(diào)性

含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性 ●基礎(chǔ)知識總結(jié)和邏輯關(guān)系

一、函數(shù)的單調(diào)性

求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法: 1)確定函數(shù)的f(x)的定義區(qū)間；

2)求f'(x)，令f'(x)?0，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；

3)把函數(shù)f(x)的無定義點的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；

4)確定f'(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，由f'(x)的符號判定函數(shù)f?x?在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.二、函數(shù)的極值

求函數(shù)的極值的三個基本步驟

1)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；

2)求方程f'(x)?0的所有實數(shù)根；

3)檢驗f'(x)在方程f'(x)?0的根左右的符號，如果是左正右負(fù)（左負(fù)右正），則f(x)在這個根處取得極大（小）值.三、求函數(shù)最值

1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值；

2)將極值與區(qū)間端點函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式

我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的.即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性.具體有如下幾種形式：

① 直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（小），來證明不等式成立.② 把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的.2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式.導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.含參函數(shù)的單調(diào)性，核心是三個步驟，四個流程：

1）第一步：先求定義域，再求導(dǎo)； 2）第二步：準(zhǔn)確求出導(dǎo)數(shù)身給定的參數(shù)范圍】

流程①：最高次項系數(shù)如果含參數(shù)，分 “?0；?0；?0” 三種情況依次討論該系數(shù)。（不含參就直接略過）“?0”時，求出參數(shù)的值，代回含參數(shù)的【注意題目本f?(x)之后，按以下四個流程依次走：

f?(x)，寫出不f?(x)的最簡潔、直觀的形式；“?0”或“?0”時，把最高次項系數(shù)外

f?(x)?0是否有根。如果方程f?(x)?0沒有提，化簡變形（含因式分解）到最簡潔、直觀的形式，能直接看出根來。流程②：接流程①，判斷方程任何實根，說明f?(x)?0或f?(x)?0恒成立，f(x)恒定單增或單減，直接f?(x)?0有實根，全部求出來，寫明“x1?

”，寫結(jié)論；如果方程“x2?

”然后進(jìn)入流程③。

流程③：判斷由②得出的根是否在定義域內(nèi)。（i）定義域內(nèi)沒有根，寫出數(shù)

f?(x)，肯定有f?(x)?0或f?(x)?0，說明函

（ii）定義域內(nèi)有且只有一f(x)在定義域內(nèi)恒定單增或單減，直接寫出結(jié)論；

（iii）f(x)單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；個根，對這個唯一的根進(jìn)行列表，判斷定義域內(nèi)有兩根（包含兩等根或兩異根），那么就進(jìn)入流程④。流程④：在流程③中確定二次函數(shù)型

f?(x)?0在定義域內(nèi)有兩根x1,x2的情況下，討論兩根大小（“?”，“?”，“?”）。然后列表，依據(jù)表格寫出結(jié)論。

3）第三步：（3）寫綜上所述。對參數(shù)的所有可能取值都要寫出，對應(yīng)結(jié)論相同的時候，參數(shù)范圍必須合并。

【題】討論函數(shù)f(x)?xe(k?0)的單調(diào)區(qū)間。【難度】**

kxk2【題】討論函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x?x的單調(diào)區(qū)間。

2【難度】*** 【點評】求單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域，（2）求出f?(x)，令f?(x)?0，求出根，求出在定義域內(nèi)所有的根，（3）把函數(shù)的間斷點在橫坐標(biāo)上從小到大排列起來，把定義域分成若干個小區(qū)間，（4）確定f?(x)在每個區(qū)間的正負(fù)號，求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。

【題】判斷函數(shù)f(x)?x?4x?alnx的單調(diào)性。【難度】***

2a32x?1的單調(diào)區(qū)間。【題】求函數(shù)f(x)?x?ax?42【難度】*** 【題】、求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??2,a?R)的單調(diào)區(qū)間。

