第一篇：新華教育高中部數學同步人教A版必修五第二章數列-等差數列的前n項和基礎訓練

等差數列前N項和（基礎訓練）

1．在等差數列{an}中，a6?a3?a8，則

S9?

（）

（A）0

（B）

1（C）?1

（D）以上都不對 答案：A 解析：2．設a3?a8?a5?a6?a6，a5?0，S9?9a5。

。則n Sn為等差數列{an}的前n項和。已知

S6?36,Sn?324,Sn?6?144(n?6)等于

（）

（A）16

（B）

（C）18

（D）19 答案：B 解析：Sn?S6?(Sn?Sn?6)?6(a1?an)?36?(324?144)?216，a1?an?36，n(a1?an)2?324

13、（2003年全國，8）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四個根組成一個首項為4的等差數列，則|m－n|等于（）

313A.1

B.4

C.2

D.8

答案：C 解析：設4個根分別為x1、x2、x3、x4，則x1+x2=2，x3+x4=2，由等差數列的性質，當

1357m+n=p+q時，am+an=ap+aq.設x1為第一項，x2必為第4項，可得數列為4，4，4，4，7151∴m=16，n=16.∴|m－n|=2.4、等差數列{an}的前n項和為

Sn，若

a7?a13?10，則

S19的值是（）

A.5

5B.95

C.100

D.無法確定

答案:B

19?a1?a19?219?a7?a13?219?102解析：S19????95

5、設Sn是等差數列?an?的前n項和，若S7?35，則

a4?（）

A．8

B．7

C．6

D．5 答案：D.解析：Sn是等差數列?an?的前n項和，若S7?7a4?35, ∴

a4?5。

6、已知｛an｝是遞增數列，且對任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，則實數λ的取值范圍是（）

7A.(－2,+∞)B.(0,+∞)

C.(－2,+∞)

D.(－3,+∞)

答案：D 解析：由｛an｝為遞增數列得an+1－an=2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n－1在n≥1時恒成立，只需λ＞(－2n－1)max=－3。

7、在等差數列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20項之和． 解析：由a6＋a9＋a12＋a15＝34 得4a1＋38d＝34 又S20＝20a1＋20×192d

＝20a1＋190d ＝5(4a1＋38d)=5×34=170

8、設等差數列答案：45 解析：S3{an}的前n項和為

Sn，若

S3?9，S6?36，則

a7?a8?a9?（）、S6?S3、S9?S6成等差數列，從而

a7?a8?a9?S9?S6?2?S6?S3??S3?2S6?3S3?2?36?3?9?45

第二篇：高二數學等差數列前n項和教學設計

2017-2018學第一學期教學設計

幾何概型

高二(4)組 孫彥艷

教材分析

和古典概型一樣，在特定情形下，我們可以用幾何概型來計算事件發(fā)生的概率。它也是一種等可能概型。

教材首先通過實例對比概念給予描述，然后通過均勻隨機數隨機模擬的方法的介紹，給出了幾何概型的一種常用計算方法。與本課開始介紹的P（A）的公式計算方法前后對應，使幾何概型這一知識板塊更加系統(tǒng)和完整。

這節(jié)內容中的例題既通俗易懂，又具有代表性，有利于我們的教與學生的學。教學重點是幾何概型的計算方法，尤其是設計模型運用隨機模擬方法估計未知量；教學難點是突出用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，把求未知量的問題轉化為幾何概型求概率的問題。教學目標

1.通過這節(jié)內容學習，讓學生了解幾何概型，理解其基本計算方法并會運用。

2.通過對照前面學過的知識，讓學生自主思考，尋找?guī)缀胃判偷碾S機模擬計算方法，設計估計未知量的方案，培養(yǎng)學生的實際操作能力。

3.通過學習，讓學生體會試驗結果的隨機性與規(guī)律性，培養(yǎng)學生的科學思維方法，提高學生對自然界的認知水平。任務分析

在這節(jié)內容中，介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿足隨機模擬的需要，因此，教學重點是隨機模擬部分。這節(jié)內容的教學需要一些實物模型作為教具，如教科書中的轉盤模型、例2中的隨機撒豆子的模型等。教學中應當注意讓學生實際動手操作，以使學生相信模擬結果的真實性，然后再通過計算機或計算器產生均勻隨機數進行模擬試驗，得到模擬的結果。隨機模擬的教學中要充分使用信息技術，讓學生親自動手產生隨機數，進行模擬活動。有條件的學校可以讓學生用一種統(tǒng)計軟件統(tǒng)計模擬的結果。教學設計

