第一篇：滬教版相似三角形教案及練習

相似三角形

一、相似三角形的定義：

對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。

二、相似三角形的判定方法(一)

判定方法（1）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。

判定方法（2）：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

判定方法（3）：如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應成比例那么這兩個三角形相似。

除了上述三種判定方法外，還有以下三種判定方法：

（1）定義法：對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形相似（這種方法一般不常用）

（2）平行于于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似。

（3）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形原三角形相似。(此知識常用，但用時需要證明)

三、判定相似三角形的思路

1、有一對等角，找 :①、另一對等角

②、等角的兩邊對應成比例

2、有兩邊對應成比例，找：①、夾角相等

②、第三邊也成比例

3、直角三角形，找一對銳角相等

4、等腰三角 形，找：①、頂角相等

②、一對底角相等

③、底和腰成比例

四、在做題過程中，某些圖像出現的頻率會比較高，所以我們要熟知這些常見的圖形，并學會從習題中基本圖形很快的尋找和發現相似：

1、平行線型：

A E D

A

E D

B B C

（1）

（2）

（a）如圖1，“A” 型：即公共角的對邊平行

(b)如圖2，“X”型：對頂角的對邊平行

C

2、斜交型：指公共角的對邊不平行，即相交或延長線相交或對頂角所對的邊延長線相交，其中再有一角相等，或其公共角（或對頂角）的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似，基本圖形常見如下：

A

A

A

C E E D

D B

B

B C C D

(3)

(4)

(5)

a、如圖3，若 ∠D=∠B 或 ∠ACB=∠AED ,或AB:AD=AC:AE，則△ABC∽△ADE；

b、如圖4，若∠ACD=∠B 或 ∠ADC=∠ACB，或AC:AB=AD:AC, 則△ACD ∽ △ABC；

C、如圖5，若∠AED=∠C 或 ∠ADE=∠B，或 AD:AB=AE:AC, 則△ADE ∽ △ABC；

D A

O

B

C

(6)

d、如圖6，若∠A=∠D , 或 ∠B=∠C ,或OA:OB=OD:OC,則△AOB ∽ △DOC;

五、相似三角形面積之比等于相似比的平方

例題、習題

1、P是ΔABC中AB邊上一點，過點P作直線（不與直線AB重合）截ΔABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣的條件的直線最多有（）條

A

2條

B

3條

C

4條

D 5條

A

2、如圖，已知D為△ABC內一點，3 E為△ABC外一點，且∠1＝∠2，D ∠3 ＝∠4。1

求證 ： △ABC ∽ △DBE

B 4 C 2

E

3、如圖，菱形ABCD的邊長為3，延長AB到E，使EB＝2AB，連接EC并延長交AD延長線于F，如果△EBC∽△EAF，試求AF的長

F D

C

A

B

E

4、如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE=梯形BCDE的周長。

2BC=2cm，△ADE的周長為10cm，求3A

D E

BC

5、如圖，△ABC被DE、FG分成面積相等的三部分，且DE∥FG∥BC。求DE：FG：BC。

A

S1 DES2 FGS3

BC

三、訓練題：

1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線BD分成兩部分面積的比是1：2，EF是中位線，則被EF分成的兩部分面積之比為SAEFD：SBCFE=（）

A、3：4 B、4：5 C：5：7 D、7：9

2、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，若S△AOD:S△ACD=1：3，則S△AOD:S△BOC等于（）

A、1：6 B、1：3

C、1：4

D、1：6

3、如圖，DE∥BC，DE把△ABC的面積分成相等的兩部分，那么DE：BC等于（）

A、1：2 B、1：4

C、2：2 D、2：2

4、如圖，將△ABC的高AD三等分，過每一個分點作底邊的平行線，這樣把三角形分成三部分，設這三部分的面積為S1，S2，S3，則S1：S2：S3=（）

A、1：2：3 B、2：3：4 C、1：3：5 D、3：5：7

5、如圖，在△ABC中，∠CBA=90°，BD⊥AC于D，則下面關系式中錯誤的是（）

A、AB2=AD×AC B、BD2=AD×DC C、AB2=AC2－BC2 D、AB2=AC×DC

6、如圖，在△ABC中，AD⊥BC，PQMN為正方形，且頂點在△ABC各邊上，BC=60cm，AD=40cm，則正方形邊長為（）

A、12cm

B、16cm

C、20cm

D、24cm

7、如果兩個相似三角形的對應邊的比是4：5，周長的和為18cm，那么這兩個三角形的周長分別為_______________。

8、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一個與它相似的三角形的最短邊為15cm，則周長為_______________。

