第一篇：信號分析與處理 期末考試

2014-2015學年第一學期期末考試

《信號分析與處理中的數學方法》

學號： 姓名：

注意事項：

1.嚴禁相互抄襲，如有雷同，直接按照不及格處理； 2.試卷開卷；

3.本考試提交時間為2014年12月31日24時，逾期郵件無效； 4.考試答案以PDF和word形式發送到sp_exam@126.com。

1、敘述卡享南—洛厄維變換，為什么該變換被稱為最佳變換，何為其實用時的困難所在，舉例說明其應用。

解：形為λφ()=(,)()(1-1)

0的方程稱為齊次佛萊德霍姆積分方程，其中φ（t）為未知函數，λ是參數，C（t,s）為已知的“核函數”，它定義在[0，T]×[0，T]上，我們假定它是連續的，且是對稱的：

(t,s)=(s,t)(1-2)使積分方程(1-1)有解的參數λ稱為該方程的特征值，相應的解φ(t)稱為該方程的特征函數。

又核函數可表示為：

C(t,s)= =1()()（1-3）

固定一個變量（例如t），則式（1-3）表示以s為變量的函數C(t,s)關于正交系{φ(s)}

n∞的傅里葉級數展開，而傅里葉級數正好是λ

n

φn(t)。

設x（t）為一隨機信號，則其協方差函數

（t,s）={[x(t)-E{x(t)}][x(s)-E{x(s)}]}是一個非隨機的對稱函數，而且是非負定的。為了能方便地應用式(1-3)，假定C(t,s)是正定的，在多數情況下，這是符合實際的。當然，還假定C(t,s)在[0，T]×[0，T]上連續。現在用特征函數系{φ(t)}作為基來表示x（t）：

nx(t)= n=1αnφn(t)(1-4)其中

T∞

αn

n

= x（t）φn（t）dt

0因為{φ（t）}是歸一化正交系，所以展開式（1-4）類似于傅里葉級數展開。但是因為x（t）是隨機的，從而系數xn也是隨機的，因此這個展開式實際上并不是通常的傅里葉展開。

式(1-4)稱為隨機信號的卡享南-洛厄維展開。因為這種變換能使變換后的分量互不相關，而且這種展開的截斷既能使均方差誤差最小，又能使統計影響最小，故具有最優性。

卡享南-洛厄維變換沒有固定的變換矩陣，它依賴于給定的隨機向量的協方差陣。正是這種變換的特點，也是它在實際使用時的困難所在，因為它需要依照不固定的矩陣求特征值和特征向量。

卡享南-洛厄維變換應用在數據壓縮技術中。按照最優化原則的數據壓縮技術可以解決通訊和數據傳輸系統的信道容量不足和計算機存儲容量不足的問題。通過對信號作正交變換，根據失真最小的原則在變換域進行壓縮。卡享南-洛厄維變換被選用并不是偶然的，因為這種變換消除了原始信號x的諸分量間的相關性，從而使數據壓縮能遵循均方誤差最小的準則實施。

2、最小二乘法的三種表現形式是什么？以傅里葉級數展開為例說明其各自的優缺點。

解：希爾伯特空間中線性逼近問題的求解方法稱為最小二乘法。通常它有三種不同的表現形式：投影法、求導法和配方法。我們以傅里葉級數展開為例來說明。

投影法：

設X為希爾伯特空間，{e1,e2,e3??}為X中的一組歸一化正交元素，x為X中的某一元素。在子空間M=span{e1,e2,e3??}中求一元素m，使得

x?m‖‖x-m0‖=minm‖∈(2-1)M由于M中的元素可表示為e1,e2,e3??的線性組合，那么問題就轉化為求系數 α1,α2??使得

‖x-k=1akek‖=min 2-2 投影定理指出了最優系數α

1∞,α2??應滿足 x-k=1akek⊥ek ,m=1,2, ??

∞由此可得（x,em）=(k=1akek ∞,em)=am

也就是說，當且僅當ak取為x關于歸一化正交系{ e1,e2,e3??}的傅立葉系數ak=(x,ek)ck時式（2-2）成立。

＝Δ

求導法： 記泛函

f??1,?2,??x???kekk?1?

2(2-4)為了便于使用求導法求此泛函的最小值，將它表為

f??1,?2,???????x???kek,x???mem?k?1m?1???x?2??kck???k2k?1k?12??(2-5)

其中ck??x,ek?。于是最優的?1,?2,應滿足

?f?0,m?1,2,??m即?2cm?2?m?0，或?m?cm,配方法：

m?1,2,。

f??1,?2,?2?x?2??kck???k2k?1k?1?2k?2k?2??(2-6)

? ?x??c??c?2??kck???k2

k?1k?1k?1k?12 ?x??c????k?ck?

2kk?1k?1??2 ?min??k?ck，k?1,2，以上三種方法都稱為最小二乘法。比較起來，從數學理論上講，投影法較高深，求導法次之，配方法則屬初等；從方法難度上講，求導法最容易，投影法和配方法各有千秋；從結果看，配方法最好，因為它不僅求出了最優系數?k，而且由配方結果立即可知目標函數f??1,?2,?的極值。此外，配方法和投影法都給出了f達到極小的充分和必要條件，但求導法給出的僅僅是極值的必要條件，如果是極值，還不知道是極大還是極小，所以是不完整的。

通過以上的比較，我們不能簡單地得出結論，說這三種方法孰勝孰劣。例如： 投影法必須把所討論的最優化問題放到某個希爾伯特空間的框架中去；

求導法必須有可行的求導法則，如果未知的變元是向量，矩陣或函數，求導法就不那么直捷了；

配方法則是一種技巧性很強的方法，如果目標函數的表達式比較復雜（例如含有向量和矩陣），那么配方是相當困難的，甚至會束手無策。

因此，在不同的場合，根據不同的需要和可能，靈活地使用恰當的方法，是掌握最小二乘法的關鍵。

3、二階矩有限的隨機變量希爾伯特空間中平穩序列的預測問題的法方程稱為關于平穩序列預測問題的yule-walker方程，試用投影法和求導法推導該方程。該方程的求解算法稱為最小二乘算法，請對這些算法的原理予以描述。

