第一篇：四年級定義新運(yùn)算測試題
四年級定義新運(yùn)算測試題
姓名:
分?jǐn)?shù):
1、找規(guī)律，求得數(shù) 2★10=6 4★6=5 1★17=9 2★4=？
2、、對于兩個數(shù)A與B，規(guī)定：A☆B=A×B×2。試算5☆8。
3、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定： a⊙b = a×3+b×2。試計算：5△6，6△7
4、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3×a＋2×b。試計算：4*（5*6）
5、有一個數(shù)學(xué)運(yùn)算符號“□”，使下列算式成立：6□2=6×7，4□3=4×5×6，計算：4□3。
第1講
第二篇：定義新運(yùn)算教案
四年級奧數(shù)教案
第一講
第一課時 教學(xué)時間：
教學(xué)內(nèi)容：認(rèn)識定義新運(yùn)算。定義新運(yùn)算的基本題型。教學(xué)目標(biāo)：
1、讓學(xué)生了解定義新運(yùn)算的基本模式。
2、讓學(xué)生學(xué)會解決簡單定義新運(yùn)算的基本題型。教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生學(xué)會運(yùn)用定義新運(yùn)算解決基本題型。教學(xué)難點(diǎn)：掌握定義新運(yùn)算的解題方法。教學(xué)過程：
一、導(dǎo)入
我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：+、－、×、÷等，在這一講中，我們將定義一些新的運(yùn)算。對這些新的運(yùn)算符號同學(xué)們可能會感到陌生，但是解題時只在抓住新運(yùn)算的運(yùn)算法則，問題就迎刃而解了。
二、新授
1、教學(xué)例1。
【例1】定義一種運(yùn)算△： a△b=3×a－2×b,(1)求3△2，2△3；
（2）這個運(yùn)算“△”有交換律嗎？
（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；
（4）這個運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？
【分析】解這類題的關(guān)鍵是抓住新運(yùn)算的本質(zhì)，本題的本質(zhì)是：用運(yùn)算符前面的3倍減去運(yùn)算符號后面數(shù)的2倍。【解】（1）3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0（2）由（1）的運(yùn)算結(jié)果可知“△”沒有交換律。
（3）要計算（17△6）△2，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：
17△6＝3×17－2×6＝39 再計算第二步：39△2＝3×39－2×2＝113 所以（17△6）△2＝113 對于17△（6△2）可同樣計算: 6△2=3×6－2×2=14 17△14=3×17－2×14=23 所以17△（6△2）=23(4)由(3)的運(yùn)算結(jié)果可知“△”也沒有結(jié)合律。
2、學(xué)習(xí)例2。
【例2】定義新的運(yùn)算a◎b=a×b＋a＋b（1）求6◎2，2◎6；
（2）求（1◎2）◎3，1◎（2◎3）；（3）這個運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？
1、同桌之間互相交流，找出運(yùn)算法則。
2、學(xué)生在練習(xí)本上嘗試練習(xí)。
3、集體訂正。【分析與解】
（1）6◎2＝6×2＋6＋2＝20 2◎6＝2×6＋2＋6＝20（2）（1◎2）◎3＝（1×2＋1＋2）◎3 ＝5◎3 ＝5×3＋5＋3
＝23 1◎（2◎3）＝1◎（1×2＋1＋2）
＝1◎11 ＝1×11＋1＋11 ＝23（3）由（1）的運(yùn)算結(jié)果6◎2＝2◎6＝20，可知◎滿足交換律。
由（2）的運(yùn)算結(jié)果（1◎2）◎3＝1◎（2◎3）＝23，可知◎滿足結(jié)合律。
三、鞏固練習(xí)。
1、對于數(shù)a、b定義運(yùn)算“※”為a※b＝（a＋3）×(b－5)，求5※（6※7）的值。
2、對于數(shù)x、y定義兩種運(yùn)算“＃”及“□”如下： x＃y＝6×x＋5×y，x□y=3×x×y，求（2＃3）□4的值。
四、課堂小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么新的收獲，和你的同學(xué)交流一下。
五、作業(yè)《思維訓(xùn)練》第10頁的1—3題。教學(xué)后記： 第二課時 教學(xué)時間：
教學(xué)內(nèi)容：定義新運(yùn)算
（二）教學(xué)目標(biāo)：在上一節(jié)課的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)了解有關(guān)定義新運(yùn)算，使學(xué)生明白一種運(yùn)算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法。
重、難點(diǎn)：
重 點(diǎn)：使學(xué)生明白對應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算。
難點(diǎn)：通過法則讓學(xué)生理解每個法則都有一個惟一確定的數(shù)與它們對應(yīng) 教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)
設(shè)a,b都表示數(shù)，規(guī)定a△b=3×a-2×b。（1）求4△3，3△4。這個運(yùn)算“△”有交換律嗎？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。這個運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？
二、新授
1、學(xué)習(xí)例3 【例3】對于任意的兩個整數(shù)a、b，定義兩種運(yùn)算“※”，“◎”： a※b=a＋b－1,a◎b=a×b－1，計算4◎［（6※8）※（3※5）］的值。（1）引導(dǎo)學(xué)生審題。分析題意。
（2）同桌之間互相交流，在練習(xí)本上嘗試練習(xí)。（3）師詳細(xì)講解。
【解】4◎［（6※8）※（3※5）］
＝4◎［（6＋8－1）※（3+5－1）］
＝4◎[13※7] ＝4◎[13+7-1] ＝4◎19 ＝4×19－1 ＝75 【例4】定義x*y=a×x＋2×y,并且已知5*6＝6*5，求a是幾？
1、讓學(xué)生讀題，理解題意。
2、讓學(xué)生根據(jù)定義新運(yùn)算的基本模式和解題方法試著解答。
3、詳細(xì)講解
【解】根據(jù)題意，5*6＝5×a＋2×6=5a＋12 6*5=6×a＋2×5=6a＋10 且5a＋12=6a＋10 可以解出a=2
四、鞏固練習(xí)。
定義運(yùn)算“*”為a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5（2）12*（3*），（12*3）*4（3）這個運(yùn)算“*”有交換律、結(jié)合律嗎？