【難度】*** 【題】求函數(shù)f(x)?【難度】*** 【題】討論函數(shù)f(x)?kx?2x?ln(2x?1)的單調(diào)性。

x212x?alnx(a?R)的單調(diào)區(qū)間。22

【難度】***

ekx【題】討論函數(shù)f(x)?的單調(diào)性。

x?1【難度】** 【題】討論函數(shù)f(x)?【難度】*** 【題】求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??1,a?R)的單調(diào)區(qū)間。【難度】** 【題】求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??3,a?R)的單調(diào)區(qū)間。【難度】**

x2x22x?a的單調(diào)性。2(x?1)3利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)的最值問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)最值的基本思路和大致步驟：

通常是先討論函數(shù)的單調(diào)性，必要時畫出函數(shù)的示意圖，然后進(jìn)行最值的討論。

【題】已知函數(shù)f?x???x?k?ex

?1?求f?x?的單調(diào)區(qū)間；

?2?求f?x?在區(qū)間?0,1?上的最小值.???,k?1?減?k?1,???

??k（2）①k?1,f?x?min【解析】：（1）

②k③1?k?2,f?x?min?(1?k)e

?2，f?x?min??e2k?1

【難度】** f(x)?ax?1(a?0)，g(x)?x?bx2當(dāng)a?4b時，求函數(shù)f(x)?g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間???,?1?上的最大值.【題】已知函數(shù)【難度】*** 【題】已知函數(shù)

313f(x)?x?2x2?3x?1，給定區(qū)間

3，（a?0），試求f(x)在此區(qū)間上的最大值。[a,2a]【難度】***

alnx【題】已知a?0，函數(shù)f(x)?：

x（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）求f(x)在區(qū)間[a,2a]上的最值.【答案】：

elna2①0?a?時，f(x)?f(2a?)max22f(x)min?f(a)?lna

②a?e時，f(mx)a?xf?(a)，lan

f(x)min③

ln2a ?f(2a)?2時，2?a?ef(x?m)axaf?(e)，ef(x)minln2a ?f(2a)?2af?(e)e，e④?a?2時，f(xm)a?x2f(x)min?f(a)?lna

【難度】*** 【點評】

1?x【題】、已知函數(shù)f(x)?ln(ax?1)?,x?0,a?0

1?x(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)的最小值為1，求a的取值范圍.【答案】：a?2時，f(x)在[0,??)上單調(diào)遞增 2?a0?a?2時，f(x)在[0,)上單調(diào)遞減

a2?af(x)在(,??)上單調(diào)遞增

aa?2

【難度】***

【題】已知函數(shù)：f(x)?x?(a?1)lnx?(a?R),當(dāng)x??1,e?時，求f(x)的最小值；

【答案】當(dāng)1?a?e時，f?x?min?a??a?1?lna?1 當(dāng)a?e時，f?x?min?e??a?1?? 【難度】***

aeaxf(x)?3x?1(a?0),g(x)?x?9x，若f(x)?g(x)上的最大值為28.求實數(shù)k的取值范圍 【題】已知函數(shù)【難度】***

【題】已知函數(shù)

23f?x??ax?x?bx（其中常數(shù)a,b?R），32g?x??fx??f?x???為奇函數(shù).(1)求f?x?的表達(dá)式；(2)討論g?x?的單調(diào)性，并求g?x?在區(qū)間?1,2?上的最大值與最小值.【答案】

132f?x???x?xg?x?在?1,2?上最大值為

3442，最小值 33【難度】***

1312【題】設(shè)f(x)??x?x?2ax.32

2（1）若f(x)在(,??)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

316（2）當(dāng)0?a?2時，f(x)在[1,4]上的最小值為?，求

3f(x)在該區(qū)間上的最大值。1【答案】a的取值范圍是(?,??)

910f(x)在該區(qū)間上的最大值為.3【難度】****

【題】已知函數(shù)(1)求函數(shù)f(x)?lnx?x2

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在(0,a],(a?0)上的最大值.2(0,)

2【答案】當(dāng)0?a?時，f(x)在(0,a],(a?0)上的最

22大值為lna?a;

2當(dāng)a?時，f(x)在(0,a],(a?0)上的最大值為2

1?ln2?

