第一篇：五年級暑假作業偏難題第七天

五年級暑假作業偏難題第七天 甲、乙、丙是一條路上的三個車站，乙站到甲、丙兩站的距離相等，小強和小明同時分別從甲、丙兩站出發相向而行，小強經過乙站100米時與小明相遇，然后兩人又繼續前進，小強走到丙站立即返回，經過乙站300米時又追上小明，問：甲、乙兩站的距離是多少米？

設第一次相遇時，小明走了x千米，則小強走了x+100+100＝x+200千米

第一次相遇到第二次相遇，小明走了100+300＝400千米，而小強走了2x+100+300＝2x+400千米

兩次走的路程應該成比例，所以x：（x+200）＝400：（2x+400）

觀察上式可以看出，（2x+400）是（x+200）的兩倍，因此400是x的2倍。即2x＝400 x＝200

甲站到乙站、乙站到丙站都是100+200＝300千米。

設甲乙為S,乙丙路程也是S，他們兩次相遇的路程之比應該相等，即第一次(S+100)/(S-100)=(S+S+300-100)/(300+100)得到S=300

分析 結合上圖，我們可以把上述運動分為兩個階段來考察：

①第一階段——從出發到二人相遇：

小強走的路程=一個甲、乙距離+100米，小明走的路程=一個甲、乙距離-100米。

②第二階段——從他們相遇到小強追上小明，小強走的路程=2個甲、乙距離-100米+300米=2個甲、乙距離+200米，小明走的路程=100+300=400（米）。

從小強在兩個階段所走的路程可以看出：小強在第二階段所走的路是第一階段的2倍，所以，小明第二階段所走的路也是第一階段的2倍，即第一階段應走400÷2＝200（米），從而可求出甲、乙之間的距離為200＋100=300（米）。一條公路上，有一個騎車人和一個步行人，騎車人速度是步行人速度的3倍，每隔6分鐘有一輛公共汽車超過步行人，每隔10分鐘有一輛公共汽車超過騎車人，如果公共汽車始發站發車的時間間隔保持不變，那么間隔幾分鐘發一輛公共汽車？

分析 要求汽車的發車時間間隔，只要求出汽車的速度和相鄰兩汽車之間的距離就可以了，但題目沒有直接告訴我們這兩個條件，如何求出這兩個量呢？

由題可知：相鄰兩汽車之間的距離（以下簡稱間隔距離）是不變的，當一輛公共汽車超過步行人時，緊接著下一輛公共汽車與步行人之間的距離就是間隔距離，每隔6分鐘就有一輛汽車超過步行人，這就是說：當一輛汽車超過步行人時，下一輛汽車要用6分鐘才能追上步行人，汽車與行人的路程差就是相鄰兩汽車的間隔距離。

對于騎車人可作同樣的分析.因此，如果我們把汽車的速度記作V汽，騎車人的速度為V自，步行人的速度為V人（單位都是米/分鐘），則：

間隔距離=（V汽-V人）×6（米），間隔距離=（V汽-V自）×10（米），V自=3V人。

綜合上面的三個式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，則：

間隔距離=（V汽-1/6V汽）×6=5V汽（米）

所以，汽車的發車時間間隔就等于：

間隔距離÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米/分鐘）=5（分鐘）。甲、乙二人沿鐵路相向而行，速度相同，一列火車從甲身邊開過用了8秒鐘，離甲后5分鐘又遇乙，從乙身邊開過，只用了7秒鐘，問從乙與火車相遇開始再過幾分鐘甲乙二人相遇？

分析 要求過幾分鐘甲、乙二人相遇，就必須求出甲、乙二人這時的距離與他們速度的關系，而與此相關聯的是火車的運動，只有通過火車的運動才能求出甲、乙二人的距離.火車的運行時間是已知的，因此必須求出其速度，至少應求出它和甲、乙二人的速度的比例關系.由于本問題較難，故分步詳解如下：

