第一篇：2012.2.1(1.2化簡與證明)

高一三角函數（化簡與證明）

選擇題

1、已知cosα= － 12，α∈（π，2π），則tanα的值是（）1

355125AB．C．D．±13125123、若是?第二象限角，則tan?1?1化簡的結果是（）sin2?

A．1B．－1C．tan2αD．－tan2α

???

6、若?為二象限角，且cos?sin??2sincos，那么是（）2222

2A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

17、若tanx?2, 則的值為（）sinx?3cosxcosx?sinxA．?3B．?5C．3D．

512tanx?

8、函數f?x??值域中元素的個數是（）21cosx?tanx?12cosx

A．1個B．2個C．3個D．4個

填空題

1、化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β=．

2、化簡

?2sin40?cos40?sin40??sin40?2?=．

?sin?sin = －2 tanα，則角?的取值范圍是． ?1?sin?1?sin?

79、已知?是三角形的內角，且sin??cos???，則tan?? 134、若

10、已知sin?+cos?=，那么角?是第______象限的角.解答題

1、化簡：tanα（cosα－sinα）＋

sin?(sin??tan?)． 1?cos?152、求證：1?2sin?cos?tan??1?． sin2??cos2?tan??

14、已知cosB = cosθsinA , cosC = sinθsinA，求證：sin2A＋sin2B＋sin2C = 2．

5、已知sin??sin2??1，求3cos2??cos4??2sin??1的值．

cos??sin?

8、若tan??，求值：①sin?,cos?； ② ； ③ 2sin2??sin?cos??cos2?；cos??sin?

④sin??cos?。

11、已知x是銳角，求函數y?(4?3sinx)(4?3cosx)的最小值。

m2?1解：y=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx，令sinx+cosx=m則m∈（12]，并且有sinxcosx=,27947從而有y=(m?)2?，易得ymin=。2232

參考答案

一、選擇題

BABBDCDD

二、填空題1、1；

2、-1；

3、1?tan?；

?3??2k?,?k?Z?

4、?2k????2

2三、解答題

1、sin?

2sin2??cos2??2sin?cos??sin??cos??

2、左邊? ?2222sin??cos?sin??cos?

sin??cos?tan??1??右邊．?sin??cos?tan??

13、∵tan??cot??sin2?tan??cos2?cot??1?sin2?tan??1?cos2?cot? ?cos2?tan??sin2?cot??cos?sin??sin?cos??2sin?cos? ∴sin2?tan??cos2?cot??2sin?cos??tan??cot?．

4、∵cos2B?cos2?sin2A，cos2C?sin2?sin2A，∴cos2B?cos2C?cos2??sin2?sin2A，即：1?sin2B?1?sin2C?sin2A，∴sin2A?sin2B?sin2C?2． ????????

第二篇：三角函數的求值、化簡與證明(教案)

高一（1）部數學備課小組2013年6月4日

三角函數的求值、化簡與證明

教學目標

1、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

確運用三角公式進行三角函數的化簡證明求值；

2、培養學生分析問題解決問題的能力，培養熱愛數學。

教學重點

掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教學難點

能正確運用三角公式進行三角函數的化簡證明求值

教學過程

一、知識歸納

1、兩角和與差公式：

sin??????sin?cos??cos?sin? cos??????cos?cos??sin?sin?，tan??????tan??ta?n 1?ta?nta?n

2ta?n 1?ta2n?2?

2、二倍角公式：sin2??2sin?cos?，tan?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

1sin2?

21?cos2?1?cos2?22sin??，cos?? 22公式變形：sin?cos??

3、三角函數式化簡的一般要求：

①函數名稱盡可能少，②項數盡可能少，③次數盡可能低，盡可能求出值

④盡量使分母不含三角函數，⑤盡量使被開方數不含三角函數

4、求值問題的基本類型及方法：

(1)“給角求值”一般所給的角都是非特殊角，解題時應注意觀察非特殊角與特殊角之間的關系。

（2）“給值求值”即給出某些角的的三角函數式的值，求另一些角的三角函數值，解題關鍵

在于變角，使其角相同。

（3）“給值求角”關鍵是變角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、證明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式進行化名，化角，使等式兩端化“異”為“同”。

②證明三角不等式的方法：

比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數單調性，利用正余弦函數的有界性，利用

單位圓三角函數線及判別法等。

二、典例分析：

題型一：三角函數式的化簡

2222例1：化簡 ： sin??sin??cos??cos??1cos2??cos2?

2分析：化簡時使角盡量少，冪次盡量低，不含切割函數，時時要注意角之間的內在聯系。

解略。

演練反饋：

????????x????x? ?4??4?

???解：原式

=?x?? 12??

2sin2?cos2?2．（全國卷2）??（B）1?cos2?cos2?