一、問題情境

如圖，有兩個轉盤。甲、乙兩人玩轉盤游戲，規(guī)定當指針指向Ｂ區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝。

問題：在下列兩種情況下分別求甲獲勝的概率。

二、建立模型

1.提出問題

首先引導學生分析幾何圖形和甲獲勝是否有關系，若有關系，和幾何體圖形的什么表面特征有關系？學生憑直覺，可能會指出甲獲勝的概率與扇形弧長或面積有關。即：字母B所在扇形弧長（或面積）與整個圓弧長（或面積）的比。接著提出這樣的問題：變換圖中B與N的順序，結果是否發(fā)生變化？（教師還可做出其他變換后的圖形，以示決定幾何概率的因素的確定性）。

題中甲獲勝的概率只與圖中幾何因素有關，我們就說它是幾何概型。

注意：（1）這里“只”非常重要，如果沒有“只”字，那么就意味著幾何概型的概率可能還與其他因素有關，這是錯誤的。（2）正確理解“幾何因素”，一般說來指區(qū)域長度（或面積或體積）。

2.引導學生討論歸納幾何概型定義，教師明晰———抽象概括 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：

3.再次提出問題，并組織學生討論

（1）情境中兩種情況下甲獲勝的概率分別是多少？

（2）在500ml的水中有一個草履蟲，現從中隨機取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現草履蟲的概率。

（3）某人午覺醒來，發(fā)現表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10min的概率。通過以上問題的研討，進一步明確幾何概型的意義及基本計算方法。

三、解釋應用

［例題］

1.假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30之間把報紙送到你家，而你父親離開家去工作的時間在早上7：00～8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少。

分析：我們有兩種方法計算事件的概率。（1）利用幾何概型的公式。（2）利用隨機模擬的方法。

解法1：如圖，方形區(qū)域內任何一點的橫坐標表示送報人送到報紙的時間，縱坐標表示父親離開家去工作的時間。假設隨機試驗落在方形內任一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件。根據題意，只要點落到陰影部分，就表示父親在離開家前能得到報紙，即事件A發(fā)生，所以

解法2：設X，Y是0～1之間的均勻隨機數。X＋6。5表示送報人送到報紙的時間，Y＋7表示父親離開家去工作的時間。如果Y＋7＞X＋6。5，即Y＞X－0。5，那么父親在離開家前能得到報紙。用計算機做多次試驗，即可得到P（A）。

教師引導學生獨立解答，充分調動學生自主設計隨機模擬方法，并組織學生展示自己的解答過程，要求學生說明解答的依據。教師總結，并明晰用計算機（或計算器）產生隨機數的模擬試驗。強調：這里采用隨機數模擬方法，是用頻率去估計概率，因此，試驗次數越多，頻率越接近概率。

2.如圖，在正方形中隨機撒一大把豆子，計算落在圓中的豆子數與落在正方形中的豆子數之比，并以此估計圓周率的值。

解：隨機撒一把豆子，每個豆子落在正方形內任何一點是等可能的，落在每個區(qū)域的豆子數與這個區(qū)域的面積近似成正比，即

假設正方形的邊長為2，則

由于落在每個區(qū)域的豆子數是可以數出來的，所以

這樣就得到了π的近似值。另外，我們也可以用計算器或計算機模擬，步驟如下：（1）產生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機數，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）經平移和伸縮變換，a＝（a1－0。5）*2，b＝（b1－0。5）*2；

