第一篇：高中數學教學案例分析

教學案例

我 所帶的是高二（2）班，她是個龐大的班級，有56名學生。

在第一周上課的幾天里，我漸漸的發現一名“怪”學生——張勇明。這名學生坐在教室正中間第二排的位置上。這樣的位置是老師能看到的最佳位置，就在老師眼皮底下。上課時，其他這種位置的同學 懾于被老師盯上，一般都規規矩矩的坐著，認認真真的聽課，而這位同學卻不然，他好象一點也不怕被我盯上。

上課時，先是看著黑板聽一會兒，然后就彎下腰半趴在課桌上什么也不看，懶懶的樣子，不知道在干什么。下課后我走到他跟前問他是不是有什么事，他笑著搖搖頭說沒有。

課后（2）班主任周老師告訴我，其實那個學生的數學基礎挺扎實的，只是有些懶不能長久堅持下去，應該多注意多關照一下。

在以后的上課中，我在提問其他同學問題的時候，也有意無意的去提問他。課后，走到他跟前問他有沒有不清楚的問題。

漸漸的在以后的課堂上，這位同學半趴在課桌上的次數少了，當講到關鍵處時，我也能看到他在集中精力聽。而且我還發現他一個很好的學習習慣——提前預習書本內容，提前做課后練習及習題。有一次我講四種命題的關系，下課后我走到張勇明跟前，看到他已經把下一節充分必要條件的練習題做過啦，而且準確無誤。

中段考試成績出來了，張勇明的數學考了75分（滿分150分），全班第一名。其中有一道數學大題難度較大，我曾在課堂上給同學們講過，可是只有張勇明一個學生作對，其他做對的同學寥寥無幾。

由此，我體會到：由于（2）班大部分同學基礎比較薄弱，而高中階段新內容新知識的接受又需要以前所學內容做鋪墊，而以前的知識又沒真正掌握，這樣惡性循環下去以致使他們失去了學習的興趣。所以在課堂上，多數同學聽的蒙蒙朧朧似懂非懂。

針對這種現象，我要求同學做到：（1）把以前的數學課本從家里找到帶到教室來，放在課桌上有意識的經常翻一翻。這樣有些沒記住的公式或不熟悉的公理定理就能記住了。（2）同學們作課堂筆記的時候，對于涉及到的舊知識內容如果不了解，那么也要做筆記。這樣易于查漏補缺，新舊內容一起鞏固并掌握。（3）當天事情當天做。每天上完新課后，若有不懂的問題爭取當天解決，或者問我或者問同學。（4）經常復習鞏固。

