第一篇：盈虧問題(一)

? 課程目標：1.熟練掌握盈虧問題的本質.2.運用盈虧問題的解題方法解決一些生活實際問題．

? 課程重點：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現兩種不同的情況．分配不足時，稱 之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數量的物品平均分給一定數量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”． ? 教學過程：

盈虧問題的基本關系式：

(盈?虧)?兩次分得之差?人數或單位數(盈?盈)?兩次分得之差?人數或單位數(虧?虧)?兩次分得之差?人數或單位數

板塊

一、直接計算型盈虧問題

【例1】 三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？

【解析】 比較兩種搬磚法中各個量之間的關系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差5?4?1（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數：7?2?9（塊），每人相差1塊，結果總數就相差9塊，所以有少先隊員9?1?9（人）．共有磚：4?9?7?43（塊）．

【鞏固1】 明明過生日，同學們去給他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？

【例2】 猴王帶領一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分5個，小猴分3個，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．

【詳解】 當大猴分5個，小猴分3個時，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．也就是說在大猴分5個，小猴分3個后，每只大猴都拿出1個，分給每只小猴1個后，還剩下20?10?10個，所以大猴比小猴多10只．

【鞏固2】 學而思學校新買來一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發10本，還差9本，每人發9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？

【例3】 某校安排學生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床位，問宿舍幾間?住宿生幾人? 【解析】 由已知條件

每間5人 少14個床位

每間7人 多4個床位

比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住(7?5)?2人，一共要多出(14?4)?18個床位，根據兩種方案每間住的人數的差和床位差，可以求出宿舍間數，然后根據已知條件可求出住宿生人數．

解：(4?14)?(7?5)=9(間)

5?9?14?59(人)，或7?9?4?59(人)

【鞏固3】 學校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人．已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？

板塊

二、條件關系轉換型盈虧問題

【例4】 貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？

【解析】 貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是

8?1?88條，兩次分配之差是11?10?1（條），由盈虧問題公式得，有小貓：（只），貓媽媽有8?10?8?88（條）魚．

【鞏固4】 學而思學校三年級基礎班的一部分同學分小玩具，如果每人分4個就少9個，如果每 人分3個正好分完，問：有多少位同學分多少個小玩具？

【例5】 甲、乙兩人各買了相同數量的信封與相同數量的信紙，甲每封信用2 張信紙，乙每封信用3 張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20 張信紙，乙用完所有信紙還剩下10 個信封，則他們每人各買了多少張信紙？

【解析】 由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 張信紙．這是盈虧問題，盈虧總額為(20＋30)張信紙，兩次分配的差為(3－2)張信紙，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(個)，有信紙2×50＋20＝120(張)．

【例6】 幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果共有多少個？

【解析】 先把大班人數和小班人數轉化為一樣。大班減少3人，則蘋果又收回3?5?15個蘋果，人數一樣，根據盈虧問題公式，小班人數為：(15?10?2)?(8?5)?9人，蘋果總數是8?9?2?70個。

【鞏固6】 幼兒園把一袋糖果分給小朋友．如果分給大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分給小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 個小朋友，這袋糖果共有多少粒？

【例7】 有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現有人數增加到原有人數的1.5倍，那么每人4塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？

【解析】 第一次每人分5塊，第二次每人分4塊，可以認為原有的人每人拿出5?4?1塊糖分給新增加的人，而新增加的人剛好是原來的一半，這樣新增加的人每人可分到2塊糖果，這些人每人還差4?2?2塊，一共差了10?2?12塊，所以新增加了12?2?6人，原有6?2?12人．糖果數為：12?5?10?70(塊)．

【鞏固7】 臥龍自然保護區管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少棵？

第二篇：盈虧問題·教案 (一)

盈虧問題 第 一 講

一、興趣導入(Topic-in): 趣味分享

麒麟飛到北極變什么啊？答案：冰激凌 世界上什么雞跑的快？答案：肯德雞塊 一片大草地（植物）答案：梅花（沒花）又一片大草地（植物）答案：野梅花 來了一群羊（水果）答案：草莓 來了一群狼（水果）答案：楊梅 來了一群獅子（體壇名將）答案：郎平什么動物最沒有方向感？答案：麋鹿（迷路）

二、學前測試(Testing): 問答題（口答）

1、小明與爸爸的年齡和是53歲，小明年齡的4倍比爸爸的年齡多2歲，小明與爸爸的年齡相差幾歲？ 【解析】 把小明的年齡看成是一份，那么爸爸的年齡是四份少2，根據和倍關系：