解：考慮二階矩有限的隨機變量希爾伯特空間中的序列?x1,x2,?，記子空間

Mk,N?span?xk?N,xk?N?1,現在的問題是，用Mk,N中的元素 ,xk?1?(3-1)

xk?N????mxk?mm?1N(3-2)

來估計xk，并使得均放誤差最小，也就是求系數?1，?N使得

xk?xN2k?E??x?x???min(3-3)

?N?2kk這個問題就是隨機序列的預測問題。投影法：

?N?根據投影定理，xk應是xk在子空間Mk,N中的投影，即?1，?N滿足

N??x??x?k?mk?m??xk?l,l?1,m?1??,N(3-4)根據空間中的正交性定義，上式即為

??E?xmm?1Nk?mk?lx??E?xkxk?l?,l?1，N(3-5)這就是最佳預測的法方程。因為隨機序列?x1,x2,?是平穩的，故式(3-5)可寫作

?rm?1Nm?l?m?rl,l?1，N(3-6)其中r???r?。方程(3-6)即為??E?xm??xm?是該平穩序列的自相關，它滿足rYule-Walker方程，它的分量形式為

?r0?r?1???rN?1求導法：

r1r0rN?2rN?1???1??r1?rN?2???2??r2???????(3-7)??????????r0???N??rN? 我們先將式(3-3)改寫為如下形式

f??1,進一步推導有 ,?n??x???kykk?1n2?min(3-8)

nn??f??x???kyk,x???kyk?k?1k?1???x?2??x,yk??k????yk,ym??k?mk?1k?1m?12nnn(3-9)

?x?2?T???TY?利用求導公式，?應滿足??f??2??2Y??0，即Y???。

2最小二乘法是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，并使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。

4、簡述卡爾曼濾波以及由其衍生出的EKF、UKF和粒子濾波的原理，指出卡爾曼濾波中Q陣和R陣的確定方法以及對濾波結果的影響，并指出以上這些濾波算法可能的應用。

解：卡爾曼濾波器用反饋控制的方法估計過程狀態：濾波器估計過程某一時刻的狀態，然后以測量變量的方式獲得反饋。

卡爾曼濾波器可分為兩個部分：時間更新方程和測量更新方程。

時間更新方程負責及時向前推算當前狀態變量和誤差協方差估計的值，以便為下一個時間狀態構造先驗估計。

測量更新方程負責反饋——也就是說，它將先驗估計和新的測量變量結合以構造改進的后驗估計。時間更新方程也可視為預估方程，測量更新方程可視為校正方程。

時間更新方程：

??k?1?Buk?1(4-1)xk?Ax?TP?APA?Q(4-2)kk?1

狀態更新方程：

?T?T?1Kk?PkH(HPkH?R)(4-3)???k?xk?kx?Kk(yk?Hx)(4-4)

Pk?(I?KkH)Pk?(4-5)

測量更新方程首先做的是計算卡爾曼增益Kk。

?其次便測量輸出以獲得zk，然后產生狀態的后驗估計。最后按Pk?(I?KkH)Pk產生估計狀態的后驗協方差。

計算完時間更新方程和測量更新方程，整個過程再次重復。上一次計算得到的后驗估計被作為下一次計算的先驗估計。由于這種遞歸很容易實現，所以卡爾曼濾波器得到了廣泛的應用。

卡爾曼濾波器可應用于所有的需要對狀態進行估計的對象中，目前在無線傳感器網絡的信息融合，雷達目標跟蹤，計算機圖像處理等領域都有廣泛的應用。

5、什么是插值？有多少種插值？具體說明樣條插值的原理，舉例說明其應用。

解：在有的實際問題中，被逼函數處的數值：

x?t?并不是完全知道的，只是知道其在一些采樣點x?ti??xi,i?0,1,(5-1)這時，希望用簡單的或可實現的函數f?x?去擬合這些數據。如果恰能做到f?ti??xi，那么這就為插值；如果辦不到，則要考慮最佳逼近問題。

插值的種類：

多項式插值，有理插值，指數多項式插值。

差值很早就為人所應用，早在6世紀，中國的劉焯已將等距二次插值用于天文計算。17世紀之后，I.牛頓，J.-L.拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是數據處理和編制函數表的常用工具，又是數值積分、數值微分、非線性方程求根和微分方程數值解法的重要基礎，許多求解計算公式都是以插值為基礎導出的。

插值在圖像處理中的應用。在許多實際應用中，需要對圖形或圖像以某種方式進行放大或縮小。幾何變換中的縮放處理可以改變圖像或圖像中部分區域的大小，但對圖像進行縮放的目標是盡量減少變化后圖像的空間畸變，插值方法可以幫助我們將這種畸變減少到最少程度。

第二篇：《信號分析與處理》教案

山東大學授課教案

課程名稱 ：信號分析與處理

本章節授課內容：緒論（信號概述）

教學日期 授課教師姓名：李歧強

職稱：教授

授課對象：自動化09級

授課時數：3 教材名稱及版本：信號分析與處理

楊西俠、柯晶編著

授課方式（講課√

實驗

實習

設計）

本單元或章節的教學目的與要求

本章主要介紹有關信號的基本概念 —— 信號、信號的分類，并介紹信號分析和信號處理的相關知識。

要求學生掌握信號、信息的概念及其相關之間的關系，理解信號分析和信號處理的概念。

授課主要內容及學時分配（2學時）

1．1 信號 1．2 信號的分類 1．3 信號分析與處理

輔助教學情況（多媒體課件、板書、繪圖、標本、示教等）多媒體課件

主要外語詞匯

signal, periodic signal, nonperiodic signal, digital signal, analog signal, signal process

參考教材（資料）

1.周浩敏．信號處理技術基礎．北京：航空航天大學出版社，2001

2.鄭君里，應啟絎，楊為理．信號與系統（第二版）．北京：高等教育出版社，2000 3．Oppenheim A V, Willsky A S with Nawab S H.Signals and Systems(Second Edition).Prentic Hall,1999（清華大學出版社影印本）