五、課堂小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲？
六、作業(yè)：《思維訓(xùn)練》的第10頁5～7題。教學(xué)后記：
第三、四課時
教學(xué)時間： 教學(xué)內(nèi)容：鞏固練習(xí)
教學(xué)目的：使學(xué)生正確熟練地解決新運(yùn)算定義問題，培養(yǎng)學(xué)生理解能力的多樣化和解題的靈活性。
教學(xué)過程：
一、專項練習(xí)。
一、專項練習(xí)。
1、對于數(shù)a、b定義運(yùn)算“※”為a※b＝6×a－2×b，求4※（5※6）的值。
2、對于數(shù)x、y定義兩種運(yùn)算“＃”及“□”如下： x＃y＝8×x－4×y，x□y=6×x×y，求（5＃7）□8的值。
3、定義運(yùn)算“*”為a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5
（2）12*（3*），（12*3）*4
（3）這個運(yùn)算“*”有交換律、結(jié)合律嗎？
4、設(shè)a,b都表示數(shù)，規(guī)定a△b=3×a-2×b。
（1）求4△3，3△4。這個運(yùn)算“△”有交換律嗎？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。這個運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？
（3）如果已知5△b=5，求b。
5、設(shè)a▽b=a×b+a-b,求5▽8。
第三篇：定義新運(yùn)算教案
定義新運(yùn)算
知識要點(diǎn)
基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號（“﹡”“＃”“△”等），新的運(yùn)算符號包含有多種基
本（混合）運(yùn)算。
基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按
照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。
注意事項：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。②每個新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合各種運(yùn)算定律的。
典題解析
例1：設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a△b表示a的3倍減去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。試計算：（1）5△6；（2）6△5；（3）5△（5△6）
練習(xí)：
1，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a○b=6×a－2×b。試計算3○4。
2，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3×a＋2×b。試計算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）
3，如果a※b=6×a+7×b，那么7※8=？ 10※5=？
例2：對于兩個數(shù)a與b，規(guī)定a⊕b=a×b＋a＋b，試計算6⊕2。
練習(xí)：1，對于兩個數(shù)a與b，規(guī)定：a⊕b=a×b－（a＋b）。計算3⊕5。
2，對于兩個數(shù)A與B，規(guī)定：A☆B=A×B÷2。試算6☆4。
3，規(guī)定：a＃b=2×a＋a×b，那么1＃2＃3=？
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規(guī)律計算3△5。
練習(xí)：1，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，計算：3▽4。
2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），計算8▽4。
3、規(guī)定：1 △ 5=1×2×3×4×5 ； 6 △ 4=6×7×8×9 ；求4 △ 6=？
例
4、如果 1※2＝1＋11；2※3＝2＋22＋222；3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 計算（3※2）×5。
練習(xí)：1，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此規(guī)律計算5！。
2，規(guī)定:6※2=6+66=72；2※3=2+22+222=246；1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此規(guī)律計算：7▽3。
練習(xí)：1，有一個數(shù)學(xué)運(yùn)算符號“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此規(guī)律計算：8▽4。
2、有一種數(shù)學(xué)符號◎，使下列算式成立：,8◎4=28 ； 7◎6=27 ；10◎8=38 ；求：12◎8=？
3，如果：4※5=18，9※10=38，11※22=66，20※20=80，那么199※200=？
綜合練習(xí)
1、設(shè)m、n是兩個數(shù)，規(guī)定m※n=4×n－（m+n）÷2，這里加減乘除是通常的四則運(yùn)算符號，括號的作用也是通常的含義。※是新的運(yùn)算符號。計算：3※（4※6）＝（）
2、有一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號◎，是下列算式成立：2◎4=8 5◎3=13 9◎7=25，那么6◎4=（育苗杯小學(xué)數(shù)學(xué)通訊賽預(yù)賽）
3、□表示一種新的數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，已知2□3=2+3+4，7□2=7+8 3□5=3+4+5+6+7，按此規(guī)則n□8=68，那么n的值是多少？（第九屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽）
4、如果：4＃5=13, 5＃5=15，12＃10=34那么2007＃2008＝（）。
5、x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算·※及◎如下：x※y=4×x+3×y x◎y=2×x×y。求（3※4）◎5的值。
6、※是一種新運(yùn)算符號，規(guī)定a※b=a×c+b×d，（其中c、d為常數(shù)），如5※7=5×c+7×d，如果1※2=5，1※3=7；那么：6※1000的計算結(jié)果是多少？（第四屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽題）
第四篇：小學(xué)奧數(shù)1-3-1 定義新運(yùn)算．教師版
定義新運(yùn)算
教學(xué)目標(biāo)