①求出火車速度V車與甲、乙二人速度V人的關系，設火車車長為l，則：

（i）火車開過甲身邊用8秒鐘，這個過程為追及問題：故l＝（V車-V人）×8；（1）

（ii）火車開過乙身邊用7秒鐘，這個過程為相遇問題：故l=（V車+V人）×7.（2）

由（1）、（2）可得：8（V車-V人）＝7（V車+V人），所以，V車=l5V人。

②火車頭遇到甲處與火車頭遇到乙處之間的距離是：

（8+5×6O）×（V車+V人）=308×16V人=4928V人。

③求火車頭遇到乙時甲、乙二人之間的距離。

火車頭遇甲后，又經過（8+5×60）秒后，火車頭才遇乙，所以，火車頭遇到乙時，甲、乙二人之間的距離為：4928V人-2（8＋5×60）V人=4312V人。

④求甲、乙二人過幾分鐘相遇？ 在環形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次,問兩人各跑一圈需要幾分鐘？

設兩人跑一圈分別要X,Y分鐘,速度分別為1/X,1/Y

(1)1/X-1/Y=1/12

(2)1/X+1/Y=1/4

(1)+(2)得

2/X=1/3 X=6

所以 Y= 12 兩人跑一圈分別要6,12分鐘 老王從甲城騎自行車到乙城去辦事，每小時騎15千米，回來時改騎摩托車，每小時騎33千米，騎摩托車比騎自行車少用1.8小時，求甲、乙兩城間的距離。

解:設從甲城到乙城騎自行車需x小時.15x=33×(x-1.8)

解得

x=3.3

所以甲,乙兩地的距離為 15×3.3=49.5千米.6 速度為快、中、慢的三輛汽車同時從同一地點出發，沿同一公路追趕前面一個騎車人，這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人，現在知道快車每小時24公里，中速車每小時20公里，那么慢車每小時行多少公里？

快車6分鐘行駛6÷60×24＝2.4千米

中車10分鐘行駛10÷60×20＝10/3千米

騎車人10－6＝4分鐘行10/3－2.4＝14/15千米

因此，騎車人每分鐘行14/15÷4＝7/30千米

最初的距離是2.4－7/30×6＝1千米

因此慢車的速度每小時是（1＋7/30×12）÷12×60＝19千米 前進鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運礦石，現有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時出發相向而行，速度分別為每小時40千米和50千米，到達目的地后立即返回，如此反復運行多次，如果不計裝卸時間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次相遇時，距礦山多少千米？ 甲、乙兩車分別沿公路從A，B兩站同時相向而行，已知甲車的速度是乙車的1.5倍，甲、乙兩車到達途中C站的時刻分別為5：00和16：00，兩車相遇是什么時刻？

解：（圖略）由題意可知：甲到c點時，乙到d點，他們在e點相遇。而乙從 d到c用11小時，且ce：ed的路程比為：3：2所以列式為：5+11×2/5=9點24分

第二篇：五年級暑假作業偏難題第六天

五年級暑假作業偏難題第六天 用1～9這九個數碼可以組成362880個沒有重復數字的九位數，求這些數的最大公約數？

另外,因為每個數字都是由1~9的數字組成的,所以各個位數的數字和是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 所以每個數都能被9整除.所以這些數字的最大公約數是也9.2 大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點出發沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長。亮亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩個人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個腳印。問：這個花圃的周長是多少米？

一般解法:(54.72)=18，54÷18=3，72÷18=4。說明小亮走4步等于爸爸走3步。其中腳印重合一次.留下(4+3-1)6個腳印

巧妙解法:[54.72]=216，216÷54=4，216÷72=3。假如花壇的周長為216厘米，則留下(4+3-1)6個腳印。而實際留下60個腳印

最小公倍數216，亮亮走4步，爸爸走3步，重和一次，留下6個腳印 雪地上只留下60個腳印，那么就是亮亮走了40步，爸爸走了30步，40*54或30*72=2160厘米=21.6米 四個連續奇數的最小公倍數是6435，求這四個數。

