第一篇：淺談線性空間與歐式空間

2014 年三會一課會議記錄示例月 10 日

支部委員會

內容： 1、傳達鎮黨委工作會議精神。2、臨近春節，討論摸排村內不穩定因素，及時

解決村民反映的突出問題。3、總結 2012 年各項工作 ……..，討論 2013 年重點工作，制定 2013 年初步工作計劃 ………，下一步及時召開黨員大會進行討論。4、討論村內

環境衛生整治工作，杜絕垃圾亂倒現象，積極營造優美居住環境。2 月 3 日

支部委員會 內容： 1、討論如何進一步優化村內環境，清掃大街，歡度春節。2、傳達鎮黨委政府 春節安全工作會議精神，進一步強調社會平安穩定工作。3、安排發放計生明白紙。4、春節前走訪困難群眾，座談了解群眾的實際困難和問題，及時加以解決。3 月 1 日 黨員大會

內容：商議村內重大建設項目及工作計劃

一、（支書姓名）介紹我村今年的工作計劃。

二、（支部書記）介紹當前重點惠民項目情況

今天我們商議的事是：（修路、修大街、挖溝渠、打機井、整平生產路、修建辦公室、購置器械、整理農田、修理自來水等。再詳細介紹一下項目內容、投資情況）。如修 村內大街，長

米，寬

米，需建設資金

萬元，經村兩委討論決定，建設資金 為村集體收入資金（或群眾共同出資，每人 元）。

三、黨員討論結果

經村黨員大會討論舉手表決：同意通過。參加會議

人，同意

人，不同意 人，棄權

人。黨員紛紛表示，會積極向群眾宣傳本次會議精神，配合村里的工作。

四、（支書姓名）總結。同志們考慮的很全面，提出的意見很中肯，我們村兩委成員，一定會按照同志們的想法，認真修改初步制定的計劃，制定最終方案，做好惠民項目 的建設。月 1 日

上黨課內容 :（一般召開一次黨員大會，就跟著上一次黨課，這樣符合實

際情況，檢查的時候也可信）

一、（支書姓名）主持會議 今天，鎮領導 …

（填寫聯系本村的副科級領導）到我村來為大家上黨課，讓我們用熱 烈的掌聲歡迎領導講話。

二、鎮領導講話

一是傳達今年以來，市委抓基層黨建工作的重要精神，強調加強村兩委班子和 黨員隊伍建設的重要性和緊迫性。二是根據市委的要求，通報今年以來我鎮在加強

基層黨組織建設方面出臺的一系列措施及有關要求。

三是如何發揮黨員先鋒模范作

用。我們村黨組織和全體黨員都要積極投身活動，實現組織和黨員全覆蓋。本著有利 于黨組織開展活動、有利于黨員參加、有利于創先爭優活動取得實效的原則，鞏固和 拓展學習實踐科學發展觀活動成果結合起來，精心設計特色鮮明、務實管用的載體，精心組織實施好創先爭優活動。提幾點要求。一是要提高思想認識，結合實際開展

大討論活動；

二是要認識到創先爭優的核心是發展，要結合我村實際，發展村域經濟；

三是要處理好社會發展與經濟發展的關系；四是重點要加強黨員干部作風建設，要加 強窗口建設，努力提高服務意識和水平。

三、（支書姓名）總結

結合工作實際，就基層黨建工作的重大意義、新時期發揮黨員先鋒模范作用、黨 員“五帶頭”的標準尺度等問題，進行了精辟的闡述，給我們上了一堂既有理論性、又有實踐性的黨課。黨的先進性需要通過黨員的具體先鋒模范行動來體現，就基層黨 員來說，日常工作、生活中都能展示黨員先鋒模范作用的舞臺。課后，希望大家結合 這次黨課上所講的內容，圍繞如何發揮黨員先鋒模范作用這個主題，進行認真的討論，進一步領會領導講課的內容，切實推進我村的工作。月 10 日

支部委員會、（支部書記）傳達鎮黨委政府關于春季植樹造林會議精神。

大力開展植樹造林動活，對于保護和改善生態環境，增加農民收入。2、討論安排挖溝渠、清掃大街工作。4 月 10 日

支部委員會 1、傳達落實鎮黨委政府關于營造計劃生育宣傳氛圍的精神。2、加強春季林木管護、涂白工作。月 10 日

支部委員會、安排部署美國白蛾防治工作。2、按照鎮黨委安排部署，積極做好計生宣傳工作。3、當前的幾項重點工作

（依次羅列安排，需討論的討論）。月 10 日

支部委員會、研究做好防汛準備工作。2、研究安排小麥、玉米、棉花保險費的征收工作。3、抓住麥收期間這一有利時機，做好計生工作。月 1 日 黨員大會

內容：紀念“七一”建黨** 周年座談會

一、由（支部書記）帶領廣大黨員重溫入黨誓詞，帶領大家學習《黨章》。

二、黨員展開討論

生活發生的深刻變化和走過的光輝歷程。尤其是看到我市、我鎮這幾年發生的巨 大變化，對我們的黨、國家的未來充滿信心。希望以后能充分發揮黨員的先鋒模范作 用，為本村、本鎮的發展貢獻一份力量。

三、（支書）做總結講話

我們村正處于發展的有利時機，廣大黨員要帶頭，起到先鋒模范作用，在做好防 汛、防洪、計生等工作的同時，自覺愛護我們現在已有的環境，爭取做到愛護環境，人人有責，希望各個方面都能走在全鎮前列，各項事業都能取得新成績。

四、黨員向黨支部交納黨費。月 10 日

支部委員會

內容： 1、排摸村內不穩定因素，分析群眾思想狀況，討論村民反映強烈的問題 2、研

究部署美國白蛾防治工作。月 1 日：黨課

一、新形勢下村干部的主要工作職責是什么？

在農業和農村經濟發展的新階段，村干 部主要職責總結起來就是四個字，即傳、帶、穩、育。1、傳，既傳達、貫徹、落實 黨的政策 2、帶，既帶頭并帶領群眾發展經濟 3、穩，既協助地方黨委、政府做好農 村各項工作，維護農村穩定。4、育，既提高村民的素質，培育新型農民。

二、新形勢下村干部應該具備哪些素質？

總的來說，一個受人愛戴的村班子必須要具備三個基本的特征： 第一，要有強

烈的發展意識。不甘落后，銳意進取，自強不息，艱苦創業，有市場意識、產業意識、項目意識、品牌意識、親商意識。第二，要有切實可行的發展路子。在某種程度上，思路就是出路，沒有思路的班子絕對不是好班子。第三，要有實實在在的發展業績。

要會干事、能干事、干成事，僅有思路不落實，只說不干，只講客觀不講主觀，任職 多年，村上面貌依舊，一事無成的班子也不是好班子。要具備以上三個基本特征，就 要求村干部必須具備以下四個方面的能力。一是

帶民致富的能力。二是

依法辦事的能 力。三是

科技示范能力。四是

服務群眾的能力。月 10 日

支部委員會、研究部署美國白蛾防治、防汛等工作。2

、討論村內重點項目

（從中選擇 1-2 項：整修大街、挖溝渠、打機井、整平生產路、修建辦公室、購置器械等）。9 月 10 日 支部委員會

內容： 1、排摸村內不穩定因素，分析群眾思想狀況，討論村民反映強烈的問題。2、研究部署美國白蛾防治、防汛等工作。月 1 日 黨員大會

（僅是示例，發展黨員的黨員大會請按實際時間做會議記錄）

內容

：分為兩種情況，各村結合自己實際從中選擇一種。

第一種情況： 2013 年有黨員發展對象（發展預備黨員或黨員轉正）的村按下面的要 求寫 ：

一、（支部書記）傳達會議精神。???