定義新運(yùn)算這類題目是在考驗我們的適應(yīng)能力，我們大家都習(xí)慣四則運(yùn)算，定義新運(yùn)算就打破了運(yùn)算規(guī)則，要求我們要嚴(yán)格按照題目的規(guī)定做題．新定義的運(yùn)算符號，常見的如△、◎、※等等，這些特殊的運(yùn)算符號，表示特定的意義，是人為設(shè)定的．解答這類題目的關(guān)鍵是理解新定義，嚴(yán)格按照新定義的式子代入數(shù)值，把定義的新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的四則運(yùn)算。
知識點(diǎn)撥
一
定義新運(yùn)算
基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號，這個新的運(yùn)算符號包含有多種基本（混合）運(yùn)算。
基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。
關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。
注意事項：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。
②每個新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。
我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5
2×3＝6
都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實際是對應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法，對應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個對應(yīng)法則應(yīng)該是對任意兩個數(shù)，通過這個法則都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng).只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運(yùn)算不相同.二
定義新運(yùn)算分類
1.直接運(yùn)算型
2.反解未知數(shù)型
3.觀察規(guī)律型
4.其他類型綜合例題精講
模塊一、直接運(yùn)算型
【例
1】
若表示，求的值。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
A*B是這樣結(jié)果這樣計算出來：先計算A＋3B的結(jié)果，再計算A＋B的結(jié)果，最后兩個結(jié)果求乘積。
由
A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：
5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12
＝
26×12
＝
312
【答案】
【鞏固】
定義新運(yùn)算為a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
所求算式是兩重運(yùn)算，先計算括號，所得結(jié)果再計算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】
【鞏固】
設(shè)△，那么，5△______，(5△2)
△_____.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】,【答案】
【鞏固】、表示數(shù)，表示，求3(68)
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
已知a,b是任意自然數(shù),我們規(guī)定:
a⊕b=
a+b-1，那么
.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
表示
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
規(guī)定運(yùn)算“☆”為：若a>b，則a☆b=a＋b；若a=b，則a☆b=a－b＋1；若a 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試 【解析】 【答案】 【例 2】 “△”是一種新運(yùn)算，規(guī)定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d為常數(shù))，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的計算結(jié)果是________。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試 【解析】 1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，可得c=1,d=2 6△1000＝6×c＋1000×d=2006 【答案】 【鞏固】 對于非零自然數(shù)a和b，規(guī)定符號的含義是：ab＝（m是一個確定的整數(shù)）。如果14＝23，那么34等于________。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試 【解析】 根據(jù)14=23，得到，解出m=6。所以。 【答案】 【例 3】 對于任意的整數(shù)x與y定義新運(yùn)算“△”：,求2△9。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】北京市，迎春杯 【解析】 根據(jù)定義 于是有 【答案】 【鞏固】 “*”表示一種運(yùn)算符號，它的含義是：，已知，求。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【解析】 根據(jù)題意得，所以 【答案】 【例 4】 [A]表示自然數(shù)A的約數(shù)的個數(shù).例如4有1,2,4三個約數(shù),可以表示成[4]=3.計算: = .【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 因為有個約數(shù),所以[18]=6,同樣可知[22]=4,[7]=2.原式.【答案】 【鞏固】 x為正數(shù), .【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 <19>為不超過19的質(zhì)數(shù),有2,3,5,7,11,13,17,19共8個.<93>為不超過的質(zhì)數(shù),共24個,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】 【鞏固】 定義運(yùn)算“△”如下:對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根據(jù)上面定義的運(yùn)算,18△12= .【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】 【例 5】 我們規(guī)定：符號表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：53=35=5，符號△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：5△3=3△5=3，計算：的結(jié)果是多少？ 