6435分解質因數=3*3*3*5*11*13

又因為是連續奇數,11前的奇數是9 而9=3*3 13后一個是15 而15=5*3 所以四個連續奇數是9,11,13,15.4 在一個30×24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點外，共經過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？

分析與解：（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6個相同的矩形，那么每個矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（個）

小方格組成。在6×6的簡化圖中，對角線也是它所經過的每一個矩形的對角線，所以經過5個格點（見左下圖）。在對角線所經過的每一個矩形的5×4個小方格中，對角線不經過任何格點（見右下圖）。

所以，對角線共經過格點（30，24）-1=5（個）。5 爺爺對小明說：“我現在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F在的年齡嗎？

是一個自然數的問題啦，爺爺和小明的年齡之差需要分別是6，5，4，3，2的倍數這個數字最小為60。因此，數字之差為60，而今年爺爺是小明的7倍，因此爺爺70，小明10。兩年后，爺爺72，小明12，五年后，爺爺75，小明15，十年后，爺爺80，小明20，二十年后，爺爺90，小明30，五十年后，爺爺120，小明60。等小明60才是兩倍??不知道活不活得到。6 有甲乙丙三種溶液，分別重416千克、334千克和229千克?，F要將它們全部分別裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？

既然，每個小瓶裝入液體的重量相同，那么，我們只要求3者的最大公約數，就可以了 由此

我們不難得出是 5/36 千克 7 大雪后的一天，大亮和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長，他倆的起點和走的方向完全相同，大亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩人腳印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60個腳印，求花圃的周長。

【分析與解】

因為[54,72]=216,所以每走216厘米,父子的腳印重合一次.即父親走3步,大亮走4步后,只留下6個腳?。?/p>

現在有60個腳印,所以父親走了60÷6×3=30步,即30×72=2160厘米=21.6米．所以,這個花圃的周長是21.6米． 寫出小于20的三個自然數，使它們的最大公約數是1，但其中任兩數都不互質。

三個數都不是質數,至少是兩個質數的乘積,兩兩之間的最大公約數只能分別是2,3和5,這種自然數有6,10,15和12,10,15及18,10,15三組.

第三篇：五年級暑假作業偏難題第八天

五年級暑假作業偏難題第八天

第1題 如下圖所示，三角形ABC的面積是10平方厘米，將AB，BC，CA分別延長一倍到D，E，F，兩兩連結D，E，F，得到一個新的三角形DEF。求三角形DEF的面積。

分析與解：想辦法溝通三角形ABC與三角形DEF的聯系。連結FB（見右上圖）。

因為CA=AF，所以三角形ABC與三角ABF等底等高，面積相等。因為AB=BD，所以三角形ABF與三角形BDF等底等高，面積相等。由此得出，三角形ADF的面積是10+10=20（厘米）。

同理可知，三角形BDE與三角形CEF的面積都等于20厘米。

所以三角形DEF的面積等于20×3+10=70（厘米）。

第2題 一個正方形，將它的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米，剩下的長方形比原來正方形的面積減少1725平方厘米，求剩下的長方形的面積。

222

1725＋15×10＝1875（平方厘米）

1875÷（15＋10）＝75（厘米）

（75－15）×（75－10）＝60×65＝3900（平方厘米）

答：剩下長方形的面積是3900平方厘米。

第3題 有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個正方形盒的底部，它們之間互相疊合（見下圖）。已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，求正方形盒子底部的面積。

分析與解：把黃色正方形紙片向左移動并靠緊盒子的左邊。由于三個正方形紙片面積相等，所以原題圖可以轉化成下頁右上圖。此時露出的黃、綠兩部分的面積相等，都等于

（14+10）÷2=12。

因為綠：紅=A∶黃，所以

綠×黃=紅×A，A=綠×黃÷紅=12×12÷20=7.2。

正方形盒子底部的面積是紅+黃+綠+A=20+12+12+7.2=51.2。

第4題 如下圖，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面積是1，則三角形ABC的面積是多少？ 提示：如右上圖，S△ACF=S△BCF，S△BFD=S△EFD=S△CFE。