2【難度】*** f(x)?1?(1?a)x?x2?x3，其中a?0:

（1）討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；

（2）x?[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時x的值.【題】設(shè)函數(shù)【難度】*** f(x)?x?ax?bx?c(實數(shù)a,b,c為常

1數(shù))的圖像過原點，且在x?1處的切線為直線y??

2(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若m?0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?m,m]上的最大值.【題】已知函數(shù)【難度】***

32f(x)?x2?ax?3a2lnx(1)討論f(x)的單調(diào)性;【題】設(shè)函數(shù)(2)若a為正常數(shù)，求f(x)在區(qū)間(0,t](t?0)上的最小值.【難度】***

第三篇：函數(shù)的單調(diào)性教案

函數(shù)的單調(diào)性

教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：初步理解增函數(shù)、減函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念，并掌握判斷一些簡單函數(shù)單調(diào)性的方法。

能力目標(biāo)：啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；通過觀察——猜想——推理——證明這一重要的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。

德育目標(biāo)：在揭示函數(shù)單調(diào)性實質(zhì)的同時進(jìn)行辯證唯物主義思想教育。：

教學(xué)重點：函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)概念的理解

教學(xué)難點：利用函數(shù)單調(diào)性的概念判斷或證明函數(shù)單調(diào)性

教 具： 多媒體課件、實物投影儀

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題

[引例1]如圖為2006年黃石市元旦24小時內(nèi)的氣溫變化圖．觀察這張氣溫變化圖：

問題1：氣溫隨時間的增大如何變化？

問題2：怎樣用數(shù)學(xué)語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？

[引例2]觀察二次函數(shù)的圖象，從左向右函數(shù)圖象如何變化？并總結(jié)歸納出函數(shù)圖象中自變量x和 y值之間的變化規(guī)律。

結(jié)論：（1）y軸左側(cè)：逐漸下降； y軸右側(cè)：逐漸上升；

（2）左側(cè) y隨x的增大而減小；右側(cè)y隨x的增大而增大。

上面的結(jié)論是直觀地由圖象得到的。還有很多函數(shù)具有這種性質(zhì)，因此，我們有必要對函數(shù)這種性質(zhì)作更進(jìn)一步的一般性的討論和研究。

二、給出定義，剖析概念

①定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值

⑴若當(dāng)圖3）；

⑵若當(dāng)圖4）。<時，都有f（）>f（）,則f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)（如<時，都有f（）

②單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).由此可知單調(diào)區(qū)間分為單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間。

注意：

（1）函數(shù)單調(diào)性的幾何特征：在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。

當(dāng)x1 f(x2)y隨x增大而減小。

幾何解釋：遞增 函數(shù)圖象從左到右逐漸上升；遞減 函數(shù)圖象從左到右逐漸下降。

（2）函數(shù)單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)。

有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的；有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間上是減函數(shù)；有些函數(shù)是非單調(diào)函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)。

判斷2：定義在R上的函數(shù) f(x)滿足 f(2)> f(1)，則函數(shù) f(x)在R上是增函數(shù)。（×）

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在一個單調(diào)區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，不能用特殊值代替。

訓(xùn)練：畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間：

三、范例講解，運用概念

具有任意性，例1、如圖，是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)出函數(shù)。的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說

是增函數(shù)還減

注意：

（1）函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題。

（2）在區(qū)間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內(nèi)要完整。

例2 判斷函數(shù) f(x)=3x+2 在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析證明思路，同時展示證明過程：

證明：設(shè)任意的 由

于是

即

所以。

在R上是增函數(shù)。，得，且，則

分析證明中體現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的定義。

利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①任意取值：即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1

②作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利于判斷差的符號的方向變形

③判斷定號：確定f(x1)－f(x2)的符號

④得出結(jié)論：根據(jù)定義作出結(jié)論（若差0，則為增函數(shù)；若差

0，則為減函數(shù)）

即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結(jié)論”