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 【答案】 【鞏固】 規(guī)定：符號“&”為選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，“◎”為選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算。計算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 新定義運(yùn)算進(jìn)行計算時如果遇到有括號的，要先計算小括號里的，再計算中括號里的。 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30 【答案】 【鞏固】 我們規(guī)定：AB表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)。則 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，決賽 【解析】 根據(jù)題目要求計算如下： 【答案】 【例 6】 如果規(guī)定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后結(jié)果是______。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試 【解析】 17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】 【鞏固】 若用G（a）表示自然數(shù)a的約數(shù)的個數(shù)，如：自然數(shù)6的約數(shù)有1、2、3、6，共4個，記作G（6）=4，則G(36)+G(42)=。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試 【解析】 36的約數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的約數(shù)有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。 【答案】 【鞏固】 如果,那么。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試 【解析】 2&5=2+5÷10=2.5 【答案】 【例 7】 “華”、“杯”、“賽”三個字的四角號碼分別是“2440”、“4199”和“3088”，將“華杯賽”的編碼取為244041993088，如果這個編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變，偶數(shù)位的數(shù)碼改變?yōu)殛P(guān)于9的補(bǔ)碼，例如：0變9，1變8等，那么“華杯賽”新的編碼是________.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級，決賽 【解析】 偶數(shù)位自左至右依次為4、0、1、9、0、8，它們關(guān)于9的補(bǔ)碼自左至右依次為5、9、8、0、9、1，所以“華杯賽”新的編碼是：254948903981 【答案】 【例 8】 羊和狼在一起時，狼要吃掉羊.所以關(guān)于羊及狼，我們規(guī)定一種運(yùn)算，用符號△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上運(yùn)算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼.所以我們規(guī)定另一種運(yùn)算，用符號☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，這個運(yùn)算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰(zhàn)勝狼，當(dāng)狼與羊在一起時，它便被羊趕走而只剩下羊了。對羊或狼，可以用上面規(guī)定的運(yùn)算作混合運(yùn)算，混合運(yùn)算的法規(guī)是從左到右，括號內(nèi)先算.運(yùn)算的結(jié)果或是羊，或是狼．求下式的結(jié)果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼) 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽 【解析】 因為狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼無論前面結(jié)果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼總等于狼，所以 原式=狼 【答案】狼 【例 9】 一般我們都認(rèn)為手槍指向誰，誰好像是有危險的，下面的規(guī)則同學(xué)們能看懂嗎 規(guī)定：警察小偷警察，警察小偷小偷． 那么：（獵人小兔）（山羊白菜） ． 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算 【難度】2星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級 【解析】 誰握著槍就留下誰，結(jié)果應(yīng)該是 白菜 【答案】白菜 模塊二、反解未知數(shù)型 【例 10】 如果a△b表示,例如3△4,那么,當(dāng)a△5=30時,a= .【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 依題意,得,解得.【答案】 【鞏固】 規(guī)定新運(yùn)算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,則x= .【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 因為4※1=,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】 【鞏固】 如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,當(dāng)x⊙5比5⊙x大5時,x= 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 根據(jù)題意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】 【鞏固】 對于數(shù)a、b、c、d，規(guī)定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x >＝7，求x的值。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 根據(jù)新定義的算式，列出關(guān)于x的等式，解出x即可。 將1、3、5、x代入新定義的運(yùn)算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根據(jù)已知<1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 【答案】 【例 11】 定義新運(yùn)算為，⑴求的值；⑵若則x的值為多少？ 