二、由（黨員發展對象姓名）入黨介紹人介紹主要情況

介紹人一： *** 同志在考察期間，能夠認真學習理論知識，注重自身修養，在政治上

保持清醒的頭腦，在思想上保持高尚的境界，將理論知識運用到實際生活中，堅持不 懈，持之以恒，實事求是，腳踏實地，處處起表率作用，樹立良好的黨員形象，認真 對待自己的缺點和不足，并及時地進行改正?？傊?，該同志能夠不斷提高自身黨性修 養和綜合素質，充分發揮共產黨員的先鋒模范和用，我們認為 *** 同志基本具備一名

預備黨員（或正式黨員）的條件，我同意 *** 同志加入黨組織。（或我同意 *** 同志按 期轉正）

介紹人二： ????.三、支部報告對黨員發展對象的政治審查情況 本支部通過采取查閱本人檔案材料、派人處調、函調、與本人談話、征求有關監督部 門意見、召開黨內外群眾座談會以及公示等方法對 *** 同志進行了政治審查及考核，認為該同志本人政治歷史清楚，在重大政治斗爭中旗幟鮮明，能夠與黨中央保持一致，其家庭主要成員和社會關系清楚。

四、黨員無記名投票表決

經村黨員大會討論無記名投票表決：通過了 **** 同志轉發展為中共預備黨員（或按期轉正）的決議。參加會議

人，同意

人，不同意 人，棄權

人。

第二種情況： 2013 年無黨員發展對象的村，入黨積極分子“雙推”按以下要求寫：

（注意：入黨積極分子“雙推”前應有一次支委會討論入黨積極分子的會議記錄，一 句話即可）

一、（支部書記）傳達會議精神。??..二、由（入黨積極分子姓名）培養聯系人介紹主要情況

培養人一： *** 同志自 2009 年 1 月提出入黨申請以來，識，積極 向黨組織靠攏，主動匯報思想，積極參加村、黨組織的政治活動，認真學習黨的基本知優點是： 學習認真、樂于助人、尊老愛幼，是我們村公認的積極模范分子。缺點是：理論學習不夠深入。

培養人二： ???????.三、黨員和群眾代表無記名投票表決

經村黨員大會討論投票表決： 通過了確定 ***

同志為入黨積極分子并重點培養的決議。黨員參加會議

人，同意

人，不同意 人，棄權

人。群眾代表參加會議

人，同意

人，不同意 人，棄權

人。10 月 1 日

黨課：

一、（支部書記）領學《黨章》的主要內容

主要學習了黨的性質，中國共產黨是中國工人階級的先鋒隊，同時是中國人民和中華 民族的先鋒隊，是中國特色社會主義事業的領導核心，代表中國先進生產力的發展要 求，代表中國先進文化的前過方向，代表中國最廣大人民的根本利益。黨的最高理想 和最終目標是實現共產主義。

學習黨的宗旨和指導思想、思想路線。黨的宗旨就是全心全意為人民服務，中國共產 黨以馬列主義、毛澤東思想、鄧小平理論和“三個代表”重要思想作為自己的行動指 南，一切從實際出發，理論聯系實際，實事求是，在實踐中檢驗真理和發展真理。

二、黨員討論發言

大家紛紛表示，通過對《黨章》的再學習，提高了黨員的先鋒模范意識，增強了黨員 發揮作用的自覺性和主動性。月 10 日

支部委員會

內容： 1、安排部署計劃生育工作。2、安排部署農業結構調整事宜。月 1 日 黨員大會

內容：

一、（支部書記）傳達村兩委會議精神，對大街進行綜合整治，改善村民居住 環境。

一是從今天開始全村開展大街整治。二是村兩委成員包一條大街。三是大街整治內容： 對大街兩旁的雜草、糞便、麥秸等雜物全部清理干凈，先由戶清理成堆，村再組織人 員清理走。

二、黨員討論發言

（黨員）：村內大街整治非常有必要，我支持

（黨員）：我支持村兩委的工作，積極參與大街整治

（黨員）：這個活動搞得很好，我們村整理一下，搞好了環境衛生，和在城里住沒啥 區別，大力支持。

（黨員）：我全力支持，一定盡全力，支持村兩委工作月 1 日 黨課

共產黨員如何發揮先鋒模范作用？

一、做有理想的模范

二、做有道德的模范

三、做努力工作、好學上進、促進先進社 會生產力的模范

四、做不尚空談、多干實事的模范

五、做深化改革，勇于創新的模 范

六、做遵紀守法，同不正之風，腐敗現象和違法犯罪行為作斗爭的模范月 10 日

支部委員會 內容： 1、積極采取措施抓緊進行覆蓋地膜保溫，增強保溫抗寒能力。2、安排冬季聯

戶聯防工作，確保冬季社會平安。3、討論開展星級文明戶評選活動相關事宜。月 10 日

第二篇：高等代數北大版教案-第6章線性空間

第六章 線性空間

§1 集合映射

一 授課內容:§1 集合映射

二 教學目的:通過本節的學習,掌握集合映射的有關定義、運算,求和號與乘積號的定義.三 教學重點:集合映射的有關定義.四 教學難點:集合映射的有關定義.五 教學過程: 1.集合的運算,集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念 定義:(集合的交、并、差)設S是集合,A與B的公共元素所組成的集合成為A與B的交集,記作A?B；把A和B中的元素合并在一起組成的集合成為A與B的并集,記做A?B；從集合A中去掉屬于B的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為A與B的差集,記做AB.定義:(集合的映射)設A、B為集合.如果存在法則f,使得A中任意元素a在法則f下對應B中唯一確定的元素(記做f(a)),則稱f是A到B的一個映射,記為

f:A?B,a?f(a).如果f(a)?b?B,則b稱為a在f下的像,a稱為b在f下的原像.A的所有元素在f下的像構成的B的子集稱為A在f下的像,記做f(A),即f(A)??f(a)|a?A?.若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 則稱f為單射.若 ?b?B,都存在a?A,使得f(a)?b,則稱f為滿射.如果f既是單射又是滿射,則稱f為雙射,或稱一一對應.2.求和號與求積號(1)求和號與乘積號的定義

為了把加法和乘法表達得更簡練,我們引進求和號和乘積號.設給定某個數域K上n個數a1,a2,?,an,我們使用如下記號:

·６０·a1?a2???an??ai, a1a2?an??ai.i?1i?1nn當然也可以寫成

a1?a2???an?(2)求和號的性質 容易證明，1?i?n?ai, a1a2?an?1?i?n?ai.??ai???ai,?(ai?bi)??ai??bi,??aij???aij.i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnnmmni?1j?1j?1i?1事實上,最后一條性質的證明只需要把各個元素排成如下形狀:

a11a21?an1a12a22?an2?a1m?a2m

???anm分別先按行和列求和,再求總和即可.§2 線性空間的定義與簡單性質

一 授課內容：§2 線性空間的定義與簡單性質

二 教學目的：通過本節的學習,掌握線性空間的定義與簡單性質.三 教學重點：線性空間的定義與簡單性質.四 教學難點：線性空間的定義與簡單性質.五 教學過程：

1.線性空間的定義

(1)定義4.1(線性空間)設V是一個非空集合,且V上有一個二元運算“+”(V?V?V),又設K為數域,V中的元素與K中的元素有運算數量

·６１· 乘法“?”(K?V?V),且“+”與“?”滿足如下性質:

1、加法交換律 ??,??V,有???????；

2、加法結合律 ??,?,??V,有(???)?????(???)；

3、存在“零元”,即存在0?V,使得???V,0????；

4、存在負元,即???V,存在??V,使得????0；

5、“1律” 1????；

6、數乘結合律 ?k,l?K,??V,都有(kl)??k(l?)?l(k?)；

7、分配律 ?k,l?K,??V,都有(k?l)??k??l?；

8、分配律 ?k?K,?,??V,都有k(???)?k??k?, 則稱V為K上的一個線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.注意:線性空間依賴于“+”和“?”的定義,不光與集合V有關.(2)零向量和負向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數乘運算與通常數的加、乘法類似的性質

命題4.1 零元素唯一,任意元素的負元素唯一.證明:設0與0'均是零元素,則由零元素的性質,有0?0'?0?0'；

???V,設?,?'都是?的負向量,則

??0???(?'??)????'?(???)???0??, 于是命題得證.由于負向量唯一,我們用??代表?的負向量.定義4.2(減法)我們定義二元運算減法“-”如下:

???定義為??(??).命題4.2 線性空間中的加法和數乘滿足如下性質:

1、加法滿足消去律 ???????????；

2、可移項 ???????????；

3、可以消因子 k???且k?0,則??1?； k4、0???0, k?0?0,(?1)????.(3)線性空間的例子

·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函數所構成的集合,令K??,V中加法的定義就是函數的加法,關于K的數乘就是實數遇函數的乘法,V構成K上的線性空間.4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性相關與線性無關的定義以及等價表述,向量組的秩,向量組的線性等價；極大線性無關組.定義4.3(線性組合)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,又給定數域K內s個數k1,k2,?,ks,稱k1?1?k2?2???ks?s為向量組?1,?2,?,?s的一個線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,設?是V內的一個向量,如果存在K內s個數k1,k2,?,ks,使得??k1?1?k2?2???ks?s,則稱向量?可以被向量組?1,?2,?,?s線性表出.定義4.5(向量組的線性相關與線性無關)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,如果對V內某一個向量?,存在數域K內不全為零的數k1,k2,?,ks,使得k1?1?k2?2???ks?s?0,則稱向量組?1,?2,?,?s線性相關；若由方程k1?1?k2?2???ks?s?0必定推出k1?k2???ks?0,則稱向量組?1,?2,?,?s線性無關.命題4.3 設?1,?2,??s?V,則下述兩條等價: 1)?1,?2,??s線性相關； 2)某個?i可被其余向量線性表示.證明同向量空間.定義4.6(線性等價)給定V內兩個向量組

?1,?2,?,?r(Ⅰ), ?1,?2,?,?s(Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)線性表示,反過來,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)線性表示,則稱兩向量組線性等價.定義4.7(極大線性無關部分組)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,如

·６３· 果它有一個部分組?i1,?i2,?,?ir滿足如下條件:(i)、?i1,?i2,?,?ir線性無關；

(ii)、原向量組中任一向量都能被?i1,?i2,?,?ir線性表示, 則稱此部分組為原向量組的一個極大線性無關部分組.由于在向量空間中我們證明的關于線性表示和線性等價的一些命題中并沒有用到Kn的一些特有的性質,于是那些命題在線性空間中依然成立.定義4.8(向量組的秩)一個向量組的任一極大線性無關部分組中均包含相同數目的向量,其向量數目成為該向量組的秩.例4.2 求證:向量組?e?1x,e?2x?的秩等于2(其中?1??2).證明:方法一:設k1,k2∈R,滿足k1e?1x?k2e?2x?0,則k1e?1x??k2e?2x,假若k1,k2不全為零,不妨設k1?0,則有e(?1??2)x??k2,而由于?1??2,等號左k1邊為嚴格單調函數,矛盾于等號右邊為常數.于是k1?k2?0.所以e?1x,e?2x線性無關,向量組的秩等于2.證畢.方法二:若在(a,b)上k1e?1x?k2e?2x?0, 兩端求導數,得k1?1e?1x?k2?2e?2x?0，?c?c??k1e1?k2e2?0,以x?c?(a,b)代入,有? ?1c?2c??k1?1e?k2?2e?0.而e?1ce?2c?1e?2c?2e?2c?e(?1??2)c(?2??1)?0, 于是k1?k2?0.證畢.·６４·§3 維數、基與坐標

一 授課內容:§3 維數、基與坐標

二 教學目的:通過本節的學習,掌握線性空間的基與維數,向量的坐標的有關定義及性質.三 教學重點:基與維數、向量坐標的有關定義.四 教學難點:基與維數、向量坐標的有關定義.五 教學過程: 1.線性空間的基與維數,向量的坐標 設V是數域K上的線性空間,則有: 定義4.9(基和維數)如果在V中存在n個向量?1,?2,?,?n,滿足: 1)?1,?2,?,?n線性無關；

2)V中任一向量在K上可表成?1,?2,?,?n的線性組合, 則稱?1,?2,?,?n為V的一組基.基即是V的一個極大線性無關部分組.基的個數定義為線性空間的維數.命題4.4 設V是數域K上的n維線性空間,而?1,?2,?,?n?V.若V中任一向量皆可被?1,?2,?,?n線性表出,則?1,?2,?,?n是V的一組基.證明:由?1,?2,?,?n與V的一組基線性等價可以推出它們的秩相等.命題4.5 設V為K上的n維線性空間,?1,?2,?,?n?V,則下述兩條等價: 1)?1,?2,?,?n線性無關；

2)V中任一向量可被?1,?2,?,?n線性表出.定義4.10(向量的坐標)設V為K上的n維線性空間,?1,?2,?,?n是它的一組基.任給??V,由命題4.4,?可唯一表示為?1,?2,?,?n的線性組合,即?!ai?K,(i?1,2,?,n),使得??a1?1?a?2?2??an?n,于是我們稱?a1,a2,?,an?為?在基?1,?2,?,?n下的坐標.易見,在某組基下的坐標與V/K中的向量是一一對應的關系.·６５· §4 基變換與坐標變換

一 授課內容:§4 基變換與坐標變換

二 教學目的:通過本節的學習,掌握基變換與過渡矩陣的定義、運算, 坐標變換公式.三 教學重點:基變換與過渡矩陣的定義、運算, 坐標變換公式.四 教學難點:坐標變換公式的應用.五 教學過程: 1.線性空間的基變換,基的過渡矩陣

設V/K是n維線性空間,設?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是兩組基,且

??1?t11?1?t21?2???tn1?n,???t??t????t?,?2121222n2n ????????????????n?t1n?1?t2n?2???tnn?n.將其寫成矩陣形式

