第一篇：巧用逆向構造法 妙解數列型問題

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巧用逆向構造法 妙解數列型問題

作者：翟美華

來源：《理科考試研究·高中》2013年第01期

對于以上兩例，常規方法是用數學歸納法.而本文采用逆向思維，由右式的目標式逆向構造出左式各項，用恒等式①或②，立即獲解.

第二篇：巧用構造法解不等式問題

巧用構造法解不等式問題

湖州中學黃淑紅

數學中有許多相似性，如數式相似，圖形相似，命題結論的相似等，利用這些相似性，通過構造輔助模型，促進轉化，以期不等式得到證明。可以構造函數、方程、數列、向量、復數和圖形等數學模型，針對欲證不等式的結構特點，選擇恰當的模型，將不等式問題轉化為上述數學模型問題，順利解決不等式的有關問題。

一、根據不等式特征，構造恰當的初等函數，再根據函數單調性、奇偶性等特征來證明不等式。

例1證明：對于任意的x,y,z?(0,1),不等式x?(1?y)?y?(1?z)?z?(1?x)?1成立。

證明設f(x)?(1?y?z)?x?y?(1?z)?z,顯然該函數是以x為主元的一次函數。當x?(0,1)時，f(x)是單調函數，且f(0)?y?y?z?z?(y?1)?(1?z)?1?1, f(1)?1?y?z?1.所以，當x?(0,1)時，f(x)的最大值小于1，即x?(1?y)?y?(1?z)?z?(1?x)?1 例

2如果(x?y??1，那么x?y?0

證明

構造函數f(x)?lg(x單調遞增。

?

(x?x?R).可以證明函數f(x)在R上是奇函數且 y??1,?f(x)?f(y)?lg(x?lg(y

?lg?(xy?=lg1=0 ???f(x)??f(y),即f(x)?f(?y)所以x??y,即x?y?0

通過構造函數，利用函數單調性和奇偶性，把一些看似與函數無緣的問題轉化為函數問題來解決，思路靈活新穎，簡潔巧妙，可出奇制勝。

二、有些不等式分析可知它與數列有關，可構造出相應的數列，再利用數列的單調性來研究。

n(n?1)(n?1)

2?????例

3證明不等式對所有正 22

整數n成立。

分析：

??是一個與n無關的量，將它與左右兩端作差 構造出相應的數列，在利用數列的單調性來研究。

解：

設an3???，1?n)(N?構)造數列?xn?，令

xn?an?n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)??(n?1)?0,，則xn?1?xn?an?1?an?222

(n?N)，所以xn?1?xn，?x

n?為單調數列，首相x11為最小值。

n(n?1)(n?1)2

所以xn?x1?1?0，即an?，又令yn?an?，22

(n?1)2(n?2)22n?3??則yn?1?yn?an?1?an?，222

所以yn?1?yn，?y

n?為單調遞減數列，首相y12為最大項，(n?1)2

所以yn?y12?0，即an?.2

n(n?1)(n?1)2

?an?(n?N)綜上所述，22

用構造單調數列證明不等式，若不等式的一邊為和（積）式，則構造數列?an?，使其通項等于和（積）式與另一端的差（商），然后通過比較法確定數列?an?的單調性，利用數列的單調性即可使不等式獲證。

三、對某些不等式，根據條件和結論，可將其轉化為向量形式，利用向量數量積及不等??????關系m?n?mn，使問題得到解決。

a2b2c2a?b?c???例4已知a,b,c?R，求證：a,b,c?R b?cc?aa?b2??

?

??證明

設m?n?，則 ???2222??2abc(m?n)(a?b?c)2a?b?c???m?2? ?b?cc?aa?b2(a?b?c)2n利用向量雖是一種構造性的證明方法，但它與傳統的綜合法有很大不同，能避免繁雜的湊配技巧，使證明過程既直觀又容易接受。

四、有些不等式若采用通法解很繁瑣，用變量替換法又不可行，利用數形結合的思想方法將抽象的式用形表示，則使問題中的各變量關系更具體明確，使問題簡明直觀。

例

5?1x

2析本題若轉化為不等式組來解很繁瑣，利用數形結合的思想方法將抽象的式用形表示，則使問題變得簡明直觀

解：令y?y?1x，2

x，問題轉化

為它們對應的圖象為半圓(x?1)2?y2?1(y?0)與直線y?