例

3、證明函數(shù)

證明：設(shè)，且

在(0,+)上是減函數(shù).，則

由

又由

于是

即。，得，得即

（*）。

所以，函數(shù)

問題1 ：

在區(qū)間

在上是單調(diào)減函數(shù)。

上是什么函數(shù)？(減函數(shù))在定義域

上是減函數(shù)？（學(xué)生討論

問題2 ：能否說函數(shù)得出）

四、課堂練習(xí)，知識鞏固

課本59頁 練習(xí)：第1、3、4題。

五、課堂小結(jié)，知識梳理

1、增、減函數(shù)的定義。

函數(shù)單調(diào)性是對定義域的某個區(qū)間而言的，反映的是在這一區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化的性質(zhì)。

2、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：（1）利用圖象觀察；（2）利用定義證明：

證明的步驟：任意取值——作差變形——判斷符號——得出結(jié)論。

六、布置作業(yè)，教學(xué)延伸

課本60頁習(xí)題2.3 ：第4、5、6題。

第四篇：函數(shù)的單調(diào)性(教案)

函數(shù)的單調(diào)性（教案）

一、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法。

2、通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力。

3、通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程。

二、重點、難點分析

1、重點：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明。

2、難點：歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

三、教學(xué)過程

1、學(xué)生動手作圖，引入課題：結(jié)合函數(shù)圖像畫法的相關(guān)知識，讓學(xué)生實際動手操作，分別畫出函數(shù)f(x)?x,f(x)??x,f(x)?x2,f(x)??x2的圖像。如下：

圖1 圖2

圖3 圖4

2、借助圖像，直觀感知：引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考。并讓學(xué)生回答以下兩個問題：

（1）以上4個函數(shù)圖像中，隨自變量x的變化，函數(shù)值f(x)發(fā)生了怎樣的變化？

① 圖1中，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減小； ② 圖2中，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大；

③ 圖3中，對于y軸的左半部分而言，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大。對于y軸的右半部分而言，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減小。

④ 圖4中，對于y軸的左半部分而言，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減小。對于y軸的右半部分而言，函數(shù)值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大。

（2）如何用數(shù)學(xué)語言描述上述函數(shù)中，函數(shù)值f(x)隨自變量x的變化情況？

① 對于函數(shù)f(x)?x而言，?x1,x2?(??,??)，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

② 對于函數(shù)f(x)??x而言，?x1,x2?(??,??)，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

③ 對于函數(shù)f(x)?x2而言，?x1,x2?(??,0)，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。而?x1,x2?(0,??)，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

④ 對于函數(shù)f(x)??x2而言，?x1,x2?(??,0)，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。而?x1,x2?(0,??)，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

3、歸納探索，形成概念：引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出增函數(shù)和減函數(shù)的定義：

（1）增函數(shù)：I為函數(shù)f(x)的定義域，D?I，若?x1,x2?D，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)。

（2）減函數(shù)：I為函數(shù)f(x)的定義域，D?I，若?x1,x2?D，當(dāng)x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)。

4、例題講解，鞏固定義；歸納總結(jié)，尋求一般證明步驟：講解例題，引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（設(shè)元、求差、變形、斷號，定論）。

k例題1：證明波意耳定律P?,(k為正常數(shù))為減函數(shù)。

Vk 證明：按題意，只要證明函數(shù)P?在區(qū)間(0,??)上是減函數(shù)即可。

V ??V1,V2?(0,??)，當(dāng)V1?V2時，有：

設(shè)元

P(V1)?P(V2)?kk?

