第一篇：實變函數證明題

證明題由直線上互不相交的開區間作為集合A的元素，則A至多為可數集。證明區間上的單調增加函數的不連續點最多只有可數多個。設{A?|???},{B?|???}是兩個集族.若????,A??B?,且

A??A???,B??B???,(???,?,???), 則?A???B?.??????

4設f:X?Y, 則f是單射當且僅當?A,B?X,f(A?B)?f(A)?f(B).5 設M[0,1]是[0.1]上全體實函數所成之集, 證明M[0,1]?2證明數軸上一切閉區間所成之集的基數為c.設A?B?c,則A?c或B?c設f:X?Y, 則f是單射當且僅當?A?X,A?f?1[0,1].[f(A)].設f:X?Y, 則f是單射當且僅當?A?X,f(X?A)?f(X)?f(A).10 設f:X?Y,f(X)?Y??C?Y,f[f?1(C)]?C.設A是可數集,則A的一切有限子集所成之集是可數集.12證明每一個閉集必是可數多個開集的交集。

13證明f(x)為[a, b]上連續函數的充要條件是對任意實數c，集E?{x|f(x)?c}和

E1?{x|f(x)?c}都是閉集。明直線上非空開集的任何兩個不同的構成區間必不相交。間（a,b）上任何兩個單調函數，若在一稠密集上相等，則它們有相同的連續點． 16 證明x?E??x?E?{x}證明E?為閉集.證明f(x)為(a,b)上連續函數的充要條件是對任意實數c，集E?{x|f(x)?c}和

E1?{x|f(x)?c}都是直線上的開集。證明x?E??d(x,E?{x})?0.證明任何非空閉集可表示為可數個開集的交.證明Rn中的孤立點集至多可數.

第二篇：實變函數復習思考題

實變函數復習思考題

1.基本概念

（1）補集,可數集合,內點,集合E的內部intE,外點,邊界點, 集合E的邊界?E聚點,集合E的導集E?, 集合E的閉包E,孤立點,開集和閉集的概念.（2）集合對等,集合外側度,可測集,可測函數,處處收斂,幾乎處處收斂,近一致收斂和依測度收斂的概念.2.基本定理

（1）Demorgan律.（2）直線上開集的構造定理.（3）葉果洛夫(Eropob)定理.(4)魯津定理.(5)集合G為開集的幾個等價條件.(6)集合F為閉集的幾個等價條件.3.基本計算

（1）集列?En???

n?1的上限集limAn和An下限集的計算.n??n??

（2）計算康托集G0的測度為1.4.基本證明

(1)設x0?Rn為一給定點,d(x,x0)指Rn中任意一點x到x0的距離.證明d(x,x0)是Rn上的連續函數.(2)證明康托集P0的外測度為零,從而證明P0是可測集.(3)設S?Rn.如果對任意的正整數k,存在可測集Ek?S?Rn使得m??S?Ek??1,證明S是可測集.k

E={x?R|f(x)?a}(4)設f(x)是R上的實值連續函數，對任意a?R，證明：

是開集.(5)設x0?Rn且S?Rn.記PS(x0)?{x?Rn:d(x0,x)?d(x0,S)}，其中d(x0,S)?infd(x0,y).證明:若S為閉集,則PS(x0)為一非空集.y?S

第三篇：實變函數

課程編號： 568

課程名稱：實變函數（含度量空間）

一、考試的總體要求

實分析是近代分析數學的基礎，考試以實分析的基本知識為主，掌握可測函數與勒貝格積分的定義、性質及相關定理。

二、考試內容及比例

集合及其運算，映射，可數集，度量空間，開集、閉集、內部、閉包，稠密與可分。度量空間中的收斂序列，連續映射。完備的度量空間，Banach壓縮映射定理。緊度量空間。無處稠密集，綱定理。占60%.點集的Lebesgue測度，可測集的性質，可測函數，可測函數的幾個重要定理。Lebesgue積分的定義及性質，一般可積函數，積分的極限定理，Fubini定理，有界變差函數，L^p空間。占40%.三、試卷題型及比例