9、在△ABC中，點D、E分別為AB、AC上的點，DE∥AC，AB：DB=2：1，F為AC上任一點，△DEF面積為22，則S△ABC=_________________。

10、如圖，D、E分別是AB、AC上的點，ADAE3??，△ABC的角平分線AH交ACAB5DE于點F，過點F作BC的平行線，分別交AB、AC于點G、K。已知BC=20cm，求GK。

A

D

KG FE

CBH

11、點M是Rt△ABC的斜邊AB的中點，過M作MD⊥AB交AC于D，交BC的延長線于E。求證：MC是MD、ME的比例中項。

AMDECB

第二篇：相似三角形教案

相似三角形

【基礎知識精講】

1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關系．

2．進一步體會數學內容之間的內在聯系，初步認識特殊與一般之間的辯證關系，提高學習數學的興趣和自信心．

【重點難點解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型熱點考題】

例1 如圖4-21，□ABCD中，M是AD延長線上一點，BM交AC于點F，交DC于G，則下列結論中錯誤的是（）

圖4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

點悟：用本節概念和定理直接判斷． 解：應選D．

例2 如圖4-22，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點M、N，點P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

圖4-22 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 寫出下列各組相似三角形的對應邊的比例式．

(1)如圖4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應邊．(2)如圖4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

圖4-23 點悟：要寫出兩個相似三角形的對應邊的比例式，首先要確定兩個相似三角形的對應邊．因為相似三角形是全等三角形的推廣，所以要確定兩個相似三角形的各組的對應邊，可以參照確定全等三角形對應邊的方法，從確定這兩個相似三角形對應的頂點出發．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應邊，它們所對的頂點E和C為對應頂點，而A是兩三角形的公共頂點，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對

AD?DEBC?EACA應邊為DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點，另一對應頂點為D和C，三組對應邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

AD?AEAB?DECB得AC．

本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．

平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構成的兩個相似三角形，它的對應元素比較明顯，對應邊，對應角，對應頂點有同樣的順序性，對應邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖4-24)：

圖4-24 第二類是相交線型．

這一類型的對應元素不十分明顯，對應順序也不一致，對應邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個公共角，另一種是一組對頂角(圖4-25)．

圖4-25 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉化為這兩種基本類型． 例4 如圖4-26，已知：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．

圖4-26 點悟：如果我們把條件和結論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發現一個完全由紅線構成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖4-27)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關的基本圖形都能找到兩對，根據每一個基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內的一個比例式．

圖4-27

AD?DFBHEF?CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH?AB?DFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是

?BC可得，及

BH?BC?EF，所以，有

AB?DF?EF．又因為ADCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．

例5 如圖4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別是AD，BC的中點，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．

圖4-28 點悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩

AG?DHHF個基本圖形中給出的比例式有一個公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．

證明：∵ AD∥BC，AE?AGGFED?DHHF∴ BF，FC．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AG?DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如圖4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長．

圖4-29 點悟：題設中的兩對平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．

設AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE?AFCFx?4x∴ BE，即15?x，2∴ x?4x?60?0

解得，x1??10(舍)，x2?6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如圖4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

圖4-30 點悟：按照例4的分析，過點G作GM∥AC，根據平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM?MC?12DC∴ ．

BD∵ DCBD1?31，?61BD即2DC，MC?6?11?61．

?71BD?MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

點撥：以上四例中，我們復習了線段成比例和平行線分線段成比例的有關知識．

【易錯例題分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，AD?2∴ QCBP，?3BC?4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC?DQPC，∠C＝∠D＝90°，?2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應避免沒有目標而亂推理的情況．

例2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖4-31(1)、(2)所示，請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC?1.5平方米，得BC＝2米．設甲加工的桌面邊長為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CD?DEAB672?x?x1.5∴ CB，即2．

解得 x?，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC?1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 設乙加工的桌面邊長為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．

BP?DEAC1.2?y?y2.5∴ BHy?，即1.2

3037303722即x＞y，x?y，解得，6因為7?所以甲同學的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無法解的情況，更要避免看不出對應線段造成的比值寫錯而形成的計算錯誤．

