第一篇：《二倍角公式》教學反思

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教學反思

根據上級教育主管部門關于高效課堂走進職業教育的安排，我校近期組織相關教師開展了高效課堂在文化基礎課、專業課上的嘗試，作為高效課堂我校職業教育課堂的開始，我根據高效課堂教學模式的相關理論，在本班數學教學中展開了積極的實踐和探索。本節《二倍角的正弦、余弦、正切公式》新授課，正是對高效課堂的實踐和探索。

通過近期的教育教學實踐，我認識到高效課堂下的數學教學是否有效，并不是指教師有沒有教完內容或教得認真不認真，而是指學生有沒有學到什么或學生學得好不好。如果學生不想學或者學了沒有收獲，即使教師教得很辛苦也是無效教學。這就要求教師注重課堂這個沖鋒陷陣的主陣地，它不只是看你備課、上課的認真程度，更關注一個教師對課堂結構的把握，節奏的安排，時間的掌控以及對學生學習方法等等多方面的考慮。以下是我的一點體會：

一、課堂教學模式應簡單實用

教學中都是采用的“合作-探究”的教學模式。在教學中，老師引導，小組合作，共同探究，然后再做全班展示匯報。做匯報的學生要講出思路、講出方法、講步驟??，匯報展示之后，臺下的學生如果誰有疑問，誰就可以隨時站起來進行質疑，主講學生能釋疑的就進行講解，而老師則適時作出補充。這樣的課很有效率，教師講得很少，真正把課堂還給了學生，把時間還給了學生，把教師的“一言堂”變成了“群言堂”，為了讓學生真正成為課堂的主人，在數學教學過程中,對于學生的提問,教師不必作直接的詳盡的解答,只對學生作適當的啟發提示,讓學生自己去動手動腦,找出答案,以便逐步培養學生自主學習的能力,養成他們良好的自學習慣。課上教師應該做到三“不”：學生能自己說出來的，教師不說；學生能自己學會的，教師不講；學生能自己做到的，教師不教。盡可能地提供多種機會讓學生自己去理解、感悟、體驗，從而提高學生的數學認識，激發學生的數學情感，促進學生數學水平的提高。這樣的教學模式真正達到了“低耗時高效率”的教學目的，老師教得不累、教得輕松，學生學得快樂、學得扎實，并且效果相當好。同時也體現了以教師為主導，以學生為主體的教學思想。

二、其次教師要轉變教育教學的方式。

要注重學生實際，從學生的學習、生活實際出發，從學生的學習愛好、生活樂趣著手。新的課堂是不可能單純地依靠知識的傳承、講授、灌輸來形成的，必須改變教學策略和改進教學方法，改變學生的學習方式，把學什么變成怎么學，把被動地學轉為主動地去學。

三、在課堂教學上突出了精講巧練，做到堂上批改輔導和及時的反饋。

由于人數較多，學生的數學層次參差不齊，有針對性的輔導還不完善。另外學生學習的參與度還可以提高，體現在小組討論、新知識的舉例交流等合作學習，本班學生的學習方法比較單一，可加強學法的指導。

四、在數學教學過程中，討論是情感交流和溝通的重要方法。教師與學生的討論，學生與學生的討論是學生參與數學教學過程，主動探索知識的一種行之有效的方法。高效課堂要求教學要依照教學目標組織學生充分討論，并以積極的心態互相評價、相互反饋、互相激勵，只有這樣才能有利于發揮集體智慧，開展合作學習，從而獲得好的教學效果。我認為高效課堂下教師高超的教學藝術之一就在于調動學生的積極情感，使之由客體變為主體，使之積極地、目的明確地、主動熱情地參與到教學活動中來。

五、課堂上教師可以采用“小組合作學習”的教學形式，以小組成員合作性活動為主體。學生在小組內相互討論、評價、傾聽、激勵，加強學生之間的合作與交流，充分發揮學生群體磨合后的智慧，必將大大拓展學生思維的空間，提高學生的自學能力。另外，教師從講臺上走下來，參與到學生中間，及時了解到、反饋到學生目前學習的最新進展情況。學生出現了問題，沒關系，這正是教學的切入點，是教師“點”和“導”的最佳時機。通過學生的合作學習和教師的引導、啟發、幫助，學生必將成為課堂的真正主人。

六、在課堂教學過程中，真誠交流意味著教師對學生的殷切的期望和由衷的贊美。

期望每一個學生都能學好，由衷地贊美學生的成功。我認為，作為教師，應該在數學教學過程的始終，都要對學生寄予一種熱烈的期望，并且要讓學生時時感受到這種期望，進而使學生為實現這種期望而做出艱苦努力。教師在數學教學過程中以肯定和贊美的態度對待學生,善于發現并培養學生的特長,對學生已經取得或正在取得的進步和成績給予及時、充分的肯定評價,從而激發學生的自信心、自尊心和進取心,不斷將教師的外在要求內化為學生自己更高的內在要求,實現學生在已有基礎上的不斷發展。