4．Orfanidis S.J.Introduction to Signal Processing.Prentic Hall International,Inc,1996（清華大學出版社影印本）

5．陳行祿，秦永年．信號分析與處理．北京：航空航天大學出版社，1992 6．徐守時．信號與系統理論、方法和應用．合肥：中國科技大學出版社，1999

山東大學授課教案

課程名稱 ：信號分析與處理

本章節授課內容：模擬信號的頻譜分析

教學日期 授課教師姓名：李歧強

職稱：教授

授課對象：自動化09級

授課時數：12 教材名稱及版本：信號分析與處理

楊西俠、柯晶編著

授課方式（講課√

實驗

實習

設計）

本單元或章節的教學目的與要求

模擬信號分析是信號分析的基本內容之一，也是本課程的最基礎部分。通過對模擬信號的頻譜分析，掌握信號頻譜的概念以及周期信號，非周期信號和抽樣信號頻譜特點，為離散信號的分析打下良好的基礎。

要求學生掌握周期信號，非周期信號和抽樣信號頻譜分析方法，理解與掌握周期信號，非周期信號和抽樣信號頻譜特點。

授課主要內容及學時分配（12學時）

（2學時）2．1 連續時間信號的時域分析

（4學時）2．2 周期信號的頻譜分析——傅里葉級數（4學時）2．3 非周期信號的頻譜分析——傅里葉變換（2學時）2．4 抽樣信號的傅里葉變換

重點、難點及對學生的要求（掌握、熟悉、了解、自學）

1）掌握與理解頻譜的基本概念。

2）掌握周期信號的頻譜分析方法以及特點。（重點、難點）3）掌握非周期信號的頻譜分析方法以及特點。（重點、難點）4）了解周期信號傅里葉級數和傅里葉變換的聯系與區別。5）掌握抽樣信號的傅里葉變換。

主要外語詞匯

signal, periodic signal, nonperiodic signal, digital signal, analog signal, step signal, impulse signal, sine signal, cosine signal, rectangular pulse signal, complex exponential signal, Fourier analysis, Fourier transform, Fourier series, Fourier coefficient, spectrum density, amplitude spectrum, phase spectrum, complex spectrum.輔助教學情況（多媒體課件、板書、繪圖、標本、示教等）多媒體課件

復習思考題

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5

2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 2-14 2-15 2-16 2-17 2-18

參考教材（資料）

1.周浩敏．信號處理技術基礎．北京：航空航天大學出版社，2001

2.鄭君里，應啟絎，楊為理．信號與系統（第二版）．北京：高等教育出版社，2000 3．Oppenheim A V, Willsky A S with Nawab S H.Signals and Systems(Second Edition).Prentic Hall,1999（清華大學出版社影印本）

4．Orfanidis S.J.Introduction to Signal Processing.Prentic Hall International,Inc,1996（清華大學出版社影印本）

5．陳行祿，秦永年．信號分析與處理．北京：航空航天大學出版社，1992 6．徐守時．信號與系統理論、方法和應用．合肥：中國科技大學出版社，1999

山東大學授課教案

課程名稱 ：信號與系統

本章節授課內容：離散信號分析

教學日期 授課教師姓名：李歧強

職稱：教授

授課對象：自動化09級

授課時數：10 教材名稱及版本：信號分析與處理

楊西俠、柯晶編著

授課方式（講課√

實驗

實習

設計）

本單元或章節的教學目的與要求

離散信號分析是數字信號處理的基本內容之一，也是本課程的重點。通過對信號的頻譜分析，掌握信號特征，以便對信號作進一步處理，達到提取有用信號的目的。

要求學生掌握離散信號分析方法，注重DTFT，DFS，DFT的基本概念，以及它們的區別與聯系，熟悉FFT算法原理。

授課主要內容及學時分配（10學時）

（1學時）3．1 離散時間信號——序列（1學時）3．2 序列的z變換（1學時）3．3 序列的傅里葉變換（1學時）3．4 離散傅里葉級數（DFS）（2學時）3．5 離散傅里葉變換（DFT）（2學時）3．6 快速傅里葉變換（FFT）（2學時）3．7 離散傅里葉變換的應用

重點、難點及對學生的要求（掌握、熟悉、了解、自學）

1）掌握與熟悉DTFT，DFS，DFT的基本概念。（重點）2）掌握DTFT，DFS，DFT的區別與聯系。（重點、難點）3）熟悉FFT算法原理，正確繪制FFT運算蝶形圖。4）了解DFT的應用。

主要外語詞匯

discrete time signal, sequence, discrete time Fourier transform, discrete Fourier transform, discrete Fourier series, principal value sequence, convolution sum, bit-reversal, butterfly flow graph

輔助教學情況（多媒體課件、板書、繪圖、標本、示教等）多媒體課件

復習思考題

3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-18

參考教材（資料）

1.周浩敏．信號處理技術基礎．北京：航空航天大學出版社，2001

2.鄭君里，應啟絎，楊為理．信號與系統（第二版）．北京：高等教育出版社，2000 3．Oppenheim A V, Willsky A S with Nawab S H.Signals and Systems(Second Edition).Prentic Hall,1999（清華大學出版社影印本）

4．Orfanidis S.J.Introduction to Signal Processing.Prentic Hall International,Inc,1996（清華大學出版社影印本）

5．陳行祿，秦永年．信號分析與處理．北京：航空航天大學出版社，1992 6．程佩青．數字信號處理教程（第二版）．北京：清華大學出版社，2001 7．陳懷琛．數字信號處理教程——MATLAB釋義現實現．北京：電子工業出版社，2004

山東大學授課教案

課程名稱 ：信號與系統

本章節授課內容：模擬濾波器的設計

教學日期 授課教師姓名：李歧強

職稱：教授

授課對象：自動化09級

授課時數：6 教材名稱及版本：信號分析與處理

楊西俠、柯晶編著

授課方式（講課√

實驗

實習

設計）

本單元或章節的教學目的與要求

信號處理中最廣泛的應用是濾波。數字濾波器的設計是數字信號處理中最基本的技術之一。但是某些數字濾波器實質上是對模擬濾波器的模仿。通過本章的學習，了解模擬濾波器的基本概念和設計原理，為數字濾波器的學習打下基礎。