(x?1)2?y2?1(y?0)的圖象在y?

?1x上方時x的范圍，如圖 218x得x0? 25

故原不等式的解為：?x0?x?? ?

?8?5?五、一類屬函數圖象的問題，與求最值結合，利用數形結合是基本的指導思想，但還需結合復合函數求導，使不等式的證明水到渠成。

例6 如圖，設曲線y?e?x(x?0)在點M(t,e?t)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面 積為S(t)，求（1）切線l的方程；2）求證S(t)?2 e

?t（1）解： ?f'(x)?(e?x)'??e?x，?切線l的斜率為?e

故切線l的方程為y?e?t??e?t(x?t)，即e?tx?y?e?t(t?1)?0

（2）證明：令y?0得x?t?1，又令x?0得y?e(t?1)，?t

?S(t)?11(t?1)?e?t(t?1)?(t?1)2e?t 2

21?t'從而S(t)?e(1?t)(1?t).2?當t?(0,1)時,S'(t)?0,當t?(1,??)時,S'(t)?0,?S(t)的最大值為S(1)?22，即S(t)? ee

應用導數法求函數的最值，并結合函數圖象，可快速獲解，也充分體現了求導法在證明 不等式中的優越性。

證明不等式不但用到不等式的性質，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結合內容的方方面面.如與數列的結合，與“二次曲線”的結合，與“三角函數”的結合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數”這“三個二次”間的互相聯系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點.

第三篇：構造函數,妙解不等式

構

不等式與函數是高中數學最重要的兩部分內容。把作為高中數學重要工具的不等式與作為高中數學主線的函數聯合起來，這樣資源的優化配置將使學習內容在函數思想的指導下得到重組，優勢互補必將提升學習效率.例1:已知a2+ab+ac<0證明b2-4ac>0

分析：有所證形式為二次函數的判別式（△）的格式。故試圖構造二次函數使思路峰回路轉。

證明：令f(x)=cx2+bx+a。由a2+ab+ac=a(a+b+c)<0得a與 a+b+c異號。

F(0)=a，f(1)= a+b+c。所以，f(x)圖像與x軸有兩個交點.。所以判別式（△）大于0。即b2-4ac>0。

x?111< ln

本題與2005年全國卷Ⅱ中函數f(x)=ln(1+x)-x 沒有什么區別，有著高等數學的背景，且是近幾年高考命題不等式證明題中新的開挖點。構造函數和用求導數法來研究其單調性，進而再利用單調性可快捷證得，往往別開生面。

11證明：設1+= t ,由x∈(0,+∞)則t > 1 ,∴x =xt?1

1原不等式

< lnt

1令f(t)=t-1-lnt 則 f ‘(t)=1-當 t∈(1,+∞)，有f‘(t)>0 t

從而 f(t)在t∈(1,+∞)單調遞增，所以 f(t)>f(1)=0 即t-1>lnt

1t?1同理 令g(t)=lnt-1+。則g’(t)= 2 當t∈(1,+∞)，有 g’(t)>0 tt

1所以 g(t)在t∈(1,+∞)單調遞增，g(t)>g(1)=0即lnt>1-t

x?111綜上 < ln

有些不等式，利用函數的性質（如單調性，奇偶性等）來解證，往往要比常規的方法容易找到證題途徑，下面看一個例題：

例3：設a，b，c∈R+，且a＋b＞c．

在課堂上可先讓學生用常規方法思考試證后啟發學生用構造函數法來證，最后比較證法。

（x∈R+），先證單調性。

∴f（x）在x∈R+上單調遞增。

∵a+b＞c（已知）∴f（a+b）＞f（c），利用構造法也可解關于x的不等式

例4:已知關于x的不等式｜x-4｜＋｜x-3｜＜a的解集為非空集合，求實數a的取值范圍。

對于討論這類含參數的不等式，先讓學生按常規方法解：用數軸法，分別在三個區間內討論解集為非空集合時a的取值范圍，然后求它的交集得a＜1。

后來又啟發學生用構造函數方法來解，學生們思考很積極，有一個學生解道：

作出分段函數的圖象（如上圖所示）

通過以上對構造函數發典例的分析，可以看出構造函數法確實是一種解題的好途徑。將證明或求解的不等式地為轉化為函數的問題，關鍵在于轉化為什么樣的函數.這就要求從被證（解）的不等式的形狀，特點入手，發生聯想。本著“縱向深入，橫向聯系”的原則，合理的構造函數模型。達到啟發學生思維，開拓解題途徑的效果。