七、高效課堂教學模式下要求教師在數學教學過程中充分理解和信任學生。

理解是教育的前提。在教學中教師要了解學生的內心世界，體會他們的切身感受，理解他們的處境。尊重學生，理解學生，熱愛學生，只要你對學生充滿愛心，相信學生會向著健康、上進的方向發展的

八、改變單純以成績高低評價學生的學習狀況的傳統評價手段，逐步實施多元化的評價手段與形式。

既關注學生知識與技能的理解與掌握，又關注學生情感與態度的形成與發展；既關注學生的學習結果，又關注他們在學習過程中的變化與發展。我所教班的學生生性好動任性，自制的能力比較差，學習基礎薄弱，為此，我在反復教育的基礎上，注意發掘他們的閃光點，并給予及時的表揚與激勵，增強他們的自信心。如孟文磊同學身有殘疾，平時不按時上交作業，但是該生課堂反應及時準確，我及時在班中表揚了他，使其感到不小的驚喜，并在之后的學習中更加積極。有好幾個學生如楊邦棟、景瞳、姜妍數學基礎較差，接受能力較弱，我反復強調會與不會只是遲與早的問題，只要你肯學。同時，我加強課外的輔導，想辦法讓他們體驗學習成功的喜悅。經過高效課堂的實施，我深感在教學的理念上、教師與學生在教與學的角色上、教學的方式方法上、師生的評價體系上都發生了根本的轉變，這都給教師提出了新的挑戰，因此，只有在教學的實施中，不斷地總結與反思，才能適應新的教學形勢的發展。

事實證明，小組互助學習在培養學生合作與交流能力的同時，調動了每一個學生的參與意識和學習積極性。不僅有助于學生的交流，而且對于后進生的轉化，尖子生的培養都是一種有利的形式。

九、我認為高效課堂的教學模式對傳統教學方式做出了以下五方面的重要和深刻的改革：

（一）、課堂教學模式的改革：改教師講學生聽的教學模式為學生先自主學習、教師據學情施教的模式。

（二）、教師工作方式的改革：改備課、上課、批作業為編制學案、查研學情、設計導引。

（三）、學生學習方式的改革：改學生先聽講后做練習的方式為學生先自主學習，再與教師互動交流的方式。

（四）、改革教案作業要求方式：改教案編寫為學案編寫，改作業為課堂過關檢測。

（五）、改革課堂布局模式：改過去人人面向黑板的座次布局為以六至八人為一組的小組同學圍坐布局，實施有助于小組互助學習的課堂布局。

總之面對高效課堂，教師要在數學教學過程中要轉變角色，掌握方法，適應高效課堂的教學模式的要求，把握高效課堂的教學模式的規律，認真總結并汲取正反兩方面的經驗教訓，學會關愛、學會理解、學會激勵、學會合作，這樣我們在高效課堂下的數學教學會更加流暢、更加有效，教師和學生都會有成功和快樂的體驗。

第二篇：二倍角公式教學設計方案

“二倍角的正弦、余弦、正切”教學設計

江門市荷塘職業技術學校 李苑華

教學內容：《數學》（普通高中課程標準實驗教科書，高教版），3.1.3節 設計理念：

我們是職業學校，學生上進心很強。不僅要掌握職業技能，還要參加高考，繼續深造。他們比一般學生要求更高。然而他們的基礎較低，教、學都要付出多倍努力。我所用的教學方法和手段符合學生的認知能力，效果很好。

在和角公式基礎上，探討研究特殊情況：兩個角相等，得到“二倍角”公式。例題教學體現了把未知變為已知的轉化數學思想。公式的運用，體現了由感性認識上升到理性認識的規律。

學生的求學，好比響鼓，還需重錘敲，特別引用名言勉勵學子上進。(一)、教學目標：

1.知識目標：從兩角和公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目標： 通過公式的推導，培養學生的邏輯推理能力。3.情感、態度與價值觀：強化參與意識，培養學生的綜合分析能力。

設計意圖：讓學生在求學路上有得學，聽得懂，學得到，用得上。

(二)、過程與方法:

1.過程：推導公式，再綜合運用公式。2.方法：用講授法和探究式教學。

設計意圖：運用從普遍性到特殊性的認知規律提，高解題的能力。

（三）、學情分析：

師生都很刻苦教、學，常常進行練習、檢測，經過反復的強化、記憶，學生對知識掌握較好，學習相當感興趣，他們是渴求學習的。

（四）、教材分析：

由和角公式，通過聯想，設問特殊況：兩個角相等，得出二倍角公式，學生知道和角公式與二倍角公式的聯系，由此及彼，由淺入深。

設計意圖：培養學生嚴謹的治學態度，勇于探索新知識的進取精神。

（五）、教學重點與難點分析：

重點：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式推導過程。難點：二倍角公式的綜合運用。

設計意圖： 職業班學生在他們的專業課中，更多地應用二倍角的知識，發揮本節內容對所學專業起的促進作用

（六）、教學過程

一、復習和角公式：

1、（學生回答）（1分鐘）

2、探究設問：當???時，公式的變化。（８分鐘）

教師推導

二、例題教學 例1 已知sin?=5?,<α

?2設計意圖：引導學生開拓思路，找到解題突破口。

方法：先觀察題目，找出二倍角關系。

過程：求出cos?, cos2?和tan2?用兩種方法求出來。

預期目標：公式學以致用，優選方法，采用計算量最小，最準確的一種。技巧歸納：從條件出發，順著問題的線索，展開公式的方法。

例2，求下列各式的值（５分鐘）

tan22.5?（1）sin22°30′cos22°30′(2)sin?cos

(3)2881?tan22.5?2?2?選題意圖：根據本班學生的知識水平，有必要加強公式運用。解題入手：觀察系數，符號變化，對比公式。思路點撥：仔細對照比較，設法轉化到能應用公式。

預期目標：對公式的正用、逆用，變形用都能舉一反三，應用自如。技巧歸納：根據式子結構特點，對公式有一個整體的感知，進行等價變形。

三、練習固鞏：（6分鐘）

① 已知sin(???)=,求cos2?的值。② 已知tan2?=,，求tan?

③ 高考接觸：（9分鐘）（2012年廣州二模文科）已知函數f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，(1)求函數f(x)的最小正周期。(2)若0????23513，0????2，且f(?2)?1?2,f()?,求sin(???)的值323

設計意圖：教會學生運用轉化的數學思想。

① 運用誘導公式，先把角進行化簡，就可應用二倍角公式，② 先用平方差公式，就可應用二倍角公式，求出周期。③

把未知的元素變為已知的元素。

預期目標：加深鞏固二倍角公式運用，培養學生思維的靈活性。

讓學生接觸高考題型，擴大知識面，解題融會貫通。

7、感悟小結：（1）、這節課你學到了什么知識，怎么獲得這些知識？

（2）、你在推導和應用公式中，用了什么數學思想方法？

設計意圖：（1）、讓學生懂得歸納本節課的的收獲，獲取知識的途徑。

（2）、讓學生總結領悟：好好學習，天天進步。

8、回顧反思的

二倍角公式，技巧性強，只要勤奮好學，熟能生巧。

設計意圖：教師時常反省教學，及時反饋，力求不斷完善，不斷提高。

數學家啟迪我們學習的方法：

學習數學要多做習題，邊做邊思考，知其然，知其所以然。——蘇步青

設計意圖：應用名人名句激勵學生，增強士氣。

9、課后作業的設計意圖

檢查學習質量，查漏補缺，鞏固學習成果。

分層次布置作業，讓一般能力的學生，完成基本的練習，有余力的學生，拓展創新，達到分槽喂馬的目的。

第三篇：二倍角公式的運用

學科：數學

教學內容：導數的應用

（一）【學習目標】

利用導數研究函數的切線、單調性、極大（小）值、函數在連續區間［a，b］上的最大（小）值，培養數學思維能力．

【高考試題剖析】

91．曲線y＝x在點（3，3）處的切線傾斜角α＝__________．

92923【解析】∵y′＝－x，∴y′|x＝3＝－x|x＝3＝－1，∴α＝4π．

3【答案】4π

x－x2．函數f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的單調性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），當x∈（0，＋∞）時，f′（x）>0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數． 【答案】增函數

3．函數y＝1＋3x－x3有（）A．極小值－1，極大值1

B．極小值－2，極大值3 C．極小值－2，極大值2

D．極小值－1，極大值3

2【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝±1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函數y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15

B．5，4

C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）檢驗知，當x＝2時，y極小＝－15．

又f（0）＝5，f（3）＝2×27－3×9－12×3＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面說法正確的是（）

A．函數在閉區間上的極大值一定比極小值大 B．函數在閉區間上的最大值一定是極大值

C．對于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<6，則f（x）無極值 D．函數f（x）在區間（a，b）上一定存在最值

【解析】極值是函數的局部性質，最值是函數的整體性質，因此，極大值不一定是最大值，A錯．由于函數的最值可能在端點取得，因此最大值不一定是極值，B錯．

22對于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，當|p|<6時無實根，而f（x）在R內可導，因此f（x）無極值．

【答案】C 【典型例題精講】

1［例1］研究函數f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的單調性，其中a≠0．

1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a

2?b?當a＞0時，f′（x）＞0，則x＜

2b?33a或

22x??b?b?33a，2?b?f′（x）＜0時，b?33a2?x??b?b?33ab?32，(??,所以f（x）在在[?b?b3a2?b?2b?33a],[?b?3a,??)上單調遞增，?3,?b?b3a?3]上單調遞減．

[當a＜0時，同樣可得f（x）在?b?b?3?b?b?3,]3a3a上單調遞增，b?3222?b?b?323a3a在（－∞，＋∞）上單調遞減．

432［例2］偶函數f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的圖象過點P（0，1），且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的極值．