要求學生掌握與理解模擬濾波器的基本概念及設計方法，掌握Butterworth 和Chebyshev模擬濾波器的設計。

授課主要內容及學時分配（6學時）

（2學時）

4．1 模擬濾波器的基本概念及設計方法（4學時）

4．2 模擬濾波器的設計

重點、難點及對學生的要求（掌握、熟悉、了解、自學）

1）掌握與理解模擬濾波器的基本概念及設計方法。（重點）

2）掌握Butterworth 和Chebyshev模擬濾波器的設計。（重點、難點）3）了解頻率變換法設計高通、帶通和帶阻濾波器的方法。

主要外語詞匯

filter, Butterworth approximation, Chebyshev approximation , ideal low-pass filter, system function.輔助教學情況（多媒體課件、板書、繪圖、標本、示教等）多媒體課件

復習思考題 4-1 4-2 4-3 4-4

參考教材（資料）

1.周浩敏．信號處理技術基礎．北京：航空航天大學出版社，2001 2．鄭君里，應啟絎，楊為理．信號與系統．北京：高等教育出版社，2000 3．Oppenheim A V, Willsky A S with Nawab S H.Signals and Systems(Second Edition).Prentic Hall,1999（清華大學出版社影印本）

4．Orfanidis S.J.Introduction to Signal Processing.Prentic Hall International,Inc,1996（清華大學出版社影印本）

5．陳行祿，秦永年．信號分析與處理．北京：航空航天大學出版社，1992 6．程佩青．數字信號處理教程（第二版）．北京：清華大學出版社，2001 7．陳懷琛．數字信號處理教程——MATLAB釋義現實現．北京：電子工業出版社，2004

山東大學授課教案

課程名稱 ：信號與系統

本章節授課內容：數字濾波器的設計

教學日期 授課教師姓名：李歧強

職稱：教授

授課對象：自動化09級

授課時數：10 教材名稱及版本：信號分析與處理

楊西俠、柯晶編著

授課方式（講課√

實驗

實習

設計）

本單元或章節的教學目的與要求

數字濾波器是數字信號處理中最重要的基本內容之一，通過本章的學習，了解數字濾波器的基本概念并掌握IIR和FIR的原理及設計方法。

授課主要內容及學時分配（10學時）

（1學時）5．1 基本概念

（3學時）5．2 IIR數字濾波器設計

（4學時）5．3 FIR數字濾波1 基本概念器設計（2學時）5．4數字濾波器的2 IIR數字濾波實現 3 FIR數字濾波

重點、難點及對學生的要求（掌握4數字濾波器的、熟悉、了解、自學）

1）掌握與理解數字濾波器的基本概念及設計方法。（重點）2）掌握IIR 和FIR模擬濾波器的設計。（重點、難點）3）了解數字濾波器的實現。

主要外語詞匯

digital filter, impulse invariance, bilinear transformation, window function, finite impulse response(FIR), infinite impulse response(IIR), recursive digital filter, nonrecursive digital filter.輔助教學情況（多媒體課件、板書、繪圖、標本、示教等）多媒體課件

復習思考題

5-1 5-2

5-3

5-4

5-5

5-6

5-7 5-8 5-9 5-10 5-11

參考教材（資料）

1.周浩敏．信號處理技術基礎．北京：航空航天大學出版社，2001 2．鄭君里，應啟絎，楊為理．信號與系統．北京：高等教育出版社，2000 3．Oppenheim A V, Willsky A S with Nawab S H.Signals and Systems(Second Edition).Prentic Hall,1999（清華大學出版社影印本）

4．Orfanidis S.J.Introduction to Signal Processing.Prentic Hall International,Inc,1996（清華大學出版社影印本）

5．陳行祿，秦永年．信號分析與處理．北京：航空航天大學出版社，1992 6．程佩青．數字信號處理教程（第二版）．北京：清華大學出版社，2001 7．陳懷琛．數字信號處理教程——MATLAB釋義現實現．北京：電子工業出版社，2004

第三篇：2014《信號分析與處理》復試大綱

華北電力大學2014年碩士研究生入學復試考試

《信號分析與處理》考試大綱

課程名稱：信號分析與處理

一、考試的總體要求

掌握連續和離散信號與系統的基本知識，連續和離散信號與系統的時域及變換域分析方法，信號的抽樣與恢復，信號的調制與解調，系統的狀態變量分析。

二、考試的內容

1.信號與系統的基礎知識：信號和系統的概念及分類；信號的基本運算及典型信號的定義和性質；系統性質的判定。

2.連續時間系統的時域分析：線性系統微分方程式的建立與求解；系統全響應的自由響應和強迫響應分解形式；零輸入響應和零狀態響應；系統的單位沖激響應和單位階躍響應的概念及求解；信號的時域分解和卷積積分的定義、性質、計算；卷積積分法求解線性時不變系統的零狀態響應。

3.信號與系統的變換域分析：Fourier級數和Fourier變換的求解方法及基本性質；周期、非周期信號的頻譜；運用Fourier分析方法對信號進行頻譜分析；信號的抽樣與恢復；Laplace變換定義、收斂域；Laplace變換的性質、Laplace逆變換；系統函數的定義、意義、求法與應用；系統函數的零、極點分布與系統特性的關系；系統的穩定性；連續離散時間系統的復頻域框圖與流圖描述形式；任意信號激勵下系統的穩態響應；信號的無失真傳輸和理想低通濾波器；系

統調制和解調的原理與實現；拉普拉斯變換在線性系統分析中的應用。

4.線性離散時間系統的分析：離散時間信號的表示、性質、運算及卷積和；線性離散時間系統的建模、分析；離散時間系統的單位響應；離散時間系統的零狀態響應、零輸入響應和全響應；Z變換定義、收斂域；Z變換與拉普拉斯變換的關系；Z變換的性質、Z逆變換；離散系統的Z變換分析；離散系統的系統函數；掌握離散時間系統的時域和Z域框圖與流圖描述形式；