高二（班）路玉

第二篇：高中數學《誘導公式》教學案例分析

高中數學《誘導公式》教學案例分析

來源：安徽省金寨第一中學 發布時間：2009-07-23 查看次數：424 高中數學《誘導公式》教學案例分析

一、教學設計：

1、教學任務分析：（1）：借助單位圓推導誘導公式，特別是學習對稱性與角終邊對稱性中，發現問題。提出研究方法

（2）能運用誘導公式求三角函數值，進行簡單三角函數式的化簡與恒等式的證明，并從中體會未知到已知，復雜到簡單的轉化過程

2、教學重難點：

教學重點：誘導公式的探究，運用誘導公式進行簡單三角函數式的求值，化簡與恒等式的證明，提高對數學內部的聯系。

教學難點：發現圓的幾何性質（特別是對稱性）與三角函數的聯系，特別是直角坐標系內關于直 y=x對稱的點的性質與的 誘導公式的關系

3、教學基本流程：

4、教學情景設計：

問題 設計意圖 師生活動 閱讀 P26的“思考”，你能夠說說從

圓的對稱性可以得到哪些三角函數的性質？ 引導學生建立圓的性質與三角函數誘導公式之間的聯系 對稱性出發，思考并回答可以研究什么什么性質，老師注意引導學生從圓的對稱性出發，思考相應角的關系，再進一步思考相應的三角函數值的關系。2.閱讀P26頁的“探究”并以問題1為例，說明你的探究結果 講“思考的問題具體化”進一步明確探究方向 教師引導學生思考終邊與角 的終邊關于原點對稱的角與 的數量關系，然后得出三角函數值之間的關系 3.說明自己的探究結果為什么成立 引導學生利用三角函數的定義進行證明公式 2 教師提出對探究結果證明的要求，并留給學生一定的思考時間，學生利用定義進行證明，教師提醒學生注意使用前面的探究結果 4.用類似的方法，探究終邊分別與角 的終邊關于x軸，關于y軸對稱的角與 的數量關系，他們的三角函數值有什么關系？能否證明？ 讓學生加深理解利用單位圓的對稱性研究三角函數的性質的思想方法 教師引導學生“并列學習”同樣的思路研究誘導公式 3.與4，學生獨立思考并自主探究和給出證明 5.概括公式2----4的探究思想方法 及時概括思想方法，提高學習活動中的思想性 引導學生概括出： 6.概括一下公式1--4的特點及其作用 深化對公式的理解 提醒學生注意公式兩邊角的共同點，學生討論并概括說明 7.例題1--2 通過公式的應用，較深對公式的理解 學生對公式的初步應用 8.借助單位圓探究終邊與角 的終邊關于直線 對稱的角與 有何數量關系？它們的正弦，余弦之間的關系式？ 根據公式 2--4的探究經驗，引導學生獨立探究公式5 老師提出問題，學生看到網絡上的單位圓，發現角 的終邊關于直線 對稱的角與 的數量關系，關于直線 對稱的兩個點的坐標之間的關系進行引導 9.能否用已有的公式得到 的正弦，余弦與 的正弦，余弦之間的關系式？ 引導學生用已學的知識進行證明公式 6 教師引導學生將 轉化為 利用公式4.5推導公式6 10例題 加深公式 5.6的理解 學生完成，老師講解 11.在線測評 看看學生的掌握情況 學生測評，教師給以評價 12.總結這些公式，記憶方法。高中數學《誘導公式》網絡教學教師小結：林婉查

作為一名新老師，很榮幸能夠讓大家來聽我的課，通過這課，我學習到如下的東西： 1.要認真的研讀新課標，對教學的目標，重難點把握要到位 2.注意板書設計，注重細節的東西，語速需要改正

3.進一步的學習網頁制作，讓你的網頁更加的完善，學生更容易操作

4.盡可能讓你的學生自主提出問題，自主的思考，能夠化被動學習為主動學習，充分享受學習數學的樂趣

5.上課的生動化，形象化需要加強

高中數學《誘導公式》網絡教學教師評語：林婉查

2006年11月22日數學林婉查K-12課題：誘導公式（校際課）

1．評議者：網絡輔助教學，起到了很好的效果；教態大方，作為新教師，開設校際課，勇氣可嘉！建議：感覺到老師有點緊張，其實可以放開點的，相信效果會更好的！重點不夠清晰，有引導數學時，最好值有個側重點；網絡設計上，網頁上公開的推導公式為上，留有更大的空間讓學生來思考。

2．評議者：網絡教學效果良好，給學生自主思考，學習的空間發揮，教學設計得好；建議：課堂講課聲音，語調可以更有節奏感一些，抑揚頓挫應注意課堂例題練習可以多兩題。3．評議者：學科網絡平臺的使用；建議：應重視引導學生將一些唾手可得的有用結論總結出來，并形成自我的經驗。

4．評議者：引導學生通過網絡進行探究。建議：課件制作在線測評部分，建議不能重復選擇，應全部做完后，顯示結果，再重復測試；多提問學生。

（1）給學生思考的時間較長，語調相對平緩，總結時，給學生一些激勵的語言更好（2）這樣子的教學可以提高上課效率，讓學生更多的時間思考

（3）網絡平臺的使用，使得學生的參與度明顯提高，存在問題：1.公式對稱性的誘導，點與點的對稱的誘導，終邊的關系的誘導，要進一步的修正；2.公式的概括要注意引導學生怎么用，學習這個誘導公式的作用

（4）給學生答案，這個網頁要進一步的修正，答案能否不要一點就出來（5）1.板書設計要進一步的加強，2.語速相對是比較快的3.練習量比較少（6）讓學生多探究，課堂會更熱鬧

（7）注意引入的過程要帶有目的，帶著問題來教學，學生帶著問題來學習（8）教學模式相對簡單重復

（9）思路較為清晰，規范化的推理

第三篇：高中數學教學案例

高中數學教學案例：指數函數的圖像與性質

一、提出問題：

新課程認為知識不是單方面通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（教師指導和同學的幫助）協作，主動建構而獲得的。它強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。通過多年教學實踐和對新課程的認識,我認為若遵循這個原則進行數學課堂教學，學生的學習將是一種高效的活動。