第四篇：巧用構造法證明不等式

巧用構造法證明不等式

構造法是指在解決數學問題的過程中，為了完成由條件向結論的轉化，通過構造輔助元素，架起一座溝通條件和結論的橋梁，從而使問題得到解決。不等式證明是高中數學的一個難點問題，若能巧用構造方法，可以使一些問題化難為易.本文擬用構造法巧證一些不等式問題，僅供參考.一、構造函數證明不等式

若能根據題中條件的特征，巧妙地構造函數，利用函數的圖象和性質來證明不等式.例1（2011年安徽高考理科題）（Ⅰ）設x?1,y?1，證明 111x?y????xy，xyxy

（Ⅱ）1?a?b?c，證明

logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.解：∵x?1，y?1，所以要證明原不等式成立，則只需證

xy(x?y)?1?y?x?(xy)

2成立.令f(x)?y?x?(xy)2?[xy(x?y)?1]?(y2?y)x2?(1?y2)x?y?1 當y?1時，則f(x)?0，即xy(x?y)?1?y?x?(xy)2，所以

111x?y????xy xyxy

111?(,1).函數當y?1時，二次函數f(x)的圖象開口向上，對稱軸x??22y2

f(x)在[1,??)上單調遞增，所以

f(x)?f(1)?y2?y?1?y2?y?1?0

所以

111x?y????xy xyxy

綜上，所證明的原不等式成立.（Ⅱ）證明略.二、構造方程證明不等式

由解不等式的經驗知，不等式的解的區間的端點就是相應方程的解，所以可以利用方程與不等式的內在聯系，構造方程來證明不等式.例2 設實數a,b,c滿足

?a2?bc?8a?7?0?2 2?b?c?bc?6a?6?0

求證：1?a?9.?bc?a2?8a?7證明：由已知得?，故可構造關于x的方程：

?b?c??(a?1)

x2?(a?1)x?a2?8a?7?0

所以??[?(a?1)]2?4(a2?8a?7)?0，即a2?10a?9?0，所以1?a?9.三、構造三角形證明不等式

若能根據不等式的特征，構造出與不等式相同的幾何背景的三角形，通過三角形的性質和幾何特征來證明不等式.例3設a,b,c為正實數，求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c)證明：由于a2?ab?b2?

下圖所示.Aa2?b2?2abcos1200，構造三角形ABC，如 ? D B

使AC?b,BC?a,?ACB?1200，則AB?a2?ab?b2.作?ACB的角平分線交AB于D.令?ADC??，則ADbBDaa?，.??sin600sin?sin600sin(1800??)sin?

33ba(a?b)

所以AB?，BD?.由此可得AB?AD?DB?.sin?sin?sin?

∵0?????1，所以AB?，所以0?si?n3(a?b)，即

2a2?ab?b2?

同理：b2?bc?c2?(a?b)①.23(c?b)② 2

(c?a)③ 2c2?ca?a2?

由①②③得a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c).四、構造幾何體證明不等式

若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內在的關系，可通過構造幾何體來證明不等式.例4 已知a,b,c均為正數，且a2?b2?c2?1.證明：

?a2??b2??c2?3?(a?b?c)

證明：由a2?b2?c2?1，可發現此式與長方體的對角線長的公式有一定聯

系.故可構造長方體，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1?1.A

c 1A1 D

1而AB1?b2?c2??a2.在?AB1C1中，有AB1?B1C1?AC1，即

?a2?a?1①

同理有

?b2?b?1②

?c2?c?1③

由①②③得?a2??b2??c2?3?(a?b?c).用構造法證明不等式是一種非常重要的解題方法.運用此方法的關鍵在于“構造”，可以根據所要證明的不等式的結構特征，合理運用類比、聯想等方法，構造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。