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 ⑴因為，所以 ⑵，所以x的值為4.4.【答案】⑴ ⑵ 【鞏固】 對于任意的兩個自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算：，其中、表示自然數(shù).如果，那么等于幾？ 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】4星 【題型】計算 【解析】 方法一：由題中所給定義可知，為多少，則就有多少個乘數(shù)．，即：602，則；，即33,所以． 方法二：可以先將（x3）看作一個整體，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，即33，所以． 【答案】 【例 12】 定義為與之間（包含、）所有與奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：，．在算術(shù)的方格中填入恰當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，那么所填的數(shù)是多少？ 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】4星 【題型】計算 【解析】，所以方格中填的數(shù)一定大于80．如果填的是個奇數(shù)，那么只能是；如果填的是個偶數(shù)，那么這個數(shù)與60的平均數(shù)應(yīng)該是80，所以只能是．因此所填的數(shù)可能是100和101． 【答案】和 【鞏固】 如有#新運(yùn)算，#表示、中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，則可以是________（小于50） 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】4星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】101中學(xué)，入學(xué)測試 【解析】 這是一道把數(shù)論、定義新運(yùn)算、倒推法、解方程等知識結(jié)合在一起的綜合題.可采用枚舉與篩選的方法.第一步先把（21#）看成一個整體.對于21#5，這個式子，一方面可把21作被除數(shù)，則等 于（21-5）16的大于5的約數(shù)，有兩個解8與16；另一方面可把21作除數(shù)，這樣滿足要求的數(shù)為26，47…，即形如21N+5這樣的數(shù)有無數(shù)個.但必須得考慮，這些解都是由所 代表的式子（21#）運(yùn)算得來，而這個運(yùn)算的結(jié)果是必須小于其中的每一個數(shù)的，也就是余數(shù)必須 比被除數(shù)與除數(shù)都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.現(xiàn)在只剩下8，與16.第二步求：（21#）8與（21#）16.對于（21#）8可分別解得，把21作被除數(shù)時：13，把21作除數(shù)時為：29，50，…形如21N+8的整數(shù)（N是正整數(shù)）.對于（21#）16，把21作被除數(shù)無解，21作除數(shù)時同理可得：37，58……所有形如21N+16 這樣的整數(shù).（N是正整數(shù)）.所以符合條件的答案是13,29,37． 【答案】13,29,37． 【例 13】 已知、滿足，；其中表示不大于的最大整數(shù)，表示的小數(shù)部分，即，那么。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，第3題 【解析】 根據(jù)題意，是整數(shù)，所以也是整數(shù)，那么，由此可得，所以。 【答案】 【例 14】 規(guī)定：A○B(yǎng)表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)．若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3）＝96，且A、B均為大于0的自然數(shù)，A×B的所有取值為 ．（8級） 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù) 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽 【解析】 分類討論，由于題目中所要求的定義新運(yùn)算的符號是較大的數(shù)與較大的數(shù)，則對于A或者B有3類不同的范圍，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。對于B也有類似，兩者合起來共有3×3=9種不同的組合，我們分別討論。 1) 當(dāng)A＜3，B＜3，則（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，無解； 2) 當(dāng)3≤A＜5，B＜3時，則有（5+B）×（5+3）=96，顯然無解； 3) 當(dāng)A≥5，B＜3時，則有（A+B）×（5+3）=96，則A+B=12.所以有A=10，B=2，此時乘積為20或者A=11,B=1,此時乘積為11。 4) 當(dāng)A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，無解； 5) 當(dāng)3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，無解； 6) 當(dāng)A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，則A=9.此時B=3后者B=4。則他們乘積有27與36兩種； 7) 當(dāng)A＜3，B≥5時，有（5+3）×（B+A）=96。此時A+B=12。A與B的乘積有11與20兩種； 8) 當(dāng)3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此時有B=9.不符； 9) 當(dāng)A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。則A=5,B=9，乘積為45。 所以A與B的乘積有11,20,27，36,45共五種 【答案】11,20,27,36,45 模塊三、觀察規(guī)律型 【例 15】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 計算 （3※2）×5。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 通過觀察發(fā)現(xiàn)：a※b中的b表示加數(shù)的個數(shù)，每個加數(shù)數(shù)位上的數(shù)字都由a組成，都由一個數(shù)位，依次增加到b個數(shù)位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075 【答案】 【鞏固】 規(guī)定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】 【例 16】 有一個數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，使下列算式成立：，，求 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 通過對，，這幾個算式的觀察，找到規(guī)律：，因此 【答案】 【鞏固】 規(guī)定△,計算：（2△1）（11△10）______.