求差 V1V2V2?V

1變形 VV1 ?k

又?V1,V2?(0,??)，V1?V2

?VV12?0,V1?V2?0，同時，k?0，斷號

?P(V1)?P(V2)?0

即，P(V1)?P(V2).所以，函數(shù)P?k在區(qū)間(0,??)上是減函數(shù)。定論 V3

5、通過例題，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵點：提出課文中容易誤解和忽略指出，予以提醒。

1（1）例題2：“已知f(x)?，因為f(?1)?f(2)，所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)。”

x這種說法對嗎？

解析：單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性。

2（2）例題3：能否直接觀察函數(shù)f(x)?x?,(x?0)的圖像（如下），說出這

x個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)？

圖5

解析：學(xué)生難以確定分界點的確切位置。從而，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究。

（3）例題4：如何從解析式的角度說明f(x)?x2在[0,??)為增函數(shù)？

222法一： 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1?2,所以f(x)?x[0,??)為增函數(shù)。

法二：仿法一，取很多組驗證均滿足，所以f(x)?x2在[0,??)為增函數(shù)。法三：任取x1,x2?[0,??)且x1?x2，因為x12?x22?(x1?x2)(x1?x2)?0,即x12?x22，所以f(x)?x2在[0,??)為增函數(shù)。

解析：自變量不可能被窮舉，證明函數(shù)的單調(diào)性時，要在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量。

（4）例題5：“若函數(shù)f(x)滿足f(2)?f(3)，則函數(shù)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù)。”這種說法對嗎？

解析：對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))。

（5）例題6：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)。”與“因為函數(shù)f(x)?減函數(shù)，所以f(x)?1在區(qū)間(??,0]和(0,??)上都是x1在(??,0]和(0,??)上是減函數(shù)”這兩種種說法對嗎？ x解析：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在A?b上是增（或減）函數(shù)。

四、作業(yè)布置

教材p39 A組：第2題、第5題、第6題； B組：第1題、第3題。

第五篇：優(yōu)秀教案 函數(shù)單調(diào)性教案

1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解函數(shù)單調(diào)性的定義，會判斷和證明簡單函數(shù)的單調(diào)性。

2、培養(yǎng)從概念出發(fā)，進(jìn)一步研究其性質(zhì)的意識及能力，體會感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點：

形成增、減函數(shù)的形式化定義。教學(xué)難點：

形成增、減函數(shù)概念的過程中如何從圖像的直觀認(rèn)識過渡函數(shù)增、減的數(shù)學(xué)符號；用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

一、復(fù)習(xí)舊知識

區(qū)間的有關(guān)知識及其表示方法。

二、講授新課

1、觀察下面各個函數(shù)的圖像，并說出函數(shù)圖像的特點。

yyy

1-1 x-1O1x OxO

22、研究一次函數(shù)f(x)?2x?1和二次函數(shù)f(x)?x的單調(diào)性。

y2 f(x)?xyY=2x+

1o xOx

不同的函數(shù)，圖像的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間的變化趨勢也不同，通過描述這兩個函數(shù)圖像的性質(zhì)，引出本節(jié)課題——函數(shù)的單調(diào)性。

3、深入研究二次函數(shù)f(x)?x的圖像，從特殊到一般引出增、減函數(shù)的定義。

2yf(x)?x2Ox

(??,0]上f(x)隨x的增大而減小，[0,??)上f(x)隨x的增大而增大

增函數(shù)：?x1,x2?D,當(dāng)x1?x2時，有f(x1)?f(x2),那么就說f(x)在D上是增函數(shù)。減函數(shù)：?x1,x2?D,當(dāng)x1?x2時，有f(x1)?f(x2),那么就說f(x)在D上是減函數(shù)。

區(qū)間D叫做y?f(x)的單調(diào)區(qū)間。

三、例題演練

例1 下圖是定義在?-6,9?上的函數(shù)y?f(x)，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)。

例2 證明函數(shù)f(x)?2x?1在R上的單調(diào)性。

四、隨堂練習(xí)

證明：

（1）函數(shù)f(x)??3x?2在R上是單調(diào)減函數(shù)。（2）函數(shù)f(x)?x?1在(0,??)上是增函數(shù)。

五、課堂小結(jié)

1、增、減函數(shù)的的形式化定義是什么？

2、如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

六、作業(yè)布置

A：證明：函數(shù)f(x)?1?21在(??,0)上的單調(diào)性。xB：探究一次函數(shù)的y?mx?b(x?R)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。