【解】（1）∵f（x）是偶函數，∴b＝d＝0．又圖象過點P（0，1），則e＝1，此時f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1

① 又切線的切點（1，－1）在曲線上，∴a＋c＋1＝－1 ②

由①②得,],[?b?a?52,c??92，∴

f(x)?52x?4923x?12

（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝±10． 通過列表可知：

341當x＝±10時，f（x）極小＝－40

當x＝0時，f（x）極大＝1 1［例3］曲線y＝3x6上哪一個點的法線在y軸上截距最小?（所謂法線是指：過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線）

1【解】在曲線y＝3x6上任取一點（x，y），過該點切線的斜率為k＝2x5

1∴法線的斜率為－2x．

51∴法線的方程為Y－y＝－2x（z－x）

5Y?y?令z＝0，得法線在y軸上的截距：

12x4?x63?12x

4xx則

令Y′＝0，得x＝±1 當x＜－1時，Y′＜0，則Y單調減小； 當－1＜x＜0時，Y′＞0，則Y單調增加； 當0＜x＜1時，Y′＜0，則Y單調減小； 當x＞1時，Y′＞0，則Y單調增加； Y??2x?525?2(x105?1)51從而當x＝±1時，Y取得最小值為6，此時點（±1，3）為所求．

32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝±1時取得極值，且f（1）＝－1，（1）試求常數a、b、c的值；

（2）試判斷x＝±1是函數的極大值還是極小值，并說明理由．

【分析】考查函數f（x）是實數域上的可導函數，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數的關系，即極值點必為f′（x）＝0的根建立起由極值點x＝±1所確定的相關等式，運用待定系數法確定a、b、c的值．

2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝±1是函數的極值點

2∴x＝±1是方程3ax＋2bx＋c＝0的兩根． 由根與系數的關系知：

又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0

② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③

2．1333233f(x)?x?xx??(x?1)(x?1)22，∴f′（x）＝222（2）

當x<－1或x>1時f′（x）>0，當－1

【注】本題從逆向思維的角度出發，根據題設結構進行逆向聯想，合理地實現了問題的轉化，使抽象的問題具體化，在轉化的過程中充分運用了已知條件確定了解題的大方向．

［例5］證明方程sinx＝2x只有一個實根：x＝0．

【證明】構造函數f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．

∵f′（x）＝2－cosx>0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數． 由①、②、③解得：

a?1,b?0,c??3a?12,b?0,c??3又當x＝0時，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一實根x＝0． 【注】本題體現了函數思想的應用．

【達標訓練】

1．函數y＝（x2－1）3＋1在x＝－1處（）A．有極大值

B．有極小值 C．無極值

D．無法確定極值情況

22【解析】∵y′＝3（x－1）·2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但當x∈（－∞，－1）時，y′<0，當x∈（－1，0）時，y′<0，因此當x＝－1時無極值．

【答案】C 2．設y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，則a等于（）A．－1 B．1

C．0

D．任意實數 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函數y＝sin2x－x，x∈

[???,22上的最大值是___________，最小值是_________．

?32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±6

f(?而端點?6)??32??6,f(?6)???6 ,f(??2)??,f()??222

??????所以y的最大值是2，最小值是－2．

【答案】2 －2

4．如果函數f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上單調遞增，則a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞0

1∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．

1【答案】＞3

5．求證：當|x|≤2時，|3x－x3|≤2． 【證明】設f（x）＝3x－x3

22f′（x）＝3－3x＝3（1－x）當x＝±1時，f′（x）＝0 當x＜－1時，f′（x）＜0 當－1

16．設f（x）＝x－2x－2x＋５

（1）求函數f（x）的單調遞增、遞減區間；

（2）當x∈［－1，2］時，f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．

22∴函數的單調增區間為（－∞，－3）、（1，＋∞），單調減區間為（－3，1）（2）原命題等價于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．

2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．

27．求函數y＝xlnx的極值． f(?1)?11,f(?2)?522,f(1)?72，1【解析】定義域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x·x＝x（2lnx＋1）．

2?12?12?12?12令y′＝0，得：x＝e時，y′>0，?12，當0e∴y在（e?12，＋∞）上是增函數．

?1211∴x＝e時，y有極小值（e）2（－2）＝－2e．

【解題指導】

掌握求給定函數的單調區間、極值、最值的一般方法，會求已知曲線在指定點處的切線的斜率．

【拓展練習】 備選題

1．求y＝excosx的極值．

?【解】y′＝ex（cosx－sinx），令y′＝0，即cosx－sinx＝0，得x＝2kπ＋4或x＝52kπ＋4π，k∈Z．

?35當x∈（2kπ＋4，2kπ＋4π）（k∈Z）時，y′<0，f（x）為減函數；當x∈（2k??π－4π，2kπ＋4），k∈Z時，y′>0，f（x）為增函數，因此，當x＝2kπ＋4（k2∈Z）時，y有極大值2·e2k???4（k∈Z）．