小明的年齡是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（歲），爸爸的年齡是：53－11＝42（歲），小明與爸爸的年齡差是：42－11＝31（歲）

三、知識講解(Teaching)： 基礎知識及例題解析

盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數量的物品平均分給一定數量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”．

可以得出盈虧問題的基本關系式：

(盈?虧)?兩次分得之差?人數或單位數(盈?盈)?兩次分得之差?人數或單位數(虧?虧)?兩次分得之差?人數或單位數

物品數可由其中一種分法和人數求出.也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種 情況，都是屬于按兩個數的差求未知數的“盈虧問題”.【例 1】 三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？

【解析】 比較兩種搬磚法中各個量之間的關系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差5?4?1（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數：7?2?9（塊），每人相差1塊，結果總數就相差9塊，所以有少先隊員9?1?9（人）．共有磚：4?9?7?43（塊）．

【例 2】 學而思學校新買來一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發10本，還差9本，每人發9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？

【解析】 “差9本”和“差2本”兩者相差9?2?7（本），每個人要多發10?9?1（本），因此———————————————————————————————————————————————————

就知道，共有老師7?1?7（人），書有7?10?9?61（本）．

【例 3】 某校安排學生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床位，問宿舍幾間?住宿生幾人? 【解析】 由已知條件

每間5人 少14個床位

每間7人 多4個床位

比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住(7?5)?2人，一共要多出(14?4)?18個床位，根據兩種方案每間住的人數的差和床位差，可以求出宿舍間數，然后根據已知條件可求出住宿生人數．

解：(4?14)?(7?5)=9(間)5?9?14?59(人)，或7?9?4?59(人)

【例 4】 貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？

【解析】 貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是11?10?1（條），由盈虧問題公式得，有小貓：8?1?8（只），貓媽媽有8?10?8?88（條）魚．

【例 5】 幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果共有多少個？

【解析】 先把大班人數和小班人數轉化為一樣。大班減少3人，則蘋果又收回3?5?15個蘋果，人數一樣，根據盈虧問題公式，小班人數為：(15?10?2)?(8?5)?9人，蘋果總數是8?9?2?70個。

四、強化練習(Training)：

1、明明過生日，同學們去給他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？ 【解析】 “多8元”與“多4元”兩者相差8?4?4（元），每個人要多出8?7?1（元），因此就知道，共有4?1?4（人），蛋糕價錢是8?4?8?24（元）．

2、一位老師給學生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有多少位學生？共多少粒糖果？ 【解析】 第一種分配方案盈9粒糖，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9粒，兩次分配之差是5?4?1（粒），由盈虧問題公式得，參與分糖的同學有：9?1?9（人），有糖果9?5?45（粒）．

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五、訓練輔導(Tutor):

1、猴王帶領一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分5個，小猴分3個，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只． 【詳解】 當大猴分5個，小猴分3個時，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．也就是說在大猴分5個，小猴分3個后，每只大猴都拿出1個，分給每只小猴1個后，還剩下20?10?10個，所以大猴比小猴多10只．

2、智康學校三年級精英班的一部分同學分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學分多少粒糖果？ 【解析】 由題目條件知道，同學的人數與糖果的粒數不變，比較兩種分配方案，第一種每人分4粒就多9粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于兩種方案分配數不同，兩次分配數之差為：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以參與分糖果的同學的人數是15÷1=15（位），糖果的粒數為：4×15+9=69（粒）.六、反思總結(Thinking)：

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堂堂清落地訓練——堅持堂堂清，學習很爽心

（總分100分）

1、有一批練習本發給學生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個班有多少學生，多少練習本呢？ 【解析】 由題意知：第一種方案：每人發5本多出70本；第二種方案：每人發7本多出10本；兩種方案分配結果相差：70?10?60（本），這是因為兩次分配中每人所發的本數相差：7?5?2（本），相差60本的學生有：60?2?30（人）．練習本有：30?5?70?220（本）（或30?7?10?220）．

2、王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？

本題購物的兩個方案，第一個方案：買7把差110元，第二個方案：買5把還多30元，從買7把變成買5把，少買了7?5?2（把），而錢的差額為：110?30?140（元），即140元可以買2把小提琴，可見小提琴的單價是每把70元，王老師一共帶了70?7?110?380（元）.3、甲、乙兩人各買了相同數量的信封與相同數量的信紙，甲每封信用2 張信紙，乙每封信用3 張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20 張信紙，乙用完所有信紙還剩下10 個信封，則他們每人各買了多少張信紙？

由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 張信紙．這是盈虧問題，盈虧總額為(20＋30)張信紙，兩次分配的差為(3－2)張信紙，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(個)，有信紙2×50＋20＝120(張)．