第五篇：基于構造函數的放縮法證數列型不等式問題的教學設計

基于構造函數的放縮法證數列型不等式問題的教學設計

教學內容分析

證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其內在的函數規律進行恰當地放縮.一、學生學習情況分析

任教的學生在年段屬中上程度，學生學習興趣較高，已經掌握了基本的數列求解問題的技巧，對于構造函數這方法，知道大致思路，但是不明確如何有效合理的構造能幫助解題，計算能力不是太過硬.二、設計思想

建構主義學習理論認為，建構就是認知結構的組建，其過程一般是引導學生從身邊的、生活中的實際問題出發，發現問題，思考如何解決問題，進而聯系所學的舊知識，首先明確問題的實質，然后總結出新知識的有關概念和規律，形成知識點，把知識點按照邏輯線索和內在聯系，串成知識線，再由若干條知識線形成知識面，最后由知識面按照其內容、性質、作用、因果等關系組成綜合的知識體。也就是以學生為主體，強調學生對知識的主動探索、主動發現以及學生對所學知識意義的主動建構。基于以上理論，本節課遵循引導發現，循序漸進的思路，采用問題探究式教學，運用多媒體，投影儀輔助，倡導“自主、合作、探究”的學習方式。具體流程如下：

創設情景（課前準備、引入實例）→授新設疑→質疑問難、論爭辯難（進一步加深理解→突破難點）→溝通發展（反饋練習→歸納小結）→布置作業

四、教學目標

理解構造函數的功能，通過模仿、操作、探索，學習構造函數達到放縮的目的，以此來解決問題，發展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力；能運用構造函數的放縮法解決數列型不等式問題，增強學生的創新能力和應用數學的意識.五、教學重點與難點

重點：理解構造函數的目的，厘清構造函數與問題所需放縮的方向，最終完成合理構造 難點：如何構造出符合題情的函數，如何放縮

六、教學過程設計

第一部分——問題引入

求證：ln2?ln3?ln4???ln3?3n?5n?6(n?N*).n23436n【師生互動】：師生一起觀察本例，試圖確定本題所考查的知識點(數列、不等式、函數等)，所考查的數學思想方法（化歸與轉化的思想、函數的思想、特殊與一般的思想等），所考查的具體解題方法（放縮法等）；還有引導學生能不能把問題簡化，或者換一種方式方法來表 達，我以為理解題目不應只局限于“未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？”，而應體現在學生是否能用自己的語言復述題目，或者能用一幅圖、一條線段圖、一些符號來表示對題意的理解。

【設計意圖】：高三學生已經具有相當的數列和函數知識，因此選擇這個中檔問題為例，以期能喚起學生解答題目的欲望，應該有助于學生對本節知識的發生發展的理解，以期揭示此類問題的解法本質.第二部分——回顧放縮法

【師生互動】：根據此前師生一起探討出來的此題可能要用到的放縮法，教師讓學生按分組自行探討回憶，竟可能的梳理出平時有涉及到的放縮的一些結論，或者方法技巧，或者相關的典型例題等，經過師生努力后得到如下常用結論或者是已證過的例子：（1）1441??1???2???； 222n4n4n?1?2n?12n?1?（2）2(n?1?n)?1?2(n?n?1)； n（3）1?n?n?1(n?2)；

n(n?1)n?1（4）22n12n?2?2?(3?1)?2?3?3(2?1)?2?2?1??n?；

32?13nnnnnn（5）(1?)?1?1?例（1）求?k?1n1n1115????? 等.2?13?2n(n?1)224k?12的值;（2）求證:

?kk?1n12?5.3附：解:（1）因為24n2?1?211??，(2n?1)(2n?1)2n?12n?1?1?12n ?2n?12n?1所以?4kk?1n22?1（2）因為1141??1???2???, 221n4n?1?2n?12n?1?n2?4所以 ?kk?1n1211?25?11?1?2???????1?? ?2n?12n?1?33?35【設計意圖】：通過對放縮法的回顧與整理，讓學生盡量找到解題的“題感”，數學題的“數 感”，盡量引導學生把已有的知識，解題思路跟現在所需求解的問題掛鉤，由已知想未知，由未知想需知，為突破本節教學重難點埋下伏筆.第三部分——回顧如何建模——構造函數