二、教材中的地位：

本節內容是在指數范圍擴充到實數的基礎上引入指數函數的，而指數函數是高中研究的第一種具體函數。是在初中已經初步探討了正比例函數，反比例函數，一次函數，二次函數的圖像和性質的基礎上，在進一步學習了函數的概念及有關性質的前提下，去研究學習的。重點是指數函數的圖像及性質，難點在于弄清楚底數a對于函數變化的影響。這節課主要是學生利用描點法畫出函數的圖像，并描述出函數的圖像特征，從而指出函數的性質。使學生從形到數的熟悉，體驗研究函數的過程與思路，實現意識的深化。

三、設計背景：

在新教材的教學中，我慢慢體會到新教材滲透的、螺旋式上升的基本理念，知識點的形成過程經歷從具體的實例引入，形成概念，再次運用于實際問題或具體數學問題的過程，它的應用性，實用性更明顯的體現出來。學數學重在培養學生的思維品質，經過多年的數學學習，學生還是害怕學數學，尤其高中的數學，它對于學生來說顯得很抽象。所以如果再讓學生感到數學離我們的生活太遠，那么將很難激發他們的學習興趣。所以在教學中我盡力抓住知識的本質，以實際問題引入新知識。另外，就本章來說，指數函數是學習函數概念及基本性質之后研究的第一個重要的函數，讓學生學會研究一個新的具體函數的方法比學會本身的知識更重要。在這個過程中，所有的知識都是生疏的，在大腦中沒有形成基本的框架結構，需要老師的引導，使他們逐漸建立。數學中任何知識的形成都體現出它的思想與方法，因而授課中注重讓學生領悟其中的思想，運用其中的方法去學習新的知識，是非常重要的。

四、教學目標：

（一、）知識：

理解指數函數的定義，能初步把握指數函數的圖像，性質及其簡單應用。

（二、）過程與方法：

由實例引入指數函數的概念，利用描點作圖的方法做出指數函數的圖像，（有條件的話借助計算機演示驗證指數函數圖像）由圖像研究指數函數的性質。利用性質解決實際問題。

（三、）能力：

1．通過指數函數的圖像和性質的研究，培養學生觀察，分析和歸納的能力，進一步體會數形結合的思想方法。

2．通過對指數函數的研究，使學生能把握函數研究的基本方法。

五、教學過程：

由實際問題引入：

問題1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，?1個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞的個數y與x之間的關系是什么？

分裂次數與細胞個數

1，2；2，2×2=22；3，2×2×2=23；????；x，2×2×……×2=2x

歸納：y=2x

問題2：某種放射性物質不斷變化為其它物質，每經過1年剩留的這種物質是原來的84%，那么經過x年后剩留量y與x的關系是什么？

經過1年，剩留量y=1×84%=0.841；經過2年，剩留量y=0.84×0.84=0.842????經過x年，剩留量y=0.84x

尋找異同：

你能從以上的兩個例子中得到的關系式里找到什么異同點嗎？

共同點：變量x與y構成函數關系式，是指數的形式，自變量在指數位置，底數是常數；不同點：底數的取值不同。

那么，今天我們來學習一個新的基本函數：指數函數

得到指數函數的定義：定義：形如y=ax（a>0且a≠1）的函數叫做指數函數。

在以前我們學過的函數中，一次函數用形如y=kx+b（k≠0）的形式表示，反比例函數用形如y=k/x（k≠0）表示，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)表示。對于其一般形式上的系數都有相應的限制。問：為什么指數函數對底數有這樣的要求呢？

若a=0，當x>0時，恒等于0，沒有研究價值 當x≤0時，無意義。

若a<0，當x=1/2，1/4???時是無意義的，沒有研究價值。

若a=1，則=1,是一個常量，也沒有研究的必要。

所以有規定且a>0且a≠1。

由定義，我們可以對指數函數有一初步熟悉。

進一步理解函數的定義：

指數函數的定義域：在我們學過的指數運算中，指數可以是有理數，當指數是無理數時，也是一個確定的實數，對于無理數，學過的有理指數冪的性質和運算法則都適用，所以指數函數的定義域為R.研究函數的途徑：由函數的圖像及性質，從形與數兩方面研究。