4、實驗小學學生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學生？ 【解析】 沒輛車坐60人，則多余15人，每輛車坐60+5=65人，則多出一輛車，也就是差65人.因此車輛數目為：（65+15）÷5=80÷5=16（輛）.學生人數為：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）

5、幼兒園把一袋糖果分給小朋友．如果分給大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分給小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 個小朋友，這袋糖果共有多少粒？ 【解析】 如果大班增加2 個小朋友，大、小班人數就相等了，變為“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒” 的盈虧問題．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．這袋糖果有4×20＋4＝84(粒)．

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家庭作業

（總分100分）

1、學而思學校三年級基礎班的一部分同學分小玩具，如果每人分4個就少9個，如果每人分3個正好分完，問：有多少位同學分多少個小玩具？ 【解析】 第一種分配方案虧9個小玩具，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9個，兩次分配之差是：4?3?1（個），由盈虧問題公式得，參與分玩具的同學有：9?1?9（人），有小玩具9?3?27（個）．

2、幼兒園給獲獎的小朋友發糖，如果每人發6塊就少12塊，如果每人發9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？

由題意知：兩次的分配結果相差：24?12?12（塊），這是因為第一次與第二次分配中每人相差：9?6?3（塊），多少人相差12塊呢？12?3?4（人），糖果數是：6?4?12?12（塊）（或9?4?24?12）

3、工人運青瓷花瓶250個，規定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元．運完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？ 【解析】 本題中“損壞一個倒賠100元”的意思是運一個完好的花瓶與損壞1個花瓶相差100?20?120（元），即損1個花瓶不但得不到20元的運費，而且要付出120元．本例可假設250個花瓶都完好，這樣可得運費20?250?5000（元）．這樣比實際多得5000?4400?600（元）．

就是因為有損壞的瓶子，損壞1個花瓶相差120元．現共相差600元，從而求出共

（20?250?4400）（?100?20）?5（個）損壞多少個花瓶．根據以上分析，可得損壞了．

4、秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數算了一下，如果每天吃4個，要多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則又少8個蘿卜．那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃吃多少天？ 【解析】 題中告訴我們每天吃4個，多出48個蘿卜；每天吃6個，少8個蘿卜．觀察每天吃的個數與蘿卜剩余個數的變化就能看出，由每天吃4個變為每天吃6個，也就是每天多吃2個時，蘿卜從多出48個到少8個，也就是所需的蘿卜總數要相差48＋8＝56（個）．從這個對應的變化中可以看出，只要求56里面含有多少個2，就是所求的計劃吃的天數；有了計劃吃的天數，就不難求出共有多少個蘿卜了．吃的天數：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），蘿卜數：6×28－8＝160（個）或 4×28＋48＝160（個）．

5、幼兒園把一袋糖果分給小朋友．如果分給大班的小朋友，每人6粒就缺8 粒．如果分給小班的小朋友，每人9粒就余4粒．已知大班比小班少3 個小朋友，這袋糖果共有多少粒？ 【解析】 如果大班增加3 個小朋友，大、小班人數就相等了，變為“每人6 粒缺26 粒，每人9 粒多4 粒” 的盈虧問題．小班有(26＋4)÷(9－6)＝10(人)．這袋糖果有10×9＋4＝94(粒)．