1A.tan?B.tan2?C.1D.2

題型二：三角函數式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，?是第二象限角，且tan(???)?1，則tan?的值是（）

533A.-7B.7C.?D.44 例3：已知sin??

演練反饋：

1．tan15??cot15??（C）

A.2

B.2C.4D.cot20??cos10???tan70??2cos40??443.y=cosx?sinx的最小正周期（?）2.3.已知sin2?cos2=a,則cos4=

（4.已知3sin2a4）A?BA?B?cos2?2，osAcos?0B?）求tanA?tanB的值。（c22

1解： 2

5．設cos(??

?1?2?)??，sin(??)?,且????29232

239 729，0????，求 2?(??)cos解：?

6.已知A、B為銳角，且滿足tanAtanB?tanA?tanB?1,則

cos(A?B)?

（?）。

27．若sinA?B?，且A,B均為鈍角，求A+B的值。

解：A+B= 7?

48.已知cos(???)?0,tan??0,則下列不等式關系式中必定成立的是：（c）2

A、tan?????????cos B、tan?cos C、sin?cos D、sin?cos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三個內角，且tanA,tanB是方程3x?5x?1?0的兩個實數根，則ΔABC是（鈍角三角形）

題型三：三角函數式的證明

例4：證明

證明略

演練反饋： 1?cosxsinx? sinx1?cosx

1?cosx?cos

求證: x?sinx 1?cosxsinx?sin

2三、小結

1.三角函數的化簡、求值、證明的基本思路是：一角二名三結構，即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心；其次看函數名稱之間的關系，通?！扒谢摇?；再次觀察代數式的結構特點.2.(1)三角函數的化簡、求值、證明的基本解題規律：觀察差異(或角，或函數，或運算)，尋找聯系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析綜合(由因導果或執果索因),實現轉化.(2)三角函數求值問題一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解.在解題中，特殊角的三角函數值一般情況下可先求出，同時要注意觀察各角之間的和、差是否構成特殊角，以便化繁為簡，從而使求值(或證明)問題化難為易.3.常見三角函數式的求值問題的四種類型：

(1)不含特殊角的三角函數式的求值；

(2)含特殊角的三角函數式的求值；

(3)給出某些角的三角函數的值，求與該角有關的三角函數式的值；

(4)給出三角函數式的值求角.解法：(1)發現、挖掘角的某種特殊關系；(2)靈活運用三角公式中切與弦、和與差、倍與半、升冪與降次的轉換方法；(3)關鍵在于“變角”(角的配湊)；(4)先解所求角的三角函數，再確定角的取值.

第三篇：高一數學三角函數式的化簡與證明

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一．課題：三角函數式的化簡與證明

二．教學目標：能正確地運用三角公式進行三角函數式的化簡與恒等式的證明．

三．教學重點：熟練地運用三角公式進行化簡與證明．

四．教學過程：

（一）主要知識：

1．三角函數式的化簡要求：通過對三角函數式的恒等變形（或結合給定條件而進行的恒等變形），使最后所得到的結果中：①所含函數和角的名類或種類最少；②各項的次數盡可能地低；③出現的項數最少；④一般應使分母和根號不含三角函數式；⑤對能求出具體數值的，要求出值．

2．三角恒等式的證明要求：利用已知三角公式通過恒等變形（或結合給定條件運用三角公式），論證所給等式左、右相等，要求過程清晰、步驟完整．

例1（1（2（3解：

1?cos?1?cos?sin?1?cos??)(1??)（2）原式?(sin?sin?cos?sin?

2cos?1?cos?1(1?)?2cot?(1??1)?2csc?．?sin?cos?cos?

(2cos2

（3）原式???2cossin)(sin?cos)????

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2cos(cos?sin)(sin?cos)2cos(sin2?cos2)cos(?cos?)??

? 2|cos||cos|22∵0????，∴0??，∴|cos|?cos，2222

∴原式??cos?．

?????????

2(3?cos4x)sin(2A?B)sinB?2cos(A?B)?；（2）． A

例3．證明：（1）tanx?cot

x?22，必定（B）（D）2(13．2cos2??1

2tan(??)sin2(??)44?

五．課后作業：《高考A計劃》考點28，智能訓練7，8，9，11，12，14，15．

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第四篇：專題一三角函數的化簡、及證明

三角函數專題

專題一三角函數的化簡、求值及證明

一、知識網絡建構

1．⑴角度制與弧度制的互化：?弧度?180?，1??