【師生互動】：根據上述回顧，觀察到不等式左側結構齊整，聯想到某個函數的模型，因此，老師引導學生回顧如何構造函數，如何構造跟不等式有關的函數模型，經過師生努力后得到如下常用結論：（1）ex?x?1；

（2）x?ln(x?1)或其變形x?lnx?1 ；（3）當0?x??2時，sinx?x?tanx等.【設計意圖】：通過對放縮法進一步整理，讓學生找到跟函數有關的放縮方向，盡量引導學生努力地把握此題的方向，向最后的解題方案擬定而努力.第四部分——擬定方案 【師生互動】：

lnx得結構，再結合第三部分所回顧的常用結論，故可先構造函xlnx1?1?, 數有x?lnx?1?x?x?1?xx（1）由需證不等式左側有（2）根據以上構造的函數以及所證問題的左邊，可得：

ln2ln3ln4ln3n111?????n?3n?1?(????n)2343233n（3）尋找3?1?(?1115n?6???n)與右邊式子3n?的關系，故只需證出 23361115n????n?即可.2336（4）結合第二部分所回顧的常見結論及例子聯想可知需將左側式子分解，然后求和，然后繼續放縮：

111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n? 233?23??456789?3??22?1?3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????n?? n?16?69??1827?2?33?6?【設計意圖】：方案的核心就是構造了函數模型x?lnx?1，突破了本節的重難點，從理解題目到構思解題方案是一個漫長而曲折的過程.因為對于本題，學生即使做到了理解，但仍 會感到無從下手.波利亞啟發我們說“好的思路大多來源于過去的經驗和以前獲得的知識.”因此我們不妨引導學生思考“你知道一道與它有關的題目嗎？”我想，這個有關，并不一定就是一個曾經求解過的與當前題目緊密相關的題，而更可能是通過變化、轉換或修改敘述方式，找到與某個題目的聯系點，從而“重新敘述這道題目”擬定一個有可能解決問題的方案.第五部分——執行方案

【師生互動】：教師根據第四部分的分析，按照所你定的方案邊講解邊板書呈現出完整的解題過程：

解:先構造函數有x?lnx?1?x?x?1?lnx1?1?,從而將2,3,4?3n代入、相加可xxln2ln3ln4ln3n111?????n?3n?1?(????n)得：2343233由于111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n?233?23??456789?3??22?1?3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????n?? n?16?69??1827?3?6?2?3ln2ln3ln4ln3n5n5n?6?????n?3n?1??3n?所以.234366【設計意圖】： 假如這個方案是學生主動獲得的，則不容易遺忘，反之，學生則很容易找不到來時的路了.因此，教師必須堅持讓學生檢查每一個步驟，以使學生真正確信每一步的正確性,而且通過教師的板書示范，使學生能更好的模仿訓練，以至鞏固.第六部分——回顧、反思

【師生互動】：教師根據第五部分的解答，提醒學生再次回顧之前所擬定的方案，檢查是否都按既定的方案徹底的執行了，或者在執行的過程中是否有需要進一步做合理調整的，或者有沒需要驗證的；最后反思整理，一起努力總結出本題的解題思路、策略：理解題意——回顧相關知識點或者方法——擬定方案——執行方案——回顧、反思.【設計意圖】：讓學生養成自我檢查、反思的好習慣，達到對問題的舉一反三,提高學生的分析問題，解決問題的能力.第七部分——鞏固、整理