5.系統的狀態變量分析：狀態、狀態變量、狀態矢量的概念；狀態方程和輸出方程的建立。

三、考試的題型

(1)簡答題(2)證明題(3)計算題

第四篇：統計信號分析與處理實驗報告

實驗2 隨機過程的計算機模擬

一、實驗目的

1、給定功率譜（相關函數）和概率分布，通過計算機模擬分析產生相應的隨機過程；

2、通過該隨即過程的實際功率譜（相關函數）和概率分布驗證該實驗的有效性；

3、學會運用Matlab 函數對隨機過程進行模擬。

二、實驗原理

1、標準正態分布隨機序列的產生方法：利用隨機變量函數變換的方法。設r1，r2為兩個相互獨立的（0，1）均勻分布的隨機數，如果要產生服從均值為m,方差為正態分布的隨機數x，則可以按如下變換關系產生：

2、正態隨機矢量的模擬：設有一 N 維正態隨機矢量，其概率密度為

為協方差矩陣，且是正定的。

3、具有有理譜的正態隨機序列的模擬

根據隨機過程通過線性系統的理論，白噪聲通過線性系統后，輸出是正態的，且輸出功

率譜只與系統的傳遞函數有關。利用這一性質，我們可以產生正態隨機過程。

如上圖所示，輸入W(n)為白噪聲，假定功率譜密度為G(z)= 1 W，通過離散線性系統

后，輸出X(n)是正態隨機序列，由于要求模擬的隨機序列具有有理譜，則G(z)X 可表示為：

其中，G(z)X+ 表示有理譜部分，即所有的零極點在單位圓之內，G(z)X? 表示非有理譜部分，即所有零極點在單位圓之外。

4、滿足一定相關函數的平穩正態隨機過程的模擬，當已知平穩隨機過程的相關函數而要確定該隨機過程的模擬算法。很顯然，只要我們設計一個合適的濾波器，使得該白噪聲通過濾波器后，輸出的功率譜滿足上述相關函數的傅里葉變換，就可以模擬得到該隨機過程。

三、實驗內容

1、產生兩組相互獨立的（0，1）均勻分布的隨機數（隨機數個數：500）

程序及圖形如下: clear;x=randn(1,500);y= randn(1,500);subplot(2,1,1);plot(x);title('第二組');subplot(2,1,2);plot(y);title('第一組')

2、按照實驗原理中的方法產生一組均值為1，方差為1 的正態分布的隨機序列（序列長度：500）程序及圖形如下： clear;y=1+sqrt(1)*randn(1,500);plot(y);title(‘正態分布，均值方差都為1’)

3、畫出功率譜密度為G(w)=1/(1.25+cosw)的功率譜圖（一個周期內），采用均勻采樣方法，采樣點數為500 程序及圖形如下： clear;w=rand(1,500);M=1.25+cos(w);N=1;G=N./M;plot(G);title('均勻采樣功率頻譜');

5、模擬產生一個功率譜為G(w)=1/(1.25+cosw)的正態隨機序列 程序及圖形如下: clear;w=randn(1,500);M=1.25+cos(w);N=1;G=N./M;plot(G);title('均勻采樣功率頻譜');

四、實驗中所遇到問題及解決方法

問題

1、對Matlab軟件很生疏、編程也不熟悉。解決方法：我和同學利用學校資源和網絡查找和參看了許多有關Matlab的資料，對其中一些基本知識和有關隨機信號處理的章節作了詳細了解和練習。同時也向老師同學請教，經過實驗課上和平時的練習，漸漸地有了一些好的進展，這個過程很漫長，但是很值得我們花時間和精力去了解。

問題

2、對Matlab中與統計信號處理隨機過程中的某些函數的運用很有困難。

解決方法：也是查找Matlab的書籍中有關內容，然后在Matlab上學會用help中的相關輔助、查找功能。

問題

3、運用Matlab編程時編寫的程序經過運行之后有錯，而且很難發現其中錯誤。

解決方法：充分利用Matlab運行出錯之后的英文提示進行分析和改正，然后也要比較Matlab語言與C語言的差異和共同點，這樣比較學習有利于我們更好地了解這門語言。

五、實驗總結及心得體會 實驗總結：

本實驗是運用Matlab作為工具來對隨機過程中的功率譜（相關函數）和概率分布函數進行模擬和驗證，由于隨機過程中涉及的數據和運運算往往比較繁多和復雜，運用Matlab這個軟件的強大的數據、運算和圖像處理功能可以很好的解決隨機過程中的一些問題。

此外，這個實驗也從實際動手的角度加深了我們對隨機過程特征估計的理解，運用Matlab處理的圖形也可以很深刻的幫助我們理解相關知識。心得體會：

這次實驗對于同學和我來說剛開始時是很不容易的，但是經過和同學的協作、查找參看一些相關資料，我們對Matlab的實際操作之后，我們還是有一些收獲的，我們對Matlab有了進一步認識，對于隨機過程這一重要內容也有所了解，對于統計信號分析的一些知識也不僅僅只是再停留在理論方面了，這次實驗讓我們以實際動手的方式去認知感受統計信號的知識。更重要的是我覺得，這次實驗也在一定程度上，鍛煉、提高我們通信工程專業學生的根據理論分析和實驗工具來設計分析實驗的思維和能力。