⑵弧長公式：l??R；扇形面積公式：S??180弧度，1弧度?(180?)??57?18' 11lR??R2。2

22．三角函數定義:角?終邊上任一點（非原點）P(x,y),設|OP|?r 則：

sin??yxy,cos??,tan?? rrx

3．三角函數符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡記為“全s t c”）

4．誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”

sinx5．同角三角函數的基本關系：sin2x?cos2x?1;?tanx cosx

6．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(???)?sin?cos??cos?sin?；cos(???)?cos?cos??sin?sin?； tan(???)?tan??tan?.1?tan?tan?

222

2②sin(???)sin(???)?sin??sin?；cos(???)cos(???)?cos??sin?.③asin??

bcos????)(其中,輔助角?所在象限由點(a,b)所在的象

限決定,tan??b).a

27．二倍角公式：①sin2??2sin?cos?.(sin??cos?)?1?2sin?cos??1?sin2?

②cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?（升冪公式）.2222

cos2??1?cos2?1?cos2?（降冪公式）.,sin2??22

二、考綱要求及考試方向

1、了解任意角的概念、了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化。

2、理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義，理解同角三角函數的基本關系。3、能利用單位圓中的三角函數線推導出

4、兩角和與差的三角函數公式

(1)會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式。

(2)會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式。

(3)會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。

5．簡單的三角恒等變換

能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)的正弦、余弦、正切的誘導公式

考試方向： 三角函數的化簡、求值及證明涉及恒等變換，而三角函數的恒等變換是歷年高考命題的熱點.它既可以出現小題（選擇或者填空），也可以與三角函數的性質，解三角形，向量等知識結合，參雜、滲透在解答題中，它們的難度值一般控制在0.5-0.8之間.提高三角變換能力, 要學會設置條件, 靈活運用三角公式, 掌握運算、化簡及證明的方法和技能.，在考察三角公式的掌握和運用的同時，還注重考察思維的靈活性和發散性，以及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力．

三、基本概念檢測

1、課標文數14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，25y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝－，則y＝________.52、（2010福建理數）計算sin43cos13-sin13cos43的值等于（）

3、若?,??(0,?)，cos???????71,tan???，求α+2β=.350

4、（2010全國卷1理數）(14)已知?為第三象限的角，cos2???3,則

5π120，5、課標文數9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈?且sinα＋cos2α＝，則tanα的值等于()?246、（江蘇泰興市重點中學2011屆）（14分）已知a??1,cosx?,b??,sinx?,x??0,??

（1）若//，求tan(?2?)?.4??1?3??sinx?cosx的值； sinx?cosx

（2）若?，求sinx?cosx的值。

7、（四川省成都外國語學校2011屆高三10月文）．已知函數f(x)?x3?bx的圖象在點

A(1,f(1))處的切線的斜率為4，則函數g(x)?3sin2x?bcos2x的最大值是（）

ππ－，則α＋β＝()

8、已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的兩根，α，β∈??2222A.B．－ 3

31212C.或－ D.π或 33330＜?＜9（浙江理6）若?????1cos(?)?-＜?

＜0cos(??)?

42，則2，243，cos(???

2)?

A．

B．

C．D．

10、（2010全國卷1理數）(2)記cos(?80?)?k,那么tan100??

四、典型例題分析

例

1、（2010天津文數）（17）（本小題滿分12分）

在?ABC中，ACcosB。?ABcosC

（Ⅰ）證明B=C：

（Ⅱ）若cosA=-

例

2、（2009湖南卷文）（每小題滿分12分）??1?，求sin?4B??的值。3?3?

??已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2).??（Ⅰ）若a//b，求tan?的值； ??（Ⅱ）若|a|?|b|,0????,求?的值。

例

3、(1)求值：

（2）、化簡logcos40°＋sin50°?1＋3tan10°?1＋cos40°2sin 3π7π＋log2sin________． 88（3）、（2010上海文數）19.（本題滿分1

2分）

已知0?x??

2，化簡：

x?lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).22

例4 [2011·廣東卷]

1π已知函數f(x)＝2sin??3x－6，x∈R.(1)求f(0)的值；

ππ1060，f?3α＋＝f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．(2)設α，β∈?213?2?

5例5.（湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；

?

sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值時角A、B的大小。

例

6、在數1和100之間插入n個實數，使得這n?2個數構成遞增的等比數列，將這n?2個數的乘積記作

（Ⅰ）求數列

（Ⅱ）設

Tn，再令an?lgTn,n≥1.{an}的通項公式； 求數列bn?tanan?tanan?1,{bn}的前n項和Sn.五、反饋訓練

1、（2009寧夏海南卷文）有四個關于三角函數的命題： p1：?x?R, sin2p3: ?x??0,?

?其中假命題的是 x12x+cos=p2: ?x,y?R, sin(x?y)?sinx?siny 222??sinxp4: sinx?cosy?x?y?