52當x＝2kπ＋4π（k∈Z）時，y有極小值－2·e（k∈Z）．

322．已知f（x）＝2x－6x＋m（m為常數），在［－2，2］上有最大值3，那么此函數在［－2，2］上的最小值為（）

A．－37

B．－29 C．－5

D．－11

2【解析】∵f′（x）＝6x－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或2．

∵f（0）＝m，f（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，有f（0）>f（2）>f（－2）∴m＝3，最小值為f（－2）＝－37． 【答案】A 3．函數y＝3x2－2lnx的單調增區間為_____；減區間為_____． 【解析】函數的定義域為：（0，＋∞）

42k??5?2300，得x>3，∴單調增區間為（3，＋∞），由y′<0，得

3∴單調減區間為（0，3）．

33【答案】（3，＋∞）（0，3）

4．求曲線y＝4－x2（x>0）上與定點P（0，2）距離最近的點． 【解】設曲線y＝4－x2上任意一點為Q（x，y），則

?4|PQ|＝

2423設f（x）＝|PQ|＝x－3x＋4，則f′（x）＝4x－6x＝2x（2x2－3）(x?0)?(y?2)22?x2?(2?x)22?x4?3x23令f′（x）＝0，∵x>0，∴x＝

32，又當0

32時取極小值，因為f（x）只有一個極3當x>2時，f′（x）>0，∴f（x）在x＝

35,值點，因此該極小值也是最小值，相應地|PQ|也取得最小值，這時Q點坐標為（22），35,22）即與點P（0，2）最近的點是Q（．

注：如果函數f（x）在給定區間內只有一個極值點（單峰函數），那么極小值即為最小值，極大值即為最大值．

學科：數學 教學內容：導數的應用

（二）【學習目標】

利用導數求解一些實際問題的最大值和最小值，培養學生分析問題、解決問題的能力．

【高考試題剖析】

x?1）的單調性是______________．

lgelgex2?(1?x?x)??(1?)222x?x?11?x 【解析】y′＝x?x?1lge??021?x，所以f（x）在R上是增函數． 1．函數f（x）＝lg（x＋【答案】增函數

212．已知一直線切曲線y＝10x于x＝2，且交此曲線于另一點，則此點坐標___________．

313【解析】∵k＝y′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝1.2 又切點為（2，0.8），切線方程為6x－5y－8＝0

?x?2?x??4,??聯立解得?y?0.8?y??6.4 所以另一交點為（－4，－6.4）． 【答案】（－4，－6.4）

3．等邊三角形當高為8 cm時，其面積對高的改變率是__________． 13?x?y?10??6x?5y?8?0?1【解析】∵S＝162163h2，∴S′＝3h ∴S′|h＝8＝3

【答案】3

4．函數y＝x3＋3x2－24x＋12的極小值是_____．

【解析】∵y′＝3x2＋6x－24＝3（x2＋2x－8）＝3（x＋4）（x－2）令y′＝0，得x＝－4或x＝2，檢驗知：當x＝2時，y取極小值－16． 【答案】－16

【典型例題精講】

1［例1］當x＞0時，證明ln（1＋x）＞x－2x．

21【證明】設f（x）＝ln（1＋x）＋2x2－x，其定義域為（－1，＋∞），1x?1f′（x）＝x?1

∴f（x）在（－1，＋∞）上是增函數

由增函數定義知：當x＞0時，f（x）＞f（0）＝0 1即ln（1＋x）＋2x2－x＞0 ?x?1?x2?01所以當x＞0時，ln（1＋x）＞x－2x．

［例2］設f（x）＝ax3＋x恰有三個單調區間，試確定實數a的取值范圍，并求出這三個單調區間．

2【解】∵f′（x）＝3ax＋1，若a>0，則f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），此時f（x）只有一個單調區間，矛盾；若a＝0，則f′（x）＝1>0，此時f（x）仍只有一個單調區間．

2(x?若a<0，f′（x）＝3a·

1?3a)(x?11?3a，綜上可知a<0時，f（x）恰有

11?3a，＋∞），增區間為（－

?3a)三個單調區間，其中減區間為（－∞，－

?3a）和（，1?3a）．

［例3］用總長14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m，那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積? 【解】設容器底面短邊長為x m，則另一邊長為（x＋0.5）m，高為（3.2－2x）m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6 設容器的容積為y m3，則有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0＜x＜1.6)

整理y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6

4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．

從而，在定義域（0，1.6）內只有在x＝1處使y′＝0，由題意，若x過小（接近0）或過大（接近1.6）時，y值很小（接近0），因此，當x＝1時，ymax＝1.8，此時高1.2 m．

3【答】容器的高為1.2 m時容積最大，最大容積為1.8 m． ［例4］一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最小？