（3）數出落在圓內a2＋b2＜1的豆子數N1，計算落在正方形中的豆子數）。

可以發(fā)現，隨著試驗次數的增加，得到π的近似值的精度會越來越高。

本例啟發(fā)我們，利用幾何概型，并通過隨機模擬法可以近似計算不規(guī)則圖形的面積。［練習］

1.如圖30-4，如果你向靶子上射200鏢，你期望多少鏢落在黑色區(qū)域。

2.利用隨機模擬方法計算圖30-5中陰影部分（y＝1和y＝x2圍成的部分）的面積。

（N代表

3.畫一橢圓，讓學生設計方案，求此橢圓的面積。

四、拓展延伸

1.“概率為數‘0’的事件是不可能事件，概率為1的事件是必然事件”，這句話從幾何概型的角度還能成立嗎？ 2.你能說一說古典概型和幾何概型的區(qū)別與聯系嗎？ 3.你能說說頻率和概率的關系嗎？ 點評

這篇案例設計完整，整體上按知識難易逐漸深入，同時充分調動了學生的積極性，以學生之間互動為主，教師引導為輔。例題既有深化所學知識的，又有應用所學知識的。“拓展延伸”既培養(yǎng)了學生的思維能力，又有利于學生從總體上把握這節(jié)課所學的知識。

第三篇：必修5教案2.2等差數列前n項和(三)

§2.2第5課時 等差數列的前n項和（3）

教學目標

（1）能熟練地應用等差數列前n項和公式解決有關問題；

（2）能利用數列通項公式與前n項和之間的關系解決有關問題。

教學重點，難點

1．等差數列前n項和公式的應用；

2．數列通項公式與前n項和之間的關系的應用。

教學過程

一．問題情境

1．情境：已知等差數列?an?中，Sn?an2?(a?1)n?a?2，任何求an？（an??4n?1）

二．學生活動

（1）求出a1和d，再用等差數列的通項公式求an；

(n?1)?S1（2）利用an與Sn的關系：an??

S?S(n?2)n?1?n（3）把等差數列的條件去掉，求an。

三．數學運用 1．例題：

例1．（1）如果數列{an}滿足a1?3，11，求an； ??5（n?N?）

an?1an（2）已知數列{an}的前n項和為Sn??n2?2n，求an．

11}是公差為5的等差數列，其首項為，an31115n?14 ∴，??5(n?1)?an333 ∴an?．

15n?14（2）當n?1時，a1?S1??3，解：（1）由題意：{22 當n?2時，an?Sn?Sn?1?(?n?2n)?[?(n?1)?2(n?1)]??2n?1，所以，an??2n?1（n?N?）。

例2．等差數列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和S'n，且

解：∵S13? 所以，a7Sn7n?2，求的值。?b7S'nn?313(a1?a13)13(b1?b13)?13a7，S'13??13b7，22a7S137?13?293?'?? b7S1313?316說明：若等差數列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和S'n，則

例3．在等差數列中，a10?23，a25??22，（1）該數列第幾項開始為負？（2）前多少項和最大？（3）求an前n項和？

解：設等差數列?an?中，公差為d，由題意得：?anS2n?1 ??n?1bnS2???a25?a10?15d??45?a?50??1 ?d??3?23?a1?(10?1)?(?3)53，3（1）設第n項開始為負，an?50?3(n?1)?53?3n?0，n? 所以從第18項開始為負。

（2）

（法一）設前n項和為Sn，則

n(n?1)31033103231032(?3)??n2?n??(n?)??()，2222626 所以，當n?17時，前17項和最大。Sn?50n?

?an?0?53?3n?05053（法二）?，則?，?n?，所以n?17．

3?50?3n?03?an?1?0

?53?3n,0?n?17（3）an?53?3n??，3n?53,n?17?∴Sn?a1?a2?a3???an?a1?a2???a17?(a18?a19???an)，'32103n?n，2231033103 當n?17時，S'n??(?n2?n)?2S17?n2?n?884，2222當n?17時，S'n???32103?n?n(n?17)??22'所以，Sn??

??(?3n2?103n)?2S?3n2?103n?884(n?17)17??2222

說明：（1）a1?0，d?0時，Sn有最大值；a1?0，d?0時，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：

①若已知Sn，可用二次函數最值的求法（n?N?）；

?an?0?an?0②若已知an，則Sn最值時n的值（n?N?）可如下確定?或?．

a?0a?0?n?1?n?1

四．回顧小結：

1．an與Sn的關系：an??

2．若等差數列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和S'n，則

(n?1)?S1

?Sn?Sn?1(n?2)anS2n?1?