?t11t12?t1n???tt?t2n?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)?2122.????????t?t?tnn??n1n2定義4.11 我們稱矩陣

?t11t12?t1n???tt?t2n?T??2122 ????????t?t?tnn??n1n2為從?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的過渡矩陣.命題4.6 設在n維線性空間V/K中給定一組基?1,?2,?,?n.T是K上一個n階方陣.命

(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.·６６·則有?1,?2,?,?n是V/K的一組基,當且僅當T可逆.證明:若?1,?2,?,?n是線性空間V/K的一組基,則?1,?2,?,?n線性無關.考察同構映射?:V?Kn,???在?1,?2,?,?n下的坐標,構造方程

k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0, 其中ki?K,(i?1,2,?,n), ??(k1?1?k2?2???kn?n)?0?k1?1?k2?2???kn?n?0, ?k1?k2???kn?0??(?1),?(?2),?,?(?n)線性無關.?(?1),?(?2),?,?(?n)構成了過渡矩陣的列向量,所以過渡矩陣可逆；

反過來,若過渡矩陣可逆,則構造方程

k1?1?k2?2???kn?n?0,其中ki?K,(i?1,2,?,n), 兩邊用?作用,得到k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0, ?k1?k2???kn?0.證畢.2.向量的坐標變換公式；Kn中的兩組基的過渡矩陣(1)向量的坐標變換公式

設V/K有兩組基為?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n,又設?在?1,?2,?,?n下的坐標為?a1,a2,?,an?,即

?a1???a??(?1,?2,?,?n)?2?，?????a???n?在?1,?2,?,?n下的坐標為(b1,b2,?,bn),即

?b1???b??(?1,?2,?,?n)?2?.?????b???n?現在設兩組基之間的過渡矩陣為T,即(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.記

·６７·

?a1??b1?????ab2?2???X?,Y?, ?????????a???b???n??n?于是

(?1,?2,?,?n)X?(?1,?2,?,?n)Y?[(?1,?2,?,?n)T]Y?(?1,?2,?,?n)(TY).于是,由坐標的唯一性,可以知道X?TY,這就是坐標變換公式.(2)Kn中兩組基的過渡矩陣的求法 我們設Kn中兩組基分別為

?1?(a11,a12,?,a1n),?2?(a21,a22,?,a2n),?????????n?(an1,an2,?,ann).和

?1?(b11,b12,?,b1n),?2?(b21,b22,?,b2n),?????????n?(bn1,bn2,?,bnn).而(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.按定義,T的第i個列向量分別是?i在基?1,?2,?,?n下的坐標.將?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n看作列向量分別排成矩陣

?a11?a21?A?????a?n1a12?a1n??b11b12?b1n????a22?a2n?bb?b21222n?；B??，????????????b?an2?ann?b?bnn???n1n2則有B?AT,將A和B拼成n?2n分塊矩陣?A|B?,利用初等行變換將左邊矩陣A化為單位矩陣E,則右邊出來的就是過渡矩陣T,示意如下:(A|B)?行初等變換????(E|T).·６８·

§5 線性子空間

一 授課內容:§5 線性子空間

二 教學目的:通過本節的學習,掌握線性子空間的定義、判別定理.三 教學重點:線性子空間的定義、判別定理.四 教學難點:線性子空間的判別定理.五 教學過程: 1.線性空間的子空間的定義

定義4.12(子空間)設V是數域K上的一個線性空間,M時V的一個非空子集.如果M關于V內的加法與數乘運算也組成數域K上的一個線性空間,則稱為V的一個子空間.命題4.7 設V是K上的線性空間,又設一個非空集合W?V,則W是子空間當且僅當下述兩條成立: i)W對減法封閉； ii)W對于K中元素作數乘封閉.證明:必要性由定義直接得出；

充分性:各運算律在V中已有,所以W滿足運算律的條件.只需要證明0?W且對于任意??W,???W,且對加法封閉即可.事實上,由于W關于數乘封閉,則0???0?W；(?1)??????W,于是對于??,??W,??????(??)?W,W關于加法封閉.于是W是V的一個子空間.證畢.事實上,W關于加法和數乘封閉也可以得出上述結論.命題4.8 設W是V的一個有限維子空間,則W的任一組基可以擴充為V的一組基.證明:設dimV?n,dimW?r,(r?n),若r?n,則命題為真； 若r?n,對n?r作歸納:設?1,?2,?,?r為W的一組基,取?r?1?VW,則?1,?2,?,?r,?r?1線性無關.于是令W'?{??k?r?1|??W,k?K},易見,W’是V的一個子空間,且dimW'?r?1,此時n?dimW'?n?r?1,對其用歸納假設即可.·６９· §6 子空間的交與和

一 授課內容:§6子空間的交與和

二 教學目的:通過本節的學習,掌握子空間的交與和的定義、性質及維數公式.三 教學重點:子空間的交與和的定義及維數公式.四 教學難點:子空間的交與和的性質及維數公式..五 教學過程: 1.子空間的交與和,生成元集 定義4.13 設?1,?2,?,?t?V,則

?k1?1?k2?2???kt?t|ki?K,i?1,2,?,t?

是V的一個子空間,稱為由?1,?2,?,?t生成的子空間,記為L(?1,?2,?,?t).易見,生成的子空間的維數等于?1,?2,?,?t的秩.定義4.14(子空間的交與和)設V1,V2為線性空間V/K的子空間,定義

V1?V2?{v?V1且v?V2},稱為子空間的交； V1?V2?{v1?v2|v1?V1,v2?V2},稱為子空間的和.命題4.9 V1?V2和V1?V2都是V的子空間.證明:由命題4.7,只需要證明V1?V2和V1?V2關于加法與數乘封閉即可.事實上,??,??V1?V2,則?,??V1,?,??V2.由于V1,V2均是V的子空間,則????V1,????V2,于是????V1?V2,V1?V2關于加法封閉；???V1?V2,k?K,kv?V1,kv?V2,于是kv?V1?V2,V1?V2關于數乘封閉.??,??V1?V2,則由V1?V2的定義,??1,?1?V1,?2,?2?V2,使得???,????1??21?,2而?1??1?V1,?2??2?V2,則

????(?1??2)?(?1??2)?(?1??1)?(?2??2)?V1?V2, V1?V2關于加法封閉；???V1?V2,k?K,??1?V1,?2?V2,使得???1??2,由于k?1?V1,k?2?V2,則k??k(?1??2)?k?1?k?2?V1?V2,V1?V2關于

·７０·數乘封閉.證畢.命題4.10 設V1,V2,?,Vm是V的子空間,則V1?V2???Vm和V1?V2???Vm均為V的子空間.2.維數公式.定理4.1 設V為有限維線性空間,V1,V2為子空間,則

dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2).這個定理中的公式被稱為維數公式.證明:設dimV1?s,dimV2?t,dim(V1?V2)?n,dim(V1?V2)?r,取V1?V2的一組基?1,?2,?,?r(若V1?V2=0,則r?0,基為空集),將此基分別擴充為V1,V2的基

?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r, ?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r, 只需要證明?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2?，?t?r是V1?V2的一組基即可.首先,易見V1?V2中的任一向量都可以被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r線性表出.事實上,???V1?V2,則???1??2,其中?1?V1,?2?V2,而