33【解】設船速為x（x>0）公里/小時，燃料費是Q元，則Q＝kx，由6＝k·10得：k3＝500，331∴Q＝500x3，總費用y＝（500x2＋96）·x?3500x?2966x，∵y′＝500x?96x，2令

y′＝0，得x＝20，由于該函數在（0，＋∞）內有惟一的極值點是極小值點，所以該極小值是最小值．因此，當船速為20公里/小時時，航行每公里的費用總和最小．

［例5］直線y＝a與函數f（x）＝x3－3x的圖象有相異三個交點，求a的取值范圍．

2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）>0得單調增區間為（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）<0得單調減區間為（－1，＋1），檢驗知x＝1時，f（1）＝－2是極小值，當x＝－1時，f（－1）＝2是極大值，結合圖象知：

當－2

【達標訓練】

1．證明雙曲線xy＝a2上任意一點的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為定值．

a2【證明】設y＝x上任一點為Q（x0，y0），則

k?y?|x?x??0ax22|x?x??0a22x0，∴切a22線方程為：y－y0＝－x0（x－x0）

令y＝0，則x?x0?y0x0a22?x0?ax0a222?2x0

y?y0?令x＝0，則

a2x02

?x0y0?ax0?2a2x0

1∴S＝2|x|·|y|＝2a（定值）

?22．當0

?【證明】令f（x）＝x－sinx，則當0＜x＜2時，f′（x）＝1－cosx＞0 ?∴f（x）在（0，2）上單調增加，而f（0）＝0，?∴當0＜x＜2時，f（x）＞0，即x＞sinx

222令ｇ（x）＝sinx－?x，∴ｇ′（x）＝cosx－?

當0＜x＜arccos?時，ｇ′（x）＞0，則ｇ（x）單調增加；

2?＝0

?當arccos?＜x＜2時，ｇ′（x）＜0，則ｇ（x）單調減小，而f（0）＝f（2）?2∴當0＜x＜2時，ｇ（x）＞0，即sinx＞?x．

2?綜上，當0＜x＜2時，?x＜sinx＜x．

?3．如圖11—1，扇形AOB中，半徑OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延長線上有一動點C，過C作CD與相切于點E，且與過點B所作的OB的垂線交于點D，當點C在什么位置時，直角梯形OCDB面積最小？

【解】設OC＝x（x＞0），過D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC

22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－

x?1

1221∴S＝2（BD＋OC）·OB＝2（2x－x?1）

x2∴S′＝1－2x?1＝0，∴x＝23

2所以當OC＝3時，直角梯形OCDB面積最小．

4．如圖11—2，兩個工廠A、B相距0.6 km，變電站C距A、B都是0.5 km．計劃鋪設動力線，先求C沿AB的垂線至D，再與A、B相連，D點選在何處時，動力線最短？

【解】設CD⊥AB，垂足為E，DE的長為x km．

由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5得CE＝0.5?0.3＝0.4，CD＝0.4－x AD＝BD＝x?0.3動力線總長l＝22222x?0.3＋0.4－x

2x2222?1?2x?2x?0.3x?0.3222l′＝（2x?0.3＋0.4－x）′＝2·2x?0.33．

令l′＝0，得x＝10≈0.17，由于該函數只有這一個極值點．因此它是最小值點． 【答】D點選在距AB0.17 km處時，動力線最短．

【解題指導】

應用導數解決實際問題，關鍵是要建立恰當的數學模型（函數關系）．如果函數在區間內只有一個點使f′（x）＝0的情形，此時函數在此點有極大（小）值，那么不與端點比較，也可以知道這就是最大（小）值．

【拓展練習】 備選題

1．已知x、y為正實數，且滿足關系式x2－2x＋4y2＝0，求x·y的最大值．

1【解法一】4y＝2x－x，∵y>0，∴y＝2

222x?x2

?x?0?2x2x?x2x?x?0∴xy＝2，由?得0

12?2xx(3?2x)2(2x?x?x?)?22222x?x22x?x∵f′（x）＝

312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）

3333333檢驗知x＝2是極大值點，由極值點是惟一的，知當x＝2時，函數f（x）的最大值為f（2）＝8，即x·y的最大值為8．

2222【解法二】由x－2x＋4y＝0，得（x－1）＋4y＝1（x>0，y>0）

1設x－1＝cosα，y＝2sinα（0<α<π）

111111333∴xy＝2sinα（1＋cosα），設f（α）＝ 2sinα（1＋cosα）

則f′（α）＝ 2［sinα（－sinα）＋cosα（1＋cosα）］＝2（2cos2α＋cosα－1）＝（cosα＋1）·（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2

??3338333∵0<α<π，∴α＝3，此時x＝2，y＝4，∴［f（α）］max＝8，即當x＝2，y＝4時［x·y］max＝8． 2．如圖，一條河寬1千米，相距4千米（直線距離）的兩座城市A和B分別位于河的兩岸（城市A、B與岸邊的距離忽略不計），現需鋪設一條電纜連通城市A與B，已知地下電纜的修建費為2萬元／千米，水下電纜的修建費為4萬元／千米．假設兩岸是平行直線，問應如何鋪設電纜可使總費用最省?（15?3.813,f()?333?1.732，精確到百米、百元）