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第三篇：盈虧問題

--盈虧問題

內容點擊：五年級第二學期 應用題例4 目標引領：

1、會正確分析題目中較復雜的數量間的關系。

2、會根據題目中的不變量列出方程解應用題。課題研究目標： 結合學生實際，利用生活的有關數據來適度開放教學內容，培養學生的探究能力和解決實際問題的能力。疑難剖析：

重點：會正確分析題目中較復雜的數量間的關系。難點：正確理解題意，舉一反三，具體問題具體分析。教學導航：

一、弄清概念：

分東西在生活中比較常見，平均分是其中的一種分法，平均分可能會出現什么結果？根據學生匯報小結

板書：

正好分完

有多（盈）

有少（虧）

今天我們就來研究生活中的一些盈虧問題。（出示課題）

二、創設情景

1、同學們，3月12日是什么節？（植樹節）為了迎接一年一度的植樹節，我們班各小隊正準備協助曹家渡社區進行栽種樹苗活動。這是我們同學在領樹苗時得到的一組信息：

3、出示：

一組學生栽樹苗，如果每人栽6棵，還剩10棵；如果每人栽8棵，還少6棵。這組學生有多少人？共有多少棵樹苗？

你能用列方程解應用題的方法來解答這些問題呢？

三、探究新知

1、列方程解應用題的一般步驟是怎樣的？

2、現在，就請同學們分組根據這些步驟先進行討論，想一想題目中哪些條件是不變的，交流等量關系式。然后填寫這張表格：

3、小組討論

4、反饋：

這個小組的學生人數和要種樹苗的總棵數是不變的，根據不變量，可以寫出等量關系式。每人栽6棵時樹苗的總棵數=每人栽8棵時樹苗的總棵數

5、列方程解答

解：設這組學生共有X人。（為什么設人數為X？）6X+10=8X-6 10-6=8X-6X 16=2X X=8 6X+10=6×8+10=58

還可以怎么算？8X-6=8×8-6=58

為什么？ 答：這組學生共有8人，樹苗共有58棵。在兩次分的情況中，除了一盈一虧外，還有可能會出現哪種情況？兩盈：

一組學生栽樹苗，如果每人栽6棵，還剩10棵；如果每人栽（）棵，還剩（）棵。這組學生有多少人？共有多少棵樹苗？

7、2 5、18 兩虧：

一組學生栽樹苗，如果每人栽（）棵，還少（）棵；如果每人栽8棵，還少6棵。這組學生有多少人？共有多少棵樹苗？

9、14

6、討論數量關系，列方程解答。

7、小結：看一看，想一想，議一議。學生比較： 相同：不變量都是總數和份數。要抓住不變量，尋找等量關系。根據盈虧，選擇正確的解法。我們要善于仔細分析，哪些條件是沒有不變化的，特別是一些隱藏的不變量，發現不變量，找尋數量關系式列出方程并解答。

二、課內鞏固與拓展：

1、選擇：中隊主席為大家買獎品，他所帶的錢買4本練習本還多1.60元，買6本就少0.10元。每本練習本多少元？ 解：設每本練習本X元

（1）4X+1.60=6X+0.10

（2）4X+1.60=6X-0.10(3)4X-1.60=6X+0.10

(4)4X-1.60=6X-0.10

2、同學們去春游，如果每車坐65人，就有15人不能上車；如果每車多坐5人，恰好多余了1輛車。一共有多少輛車？有多少學生去春游？

*

3、學校有一批關于綠色環保的圖書，分給幾個班級，如果每個班分15本，就多10本；如果每個班分18本，那么就有一個班只分到4本。這批圖書共有多少本？分給幾個班級？

四、總結

今天我們通過小組合作，發現和解決了生活中的一些比較簡單的盈虧問題，今后我們還可以繼續運用數學問題來解決生活中的問題

年齡問題是小學數學中常見的一類問題.例如：已知兩個人或若干個人的年齡，求他們年齡之間的某種數量關系等等.年齡問題又往往是和倍、差倍、和差等問題的綜合.它有一定的難度，因此解題時需抓住其特點。

年齡問題的主要特點是：大小年齡差是個不變的量，而年齡的倍數卻年年不同.我們可以抓住差不變這個特點，再根據大小年齡之間的倍數關系與年齡之和等條件，解答這類應用題。解答年齡問題的一般方法是：

幾年后年齡=大小年齡差÷倍數差-小年齡，幾年前年齡=小年齡-大小年齡差÷倍數差。例1 爸爸媽媽現在的年齡和是72歲；五年后，爸爸比媽媽大6歲.今年爸爸媽媽二人各多少歲？

分析 五年后，爸比媽大6歲，即爸媽的年齡差是6歲.它是一個不變量.所以爸爸、媽媽現在的年齡差仍然是6歲.這樣原問題就歸結成“已知爸爸、媽媽的年齡和是72歲，他們的年齡差是6歲，求二人各是幾歲”的和差問題。解：①爸爸年齡：（72+6）÷2=39（歲）②媽媽的年齡：39-6=33（歲）

答：爸爸的年齡是39歲，媽媽的年齡是33歲。

例2 在一個家庭里，現在所有成員的年齡加在一起是73歲.家庭成員中有父親、母親、一個女兒和一個兒子.父親比母親大3歲，女兒比兒子大2歲.四年前家庭里所有的人的年齡總和是58歲.現在家里的每個成員各是多少歲？ 分析 根據四年前家庭里所有的人的年齡總和是58歲，可以求出到現在每個人長4歲以后的實際年齡和是58+4×4=74（歲）。

但現在實際的年齡總和只有73歲，可見家庭成員中最小的一個兒子今年只有3歲.女兒比兒子大2歲，女兒是3+2=5（歲）.現在父母的年齡和是73-3-5=65（歲）.又知父母年齡差是3歲，可以求出父母現在的年齡。