例3 如圖4-32，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF?BEBDAC于E、F．求證：AD．

圖4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BD?BEAFAF?BEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常見的錯誤是不證三角形相似，直接進行線段的比，這是規范的一種情況．

【同步達綱練習】

一、選擇題

1．如圖4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．多于3個

2．某班在布置新年聯歡晚會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1、a2、a3…若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

圖4-33 圖4-34

二、填空題

3．如圖4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

圖4-35 圖4-36 4．如圖4-36，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個，它們是_______________．

5．陽光通過窗口照到室內，在地面上留下2.7m寬的亮區，已知亮區到窗下的墻腳最遠距離是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底邊離地面的高等于________．

三、解答題

6．如圖4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2?PE?PF．

7．已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

圖4-37 圖4-38 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC·BE＝AD·CE．

參考答案

【同步達綱練習】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．連結PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2?PE?PF，∴PB2?PE?PF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE

第三篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教學設計

一、課題

相似三角形的判定（1）（選自2013年人教版數學九年級下冊27.2.1，第1課時）

二、教材分析

1.內容要點

本節課讓學生利用相似三角形的定義來進一步探索相似三角形的判定條件，從而讓學生在學習新知里發展思維，加強與前面已學過的知識：圖形的相似、相似多邊形的主要特征（相似多邊形對應的角相等，對應邊的比相等），相似比甚至引導學生聯系八年級上冊所學的相等三角形的判定定理和平行從對比探索中增強學生的推理歸納和類比應用的能力。2.地位

本節課處于承上啟下的位置，既增強了對圖形的相似和相似多邊形定義聯系和運用，又為下一課時相似三角形的判定2以及以后的幾何證明奠定了基礎。3.作用

從初步認識相似三角形到探索如何利用平行線的特點判定兩個三角形相似，從無到有的知識萌發，讓學生由探究得到的平行線分線段成比例定理初步返回去嚴謹地認識兩個圖形的相似，在探索過程中掌握自主探究、類比、歸納以及轉化的思想方法，增強推理能力，進而讓學生感受到數學圖形之美。經過對平行線分線段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究學習，使學生的合情推理意識和主動探究的學習習慣得到發展。

三、學情分析 1.認知基礎

學生在八年級上冊中已經全面地認識了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行線同位角等性質，并且在上一節課已學過了圖形的相似以及相似多邊形的主要特征，為本節課的學習相似三角形打下了基礎。學生在觀察、想象、合作探究、歸納概括等方面有了初步的體驗，再加上學生會做輔助線，這為本課的學習奠定了一定的基礎，但學生對轉化思想，幾何論證推理能力還在初步形成階段，這使本節課的學習還有一定的困難。2.情意基礎

學生是九年級的學生，對于新知識有一定的接受能力，且數形結合思想，轉化思想都相對成熟，對探索學習饒有興趣，但是思維容易固化，對問題看待不夠全面。

四、教學目標

1.理解相似三角形不因位置改變而改變，書寫三角形相似時對應角的字母順序對應；

2.能運用平行線和三角形中線比例關系證明“A字型”三角形相似，能運用三角形全等的方法將“X字型”三角形轉化為“A字型”三角形證明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正確找出相似三角形的對應邊和對應角； 4.能掌握并運用相似三角形判定的“預備定理”； 5.讓學生參與探索，獲取相似三角形判定條件，感受數學的魅力，體會到數學的充滿探索與創造,在學習中發現數學的樂趣并在數學學習生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教學重難點

1.教學重點

相似三角形判定的“預備定理”的探索； 2.教學難點

探索過程中的各種三角形相似的有關證明；

六、教學方法和手段 1.教學方法 引導探究法 2.教學媒體 PPT

七、教學設計思想

探究式的教學方法是新課改的一個重要內容，布魯納主張學習的目的是以發現學習的方式使學科的基本結構轉變為學生頭腦中的認知結構，并且指出學生的知識學習是通過類別化信息的加工過程，積極主動地形成認知結構。利用學生的好奇心，設疑，解疑，組織互動，有效的教學活動，鼓勵學生積極參與，大膽猜想，使學生在自主探究與合作交流中理解和掌握本節課的內容，增強直觀效果，提高課堂效率。其次，數形結合思想，化歸思想以及歸納法和分析法的應用，讓學生對新知的認識更加透徹，對問題的探索思路更加明確，并從中讓思維得到進一步的提升。