【解】過B作對岸所在直線的垂線，垂足記為O，設在到O距離為x km的點C，分別鋪設BC、CA間的水下、地下電纜可使費用最省．則BC＝x?1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，總費用為y，則y＝2（15－x）＋41?x（0≤x≤15）

4x求導y′＝1?x21－2，令y′＝0，∴x＝

1所以當x＝3＝0.6千米時，費用最省． x23．過曲線4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一點引切線分別與x軸正半軸和y軸正半軸交于A、B兩點，求當線段|AB|最小時的切點坐標．

【解】設|AB|＝l，切點為P（x0，y0），則所求切線方程為：x0x＋4y0y－4＝0（x0>0，y0>0），16141?22x0y0x0y02切線在x軸、y軸上的截距分別為、，∴l＝，∵P（x0，y0）在曲線上，∵y＝1?x24，∴

y?|x?x??0x04y0x02∴y02＝1－4，164?22x04?x02∴l＝（0

16令Y＝l＝2x02?44?x0232x（0

2226當Y′＝0時，有x0＝得極小值，也是最小值．

3，在（0，2）內Y只有一個極值點，檢驗知，在這點Y取26∴當x0＝

3時，l2取得最小值9，∴l的最小值為3，此時，y0＝3，切點為326（3,33）．

第四篇：《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》的教學反思

《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》的教學反思

永康市第六中學 吳 娃

《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》是必修四中3.1.3中的一節內容，本節課內容共安排了2課時，我上的是第一課時。本節課的實施從整體上說是比較順利的，教學目標基本達到。為遵循“以學生為主，教師為輔”的原則，在我的引導下，學生的思維活動展開的比較充分，在課堂上學生積極參與，積極探索，學習的熱情較高，在對公式的理解，思想方法分析能力,邏輯的體會，以及運算推理能力的提高等方面都有較大的進步。針對上課情況反映出來的問題，現在我談談在上完這節課之后的感想，作一小結和反思，以便更好的服務于課堂教學。

一、教學要求分析

1、熟練掌握正弦、余弦和正切的和角公式，并在此基礎上推導出二倍角公式。

2、掌握正弦、余弦和正切的二倍角公式，能靈活運用相關公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值及恒等式證明。

3、通過公式的推導，了解各公式的內在聯系，培養學生的邏輯推理能力。

二、教學內容分析

二倍角公式這一節內容在本章中是一重點。首先，二倍角公式是和角公式的特殊形式，同時，二倍角公式又可以和后面的半角公式聯系起來，所以二倍角公式的地位是顯而易見的。其次，二倍角公式的應用也比較廣，在三角函數式的計算、化簡、求證及簡單應用中都會涉及到。最后，二倍角公式的證明本身就是一種化歸的數學思想。

三、教學過程分析

（一）情景導入自然

課本中二倍角的推導本節課公式的推導相當簡單，開門見山地在兩角和與差的正弦、余弦、正切公式中把?看成?，從而得到二倍角的正弦、余弦、正切公

sin2??2sin?,cos2??2cos?,tan2??2tan?,式。而學生容易犯的錯誤是

所以先讓學生有一個直觀的認識，這幾個等式是不一定成立的，從而引出二倍角公式的相關內容。

（二）例子有效變式

本節課共有兩個例子，兩個例子圍繞變換的目標，變換的內容，變換的方法，變換的結果，都在原例子的基礎上變了形，然后增加了變式，同時要求學生能舉一反三，通過對例子的講解，能對變式訓練進一步掌握，從而能夠對二倍角公式的靈活應用！

（三）練習層次分明

為使學生熟悉公式，并做到對公式的深刻理解，我設計了三個梯度。梯度一：倍角的相對性；梯度二：熟練公式結構；梯度三：靈活應用公式。由簡到難，從簡到繁，層層推進，這樣遵循學生認知規律，明晰學生思維特點及能力，在學習中充分體現學生的主體性及獨立性，并且給予學生足夠的時間及空間去體驗學習過程。

（四）師生互動良好

學生是課堂的主人，所以要把課堂還給學生。我也朝這個方向努力，學生能自己解決的問題讓學生自己解決，所以本節課師生互動還可以。同時，為了給學生增加信心，每節課開始我們都有一個默認“儀式”---加油（鼓掌2次）-加油（鼓掌2次）-加油加油加油（鼓掌6次），這樣既可以鼓舞士氣，又可以提醒學生已上課！并在課堂學生回答問題時經常鼓勵學生，提高他們學習數學的興趣。

（五）多媒體使用恰當

在上課之前，花了很多心思在做課件上，所以課件還算精美！特別在推導二倍角公式過程中，能夠直觀、形象地顯示出推導變換過程，學生容易明白其中原委。并且為了節約時間，上課時把學生的演算過程用投影儀多次投象，這樣，學生既可以看清楚同學的做題思路，又可以糾正錯誤的地方！