此外，我們發現做實驗時理論知識也是很重要的，只有對理論知識有了很深的理解，這樣才有可能運用課堂所學內容去指導實踐，也只有這樣的實踐才會加強我們對知識的掌握程度。

實驗3 隨機過程的特征估計

一、實驗目的

1、了解隨機過程特征估計的基本概念和方法；

2、學會運用Matlab 函數對隨機過程進行特征估計；

3、通過實驗了解不同估計方法所估計出來結果之間的差異。

二、實驗原理

設隨機序列 X(n)、Y(n)為各態歷經過程，樣本分別為x(n)、y(n)（n=0,1,....N-1）。

1、均值的估計

2、方差的估計

方差估計有兩種情況，如果均值 mx 已知，則

如果均值未知，那么

3、相關函數估計

4、功率譜估計

功率譜的估計有幾種方法，（1）自相關法:先求相關函數的估計，然后對估計的相關函數做傅立葉變換，（2）周期圖法:先對序列 x(n)做傅立葉變換，則功率譜估計為

周期圖法是一種非參數譜估計方法，另外還有一種修正的周期圖方法，也叫Welch 法，MATLAB 有周期圖和Welch 法的譜估計函數。（3）現代譜估計技術

現代譜估計主要有參數譜估計和子空間譜估計。參數譜估計法是假定待估計功率譜的信號是白噪聲驅動線性系統的輸出，常用的方法有基于最大墑估計的伯格算法和Yuler-Walk自回歸(AR)方法，這些方法是估計線性系統的參數，通常會得到比經典譜估計方法更好的估計。子空間法也稱為高分辨率譜估計或超分辨率譜估計，常用的方法有MUSIC 法和特征矢量法，這些方法是根據相關矩陣的特征分析或特征分解得到對信號的頻率分量的估計，特別適合于線譜（即正弦信號）的估計，是低信噪比環境下檢測正弦信號的有效方法。MATLAB 有許多估計數字特征的統計函數：

1.均值與方差mean(A)，返回序列的均值，序列用矢量A 表示。VAR(X)，返回序列X 的方差。

2.互相關函數估計xcorr用法： c = xcorr(x,y)c = xcorr(x)c = xcorr(x,y,'option')c = xcorr(x,'option')xcorr(x,y)計算X 與Y 的互相關，矢量X 表示序列x(n)，矢量Y 表示序列y(n)。xcorr(x)計算X 的自相關。option 選項是： 'biased'：有偏估計

'unbiased':：無偏估計

'coeff'：m=0 的相關函數值歸一化為1。'none'：不作歸一化處理。

3.功率譜估計：MATLAB 提供了許多功率鋪估計的函數：

三、實驗內容

1、產生一組均值為1，方差為4 的正態分布的隨機序列（1000 個樣本），估計該序列的均值與方差。程序及圖形為：

clc,clear N=1000;alp=1;sig=1;delt=1;a=1;mm=zeros(1,N);x1=rand(1,N);x2=rand(1,N);x3=a.*sqrt(-2*log(x1)).*cos(2*pi*x2)+mm;

%產生隨高斯分布的隨機數 y(1)=sig*x3(1);for

n=2:N

y(n)=exp(-alp)*y(n-1)+sig*sqrt(1-exp(-2*alp*delt))*x3(n);end i=1:N;plot(i,y);hold on;plot(i,mm,'-');title('正態分布隨機序列')M=0;for i=1:N

M=M+y(i);endM=M/ND=0;for i=1:N

D=D+(y(i)-M)^2;end D=D/N for m=1:N

%計算自相關函數正半軸%

for n=1:N-m+1

rr(n)=y(n)*y(n+m-1);

end

r2(m)=sum(rr)/N;end

M =-0.0061 D = 0.8837

2、按如下模型產生一組隨機序列： x(n)=0.8x(n-1)+w(n)其中w(n)為均值為1，方差為4 的正態分布白噪聲序列。估計過程的自相關函數與功率譜。程序及圖形為：

N=500;u=randn(N,1);w=1+2.*u;x(1)=w(1);for i=2:N;x(i)=0.8*x(i-1)+w(i);end subplot(2,2,1);plot(x);subplot(2,2,3);R=xcorr(x,'coeff');plot(R);subplot(2,2,4);P=periodogram(x);plot(P);

3、設信號為x(n)=sin(2πf1n)+2cos(2πf2n)+w(n)，n=1,2,....,N，其中f1=0.05，f2=0.12，w(n)為正態白噪聲，試在N=356 和1024 點時，分別產生隨機序列x(n)、畫出x(n)的波形并估計x(n)的相關函數和功率譜。程序及圖形為：

Fs=1000;n=0:1/Fs:1;

xn=sin(2*pi*0.05*n)+2*cos(2*pi*0.12*n)+randn(size(n));nfft=356;subplot(3,1,1)

plot(n,abs(xn))title('x(n)=sin(2pi*f1*n)+2cos(2pi*f1*n)+w(n)')cxn=xcorr(xn,'unbiased');CXk=fft(cxn,nfft);Pxx=abs(CXk);

index=0:round(nfft/2-1);k=index*Fs/nfft;

plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));subplot(3,1,2)

plot(k,plot_Pxx)title('相關函數')

window=boxcar(length(xn));[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);Subplot(3,1,3)plot(f,10*log10(Pxx))title('功率譜')

四、實驗中所遇到問題及解決方法

問題

1、對Matlab軟件很生疏、編程也不熟悉。解決方法：我和同學利用學校資源和網絡查找和參看了許多有關Matlab的資料，對其中一些基本知識和有關隨機信號處理的章節作了詳細了解和練習。同時也向老師同學請教，經過實驗課上和平時的練習，漸漸地有了一些好的進展，這個過程很漫長，但是很值得我們花時間和精力去了解。

問題

2、對統計信號處理隨機過程中的相關函數及功率譜的概念及算法不是特別熟悉。解決方法：查找相關資料和認真參看課本，多次和同學討論之后就對相關函數和功率譜的熟悉程度逐漸增加。

問題

3、對Matlab中與統計信號處理隨機過程中的均值、方差、相關函數及功率譜的函數的運用很有困難。

解決方法：也是查找Matlab的書籍中有關內容，然后在Matlab上學會用help中的相關輔助、查找功能。

五、實驗總結及心得體會

實驗總結：

本實驗是運用Matlab作為工具來對隨機過程中的一些特征值進行計算和估計，由于隨機過程中涉及的數據和運運算往往比較繁多和復雜，運用Matlab這個軟件的強大的數據、運算和圖像處理功能可以很好的解決隨機過程中的一些問題。隨機過程特征估計主要包括均值、方差、相關函數及功率譜的估計，這些值可以很全面很簡要的概括描述隨機過程的一些特征。