學習函數的一個很重要的目標就是應用，那么首先要對函數作一研究，研究函數的圖像及性質，然后利用其圖像性質去解決數學問題和實際問題。根據以往的經驗，你會從那幾個角度考慮？（圖像的分布范圍，圖像的變化趨勢，?）圖像的分布情況與函數的定義域，值域有關，函數的變化趨勢體現函數的單調性。引導學生從定義域，值域，單調性，奇偶性，與坐標軸的交點情況著手開始。

首先我們做出指數函數的圖像，我們研究一般性的事物，常用的方法是：由特殊到一般。我們以具體函數入手，讓學生以小組形式取不同底數的指數函數畫它們的圖像，將學生畫的函數圖像展示，（畫函數的圖像的步驟是：列表，描點，連線。）。

最后，老師在黑板（電腦）上演示列表，描點，連線的過程，并且，畫出取不同的值時，函數的圖像。

要求學生描述出指數函數圖像的特征，并試著描述出性質。

數學發展的歷史表明，每一個重要的數學概念的形成和發展，其中都有豐富的經歷，新課程較好的體現了這點。對新課程背景下的學生而言，數學的知識應該是一個數學化的過程，即通過對常識材料進行細致的觀察、思考，借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，對常識材料進行去粗取精、去偽存真的精加工。該案例正是從數學研究和數學實驗的過程中進行設計。雖然學生的思維不一定真實的重演了人類對數學知識探索的全過程，但確確實實通過實驗、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中將數學數學化，從而才使學生對數學學習產生了樂趣，對數學的研究方法有了一定的了解。

雖然學生要學的數學是歷史上前人已建構好了的，但對他們而言，仍是全新的、未知的，需要用他們自己的學習活動來再現類似的過程。該案例正是從創設問題情景作為教學設計的重要的內容之一。教師應該把教學設計成學生動手操作、觀察猜想、揭示規律等一系列過程，側重于學生的探索、分析與思考，側重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數學能力。教師的地位應由主導者轉變為引導者，使教學活動真正成為學生的活動。在教學過程中，把學習的主動權交給學生，在時間和空間上保證學生在教師的指導下，學生能自己獨立自主的探究學習。使教學活動始終處于學生的“最近發展區”，使每一個學生通過自己的努力，在自己原有的基礎上都有所獲，都有提高。

總之，通過案例研究，不斷研究新教材、新理念，不斷調整教學策略優化課堂教學，培養學生探究學習與創新學習能力將是我們在數學教學中要繼續探究的課題。

第四篇：高中數學教學案例

教學精細化管理有三個層面的涵義。

1.“細”，即管理覆蓋的教學環節要全。在計劃制定、個人備課、集體備課、上課、課后反思、輔導、測試、反饋、總結和教學評價等各環節都要制定規章，不可或缺。只有關注每個環節、每個細節，才不至于影響系統整體功能的發揮。

2.“精”，即管理工作要突出重點。學校要根據實際確定每個時期的教學管理工作重點，重點工作重點做，才能把握住方向，才能立竿見影出效益。不分主次地平均用力往往事倍功半。

3.“精細化管理”要制度化，落實要到位。有制度不落實等于沒制度，落實不堅決、不堅持，也不出效益。

情境教學，即構建一個以情境為基礎，學生在學習中成為提出問題和解決問題的主體，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。“正弦定理”是全日制普通高級中學教科書(試驗修訂本)數學第一冊(下)的教學內容之一，既是初中“解直角三角形”內容的直接延伸，也是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本次課的主要任務是引入并證明正弦定理，我們希望通過本課題探索情境教學在高中數學教學中的應用方法和效果。

一、教學設計

1、創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；

2、啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性問題時需要使用正弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？

3、為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導學生對猜想進行驗證。

二、教學過程

1、設置情境

利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉運到正對岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度∣vl∣= 5 km∕h，水流速度∣v2∣=3 km∕h。

2、提出問題

師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮一下有關的問題，將各自的問題經小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的5個問題：