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 這個題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和．但是我們注意到要求的10項值有一個共同的特點(diǎn)就是在要我們求得這個式子中b＝a－1，所以，我們不妨把b＝a－1代入原定義． a△b就變成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，則原式＋＋＋…＋． 這里需要補(bǔ)充一個公式：． 【答案】 【例 17】 一個數(shù)n的數(shù)字中為奇數(shù)的那些數(shù)字的和記為，為偶數(shù)的那些數(shù)字的和記為，例如，． ；＝ ． 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級，決賽 【解析】 可以換個方向考慮。數(shù)字1在個位出現(xiàn)10次，在十位出現(xiàn)10次，在百位出現(xiàn)1次，共21次。數(shù)字2到9中的每一個在個位出現(xiàn)10次，在十位也出現(xiàn)10次，共20次。 所以，1到100中所有奇數(shù)數(shù)字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501； 所有偶數(shù)數(shù)字的和等于(2+4+6+8)×20=400。 【答案】 模塊四、綜合型題目 【例 18】 已知：10△3=14，8△7=2，△，根據(jù)這幾個算式找規(guī)律，如果 △=1，那么= .【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，決賽 【解析】 規(guī)律是 a△b=(a－b)×2,所以 △x=，即 【答案】 【例 19】 如果、、是3個整數(shù)，則它們滿足加法交換律和結(jié)合律，即 ⑴；⑵。 現(xiàn)在規(guī)定一種運(yùn)算“*“，它對于整數(shù) a、b、c、d 滿足：。 例： 請你舉例說明，“*“運(yùn)算是否滿足交換律、結(jié)合律。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試 【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5) (4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5) 所以“*”滿足交換律 [(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69) 所以“*”不滿足結(jié)合律 【答案】 “*”滿足交換律 “*”不滿足結(jié)合律 【例 20】 用表示的小數(shù)部分，表示不超過的最大整數(shù)。例如：記，請計算的值。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試 【解析】 代入計算結(jié)果分別為：0.4，1，0，1 【答案】0.4，1，0，1 【例 21】 在計算機(jī)中，對于圖中的數(shù)據(jù)(或運(yùn)算)的讀法規(guī)則是：先讀第一分支圓圈中的，再讀與它相連的第二分支左邊的圓圈中的，最后讀與它相連的第二分支右邊的圓圈中的，也就是說，對于每一個圓圈中的數(shù)據(jù)(或運(yùn)算)都是按“中→左→右“的順序。如：圖A表示：2+3，B表示2+3×2－1。圖C中表示的式子的運(yùn)算結(jié)果是________。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試 【解析】 “教研龍”認(rèn)為第2個圖最上面的圓圈應(yīng)該有個2，原題卻沒有。第3個圖從上到下第3行第3個圈為2，第四個圈為42+[(3+5)÷2]-4=2 【答案】 【例 22】 表示成;表示成.試求下列的值: (1) (2) (3); (4)如果x,y分別表示若干個2的數(shù)的乘積,試證明:.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 (1); (2); (3)因為,所以; (4)略 【答案】(1) (2)81 (3) (4) 令則..【例 23】 對于任意有理數(shù)x,y,定義一種運(yùn)算“※”，規(guī)定:x※y=,其中的表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),則m的數(shù)值是 _________。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】4星 【題型】計算 【解析】 由題設(shè)的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得 解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】 【鞏固】 x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】4星 【題型】計算 【解析】 x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求（1△2）*3的值，首先我們要計算1△2，根 據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計算出來了，我們設(shè)1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此 要計算（1△2）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出 k的值.因為1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因為m、n均為自然數(shù)，所以解出：，（舍去） ①當(dāng)m=1，n=2時： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時： （2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k 有36k=64，解出，這與k 是自然數(shù)矛盾，因此m=3，n=1，這組值應(yīng)舍去。 所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.【答案】 【例 24】 對于任意的兩個自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算：，其中、表示自然數(shù).⑴求1100的值；⑵已知1075，求為多少？⑶如果（3）2121，那么等于幾？ 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 ⑴1100 ⑵x1075,解得x3 ⑶方法一：由題中所給定義可知，b為多少，則就有多少個加數(shù)．，即：602121，則x360；，即19360,所以x19． 方法二：可以先將（x3）看作一個整體y，那么就是y2121，y2,所以y60，那么也就有x360，即19360，所以x19． 