解：①從四年前到現在全家人的年齡和應為： 58+4×4=74（歲）

②兒子現在幾歲？ 4-（74-73）=3（歲）③女兒現在幾歲？3+2=5（歲）④父親現在年齡：（73-3-5+3）÷2=34（歲）⑤母親現在年齡： 34-3=31（歲）

答：父親現在34歲，母親31歲，女兒5歲，兒子3歲。

例3 父親現年50歲，女兒現年14歲.問：幾年前父親年齡是女兒的5倍？

分析 父女年齡差是50-14=36（歲）.不論是幾年前還是幾年后，這個差是不變的.當父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲.這36歲是父親比女兒多的5-1=4（倍）所對應的年齡。解：（50-14）÷（5-1）=9（歲）當時女兒9歲，14-9=5（年），也就是5年前。答：5年前，父親年齡是女兒的5倍.例4 6年前，母親的年齡是兒子的5倍.6年后母子年齡和是78歲.問：母親今年多少歲？ 分析 6年后母子年齡和是78歲，可以求出母子今年年齡和是 78-6×2=66（歲）.6年前母子年齡和是 66-6×2=54（歲）.又根據6年前母子年齡和與母親年齡是兒子的5倍，可以求出6年前母親年齡，再求出母親今年的年齡。解：①母子今年年齡和： 78-6× 2=66（歲）②母子6年前年齡和： 66-6×2=54（歲）

③母親6年前的年齡：54÷（5+1）×5=45（歲）④母親今年的年齡：45+6=51（歲）答：母親今年是51歲。

例5 10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍.15年后，吳昊的年齡是他兒子的2倍.現在父子倆人的年齡各是多少歲？

分析 根據15年后吳昊的年齡是他兒子年齡的2倍，得出父子年齡差等于兒子當時的年齡.因此年齡差等于10年前兒子的年齡加上25歲。

10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍，父子年齡差相當于兒子當時年齡的7-1=6倍。由于年齡差不變，所以兒子10年前的年齡的6-1=5倍正好是25歲，可以求出兒子當時的年齡，從而使問題得解。

解：①兒子10年前的年齡：（10+15）÷（7-2）=5（歲）②兒子現在年齡：5+10=15（歲）③吳昊現在年齡： 5×7+10=45（歲）答：吳昊現在45歲，兒子15歲.例6 甲對乙說：“我在你這么大歲數的時候，你的歲數是我今年歲數的一半.”乙對甲說：“我到你這么大歲數的時候，你的歲數是我今年歲數的2倍減7.”問：甲、乙二人現在各多少歲？ 分析 從已知條件中可以看出甲比乙年齡大，甲乙年齡差這是一個不變的量。甲對乙說“我在你這么大歲數的時候”，意思是說幾年以前.這幾年就是甲乙的年齡差.因此，甲整句話可理解為：乙今年的歲數，減去年齡差，正好是甲今年歲數的一半.乙對甲說“我到你這么大歲數的時候”，意思是說幾年后.因此，乙整句話可理解為：甲今年的歲數，加上年齡差，正好是乙今年歲數的2倍減去7。即 甲今+年齡差=2×乙今-7（2）把甲乙的對話用下圖表示為：

由（1）得甲今=2×乙今-2×年齡差（3）由（2）得 甲今=2×乙今-7一年齡差（4）由（3）（4）年齡差=7（歲）?

從上圖不難看出，甲現在的年齡是乙幾年前年齡的2倍，1倍相當于2個年齡差，2倍相當于4個年齡差.乙現在的年齡相當3個年齡差。

乙幾年后的年齡和甲現在的年齡相等，所以乙幾年后相當4個年齡差.甲幾年后的年齡比乙幾年后的年齡多一個年齡差，正好是7歲，從而得出年齡差是7歲。解：①乙現在年齡： 7×3=21（歲）②甲現在年齡：7×4=28（歲）答：乙現在21歲，甲現在28歲.小學三年級奧數下冊雞兔同籠問題教案 雞兔同籠問題

例1（古典題）雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？

分析 如果 46只都是兔，一共應有 4×46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應該換進幾只雞才能使56只腳的差數就沒有了呢？顯然，56÷2=28，只要用28只雞去置換28只兔就行了.所以，雞的只數就是28，兔的只數是46-28=18。解：①雞有多少只？（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2 =56÷2 =28（只）