(l)船應開往B處還是C處？

(2)船從A開到B、C分別需要多少時間？(3)船從A到B、C的距離分別是多少？

(4)船從A到B、C時的速度大小分別是多少？(5)船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？ 師：大家討論一下，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題(l)，需要解決問題(2)，要解決問題(2)，需要先解決問題(3)和(4)，問題(3)用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題(4)，問題(4)與問題(5)是兩個相關問題，因此，解決上述問題的關鍵是解決問題(4)和(5)。

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生：船從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小∣v∣及vl與v2的夾角θ：

生：船從A開往C的情況如圖3，∣AD∣=∣v1∣= 5，∣DE∣=∣AF∣=∣v2∣=3，易求得∠AED = ∠EAF = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。

師：請大家想一下，這兩個問題的數學實質是什么？

部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？

生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素之間的數量關系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。

生：如果另一邊的對角已經求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素的數量關系，則第三邊也可求出。

生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這4個元素之間的數量關系，也能求出第三邊和另一邊的對角。

師：同學們的設想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數量關系，或者三條邊與一個角間的數量關系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？

3、解決問題

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這4個元素間有什么關系？

多數小組很快得出結論：a／sinA = b／sinB = c／sinC。師：a／sinA = b／sinB = c／sinC在非Rt△ABc中是否成立？

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗。若有一個不成立，則否定結論；若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然后報告檢驗結果。

幾分鐘后，多數小組報告結論成立，只有一個小組因測量和計算誤差，得出否定的結論。教師在引導學生找出失誤的原因后指出：此關系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。

生：想法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。

生：因為要證明的是一個等式，所以應先找到一個可以作為證明基礎的等量關系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？ 學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：

1、三角形的面積不變；

2、三角形同一邊上的高不變；

3、三角形外接圓直徑不變。

師：據我所知，從AC+CB=AB出發，也能證得結論，請大家討論一下。生：要想辦法將向量關系轉化成數量關系。

生：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。生：還要想辦法將有三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。

生：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數量積。

師：同學們通過自己的努力，發現并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關系，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。

三、教學總結

在本課的教學中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。

創設數學情境是這種教學模式的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學模式主張以問題為連線組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，因此，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵。教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境，而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。教師還要積極引導學生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發學生揭示問題的數學實質，將提問引向深入。

教學精細化管理有三個層面的涵義。1.“細”，即管理覆蓋的教學環節要全。在計劃制定、個人備課、集體備課、上課、課后反思、輔導、測試、反饋、總結和教學評價等各環節都要制定規章，不可或缺。只有關注每個環節、每個細節，才不至于影響系統整體功能的發揮。

2.“精”，即管理工作要突出重點。學校要根據實際確定每個時期的教學管理工作重點，重點工作重點做，才能把握住方向，才能立竿見影出效益。不分主次地平均用力往往事倍功半。

3.“精細化管理”要制度化，落實要到位。有制度不落實等于沒制度，落實不堅決、不堅持，也不出效益。

情境教學，即構建一個以情境為基礎，學生在學習中成為提出問題和解決問題的主體，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。“正弦定理”是全日制普通高級中學教科書(試驗修訂本)數學第一冊(下)的教學內容之一，既是初中“解直角三角形”內容的直接延伸，也是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本次課的主要任務是引入并證明正弦定理，我們希望通過本課題探索情境教學在高中數學教學中的應用方法和效果。

一、教學設計

1、創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；

2、啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性問題時需要使用正弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？

3、為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導學生對猜想進行驗證。

二、教學過程

1、設置情境 利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉運到正對岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度∣vl∣= 5 km∕h，水流速度∣v2∣=3 km∕h。

2、提出問題

師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮一下有關的問題，將各自的問題經小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的5個問題：

(l)船應開往B處還是C處？

(2)船從A開到B、C分別需要多少時間？(3)船從A到B、C的距離分別是多少？

(4)船從A到B、C時的速度大小分別是多少？(5)船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？ 師：大家討論一下，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題(l)，需要解決問題(2)，要解決問題(2)，需要先解決問題(3)和(4)，問題(3)用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題(4)，問題(4)與問題(5)是兩個相關問題，因此，解決上述問題的關鍵是解決問題(4)和(5)。

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生：船從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小∣v∣及vl與v2的夾角θ：