第5題 在如下圖的三角形中，D，E分別是所在邊的中點，求四邊形ADFE的面積。

三角形ACD面積=三角形BCE面積=三角形ABC的一半,去掉公共部分三角形CEF面積,剩下的面積相等,即四邊形ADEF面積=三角形BCF面積=8×2÷2=8.第6題 下圖中，三角形ABC的面積是30平方厘米，AE=ED，BD=和。

2BC，求陰影部分的面積3

連結DF（見右圖）。因為AE=ED，所以△BED與△ABE面積相等，解得S△ABF=12，即陰影部分的面積和為12平方厘米。

第7題 如下圖所示，在一個等腰直角三角形中，削去一個三角形后，剩下一個上底長5厘米、下底長9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個梯形的面積。

解：因為不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面積?？梢詮牡妊苯侨切闻c正方形之間的聯系上考慮。將四個同樣的等腰直角三角形拼成一個正方形），圖中陰影部分是邊長9厘米與邊長5厘米的兩個正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍。所以所求梯形面積是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。

第8題 在下圖的直角三角形中有一個矩形，求矩形的面積。

分析與解：題中給出了兩個似乎毫無關聯的數據，無法溝通與矩形的聯系。我們給這個直角三角形再拼補上一個相同的直角三角形（見右上圖）。因為A與A′，B與B′面積分別相等，所以甲、乙兩個矩形的面積相等。乙的面積是4×6=24，所以甲的面積，即所求矩形的面積也是24。

第四篇：五年級暑假作業偏難題第三天

五年級暑假作業偏難題第三天 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？

【分析】 設1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草

（20＋10）×5＝150（份）。

由 150÷10＝15知，牧場原有草可供15頭牛吃 10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。22頭牛，吃33公畝牧場的草54天可吃盡；17頭牛吃同樣牧場28公畝的草，84天可吃盡.請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天可吃盡（每公畝牧草原草量相等，且草同等生長）？

【分析】 一公畝一天新長的草量可供多少頭牛吃一天？（17×84÷28-22×54÷33）÷（84-54）=0.5（頭）

一公畝原有的草可供多少頭牛吃一天？

（2×54-54×0.5×33）÷33=9（頭）

40公畝原有的草可供多少頭牛吃一天？

9×40=360（頭）

40公畝24天新長的草可供多少頭牛吃一天？

0.5×24×40=480（頭）

40公畝牧場24天幾頭牛才能吃盡？

（360+480）÷24=35（頭）有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

【分析】 將三塊草地的面積統一起來。［5，6，8］＝120。

因為 5公頃草地可供11頭牛吃10天，120÷5＝24，所以120公頃草地可供11×24＝264（頭）牛吃10天。

因為6公頃草地可供12頭牛吃14天，120÷6＝20，所以120公頃草地可供12×20＝240（頭）牛吃14天。

120÷8＝15，問題變為： 120公頃草地可供19×15＝285（頭）牛吃幾天？

因為草地面積相同，可忽略具體公頃數，所以原題可變為：

“一塊勻速生長的草地，可供264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛吃幾天？”

設1頭牛1天吃的草為1份。每天新長出的草有

（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840（份）。可供285頭牛吃 840÷（285—180）＝8（天）。一個水池裝一個進水管和三個同樣的出水管。先打開進水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時打開3個出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進水管晚開多少分鐘？

【分析】 設出水管每分鐘排出的水為1份。每分鐘進水量

解法一：設每個出水管每分鐘的排水量為1份。2×8=16(份）3×5=15(份）進水量為：（16-15）/（8-5）=1/3 原有的水量為：16-8×1/3=40/3或：15-5×1/3=40/3（40/3）/（1/3）=40(分鐘）解法二：