【答案】 【鞏固】 兩個不等的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù),余數(shù)記為a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8級） (1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x=2,而x小于20,求x; (3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 (1)1991☉2000=9; 由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3; 由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我們不知道11和x哪個大(注意,x≠11),即哪個作除數(shù),哪個作被除數(shù),這樣就要分兩種情況討論.1) x<11,這時x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因為x應(yīng)大于余數(shù)2),所以x=3或9.2) x>11,這時11除x余2,這說明x是11的倍數(shù)加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解為x=3,9,13.(3)這個方程比(2)又要復(fù)雜一些,但我們可以用同樣的方法來解.用y表示19☉x,不管19作除數(shù)還是被除數(shù),19☉x都比19小,所以y應(yīng)小于19.方程y☉19=5,說明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.當(dāng)y=7時,分兩種情況解19☉x=7.1) x<19,此時x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2) x>19,此時19除x余7,x是19的倍數(shù)加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.當(dāng)y=14時,分兩種情況解19☉x=14.1) x<19,這時x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的.2)x>19,此時19除x余14,這就表明x是19的倍數(shù)加14,因為x<50,所以x=19+14=33.總之,方程(19☉x)☉19=5有四個解,x=12,26,33,45.【答案】(1)；； (2) x=3,9,13.(3) x=12,26,33,45.【例 25】 設(shè)a,b是兩個非零的數(shù),定義a※b.(1)計算(2※3)※4與2※(3※4).(2)如果已知a是一個自然數(shù),且a※3=2,試求出a的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 (1)按照定義有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得① 若a≥6,則≥2,從而與①矛盾.因此a≤5,對a=1,2,3,4,5這5個可能的值,一一代入①式中檢查知,只有a=3符合要求.【答案】(1) (2※3)※4；2※(3※4).(2) a=3 【鞏固】 定義運(yùn)算“⊙”如下: 對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b.比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15; (2)說明,如果c整除a和b,則c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,則c也整除b; (3)已知6⊙x=27,求x的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 (1)為求12⊙21,先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84,3,因此12⊙21=84-3=81,同樣道理5⊙15=15-5=10.(2)略 (3)由于運(yùn)算“⊙”沒有直接的表達(dá)式,解這個方程有一些困難,我們設(shè)法逐步縮小探索范圍.因為 6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間,只有30是6的倍數(shù),可見 6和x的最小公倍數(shù)是30,因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3.由“兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個數(shù)的積”,得到.所以.【答案】(1)； (2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數(shù),則c整除a,b的最大公約數(shù),顯然c也整除a,b最小 公倍數(shù),所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù),再由c整除a⊙b推知,整除a,b的最大公約數(shù),而這個最大公約數(shù)整除b,所以 c整除b.(3) 【鞏固】 “⊙”表示一種新的運(yùn)算符號，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此規(guī)則，如果n⊙868，那么，n ____.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 因為從已知條件可歸納出的運(yùn)算規(guī)則：⊙表示幾個連續(xù)自然數(shù)之和，⊙前面的數(shù)表示第一個加數(shù)，⊙后面的數(shù)表示加數(shù)的個數(shù)，于是，即 .【答案】 【例 26】 喜羊羊喜歡研究數(shù)學(xué)，它用計算器求個正整數(shù)的值。當(dāng)它依次按了得到數(shù)字。而當(dāng)它依次按時，驚訝地發(fā)現(xiàn)得到的數(shù)值卻是。這時喜羊羊才明白計算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正確的結(jié)果為 。（填出所有可能情況） 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第14題 【解析】，則，則，則，或，或 【答案】或 【例 27】 國際統(tǒng)一書號ISBN由10個數(shù)字組成，前面9個數(shù)字分成3組，分別用來表示區(qū)域、出版社和書名，最后一個數(shù)字則作為核檢之用。核檢碼可以根據(jù)前9個數(shù)字按照一定的順序算得。如：某書的書號是ISBN 7-107-17543-2，它的核檢碼的計算順序是： ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207； ②207÷11＝18……9； ③11－9＝2。這里的2就是該書號的核檢碼。 依照上面的順序，求書號ISBN-7-303-07618-□的核檢碼。 