此外，這個實驗也從實際動手的角度加深了我們對隨機過程特征估計的理解，運用Matlab處理的圖形也可以很深刻的幫助我們理解相關知識。

心得體會：

這次實驗對隊員和我來說剛開始時是很不容易的，但是經過和同學的協作、查找參看一些相關資料，我們對Matlab的實際操作之后，我們還是有一些收獲的，我們對Matlab有了進一步認識，對于隨機過程這一重要內容也有所了解，對于統計信號分析的一些知識也不僅僅只是再停留在理論方面了，這次實驗讓我們以實際動手的方式去認知感受統計信號的知識。更重要的是我覺得，這次實驗也在一定程度上，鍛煉、提高我們通信工程專業學生的根據理論分析和實驗工具來設計分析實驗的思維和能力。

實驗5 典型時間序列AR模型分析

一、實驗目的

1,、熟悉一種典型的時間序列模型：AR 模型；

2、理解并分析AR模型的原理；

3、學會運用 Matlab工具對AR模型進行統計特性分析；

4、通過對模型的仿真分析，探討該模型的適用范圍，并且通過實驗分析理論分析與實驗結果之間的差異。

二、實驗原理

在生產和科學研究中，對某一個或一組變量x(t)進行觀察測量，將在一系列時刻t1, t2, ?, tn(t為自變量且t1

AR模型，即自回歸（AutoRegressive, AR）模型又稱為時間序列模型，數學表達式為AR : y(t)=a1y(t-1)+...any(t-n)+e(t)其中，e(t)為均值為0，方差為某值的白噪聲信號。AR模型是一種線性預測，即已知N個數據，可由模型推出第N點前面或后面的數據（設推出P點），所以其本質類似于插值，其目的都是為了增加有效數據，只是AR模型是由N點遞推，而插值是由兩點（或少數幾點）去推導多點，所以AR模型要比插值方法效果更好。

時間序列分析是根據系統觀測得到的時間序列數據，通過曲線擬合和參數估計來建立數學模型的理論和方法。它一般采用曲線擬合和參數估計方法（如非線性最小二乘法）進行。

時間序列建模基本步驟是：

①用觀測、調查、統計、抽樣等方法取得被觀測系統時間序列動態數據。②根據動態數據作相關圖，進行相關分析，求自相關函數。相關圖能顯示出變化的趨勢和周期，并能發現跳點和拐點。跳點是指與其他數據不一致的觀測值。如果跳點是正確的觀測值,在建模時應考慮進去,如果是反常現象，則應把跳點調整到期望值。拐點則是指時間序列從上升趨勢突然變為下降趨勢的點。如果存在拐點，則在建模時必須用不同的模型去分段擬合該時間序列，例如采用門限回歸模型。

③辨識合適的隨機模型,進行曲線擬合,即用通用隨機模型去擬合時間序列的觀測數據。對于短的或簡單的時間序列，可用趨勢模型和季節模型加上誤差來進行擬合。對于平穩時間序列，可用通用ARMA模型（自回歸滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARMA模型等來進行擬合。當觀測值多于50個時一般都采用ARMA模型。對于非平穩時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩時間序列，再用適當模型去擬合這個差分序列。

AR 模型分析

首先要依據給定二階的 AR 過程，用遞推公式得出最終的輸出序列，或者按照一個白噪聲通過線性系統的方式得到，依據函數產生相應的樣本函數，并畫出波形；然后，估計均值和方差，畫出理論的功率譜密度曲線；最后，運用Yule-Walker方程可以求出理論的 AR 模型的自相關序列，估計自相關函數和功率譜密度。

三、實驗內容

1、熟悉實驗原理，將實驗原理上的程序應用 matlab 工具實現；

2、設有AR(2)模型，x(n)=W(n)+0.3W(n-1)+0.2W(n-2)W(n)是零均值正態白噪聲，方差為4。（1）用MATLAB 模擬產生X(n)的500 觀測點的樣本函數，并繪出波形。（2）用產生的500 個觀測點估計X(n)的均值和方差。（3）畫出理論的功率譜。

（4）估計X(n)的相關函數和功率譜。

分析：給定二階的 AR 過程，可以用遞推公式得出最終的輸出序列。或者按照一個白噪聲通過線性系統的方式得到，這個系統的傳遞函數為：

11?0.3z?1?0.2z?2

這是一個全極點的濾波器，具有無限長的沖激響應。對于功率譜，可以這樣得到

可以看出，P（ω）x 完全由兩個極點位置決定。對于 AR 模型的自相關函數

這稱為Yule-Walker方程，當相關長度大于p 時，由遞推式求出：

這樣，就可以求出理論的 AR 模型的自相關序列。具體步驟：

1.產生樣本函數，并畫出波形

題目中的 AR 過程相當于一個零均值正態白噪聲通過線性系統后的輸出，可以按照上面的方法進行描述。

程序及仿真圖形依次如下：

clear all;

b=[1];a=[1 0.3 0.2];% 由描述的差分方程，得到系統傳遞函數

h=impz(b,a,20);% 得到系統的單位沖激函數，在20點處已經可以認為值是0 randn('state',0);

w=normrnd(0,2,1,500);% 產生題設的白噪聲隨機序列，標準差為2

x=filter(b,a,w);% 通過線形系統，得到輸出就是題目中要求的2階AR過程

plot(x,'r');ylabel('x(n)');title('產生的AR隨機序列');grid

2.估計均值和方差

可以首先計算出理論輸出的均值和方差，對于方差可以先求出理論自相關輸出，然后取零點的值。

并且，代入有

可以采用上面介紹的方法，對式中的卷積進行計算。在最大值處就是輸出的功率，也就是方差，為

對實際數據進行估計，均值為mean(x)=-0.0703，而方差為var(x)= 5.2795，兩者和理論值吻合的比較好。3.畫出理論的功率譜密度曲線 理論的功率譜為，相關程序及仿真圖形如下：

delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;

w=w_min:delta:w_max;% 得到數字域上的頻率取樣點，范圍是[-pi,pi] Gx=4*(abs(1./(1+0.3*exp(-i*w)+0.2*exp(-2*i*w))).^2);% 計算出理論值