?1?k1?1?k2?2???kr?r?kr?1?1?kr?2?2???ks?s?r，?2?l1?1?l2?2???lr?r?lr?1?1?lr?2?2???lt?t?r.ki,lj?K 于是???1??2可被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2?，?t?r線性表出.只要再證明向量組?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2,?,?t?r線性無關即可.設k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0, 其中ki,aj,bh?K.則

k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r??b1?1?b2?2???bt?r?t?r(*)于是

k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1, ?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?V2，·７１· 于是k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1?V2,記為?.則?可被?1,?2,?,?r線性表示,設

??h1?1?h2?2???hr?r, 代入(*),有

h1?1?h2?2???hr?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0, 由于?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r是V2的一組基,所以線性無關,則

h1?h2???hr?b1?b2???bt?r?0, 代回(*),又有k1?k2???kr?a1?a2???as?r?0, 于是向量組?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r線性無關.證畢.推論2.1 設V1,V2,?,Vt都是有限為線性空間V的子空間,則: dim(V1?V2???Vt)?dimV1?dimV2???dimVt.證明:對t作歸納.§7 子空間的直和

一 授課內容:§7 子空間的直和

二 教學目的:通過本節的學習,掌握子空間的直和與補空間的定義及性質.三 教學重點:子空間的直和的四個等價定義.四 教學難點:子空間的直和的四個等價定義.五 教學過程: 1.子空間的直和與直和的四個等價定義

定義 設V是數域K上的線性空間,V1,V2,?,Vm是V的有限為子空間.若對于?Vi中任一向量,表達式

i?1m???1??2????m,?i?Vi,i?1,2,?,m.·７２·是唯一的,則稱?Vi為直和,記為

i?1mV1?V2???Vm或?Vi.i?1m定理 設V1,V2,?,Vm為數域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等價: 1)V1?V2???Vm是直和； 2)零向量表示法唯一；

????V)?{0},?i?1,2,?,m； 3)Vi?(V1???Vim4)dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm.證明: 1)?2)顯然.2)?1)設???1??2????m??1??2????m,則

(?1??1)?(?2??2)???(?m??m)?0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是

?i??i,i?1,2,?,m, 即?的表示法唯一.由直和的定義可知,V1?V2???Vm是直和.????V)?{0},2)?3)假若存在某個i,1?i?m,使得Vi?(V1???Vim????V),于是存在??V,使得 則存在向量??0且??Vi?(V1???Vjjim?i????m.???1????由線性空間的定義，????V), ???Vi?(V1???Vim則?1???(??)????m???(??)?0,與零向量的表示法唯一矛盾,于是

????V)?{0},?i?1,2,?,m.Vi?(V1???Vim3)?2)若2)不真,則有

0??1????i????m, 其中?j?Vj(j?1,2,?,m)且??i?0.于是

????V), ?i????m?Vi?(V1???V??i??1????im

·７３· 與3)矛盾,于是2)成立.3)?4)對m作歸納.①m=2時,由維數公式得到

dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.②設m?1(m?3)已證,則對于m, dim(V1?V2???Vm)?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1)?dim(Vm?(V1?V2???Vm?1))?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1),而?i,1?i?m?1,都有

垐Vi?(V1???Vi???Vm?1)?Vi?(V1???Vi???Vm)?{0}；

由歸納假設,可以得到dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm.4)?3)?i,1?i?m,都有

垐dim(Vi?(V1???Vi???Vm))?dim(Vi)?dim(V1???Vi???Vm)?dim(V1?V2???Vm)?0, ????V)?{0},?i?1,2,?,m.證畢.于是Vi?(V1???Vim推論 設V1,V2為V的有限維子空間,則下述四條等價: i)V1?V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1?V2?{0}；

iv)dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.2.直和因子的基與直和的基

命題 設V?V1?V2???Vm,則V1,V2,?,Vm的基的并集為V的一組基.證明: 設?i1,?i2,?,?ir是Vi的一組基,則V中任一向量可被

i?{?i?1mi1,?i2,?,?ir}線性表出.又dimV??dimVi?r1?r2???rm,由命題4.5,imi?1它們線性無關,于是它們是V的一組基.證畢.3.補空間的定義及存在性

定義 設V1為V的子空間,若子空間V2滿足V?V1?V2,則稱為V1的補

·７４·空間.命題 有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補空間.證明: 設V1為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取V1的一組基?1,?2,?,?r,將其擴為V的一組基?1,?2,?,?r,?r?1,?r?2,?,?n取V2?L(?r?1,?r?2,?,?n),則有

V?V1?V2,且dimV1?dimV2?n?dim(V1?V2), 于是V?V1?V2,即V2是V1的補空間.證畢.§8 線性空間的同構

一 授課內容:§1線性空間的同構

二 教學目的:通過本節的學習,掌握線性空間同構的有關定義及線性空間同構的判定.三 教學重點:線性空間同構的判定.四 教學難點:線性空間同構的判定.五 教學過程: 1.線性映射的定義

定義 設U,V為數域K上的線性空間,?:U?V為映射,且滿足以下兩個條件: i)?(???)??(?)??(?),(??,??U)； ii)?(k?)?k?(?),(???U,k?K), 則稱?為(由U到V的)線性映射.由數域K上的線性空間U到V的線性映射的全體記為HomK(U,V),或簡記為Hom(U,V).定義中的i)和ii)二條件可用下述一條代替: ?(k??l?)?k?(?)?k?(?),(??,??U,k,l?K).·７５· 例 Mm?n(K)是K上的線性空間,Ms?n(K)也是K上線性空間,取定一個K上的s?m矩陣A,定義映射

?:Mm?n(K)?Ms?n(K),x?AX.則?是由Mm?n(K)到Ms?n(K)的線性映射.例 考慮區間(a,b)上連續函數的全體,它是R上的線性空間,令

U?L(1,sinx,sin2x,?,sinnx), V?L(1,cosx,cos2x,?,cosnx).再令

?:則?是由U到V的一個線性映射.定義 設?:U?V是線性映射

U?V,f(x)?AX.i)如果?是單射,則稱?是單線性映射(monomorphism)； ii)如果?是滿射,則稱?是滿線性映射(endmorphism)；

iii)如果?既單且滿,則稱?為同構映射(簡稱為同構,isomorphism),并說U與V是同構的,同構映射也稱為線性空間的同態(homomorphism),同構映射的逆映射也是同構映射；

iv)?的核(kernel)定義為ker??{??U|?(?)?0}；

v)?的像(image)定義為im?={??V|???U,s.t?(?)??},也記為?(U)；

命題 ker?和im?是V的子空間.證明:容易證明它們關于加法和數乘封閉.vi)?的余核定義為coker??V/im?.命題 線性映射f是單的當且僅當kerf?{0},f是滿的當且僅當cokerf?{0}.定理(同態基本定理)設f:U?V是數域K上的線性空間的滿線性