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試 【解析】 7×10＋3×9＋0× 8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196； 。 所以該書號的核檢碼是2.【答案】 【例 28】 如圖2一只甲蟲從畫有方格的木板上的A點(diǎn)出發(fā)，沿著一段一段的橫線、豎線爬行到B，圖1中的路線對應(yīng)下面的算式：.請在圖2中用粗線畫出對應(yīng)于算式：的路線． 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題 【難度】3星 【題型】計算 【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯 【解析】 如圖3所示，通過圖1分析知道向上前進(jìn)一格要加上1，向下前進(jìn)一格要減1，向左前進(jìn)一格要減去2，向右前進(jìn)一格要加上2.【答案】 第三講 定義新運(yùn)算 我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實際是對應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法，對應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個對應(yīng)法則應(yīng)該是對任意兩個數(shù)，通過這個法則都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng).只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運(yùn)算不相同.我們先通過具體的運(yùn)算來了解和熟悉“定義新運(yùn)算”.例1 設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2，2△3； ②這個運(yùn)算“△”有交換律嗎？ ③求（17△6）△2，17△（6△2）； ④這個運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？ ⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定義新運(yùn)算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”沒有交換律.③要計算（17△6）△2，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計算第二步 39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.對于17△（6△2），同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，6△2＝3×6-2×2＝14，其次 17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也沒有結(jié)合律.⑤因為4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2 定義運(yùn)算※為a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5； ②求12※（3※4），（12※3）※4； ③這個運(yùn)算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要計算12※（3※4），先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再計算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.對于（12※3）※4，同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次 21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）； b※a＝b×a－（b＋a） ＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交換律） 所以有a※b＝b※a，因此“※”有交換律.由②的例子可知，運(yùn)算“※”沒有結(jié)合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5； 3※（5※x）＝3※（4x－5） ＝3（4x－5）－（3＋4x－5） ＝12x－15－（4x－2） ＝ 8x－ 13 那么 8x－13＝3 解出x＝2.③這個運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？ 到 例5 x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2）*3的值，首先我們要計算1△2，根據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計算出來了，我們設(shè)1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此要計算（1△2）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出 k的值.解：因為1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n =5.又因為m、n均為自然數(shù)，所以解出： 的觀察，找 規(guī)律： ①當(dāng)m=1，n=2時： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時： （2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k 所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3 =4*3 =1×4+2×3 =10.在上面這一類定義新運(yùn)算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計算時，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個值得注意的問題是：定義一個新運(yùn)算，這個新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解題.習(xí)題三 計算：① 10*6 ② 7*（2*1）.7.“*”表示一種運(yùn)算符號，它的含義是： 9.規(guī)定a△b=a+（a+1）+（a+2）+?+（a+b-1），（a、b均為自然數(shù)，b＞a）如果x△10=65，那么x=？ 習(xí)題三解答 所以有5x-2=3O，解出x=6.4.8.解：由于 9.解：按照規(guī)定的運(yùn)算： x△10=x+（x+1）+（x+2）+?+（x+10-1） =10x+（1+2+3+?+9）=10x+45 因此有10x+45=65，解出x=2.第五篇：北京華羅庚學(xué)校四年級奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 第三講 定義新運(yùn)算
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