八、教學過程

（一）復習引入（5分鐘）1.復習概念性質（3分鐘）

T：同學們還記得相似圖形的概念是什么嗎？ S：對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形相似。T：相似的兩個圖形會隨它們位置的改變而改變嗎？ S：不會。

T：很好，大家先記著我們剛剛回憶的內容。下面我們來了解一下最簡單的多邊形----三角形的相似情況。

T：剛才我們回憶了相似圖形的一些性質，那現在我手頭上有根據相似圖形性質畫出來的兩個相似三角形，不論它們之間的相對位置如何，乃至處于不同的平面，這兩個三角形仍然是相似的。（老師拿出兩個相似三角形并在同一平面變換兩個三角形紙片的位置，然后讓兩紙片處于不同平面變換位置）（老師將兩紙片貼在黑板上并標明字母）T：同學們我們要用字母表示這兩個三角形相似，應該怎么寫呢？我們一起來寫，首先把兩個三角形表示出來，分別是?ABC?DEF，同學在寫的時候還要注意對應的頂點字母相對應，那中間用什么符號來表示兩個三角形相似呢？有同學可以告訴我嗎？

S：大寫字母S橫著寫。

T：很好，這跟我們曾經學過的什么符號很像呢？ SSS：全等符號。

T：那課后大家思考全等三角形與相似三角形之間有什么聯系，下節課我再叫同學回答這個問題。2.創設情境（2分鐘）

（老師利用這組相似三角形紙片，將兩個三角形的一個對應頂點重疊，貼在黑板上）

T：同學們你們看，相似三角形?ABC和?DEF的?ABC的頂點A與?DEF的頂點D重合并且∠BAC與∠EDF重合，那邊EF和邊BC有什么關系嗎？

S：平行。

T：為什么呢？

S：同位角相等兩直線平行。

T：嗯，AEB三點共線，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分鐘）

T：如果平行于?ABCBC邊的直線與其他兩邊AB、AC相交與點E、F，所構成的?AEF是否與?ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同學都說相似，接下來我們該做些什么去證明這兩個三角形相似呢？

T：首先我們從我們學過的類似的圖形出發，假設這條平行線是三角形中位線，我們來證明看看。同學們自行思考，待會來分享思路。[PPT顯示相應題目和圖形]（2min過去了，期間教師下臺觀察學生情況，選一名寫完了的同學上臺分享思路）

S1：（在黑板上畫△ABC并取分別AB、AC中點D、E，連接DE）∵DE是△ABC的中位線∴DE＝1/2BC（由三角形中位線定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵兩直線平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同學們覺得S1的解答對嗎？ S：對。

T：S1的解答充分運用了已學的三角形中位線的知識，找出來隱含在三角形ADE和三角形ABC中邊的比例關系，依照定義證明出了這兩個三角形相似，證明過程很完整，是對的，讓我們給他一些掌聲鼓勵。（解析S1的做法，并給予肯定）

（老師和學生一起鼓掌）T：接下來加大難度咯，“如圖過點D作DE∥BC交AC于點E，那么△ADE與△ABC相似嗎？”，請同學們自行思考，待會請同學上來分享思路。[PPT顯示相應題目和圖形]（4min過去了）

S2：由同位角相等可知三個角對應相等，只需證明對應邊成比例.因為DE∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需證明DE/BC=k.過點D作DF∥AC交BC于點F，則由兩組對邊分別平行，得四邊形DFCE為平行四邊形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2將問題轉化為了求三角形的一邊對應成比例，通過作輔助線DF，構造出了平行四邊形，并靈活運用平行四邊形和相似的性質，得到了三邊對應相等，從而證明了兩個三角形相似，做的很棒，讓我們把掌聲送給他！（和同學們一起鼓掌）T：以上都是平行線與邊AB和邊AC相交的情況，現在我們延長AB和AC，如圖當DE與三角形兩邊延長線交于邊BC下方時，所構成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT顯示相應題目和圖形] S：相似。

T：要怎樣證明呢？ S：和上一題一樣。

T:對，沒錯。像這種平行線位于點A下方的，我們統稱為“A字型”，凡是擁有這種形狀的三角形和平行線，都隱藏著相似三角形。那如果DE與三角形兩邊延長線交于邊點A上方時，所構成的三角形和原三角形是否相似呢？請同學們自行思考。[PPT顯示相應題目和圖形]（T下臺觀察、指點。2min后）