②免有多少只？ 46-28=18（只）

答：雞有28只，免有18只。

我們來總結一下這道題的解題思路：先假設它們全是兔.于是根據雞兔的總只數就可以算出在假設下共有幾只腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看相差多少.每差2只腳就說明有一只雞；將所差的腳數除以2，就可以算出共有多少只雞.我們稱這種解題方法為假設法.概括起來，解雞兔同籠問題的基本關系式是：

雞數=（每只兔腳數× 兔總數-實際腳數）÷（每只兔子腳數-每只雞的腳數）兔數=雞兔總數-雞數

當然，也可以先假設全是雞。

例2 雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

析 這個例題與前面例題是有區別的，沒有給出它們腳數的總和，而是給出了它們腳數的差.這又如何解答呢？

假設100只全是雞，那么腳的總數是2×100=200（只）這時兔的腳數為0，雞腳比兔腳多200只，而實際上雞腳比兔腳多80只.因此，雞腳與兔腳的差數比已知多了（200-80）=120（只），這是因為把其中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數將增加2只，兔的腳數減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數增加（2+4）=6（只），所以換成雞的兔子有120÷6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）。解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。

答：雞與兔分別有80只和20只。

例3 紅英小學三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個班各有多少人？

分析1 我們設想，如果條件中三個班人數同樣多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到啟示，是否可以通過假設三個班人數同樣多來分析求解。

結合下圖可以想，假設二班、三班人數和一班人數相同，以一班為標準，則二班人數要比實際人數少5人.三班人數要比實際人數多7-5=2（人）.那么，請你算一算，假設二班、三班人數和一班人數同樣多，三個班總人數應該是多少？ 解法1：

一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3 =44（人）

二班：44+5=49（人）三班：49-7=42（人）

答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和 42人。

分析2 假設一、三班人數和二班人數同樣多，那么，一班人數比實際要多5人，而三班要比實際人數多7人.這時的總人數又該是多少？ 解法2：（135+ 5+ 7）÷3 =147÷3 =49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）

答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

想一想：根據解法

1、解法2的思路，還可以怎樣假設？怎樣求解？

例4 劉老師帶了41名同學去北海公園劃船，共租了10條船.每條大船坐6人，每條小船坐4人，問大船、小船各租幾條？ 分析 我們分步來考慮：

①假設租的 10條船都是大船，那么船上應該坐 6×10= 60（人）。②假設后的總人數比實際人數多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假 ③一條小船當成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（條）小船當成大船。解：[6×10-(41+1）÷（6-4）= 18÷2=9（條）10-9=1（條）

答：有9條小船，1條大船。

例5 有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？

分析 這是在雞兔同籠基礎上發展變化的問題.觀察數字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛的只數.我們假設三種動物都是6條腿，則總腿數為 6×18=108（條），所差 118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數而造成的.所以，應有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數.再從翅膀數入手，假設13只都是蟬，則總翅膀數1×13=13（對），比實際數少 20-13＝7（對），這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數可求7÷（2-1）=7（只）.解：①假設蜘蛛也是6條腿，三種動物共有多少條腿？ 6×18=108（條）②有蜘蛛多少只？

（118-108）÷（8-6）=5（只）③蜻蜒、蟬共有多少只？ 18-5=13（只）

④假設蜻蜒也是一對翅膀，共有多少對翅膀？1×13=13（對）⑤蜻蜒多少只？

（20-13）÷ 2-1）= 7（只）答：蜻蜒有7只.和倍問題

和倍問題是已知大小兩個數的和與它們的倍數關系，求大小兩個數的應用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關系，以便于找到解題的途徑。

例1 甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 設乙班的圖書本數為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數的和相當于乙班圖書本數的4倍.還可以理解為4份的數量是160本，求出1份的數量也就求出了乙班的圖書本數，然后再求甲班的圖書本數.用下圖表示它們的關系： 解：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）或 160-40=120（本）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應用題解答完了，怎樣驗算呢？

可把求出的甲班本數和乙班本數相加，看和是不是160本；再把甲班的本數除以乙班本數，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對了.注意驗算決不是把原式再算一遍。驗算：120＋40=160（本）120÷40=3（倍）。

例2 甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？

分析 解這題的關鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當于乙班現有圖書的3倍.依據解和倍問題的方法，先求出乙班現有圖書多少本，再與原有圖書本數相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。

解：①甲、乙兩班共有圖書的本數是： 30＋120=150（本）

②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數是： 2＋1＝3（倍）

③乙班現有的圖書本數是：150÷3=50（本）④甲班給乙班圖書本數是：50-30=20（本）綜合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）

答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。驗算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