2個出水管1分鐘排的水量為1/8+進的水 3個出水管1分鐘排的水量為1/5+進的水量 1個出水管1分鐘排的水量為1/5-1/8=3/40 1個進水管1分鐘的進水量為3/40×2-1/8=1/40或：3/40×3-1/5=1/40 1/(1/40)=40(分鐘）比例的解法：

5/3 5 1/3 2 8 8 8/3 8 1/3 3 5 5（5/3 × 8）/(1/3）= 40（分鐘）

(8/3 × 5)/(1/3)= 40(分鐘）

3×25=75 6×10=60 75-60=15 速度：15÷（25-10）=1

原有：75-1×25=50 50÷10+1=11 有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可將草吃完.現有牛若干頭，吃6天后賣了4頭，余下的牛再吃2天便將草吃完，問有牛多少頭（草每日勻速生長）？

【分析】 設每頭牛每天所吃的草量為1.牧草一日新長的草量為幾？

（1×17×30-1×19×24）÷（30-24）=9

牧草原有的草量為幾？

510-9×30=240

若干頭牛8天所吃的草量為幾？

240+9×8+1×2×4=320

牛的頭數是多少？

320÷8=40（頭）12頭牛28天可吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可吃完30公畝牧場上全部牧草.多少頭牛126天可吃完72公畝牧場上全部牧草？（每公畝牧場上原有草量相等，且每【分析】 公畝牧場上每天草的生長量相同）

【分析】 12頭牛28天吃完的10公畝牧場上的草相當于多少頭牛吃1天？

12×28=336

21頭牛63天吃完的30公畝牧場上的草相當于多少頭牛吃1天？

21×63=1323

12頭牛28天吃完的1公畝牧場上的草相當于多少頭牛吃1天？

336÷10=33.6

21頭牛63天吃完的1公畝牧場上的草相當于多少頭牛吃1天？

1323÷30=44.1

（63-28）天1公畝新長的草相當于多少頭牛吃1天？

44.1-33.6=10.5

1公畝1天新長的草相當于多少頭牛吃1天？

10.5÷35=0.3

1公畝原有的草相當于多少頭牛吃1天？

33.6-0.3×28=25.2或

44.1-0.3×63=25.2

72公畝原有的草相當于多少頭牛吃1天？

25.2×72=1814.4

72公畝1天新長的草相當于多少頭牛吃1天？

0.3×72=21.6

72公畝126天新長的草相當于多少頭牛吃1天？

21.6×126=2721.6

多少頭牛126天吃完72公畝上的草？

（2721.6+1814.6)÷126=36 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？

【分析】 等候檢票的旅客人數在變化，“旅客”相當于“草”，“檢票口”相當于“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。

旅客總數由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經在排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。

設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份。因為4個檢票口30分鐘通過（4×30）份，5個檢票口20分鐘通過（5×20）份，說明在（30-20）分鐘內新來旅客（4×30-5×20）份，所以每分鐘新來旅客

（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。

假設讓2個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為

（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

同時打開7個檢票口時，讓2個檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過原來的旅客，需要

60÷（7-2）=12（分）。

第五篇：五年級暑假作業偏難題第四天

五年級暑假作業偏難題第四天

已知A是質數，（A+10）和（A+14）也是質數，求質數A?！痉治觥?從最小的質數開始試算。

A=2時，A+10=12，12是合數不是質數，所以A≠2。

A=3時，A+10=13，是質數；A+14=17也是質數，所以A等于3是所求的質數。

A除了等于3外，還可以是別的質數嗎？因為質數有無窮多個，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。

A，（A+1），（A+2）除以3的余數各不相同，而（A+1）與（A+10）除以3的余數相同，（A+2）與（A+14）除以3的余數相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余數各不相同。因為任何自然數除以3只有整除、余