·７６·映射,則映射

?:U/kerf?V，??kerf?f(?).是同構映射.證明:首先證明?是映射,即若???'?U/kerf,則?(?)??(?').由于???',存在??kerf,使得???'??.于是

f(?)?f(?'??)?f(?')?f(?)?f(?'),即?(?)??(?').再證明?是線性映射.??,??U/ker?,k,l?K,有

?(k??l?)?f(k??l?)?kf(?)?lf(?)?k?(?)?l?(?).易見?是滿射,且有V?imf.只要再證明?是單射即可,即證明.設??ker?,則?(?)?f(?)?0,于是??kerf,即有??0.ker??{0}證畢.命題 設?:U?V是線性映射,dimU?n,則下述三條等價: i)?單；

ii)?將U中任意線性無關組映為V中的線性無關組； iii)dim?(U)?n.證明:i)?ii)若?1,?2,?,?t?V線性無關,則令

k1?(?1)?k2?(?2)???kt?(?t)?0, 由線性映射的定義,?(k1?1?k2?2???kt?t)?0.?單,于是k1?1?k?2?2??kt?t?0,則k1?k2???kt?0,ii)成立；

ii)?iii)若取U的一組基?1,?2,?,?n,則由已知, ?(?1),?(?2),?,?(?n)線性無關,而im?中任意向量可以被?(?1),?(?2),?,?(?n)線性表出,于是?(?1),?(?2),?,?(?n)構成im?的一組基,iii)成立；

iii)?i)由同態基本定理知U/ker??im?,于是diUm?di?m?ke?r?dim?k?e,r即有ker??{0}.證畢.·７７·

第三篇：《空間與圖形》數學教案

《空間與圖形》數學教案

“長方形、正方形和平行四邊形”的教學是在學生已經初步認識了長方形、正方形的基礎上進一步認識長方形和正方形的角和邊的特征。而平行四邊形在教材中是第一次出現只要求學生能從具體的實物和圖形中識別哪個是平行四邊形，對它的一些特征有個初步直觀的認識。本節課的教學為下節學習長方形、正方形的周長做了鋪墊。并為今后深入學習長方形、正方形和平行四邊形的內在聯系奠定基礎。

由于本學段學生的思維處于形象直觀階段，因此教學中我利用學生已有的生活經驗，通過引導觀察和操作獲取數學知識。

根據新課標對“空間與圖形”提出的’初步建立空間觀念發展形象思維”的要求及學生的心理特點和認知規律，結合三維目標，我確立了本節課的教學目標：

1、知識與技能目標：通過觀察操作能用自己的語言描述長方形、正方形的特征，初步認識平行四邊形。

2、過程與方法：讓學生親身經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，能合理清晰地闡述自己的觀點，培養學生的推理能力。

3、情感態度價值觀：

激發學生對身邊數學有關的某些事物的好奇心，能積極參與生動直觀的數學活動。

本節課的重點是：掌握長方形、正方形的特征，初步認識平行四邊形。

難點是：弄清長方形、正方形之間的區別與聯系。

為了更好的實現教學目標，課堂上我注重讓學生在現實情境和已有的知識經驗中理解數學。引導他們在觀察、操作、猜測、驗證、推理與交流等數學活動中探索發現長方形、正方形和平行四邊形的特征。并鼓勵學生用自己的語言進行描述，使他們經歷“做數學”的過程。真正促進學生在知識與技能、情感態度價值觀和一般能力方面的全面發展，而不僅僅局限于知識與技能方面的發展。

新課標指出：“有效的數學學習不能單純依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學習數學的重要方式?！边@一理念，我采取了“引導

第四篇：“空間與圖形”教學策略

“空間與圖形”教學策略

數學課程內容標準分為“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合應用”四個領域。#此前在首頁部分顯示#這節數學課的教學內容——“平移與旋轉”屬于“空間與圖形”?！稊祵W課程標準》與原《數學教學大綱》相比，其變化一方面是體現在內容結構上，另一方面是體現在課程內容上。變化的課程內容中有增強的內容，也有削弱的內容。其增強的內容之一是有關“空間與圖形”領域知識的教學。在空間與圖形的教學中，課標把發展學生的空間觀念作為核心目標，而以前的大綱沒有把這一目標當作重中之重。

以往的小學幾何教學，只是單純的學習習近平面圖形和立體圖形的概念、性質和計算，教材中除了長方體、正方體、圓柱、圓錐幾個簡單幾何體的體積、表面積計算外，幾乎沒有任何別的三維空間的內容，對現實生活中很多實際問題都涉及不到。學生雖然會解答復雜的面積、體積計算，但不知道一噸煤有多少？裝一噸水的容器應該多大？學習了許多計量單位，會進行復雜的化聚法，但不知道1千克雞蛋約有多少個？不會看公共汽車線路圖??對于這樣的教學結果，根本談不上空間觀念的培養。

而新課標將以往的幾何拓展為“空間與圖形”，把視野拓寬到學生生活的空間中。內容涉及到現實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及其變換。比如一年級理解物體的前后、左右、上下，從不同角度觀察物體；二年級的認識東南西北，不同角度觀察長方體與正方體的形狀。像我們三年級“平移和旋轉”的前一課是“對稱圖形“，它的教學目標不僅要求學生感知現實世界中普遍存在的對稱現象，體會對稱圖形的特征，而且要能在方格紙上劃出簡單圖形的對稱圖形。而人教版教材直到五年級下學期才認識對稱圖形，且不要求畫圖形的對稱圖形。新課標使學生在觀察物體、認識方向、制作模型、圖案設計、實驗操作等各種活動中，更好地理解人類賴以生存的空間，理解和認識現實世界。

另外，小學生的思維方式正處于以具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，這一階段恰恰也是兒童空間知覺，即形體直觀認知能力形成的重要階段。可見，小學生的空間觀念還處于初步發展階段，這種能力的培養仍然與直接和感性經驗相聯系，仍然具有很大成分的具體形象性。在學生空間觀念的發展上，教師應從具體事物的感知出發，在學生獲得清晰、深刻的表象后，再逐步抽象出幾何形體的特征和性質；要引導學生有目的、有順序、有重點地去觀察所學過的幾何形體，在學生反復細致觀察的基礎上發展其空間觀念。

發展與培養學生的空間觀念尤為強調的教學目標，基于這些認，“空間與圖形”的教學策略我就從以下五方面進行闡述：

一、問題情境是形成空間觀念的有效切入點。

二、學生經驗是發展空間觀念的基礎。

三、實踐操作是培養空間觀念的重要形式。

四、實際應用是運用空間觀念的良好土壤。

五、多媒體課件是培養空間觀念的有效手段。

一、問題情境是形成空間觀念的有效切入點。

俗話說良好的開端是成功的一半。引入階段正處在一堂課的起始階段，處理的是否恰當，直接影響到學生學習的情緒，以及思維的活躍程度。因此，在教學中，我非常重視新授課的導入。在課的開始我給學生播放帶有平移和旋轉畫面的兒童歌曲，在學生的無意注意中感受物體的運動，有效地與物體運動中的 “平移旋轉”緊密銜接起來，由于熟悉與喜愛學生跟著唱起來，學生不由自主地進入角色。再比如教學年月日時，我饒有興致地請學生猜謎語：“一物生來真希奇，身穿三百多件衣。每天給它脫一件，脫到年底剩張皮”。這種興趣導入把學生的心理調節到最佳狀態，使學生處于一種積極思維的狀態中，從而激活思維。