2（A）p1，p4（B）p2，p4（3）p1，p3（4）p2，p32、（2009上海卷文）函數f(x)?2cosx?sin2x的最小值是

3.（2010江蘇卷）

10、定義在區間?0,2?

????上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點2?

為P，過點P作PP1⊥x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2,則線段P1P2的長為

4、課標文數5.C8[2011·浙江卷] 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B＝()

5、（2009上海卷文）已知函數f(x)?sinx?tanx。項數為27的等差數列{a

n}滿足

則當d?0,若f(a1)?f(a2)?...?f(a27)?0，f(ak)?0.。

6、（2010重慶文數）（15）如題（15）圖，圖中的實線是由三段圓弧

連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經過同一點P（點P不

在C上）且半徑相等.設第i段弧所對的圓心角為?i(i?1,2,3)，則

cos?

13cos?2??

33?sin?1

3sin?2??3

3?____________.7、（2010福建文數）16.觀察下列等式：

① cos2a=2cosa-1;

② cos4a=8cosa-8cosa+ 1;

③ cos6a=32cosa-48cosa+ 18cosa-1;

④ cos8a=128cosa-256cosa+ 160cosa-32cosa+ 1;864264242

2⑤ cos10a= mcosa-1280cosa+ 1120cosa+ ncosa+ pcosa-1． 可以推測，m – n + p =． 108642

f(x)?tan(2x?),4

8、已知函數

（Ⅰ）求f(x)的定義域與最小正周期； ?

（II）設??????0,?4?f()?2cos2?,?，若2求?的大?。??

??1????????1?，9、已知0???，?為f(x)?cos?2x??的最小正周期，a??tan?????，4????????

???2cos2??sin2(???)b?(cos?，2)，且a?b?m．求的值． cos??sin?

10、設 ? ?[0, ?

2],且 cos2?+2msin?-2m-2<0 恒成立,求 m 的取值范圍.3π41π，?，tanβ＝－β∈?π?，求cos(α＋β)．(2)已知cosα＝－，α∈??2??2?

5311、[2010·四川文數](1)①證明兩角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； ②由Sα＋β推導兩角和的正弦公式Sa＋β：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.六、自我反思與總結

1、反思自己的問題：

2、存在的疑惑有哪些

第五篇：必修4第一章同步練習(六)：化簡與證明

必修4第一章同步練習

（六）：化簡與證明

一、選擇題

1、已知cosα= － 12，α∈（π，2π），則tanα的值是------------------------------（）1

355125AB．C．D．±13125122、化簡

1?tan1602?的結果為（）

A．－cos160°B．cos160°C．±cos160°D．sin160°

3、若是?第二象限角，則tan?1?1化簡的結果是-----------------------------（）2sin?

A．1B．－1C．tan2αD．－tan2α

4、若sin?sin2??cos?cos2??1?0，則?不可能是----------------------------（）

A．第一、第二、第三象限角B．第一、第二、第四象限角

C．第一、第三、第四象限角D．第二、第三、第四象限角

5、如果角?滿足sin??cos??1，那么tan??1的值是-------------------------（）tan?

A．?1B．0C．1D．不存在6、若?為二象限角，且cos?

2?sin?

2??2sin?cos，那么是----------------（）22

2D．第四象限角A．第一象限角B．第二象限角

7、若tanx?2, 則

A．?3C．第三象限角 1的值為：------------------------------（）sinx?3cosxcosx?sinxB．?5C．3D．

58、函數f?x??

1cosx?tanx

B．2個2?2tanx1?12cosx 值域中元素的個數是---------------（）A．1個C．3個D．4個

二、填空題

9、化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β

10、化簡． ?2sin40?cos40?

sin40??sin40?2?．

11、若?是第四象限角，化簡1?2tan?=________________． cos2?

12、若?sin??sin? = －2 tanα，則角?的取值范圍是?1?sin?1?sin?

三、解答題

13、化簡：tanα（cosα－sinα）＋

14、求證：sin?(sin??tan?)． 1?cos?1?2sin?cos?tan??1?． 22sin??cos?tan??

115、已知cosB = cosθsinA , cosC = sinθsinA，求證：sin2A＋sin2B＋sin2C = 2．

參考答案

一、選擇題

BABBDCDD

二、填空題9、1；

10、-1；

11、1?tan?；

12、?2?2k????3??2k?,?k?Z?

2三、解答題

13、sin?

sin2??cos2??2sin?cos??sin??cos??

14、左邊? ?2222sin??cos?sin??cos?2?

15、sin??cos?tan??1??右邊． sin??cos?tan??1

∵cosB?cos?sinA，cosC?sin?sinA，∴cos2B?cos2C?cos2??sin2?sin2A，即：1?sinB?1?sinC?sinA，∴sinA?sinB?sinC?2．

222222222222??