T：老師剛剛發現，大部分同學都不再用定義進行繁瑣的證明了，而是直接由“A字型”的結論出發，將新圖形轉換為“A字型”加以證明。有哪位同學愿意上臺分享一下，你是怎樣轉化的呢？

S3：分別在邊AB和邊AC作點N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由對頂角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，從而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！讓我們給他掌聲鼓勵！（和同學們一起鼓掌）我們稱這種圖形為“X字型”，通過“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我們現在可以總結得出我們一開始要證明的結論了，同學們還記得是什么嗎？

S：逆命題（剛剛的猜想）。

T：沒錯，我們給這個剛剛證明的猜想一個名稱“預備定理”，大家請看屏幕，一齊朗讀一邊[PPT顯示預備定理] S：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似；

T：預備定理比定義要簡便的多，它的幾何語言也是相當簡潔 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知識遷移（7分鐘）（備注：此環節題目讓學生以同桌為單位交流完成，老師再請同學發言說明思路）

（四）總結反思（7分鐘）

定義：??。要求三邊三角滿足對應關系，非常嚴謹但證明過程過于繁瑣且使用條件有限。

預備定理：??。只要求有找到原三角形一邊的平行線，構成“A字型”或“X字型”，極大簡化了證明過程。

（備注：以上總結，老師說整體性語言，關鍵字引導學生說出）

（五）布置作業（1分鐘）

1.常規作業（第幾頁第幾題）

2.探索作業：請以本節課所學知識，“測量”教室天花板的高度，寫一測量方案。

九、板書設計

十、反思

第四篇：相似三角形教學案 Word 文檔

九年級成功教學案

——用思維鍛煉能力，用勤奮鑄造成功

課題

相似三角形的判定（2）

一、自學

1.自學內容：P44—P47 2.自學目標：

（1）理解“兩邊對應成比例夾角相等的兩三角形相似”及“兩角對應相等的兩三角形相似”的來歷；（難點）

會用“兩邊對應成比例夾角相等”及“兩角對應相等”判斷兩個三角形相似。（重點）

（2）理解“兩邊對應成比例的兩個直角三角形相似”及“一銳角相等的兩個直角三角形相似”；

會用“兩邊對應成比例”及“一銳角相等”判定兩個直角三角形相似。（重點）

（3）會應用相似的知識解決實際問題。3.自學指導

（1）在證明“兩邊對應成比例夾角相等的兩三角形相似”及“兩角對應相等的兩三角形相似”時，首先在大三角形中截取一個與小三角形全等的三角形!

（2）在判定兩個三角形相似時，注意應用對頂角、同位角、內錯角、同角或等角的余角等圖形中的一些隱含條件！

二、量學

1.根據下列條件判斷兩個三角形是不是相似，并說明理由： ∠A=1200，AB=7cm，AC=14 cm，∠A/=1200，A/B/=3cm，A/C/=6 cm.2.圖中的兩個三角形是不是相似，并說明理由：

3.底角相等的兩個三角形是否相似？頂角相等的兩個三角形是否相似？說明理由：

4.如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊上的高，△ACD和△CBD和△ABC相似嗎？說明理由：

三、助學

1.如圖，已知正方形ABCD中，P是BC上一點，且BP=3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ～△QCD.2.如圖，D是△ABC的邊BC上一點，AB=2，BD=1，DC=3，△ABD與△CBA相似嗎？為什么？

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,CE為∠ACD的平分線，求證：△ABE～△DCE.4.已知，∠A=380，∠B=740，∠A/=740，∠C/=680，那么△ABC與△ABC相似嗎？為什么？