數學課堂導入的方式方法非常多，我只簡單舉了兩個例子。北師大教材用“問題情境——建構模型——解釋、應用與拓展”的模式展開，以相關問題情境的研究作為開始，這已成為學生了解知識、學習知識的有效切入點。我覺得每節數學課找準切入點，創設一個生動、有趣的情境，激發學生探索未知世界的興趣、欲望，使學生在輕松、愉悅的環境中接受新知特別關鍵。

二、學生經驗是發展空間觀念的基礎。

人們對圖形的認識，首先不是通過邏輯推理，而是依賴于經驗，依賴于直覺觀察、反復實驗而成的。因此我們應當承認：在數學學習中，學生并不是一張白紙！學生的空間知識來自豐富的現實原型，與現實生活關系非常緊密，這是他們理解和發展空間觀念的寶貴資源。

因此，我利用課件動感直觀的優勢讓學生在觀察、感受中認識身邊豐富的“平移和旋轉”現象，讓學生欣賞物體運動的圖像的同時，思考這些物體是怎樣運動的，從而輕而易舉地建立起對這兩種運動的具體的感性認識，并讓學生根據物體的運動特點分類，以此引導學生將兩種運動進行對比，并通過對比發現兩種運動的特點，從而突破知識建構過程中的困難，讓孩子的感性經驗成為課堂教學的資源，成為教學目標的組成部分。

當平移與旋轉的概念在學生的頭腦中初步形成，我出示一些從網上搜集到的圖片，學生用剛剛建立的“平移與旋轉”的知識判斷生活中物體的運動，進一步感知平移與旋轉現象的普遍存在。

當學生的感覺知覺在頭腦中形成表象后，我又拓展他們“平移與旋轉”物體運動現象的視野，讓學生說出生活中還有哪些平移與旋轉現象？在這一過程中，學生的空間經驗得到不斷的補充和概括，逐步上升為“空間觀念”，形成一種能力，真正演繹知識建構的全過程。

作為教師，應充分挖掘和利用身邊豐富有趣的實例，應當尊重、調動學生已有的經驗，因為這些現象是圖形變換知識的基礎和源泉。如果對這些現象缺乏充分的感知和濃厚的興趣，不僅導致所學知識與生活經驗脫節，成了無源之水、無本之木，學生學起來抽象、乏味，而且人也由于來自缺乏來自生活現象的啟示，而逐漸喪失想象力和創造的靈感。真實的課堂應該面對學生真實的起點。

三、實踐操作是培養空間觀念的重要形式。

按照皮亞杰的觀念：空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動手做的過程。這個做的過程，不僅是一個實踐的過程，更是嘗試、想像、推理、驗證、思考的過程，只有在這樣的過程中，學生才能逐步把握概念的本質。操作、測量、實驗、設計、欣賞、推理和論證的訓練以及合作學習、探索性活動都應成為“空間與圖形”教與學的重要形式。教材中出現的“畫一畫、折一折、描一描、搭一搭、移一移”等等都是要學生通過實踐、操作體驗圖形變換的知識并形成技能。因此，在課堂教學中，教師應積極創造條件，讓學生動手操作，多種感官協調統一，在實踐操作過程中引導學生感受、探索、發現未知。學生只有通過自己的實踐、探索，才能真正掌握所學的知識。其本質就是“做數學”，只有做，學生才能真正理解。在這個意義上，有效的空間與圖形學習活動不能單純地依賴模仿與記憶。

平移、旋轉的現象在生活中雖隨處可見，但平移旋轉的特點要讓學生用語言表述很難。在這節課上針對三年級的學生在運用嚴謹的數學語言進行描述的不足，我調動學生用肢體語言進一步感知和表達兩種運動的特點，以動作的準確性來彌補語言表達的不足，動作邏輯能內化為心理的邏輯。

與其他數學內容相比，空間與圖形更能激起學生良好的情感體驗。在動手操作過程中深刻體會和把握圖形變換的特征，操作體驗中學習，使學生經歷知識、技能的形成過程，也有利于培養實踐能力和創新意識，從中體會創造的樂趣與艱辛，領略圖形世界的神奇。“眼過百遍，不如手過一遍”。

四、實際應用是運用空間觀念的良好土壤。學生建立了清晰的表象，擺脫了具體事物的束縛，順利地過渡到空間形式的掌握后，將所學知識應用于現實世界，這將成為學生學習數學的動力。

古老的上海音樂廳成功平移66米以及貓捉老鼠的游戲都是應用本節課所學知識。當課堂所學知識在現實生活中得以應用，學生會驚訝，感嘆。學到的知識進一步得到發展、提升。

其實學生解決這些問題過程中，已經有意無意喚起這些圖形在頭腦中形成的表象，再現了這些圖形的特征，然后把它們抽象出來。學以致用，促進了學生空間觀念的發展。

五、多媒體課件是培養空間觀念的有效手段。

教師在課堂教學設計中，要盡可能地創設出優化的學習環境，以促進學生的高效率學習。計算機被人們認為是“教學過程中優化學習環境、輔助學生學習的有效的認知工具”。它在幫助學生掌握知識及技能、激發學生主動探索知識等方面創設的學習環境，是其它工具所無法替代的。

首先利用課件，激發學生學習的興趣。

在傳統的數學教學活動中，教師對數學的描述大多是通過粉筆，黑板進行的，難以生動地表現與數學概念有關的信息背景。利用計算機能較容易地設計出具體事物的模擬仿真環境，代替書本或僅用抽象語言的描述，激發學生的學習興趣，使學生更容易理解和建構數學知識。

“平移與旋轉”中的“平移”用自定義動畫中的動作路徑就能實現。學習圖形平移幾格時，我創設了“小豬與小馬吵架，請同學們評理”的情境，當用大屏幕演示出這幅反映內容的畫面時，馬上就引起了學生的好奇，在老師的啟發引導下，同桌之間、小組之間進行了激烈的討論。并在課堂上踴躍發言，紛紛提出自己的見解，激發起學生極大的探究欲望。

如果通過黑板用文字直接表述，不易提起學生解題的興趣和欲望。通過計算機創設問題情景，不僅激發了學生學習的濃厚興趣，學生學起來特別投入、專注，而且使學生在我設計的“問題情景——分析問題——解決問題”的各個環節中保持高度興奮，使得學生的數學學習變得更為有意義，而不是機械地為學數學而學數學。同時學生們也看到了如何將一個生活問題數學化的過程，培養了學生用數學知識解決實際問題的能力，提高了學生的學習效果。

其次，運用計算機，設計動態模擬，使抽象深奧的數學知識以簡單明了、直觀的形式出現，能讓學生迅速而準確地建立數學概念和性質，輕松地學。

利用計算機進行課堂演示，通過精心設計的動畫、插圖和音頻等，可以縮短了客觀事物與學生之間的距離，更好地幫助學生思考知識間的聯系，促進新的認知結構的形成。把運動和變化展現在學生面前，使學生由形象的認識提高為抽象的概括，這對于培養學生良好的思維習慣會起到很好的效果。同時，在這里也應注意，計算機的演示只能是幫助學生思考，而不能代替學生的思考，教師應當恰當的給予提示，結合計算機的演示幫助學生完成思考過程，形成對概念的理解。