填空題與簡答題占40%，證明題占60%.四、考試形式及時間

考試形式為筆試?？荚嚂r間為40分鐘（滿分40分）。

五、主要參考教材

1、勒貝格積分與泛函分析基礎，熊洪允等，高等教育出版社，1992年。

2、實變函數論與泛函分析，夏道行等，人民教育出版社，1979年。

3、實變函數與泛函分析概要，鄭維行、王聲望，人民教育出版社，1980年。

第四篇：實變函數網上教學活動文本2005

實變函數網上教學活動文本（2005.12.15）

大家好！這里進行的是實變函數教學活動。

直播課堂：11月18日，許教授在中央電大直播課堂作了一講期末復習，大家可以注意看一下。

實變函數章節復習要點

第1章主要內容．

本章所討論的集合的基本知識是集合論的基礎，包括集合的運算和集合的基數兩部分.主要內容有：

一、集合的包含關系和并、交、差、補等概念，以及集合的運算律．

關于概念的學習，應該注意概念中的條件是充分必要的，比如，A?B當且僅當x?A時必有x?B．有時也利用它的等價形式：A?B當且僅當x?B時必有x?A．在證明兩個集合包含關系時，這兩種證明方式可視具體問題而選擇其一．

還要注意對一列集合并與交的概念的理解和掌握．x??An當且僅當x屬于這一列集

n?1?合中的“某一個”（即存在某個An，使x?An），而x??An當且僅當x屬于這一列集合中

n?1?的“每一個”（即對每個An，都有x?An）．要熟練地進行集合間的各種運算，這是學習本章必備的基本技能.讀者要多做些這方面的練習．

二、映射是數學中一個基本概念，要弄清單射、滿射和雙射之間的區別與聯系． 對集合基數部分的學習，應注意論證兩個集合對等技能的訓練，其方法主要有下面三種：一是依對等的定義直接構造兩集間的雙射；二是利用對等的傳遞性，如欲證A~C，已知A~B，此時只須證B~C；三是應用有關定理，特別是伯恩斯坦定理，它是判斷兩個集合對等的常用的有效方法．

三、可列集是無限集中最重要的一類集合，它是無限集中基數最小者.要掌握可列集的定義和運算性質，有理數集是可列的并且在直線上處處稠密，這是有理數集在應用中的兩條重要性質.四、連續集及其運算性質.要掌握長見的連續集的例子，知道基數無最大者.第2章主要內容． 本章討論的點集理論，不僅是以后學習測度理論和新積分理論的基礎，也為一般的抽象空間的研究提供了具體的模型.一、本章我們從R中的距離和鄰域的概念出發，首先定義了相對于某個給定集

nE?Rn的幾種不同類型的點：內點、聚點、孤立點、邊界點.它們彼此之間的關系可用圖示如下：

其中內點和聚點更常用些.關于聚點，我們還給出幾個等價條件(定理2.1.1和定理2.1.2)，讀者要熟練的掌握和運用.二、開集、閉集和完備集是本章的重要內容.在開集、閉集和完備集的性質和直線上開集構造的討論中，開集是基礎，因為閉集是開集的補集，完備集是一種特殊的閉集，所以弄清了開集的性質，閉集和完備集的性質和構造也就自然得到了.三、康托集是本章給出的一個重要例子.對它的一些特殊性質，在直觀上是難以想象的，比如它既是不包含任何區間的完備集，同時它還具有連續基數c，第3章中我們還證明了它的測度為零.正是因為它的巧妙構思和奇特性質常常為構造一些重要的反例提供啟示.四、本章中介紹的聚點存在定理，即波爾察諾一維爾斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆蓋定理(定理2.2.5)和距離可達定理(定理2.4.1)，要弄清定理條件并會靈活運用.第3章主要內容．

本章主要討論R中點集的測度，它是建立勒貝格積分的基礎.一、外測度和可測集是本章的兩個主要概念，關于可測集的定義，主要使用的是定義3.2.3(即卡氏條件)．因為可測集的測度等于其外測度，所以外測度性質(定理3.1.1)對可測集都適用．因此對外測的性質要熟練掌握．

二、可測集的運算性質是本章的重要內容．可測集類在有限次或可列次并、交、補運算之下是封閉的．可測集的可列可加性(定理3.2.4)和單調可測集列極限的測度(定理3.2.5和定理3.2.6)的結果在后面的學習中會時常用到．