5.如圖，Rt△ABC和Rt△ABC中，∠ACB=∠A/C/B/=900，CD⊥

//////AB于D，C/D⊥AB于D，且=，求證，Rt△ABC～Rt△ABC.///

/

///

四、用學

1.如圖：判斷兩個三角形是否相似，并求出x和y。

2.3.五、測學 1.2.3.六、思學 通過本節學習你有哪些收獲？

第五篇：相似三角形教案

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§18.3 相似三角形

一、教學目標

1、使學生理解并掌握相似三角形的概念，理解相似比的概念。

2、使學生掌握預備定理，并了解它的承上啟下的地位和作用。

3、通過預備定理的條件所構成的圖形的三種情況，教學生對一致性問題的思想方法。

二、教學重難點

教學重點：相似三角形的概念及預備定理。教學難點：由相似三角形寫對應邊的比例式。

三、教學過程設計 1.復習回顧，概括概念

（一）相似圖形的特征是什么？

（學生回顧相關知識，為相似三角形的研究做好準備。）

（二）在相似多邊形中，最為簡單的就是相似三角形（similar triangle）．

什么是相似三角形呢？前面我們學過形狀相同的圖形說成是相似的圖形，而相似三角形的本質特征就是“具有相同的形狀”，它們的大小不一定相等。

（為加深學生對相似三角形的概念的本質的認識，教學時預先準備幾對相似三角形，讓學生觀察或測量對應元素的關系。）

定義：對應邊相等、對應角成比例的三角形是相似三角形。（注意：定義中要求有兩個條件，缺一不可）

（1）表示：相似用符號“∽”來表示，讀作“相似于”．如圖18.3.1所示的兩個三角形中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，即△ABC與△A′B′C′相似，記作

△ ABC∽△A′B′C′，讀作“△ABC相似于△A′B′C′”．

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（強調：用“∽”表示兩個三角形相似時，表示對應頂點的字母一定要寫在對應的位置上，這樣可準確地找出相似三角形的對應角和對應邊）

（2）相似比：如果記角形的相似比．

＝k，那么這個比值k就表示這兩個相似三注：兩個相似三角形的相似比具有順序性。即：若 △ABC 與 △DEF 的相似比 k，則△DEF 與△ABC 的相似比為1：k 2.鞏固應用，拓展研究

思考：△ABC ∽△DEF，AB=7，DE=21，（1）求△ABC 與 △DEF 的相似比是多少？（2）若AC=6，求DE的長；

（3）若AC=6，EF=24，求△ABC 與 △DEF 的周長分別是多少？△ABC 與 △DEF 的周長比是多少？它與相似比有什么關系？

（4）△DEF 的周長與△ABC的周長為40，分別求△ABC 與 △DEF 的周長各是多少？ 通過此題的練習，使學生掌握以下幾點：

練習（1）、（2）對相似三角形的概念、表示及特征的分析，理解相似比；

練習（3）的操作后，使學生明白相似三角形的周長比等于其相似比；此題的方法不唯一，可以先分別算出△ABC 的各邊長與 △DEF 的各邊長，然后再分別求出其周長；也可以直接考慮周長：由＝k可知，A B=k? A′B′，B C= k?B′C′，C A=k? C′A′，所以

練習（4）是上面幾題的應用，可通過周長比等于相似比及周長差為40兩個條件組成一個二元一次方程組的思想。

（通過幾個問題的設置，使學生掌握相關的知識概念，加深對新知識理解與應用。）3.練習鞏固，促進遷移

做一做 如圖18.3.2，△ABC中，D為邊AB上任一點，作DE∥BC，交邊AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判斷△ADE與△ABC是否相似.北京今日學易科技有限公司

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我們知道，根據兩直線平行同位角相等，則 ∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，而∠A＝∠A．

通過度量，還可以發現它們的對應邊成比例，所以△ADE∽△ABC.類似的，在圖中當 ED∥BC時，△ADE ∽ △ABC。因此我們得到下面的定理：

預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。

如果取點D為邊AB的中點，那么上題中△ADE和△ABC的相似比就為k ＝.當k＝1時，這兩個三角形不僅形狀相同，而且大小也相同，這樣的三角形

我們就稱為全等三角形（congruent triangles）．全等三角形是相似三角形的特例.4.應用鞏固，課內深化

（1）判斷下面兩個三角形是否相似，簡單說明理由：

（2）如果一個三角形的三邊長分別是5、12和13，與其相似的三角形的最長邊長是39，那么較大三角形的周長是多少？較小三角形與較大三角形周長的比是多少？

（3）已知一個三角形的三邊之比為3：5：7，和它相似的另一個三角形的最大邊長為14cm，求它的最小邊長為多少？

（此題改編自勵耘精品系列叢書《課時導航》華師大版八年級（下）P36 新課程網校[www.tmdps.cn] 全力打造一流免費網校！

高度無影響）

（此題改編自勵耘精品系列叢書《課時導航》華師大版八年級（下）P37