【師生互動】：教師給出以下例子，讓學生分組限時練習（考慮到時間關系，一組一題），答案在學生解題過程用投影儀呈現出來后板書出，或者時間不夠，就借用PPT呈現，然后點評 學生的作業的優缺點.練習1.證明: ln2ln3ln4lnnn(n?1)??????(n?N*,n?1)345n?14 證明:構造函數f(x)?ln(x?1)?(x?1)?1(x?1),求導,可以得到: ' f(x)?12?x?1?,令f'(x)?0有1?x?2,令f'(x)?0有x?2, x?1x?1 所以f(x)?f(2)?0,所以ln(x?1)?x?2,令x?n2?1有, lnn2?n2?1

lnnn?1ln2ln3ln4lnnn(n?1)???????(n?N*,n?1),所以n?12345n?1411)an?n.證明an?e2.練習2.已知a1?1,an?1?(1?2n?n2 所以證明: an?1?(1?1111)an?n?(1??n)an, n(n?1)2n(n?1)2然后兩邊取自然對數,可以得到lnan?1?ln(1?然后運用ln(1?x)?x和裂項可以得到答案： 放縮思路：an?1?(1?11?n)?lnan

n(n?1)21111?)a?lna?ln(1??)?lnan?

nn?12n2nn?n2n?n21111lnan?1?lnan?2?n于是lnan?1?lnan?2?n，n?n2n?n211?()n?1n?1n?1111112(lna?lna)?(?)?lna?lna?1???2??n?2.??i?1in12i1i?i2nn2i?1i?11?2 即lnan?lna1?2?an?e2.11111?????ln(n?1)?1???? 23n?12nn?1n2n?1n?????ln?ln???ln2 證明:提示: ln(n?1)?lnnn?11nn?11函數構造形式: lnx?x,lnx?1? yx練習3.求證: 當然本題的證明還可以運用積分放縮

如圖,取函數f(x)?n1, xnEFDC首先: SABCF111BAO??,從而, ?i???lnx|nn-iln(nn?i)n?i?lnn?xnxn?in?i5

x 1?lnn?ln(n?1), n1111?ln(n?1)?lnn,相加所以有?ln2, ?ln3?ln2,?, ?lnn?ln(n?1), 32nn?1111?ln(n?1)后可以得到: ????23n?1取i?1有, 另一方面SABDE取i?1有，111??,從而有?i???lnx|nn?i?lnn?ln(n?i)

xn?ixn?in?inn1?lnn?ln(n?1), n?11111111?ln(n?1)?1???? 所以有ln(n?1)?1????,所以綜上有????2n23n?12n練習4.已知函數f(x)?xlnx.若a?0,b?0,證明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).證明:設函數g(x)?f(x)?f(k?x),(k?0)

?f(x)?xlnx,?g(x)?xlnx?(k?x)ln(k?x), ?0?x?k.?g?(x)?lnx?1?ln(k?x)?1?lnx, k?x令g?(x)?0,則有k2x2x?kk?1??0??x?k.k?xk?x2k2k2∴函數g(x)在[,k）上單調遞增，在(0,]上單調遞減.∴g(x)的最小值為g()，即總有g(x)?g().而g()?f()?f(k?)?kln k2k2k2k2k?k(lnk?ln2)?f(k)?kln2, 2?g(x)?f(k)?kln2,即f(x)?f(k?x)?f(k)?kln2.令x?a,k?x?b,則k?a?b.?f(a)?f(b)?f(a?b)?(a?b)ln2.?f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).【設計意圖】：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習,點評時的師生互動，增強了師生感情，一起構造了和諧、智慧的課堂.七、教學反思

《怎樣解題》是美國著名數學家波利亞所著的一本關于數學解題方法的書籍，雖然這本書編寫的年代距今已很久遠了,但書中所講述的數學思維的新方法卻具有極強的現實意義.首先看他對教師教學目的的解讀.他認為教師最重要的任務之一是幫助學生，以使學生獲得盡可能多的獨立工作的經驗.如今課改所提倡的動手實踐、自主探究的學習方式不正暗合了這一思想嗎？但是波利亞也提出了有關幫助的度的問題，即不能少，學生完全沒有方向，就根本不會有提高;也不宜多，學生沒有思考的空間，同樣不會有進步.最好的辦法是教師把自己放在學生的位置上，根據學生的情況，努力去理解學生的想法，然后提出一個問題或指 出一個步驟.看到這里，我不禁想起了課標對于數學活動的詮釋---教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者.其次，進一步理解了怎樣解題的四個階段（1、理解題目;

2、擬定方案;、執行方案;

4、回顧.）波利亞所概括的這四個階段，在以往的教學中本人雖或多或少的都有所體現，但相對于波利亞論述中所要達到的層次，還是有許多欠缺的.