（六）情感飽滿語言豐富

蘇霍姆林斯基曾說：“有激情的課堂教學，能夠使學生帶著一種高漲的激動的情緒從事學習和思考。”激情有著豐富的內涵，它能夠喚醒沉睡的潛能，打開封存的記憶，激活僵化的思維，放飛囚禁的心情，在課堂教學中老師要用自己的激情和智慧為學生創設一個民主的、開放的課堂。語言幽默風趣，肢體語言豐富，這著實給課堂帶來活躍的氣氛。

（七）不足之處

1、一堂課下來雖然比較順暢，但在把握一堂課里的重難點還需再斟酌。本節課主要解決什么問題？一定要弄清楚。

2、在例子的選擇上還可以再推敲。不僅僅要具有代表性，更需要提供解題的思路與方法。

3、在課堂中，基本上能調動學生的積極性，讓學生參與的教學中。但在如何更有效的提問還可以再商榷。

4、課堂時間的安排能否更加合理。讓學生可以多動腦，多動手！老師霸占課堂的時間不要過多。把課堂真正的還給學生。

四、今后努力方向

在今后的教學工作中，需不斷總結、反思。作為數學教師，一方面要激發學生學習數學的興趣，讓學生感覺到每解決一個數學問題，就有一種成就感；另一方面，更重要的是教師本人要不斷提高自己的專業素養。在總結、反思中不斷提升自己的教學水平，以適應課程改革的教學需要。

第五篇：二倍角公式及其應用

二倍角公式及其應用

郴州綜合職業中專

張文漢

教學目的：

引導學生導出二倍角的正弦、余弦以及正切公式并且能夠熟練掌握其應用 教學重點：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式 教學難點：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式的變換及公式的應用，特別是逆應用公式 引入：

回顧正弦、余弦以及正切的和角公式：

sin??????sin?cos??cos?sin? cos??????cos?cos??sin?sin?

tan??????tan??tan?1?tan?tan?

要求：

掌握三個公式的形式與結構并熟記公式 新授：

一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的導出

在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中

以“?”代“?”得二倍角的正弦、余弦以及正切公式如下：sin2??2sin?cos?，cos2??cos2??sin2?，tan2??2tan?1?tan2?, 另外、根據sin2??cos2??1可得二倍角的余弦的另外兩個公式：

cos2??2cos2??1，cos2??1?2sin2?.二、應用訓練 ㈠、公式的正用：

已知cos???34,???1800,2700?,求sin2?、cos2?的值.解：因為cos???3,??1800,2700,4???3?132

所以，sin???1?cos2???1????????4??4,所以，sin2??2sin?cos??2???13??3???4??????4??39??,???82

cos2??2cos2??1?2???3????4???1??5.?8㈡公式的反用：求下列各式的值

?1?2sin22.50cos22.50

?2?sin150cos150 ?3?2cos222.50??4?1?sin25?212

解?1?原式?sin(2?22.50)?sin450?22.解?2?原式?12?2sin150cos150??11112sin300?2?2?4 解?3?原式?cos(2?22.50)?cos450?22.解?4?原式?1?2??1?2sin25??15?12???2cos6

?1??1?132cos?????6????2cos6??2?2??34.㈢公式的靈活運用：化簡或求值

?1?化簡：21?sin8?2?2cos8;?2?求值：cos?2?4?17cos17cos17cos8?17.?sin??2sin2?3?已知tan2??22，且???0,??，求2?1的值.2cos?????4????解?1?原式?21?2sin4cos4?2?2?2cos24?1?

?2?sin4?cos4?2?4cos24

??2?sin4?cos4??2cos4??2?sin4?2cos4?.因為，sin4與cos4皆為負.2?4?8?coscos1717171717 解?2?原式??24sin172?2?4?8?4?4?8?23sincoscoscos22sincoscos17171717?171717 ???24sin24sin17178?8?16???2sincossinsin(??)sin1717?17?17?17?1.?????1624sin24sin24sin24sin171717172tan?解?3?：因為tan2??22,所以?22, 21?tan?24sincoscos??整理得：2tan2??tan??2?0,解之，得tan??2或tan???2, 22???若???0,?，則tan??，此時2?2?2 ?1sin??cos?tan??1原式????2?22?3;cos??sin?tan??12?12tan??1?2?1???若???,??，則tan???2，此時 原式???3?22.tan??1?2?1?2?

三、課堂練習

求下列各式的值：?1?sin67.50cos67.50;?2?sin750cos150.四、課堂小結：

1、二倍角公式的導出；

2、二倍角公式的熟練應用；

3、二倍角公式的靈活應用.五、作業：

已知等腰三角形的一個底角的正弦值等于0.6,求這個等腰三角形的頂角的正弦、余弦值.六、課后思考訓練

???

1、求值：sin60sin420sin660sin780;

2、已知sin??cos2?,???,??,求tan?;?2?

22sin??sin2?????

3、已知?k,???,?,試用k表示sin??cos?的值.1?tan??42? 3