?n?1bnS2

3．（1）a1?0，d?0時，Sn有最大值；a1?0，d?0時，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：

①若已知Sn，可用二次函數最值的求法（n?N?）；

?an?0?an?0②若已知an，則Sn最值時n的值（n?N?）可如下確定?或?．

a?0a?0?n?1?n?1

五．課外作業(yè)： P45 10 補充： 1．已知數列{11113}成等差數列，且a3??，a5??，求a8的值。an?267 2．數列{an}的前n項和Sn?32n?n2，求證{an}是等差數列。

23．設Sn是等差數列{an}的前n項和，并對n?N?，S2n?1?4n?1，求這個數列的通項公式及前前n項和公式

4．數列?an?是首項為23，公差為整數的AP數列，且a6?0，a7?0，（1）求公差d；

（2）設前n項和為Sn，求Sn的最大值；

（3）當Sn為正數時，求n的最大值。

第四篇：高二數學必修5等差數列的前n項和練習卷

高二數學必修5《等差數列的前n項和》練習卷

知識點：

1、等差數列的前項和的公式：①；②．

2、等差數列的前項和的性質：①若項數為，則，且，．

②若項數為，則，且，（其中，）．

同步練習：

1、首項為的等差數列的前項和為，則與的關系是（）

A．

B．

C．

D．

2、已知等差數列，，則等于（）

A．

B．

C．

D．

3、已知等差數列滿足，且，則其前項之和為（）

A．

B．

C．

D．

4、等差數列中，…，…，則為（）

A．

B．

C．

D．

5、已知等差數列的首項為，公差是整數，從第項開始為負值，則公差為（）

A．

B．

C．

D．

6、若等差數列共有項，且奇數項的和為，偶數項的和為，則項數為（）

A．

B．

C．

D．

7、等差數列中，它的前項的平均值為，若從中抽去一項，余下的項的平均值為，則抽去的是（）

A．

B．

C．

D．

8、已知數列的通項公式為，則的前項和等于（）

A．

B．

C．

D．

9、一個等差數列共項，其中奇數項的和為，偶數項的和為，則第項是（）

A．

B．

C．

D．

10、在等差數列中，公差，首項，如果這個數列的前項的和，則應是（）

A．

B．

C．

D．

11、在等差數列中，若，是數列的前項和，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

12、已知某等差數列共有項，其奇數項之和為，偶數項之和為，則公差為（）

A．

B．

C．

D．

13、等差數列中，，則此數列前項和等于（）

A．

B．

C．

D．

14、設數列是等差數列，且，是數列的前項和，則（）

A．

B．

C．

D．

15、設是等差數列的前項和，若，則（）

A．

B．

C．

D．

16、在等差數列中，已知，則等于（）

A．

B．

C．

D．

17、等差數列的前項和為，當，變化時，若是一個定值，那么下列各數中也為定值的是（）

A．

B．

C．

D．

18、在等差數列中，、是方程的兩個根，則是（）

A．

B．

C．

D．

19、在等差數列中，，則此數列前項和等于（）

A．

B．

C．

D．

20、已知數列的通項為，若要使此數列的前項和最大，則的值為（）

A．

B．

C．或

D．

21、數列的前項和，則它的通項公式是（）

A．

B．

C．

D．

22、在數列中，，且它的通項公式是關于自然數的一次函數，則它的前項的和為_________．

23、在等差數列中，，則________．

24、在等差數列中，，則_______．

25、若一個等差數列前項的和為，最后項的和為，且所有項的和為，則這個數列有________項．

26、設為等差數列的前項和，，則___________．

27、設等差數列的前項和，若，則公差為________（用數字作答）．

28、求下列數列中的前項和：

①，；②，；③，．

29、在等差數列中，若，求該數列前項和．

30、在等差數列中，已知，公差，求．

31、一個等差數列前項的和是，前項的和與前項的和的差是，求這個等差數列的通項公式．

第五篇：《等差數列前n項和》教案12(第一課時)(人教A版必修5)