（120-20）+（30+20）＝150（本）。

例3 光明小學有學生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

分析 把女生人數看作一份，由于男生人數比女生人數的3倍還少40人，如果用男、女生人數總和760人再加上40人，就等于女生人數的4倍（見下圖）。解：①女生人數：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）②男生人數：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）

答：男生有560人，女生有200人。驗算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。

例4 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？ 分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數為標準、作為1份數容易解答.又知三種樹的總數是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當于梨樹的2倍了，而總棵樹則變為552+20-12=560（棵），相當于梨樹棵數的4倍。解：①梨樹的棵數：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）

②桃樹的棵數：140×2＋12=292（棵）③蘋果樹的棵數： 140-20=120（棵）

答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。

例5 549是甲、乙、丙、丁4個數的和.如果甲數加上2，乙數減少2，丙數乘以2，丁數除以2以后，則4個數相等.求4個數各是多少？

分析 上圖可以看出，丙數最小.由于丙數乘以2和丁數除以2相等，也就是丙數的2倍和丁數的一半相等，即丁數相當于丙數的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據這些倍數關系，可以先求出丙數，再分別求出其他各數。解：①丙數是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9 =61 ②甲數是：61×2-2=120 ③乙數是：61×2＋2=124 ④丁數是：61×4=244 驗算：120+124＋61+244=549 120＋2=122 124-2=122 61×2＝122 244÷2＝122 答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.

第四篇：盈虧問題2014.2.27

盈虧問題2014.2.26

例

1、為2.20例2

例

2、夏令營老師為小營員們安排住宿，如果每個房間住4人，則多出24個人；如果

每個房間住6人，則有兩個房間空著。求有幾個房間？有多少個夏令營小營員？

練習

1、數學活動課上，王老師要求同學們用一根繩子來測量一口井的深度。同學們把

繩子的一端放入井底，井口外繩子長10米；把這根繩子對折后，將一端放入井底，這時井口外的繩子長3米，求井深和繩子長各多少米？

2、王老師將一袋糖果分給幼兒園的小朋友。如果每人分五粒糖果，則還剩下32

粒；如果每人分8粒糖果，則還有5個小朋友分不到糖果。求有多少個小朋友？這袋糖果一共有多少粒？

3、少年宮參加夏令營的同學租了計量相同的客車。如果每輛車乘28人，則有13名

同學沒有座位；如果每輛車乘32人，則還多車7個座位。求租了多少輛車？參加夏令營的同學有多少人？

4、鐘山小學學生乘汽車去江南小九寨溝旅游。如果沒車坐60人。則有30人不能乘

車；如果每車坐70人，則多余1輛車。求一共租了幾輛汽車？有多少學生？

5、小龍計劃看一本書，如果每天看45頁，可以提前一天看完；如果每天看30也，則要比計劃的時間晚3天才能看完。小龍計劃幾天看完這本書？這本書有多少頁？

6、學校給一批新入學的學生分配宿舍若每個房間住12人則34人沒有位置若每個

房間住14人,則空出4個房間求學生宿舍有多少間?住宿學生有多少人?

第五篇：4盈虧問題

盈虧問題

一、知識要點

盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標準分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標準分，分配后會有不足（虧），求物品的數量和分配對象的數量。盈虧問題的基本數量關系式是：（盈+虧）÷兩次所分之差=人數。

還有一些非標準的盈虧問題，它們被分為四類：

1、兩盈：兩次分配都有多余；

2、兩虧：兩次分配都不夠；

3、盈、適足：一次分配有多余，一次分配正好；

4、虧、適足：一次分配不夠，一次分配正好。解答這些非標準的盈虧問題的數量關系式分別是：

1、兩盈：兩次盈數的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數

2、兩虧：兩次虧數的差÷兩次分得的差=參與分配對象總數

3、一盈一虧：盈與虧得和÷兩次分得的差=參與分配對象總數

二、典型例題

例

1、某校安排學生宿舍，如果每間5人，那么有14人沒有床位；如果每間7人，那么多出4個人的空床位，宿舍有幾間？學生有幾人？

解析：比較兩次安排學生宿舍中各個量之間的關系。第一次有14人沒有床位，第二次多出4個人的床位，兩次相差14+4=18（人），為什么會相差18人？因為第二次安排學生宿舍每間比第一次多出7-5=2（人）。那么幾間宿舍才會多出18人呢？18÷2=9（間）。由此再求出學生人數。