1、余2三種情況，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一個能被3整除。能被3整除的質數只有3，因為（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是說，本題唯一的解是A=3。把一個一位數的質數a寫在另一個兩位數的質數b后邊，得到一個三位數，這個三位數是a的87倍，求a和b。

【分析】 由題意有，10b+a=87a，10b=86a，5b=43a。因為5與43都是質數，所以a=5，b=43。

由上面等式可看出43a是5的倍數，而43是質數，因此a=5，于是得出b=43。3 判斷數1111112111111是質數還是合數？

【分析】 根據整數的意義，這個13位數可以寫成：

1111112111111

=1111111000000+1111111

=1111111×（1000000+1）

=1111111×1000001。

由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合數。4 試求不大于50的所有約數個數為6的自然數。

【分析】 這是求一個數的約數個數的逆問題。

因為這個數有六個約數，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，當這個數只有一個質因數a時，這個數是a；當這個數有兩個質因數a和b時，這個數是a×b。因為這個數不大于50，所以對于a，只有a=2，即2=32；對于a×b，經試算得到，2×3=12，2×5=20，2×7=28，2×11=44，3×2=18，3×5=45，5×2=50。22222552522

2所以滿足題意的數有八個：32，12，20，28，44，18，45，50。學區舉行團體操表演，有1430名學生參加，分成人數相等的若干隊，要求每隊人數在100至200之間，共有幾種分法？

【分析】 按題意，每隊人數×隊數=1430，每隊人數在100至200之間，所以問題相當于求1430有多少個在100至200之間的約數。為此，先把1430分解質因數，得1430＝2×5×11×13。

從這四個質數中選若干個，使其乘積在100到200之間，這是每隊人數，其余的質因數之積便是隊數。

2×5×11=110，13；

2×5×13=130，11；

11×13=143，2×5=10。

所以共有三種分法，即分成13隊，每隊110人；分成11隊，每隊130人；分成10隊，每隊143人。同學們去射箭，規定每射一箭得到的環數或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數。甲、乙兩同學各射5箭，每人得到的總環數之積剛好都是1764，但是甲的總環數比乙少4環。求甲、乙各自的總環數。

【分析】 甲24環，乙28環。

因為環數之積都是1764，說明他們的環數中沒有0環和10環，環數都是1764的大于0小于10的約數。

1764=2×2×3×3×7×7。

五箭的環數可能的情況有：

（1）1，2×2，3×3，7，7即1，4，9，7，7環，和是28；

（2）1，2×3，2×3，7，7即1，6，6，7，7環，和是27；

（3）2，2，3×3，7，7即2，2，9，9，7環，和是27；

（4）2，3，2×3，7，7即2，3，6，7，7環，和是25；

（5）2×2，3，3，7，7即4，3，3，7，7環，和是24。

已知甲比乙的總環數少4環，所以甲總環數是24，乙總環數是28。7 求不大于100的約數最多的自然數。

【分析】 72，60，84，90。

提示：只有一個質因數時，約數最多的是26=64，有7個約數；有兩個質因數時，約數最多的是2?3=72，有12個約數；有三個質因數時，約數最多的是22×3×5=60，22×3×7=84，2×3×5=90，各有12個約數。8 在1～300之間，求出：約數個數正好是15個的自然數。

【分析】 首先看一下組成這數的質因子的情況是什么樣子的。

15=1×15=3×5

根據約數的個數的公式，這個自然數中只含有兩個不同的質因數，不妨設這兩個質因數分別是A、B。

（1）當15分解為1×15=（0+1）×（14+1），說明這個自然數可以寫為A?B=B，即是14個相同質數的乘積，考慮到自然數的范圍在1～300之間，設B=2，但是2=16384＞300，超出范圍，因此這種情況是不可能的。

（2）當15分解為3×5=（2+1）（4+1）時，即自然數可記為A?B

<1>當A=2，B=3時，2?3=324＞300（超出）

<2>當A=3，B=2時，3?2=144＜300（滿足條件）

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