2.3等差數列的前n項和

（一）一、教學目標

1、等差數列前n項和公式．

2、等差數列前n項和公式及其獲取思路；

3、會用等差數列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題．

二、教學重點：等差數列前n項和公式的理解、推導及應用．教學難點：靈活應用等差數列前n項公式解決一些簡單的有關問題．

三、教學過程

（一）、復習引入：1．等差數列的定義： an－an?1=d，（n≥2，n∈N）2．等差數列的通項公式：

?（1）an?a1?(n?1)d（2）an?am?(n?m)d（3）an=pn+q(p、q是常數)3．幾種計算公差d的方法：① d?an－an?1 ② d?an?a1 ③ d?an?amn?1n?m4．等差中項：A?a?b?a,b,成等差數列25．等差數列的性質： m+n=p+q ?am?an?ap?aq(m, n, p, q ∈N)6．數列的前n項和：數列?an?中，a1?a2?a3???an稱為數列?an?的前n項和，記為Sn.“小故事”1、2、3高斯是偉大的數學家，天文學家，高斯十歲時,有一次老師出了一道題目,老師說: “現在給大家出道題目: 1+2+?100=?”過了兩分鐘,正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10?算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+?+100=5050．”教師問：“你是如何算出答案的？”高斯回答說：“因為1+100=101；2+99=101；?50+51=101，所以 101×50=5050”這個故事告訴我們：（1）作為數學王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現和尋找出某些規(guī)律性的東西．（2）該故事還告訴我們求等差數列前n項和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法．

二、講解新課：

1．等差數列的前n項和公式1：Sn?n(a1?an)2證明： Sn?a1?a2?a3???an?1?an ①

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Sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ②

①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an)

∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

∴2Sn?n(a1?an)由此得：Sn?n(a1?an)． 2n(n?1)d ． 2 2． 等差數列的前n項和公式2：Sn?na1? 用上述公式要求Sn必須具備三個條件：n,a1,an．

但an?a1?(n?1)d 代入公式1即得： Sn?na1? 此公式要求Sn必須已知三個條件：n,a1,d

總之：兩個公式都表明要求Sn必須已知n,a1,d,an中三個． 公式二又可化成式子： Sn?n(n?1)d 2d2dn?(a1?)n，當d≠0，是一個常數項為零的二次式． 2

2三、例題講解

例

1、(1)已知等差數列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d;(2)等差數列-10，-6，-2，2，?前多少項的和是54？ 解：(1)172?8(4?a8)?a8?39 39?4?(8?1)d?d?5 2(2)設題中的等差數列為

?an?，前n項為

Sn 則

a1??10,d?(?6)?(?10)?4,Sn?54

由公式可得?10n?n(n?1)?4?54.解之得：n1?9,n2??3（舍去）2∴等差數列-10，-6，-2，2?前9項的和是54． 例

2、教材P43面的例1 解：

?的元素個數，并求這些元素的和． 例3．求集合M??m|m?7n,n?N*且m?1001002?14 77 ∴正整數n共有14個即M中共有14個元素 解：由7n?100得 n? 即：7，14，21，?，98 是a1?7為首項a14?98等差數列．

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14?(7?98)?735 答：略．

2例

4、等差數列?an?的前n項和為Sn，若S12?84,S20?460，求S28.∴ Sn?（學生練?學生板書?教師點評及規(guī)范）

練習：⑴在等差數列?an?中，已知a3?a99?200，求S101.⑵在等差數列?an?中，已知a15?a12?a9?a6?20，求S20.例4．已知等差數列{an}前四項和為21,最后四項的和為67,所有項的和為286,求項數n.解：依題意，得??a1?a2?a3?a4?21，?an?an?1?an?2?an?3?67, 兩式相加得(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?(a4?an?3)?88,又a1?an?a2?an?1?a3?an?2?a4?an?3,所以a1?an?2

2又Sn?n(a1?an)?286，所以n=26． 2例5．已知一個等差數列{an}前10項和為310,前20項的和為1220,由這些條件能確定這個等差數

列的前n項的和嗎？.思考：（1）等差數列中S10,S20?S10,S30?S20，成等差數列嗎？

（2）等差數列前m項和為Sm,則Sm、S2m?Sm.、S3m?S2m是等差數列嗎？

練習：教材第118頁練習第1、3題．

三、課堂小結：

1.等差數列的前n項和公式1：Sn?n(a1?an)； 2n(n?1)d． 22.等差數列的前n項和公式2：Sn?na1?

四、課外作業(yè)：

1.閱讀教材第42～44頁；

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