三、關于可測集的構造是本章的又一重要內容.勒貝格可測集是由波雷爾集和測度為零的集的全體所構成的可加集族(定理3.3.8).我們還討論了勒貝格可測集同開集、閉集、G?型集和F?型集之間的關系.這些關系一方面從不同的角度劃了勒貝格可測集，另一方面也提供了用較簡單的集合近似取代勒貝格可測集的途徑.本章中，我們沒有介紹勒貝格不可測集的例子.同學們只須知道：任何具有正測度的集合一定含有不可測子集.第4章主要內容．

為了建立勒貝格積分理論的需要，本章討論一類重要的函數——可測函數.它一方面和我們熟悉的連續函數有密切的聯系，同時又在理論上和應用上成為足夠廣泛的一類函數.一、可測函數的概念及其運算性質是本章的重要內容.可測函數的定義及給出的一些充要條件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判斷函數可測的有力工具，應該熟練地掌握和應用它們.可測函數關于加、減、乘、除四則運算和極限運算都是封閉的.可測函數上、下確界函數和上、下極限函數還是可測的，所有這些性質反映了可測函數的優越性和應用中的方便之處.二、可測函數列的收斂性也是本章的重要內容之一.幾乎處處收斂和依測度收斂是勒貝格積分理論中經常使用的兩種收斂形式.葉果洛夫定理揭示了可測函數列幾乎處處收斂與一致收斂之間接關系.通過這個定理，可以把幾乎處處收斂的函數列部分地“恢復”一致收斂，而一致收斂在許多問題的研究中都n起著重要作用.勒貝格定理(定理4.3.2)告訴我們：在測度有限的集合上，幾乎處處收斂的可測函數列必是依測度收斂的，反之并不成立.然而，黎斯定理(定理4.3.3)指出：依測度收斂的可測函數列必有幾乎處處收斂的子序列.三、可測函數的構造是本章的又一重要內容.一般常見的函數，如連續函數，單調函數等都是可測函數.然而，可測函數卻未必是連續的，甚至可以是處處不連續的(如迪里克雷函數).所以，可測函數類比連續函數類要廣泛得多.而魯金定理指出了可測函數與連續函數之間的關系，通過這個定理，常常能把可測函數的問題轉化為關于連續函數的問題來討論，從而帶來很大的方便.四、關于論證方法和技巧方面也有不少值得注意的.如定理4.2.6證明中的構造方法是富有啟發性的；葉果洛夫定理證明中的思想和分析的方法以及魯金定理證明中先考慮簡單函數、然后再往一般的可測函數過渡，這種由特殊到一般的證明方法在許多場合都是行之有效的.第5章主要內容．

本章的中心內容是建立一種新的積分?? 勒貝格積分理論．它也是實變函數數論研究的中心內容．

一、關于勒貝格積分的建立．

本章首先引入測度有限點集上有界函數的積分，這是全章的基礎，建立有界函數的積分時應注意兩點：一是黎曼積分意義下的積分區間，現已被一般點集所代替；二是分劃的小區間長度，現已被點集的測度所代替．

一般集合上一般函數的積分是通過兩步完成的．第一步是建立非負函數的積分．它是通過非負函數表示為有界函數列的極限、把無窮測度集合表示為測度有限集列的極限來完成的．第二步是建立一般函數的積分，它是將其分解兩個非負函數(正部與負部)的差的辦法來完成的．

二、勒貝格積分的性質．勒貝格積分的性質主要反映在以下幾個方面：

(1)勒貝格積分是一種絕對收斂積分，即f(x)在E上可積當且僅當f(x)在E上可積(f(x)在E上可測)．這是它與黎曼積分重要區別之一．

(2)勒貝格積分的絕對連續性．設f(x)在E上可積，則對任意??0，存在??0，使當e?E且 me??時，恒有

?f(x)dx??

e(3)勒貝格積分的唯一性．即

?Ef(x)dx?0的充要條件是f(x)?0a.e.于E．由此可知，若f(x)與g(x)幾乎相等，則它們的可積性與積分值均相同．

(4)可積函數可用連續函數積分逼近．設f(x)是可積函數，對任意??0，存在[a,b]上的連續函數?(x)，使 [a,b]?f(x)??(x)dx??