在空間觀念的建立、理解上，有些時候語言的描述繁瑣、蒼白，甚至無能為力。像這節課開始我給學生展現的升國旗時國旗的平移運動、鼠標的平移、風車的旋轉、火車開動時的平移等，設計這樣的動態模擬，使學生迅速而準確地建立數學概念和性質，輕松地學，這不是語言所能替代的。

這樣的動態模擬畫面把抽象的數學問題形象化，從而也幫助學習打通了具體直觀與空間想象之間的障礙，培養他們的空間想象力，建立起空間觀念，為學生迅速而準確地建立數學概念和性質創造了有利的學習環境。這是傳統的教學媒體難以達到的。

再次，提高課堂利用率，做到更高密度的知識傳授。

計算機是將傳統教學過程中教師通過黑板、投影片、教具模型等媒體展示的各種信息，由計算機加工成文字、圖形、影象等資料，并進行一些必要的處理（如動畫），將這些資料組織起來。利用這種模式進行課堂教學，在較短的時間內，計算機能使學生多種感官并用，提高對信息的吸收率，加深對知識的理解，這節課在學生總結出觀察一個圖形的平移過程，只需觀察該圖形上任意一點的平移過程后，觀察三角形的平移過程，我用課件分別出示三角形的三個點，演示三角形三個點平移的方向和位置；小房子向左平移3格，同樣用課件演示若干個特征點平移后的位置，從而迅速確定小房子平移3格后的位置。使得靜態問題動態化，使得原來難于理解的問題，幾分鐘內就在學生的腦海中迅速而準確地建構起來，并給學生留下深刻的印象。

但并不是說，計算機用的越多就越好，不能為用計算機而用計算機。如果一個教具能演示清楚的，不一定非通過計算機，計算機作為有效的輔助認知工具是為教學服務的，要把它用得恰到好處。傳統教學的優勢應該保留，如老師的示范作用、教師與學生之間富于人情味的及時交流，教師組織起來的探討問題的活躍氛圍等等，理想的教學應該是把教師與計算機的優勢同時充分發揮出來，把計算機輔助教學與傳統教學完美地結合在一起。

對于我們來說，課程改革已不是什么新鮮的話題，但我一直在思索，新課程背景下的數學課堂教學，我們更應關注什么？關注學生的數學思想，數學方法。因為 “思想”是數學的靈魂，“方法”是數學的行為。

第五篇：《交往與空間》讀書筆記

揚。蓋爾的《交往與空間》，是建筑與城市規劃的入門教程，本書內容并不深奧，卻可以教會我們從人本主義的角度去理解設計，書中的研究方法——行為心里學和問卷調查分析也是我們以后進行地形調查，創作設計的必要手段。

書中首先是區分了幾種戶外活動行為。必要性活動，自主性活動，社會性活動。必要性活動指那些不得不發生的室外行為，包括上班的路上，接見朋友，出行等，這種行為發生的頻率不受室外環境質量的影響，但好的室外環境可以延長人們在室外的停留時間。自發性活動主要指個人的室外行為，包括散步、呼吸新鮮空氣、鍛煉等，強調的是個人的自主行為，行為的發生并以與別人的交往為目的，但是這種自發性行為可以誘發社會性活動，這個自發性活動受室外空間環境影響，因為面對混亂的交通，相信你也沒有室外散步的心情。社會性活動強調人與人之間的交流，可以獲得信息，較低一級的交流主要就是看與被看的這樣一種關系，可以獲得簡單的信息，高級的交流，包括具有各種活動內容的語言交流。書中涉及的是社會性活動。

促進社會性活動的發生有三個層次，宏觀城市尺度、中觀尺度、微觀尺度、在城市尺度上，解決辦法主要是通過城市功能的混合，提倡完善的步行交通和廣場設計。在現在一個車型的城市尺度下，似乎步行的交通更被人們遺忘，因為人們見到的往往是為了建設快速的交通，不停的修著過街天橋或地下通道，把人趕得上天入地，而恰恰從人類發生行為的角度，水平的交通是人們最愛行走的。另一方面就是城市的廣場，在歐洲，一直以來，城市的廣場就是人們生活的一部分，廣場是各種生活的集散地，那里有教堂、市政廳、市場、小憩的茶座等等。而我們面臨的實際是我們現在所生活的城市是否有嚴格意義上的廣場，我們所稱作的廣場更多的是單一功能的地方，本身不具有吸引人們活動的內容。可能現有城市中更多的是城市公園，但這里還是要區分廣場與公園之間關系。從形式的角度講，公園擁有更多的綠地，是一個城市的氧吧，但正是這樣公園并沒有吸引更多的人，往往是一對對的小情侶，公園內部缺少開闊的視野，缺少足夠的人氣發生人看人的活動。而廣場的存在則是一種功能更加復合的設施，它可能沒有那么多的綠地，但它的復雜性足夠保證它的人氣。我時常憧憬著這樣的一個城市的廣場，在一個風和日歷的下午，我和幾個朋友坐在廣場的一邊，手里拿著從小販那買的珍珠奶茶，無聊的扯著閑段子，聽著街頭藝人跑掉的音樂和周圍人流的嘈雜。。。。

在中觀的尺度，主要是指小區的設計上。在小區設計上，作者的觀點是小區的結構要與社會的結構的一致。因此作者鼓勵的是分級組團的設計思想。把一個小區分為若干組團，組團共用大的社區公共設施，而每個組團內部也有自己相應的公共設計。我認為這是一種空間層級公共空間、半公共空間、半私密空間的劃分，是一種心理學意義上對領域空間的把握，而不是社會的結構，社會的結構是什么我也不太清楚，我更多的是理解為階級一類的構成吧?，F代的小區設計基本都是這樣的一種理念，但好的小區能把組團區分的更加明確，領域感更強。書中談到的一個舊城更新的例子很有意思，把原有的小區的單一住宅功能，部分用作沒有污染的工廠、辦公等。這是可以改變住區內單一的構成，提高小區的多樣性，增加交往的可能，但是過多的引入可能會造成小區內居民生活的不安全感，存在一個度和管理上的問題。這個有點像loft的逆過程，有點意思。

在微觀層次上，涉及的主要就是一些城市家具的設計和人的一些習慣。邊緣效應對于城市家具的布置有一定的指導意義。意思是活動的人們更傾向于再廣場的邊緣停留，因為在邊緣人們處于一個比較安全的位置，可以較好的觀察別人而不被別人看到，而在內部往往視野不夠開闊同時也沒有安全感。因此休息座椅布置在邊緣會有更高的上座率。書中還談到一些人的生理習慣，包括人的線性行為——街道，100米人能區分人群的極限，20米人看清面部表情的距離等。

書中還有很多有見解的思想，因為城市的沿街立面是吸引人的部分，同時由于人的眼睛觀察習慣，基本是對一層的觀察，不會抬頭望向高處或者地下，所以作者提出把沿街的商業立面劃分的更小，進深更長，把那些銀行、辦公等沒有 《交往與空間》讀書筆記

人氣的立面隱藏起來，把這些就機構搬到二層，或者通過入口引入搬到內部。這個方式我還真沒有見過，不過像銀行那種機構的前面沒有人氣的確是事實，而且像譚木匠那種小面闊的小店好像很有人氣，不過就是擠了點，這種沿街商業的合理構成的卻是個問題。