生：船從A開往C的情況如圖3，∣AD∣=∣v1∣= 5，∣DE∣=∣AF∣=∣v2∣=3，易求得∠AED = ∠EAF = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。

師：請大家想一下，這兩個問題的數學實質是什么？

部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？ 生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素之間的數量關系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。

生：如果另一邊的對角已經求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素的數量關系，則第三邊也可求出。

生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這4個元素之間的數量關系，也能求出第三邊和另一邊的對角。

師：同學們的設想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數量關系，或者三條邊與一個角間的數量關系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？

3、解決問題

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這4個元素間有什么關系？

多數小組很快得出結論：a／sinA = b／sinB = c／sinC。師：a／sinA = b／sinB = c／sinC在非Rt△ABc中是否成立？

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗。若有一個不成立，則否定結論；若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然后報告檢驗結果。

幾分鐘后，多數小組報告結論成立，只有一個小組因測量和計算誤差，得出否定的結論。教師在引導學生找出失誤的原因后指出：此關系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。

生：想法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。

生：因為要證明的是一個等式，所以應先找到一個可以作為證明基礎的等量關系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？ 學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：

1、三角形的面積不變；

2、三角形同一邊上的高不變；

3、三角形外接圓直徑不變。

師：據我所知，從AC+CB=AB出發，也能證得結論，請大家討論一下。生：要想辦法將向量關系轉化成數量關系。

生：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。生：還要想辦法將有三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。

生：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數量積。

師：同學們通過自己的努力，發現并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關系，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。

三、教學總結

在本課的教學中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。

創設數學情境是這種教學模式的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學模式主張以問題為連線組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，因此，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵。教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境，而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。教師還要積極引導學生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發學生揭示問題的數學實質，將提問引向深入。

第五篇：高中數學研究性學習案例分析

高中數學研究型學習報告

姓 名：蘇嘯武 班 級：高二（1）班 指導老師：劉宏曉

高中數學研究性學習案例分析

背景與問題

在水平桌面上放一只內壁光滑的且近似拋物面形的玻璃水杯，取一些長短不一的細直金屬棒隨意丟入該水杯中,發現呈現如圖所示的現象：

(1)猜想交匯點性質;

(2)結合猜想,根據物理學原理，對上述現象提出假說;

(3)將假說數學化;

(4)對假說的真假加以證明;

(5)自我評價以下探索過程.發現與探索

(1)焦點;

(2)假說：根據物體平衡的重心性質判斷，當細棒長度不小于拋物線通徑時，當且僅當細棒過拋物線焦點時它的中點到桌面距離最小；反之，當且僅當細棒平行于桌面時它的中點離桌面距離最小。

(3)數學化:已知拋物線方程是x2=2py,焦點是F，現有長度為定值a的拋物線的弦AB，AB中點為M。則當|AB|≥2p時，只要AB過F，M到x軸的距離最小；而當|AB|<2p時，只要AB與x軸平行，M到x軸的距離最小。

(4)證明：

方法一：如圖，記A、B、M在準線上的射影分別是A1、B1、M1，因為總有|FA|+|FB|≥|AB|，所以2|MM1|=|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|≥|AB|=a，即當AB過焦點時M到準線距離取得最小值,為|AB|的一半,此時M到x軸距離最小。不過這個方法只證明了AB長不小于2p時的情形。

方法二：令AB所在的直線方程是：y=kx+b,代入x2=2py得x2-2pkx-2pb=0，如令A(x1,y1)、B(x2,y2)則有x1+x2=2pk,x1x2=-2pb。

所以由弦長公式可得：a2=|AB|2=(1+k2)[(2pk)2+8pb]，上為增函數可知k=0時y1+y2最小(因而M到x軸距離最小)，此時AB平行x軸；

方法三：“物理”方法。

如圖，對于后一條件易證明弦恰過焦點，對于前一條件，當然是指弦與x軸平行了。

綜上所述，當弦長不小于通徑時，它過焦點時重心最低；當弦長小于通徑時，它平行于x軸(這樣的弦因為太“短”，不能夠過焦點)時重心最低。從而根據物理學原理證明了原數學問題。

(5)上述探索的過程表明：“數理相通，數學與物理是人們從不同角度認識世界的兩種表面迥異但內涵相同的東西。總之它們可以互相證明、變通。如本題，一旦理解了它的物理含義，則它其中隱含的東西就