此外尚有許多與黎曼積分類似的性質，如線性性、單調性、介值性等，望同學們自己總結、比較．

三、關于積分極限定理．積分極限定理是本章的重要內容，這是由于積分號下取極限和逐項積分，無論在理論上還是應用上都有著十分重要的意義．其中勒貝格控制收斂定理(定理5.4.1)，列維漸升函數列積分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在現代數學中都有廣泛的應用．

同學們不難發現，與黎曼積分相比較，勒貝格積分與極限換序的條件大大減弱，這也是勒貝格積分優越于黎曼積分的重要之處．

四、關于勒貝格積分同黎曼積分之間的關系．我們知道，若[a,b]上的有界函數f(x)黎曼可積，則必勒貝格可積且二者積分值相等．

值得注意的是，上述結論對于廣義黎曼積分并不成立．實際上，廣義黎曼可積函數成為勒貝格可積的充要條件是該函數廣義黎曼絕對可積．

關于勒貝格積分的計算，一般是應用積分的定義借助于積分的性質將其轉化為黎曼積分．

五、勒貝格重積分換序的富比尼定理指出，只要f(x,y)在R?R上可積即可將重積分化為累次積分．特別是對非負可測函數來說，可無條件換序，這是勒貝格積分較黎曼積分的又一優越之處．

六、本章的最后介紹了勒貝格積分理論中的“原函數”存在定理和牛頓—萊布尼茲公式．在這些關系的研究中，有界變差函數和絕對連續函數的概念起著重要作用．

實變函數本學期考試時間安排：2006年1月14日上午8：30-10：30

關于習題：這門課程比較難學，很多同學詢問習題答案，請注意，教材中的練習、習題以及輔導中的自測題的答案均附在教材后面。

問：期末復習要注意什么？

陳衛宏：許老師上月18日有一講復習課，介紹的比較詳細。

陳衛宏：吳老師好！這學期負責哪門課？

吳旗東：高數，常微，高代，線代

問：是否熟悉各章的例題和作業，就能夠通過考試

陳衛宏：主要掌握考核冊中的作業內容。

問：列維定理中去掉函數列非負性假定,結論是否成立? 陳衛宏：列維定理中函數列非負性的條件不能去掉。

陳衛宏：今天的活動就到這里，大家再見！

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第五篇：實變函數與泛函分析-教學大綱

實變函數與泛函分析教學大綱

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

適用專業：信息技術專業 課程編號： 教學時數：72學時 學 分：4 課程性質：專業核心課

開課系部：數學與計算機科學院 使用教材：《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版 曹廣福.高等教育出版社 參考書

[1]夏道行《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強《實變函數論》第2版.北京大學出版社.二、課程介紹

《實變函數與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養學生從幾何、拓撲上來認識抽象函數空間，以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力。

三、考試形式

考試課程，考試成績由平時成績和期末考試組成，平時作業占百分之二十，期末考試百分之八十。期末考試是閉卷的形式，重點考察學生的解題能力和基礎理論。

四、課程教學內容及課時分配

第一章 集合與點集 要求

1、掌握集合的勢，可數集

2、熟悉歐氏空間上的拓撲，Cauchy收斂原理

主要內容

集合的勢，可數集，n維歐氏空間上的拓撲，Canchy收斂原理

重點

集合的勢，可數集 課時安排（4學時）

1、集合的勢，可數集

2學時

2、歐氏空間上的拓撲，Cauchy收斂原理

2學時

第二章 Lebesgue測度 要求

1、熟練掌握外測度、可測集以及它們的性質

2、掌握可測函數及其性質，以及非負可測函數的構造

3、熟練掌握可測函數的收斂性

主要內容：

Lebesgue外測度，可測集（類），可測函數及其性質，可測函數的收斂性

重點

外測度、可測集以及它們的性質、可測函數的收斂性 課時安排（12學時）

1、外測度、可測集以及它們的性質

4學時

2、可測函數及其性質，以及非負可測函數的構造

4學時

3、可測函數的收斂性

4學時

第三章

Lebesgue積分 要求：

1、熟練掌握可測函數的積分及性質

2、熟練掌握Lebesgue積分基本定理，Fatou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

3、弄清重積分與累次積分的關系，Fubini定理

主要內容：

可測函數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理，Riemann可積的充要條件，重積分與累次積分的關系，Fubini定理