Gx=Gx/max(Gx);% 歸一化處理

f=w*Fs/(2*pi);% 轉化到模擬域上的頻率

plot(f,Gx,'b'),grid on;

那么可以看出這個系統是帶通系統。4.估計自相關函數和功率譜密度

依據原理估計相關函數和功率譜，相關程序及仿真圖形如下： % 計算理論和實際的自相關函數序列

Mlag=20;% 定義最大自相關長度

Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff');m=-Mlag:Mlag;stem(m,Rx,'r.');grid on;

由仿真圖形可以分析出它和上面的理論輸出值基本一致。實際的功率譜密度的程序及仿真圖形如下：

window=hamming(20);% 采用hanmming窗，長度為20 noverlap=10;% 重疊的點數

Nfft=512;% 做FFT的點數

Fs=1000;% 采樣頻率，為1000Hz

[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 'onesided');% 估計功率譜密度

f1=[-fliplr(f)f(1:end)];% 構造一個對稱的頻率，范圍是[-Fs/2, Fs/2] Px=[-fliplr(Px)Px(1:end)];% 對稱的功率譜

plot(f1,10*log10(Px),'b');grid on;

四、實驗中所遇到問題及解決方法

問題

1、對一些典型的時間序列模型不了解。

解決方法：通過對實驗原理的分析，還有課本內容及查找的相關資料的參閱，以及與同學們的討論，慢慢地就建立了一些有關時間序列的很基礎的觀念。

問題

2、運用 Matlab工具對AR模型進行統計特性分析很棘手。

解決方法：也是查找Matlab的書籍中有關內容，然后在Matlab上學會用help中的相關輔助、查找功能。

問題

3、運用Matlab編程時編寫的程序經過運行之后有錯，而且很難發現其中錯誤。

解決方法：充分利用Matlab運行出錯之后的英文提示進行分析和改正，同時也要學會運用Matlab上一些有用的學習資源。

五、實驗總結及心得體會

實驗總結：

本實驗是用解Yule-Walker方程估計法來實現AR模型的求解，是一種AR模型參數的直接估計法。

時間序列一靠數據順序，二靠數據大小，蘊含著客觀世界及其變化的信息，表現著變化的動態過程，因此，時間序列也往往稱為“動態數據”，對動態數據建立模型就是數據建模。因此，從系統角度來考察，某一時間序列表現著客觀世界的某一動態過程，換而言之，表現著某一系統的某一行為及其變化過程，也可以說，某一時間序列就是某一相應系統的有關輸出或響應。

現代譜估計是通過觀測數據估計參數模型再按照求參數模型輸出功率的方法估計信號功率譜，主要是針對經典譜估計的分辨率低和方差性能不好等問題提出的，應用最廣的是AR參數模型。現代譜估計的參數模型有自回歸滑動平均（ARMA）模型、自回歸（AR）模型、滑動平均（MA）模型，Wold分解定理闡明了三者之間的關系：任何有限方差的ARMA或MA模型的平穩隨機過程可以用無限階的AR模型表示，任何有限方差的ARMA或MA模型的平穩隨機過程可以用無限階的AR模型表示。但是由于只有AR模型參數估計是一組線性方程，而實際的物理系統往往是全極點系統，因而AR應用最廣。實驗總結：

剛剛開始做實驗時我們確實是一點頭緒也沒有，不知道該如何下手，只是查找和參看一些Matlab和統計信號分析的書籍，但是也實驗好像都沒有進展。對于我來說，首先要解決的問題就是要學著運用Matlab這個有很實用的工具，不僅要基本認識Matlab而且還要學會編寫程序。這個過程是不容易的，要參看大量資料而且還要花大量時間來自己編寫程序。其次還要很認真的反復看課本上的相關內容也要看一些書籍。

總之，這次實驗對我來說剛開始時是很不容易的，但是經過和同學的協作、查找參看一些相關資料之后，最后還是有一些收獲的，畢竟我付出了時間和精力。也許我做得不是特別好，但是通過努力之后，不可否認的，我們對Matlab有了進一步認識，對于AR模型確實有了一定的認知和理解，對于統計信號分析的一些知識也不僅僅只是再停留在理論方面了，這次實驗讓我們以實際動手的方式去認知感受統計信號的知識。更重要的是我覺得，這次實驗也在一定程度上，鍛煉、提高我們通信工程專業學生的根據理論分析和實驗工具來設計分析實驗的思維和能力。因為面對老師布置的實驗任務，我們必須有一個對于實驗的全面的認知和大體的結構把握才有可能去一步步的去實現，否則我們是無從下手的。也許，這種遇到問題所需要的思維方法和能力才是這次實驗的精華，也是對我們最有益處的。

第五篇：信號分析與處理綜合作業

信號分析與處理綜合作業

作業一：信號分析與處理在某一方面的應用綜述

要求：

1、查閱學校圖書館的紙質和電子圖書與期刊，撰寫一篇信號分析與處理在某一方面的應用的小論文，要求至少查閱5篇以上的論文；

2、論文的格式要按照期刊論文發表的格式，由以下幾個部分組成；

題目，中文摘要，英文摘要，中文關鍵詞，英文關鍵詞，前言，正文，結論，參考文獻；

3、論文中引用的部分要注明；

4、論文字數不少于1500字，要求手寫，不能打印。

作業二：聲音信號的分析與處理

1、利用windows里的錄音機等工具，記錄聲音“專業班級姓名”，如“勘查083班張三”，最好存儲為wav的單聲道格式；

2、在公用郵箱中下載地震數據文件和測井數據文件；

3、對上述信號的頻譜進行分析，寫出其頻譜特征；

4、對上述信號進行時域簡單處理，如反褶，尺度變換，試聽處理后的結果；；

5、分別設計低通，高通和帶通濾波器對此信號進行處理，試聽處理后的結果；

6、（選做）對此信號進行純相位濾波或其他的處理；

7、寫出相應的分析與處理的報告，報告中要插入有關的圖件（要有分析）和分析與處理的程序；

8、將報告、程序和處理前后的聲音信號壓縮成一個文件，發送到郵箱，郵件的標題格式為“專業班級學號姓名”。