解：（14+4）÷（7-5）=9（間）

5×9+14=59（人）

答：宿舍有9間，學生有59人。

練習：

1、幾個同學幫忙布置會場，沒人搬8張椅子，還剩14張；沒人搬9張椅子，最后一人之搬6張。幫忙的學生有多少名？一共要搬多少張椅子？

例

2、四年級一班買了幾枝鉛筆獎給三好學生，若每人9枝，缺15枝；若每人7支，缺7枝。三好學生有多少人？鉛筆多少枝？

解析：鉛筆枝數和三好學生的人數是不變的，兩種分法：一種少了15枝，另一種少了

7枝，兩種不同的分法鉛筆枝數相差15-7=8（枝），兩種不同的分法每人相差9-7=2（枝），兩次所分鉛筆的相差數，除以兩次每人所分鉛筆枝數的差，就可求出三好學生人數，進而求出鉛筆的枝數。

解：（15-7）÷（9-7）=4（人）

9×4-15=21（枝）

答：三好學生有4人，鉛筆21枝。

練習：

2、學校買了一批連環畫，分給美術組學生，如果沒人分5本少6本；如果每人分7本少22本。參加美術組的學生有多少人？連環畫有多少本？

例

3、媽媽買回一筐蘋果，按計劃吃的天數算一下，如果每一天吃4個，要多出48個蘋果；如果每天吃6個，還多出8個蘋果，那么媽媽買回的蘋果有多少個？計劃吃多少天？

解析：題中告訴我們每天吃4個，多出48個蘋果，每天吃6個，多出8個蘋果。觀察每天吃的個數與蘋果剩余個數的變化，就能看出，由每天吃4個變為每天吃6個，也就是每天多吃6-4=2（個）時，蘋果從多出48個到8個，那么所需蘋果總數要想相差48-8=40（個）。從這個對應的變化中可以看出，只要求出40里面包含多少個2，就得出計劃吃的天數了，有了計劃吃的天數，就不難求出共有多少個蘋果了。

解：（48-8）÷（6-4）=20（天）

4×20+48=128（個）

答：媽媽買回的蘋果有128個，計劃吃20天。

練習：

3、幼兒園有水果若干，分給兒童若干人，如果每個兒童分3個水果，則多34個；如果每個兒童分5個水果，則多10個。水果與兒童各有多少？

例

4、少先隊員取植樹，如果沒人種5顆，還有3顆沒有種；如果其中2人各種4顆，其余的人各種6顆，這些樹苗正好種完。有多少少先隊員參加植樹？一共種多少克樹苗？

解析：這道題比較難，主要難在對第二個已知條件的理解上，如果其中2人種4顆，其余人各種6顆，就恰好種完。這組條件中包含著兩種種樹的情況——2人各種4顆，其余的人各種6顆。如果我們把它統一成一種情況，讓每人都種6顆，那么，就可多種（6-4）×2=4(顆)。因此，原問題轉化為：如果每人種5顆樹苗，還有3顆沒有種；如果每人種6顆

樹苗，還缺4顆。問有多少少先隊員？一共種多少樹苗？就可根據例1的解題方法求出答案。

解：[3+（6-4）×2] ÷（6-5）=7（人）

5×7+3=38（顆）

答：有7名少先隊員參加植樹，一共種38顆樹苗。

練習：

4、課外活動跳繩比賽，其中2組各借跳繩4根，其余的組各借5根，這樣分配最后余下12根；如果沒組借6根，這樣恰好能借完。共有跳繩多少根？

能力加強：

1、賓館給某旅游團的游客安排房間。按4人一間安排比按6人一間安排要多用3個房間。這個旅游團有多少游客？

2、水果店運進一批水果，運費花了850元，水果在運輸過程中損壞了50千克。若按每千克1元賣出，則要虧損250元；若按每千克2元賣出，則可盈利700元。原來進貨多少千克？進貨的金額是多少元？

3、鮮花店里紅花的枝數是黃花的2倍。一群人正在選購鮮花，如果每人選購3枝黃花，還余2枝；如果每人選購7枝紅花，則還少6枝。正在選購紅花和黃花的各有多少人？紅花和黃花各有多少枝？

4、小明從家到學校，出發時看了看表，如果按平時不行每分鐘60米，他將遲到3分鐘；如果汽車每分鐘行150米，他將早到6分鐘。小明家離學校多遠？

5、一輛客車載了50人，如果在6站以下收費3元，6站和6站以上都按8元收費，售票員統計6站和6站以上收入比6站以下多收入180元，有多少人買了6站和6站以上的票？

6、動物園有一些香蕉和桃子，香蕉數是桃子數的2倍，飼養員將這些水果分給猴子，每只猴子分5個桃子，最后余下15個；如果每只猴子分14個香蕉，則還少30個香蕉。香蕉和桃子各有多少個？