重點

可測函數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理 課時安排：（16學時）

1、可測函數的積分及性質

6學時

2、Lebesgue積分基本定理，Fatou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

6學時

3、重積分與累次積分的關系，Fubini定理

4學時

第四章

L空間 要求：

1、熟練掌握L空間的范數、完備性、收斂性、可分性

2、熟悉L空間的內積，標準正交基

3、了解卷積與Fourier變換 ppp主要內容：

p

Lp空間的范數、完備性、收斂性、可分性，L空間的內積，標準正交基，卷積與Fourier變換

重點

Lp空間的范數、完備性、收斂性、可分性 課時安排（10學時）

1、L空間的范數、完備性、收斂性、可分性

4學時

2、L空間的內積，標準正交基，正交化方法

4學時

3、卷積與Fourier變換

2學時 pp

第五章 Hilbert空間理論 要求：

1、熟練掌握距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性

3、熟悉共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜

主要內容：

距離空間的定義，緊致性，Hilbert影算子，緊算子性質及其譜。課時安排（16學時）

空間上線性算子的有界性和連續性，共軛算子、投

1、距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

4學時

2、Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性

6學時

3、共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜 6學時

第六章 Banach空間理論 要求：

1、掌握Banach空間的定義，模等價，有界線性算子

2、熟悉開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理

3、熟悉連續線性泛函的存在性與Hahn-Banach定理

4、弄清弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

主要內容：

范數、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子，開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理，弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

重點

Banach空間的定義、模等價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂

課時安排（14學時）

1、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子

4學時

2、開映象定理，逆函數定理，閉圖像定理，共鳴定理

6學時

3、連續線性泛函的存在性與Hahn-Banach

4學時

《實變函數與泛函分析》考試大綱

院 系：數學與計算機科學學院

課程名稱：實變函數與泛函分析（第二學期）使用專業：數學與信息科學專業

學 時：72 其中，理論學時：72 實踐學時：0 學 分：4

一、設課目的：

《實變函數與泛函分析》以掌握Lebesgue測度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識，培養學生從幾何、拓撲上來認識抽象函數空間，以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力.二、課程教學內容和教學目標：

通過本門課程的教學，使學生了解函數理論的基本體系，理解實變函數的基本概念、基本原理，使學生較好的掌握集合論基礎、Lebesgue測度與Lebesgue積分、線性賦范空間與Hilbert空間的基本理論和有界線性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，為進一步學習分析數學中的一些專門理論，如函數論，泛函分析，概率論，微分方程，群上調和分析等提供必要的測度和積分論基礎，為從事中學數學教育提供知識儲備.三、課程考核的基本形式、內容和要求：

本課程考核分為兩部分：形成性考核和課程期末考試

（一）形成性考核

形成性考核部分分為：平時考勤（占20%）、作業（占70%）、課堂提問情況（占10%）這三個部分。要求隨時檢查學生考勤，批改作業，敦促學生邊學邊做。

學生應按時完成各階段的平時作業。對于抄襲作業的或不按時完成的應給予說服教育，嚴重者應給予扣分處理。

（二）課程期末考試

期末考試采用筆試閉卷形式?？荚嚸}由教研室集體討論，任課教師可參與命題。本課程期末考試的命題依據是專業教學計劃、課程教學大綱以及使用教材。本課程的試卷涉及該教材所含的有關知識內容及練習，其中重點內容為：集合的勢，可數集；外測度、可測集以及它們的性質、可測函數的收斂性；可測函

p數的積分及性質，Lebesgue積分的極限定理；L空間的范數、完備性、收斂性、可分性；距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線性算子的有界性和連續性，共軛算子、投影算子，緊算子性質及其譜；Banach空間的定義、模等價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂.四、考核的組織：

本課程的平時作業由任課教師根據學生完成情況進行批閱、評分。課程期末考試教研室統一組織，以集體流水作業的方式進行批閱。根據班級學生的學習情況形成性考核成績可占總成績的30%，期末考試成績可占總成績的70%。

五、教材

[1]夏道行《實變函數論與泛函分析》（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強《實變函數論》第2版.北京大學出版社.六、其他有關說明或要求